2019数学北师大版选修1-2全套学案+滚动训练+章末检测

p
C．p＝rq
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　易知p＝f()＝ln ＝ln(ab)；q＝f ＝ln ；r＝[f(a)＋f(b)]＝ln(ab)．
因为>，且f(x)＝ln x是增函数，
所以f >f()，
所以q>p＝r.
12．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
A．26 B．31 C．32 D．36
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　B
解析　有菱形纹的正六边形的个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系为___________．(用“<”连接)
答案　<
解析　－＝.
∵a>b，∴b－a<0，
∴－<0，即<.
14．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　8
解析　y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A(－2，－1)．
又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.
又∵mn>0，∴m>0，n>0，
∴2m＋n＝1≥2，
当且仅当2m＝n＝，即m＝，n＝时取等号，
∴mn≤，∴＋＝＝≥8.
15．观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　28　
解析　根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(个)小正方形．
第n个图形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝个小正方形．
16．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
答案　(0,16]
解析　由题意，得a＋b＝(a＋b)
＝10＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝且＋＝1，
即a＝4，b＝12时，等号成立．
所以a＋b的最小值为16，
所以要使a＋b≥μ恒成立，只需μ≤16.
又因为μ∈(0，＋∞)，所以0<μ≤16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
解　假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝－md,2＝＋nd，m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数．
∴左边为有理数，右边为无理数，m＝(＋1)n不成立，矛盾．
∴假设不成立，即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证c－只需证－即证|a－c|<，
只需证(a－c)2<()2，
只需证a2－2ac＋c2即证2ac>a2＋ab，因为a>0，所以只需证2c>a＋b.
因为2c>a＋b已知，所以原不等式成立．
19．(12分)在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a>b>0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为.
证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(－a,0)．
椭圆中：＝·＝＝＝－；
双曲线中＝＝＝.
20．(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＋<2；②＋<2；③＋<2.
(1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；
(2)请将此规律推广至一般情形，并证明．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)的应用
解　(1)验证①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般结论为：若n∈N＋，
则＋<2，证明如下：
要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
即证2n＋2＋2·<4n＋4，
即证·只需证n(n＋2)故＋<2.
21．(12分)(1)在 △ABC中，AB⊥AC，且AD⊥BC于点D，求证：＝＋；
(2)类比上述结论，在四面体A－BCD中，能得到怎样的猜想？并说明理由．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
(1)证明　如图所示，由射影定理可知，
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋，
∴＝＋.
(2)解　猜想：在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图所示，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.
又AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
又在Rt△BAF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
同理可得，在Rt△CAD中，AF⊥CD，AC⊥AD，
∴＝＋，
∴＝＋＋，
故猜想正确．
22．(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝.求证：数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列．
(1)解　设等差数列{an}的公差为d，
则S3＝3a1＋3d＝9＋3.
又a1＝1＋，解得d＝2，
所以an＝2n＋－1，Sn＝n(n＋)(n∈N＋)．
(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋，
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列．
则b＝bp·br，
即(q＋)2＝(p＋)·(r＋)，
即(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
所以
即2＝pr，得(p－r)2＝0，
得p＝r，与p，q，r互不相等矛盾．
所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列．

§1　归纳与类比
1.1　归纳推理
学习目标　1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．
知识点　归纳推理
思考　(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
以上属于什么推理？
答案　属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理　归纳推理的定义及特征
定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理
特征
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的
1．归纳推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)
3．由归纳推理得出的结论一定是正确的．(　×　)
类型一　归纳推理在数与式中的应用
例1　(1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为_______________________________________________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)　(2)f3(x)＝　fn(x)＝
解析　(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.
引申探究　
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．
解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝.
反思与感悟　已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
跟踪训练1　已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；….
根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
解　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为，，，，…，.
归纳得一般性结论：1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
类型二　归纳推理在数列中的应用
例2　已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　当n＝1时，a1＝1，
当n＝2时，a2＝＝，
当n＝3时，a3＝＝，
当n＝4时，a4＝＝，
…，
归纳得数列{an}的通项公式为an＝(n＝1,2,3，…)．
反思与感悟　用归纳推理解决数列问题的方法
在求数列的通项和前n项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．
跟踪训练2　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为(　　)

　
　　
　　　
　　　　
……
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　B
解析　由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，第11行的第2个数为－＝.
类型三　归纳推理在图形中的应用
例3　如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)是由(1)中的小正方体木块叠放而成的．按照这样的规律摆放下去，第7个图形中，小正方体木块的总个数是________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　91
解析　记第n个图形中木块的总数为an，观察前三个图形中的木块数可知，a1＝1，a2＝1＋(1＋4)＝1＋5＝6，a3＝1＋5＋(5＋4)＝1＋5＋9＝15，按照题中的规律放下去，可知，第7个图形中小木块的总个数为1＋5＋9＋…＋25＝91.
反思与感悟　归纳推理在图形中的应用策略
跟踪训练3　如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律性的为(　　)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一格，由第二组的前两个图，可知整体图形再次向左移动一格，第三个图，左边没有格的情况下，应从最右边出现，故选A.
1．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
2．已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式an等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
答案　C
解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
则an＝.
3．已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为(　　)
A．xn＋>n B．xn＋>n＋1
C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给的不等式，都是写成xn＋>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋>n＋1，故选B.
4．有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色．两种彩旗排成一行：???????????????????????????…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为(　　)
A．111 B．89 C．133 D．67
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗，则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　40
解析　图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，…，
所以图10中的点数为10×4＝40.
1．归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．
2．归纳推理解决问题的思维过程
实验、观察→分析概括→猜测总结
一、选择题
1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(　　)
A．192 B．202 C．212 D．222
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　由题意可知，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A. B．△ C. D．○
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋小于(　　)
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　观察可以发现，第n(n≥1)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，所以当n＝2 018时不等式为1＋＋＋…＋<.
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为(　　)
A．01 B．43 C．07 D．49
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，
75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，
可以看出末两位数字呈周期出现，且周期为4，
2 019÷4＝504…3.
所以72 019的末两位数字为43.
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　C
解析　从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
7．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…，
可知推测A－B等于(　　)
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　D
解析　观察发现各式等号右边第一项的系数为对应项指数的倒数，且各项系数之和为1，故A＝，B＝－，所以A－B＝.
8．如图，已知△ABC的周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2 018个三角形的周长为(　　)
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　∵第一个三角形的周长为2，第二个三角形的周长为1，第三个三角形的周长为，……，∴第n个三角形的周长为22－n，∴第2 018个三角形的周长为22－2 018＝.
二、填空题
9．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：____________________________________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　已知a，b是正实数且a≠b，若a＋b＝20，则＋<2
10．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
…；
照此规律，第n个等式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
解析　12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
11．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　30
解析　观察题图易得
∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30.
12．n个连续自然数按规律排列如表：根据规律，从2 018到2 020，箭头的方向依次为________．(填序号)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　③
解析　箭头方向呈周期变化，且周期为4,2 018÷4＝504…2，故填③.
三、解答题
13．已知正项数列{an}满足Sn＝，求出a1，a2，a3，并推测通项an.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　∵Sn＝，∴S1＝，
又∵S1＝a1，∴a1＝，∴a1＝1(负值舍去)．
又∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝－，
∴－an＝an－1＋，∴－a2＝2，
∴a2＝－1±，
又∵an>0，∴a2＝－1.
同理，a3＝－.
∴a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
利用归纳推理，猜测：an＝－，n∈N＋.
四、探究与拓展
14．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)，(2,1)
(1,3)，(2,2)，(3,1)
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
…
记第n行的第m个数对为anm(m，n∈N＋)，如a43＝(3,2)，则：
(1)a54＝________；(2)anm＝________________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)
解析　若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,2)．
15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示的为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
解　(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…，
由上述规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝1＋＝－.
1.2　类比推理
学习目标　1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用．
知识点一　类比推理
思考　科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案　类比推理．
梳理　类比推理的定义及特征
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理
特征
①类比推理是两类事物特征之间的推理；
②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
知识点二　合情推理
思考　归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
梳理　合情推理的定义及分类
定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理．
1．由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理．(　√　)
2．类比推理是从特殊到特殊的推理．(　√　)
3．合乎情理的推理一定是正确的．(　×　)
类型一　平面图形与立体图形间的类比
例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟　(1)类比推理的一般步骤
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形
空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_____________________________________________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析　类比条件：
两边AB，AC互相垂直侧面ABC，ACD，ADB互相垂直．
结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.
类型二　数列中的类比推理
例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_____成立．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)
解析　在等差数列{an}中，由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.
相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，
可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．
反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．
(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．
跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　　
解析　由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，
T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，
T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，
∴＝bq22，＝bq38，＝bq54，
即2＝·T4，2＝·，
故T4，，，成等比数列．
类型三　定义、定理或性质中的类比
例3　下列是用类比推理得出的结论：
①由“a＝b?ac＝bc”类比得到“a>b?ac>bc”；
②由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比得到“sin(A＋B)＝sin A＋sin B”；
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行”；
④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”．
其中正确结论的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　B
解析　当c≤0时，①中类比的结论不正确；显然②中类比的结论不正确；空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故③中类比的结论不一定成立；④中类比的结论是正确的．
反思与感悟　运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．
跟踪训练3　若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为(　　)
A. B.
C.－1 D.＋1
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　A
解析　在Rt△ABF中，由AB⊥BF可得＝，则b2＝ac，即c2－a2＝ac，可得e2－e＝1，又由e>1，则e＝.
1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(　　)
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2．下面使用类比推理，得出的结论正确的是(　　)
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　C
解析　显然A，B，D不正确，只有C正确．
3．根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心．
4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝(a1＋an)，类似地正项等比数列{bn}的前n项积Tn等于(　　)

C.(b1＋bn) D.(b1bn)
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　B
解析　等差数列{an}的前n项和为Sn＝(a1＋an)，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn＝，故选B.
5．已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比以上结论有：双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　－＝1
解析　圆x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，可以看作是由x0x代替圆的方程中的x2，由y0y代替y2而得，故类比过圆上一点的切线方程，可类比推理得出过双曲线－＝1上一点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、选择题
1．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶9
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积之比为1∶8，故选C.
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　D
3．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)
A．3 B．5 C. D．3
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　B
解析　类比点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d＝，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝5，故选B.
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积的和．
则四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中，延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设 △OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是(　　)
A．S0＝ B．S0＝
C.＝ D.＝
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质，故由“EF＝”，类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的结论是＝.故选C.
6．已知双曲线正弦函数sh x＝和双曲线余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是(　　)
A．sh x为奇函数，ch x为偶函数
B．sh 2x＝2sh xch x
C．sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y
D．ch(x－y)＝ch xch y＋sh xsh y
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　D
解析　容易验证A，B，C正确，
∵×＋×＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y＋ex＋y－ex－y－e－x＋y＋e－x－y)
＝(2ex＋y＋2e－x－y)＝(ex＋y＋e－x－y)＝ch(x＋y)，
∴ch(x－y)＝ch x·ch y－sh x·sh y，故选D.
二、填空题
7．等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　
解析　在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列，类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{bn}也是等比数列．
8．已知tan＝且tan x是以π为周期的周期函数．若a≠0，且f(x＋a)＝，通过类比，f(x)是以T＝________为周期的周期函数．
考点　类比推理的应用
题点　函数性质之间的类比
答案　4a(答案不唯一)
解析　类比tan＝与f(x＋a)＝可知，与a对应．
而tan x是以π＝4×为周期的周期函数，
所以猜想f(x)应是以T＝4a为周期的周期函数．
事实上f(x＋2a)＝＝＝－.
所以f(x＋4a)＝－＝f(x)．故此类比猜想正确．
9．已知点A(x1,2)，B(x2,2)是函数y＝2x的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则有____________________成立．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　解析　函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像是向上凸的，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，故由类比推理可知，10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
解析　平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
11．“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r＝”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R＝_________.
答案　
解析　由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝.
三、解答题
12．在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
13．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n的值的过程．
因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，
…，
22－12＝2×1＋1，
以下各式相加得：
(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
所以1＋2＋3＋…＋n＝＝，
类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n2.(参考公式：n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1)
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　∵23－13＝3·22－3·2＋1，
33－23＝3·32－3·3＋1，
…，
n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，
把这n－1个式子相加可得：
n3－1＝3×(22＋32＋…＋n2)－3×(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，
由此可得：n3－1＝3(12＋22＋32＋…＋n2)－3(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，
即12＋22＋32＋…＋n2＝，
∴12＋22＋32＋…＋n2＝n3＋n2＋n.
四、探究与拓展
14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　
解析　∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
15．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：·为定值b2－a2；
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，则·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
(1)证明　设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a，0)，B(a，0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，
同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)解　－(a2＋b2)．
§2　数学证明
学习目标　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
知识点一　演绎推理的含义
思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
梳理
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二　三段论
思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案　分为三段．
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电．
梳理
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
类型一　演绎推理与三段论
例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1　(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(填序号)
(2)函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为
大前提：________________________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________________________；
结论：________________________________________________________________________.
答案　(1)②
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图像是一条直线
类型二　三段论的应用

例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
反思与感悟　(1)用“三段论”证明命题的格式
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
跟踪训练2　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF 平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论

例3　设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解　若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提
因为f(x)的定义域为R，小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0即当0引申探究　
若例3的条件不变，求f(x)的单调增区间．
解　∵f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00，
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．
证明　方法一　(定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝＋－－
＝＋－

.
因为x2－x1>0，且a>1，所以
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．
方法二　(导数法)
f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0.
又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.
故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增加的.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案　A
解析　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又是对数函数(小前提)，所以是增函数(结论)．”下列说法正确的是(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案　A
解析　y＝logax是增函数错误，故大前提错误．
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是(　　)
A．① B．② C．①② D．③
答案　D
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案　二次函数的图像是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线
5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明　因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根，大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
答案　C
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案　C
解析　由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
答案　C
解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
4．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增加的(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　y′＝－xsin x．当x∈(π，2π)时，y′>0，
∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上是增加的．
5．下面几种推理中是演绎推理的是(　　)
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，……的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
答案　A
6．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A．－1C．－答案　C
解析　由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是“当有意义时，a≥0”；小前提“有意义”；结论是“__________________”．
答案　y＝的定义域是[4，＋∞)
解析　由大前提知，log2x－2≥0，解得x≥4.
8．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：－3是整数；
结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)
答案　大前提
9．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________．
答案　一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
解析　大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
10．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是____________________．
答案　不等式两边同乘一个大于0的数，不等号方向不变
11．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为?，则实数a的取值范围为__________．
答案　[0,2]
解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，
则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.
∴当a＝0时，2≥0，显然成立；
当a≠0时，
解得0∴a的取值范围为[0,2]．
12．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案　2 014
解析　利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，大前提
令b＝1，则＝f(1)＝2，小前提
∴＝＝…＝＝2，结论
∴原式＝＝2 014.
三、解答题
13．已知f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
证明　∵f(x)＝，
∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝.
同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
猜想f(x)＋f(1－x)＝.
设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝
14.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴旋转．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解　(1)如图，取AB的中点E，连接CE，DE.
因为AC＝BC＝，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE?平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知，得DE＝AB＝，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由(1)知，AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，
所以AB⊥平面CDE.又CD?平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
15．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
答案　A
解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2∴f(x2)－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.
§3　综合法与分析法
学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一　综合法
思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．
梳理　综合法的定义及特点
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．
(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．
(3)模式：综合法可以用以下的框图表示
→→→…→
其中P为条件，Q为结论．
知识点二　分析法
思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理　分析法的定义及特征
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．
(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：
→→→…→
1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)
2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)
类型一　用综合法证明不等式
例1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
反思与感悟　综合法证明问题的步骤：
跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数，
求证：＋＋>3.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　因为＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
又a，b，c为不全相等的正实数，
而＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式等号不能同时成立，
所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
类型二　分析法的应用
例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
反思与感悟　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”．
跟踪训练2　设a>b>0，求证：＋>(－)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　因为a>b>0，所以a2>ab>b2，所以a2－ab>0.
要证＋>(－)，
只需证>，
只需证－<＋.
又<＋＋显然成立，
所以＋>(－)成立．
类型三　分析法与综合法的综合应用
例3　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋
(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
引申探究　
本例改为求证>.
证明　要证>，
只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，
即证a＋b>c.
而a＋b>c显然成立，
所以>.
反思与感悟　综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
跟踪训练3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证logx＋logx＋logx只需证logx由已知0abc，
由公式≥>0，≥>0，≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．类比法
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　B
解析　在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．
2．要证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案　C
解析　根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2.
3．设0A．a B．b
C．c D．随x取值不同而不同
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　∵02>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，
∴c>b>a.
4．已知f(x)＝(x∈R)是奇函数，那么实数a的值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　1
解析　∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝＋＝0，
∴a＝1.
5．已知a，b，c都为正实数，求证：≥.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
而这是显然成立的，
所以≥成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.

一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　B
解析　分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②?①，所以①是②的必要条件．故选B.
2．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(　　)
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　A
解析　由得
3．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由题意得，f(x)在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f(x)＝符合要求．
4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　D
解析　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－(a2＋b2)＋1≥0，
即证(a2－1)(b2－1)≥0.
5．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是(　　)
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　D
解析　由余弦定理的推论，得cos A＝，
∵A为钝角，∴cos A<0，则b2＋c26．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　C
解析　由正弦定理得＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，
又A，B为三角形的内角，
∴sin A>0，sin B>0，
∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
7．设a，b>0，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　B
解析　因为a≠b，故>ab，
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)是减少的．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负 B．恒等于零
C．恒为正 D．无法确定正负
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)是减少的，可知f(x)在R上是减少的．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，
所以f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
9．“已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8”的证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________．(填“综合法”或“分析法”)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　综合法
解析　本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
10．如果a＋b>a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b>a＋b.
11．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　a·＝a·≤＝，当且仅当a2＝＋且a2＋＝1，即a＝，b＝时，等号成立．
三、解答题
12．已知n∈N＋，且n≥2，求证：>－.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1.
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，该不等式显然成立，
故原不等式成立．
13．(1)用分析法证明：当a>2时，＋<2；
(2)设a，b是两个不相等的正数，且＋＝1，用综合法证明：a＋b>4.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
只需证2a＋2<4a，
只需证∵a2－4∴＋<2成立．
(2)∵a>0，b>0，且a≠b，
∴a＋b＝(a＋b)
＝1＋1＋＋>2＋2＝4，
∴a＋b>4.
四、探究与拓展
14．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　当n为偶数时，a<2－，
而2－≥2－＝，所以a<；
当n为奇数时，a>－2－，
而－2－<－2，所以a≥－2.
综上可得，－2≤a<.
15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝.③
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．
§4　反证法
学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识点　反证法
(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．
1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　)
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)
类型一　用反证法证明否定性命题
例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
反思与感悟　(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设，，成等差数列，则2＝＋，
∴4b＝a＋c＋2.①
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②
由②得b＝，代入①式，
得a＋c－2＝(－)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立．故，，不成等差数列．
类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题
例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.
所以≥>1.
同理≥>1，≥>1.
三式相加，得＋＋>3，
即3>3，矛盾．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
引申探究　
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数．
∴≥>＝.
同理，>，>.
三式相加，得＋＋>，
即>，显然不成立．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
?綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
??綈p或綈q
跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得其对应方程的Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，
且Δ3＝4a2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
类型三　用反证法证明唯一性命题
例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则＝3,＝3，两式相除得＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题得证．
反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
跟踪训练3　若函数f(x)在区间[a，b]上是增加的，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增加的，所以f(α)1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
4．下面关于反证法的说法正确的有________．(填序号)
①反证法的应用需要逆向思维；
②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；
④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．
考点　
题点　
答案　①②
解析　反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故①②正确；使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故④错误；反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故③错误．
5．用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则
解得－故原命题成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　D
2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　B
解析　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
4．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．
5．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
6．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
7．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　C
解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋
＝＋＋≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
二、填空题
8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设______．
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　x＝a或x＝b
9．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．
甲说：“丙没有考满分”．
乙说：“是我考的”．
丙说：“甲说的是真话”．
若这三名同学中，只有一人说的是假话，则得满分的同学是________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　甲
解析　采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙说的也是假话，与题目矛盾；如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分，符合要求．
10．若下列两个方程x2＋(a－2)x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
解析　若两方程均无实根，
则Δ1＝(a－2)2－4a2＝(3a－2)(－a－2)<0，
∴a<－2或a>.
Δ2＝a2＋8a＝a(a＋8)<0，
∴－8若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－8或a≥－2.
11．将下列用反证法证题的过程补充完整．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为奇数，则________均为奇数．①
因为7个奇数之和为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
显然②与③矛盾，故假设不成立，故(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇数　0
三、解答题
12．已知x∈R，a＝x2－1，b＝4x＋5.求证：a，b中至少有一个不小于0.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a，b都小于0，即a<0，b<0，则a＋b<0.
又a＋b＝x2－1＋4x＋5＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
这与a＋b<0矛盾，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个不小于0.
13．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点　
题点　
证明　假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
故a，b，c中至少有一个是大于0的．
四、探究与拓展
14．若a，b，c，d都是有理数，，都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a＝b，c＝d
解析　假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，
于是b＋m＋＝b＋，
所以m＋＝，两边平方整理得＝.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，
因此a＝b，从而c＝d.
15．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导数列{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
(1)解　设数列{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
所以Sn＝，
综上所述，Sn＝
(2)证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
因为a1≠0，
所以2qk＝qk－1＋qk＋1.
因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，
所以q＝1，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．
章末复习
学习目标　1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.理解演绎推理.4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明．
1．归纳与类比
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
2．演绎推理
(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
3．综合法和分析法
(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；
(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法．
4．反证法
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等.
类型一　合情推理
例1　(1)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2
＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　n(n＋1)
解析　第一个等式中1＝，2＝；
第二个等式中，2＝，3＝；
第三个等式中，3＝，4＝.
由此可推得第n个等式等于××＝n(n＋1)．
(2)根据图(1)的面积关系：＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝________.
考点　类此推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　··
解析　题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为＝··.
反思与感悟　(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
跟踪训练1　(1)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，……，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　8　π
解析　第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90°，因此弧长为；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90°，因此弧长为π；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90°，因此弧长为，……，第n道弧所在圆的半径为n，圆心角为90°，因此弧长为.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以为首项，为公差的等差数列，故所求这n道弧的弧长之和为n＋·＝.
(2)设P是△ABC内一点，△ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有＋＋＝1，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有________________________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　＋＋＋＝1
解析　易知＝＝，
＝＝，
＝＝，
＝＝，
故＋＋＋＝＝1.
类型二　综合法与分析法
例2　试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　分析法
要证2sin 2α≤成立，
只需证4sin αcos α≤，
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
只需证4cos α≤，
∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．
综合法
∵＋4(1－cos α)≥4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4sin αcos α≤，
∴2sin 2α≤.
反思与感悟　分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
跟踪训练2　设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立．
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立．
即a3＋b3>a2b＋ab2.
类型三　反证法
例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2中至少有一个成立．
反思与感悟　反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．
跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　)
A．47 B．65 C．63 D．128
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1(ab≠0)表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为(　　)
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　A
解析　∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.故选A.
3．若a>0，b>0，则有(　　)
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　因为－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a.
4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　A
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
5．已知非零向量a，b，满足a⊥b，求证：≤.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　因为a⊥b，所以a·b＝0，
要证明≤，
只需证明|a|＋|b|≤|a－b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)，
只需证明|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立．
即只需证明(|a|－|b|)2≥0，它显然成立．
故原不等式得证．
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
一、选择题
1．如图所示的是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　从所给三个图形中，可以看出，三个黑色三角形在进行顺时针旋转，每次旋转都是隔一格，故选A.
2．若aA.<
B．a＋>b＋
C．b＋>a＋
D.<
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
答案　C
解析　取a＝－2，b＝－1，验证可知C正确．
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n个正方形点数是(　　)
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．(n＋1)2 D．n2
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　由题意可知第n个正方形点数为n2.
4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)
A. B.
C. D．不可类比
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线的类比
答案　C
解析　扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇＝.
5．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
答案　A
解析　这个三段论的推理形式是，大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
6．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到(　　)
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　D
解析　利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
7．定义运算：x?y＝例如3?4＝4，则下列等式不成立的是(　　)
A．x?y＝y?x
B．(x?y)?z＝x?(y?z)
C．(x?y)2＝x2?y2
D．c·(x?y)＝(c·y)?(c·x)(c>0)
考点　合情推理的综合应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　C
解析　由定义可知：“?”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的．
8．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
考点　综合法及应用
题点　综合法的应用
答案　D
解析　因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又因为a2＋b2＋c2≥0，
所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.
二、填空题
9．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　(1 009,1 008)
解析　观察已知得点(1,0)处标1，即12，
点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，
由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2.
当2n＋1＝2 017时，n＝1 008，
∴标签为2 0172的格点的坐标为(1 009,1 008)．
10．已知＝2，＝3，＝4，…，＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　41
解析　由题意归纳推理得＝6，b＝62－1＝35，a＝6.
∴a＋b＝6＋35＝41.
11．已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________．
考点　
题点　
答案　S4＝56
解析　显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.
12．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截的线段的比值为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍，可以从给出的简单图形(如图①②所示)中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是＋＝1与x2＋y2＝a2(a>0，b>0)，运用上面的原理，则该图中椭圆的面积为________．
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　abπ
解析　设直线的方程为x＝m(－a三、解答题
13．用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg≥；
(2)6＋>2＋2.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg(ab)＝.
(2)要证＋>2＋2，
只需证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
∴原不等式成立．
四、探究与拓展
14．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
考点　
题点　
答案　B
解析　进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．
若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；
若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若a≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意．
综上可知，5号学生进入30秒跳绳决赛．
15．已知α∈(0，π)，试用多种方法求证：2sin 2α≤.
证明　方法一　(分析法)
要证明2sin 2α≤成立，
只要证明4sin αcos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
∴只要证明4cos α≤.
上式可变形为4≤＋4(1－cos α)．
∵α∈(0，π)，∴1－cos α>0，
∴＋4(1－cos α)
≥2 ＝4，
当且仅当＝4(1－cos α)，
即cos α＝，α＝时取等号．
∴4≤＋4(1－cos α)成立，
∴不等式2sin 2α≤成立．
方法二　(综合法)
∵α∈(0，π)，∴1－cos α>0.
∴＋4(1－cos α)
≥2＝4，
当且仅当＝4(1－cos α)，
即cos α＝，α＝时取等号．
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
∴4sin αcos α≤，
∴2sin 2α≤.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．流程图只有1个起点和1个终点
B．程序框图只有1个起点和1个终点
C．结构图只有1个起点和1个终点
D．以上都不对
答案　B
解析　由概念可判断：流程图(不含程序框图)、结构图可有多个终点，而程序框图只有1个起点和1个终点．
2．下列关于结构图的说法不正确的是(　　)
A．结构图中各要素之间表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构
C．简洁的结构图能清晰地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中的各细节要素及其关系
答案　B
解析　由结构图的概念及应用可知，A，C，D正确．结构图有两种：“树”形结构和“环”形结构．
3．在下面的图示中，是结构图的为(　　)
A.
B.
C.→→→
D.
答案　B
4．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，此时输出s＝，故选D.
5．把－1输入如图所示的程序框图，则输出的结果是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
答案　A
解析　本程序框图的算法结构所对应的函数为
y＝故选A.
6．阅读如图所示的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写(　　)
A．i>6?
B．i≥6?
C．i<6?
D．i≤7?
答案　C
解析　第一次执行循环体时，s＝1，i＝3；第二次执行循环体时，s＝－2，i＝5；第三次执行循环体时，s＝－7，i＝7.所以判断框内可以填写“i<6？”，故选C.
7.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)
A．26 B．24 C．20 D．19
答案　D
解析　由A向B传递信息共有4条线路．第一条A—D—C—B线，传递的最大信息量为3，第二条A—D—E—B线，传递的最大信息量为4，第三条为A—G—F—B线，第四条为A—G—H—B线，要使从A到B有最大的信息量通过，G—F的信息量为6，H—B的信息量为6.所以最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
8．学校成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师组成的结构图正确的是(　　)


答案　A
9．关于集合运算的结构图如图所示，在框①中应填入(　　)
A．空集 B．补集
C．子集 D．全集
答案　B
10．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为(　　)
A．程序流程图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
答案　A
11．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是(　　)
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
A．①②③④ B．①④②③
C．①③②④ D．②①③④
答案　C
解析　平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.
12．如图所示的程序框图所进行的运算是(　　)
A．1＋＋＋…＋ B．1＋＋＋…＋
C.＋＋＋…＋ D．1＋＋＋…＋
答案　C
解析　当i＝1时，n＝2，s＝s＋＝0＋；
当i＝2时，n＝4，s＝＋；…；
当i＝10时，n＝2＋2＋…＋2＝20，
s＝＋＋…＋，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图，则空白部分应为________．
答案　解方程组
14．如图所示是地球温室效应图，则该图是________．(填“结构图”或“流程图”)
答案　流程图
解析　该图表述的是动态过程，应填“流程图”．
15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
答案　127
解析　由程序框图知，循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出的结果是127.
16．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：
①为________，②为________，③为________．
答案　地龟　哺乳动物　长尾雀
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知书；②缴费；③班级注册，领书及宿舍钥匙，办理伙食卡；④参加年级迎新大会．
请用框图表示新生入学注册的步骤．
解　流程图如图所示．
18．(12分)设汽车托运重量为P(kg)的货物时，每千米的费用(单位：元)标准为
y＝
画出行李托运费用的程序框图．
解　程序框图如下．
19．(12分)银行可办理房屋抵押贷款手续．先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．
解　流程图如图所示．
20．(12分)某地行政服务中心办公分布结构如下．
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心，这三个部门在一楼，
其余局、委办理窗口分布在其他楼层；
(2)二楼：公安局、民政局、财政局；
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；
(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局；
(5)五楼：其余部门办理窗口．
试绘制该中心的结构图．
解　结构图如图所示．
21．(12分)绘制“直线与方程”这一部分内容的知识结构图．
解　结构图如图所示．
22．(12分)在没有红绿灯的情况下，过马路的流程如下：向左看，再向右看，如果没有来往车辆，过马路；如果有来往车辆，等待一段时间，再来一遍．试用流程图表示这一过程．
解　流程图如图所示．

§1　流程图
学习目标　1.通过实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图.2.能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决问题中的作用．
知识点一　流程图
思考　在流程图中，基本元素之间用什么线连接？
答案　用流程线连接．
梳理　流程图
(1)构成元素：图形符号，文字说明，流程线．
(2)起点与终点：通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．
(3)顺序：从左到右，从上到下．
(4)常见的流程图：程序框图和工序流程图．
(5)优点：流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到广泛应用．
知识点二　工序流程图
描述工业生产流程的流程图.
类型一　常见流程图及应用

例1　已知函数f(x)＝设计一个输入x值，输出y值的程序框图．
解　程序框图如图所示．
引申探究
若将本例中的函数关系式改为y＝设计一个输入x值，输出y值的程序框图．
解　程序框图如图所示．
反思与感悟　分段函数因包含多种情况，故需采取条件结构即判断框分情况进行．
跟踪训练1　已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D.
答案　A
解析　这是一个循环结构，通过计算a的前三个值依次为，－1,2，因此输出的a值具有周期性，且周期为3，所以最后输出的值为－1.

例2　某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品．画出生产该产品的工序流程图．
解　生产该产品的工序流程图如图．
反思与感悟　工序流程图可以展示工序的流程顺序，帮助我们安排工程作业进度，分配、调配工程作业人员，以便节省时间、提高效率、缩短工期．
跟踪训练2　在工业上用黄铁矿制取硫酸大致经过三道程序：造气、接触氧化和SO3的吸收．造气：黄铁矿和空气在沸腾炉中反应产生SO2，矿渣作废物处理，SO2再经过净化处理；接触氧化：使SO2在接触室中反应产生SO3和SO2，其中SO2再循环进行接触氧化；SO3的吸收：SO3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请根据上述简介，画出制取硫酸的工序流程图．
解　按照工序要求，可以画出如图所示的工序流程图．
类型二　绘制工序流程图的步骤与方法
例3　要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁和工程设计可以同时进行．如果工程设计分为两部分，那么就是土建设计与设备采购，这两项又可以同时进行．显然，当拆迁工作和土建设计进行完后，才能进行厂房土建工程，在厂房土建工程和设备采购进行完后，才能进行设备安装、调试，待此工序完成后，才能进行试生产．根据上述简介画出工序流程图．
解　分析过程后，列表如下．(紧前工序是指前一道工序)
工序代号
工序名称
所需工时
紧前工序
A
拆迁
略
——
B
工程设计
略
——
C
土建设计
略
B
D
设备采购
略
B
E
厂房土建工程
略
A，C
F
设备安装
略
D，E
G
设备调试
略
F
H
试生产
略
G
工序流程图如图所示．
反思与感悟　要画工序流程图，首先要弄清整项工程应划分为多少道工序；其次是仔细考虑各道工序之间的先后顺序及相互联系、制约的程度；最后要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行．总之，画工序流程图，应统筹兼顾，符合逻辑上的先后顺序，这样在照图执行时才能减少、甚至杜绝“窝工”现象的发生．
跟踪训练3　机床的大修有如下的工作项目：拆卸清洗、部件检查、零件加工、零件修理、床身和工作台研合、部件组装(不含电器)、变速器组装、试车．试画出其工序流程图．
解　工序流程图如图所示．
1．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用(　　)
A．程序框图 B．工序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图
答案　B
解析　工序流程图是描述产品生产工序的框图．
2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于(　　)
A．－3 B．－10 C．0 D．－2
答案　A
解析　(1)s＝2×1－1＝1，k＝2；
(2)s＝2×1－2＝0，k＝3；
(3)s＝2×0－3＝－3，k＝4，输出－3.
3．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．
答案　3
解析　这是一个实际问题，观察流程图可知，有3个判断框，即3处环节可能不被审查通过．
4．某工程由表中所列工序组成，则完成该工程总时数为________天.
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
－
－
a，b
c
c
d，e
工时数(天)
2
3
2
5
4
1
答案　11
解析　按倒序分析如下：①完成f需1天(需在d，e完成之后)；②d，e可并行，完成d，e需5天(需在c完成之后)；③完成c需2天(需在a，b完成之后)；④a，b可并行，无前置限制，因此完成a，b需3天．其工序流程图如图所示．所以工程总时数应为1＋5＋2＋3＝11(天)．
5．在近年的高考中更注重考一些实际应用问题，对于实际应用问题通常可以建立数学模型来解决，具体方法是：从实际情景中提出问题，根据问题建立数学模型，得出数学结果，经检验，若不合乎实际，则要重新提出问题，合乎实际，则问题解决，请用流程图表示数学建模的过程．
解　流程图如图所示．
画工序流程图应遵循的一般原则
(1)从需要管理任务的总进度着眼，进行合理的工作或工序的划分．
(2)明确各工作或工序之间的关系，即①衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序；②平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行；③交叉关系，一些工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．
(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后再对每一环节进行逐步细化.

一、选择题
1．图中①②分别表示(　　)
A．终端框、处理框 B．流程线、判断框
C．流程线、处理框 D．注释框、判断框
答案　B
2．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则以下流程中正确的是(　　)
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
答案　C
解析　打开电子信箱后，先点击“写邮件”，然后再输入．
3．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是(　　)
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
答案　A
4．下列表示旅客搭乘火车的流程中正确的是(　　)
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
答案　A
5．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是(　　)
―→―→―→―→
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
答案　C
6．如图所示是求经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线斜率的流程图，则空白处应填(　　)
A．x1＝x2? B．x1≠x2?
C．y1＝y2? D．y1≠y2?
答案　A
二、填空题
7．下图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则①②处应填入的内容为①________；②________.
答案　画散点图　求函数表达式
8．试判断如图所示的流程图是否最优：________.(填“是”或“否”)
→→→
答案　否
解析　“听音乐”可以和“沏茶”“喝茶”“吃点心”同时进行．
9．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床铺4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟，要完成这些事情，小明至少要花费的时间为________分钟．
答案　17
10．下面的程序框图输出的结果是________．
答案　20
解析　该程序框图中的问题即为求S＝1×5×4的值， 所以输出的结果为20.
11．小宁中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除④之外，一次只能进行一道工序．小宁要将面条煮好，最少用________分钟．
答案　15
解析　第一步：洗锅盛水2分钟；第二步：把水烧开10分钟，同时洗菜6分钟，准备面条及佐料2分钟，总计10分钟；第三步：用烧开的水煮面条和菜要3分钟．
总计共用2＋10＋3＝15(分钟)．
三、解答题
12．汽车保养流程是：顶起车辆、润滑部件、调换轮胎、更换机油、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解　流程图如图所示．
13．考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜．如果是新考生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书，设计一个流程图，表示这个考试流程．
解　用流程图表示考试流程如图所示．
四、探究与拓展
14．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
15．王芳某天计划完成以下事情：A.去菜市场买菜(20分钟)；B.整理房间(10分钟)；C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)；D.洗衣机洗衣服(40分钟)；E.晾衣服(5分钟)．根据所讲内容回答第(1)(2)题．
(1)分析上述各项工作之间的先后关系，写出四种工作流程；
(2)指出上述哪条路径是关键路径，并确定完成该工作的最短时间．
解　(1)根据题意，计划完成以下事情，四种工作流程是：
方法①：A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；
方法②：B.整理房间(10分钟)→A.去市场买菜(20分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；
方法③：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)→A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)；
方法④：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)，同时进行A：到菜市场买菜(20分钟)和B.整理房间(10分钟)→E.晾衣服(5分钟)．
(2)上述方法中买菜、洗衣、整理房间是关键路径，完成这些工作的最短时间是方法④，为3＋40＋5＝48(分钟)．
§2　结构图
学习目标　1.通过具体实例，了解结构图.2.会画简单问题的结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用.3.能够解读结构图，并灵活运用结构图．
知识点一　结构图
思考　如何确定结构图中各元素之间的关系？
答案　上下位元素之间是从属或逻辑关系，同一元素的下位元素之间一般是并列关系．
梳理　(1)结构图的概念
一种描述系统结构的图示．
(2)结构图的构成
一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．
(3)结构图中各要素之间的关系
知识点二　结构图的分类
思考　组织结构图有什么作用？
答案　组织结构图可以反映一个部门或组织的构成．
梳理　(1)按功能分类
(2)按结构图形状分类，可分为“环”形结构图和“树”形结构图.
类型一　组织结构图
例1　某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．
解　该校的行政组织结构图如图所示．
反思与感悟　组织结构图一般是“树”形结构．这种图直观，容易理解，被应用于很多领域．在组织结构图中，可采用从上到下或从左到右的顺序绘制，注意各要素之间的关系，并对整个组织结构图进行浏览处理，注重美观、简洁、明了．
跟踪训练1　以下为某集团组织结构图，请据图分析财务部和人力资源部的隶属关系．
解　由组织图分析可得，
财务部直属总裁管理，而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会管理．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理又由董事长管理，董事长又服从于董事会管理，董事会是最高管理部门．
类型二　知识结构图
例2　请画出“函数”一章的知识结构图．
解　函数主要研究其概念、性质和图像．
知识结构图如图．
反思与感悟　画知识结构图的方法
(1)分析知识结构
首先整体把握知识块构成，再由逻辑关系找主线，从属关系找分支，进而确定要素及要素的排列顺序．
(2)各要素的呈现形式
①从上到下或从左到右；
②从属关系使用“树”形结构，逻辑的先后关系使用“环”形结构．
跟踪训练2　画出“三角函数”一章的知识结构图．
解　“三角函数”一章的知识结构图如图所示．
1．下列框图中不是结构图的是(　　)
A.→→
B.→→
C.→→→
答案　C
解析　选项C是流程图．
2．如图是学校学生会的组成结构，那么它属于(　　)
A．流程图 B．程序框图
C．结构图 D．A，B，C都不对
答案　C
解析　结构图一般按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按箭头所指方向)表示各要素之间的从属关系或逻辑的先后顺序．
3．根据下列结构图，总经理的直接下属是(　　)
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和七个部
答案　C
解析　由结构图可知，总经理直接领导总工程师、开发部和专家办公室．
4．如图所示的是一商场某段时间制订销售计划时的局部结构图，则影响“计划”的主要要素有________个．
答案　3
解析　影响“计划”的主要要素是其上位要素：政府行为、策划部和社会需求，故填3.
5．画出已学过的“数系”的结构图．
解　结构图如图所示．
1．知识结构图的原则
(1)呈现原则：①从上到下，由左到右的原则；②从属关系用“树”形结构，逻辑关系用“环”形结构．
(2)详略原则：当反映以系统为主体要素之间的关系时，应略．反之，应详．下位要素越多，结构图越复杂．
2．绘制结构图的具体步骤
(1)确定组成结构图的基本要素及它们之间的关系．
(2)将系统的主体要素及它们之间的关系表示出来．
(3)确定主体要素的下位要素(从属于主体要素的要素)．
(4)逐步细化各层要素，直到将整个系统表示出来为止.
一、选择题
1．要描述一工厂的组成情况，应用(　　)
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
答案　D
解析　∵组织结构图是最常见的表现雇员、职称和群体关系的一种图表，它形象地反映了组织内各机构、岗位上下、左右相互之间的关系．
组织结构图是组织结构的直观反映，也是对该组织功能的一种侧面诠释．故要描述一工厂的组成情况，应用组织结构图，故选D.
2．如图所示的是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是(　　)
A．“概念”与“分类”是从属关系
B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．“数列”与“等差数列”是从属关系
D．“数列”与“等比数列”不是从属关系
答案　C
3．某电脑由以下设备与主机相连，如图所示，则外存储器是指(　　)
A．显示器 B．打印机
C．游戏杆 D．磁盘驱动器、磁带机
答案　D
4．在下图中，是结构图的是(　　)
A.→→→
B.
C.
D.
答案　B
5．用结构图描述四种命题关系，如图所示：
其中表示互逆关系的是(　　)
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案　A解析　根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③.
6．如图是“集合”的知识结构图，若要加上“子集”，则应该放在(　　)
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
答案　C
解析　子集是集合与集合之间的基本关系，故应放在“基本关系”的下位．
二、填空题
7．如图所示，等边三角形可排在构成要素________之后．
答案　①
解析　等边三角形是各内角均为60°的锐角三角形．
8．如图，“求简单函数的导数”的“上位”要素有______个．
答案　2
解析　“求简单函数的导数”的上位要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”2个.
9．某学校的组织结构如图所示，则保卫科的直接领导是____________．
答案　副校长乙
10．如图所示的结构图中，有________个“环”形结构．
答案　4
三、解答题
11．据有关人士预测，我国的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民的消费热点是住房、家电．试设计表示消费情况的结构图．
解　消费情况的结构图如图所示．
12．国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图所示．
(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？
(2)某人在建材装修方面遇到法律咨询方面的需求应如何办理？
解　(1)搜索租房信息：打开网站→房产首页→租房搜索．
(2)建材装修方面法律咨询：打开网站→房产首页→建材装修→律师楼．
13．北京期货商会组织结构设置如下：
(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共辖理事会；
(2)会长办公会里设会长，会长管理秘书长；
(3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．
根据以上信息绘制组织结构图．
解　绘制组织结构图如图所示．
四、探究与拓展
14．下列说法不正确的是(　　)
A．流程图通常有一个起点，一个或多个终点
B．程序框图是流程图的一种
C．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成
D．流程图和结构图是解决同一个问题的两种不同的方法
答案　D
15．阅读下面文字，然后按获取的信息画出结构图．
英国物理学家汤姆生对阴极射线进行了一系列实验研究．直到1897年，他根据阴极射线在电场和磁场中偏转断定它的本质是带负电的粒子流，这一粒子流的组成成分就是后来我们所知道的电子，随着对电子的认知，他提出了一种正负电荷在原子内的存在模型——枣糕模型．但英籍物理学家卢瑟福用α粒子散射实验推翻了汤姆生最初的“枣糕模型”，从而确定了卢瑟福的核式结构模型．随着科技的发展，人们又知道质子与中子组成了原子核，原子核间的作用力可以释放出巨大的能量，这就是我们所熟悉的核能．
解　结构图如图所示．
章末复习
学习目标　1.了解流程图及其画法.2.了解结构图及常见的结构图．
知识点一　流程图
流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．
流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．流程图可以直观、清楚地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到了广泛应用．例如，描述算法的程序框图、描述工业生产流程的工序流程图、描述去医院看病过程的诊病流程图等．
知识点二　结构图
1．结构图是一种静态图示，是一种描述系统结构的图示．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．连线通常按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示各要素之间的从属关系或逻辑的先后关系．
2．常见结构图

3．结构图中的从属关系通常是“树”形结构，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．
4．在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达逻辑先后关系时出现．
5．结构图还经常用来表示一个组织的构成，组织结构图一般呈“树”形结构.
类型一　流程图的画法及应用
例1　商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量．你能用流程图表示出来吗？
解　方法一　派出调研人员赴北京、上海、广州三地调研，待调研人员回来后决定生产数量．具体过程如图(1)．
―→―→―→―→
(1)
方法二　商场如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产，需添加力量，齐头并进(即平行工序)搞调研，以便提早结束调研，尽早投产使产品占领市场．具体过程如图(2)．
(2)
反思与感悟　流程图具有简洁、明了、高效的优点，日常生活中应用非常广泛，正确解读流程图是应用的前提．
跟踪训练1　如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图．
根据此流程图可回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解　(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
类型二　结构图的画法及应用
例2　画出《数学必修3》第二章“统计”的知识结构图．
解　知识结构图如图所示．
反思与感悟　在画结构图时应注意以下几点：
(1)画结构图与流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后按照逻辑的先后关系或从属关系用连线来注明各要素之间的关系．
(2)一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．所以，画结构图时，应该根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．
跟踪训练2　在高中阶段，我们学习了各个领域的许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域，学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域，学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．试根据上述信息设计一个学习知识结构图．
解　学习知识结构图如图所示．
1．个人求职流程图如下，其中空白处应为(　　)
A．仔细调查用人单位情况
B．认真学习求职登记表
C．仔细填写登记表
D．到用人单位上班
答案　C
2．画某校学生会、某公司的组织结构图时，所用的结构图为(　　)
A．环形 B．树形
C．树或环形 D．以上均不可以
答案　B
3．“实数”的结构图如图所示，其中1,2,3这三个方格中的内容分别为(　　)
A．有理数、零、整数 B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数 D．整数、有理数、零
答案　B
4．芳芳在一个早晨要完成这样几件事，所需的时间如图：
经过合理安排，最少用________分钟就可以去上学．
答案　20
5．某公司的组织结构是：总经理下设执行经理、人事经理和财务经理，执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理，生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．试画出组织结构图．
解　组织结构图如图所示．
1．流程图的画法
(1)分解步骤：将整个过程分解为若干个基本单元．
(2)理清关系：分析各个基本单元之间的逻辑关系．
(3)表述关系：将各个基本单元用简洁的语言或符号表述出来．
(4)画图连线：绘制框图，并用流程线连接起来．
2．结构图的画法
(1)确定基本元素：确定组成结构图的基本元素．
(2)确定关系：确定基本元素之间逻辑的先后顺序或从属关系．
(3)画图连线：绘制框图，并用连线或方向箭头连接起来．
一、选择题
1．如图所示的结构图中“古典概型”的上位是(　　)
A．频率 B．随机事件
C．频率、概率的意义与性质 D．概率的应用
答案　C
2．如图所示是解决数学问题思维过程的流程图，在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　)
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
答案　A
3．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收费7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收费2.6元，如果超过2公里额外收取燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填(　　)
A．y＝7＋2.6x
B．y＝8＋2.6x
C．y＝7＋2.6(x－2)
D．y＝8＋2.6(x－2)
答案　D
解析　当x>2时，2公里内的收费为7元，
2公里外的收费为(x－2)×2.6，
另外燃油附加费为1元，
∴y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)．
4．如图是某工厂从工程设计B到试生产H的工序流程图，方框上方的数字为这项工序所用的天数，则从工程设计到结束试生产需要的最短时间为(　　)
A．22天 B．23天
C．28天 D．以上都不对
答案　C
解析　由已知中的工序流程图可得
由A到H需要8＋7＋5＋2＝22(天)，
由B经C到H需要10＋4＋7＋5＋2＝28(天)，
由B经D到H需要10＋6＋5＋2＝23(天)，
由G到H需要4＋5＋2＝11(天)，
而从工程设计到结束试生产需要的最短时间为这几个时间中的最大值，
故从工程设计到结束试生产需要的最短时间为28天．
5．在工商管理学中，MRP指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．从图中能看出影响基本MRP的主要因素的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　组织结构图是从上往下画的，
从图中可以看出，“基本MRP”隶属“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”的共同下级，受它们的共同影响，
所以影响基本MRP的主要因素是“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”，共3个主要因素．
二、填空题
6．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下图像描述：
则在①中应填入________；在②中应填入________．
答案　菱形　直角梯形
解析　由题意知，①对应的四边形是一个有一组邻边相等的平行四边形，
∴①处是一个菱形；
②处的图形是一个有一条腰和底边垂直的梯形，
∴②处是一个直角梯形．
7．如图是求实数x的绝对值的程序框图，则判断框①中可填________．
答案　x≥0?
8．已知某一项工程的工序流程图如图所示，其中时间单位为“天”，根据这张图就能算出工程的工期，则这个工程的工期为________天．
答案　10
解析　由题意可知，工序①→工序④工时数为2，工序④→工序⑥工时数为2，工序⑥→工序⑦工时数为5，工序⑦→工序⑧工时数为1，
所以所用工程总时数为2＋2＋5＋1＝10(天)．
9．如图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．
答案　数乘
解析　“向量共线的充要条件”是“数乘向量的应用”，
故在知识结构图中，“向量共线的充要条件”应该放在“数乘”的关系后面，即它的下位．
10．已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图.
①处应填写________；②处应填写________．
答案　x<2？　y＝log2x
解析　∵满足判断框中的条件执行y＝2－x，
∴①处应填“x<2？”．
不满足x<2，即当x≥2时，y＝log2x，
故②处应填“y＝log2x”．
11．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．
答案　3
解析　由题意可画出工序流程图如下图所示．
∵总工期为9天，
∴2＋x≤5，
∴x≤3.
∴完成工序C的最长时间为3天．
三、解答题
12．试描述判断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法，画出程序框图．
解　直线与圆的位置关系有三种，相离、相切、相交．如果圆心到直线的距离d＞r，则直线与圆相离；d＝r，则直线与圆相切；d算法如下：
第一步：输入圆心的坐标(a，b)，直线方程的系数A，B，C和圆的半径r；
第二步：计算z1＝Aa＋Bb＋C；
第三步：计算z2＝A2＋B2；
第四步：计算d＝；
第五步：如果d>r则相离；
如果d＝r则相切；
如果d程序框图如图所示．
13．小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．
请用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来．
解　结构图如图所示．
四、探究与拓展
14．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在下列哪个函数的图像上(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2x
C．y＝2x D．y＝2x－1
答案　D
解析　由程序框图知，输出的(x，y)所对应的点依次是(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，这些点都在函数y＝2x－1的图像上．
15．A，B，C，D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？
解　由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟．A用时最长，D用时最短．
对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A用了5分钟，而D除了等A灌满水5分钟外加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12(分钟)．
反过来，如果将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9(分钟)．
相比较，第二种方案用时少于第一种，由此可以得出这样的结论：
把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短，按占用时间由少到多的顺序安排四个人为D，B，C，A.等候时间：
D打水时，需耗用A，B，C，D四人时间，即2×4＝8(分钟)；
B打水时，需耗用A，B，C三人时间，即3×3＝9(分钟)；
C打水时，需耗用A，C两人时间，即4×2＝8(分钟)；
A打水时，需耗用5分钟．
故总共用去8＋9＋8＋5＝30(分钟)．
综上，按D，B，C，A的顺序安排4人打水所花的总时间最少，最少为30分钟．
滚动训练三(§1～§2)
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是(　　)
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
考点　
题点　
答案　B
解析　设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2(舍负)，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；
当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”不是“(a＋bi)2＝2i”的必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
4．设复数z＝，则z·等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　∵z＝＝＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－1 B．0 C．i D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．－
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　由题意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点　共轭复数的定义及应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　D
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
二、填空题
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　－2i
解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的几何意义
答案　一
解析　z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则
4a＋1－b的最小值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　2
解析　复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2 ＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
三、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点　复数四则运算的综合运算
题点　复数的混合运算
解　(1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝，求|z1|；
(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
解　∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵·(3＋i)为纯虚数，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
(1)z1＝＝＝－－i，
∴|z1|＝ ＝.
(2)∵z＝1－3i，
z2＝＝＝，
又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴解得
∴－3四、探究与拓展
14．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)
A.＋ B.＋
C.－ D.－
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
答案　C
解析　复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及圆内部分．
y≥x是图中阴影部分，如图，
复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
则y≥x的概率为＝－.
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与四则运算有关的问题
(1)解　因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i.
因为ω是实数，且y≠0，
所以y－＝0，即x2＋y2＝1.
所以|z|＝1，此时ω＝2x.
又－1<ω<2，所以－1<2x<2.
所以－即z的实部的取值范围是.
(2)证明　μ＝＝
＝
＝.
又x2＋y2＝1，所以μ＝－i.
因为y≠0，所以μ为纯虚数．
章末检测试卷(四)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应
答案　A
2．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A．－1－i B．1＋i
C．1－i D．－1＋i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　C
解析　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i.
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．i(1＋i)2 D．i(1＋i)
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数的乘除法运算法则
答案　A
解析　A项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选A.
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　A
解析　因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.
因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
7．已知复数z＝－＋i，i为虚数单位，则＋|z|等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的运算法则
答案　D
解析　因为z＝－＋i，
所以＋|z|＝－－i＋ 
＝－i.
8．已知i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于(　　)
A．1 B. C. D.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝i，∴z＝＝＝(1＋i)，
则|z|＝.
9．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－ C.i D．－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　∵i4＝1，∴i2 016＝(i4)504＝1，
∴z＝＝，则＝－i，∴的虚部为－.
10．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　D
解析　z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
11．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，则z2等于(　　)
A．1－i B．1＋i
C.＋i D.－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　B
解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i，
由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，
则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.
所以z2＝1＋i.
12．若A，B是锐角三角形ABC的两内角，则复数z＝(cos B－sin A)＋(sin B－cos A)i在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵A，B是锐角三角形ABC的两内角，
∴A＋B>，①
由①得A>－B.
∵A，B为锐角三角形ABC的内角，
∴A∈，－B∈.
又正弦函数在上是增加的，
∴sin A>sin，即sin A>cos B，
∴cos B－sin A<0.
又由①可得B>－A，
∴同理可得sin B>sin，
即sin B>cos A，∴sin B－cos A>0，
∴z在复平面内所对应的点在第二象限．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的方程问题
答案　－3
解析　∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，
则a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3.
14．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　
解析　z＝－(－i)，|z|＝，∴z·＝|z|2＝.
15．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　
解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，
∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)
＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
又∵z1·2是实数，
∴4t－3＝0，即t＝.
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　⑤
解析　由y∈?CR知，y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z满足|z|＝，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．
(1)求复数z；
(2)若m2＋m＋mz2是纯虚数，求实数m的值．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a2＋b2＝2，b＝1.
因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a<0，
所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.
(2)由(1)得z＝－1＋i，
所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，
所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.
又因为m2＋m＋mz2是纯虚数，
所以所以m＝－1.
19．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
考点　转化与化归思想在复数中的应用
题点　转化与化归思想的应用
解　因为z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，
2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|
＝|4－a＋2i|＝，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1,7)．
20．(12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·2的值．
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的综合应用
解　(1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋i，
∵z1＋z2是纯虚数，∴则m＝1.
(2)由(1)得z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则2＝－1－i，
∴z1·2＝
＝－2＝－＝－－i.
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.综上，△ABC的面积为1.
22．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.

§1　数系的扩充与复数的引入
1．1　数的概念的扩展
1．2　复数的有关概念(一)
学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一　复数的概念及复数的表示
思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理　复数及其表示
(1)复数的定义
①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；
②若a∈R，b∈R，则形如a＋bi的数叫作复数．
(2)复数的表示
①复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)；
②对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.
知识点二　复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示
知识点三　两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)
2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)
类型一　复数的概念
例1　(1)给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(1)C　(2)±，5
解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确；
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确；
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确．
∴只有③⑤正确．
(2)由题意知∴a＝±，b＝5.
反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，故②错误．显然③正确．故选B.
类型二　复数的分类
例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)复数z是虚数的充要条件是

解得m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是

解得
故m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，求m为何值时，z为实数．
解　由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是

解得
故m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案　3或－2
解析　由题意知解得m＝3或－2.
反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2　当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是
(1)纯虚数；(2)实数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则解得m＝4.
故当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数．
(2)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
则解得m＝－2或m＝－3.
故当m＝－2或－3时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i为实数．
类型三　复数相等
例3　(1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　
解析　由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，
由此得解得m＝.
(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以　即
所以a＝－1.
反思与感悟　(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　)
A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2 C．1 D．－1或2
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　D
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由题意知得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　因为a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.
而当复数a＋bi是纯虚数，则a＝0一定成立．
所以a，b∈R，a＝0是复数a＋bi是纯虚数的必要不充分条件．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
考点　复数的概念
题点　求复数的实部和虚部
答案　A
解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A. B．2 C．0 D．1
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝1.
4．下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错，故选A.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　B
解析　由题意，得
解得k∈Z，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A．7 B．－ C．－7 D．－7或－
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　C
解析　∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，
∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，
则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由得m＝－2.
9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　充分不必要
解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　0或1
解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，解得m＝0或1.
11．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析　若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
12．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N＋，则m＋n＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　1或2
解析　由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由log(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由log(m＋n)≥－1，得0∴－3∴或
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使z是实数，m需满足解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足解得m＝0或m＝－2.
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得解得
15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足(M∩N)?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
1.2　复数的有关概念(二)
学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
知识点一　复平面
思考　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．
梳理　当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二　复数的几何意义
知识点三　复数的模或绝对值
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.
两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　×　)
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
类型一　复数的几何意义
例1　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
类型二　复数的模
例2　已知复数z1＝－i，z2＝cos θ＋isin θ.
(1)求|z1|及|z2|，并比较它们的大小；
(2)设z∈C，点Z为z在复平面内所对应的点，则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z构成了什么图形？
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　(1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1.
因为2>1，所以|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．
反思与感悟　利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
跟踪训练2　已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，).
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z的对应点的轨迹是(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　A
解析　由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．
3．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1或a>1 B．－1C．a>1 D．a>0
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求参数
答案　B
解析　因为|z1|＝，|z2|＝＝，
所以<，即a2＋4<5，
所以a2<1，即－14．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　3
解析　复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.
5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由得
所以－7(2)由得
所以m＝4.

1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，
故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．
2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　A
解析　由题意得解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(2,5) B．(2,3)
C．(2，) D．(2，)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　C
解析　由题知z＝a－2i，所以|z|＝，
又a∈(0,1)，所以|z|∈(2，)．
5．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0或a＝2 D．a＝0
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
6．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝－1(舍正)，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　D
解析　设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得
∴或
二、填空题
8．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________________．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　(x－2)2＋y2＝8
解析　由模的计算公式得＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
10．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，
即故
所以|x＋yi|＝＝.
11．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，
因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝＝
＝ ＝ .
因为－1三、解答题
12．求实数m的值，使复数z＝m(m－1)＋(m－1)i对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由复数z对应的点位于实轴上，可得m－1＝0，
解得m＝1，即当m＝1时，复数z对应的点位于实轴上．
(2)由复数z对应的点位于第一象限，可得
解得m>1，即当m>1时，复数z对应的点位于第一象限．
(3)由复数z对应的点位于第四象限，可得
解得m<0，即当m<0时，复数z对应的点位于第四象限．
13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－＋i，－－i，并求出它们的模．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－＋i，－－i，与之对应的向量可用，，来表示．
|1|＝1，
＝ ＝，
＝ ＝1.
四、探究与拓展
14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　二
解析　因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
所以所以
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
15．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　方法一　|z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
§2　复数的四则运算
2．1　复数的加法与减法
学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点　复数代数形式的加减法
思考　类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
梳理　(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)
2．复数的加、减法满足交换律和结合律．(　√　)
类型一　复数的加法、减法运算
例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　(1)－1　(2)1＋i
解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟　(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1　(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋i，则z＝________.
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)i
解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋i，
∴解得　∴z＝i.
类型二　复数加、减法的应用
例2　(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．
解　因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
②因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
解　根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形．
如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，
∴||＝||，对应的复数为z1＋z2，∴||＝.
在△AOC中，||＝||＝1，||＝，
∴∠AOC＝30°.
同理得∠BOC＝30°，
∴△OAB为等边三角形，则||＝1，对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1.
引申探究　
若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|.
解　如例2(2)解析中的图，向量表示的复数为z1－z2，∴||＝1，
则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°.
取AB与OC的交点为D，
则||＝，∴||＝，而表示的复数为z1＋z2，
∴|z1＋z2|＝.
反思与感悟　(1)技巧：
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形：
①OACB为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2　(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．
答案　(1)　(2)(－∞，1)
解析　(1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
1．已知复数z1＝－i和复数z2＝cos 60°＋isin 60°，则z1＋z2等于(　　)
A．1 B．－1
C.－i D.＋i
答案　A
解析　∵z2＝＋i，∴z1＋z2＝1.
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
答案　C
解析　＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案　－1
解析　 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．
答案　5－2i
解析　设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
答案　A
解析　z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即　∴x＝y＝1，则xy＝1.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
答案　C
解析　z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知　解得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，则z等于(　　)
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
答案　D
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则　解得
∴z＝＋i.
4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)
A. B．5
C. D．5
答案　D
解析　∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝|z1－z2|＝5.
5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
答案　C
解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴　解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
6．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
答案　A
解析　由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．
7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
答案　D
解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝.
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
二、填空题
8．计算(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.
答案　－10i
解析　(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－5－1－4)i＝－10i.
9．已知x，y∈R，i为虚数单位，(x－2)i＋3－y＝1－i，则x－y－(x＋y)i＝________.
答案　－1－3i
解析　依据复数相等的条件，得到
即所以x－y－(x＋y)i＝－1－3i.
10．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
答案　－4i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵z＝|z|－3－4i，∴a＋bi＝－3－4i，
∴解得
∴z＝－4i.
11．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
答案　5－9i　－8－7i
解析　∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
三、解答题
12．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
13．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
四、探究与拓展
14．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________．
答案　
解析　∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半
径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识易知，的最大值为.
15．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
2.2　复数的乘法与除法
学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点一　复数的乘法及其运算律
思考　怎样进行复数的乘法运算？
答案　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理　(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二　共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即当z＝a＋bi时，＝a－bi.
知识点三　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(　√　)
2．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)
类型一　复数代数形式的乘法运算
例1　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.
(2)已知复数z1＝(1＋i)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
答案　(1)－3　(2)4＋2i
解析　(1)由(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
(2)z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
引申探究
1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a＋i)表示的点在第二象限，则a的取值范围是____________．
答案　
解析　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，
由题意知解得－2．将本例(2)中“z1·z2是实数”改为“z1·z2是纯虚数”，
求z2.
解　由例1(2)知，z1·z2＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1·z2是纯虚数，∴
解得a＝－1，∴z2＝－1＋2i.
反思与感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
答案　2
解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i，
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
类型二　复数代数形式的除法运算
例2　(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A．M B．N C．P D．Q
答案　D
解析　由题图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
(2)计算：①－；
②＋－.
解　①方法一　－
＝
＝＝＝2i.
方法二　－
＝－
＝i＋i＝2i.
②原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
反思与感悟　(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
①＝－i；②＝i；③＝－i.
跟踪训练2　(1)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则log2(a－b)的值是(　　)
A．1 B. C．2 D．3
(2)已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i，则|z|＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)＝
＝－i＝a＋bi，
∴
log2(a－b)＝log22＝1.
(2)(1＋i)z＝1＋i，
z＝＝＝，
∴|z|＝ ＝＝.
类型三　共轭复数
例3　(1)复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案　5＋i
解析　∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，
＝3＋＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
(2)已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z －3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
反思与感悟　当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．
跟踪训练3　(1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则的共轭复数为________．
答案　i
解析　由m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，
所以＝＝＝＝－i.
所以它的共轭复数为i.
(2)已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案　B
解析　∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是(　　)
A．i B．i2 C．i3 D．i4
答案　B
解析　z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴　即
得m＝－1.∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________.
答案　－1＋2i
解析　∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
＝＝＝－1＋2i.
4．计算：(1)(4i－6)；
(2).
解　(1)(4i－6)
＝·4i＋·(－6)＋i·4i＋i·(－6)
＝2i－3－6－9i＝－9－7i.
(2)
＝
＝
＝－i(1＋2i)＝2－i.
5．已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
一、选择题
1．复数－i＋等于(　　)
A．－2i B.i C．0 D．2i
答案　A
解析　－i＋＝－i＋＝－2i，故选A.
2．设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
答案　A
解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋(i)2＋2i－2－2i＝－3.
3．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b等于(　　)
A．6 B．－6 C．0 D.
答案　A
解析　∵＝＝
＝是实数，
∴6－b＝0，∴b＝6，故选A.
4．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
答案　C
解析　∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，
∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
5．已知复数z满足＝i，且z的实部与虚部之和为0，则实数m等于(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案　B
解析　由＝i，
得z＝＝
＝＝－i.
又z的实部与虚部之和为0，
则－＝0，解得m＝－1.
6．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z等于(　　)
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
答案　A
解析　＋z＝＋1－i＝＋1－i＝1＋i＋1－i＝2.故选A.
7．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
8．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴2z＋＝2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，
整理得3a＋bi＝3－2i，
∴解得∴z＝1－2i，故选B.
二、填空题
9．复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．
答案　4
解析　＝＝
＝－i.
∵复数是纯虚数，
∴解得a＝4.
10．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案　1
解析　＝2－ai＝b＋i，
即　得　∴a＋b＝1.
11．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，|z|＝________.
答案　1
解析　因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.
则|z|＝1.
三、解答题
12．已知复数z＝.
(1)求z的共轭复数；
(2)若az＋b＝1－i，求实数a与b的值．
解　(1)∵z＝＝＝1＋i，
∴＝1－i.
(2)a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋ai＝1－i，
∴　解得a＝－1，b＝2.
13．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解　(1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，∴5a－1＝0且a＋5≠0，
解得a＝.
四、探究与拓展
14．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案　二
解析　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
15．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解　因为z是复数，z＋2i与均为实数，
所以可设z＝x－2i.
由＝＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
又复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以　所以
即2所以实数a的取值范围为(2,4)．
章末复习
学习目标　1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
2．原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
类型一　复数的概念
例1　已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝3，∴当a＝3时，z＝0.
引申探究　
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．
解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟　(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二　复数的四则运算
例2　(1)计算：＋2 018＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
考点　复数四则运算的综合运用
题点　复数的混合运算
解　(1)原式＝＋1 009＋＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟　(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　B
解析　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
(2)已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
①求复数z；
②求的模．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　①设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝＝＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
②＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
类型三　数形结合思想的应用
例3　已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
考点　分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用
题点　数形结合思想的应用
解　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i＝－1－2isin2θ.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
反思与感悟　根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
跟踪训练3　在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　A
解析　∵＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
∴复数＋z2对应点的坐标为(1,1)，
故在第一象限.
1．若z＝1＋2i，则等于(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　＝＝i.
2．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
考点　乘除法的运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　z＝＝
＝在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若 z·i＋2＝2z，则z等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　A
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以z·i＋2＝2z，
即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
4．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　3＋4i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a－bi，
∵|z|－＝，∴|z|－＝2＋4i，
则－a＋bi＝2＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.

一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
答案　B
2．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则等于(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　D
解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，得m＝1且n＝1，
则＝＝＝i.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a等于(　　)
A. B．2 C. D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，
∴＝|1－ai|＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍)．
4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i
＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.
经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，i为虚数单位，则复数－b在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　C
解析　z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
∴＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C正确．
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　D
解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合应用
答案　±1
解析　＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　1
解析　因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
10．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i(i为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　(3,4)
解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得311．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数与点的对应关系
答案　－2－i
解析　由题图可知，z1＝－1＋2i，
由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
解　(1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．已知复数z1满足z1(1－i)＝2(i为虚数单位)，若复数z2满足z1＋z2是纯虚数，z1·z2是实数，求复数z2.
考点　复数四则运算的综合运用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　∵z1(1－i)＝2，
∴z1＝＝＝＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＋z2＝1＋a＋(b＋1)i是纯虚数，
∴　∴a＝－1，b≠－1.
∴z1·z2＝(1＋i)(－1＋bi)＝(－1－b)＋(b－1)i，
又z1·z2是实数，则b－1＝0，
∴b＝1，∴z2＝－1＋i.
四、探究与拓展
14．若a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b是复数z2＝的实部，则ab＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　－
解析　z1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i，
由a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a＝－2.
z2＝＝＝＝＋i，
由b是复数z2＝的实部，得b＝.
则ab＝－2×＝－.
15．求虚数z，使z＋∈R，且|z－3|＝3.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.