§1.1 命题与量词
1.1.2 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“对所有的m∈R”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理 (1)概念
短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
知识点二 存在量词、存在性命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m∈Z，m>5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个m∈Z”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理 (1)概念
短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
(2)表示
存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．
(3)存在性命题的真假判定
要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( × )
3．存在性命题中的量词一定不能省略．( √ )
类型一 全称命题与存在性命题的判断
例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：
(1)全称命题：?x∈N，p(x)；
(2)存在性命题：?x∈N，p(x)．
解 (1)全称命题：
①对所有的自然数x,2x是偶数；
②对一切的自然数x,2x是偶数；
③对每一个自然数x,2x是偶数；
④任选一个自然数x,2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数．
(2)存在性命题：
①存在一个自然数x，使得2x是偶数；
②至少有一个自然数x，使得2x是偶数；
③对有些自然数x，使得2x是偶数；
④对某个自然数x，使得2x是偶数；
⑤有一个自然数x，使得2x是偶数．
反思与感悟 全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．
跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”)
答案 存在性
解析 依据存在性命题的构成易得．
例2 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可以省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
解 (1)是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)是存在性命题，表示为?(x，y)∈，满足＝1.
(3)是存在性命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．
(4)是存在性命题，?n∈N＋，|an－1|<0.01，其中an＝.
类型二 全称命题与存在性命题的真假判断
例3 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.
解 (1)真命题．
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．
反思与感悟 要判断全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判断存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练3 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x∈R,2x2＋x＋1<0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在性命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题．
类型三 利用全称命题和存在性命题求参数的值或范围
例4 对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
引申探究
若将本例条件改为：存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
反思与感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
跟踪训练4 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)若命题p：＝sin x－cos x是真命题，求实数x的取值范围．
解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)由＝sin x－cos x，
得＝sin x－cos x，
∴＝sin x－cos x，
即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，
∴sin x≥cos x.
结合三角函数图象，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴实数x的取值范围是(k∈Z)．
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D选项是存在性命题．
2．命题p：?x∈N，x3
A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
答案 A
解析 ∵x33．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．
4．给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称命题是________．(填序号)
答案 ①②④
解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．
5．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋1<0
B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3
D．?x∈Q，x2∈Z
答案 B
2．下列存在性命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
答案 B
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.
4．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．[－16,0] B．(－16,0)
C．[－4,0] D．(－4,0)
答案 A
解析 由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，
∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.
5．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
答案 C
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
6．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )
A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1
答案 B
解析 函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
7．给出下列命题，其中为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有x2＋3<0
B．对任意x∈N，都有x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1
D．存在x∈Q，使x2＝3
答案 C
解析 由于对任意x∈R，都有x2≥0，即有x2＋3≥3，所以命题“对任意x∈R，都有x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“对任意x∈N，都有x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的实数只有±，而它们都不是有理数，所以命题“存在x∈Q，使x2＝3”是假命题．故选C.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在x∈R，使得tan x＝2
B．对任意x∈(0，＋∞)，都有x2>2x＋1
C．存在x∈R，使得x2＋x＝1
D．对任意x∈，都有tan x答案 B
解析 对于A，∵tan x∈R，∴?x∈R，使得tan x＝2，∴此命题为真命题；对于B，当x＝1∈(0，＋∞)时，x2－2x－1＝－2<0，∴此命题为假命题；对于C，易知方程x2＋x－1＝0有实数根，∴此命题为真命题；对于D，当x∈时，tan x<0二、填空题
9．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；
④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；
⑤是存在性命题，是真命题；
⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
10．给出下列命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 ∵对于方程f(x)＝x2－3x＋2，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．已知函数f(x)＝x|x|＋px＋q(x∈R)，给出下列命题：
①当f(x)为奇函数时，q＝0；
②函数f(x)的图象关于点(0，q)对称；
③当p＝0时，方程f(x)＝0一定有解；
④方程f(x)＝0的解的个数可能超过两个．
其中所有真命题的序号是________．
答案 ①②③④
解析 若函数f(x)＝x|x|＋px＋q(x∈R)是奇函数，则f(0)＝0，∴q＝0，故①为真命题；设(x1，y1)是函数f(x)图象上的点，它关于点(0，q)的对称点为P(x，y)，则x1＝－x，y1＝2q－y，∴2q－y＝－x|－x|－px＋q，即y＝x|x|＋px＋q，∴点P在函数f(x)的图象上，∴函数f(x)的图象关于点(0，q)对称，故②为真命题；作出函数y＝x|x|的图象和直线y＝－q(图略)，知它们恒有公共点，故③为真命题；当q＝0，p＝－1时，利用函数f(x)的图象，知④为真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
解 (1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是假命题．
13．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p和q”都是真命题，求实数a的取值范围．
解 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，
∴a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.
又p和q为真，∴
∴a≤－2或a＝1.
四、探究与拓展
14．若命题“关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立”为真命题，则实数a的取值范围为________．
答案 (－1,3)
解析 设f(x)＝x＋，因为x>0，所以f(x)＝x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1<4，解得－1所以实数a的取值范围为(－1,3)．
15．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈[－1,1]．
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”与“B＝60°”能互相推出吗？
答案 能．因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”与“B＝60°”能互相推出．
梳理 (1)一般地，如果p?q，且q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
(2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．( √ )
3．q不是p的必要条件时，“p? q”成立．( √ )
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
解 (1)∵a＋b＝0?a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵四边形的对角线相等?四边形是矩形；
四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝；
x－1＝?x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
即m<－.∵m<－1?m<－；m<－?m<－1，
∴p是q的充分不必要条件．
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、集合法，P是Q的充分不必要条件?集合P?Q，P是Q的必要不充分条件?集合P?Q，P是Q的充要条件?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件?集合P?Q，且P?Q；三、传递法，对于较复杂的关系，常用?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
跟踪训练1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
解 (1)因为x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0?x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似?两个三角形全等；但两个三角形全等?两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．
(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，p?q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，q?p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
解 是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)．
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
例3 求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
证明 (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以
即
所以m≥2，即m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件．
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
反思与感悟 充要条件的证明，关键是确定哪个是条件，哪个是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件．
跟踪训练3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
证明 ①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p?q，且q?p，得M?N.
所以或
?≤a<2或即所求a的取值范围是.
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A；
(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 (1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，
化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－1或x≥1，
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}．
(2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)>0，
即(x－a－1)(x－2a)<0，
又∵a<1，∴a＋1>2a，
∴B＝{x|2a∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A，
∴2a≥1或a＋1≤－1，
解得≤a<1或a≤－2.
∴a的取值范围为(－∞，－2]∪.
1．“－21或x<－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案 C
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不充分也不必要条件．
2．设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 命题p：13．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．
4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，则有a≤－3.
5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．
答案 充要
解析 (1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，
∴l1∥l2，即a＝0?l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，
l1：y＝x－，l2：y＝x－.
令＝，方程无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．
一、选择题
1．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.
3．已知向量a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 |a＋b|2＝|a－b|2?a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b?a·b＝0.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由直线与圆相切得＝1，即a2＋b2＝c2；a2＋b2＝c2时也有＝1成立，即直线与圆相切．
5．若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，都有ax2＋bx＋c>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a>0且b2－4ac<0时，对任意x∈R，ax2＋bx＋c>0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a＝0，b＝0，且c>0时，对任意x∈R，ax2＋bx＋c>0成立．综上，“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，都有ax2＋bx＋c>0”的充分不必要条件．
6．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是( )
A．0C.1
答案 B
解析 f(x)＝
f(x)的图象在(0,1)内单调递减，
在(1，＋∞)内单调递增．
若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，
则?07．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1
B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1
D．λ1λ2＝－1
答案 C
解析 依题意，知A，B，C三点共线?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?即λ1λ2＝1.故选C.
8．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；
反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
二、填空题
9．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n≥0.得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.故n＝3或4.
10．设p：1≤x<4，q：x答案 [4，＋∞)
解析 据题意知，p?q，则m≥4.
11．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
答案 ③
解析 ①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②∵2π>，cos 2π>cos，∴α>β?cos αβ.∴“α>β”是“cos α三、解答题
12．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解 化简B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a<时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件且A为非空集合，所以A?B，
于是有或
解得1≤a≤3或a＝－1.
综上，a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．
13．设a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．求证：a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
证明 充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sin B，则sin Acos B－cos Asin B＝sin B，结合正弦、余弦定理得a·－b·＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；
必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，且a2＝b(b＋c)，得b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A，
∴1＋2cos A＝＝，
即sin B＋2sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin B＝sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)，由于A，B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.
综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
四、探究与拓展
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x>a(a为实数)．若p的一个充分不必要条件是q，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 将x2＋2x－3>0化为(x－1)(x＋3)>0，所以p：x>1或x<－3，所以綈p：－3≤x≤1.又綈q：x≤a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，所以a≥1.
15．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
滚动训练(一)
一、选择题
1．下列存在性命题是假命题的是( )
A．存在实数a，b，使ab＝0；
B．有些实数x，使得|x＋1|<1；
C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
D．有些实数x，使得x<0.
答案 D
解析 A是真命题；B是真命题；C是真命题；D是假命题．
2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是( )
A．两个无理数的和必是无理数
B．存在一个实数x，使＝0
C．至少有一个实数x，使x2<0
D．有些实数的倒数等于它本身
答案 D
解析 A项为全称命题；B项，是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C假；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．
3．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则p的否定是( )
A．?x∈R，sin x≥1
B．?x∈R，sin x>1
C．?x∈R，sin x≥1
D．?x∈R，sin x>1
答案 B
解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p：?x∈R，sin x>1，故选B.
4．下列命题中，假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N＋，(x－1)2>0
C．?x∈R，lg x<1
D．?x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 对于?x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，故A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当05．“x＞1”是“(x＋2)＜0成立”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x＞1，得x＋2＞3，即 (x＋2)＜0，即x＋2＞1，得x＞－1，故“x＞1”是“ (x＋2)＜0成立”的充分不必要条件．故选B.
6．已知p：|x＋1|＞2，q：5x－6＞x2，则q是p的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
7．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p和q都为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 C
解析 命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以当命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
8．设a，b都是非零向量，则在下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
答案 D
解析 对于A，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠；对于B，当a＝－b时，≠；对于C，当a∥b时，与可能不相等；对于D，当a＝2b时，＝＝.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b，故选D.
二、填空题
9．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．(填序号)
①对任意x∈R，都有x2＜0
②不存在x∈R，使得x2＜0
③存在x∈R，使得x2≥0
④存在x∈R，使得x2＜0
答案 ④
解析 全称命题的否定是存在性命题．
10．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，
所以若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，
所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
11．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [4，＋∞)
解析 由x2－3x－4≤0，得－1≤x≤4，
若|x－3|≤m有解，
则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
则或
即或得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
12．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；
(2)p：A?B，q：A∪B＝B.
解 (1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，
∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q?p.
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴p?q，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵A?B?A∪B＝B，∴p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即q?p，
∴p是q的充分不必要条件．
13．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
解 ①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.
此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得
解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
四、探究与拓展
14．给出下列命题：
①若△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件．其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①③
答案 D
解析 在△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，故①正确；Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错误；当A＝B时，可得出sin A＝sin B；在△ABC中，当sin A＝sin B时，可得出A＝B或A＋B＝π(舍去)．故在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件，③正确．
15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果p和q一个为真命题，一个为假命题，求c的取值范围．
解 若命题p为真，则0＜c＜1；
若命题q为真，因为2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞.
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p，q一真一假．
当p真q假时，c的取值范围是；
当p假q真时，c的取值范围是[1，＋∞)．
综上可知，c的取值范围是∪[1，＋∞)．
章末复习
学习目标 1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法．
1．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．
2．全称命题与存在性命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫存在性命题．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
1．“φ＝”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件．( × )
2．存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b．( √ )
3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．( × )
类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究
例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
解析 由①得甲?乙，②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，即丙?乙，乙?丙．则丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
反思与感悟 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.
如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．
则p?q易表述为以下几种说法：
p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；
q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
跟踪训练1 “a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ①∵a＝－1?Δ＝22－4a×(－1)＝0?f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，
∴“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分条件．
②f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点?a＝－1或a＝0?a＝－1，
∴“a＝－1”不是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的必要条件．
类型二 全称命题和存在性命题的否定
例2 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．
跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1) 綈p：?x>1，x2－2x－3≠0(假)．
(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假)．
(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三 分类讨论思想的应用
例4 已知关于x的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①和②的根都是整数的充要条件．
解 当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是
Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；
方程②有实数根的充要条件是
Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－.
∴－≤m≤1.
又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根．
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．解题中要找清讨论的标准．
跟踪训练4 已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．
解 ∵p：≥2，∴≤0，即1≤x<3.
又∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a<1时，q：a≤x≤1；
②当a＝1时，q：x＝1；
③当a>1时，q：1≤x≤a.
设q对应的集合为A，p对应的集合为B，
∵q是p的充分条件．∴A?B.
当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，则1综上，符合条件的a∈[1,3)．
1．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( )
A．对任意m∈R，y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．对任意m∈R，y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
答案 D
解析 存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.
2．已知a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是( )
A．?x≤1，logax>0 B．?x>1，logax≤0
C．?x≤1，logax>0 D．?x>1，logax≤0
答案 D
解析 a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是“?x>1，logax≤0”．
3．已知α，β是两个不同的平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p?q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.
4．由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.
5．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．充分条件，必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：
(1)把充分条件，必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2．对含有一个量词的命题进行否定
要注意：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．
一、选择题
1．命题“?x∈R,1＜f(x)≤2”的否定形式是( )
A．?x∈R,1＜f(x)≤2
B．?x∈R,1＜f(x)≤2
C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2
答案 D
解析 存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．
2．若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|－1＋aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由题意，知A＝{x|13．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
答案 D
解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“?x∈R，x2≠x”的否定为“?x∈R，x2＝x”．
4．“sin α>0”是“α是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，
所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B.
5．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选C.
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．?x1∈R，f(x1)≤f(x0)
B．?x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．
7．下列命题中的真命题是( )
A．对于实数a，b，c，若a>b，则ac2>bc2
B．x2>1是x>1的充分不必要条件
C．?α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立
D．?α，β∈R，tan(α＋β)＝成立
答案 C
解析 A项中，当c＝0时不符合题意，故A项错误；B项中，x2>1是x>1的必要不充分条件，故B项错误；当α＝β＝0时，符合题意，故C项正确；当α＝β＝时，不符合题意，故D项错误．
8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若x＝4，则a＝(4,3)，
∴|a|＝＝5，
若|a|＝5，则＝5，
∴x＝±4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．
二、填空题
9．若命题p：常数列是等差数列，则p的否定为：_________________________________.
答案 存在一个常数列，不是等差数列
解析 全称命题的否定是存在性命题．
10．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，即a>b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
11．已知集合A＝，B＝{x|－1答案 (2，＋∞)
解析 A＝＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.
三、解答题
12．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解 由已知得p的否定：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则
∴解得a≤－3，
∵p的否定为假，
∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．
13．求实数a的取值范围，使得关于x的方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0.
(1)有两个都大于1的实数根；
(2)至少有一个正实数根．
解 (1)方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0的两实根x1，x2均大于1的充要条件是
?
??
?
∴－(2)由题意
①当一根为正，一根为负时，∴a<－3；
②当一根为正，一根为零时，∴a＝－3；
③当两根均为正时，
∴即－3综上所述，方程至少有一个正实数根时，a的取值范围是(－∞，－1]．
四、探究与拓展
14．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，易知k≠0，且圆心O到直线l的距离d＝＜1，所以|AB|＝2＝2
＝2.
若k＝1，则|AB|＝，d＝，
所以△OAB的面积为××＝.
反过来，若△OAB的面积为，
则S＝××2＝＝，
解得k＝±1.
故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
15．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，且p和q都为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，由x2－4x＋3<0，得1由≤0得2∵p和q都为真命题
∴x应满足
解得2即实数x的取值范围为(2,3)．
(2)∵q：实数x满足2q：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)．
解x2－4ax＋3a2<0，得a∵q是p的充分不必要条件，
a≤2且3a>3，解得1∴实数a的取值范围为(1,2]．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“如果x2<1，则－1A．如果x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．如果－1C．如果x>1或x<－1，则x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案 D
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＝3，则A?B；若A?B，则a＝3或2.
3．下列语句中，是命题的个数为( )
①|x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}∈N.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ②③④是命题．
4．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若f(x)，g(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，故h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)．又∵f(x)，g(x)的定义域是R，∴h(x)是偶函数．∴f(x)，g(x)是偶函数?h(x)是偶函数．令f(x)＝x，g(x)＝x2－x，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2是偶函数．而f(x)，g(x)不是偶函数，∴h(x)是偶函数?f(x)，g(x)是偶函数．
5．已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2
D．－2≤m≤2
答案 A
解析 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，?x∈R，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.
6．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x?B
B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x?A,2x∈B
D．綈p：?x∈A,2x?B
答案 D
解析 命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为?x∈A,2x?B.故选D.
7．命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4]
B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以綈p：?x∈R，ax2＋ax＋1＜0，
则a＜0或解得a＜0或a＞4.
8．设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga39．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5
C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5
答案 A
解析 A∩(?UB)满足
∵P(2,3)∈A∩(?UB)，则
∴
10．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e,4] B．[4，＋∞)
C．(－∞，e) D．(e,4)
答案 A
解析 因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；?x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈[e,4]．
11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，若112．已知命题p：?x∈R，使sin x＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题p是真命题；
②命题q是假命题；
③命题“(綈p)∧q”是真命题；
④命题“p∨(綈q)”是假命题．
其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．③④ D．①②③
答案 C
解析 对于命题p，因为函数y＝sin x的值域为[－1,1]，所以命题p为假命题；对于命题q，因为函数y＝x2＋x＋1的图象开口向上，最小值在x＝－处取得，且f＝>0，所以命题q是真命题．
由命题p为假命题和命题q是真命题，可得
命题“(綈p)∧q”是真命题；命题“p∨(綈q)”是假命题．
故③④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件．
答案 充分不必要
14．已知命题p：(x－3)(x＋1)>0，命题q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 p：(x－3)(x＋1)>0?x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知A?B，
∴其中等号不能同时成立，
∴m≤2，又m>0，∴015．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
16．给出下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
答案 ①②
解析 逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①中说法不正确；原命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故②中说法不正确；若<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③中说法正确；一个命题的否命题和逆命题互为逆否命题，真假性相同，故④中说法正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)?x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
解 (1)假命题，否定为?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为?x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
18．(12分)设p：关于x的不等式ax>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
解 当p真时，0当q真时， 即a>，
∴当p假时，a>1，当q假时，a≤.
又p和q有且仅有一个正确，
当p真q假时，01.
综上得，a∈∪(1，＋∞)．
19．(12分)已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m＞0)．
(1)当m＝3时，若“p∧q”为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 (1)若p为真命题，则－2≤x≤4；
当m＝3时，若q为真命题，则－1≤x≤5.
∵“p∧q”为真命题，
∴x的取值范围为[－1,4]．
(2)∵“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∵p：－2≤x≤4，q：2－m≤x≤2＋m，
∴且等号不同时取得，
∴m的取值范围为[4，＋∞)．
20．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：≤x≤.
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若给定条件q：|f(x)－m|<2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝2－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1
＝4sin＋1.
∵≤x≤，∴≤2x－≤.
∴3≤4sin＋1≤5.
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|<2，
∴m－2又∵p是q的充分条件，
∴解得321．(12分)已知两个命题：r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解 ∵对?x∈R，sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对?x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－且－2综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m<2}．
22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，当m∈[－1,1]时，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题，求实数a的取值范围．
解 ∵p∧q是假命题，綈p也是假命题，
∴p是真命题，q是假命题．
p：∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|∈[2，3]．
∵不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对于?m∈[－1,1]恒成立，
∴a2－5a－3≥|x1－x2|max＝3.
∴a≥6或a≤－1.
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1，
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，Δ＝4＋4a>0，不等式有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，令Δ＝4＋4a>0，得－1∴当命题q为真命题时，a>－1.
又命题q是假命题，∴a≤－1.
由得a≤－1.
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．
