第二章圆锥曲线与方程学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
　　　　　　　　　　　　　　　　　2　如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，
∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案　
3．利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA，PB互相垂直，PA＝PB.
又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝OA，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4．综合类
例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
解　由正弦定理得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，
则椭圆的离心率e＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　3　活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明．
1．求动点轨迹
例1　动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．
解　设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，
因为动圆C与两定圆相外切，
所以
即|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|＝10，
所以点C的轨迹是以C1(0,5)，C2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a＝，c＝5，所以b2＝.
故动圆圆心C的轨迹方程为－＝1.
点评　依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|，从而判断出C的轨迹是双曲线的一支，最后求出a，b即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支．
2．求焦点三角形的周长
例2　过双曲线－＝1左焦点F1的直线与左支交于A，B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析　由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，
从而有|AF2|＋|BF2|＝16＋6＝22，
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28.
答案　28
点评　与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．
3．最值问题
例3　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|＋|PF|的最小值．
解　设双曲线的左焦点为F′，
则F′(－2,0)，
由双曲线的定义知，
|PF′|－|PF|＝2a＝2，
所以|PF|＝|PF′|－2，
所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2，
要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，由图可知，当P，F′，M三点共线时，|PM|＋|PF′|有最小值|MF′|＝2，
故|PM|＋|PF|的最小值为2－2.
点评　本题利用双曲线的定义对F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：①若将M坐标改为M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？②若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？
4．求离心率范围
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，试求该双曲线离心率的取值范围．
解　因为|PF1|＝4|PF2|，点P在双曲线的右支上，
所以设|PF2|＝m，则|PF1|＝4m，
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝4m－m＝2a，
所以m＝a.又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即4m＋m≥2c，所以m≥c，即a≥c，所以e＝≤.
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为.
点评　本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　抛物线的焦点弦
例1　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1、B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝xA＋xB＋p；
(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A，O，B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明　当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，
|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k，
并代入y2＝2px，
∴2＝2px，
即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
由A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，
即＋＝.
点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例2　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6

　　　　　　　　　　　　　　　　　5　解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明直线l过定点，并求此定点．
解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，
且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，
由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立
得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4
≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中的存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，解得a＝，经检验符合题意，∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
　　　　　　　　　　　　　　　　　7　圆锥曲线中的易错点剖析
1．忽视标准方程的特征而致误
例1　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
∴抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
2．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误
例2　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由得x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍.
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由得x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
3．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例3　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
错解一　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或(舍去)．
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.

正解　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝－m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
§2.2　椭　圆
2.2.1　椭圆的标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一　椭圆的定义
思考　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理　(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二　椭圆的标准方程
思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.
1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　×　)
2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)
3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)
类型一　椭圆定义的应用
例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解　方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆．
反思与感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1　下列说法正确的是________．(将所有正确的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案　②
解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
类型二　求椭圆的标准方程
例2　求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．
解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意，故舍去．
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．
解　据题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)．
跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
类型三　椭圆中焦点三角形问题
例3　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．
解　(1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
反思与感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
跟踪训练3　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解　(1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，解得mn＝4.
∴＝mnsin∠F1PF2＝×4sin 60°＝.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.
2．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
答案　C
解析　因为|AC|＋|BC|＝10＝|AB|，
所以点C的轨迹是线段AB，故选C.
3．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)
A．1 B．3 C．0 D．－2
答案　A
解析　当k＝1时，原方程可化为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意．
4．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
答案　A
解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．
答案　18
解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，所以周长为10＋8＝18.
1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．
2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x，y0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，
m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．－
答案　B
解析　原方程可化简为x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1.
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．
5．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m等于(　　)
A．10 B．5
C．15 D．25
答案　D
解析　设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴a＝5，∴a2＝25，∴椭圆的焦点在x轴上，m＝25.
6．过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是(　　)
A. B．4
C．8 D．2
答案　B
解析　方程可化为＋y2＝1，
∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.
∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝4.故选B.
7．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
8．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
答案　D
解析　∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
二、填空题
9．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案　8
解析　由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
10．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．
答案　
解析　由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
11．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
答案　15
解析　由椭圆定义知
|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，
所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
三、解答题
12．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)．
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A, ∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
答案　＋＝1
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得
相减得＋＝0，
所以＋·＝0.
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
＝kAB＝＝.所以＋×＝0，
化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
15.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD为AB，AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，
a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，
则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1，
即＋＝1(x≠±30)．
2.2.2　椭圆的几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
梳理　椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
知识点二　椭圆的离心率
思考　如何刻画椭圆的扁圆程度？
答案　用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．
梳理　(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝称为椭圆的离心率．
(2)因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点．(　×　)
2．椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　√　)
3．椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　×　)
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　×　)
类型一　椭圆的几何性质
例1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解　由已知得＋＝1(m＞0)，
∵0＜m2＜4m2，
∴＞，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，
离心率e＝＝＝.
反思与感悟　从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
类型二　椭圆几何性质的简单应用

例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思与感悟　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

例3　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
解　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵＝ ＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋
＝－32＋4b2＋3，
令f(y)＝－32＋4b2＋3.
(1)当－b≤－，即b≥时，
d＝f＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当－<－b，即0解得b＝－>，与b<矛盾．
综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.
反思与感悟　求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练3　已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．2
答案　C
解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
类型三　求椭圆的离心率
例4　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，又0＜e＜1，∴e＝－1.
反思与感悟　求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率．
跟踪训练4　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋＝1
答案　B
解析　由已知得c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
故椭圆的标准方程为＋x2＝1.
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
答案　[4－2，4＋2]
解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，
所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．
2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．
3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．
4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
一、选择题
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．7,2， B．14,4，
C．7,2， D．14,4，
答案　B
解析　先将椭圆方程化为标准形式＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，∴＝，
∴＝，∴＝，＝.
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意得c＝2， a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
4．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a2＝2，b2＝m，e＝＝ ＝ ＝，∴m＝.
5．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A. B．－3
C.或－3 D．－3或
答案　C
解析　若焦点在x轴上，则＝1－2＝，
∴k＝；
若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3，故选C.
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e＝，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　因为|F1F2|＝2，离心率e＝，所以c＝1，a＝2，所以b2＝3，即椭圆方程为＋＝1.
7．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得，点P的坐标为或，
因为∠F1PF2＝60°，所以＝，
即2ac＝b2＝(a2－c2)，
所以e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)．
8．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，故cos 60°＝＝＝，
解得＝，
故离心率e＝.
二、填空题
9．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.
答案　或4
解析　方程化为x2＋＝1，则有m>0且m≠1.
当<1时，依题意有 ＝，解得m＝4；
当>1时，依题意有 ＝，解得m＝.
综上，m＝或4.
10．已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
答案　
解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
11．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．
∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
三、解答题
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解　设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1
＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.
四、探究与拓展
14．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0，a>0，b>0)具有(　　)
A．相同的顶点 B．相同的离心率
C．相同的焦点 D．相同的长轴和短轴
答案　B
解析　不妨设a>b＞0，则椭圆＋＝k的离心率
e2＝ ＝ .
而椭圆＋＝1的离心率e1＝ ，故选B.
15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)，x0∈，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
第2课时　椭圆几何性质的应用
学习目标　1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
答案　有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．
梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦长公式：|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
1．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　√　)
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)
3．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)
类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断

例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为___________．
答案　∪
解析　依题意得，＋>1，
解得k<－或k>.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？
解　依题意得，＋>1，
解得k2>，
即k<－或k>.
反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
跟踪训练1　已知点(3,2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则(　　)
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．以上都不正确
答案　C
解析　由已知得＋＝1，只有选项C符合该条件．

例2　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练2　(1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A．1 B．1或2
C．2 D．0
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为直线过定点(3，－1)且＋<1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
(2)把y＝kx＋2代入＋＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，又Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.
类型二　弦长及弦中点问题
例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三　对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
引申探究
在本例中求弦AB的长．
解　由上例得直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组消去y并整理，得
x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，
故|AB|＝＝2.
反思与感悟　直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y并整理，得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝ 
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y并整理，得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟　求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围．
跟踪训练4　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．
解　由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝ 
＝ ，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
1．若AB为过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为(　　)
A．b2 B．ab C．ac D．bc
答案　D
解析　当直线AB为y轴时面积最大，|AB|＝2b，△AFB的高为c，∴此时S△AFB＝·2b·c＝bc.
2．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－
C．－2答案　A
解析　由题意知＋<1，解得－3．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
答案　B
解析　由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵Δ＝(4m)2－4m·(3＋m)>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0，∴m>1且m≠3.
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4(a2－3)y2＋8·(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
5．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案　(－2,2)
解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1的内部，∴－21．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝，
或|AB|＝
＝·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
答案　C
解析　把y＝－x＋3代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是(　　)
A．－1 B.
C．－1或1 D．－或
答案　C
解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，
所以b＝1或－1.
3．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
答案　A
解析　易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，
解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x＝b，则k的值为(　　)
A. B．± C. D．±
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
设交点的纵坐标为y0，
由x＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
5．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P坐标为(　　)
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)
答案　D
解析　由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，
即P的坐标为(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
6．已知椭圆＋＝1(0A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
7．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B．±
C. D．±
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，
∴k＝＝±＝±.
8．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，c>0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且c2＝a2－b2.若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，
∴只需　可得
结合e∈(0,1)，可得0二、填空题
9．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
答案　
解析　由联立得3x2－4x＝0，
可知A(0，－1)，B，
又F1(－1,0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
10．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为____________．
答案　2
解析　∵
∴b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝(q＋r)(p＋r)，
∴2b＝2.
11．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
答案　2
解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，
故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
三、解答题
12．设直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1(a>1)相交于A，B两点，且l过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C的方程．
解　由椭圆C：＋＝1(a>1)，
得c＝＝1，
∴椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
又∵l经过点F2，∴m＝－1，
即直线l的方程为y＝x－1，
代入＋＝1(a>1)得
(2a2－1)x2－2a2x＋2a2－a4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝.
又∵以AB为直径的圆过点F1，∴AF1⊥BF1.
∴kAF1·kBF1＝－1，即·＝－1，
∴y1y2＋(x1＋1)·(x2＋1)＝0.
∵y1＝x1－1，y2＝x2－1，
∴(x1－1)(x2－1)＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即x1x2＝－1，∴＝－1，
解得a2＝2±.
又∵a2>1，∴a2＝2＋，即a2－1＝1＋.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
13．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明　椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由
消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解　∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
四、探究与拓展
14．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．
答案　或
解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，
直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．
如图，设D(x，kx)，E(x1，kx1)，
F(x2，kx2)，
其中x1故x2＝－x1＝.
由＝6知x－x1＝6(x2－x)，
得x＝(6x2＋x1)＝x2＝ .
由D在直线AB上知，x＋2kx＝2，x＝，
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
由此解得k＝或k＝.
15．椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解　(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，
所以＋＝1.①
又因为离心率为，所以＝，所以＝.②
解①②得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，
A，B，
＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠.
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入＋＝1，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝|y1－y2|·|F1F2|
＝|k|
＝|k|
＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1，
所以k＝±1，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
§2.3　双曲线
2.3.1　双曲线的标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
思考　如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案　曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二　双曲线的标准方程
思考　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
梳理　(1)两种形式的标准方程

焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　×　)
2．点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　×　)
3．双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.(　×　)
类型一　求双曲线的标准方程
例1　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)
解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法．
跟踪训练1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解　(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得 (舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标分别代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型二　双曲线的定义及应用

例2　已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100，②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：
利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
跟踪训练2　如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．
解　在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ.①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
∴|MF1|·|MF2|＝，
∴＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝
＝＝.

例3　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
(2)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为________________．
答案　(1)A　(2)－＝1(x≠±5)
解析　(1)当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义， P点的轨迹是双曲线．
(2)设M(x，y)，
则kAM＝ (x≠－5)，kBM＝(x≠5)，
依题意得，·＝(x≠±5)，
化简整理，得－＝1(x≠±5)．
故点M的轨迹方程为－＝1(x≠±5)．
反思与感悟　双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)．
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
跟踪训练3　下列说法正确的是________．(将所有正确的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|－|PF2|＝的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线．
答案　②④
解析　①<2，故点P的轨迹是双曲线的一支；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7>6，故点P的轨迹不存在；④点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离为＝5<8，故点P的轨迹是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线．
类型三　由双曲线方程求参数
例4　若方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________________．
答案　{m|－33}
解析　依题意有或
解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}．
反思与感悟　方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
跟踪训练4　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(2)若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________．
答案　(1)(－1,1)　(2)±6
解析　(1)方程－＝1表示双曲线，
则(1＋k)(1－k)>0，
所以(k＋1)(k－1)<0，
所以－1(2)当k>0时，方程可化为－＝1，
则c2＝＋k＝，即2×＝6，故k＝6.
当k<0时，方程可化为－＝1，
则c2＝－，故2×＝6，解得k＝－6.
综上所述，k＝－6或6.
1．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)
A．±5 B．±3
C．5 D．9
答案　B
解析　由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
2．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
答案　B
解析　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1||PF2|＝24.
4．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________．
答案　－＝1或－＝1
解析　当焦点在x轴上时，方程为－＝1，
当焦点在y轴上时，方程为－＝1.
5．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
答案　D
解析　由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.
2．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　焦点在x轴上，c＝3，b＝2，a＝.
3．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
答案　B
解析　由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
4．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
答案　B
解析　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1，故选B.
7．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2 ＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
8．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．8 B．9 C．16 D．20
答案　B
解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.
二、填空题
9．与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________________．
答案　－＝1
解析　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上，
∴设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
又∵两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①②得，a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________．
答案　1或5
解析　由题意得Q为PF的中点，
设左焦点为F′，其坐标为(－3,0)，
∴|OQ|＝|PF′|.
若P在双曲线的左支上，
则|OQ|＝|PF′|
＝(|PF|－2a)＝×(6－2×2)＝1；
若P在双曲线的右支上，
则|OQ|＝|PF′|
＝(|PF|＋2a)＝(6＋2×2)＝5.
综上，||＝1或5.
11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
三、解答题
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，||·||＝2，求双曲线的方程．
解　∵·＝0，∴⊥，
∴||2＋||2＝||2＝20a.①
又|||－|||＝4.②
①－②2，得2||·||＝4a.
∵||·||＝2，∴a＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
13．已知双曲线－＝1的左、右焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴S△MF1F2＝mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
四、探究与拓展
14．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△F1F2P的内心，若S△F1MP＝S△F2MP＋4，则△F1F2M的面积为(　　)
A．5 B．6 C．2 D．10
答案　A
解析　由双曲线方程－＝1，知
焦点在x轴上，实轴长为2a＝8，
虚轴长为2b＝6，焦距2c＝10.
设△PF1F2的内切圆半径为r.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝8，
|F1F2|＝10，＝|PF1|·r，
＝|PF2|·r.
∵＝＋4，
∴|PF1|·r＝|PF2|·r＋4，
解得r＝1，
∴＝·2c·r＝c·r＝5，故选A.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
所以在△MF1F2中 ，MF1边最长，cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，△MF2F1为钝角三角形．
2.3.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题．
知识点　双曲线的几何性质
思考　离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
答案　有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大时，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
梳理　(1)渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．
(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．
(3)双曲线的几何性质见下表：
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长：2a
虚轴长：2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．等轴双曲线的离心率是.(　√　)
2．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)
3．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)
4．方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　×　)
类型一　已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
引申探究
将例1改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．
解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为－＝1.
(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，
∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三　直线与双曲线的位置关系
例3　(1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；
(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程．
解　(1)由得4x2－(x＋1)2－4＝0.
化简得3x2－2x－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝－.
故所截得的弦长d＝·|x1－x2|
＝·＝·＝.
(2)方法一　∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)．
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.
由消去k，
得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
方法二　设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
则
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
当直线AB的斜率k≠0时，
得＝，
即＝＝，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)．
当k＝0时，y1＝y2＝1，x1＋x2＝0，
∴x＝0，y＝1，也满足4x2－y2＋y＝0.
综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
反思与感悟　(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．
跟踪训练3　已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
解　(1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在．
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
由消去y并化简，
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
当2－k2≠0，即k2≠2时，有x1＋x2＝－.
又点P(2,1)是弦P1P2的中点，
∴－＝4，解得k＝4.
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
当k2＝2，即k＝±时，此时与渐近线的斜率相等，
即k＝±的直线l与双曲线不可能有两个交点．
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
则有＝1，＝1，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且
两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，
∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，
则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1)，
∴直线Q1Q2斜率存在，于是k＝＝2，
∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由得2x2－(2x－1)2＝2，
即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
∴直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．2 C. D．1
答案　A
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到x－y＝0的距离为＝2.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4 B．－3 C．2 D．1
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，e＝＝.
4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
答案　(±，0)
解析　由渐近线方程为y＝±x＝±x，
得m＝3，c＝，且焦点在x轴上．
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，
∴双曲线方程为－y2＝1，
因此其渐近线方程为y＝±x.
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解．
一、选择题
1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案　A
解析　由双曲线的几何性质知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
2．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)
答案　C
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝－1.故选C.
3．过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　设弦与双曲线的交点为A，B(A点在B点上方)，由AB⊥x轴且过右焦点，可得A，B两点横坐标为2，代入双曲线方程得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4.
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
5．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案　B
解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)，
由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.
所以＝.
即渐近线方程为y＝±x.
7．若在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(＋∞) B．(1，) C．(2，＋∞) D．(1,2)
答案　C
解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设F(c,0)，则过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B，
由得A，
＝，＝，
由＝－3，
得＝－3，
则＝－3·，
即b＝a，
则c＝＝a，则e＝＝，故选D.
二、填空题
9．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
答案　3x＋4y－5＝0
解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，∴－＝6，∴k＝－，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
10．已知点(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
答案　
解析　由题意知c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2，得b2＝4－1＝3，所以b＝.
11．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．
答案　2
解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，
所以b＝＝＝2.
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4,0)．
焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．设双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.
∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．
∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，
∴＝10，
即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.
∵y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，
代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，
得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.
四、探究与拓展
14．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．
答案　
解析　如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°.
又|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝＝c，
|MF2|＝2c·tan 30°＝c.
∴2a＝|MF1|－|MF2|＝c.
∴e＝＝.
15．若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
解　(1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1故k的取值范围是{k|1(2)由(*)式得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，
又1∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)．
∵点C是双曲线上一点．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
§2.4　拋物线
2.4.1　抛物线的标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
思考　到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
答案　抛物线或一条直线．
梳理　(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．
知识点二　抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
2．拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　√　)
3．拋物线的方程都是二次函数．(　×　)
类型一　抛物线的定义及应用
例1　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x，y0)是C上一点，|AF|＝x，则x等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由题意，知抛物线的准线为x＝－.
因为|AF|＝x，
根据抛物线的定义，得
x＋＝|AF|＝x，
所以x＝1，故选A.
(2)∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，
∴将直线x＋5＝0右移1个单位，
得直线x＋4＝0，即x＝－4，
易知点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．
由抛物线的定义，可知点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2＝2px，可得＝4，得2p＝16，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，
即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
反思与感悟　依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化．
跟踪训练1　(1)若抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________．
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
答案　(1)(6,9)或(－6,9)　(2)B
解析　(1)设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，
知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
(2)如图所示，易得F(2,0)，
过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，
∴|PM|＝|PN|.
设P，则±t＝＋2，解得t＝±4，
∴△PMF的面积为×|t|·|MF|＝×4×4＝8.
类型二　抛物线的标准方程及求解

例2　抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为.
反思与感悟　根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．
答案　2　x＝－1
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0.
解　①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.
②由4x2＝y得x2＝y.∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为，准线方程为y＝－.
③由3y2＝5x，得y2＝x.∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.
④由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，故焦点坐标为，准线方程为x＝.

例3　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，
又点(－3,2)在抛物线上，
∴2p＝或2p＝，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)当焦点在y轴上时，
已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，
已知方程x－2y－4＝0，
令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝4，得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
反思与感悟　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练3　根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解　(1)双曲线方程可化为－＝1，
左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型三　抛物线在实际生活中的应用
例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练4　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解　如图所示，建立直角坐标系，
设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，
所以16＝－5y0，即y0＝－，
所以OA的长为5－＝1.8(m)．
所以管柱OA的长为1.8 m.
1．抛物线y2＝x的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
答案　B
解析　抛物线y2＝x的开口向右，且p＝，所以准线方程为x＝－.
2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案　A
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－
＝－1.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
答案　C
解析　由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
答案　2
解析　因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即＝1，p＝2.
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案　2
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－，0)，
所以－＝－，解得p＝2.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．关于抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为
答案　B
解析　由y＝4x2得x2＝y，∴开口向上，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
4．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
答案　D
解析　方法一　设动点P的坐标为(x，y)．
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
方法二　显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
5．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是(　　)
A.－1 B.－1
C．2 D.－1
答案　D
解析　设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3,0)，
要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值．
设点P坐标为(y，y0)，
则|PO′|＝＝
＝，
∴|PO′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
6．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B.
C. D．0
答案　B
解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－＝.
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A. B.
C. D．25
答案　A
解析　抛物线的焦点F的坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.
8．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　C
解析　抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.
二、填空题
9．已知抛物线y2＝2x上一点P(m,2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________．
答案　2　
解析　将(m,2)代入抛物线中得4＝2m，
得m＝2，
由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为
2＋＝.
10．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
答案　
解析　如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y2＝2px，得1＝2p×，解得p＝，故点B到准线的距离为＋＝p＝.
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
答案　8
解析　如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x,4)，代入抛物线方程y2＝8x，得8x＝48，
∴x＝6，
∴|PF|＝x＋2＝8.
三、解答题
12．如图，已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点的坐标．
解　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±.
∵＞2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点的纵坐标为2，
代入y2＝2x，得x＝2，∴P点的坐标为(2,2)．
13．已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值，拋物线方程和准线方程．
解　设所求拋物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在拋物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2，
拋物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
四、探究与拓展
14．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.
15．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．
解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，
∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，
即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
2.4.2　抛物线的几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点二　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．拋物线没有渐近线．(　√　)
2．过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　×　)
3．若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　×　)
4．拋物线只有一条对称轴，没有对称中心．(　√　)
5．拋物线的开口大小由拋物线的离心率决定．(　×　)
类型一　依据抛物线的几何性质求标准方程
例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3,
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.
引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．
解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
反思与感悟　用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．
答案　(1)16　(2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0　(3)
解析　(1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，
弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
(2)∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，∴＝6，解得k＝±1.
∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为 ＋1＝.
反思与感悟　(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：
①抛物线y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；
②抛物线y2＝－2px(p>0)，
|PF|＝|x0－|＝－x0；
③抛物线x2＝2py(p>0)，|PF|＝＝＋y0；④抛物线x2＝－2py(p>0)，
|PF|＝|y0－|＝－y0.
(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
④＋＝；
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
跟踪训练2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离为3＋＝.
类型三　抛物线综合问题
例3　抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程．
(1)证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值．
由题意得x0＝，
∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，
其中t＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|?p＝0)．
而kAB＝＝＝＝，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0)．
(2)解　由|MF|＝4，|OQ|＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.∴抛物线方程为y2＝8x.
反思与感悟　在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等．
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点．
证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0).
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1
C．－ D．－
答案　C
解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，
所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，
这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
2．以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
答案　C
解析　设拋物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴拋物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B．3 C. D.
答案　A
解析　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为 ＝.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案　8
解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，
得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、选择题
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　A
解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
答案　A
解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值为.
4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(　　)
A．不存在
B．必是锐角三角形
C．必是钝角三角形
D．必是直角三角形
答案　B
解析　设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．
6．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
7．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．0
答案　B
解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，其值为3.
8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)
A．45° B．90° C．60° D．120°
答案　B
解析　如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，
∴∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO，
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.
二、填空题
9．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.∴－210．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为________．
答案　
解析　由题意知直线l过点和(2p,2p)，
所以l：y＝.
联立
整理得8x2－17px＋2p2＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
所以焦点弦的长度为x1＋x2＋p＝.
11．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
答案　y2＝4x
解析　设抛物线方程为y2＝kx(k≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2),
∴x1＋x2＝k.
又∵P(2,2)为AB的中点，
∴＝2.
∴k＝4.∴y2＝4x.
三、解答题
12．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程．
解　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
∵点Q是弦AB的中点，∴y1＋y2＝2，
于是＝4，即直线AB的斜率为4，
故弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
13．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝ ＝ ＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
四、探究与拓展
14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案　6
解析　抛物线的焦点为F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝ ＝，解得p2＝36，p＝6.
15．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py (p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，
∴y2＝4y1， ③
由①，②，③及p>0
得y1＝1，y2＝4，p＝2，
故抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
B(xB，yB)，C(xC，yC)，
由
得x2－4kx－16k＝0， ④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4.
故b的取值范围是(2，＋∞)．
§2.5　直线与圆锥曲线
学习目标1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
　观察图形，思考下列问题：
思考1　上面三个图象中直线l与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置关系是什么？
答案　相交，相切，相离．
思考2　直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
答案　不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
梳理　直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线与双曲线
a＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
直线与双曲线
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线与抛物线
a＝0
1
直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
知识点二　弦长公式
若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x2－x1|＝ .
1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　×　)
2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．(　√　)
类型一　直线与圆锥曲线的位置关系判定
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
这个关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思与感悟　在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．
跟踪训练1　已知双曲线C：x2－＝1，直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
解　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．
由
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)
当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ>0，即k<，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ<0，即k>，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．
综上，(1)当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点；
(2)当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点；
(3)当k>时，直线l与双曲线无公共点．
类型二　中点弦及弦长问题
例2　已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA×kMB＝－2.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝，求直线PQ的方程．
解　(1)设M(x，y)，则kMA＝，kMB＝(x≠±1)，
∴×＝－2，∴x2＋＝1(x≠±1)．
(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程是y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1－y2＝k(x1－x2)，
联立消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，k2＝2，k＝±，
∴直线PQ的方程是y＝±x＋1.
反思与感悟　直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．
跟踪训练2　中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y－1＝0相交于A，B，C是AB中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解　设椭圆方程为ax2＋by2＝1 (a>0，b>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a，
再由|AB|＝|x2－x1|＝2，
其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
故2－4·＝4，
将b＝a，代入得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是x2＋y2＝3.
类型三　圆锥曲线中的最值及范围问题
例3　已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)求证：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
(1)证明　设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x.
由得A，
由得B(2k2，－2k)．
∴直线AB所在直线方程为(y＋2k)＝(x－2k2)，化简得x－y－2＝0，
∴直线过定点P(2,0)．
(2)解　由于直线AB所在直线方程过定点P(2,0)，
所以可设直线AB的方程为x＝my＋2.
由得y2－2my－4＝0.
∴|y1－y2|＝＝.
∴S△AOB＝|y1|·|OP|＋|y2|·|OP|
＝|OP|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥4.
∴△AOB面积的最小值为4.
反思与感悟　(1)求参数范围的方法
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
(2)求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明　设kAB＝k (k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝，
设C(xC，yC)，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值.
1．过点(0，－2)的直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)
A．2 B.
C．5 D.
答案　C
解析　由题意知直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x1，y2)，直线l：y＝kx－2，
∵x1＋x2＝4，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝4k－4，
∴AB的中点M(2,2k－2)，
∴k＝＝＝，
∴k2－k－2＝0，
∴k＝2或k＝－1，
当k＝－1时，直线l与拋物线相切，不满足题意，舍去，
∴l：y＝2x－2.
由
得x2－3x＋1＝0，∴x1x2＝1，
∴|AB|＝·＝5.
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m≥1或0C．0答案　D
解析　∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，若5>m，则≥1，
若53．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)
A．(1,2) B．(0,0)
C. D．(1,4)
答案　C
解析　因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，
设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
由得4x2－4x－m＝0.(*)
设此直线与抛物线相切，有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入(*)式，得x＝，y＝1，
所求点的坐标为.
4．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案　
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组解得A(0，－2)，B.
∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.
5．过点A(6,1)作直线l与双曲线－＝1相交于两点B、C，且A为线段BC的中点，则直线l的方程为________________．
答案　3x－2y－16＝0
解析　设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则，
∴－＝0.∴＝＝＝.
即kBC＝，∴直线l的方程是y－1＝(x－6)．
即3x－2y－16＝0，经验证符合题意．
1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切．
2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：
(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．
3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．
一、选择题
1．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．±2
答案　C
解析　结合题意，F(，0)，且渐近线为y＝±x，欲使直线l与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．
2．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x－＝1与x－＝1得kAB＝＝＝6.
3．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y<4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与拋物线C(　　)
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点也可能有两个公共点
D．没有公共点
答案　D
解析　C与l联立得y0y＝2，
即y2－2y0y＋4x0＝0，Δ＝4y－16x0，
由题意y<4x0，∴Δ<0，没有公共点．
4．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP，MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　B
解析　由题意得M(2,2)．
设P，Q，
由kMP＝－kMQ，
得＝－，
则y1＋y2＝－4，故kPQ＝＝－.
5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－.
∴·＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0.两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.
6．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为(　　)
A．48 B．56 C．64 D．72
答案　A
解析　由得x2－10x＋9＝0，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为
S＝(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝(10＋2)×8＝48.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　∵椭圆的离心率为，∴＝＝，
∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为＋＝1.
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)被抛物线y2＝4x的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意得抛物线准线x＝－1，且被截得的弦长为3，
故椭圆过点，将该点代入椭圆方程，
得＋＝1，①
又点(0,0)到x－y＋2＝0的距离为a，
即＝a，②
由②得a＝2，代入①得b＝.
故c＝＝1，
所以其离心率e＝＝.
二、填空题
9．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案　
解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，(*)
∵y2＝1－，代入(*)式得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－10．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为________．
答案　2
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)，B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
11．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2 (a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中所有正确结论的序号是__________．
答案　②③
解析　设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得·＝a2 (a>1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．
∵点P(x，y)在曲线C上，∴点P关于原点的对称点为P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程，等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin θ＝a2sin θ≤a2，故③正确．
三、解答题
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解　(1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2，
∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.
13．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若△OAB的面积为，求k的值；
(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点.
(1)解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|
＝·，
由点到直线距离公式得d＝，
得S△OAB＝|AB|·d＝ ＝，
解得k＝±.
(2)证明　∵kOA＝，kOB＝，∴kOA·kOB＝.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，
∴kOA·kOB＝，
由
得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，
即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，
∴以弦AB为直径的圆必过原点．
四、探究与拓展
14．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　D
解析　设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形．
∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝·.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴点P的轨迹为双曲线．
15．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E为椭圆C上的一点，满足＝＋，且△EF1F2的周长为2(＋1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P，Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l的距离的取值范围．
解　(1)由已知得F1(－c,0)，不妨设B(0，b)，
则＝(－c,0)，＝(0，b)，
所以＝，即E.
又点E在椭圆C上，所以＋＝1，
得＝.①
又△EF1F2的周长为2(＋1)，
所以2a＋2c＝2＋2.②
由①②，得c＝1，a＝，所以b＝1.
所以所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(m,0)(0直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y，得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
PQ中点为N(x0，y0)，
则x1＋x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
所以x0＝＝，
y0＝＝，
即N.
因为△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，
所以MN⊥PQ，
即＝－1.
所以m＝＝∈.
设点M到直线l：kx－y－k＝0的距离为d，则d2＝＝<＝，
所以d∈.
(或k2＝且m∈，
所以d2＝＝m(1－m)<?d∈.)
即点M到直线l的距离的取值范围是.
滚动训练(二)
一、选择题
1．已知命题p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，则p的否定为(　　)
A．?x∈R，ex－x－1≥0
B．?x∈R，ex－x－1>0
C．?x∈R，ex－x－1>0
D．?x∈R，ex－x－1≥0
答案　C
解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得p的否定为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2．下列命题中为假命题的是(　　)
A．?x∈，x＞sin x
B．?x∈R，sin x＋cos x＝2
C．?x∈R,3x＞0
D．?x∈R，lg x＝0
答案　B
解析　对于A，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈时，f′(x)＞0.从而f(x)在上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故A正确；对于B，由sin x＋cos x＝sin≤＜2知，不存在x∈R，使得sin x＋cos x＝2，故B错误；对于C，易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg 1＝0知，D正确．故选B.
3．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　等差数列{an}为递增数列等价于an＜an＋1.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
答案　B
解析　由题意知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆．
5．命题“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N＋，使得nB．?x∈R，?n∈N＋，使得nC．?x∈R，?n∈N＋，使得nD．?x∈R，?n∈N＋，使得n答案　D
解析　由含有量词的命题的否定知：存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词，对结论否定．
6．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D．－
答案　C
解析　椭圆方程可简化为＋＝1，
由题意，知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
答案　B
解析　由题意知，切线的斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋a(k＞0)，
与椭圆方程联立得消去y，
整理得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，
即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，
从而y＝x＋a，交x轴于A，
又F(c,0)，所以＝，＝(c，－a)，
则·＝0，故∠ABF＝90°，故选B.
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
答案　C
解析　∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2的外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.又∵0二、填空题
9．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
答案　－1
解析　因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，即(＋1)c＝a，
于是e＝＝＝－1.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.
答案　
解析　由题意，可得M或M.
∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，
∴×2c×b＝3××c×，
∴b＝a，∴c＝＝a，
∴e＝＝.
11．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
答案　
解析　由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组消去y，
整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝ ＝.
三、解答题
12．已知方程＋＝1表示椭圆，求实数m的取值范围．
解　(1)当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，
则有5－2m>m＋1>0，解得－1(2)当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，
则有m＋1>5－2m>0，解得综上，m的取值范围为∪.
13．已知p：(x－2)(x＋m)≤0，q：x2＋(1－m)x－m≤0.
(1)若m＝3，命题p和q都为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝3时，p：－3≤x≤2，q：－1≤x≤3.
因为p和q都为真命题，
所以解得－1≤x≤2.
(2)因为p：(x－2)(x＋m)≤0，
所以记A＝{x|(x－2)(x＋m)≤0}．
因为q：x2＋(1－m)x－m≤0，
所以记B＝{x|x2＋(1－m)x－m≤0}＝{x|(x－m)(x＋1)≤0}．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q?p，但p?q，
所以集合B为集合A的真子集，
因此有或解得1≤m≤2.
四、探究与拓展
14．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
答案　－1
解析　由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0)，∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M，∴在Rt△F1MF2中，F1F2＝2c，F1M＝c，F2M＝c，∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，∴＝＝－1.
15．已知圆G：x2＋y2－x－y＝0，经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
解　(1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，
∴F(1,0)，B(0，)，
∴c＝1，b＝，
∴a2＝4，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)易得直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2)．
由消去y，
得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋1＋m2
＝.
∵点F在圆E的内部，
∴·＜0，即＜0，
解得＜m＜.
由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，
解得－＜m＜.
又m＞2，∴2＜m＜.
即m的取值范围为.
章末复习
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹或集合
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.求圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．
另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝ 或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
1．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(　√　)
2．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(　×　)
3．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(　√　)
类型一　圆锥曲线定义的应用
例1　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
反思与感悟　(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；
(2)涉及焦点、准线、离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；
(3)求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1　已知点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
答案　8－
解析　如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，
|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min
＝8－.
类型二　圆锥曲线的性质
例2　(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)设M(－c，y0)，
则AM所在直线方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得E.
BM所在直线方程为y＝(x－a)，
令x＝0，得y＝.
由题意，得＝×，
解得a＝3c，即e＝＝.
(2)若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)·(3m2－n)＞0，
解得－m2＜n＜3m2.
又4＝4m2，所以m2＝1，
所以－1＜n＜3.
反思与感悟　常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案　
解析　由
得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
又∠BFC＝90°，
所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，
即e2＝＝，故e＝.
类型三　直线与圆锥曲线
例3　已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解　假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，
消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
则
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
将上式整理，得
·＝＋m2
＝＋m2
＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，
从而有6m＋14＝0，解得m＝－，
此时·＝.
②当直线AB与x轴垂直时，
此时点A，B的坐标分别为，，
当m＝－时，亦有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切．
(1)求p的值；
(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．
解　(1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点为D(x0,0)，
则由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2，
得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，
化简得x0＝＋2，①
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　联立得x2＋2(x＋1)2－4＝0，
即3x2＋4x－2＝0，
则弦的中点的横坐标为×＝－，
纵坐标为－＋1＝，即.
3．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，
∴m>n且c＝2.又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆的方程为＋＝1.
4．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．
答案　2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.
5．直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________．
答案　3
解析　当x>0时，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，而直线y＝x＋3的斜率为1,1<，
∴y＝x＋3与x轴上半部分的一支双曲线有1个交点．
当x≤0时，曲线＋＝1为椭圆，
又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点，
∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有2个交点，共计3个交点.
1．离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．
2．圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解.
一、选择题
1．到定点(3,5)与直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
答案　D
解析　因为定点(3,5)在直线上，
所以点的轨迹是直线．
2．方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
答案　D
解析　∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案　A
解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4.椭圆＋y2＝1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则△AF2B的面积是(　　)
A．2 B．4 C．1 D.
答案　C
解析　由直径所对圆周角为，可以联想到以AB为直径的圆O与椭圆交于A，B两点，且F2在圆O上，圆的半径为c＝＝，故圆的方程为x2＋y2＝3，联立方程解得y＝±，所以S△AF2B＝××＝1.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线的方程为－＝1.
6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　依题意有(2b)2＝2a·2c，即4b2＝4ac，
∴b2＝ac.
又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.
两边同除以a2并整理得1－()2－＝0，
即有e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
7．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
8．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B．4－2
C. D.－1
答案　D
解析　点A，B关于原点对称，故以线段AB为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c，设A(x0，y0)，则结合|OA|＝r＝c及y＝－x，得y0＝－x0，x＋y＝c2，A，代入椭圆方程，得＋＝1，由b2＝a2－c2化简，得c4－8a2c2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，e2＝＝4±2.结合0＜e＜1，得e2＝4－2，即e＝－1.
二、填空题
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，离心率e＝.若点P为双曲线右支上一点，则|PF1|－|PF2|＝________.
答案　8
解析　由题意得c＝2，e＝＝，
∴a＝4，|PF1|－|PF2|＝2a＝8.
10．已知A为椭圆＋＝1上的动点，MN为圆(x－1)2＋y2＝1的一条直径，则·的最大值为________．
答案　15
解析　由题意得圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，
那么·＝(－)·(－)
＝·－·(＋)＋2
＝－1＋2，
显然A取(－3,0)时2取得最大值16，
此时·的最大值为－1＋16＝15.
11．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
答案　
解析　如图，设双曲线的右焦点为M，连接PM.
∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中，
|EF|＝ .
又＝(＋)，
∴E是PF的中点，
∴|PF|＝2|EF|＝2 ，
|PM|＝2|OE|＝a.
由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a，
∴2 －a＝2a，
∴e＝＝.
三、解答题
12．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，过O作OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
解　由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，
又直线AB过点D(2,1)，
∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过点O，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，由
得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)
＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25
＝25－5p－50＋25＝－5p，
∴＋(－5p)＝0，∴p＝，
∴抛物线的方程为y2＝x.
13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
解　(1)由题意得解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，
即x＋2y＝4，
∵A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M，
∴直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N.
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，
即x2＋y2－y＋＝0，
∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点F.
四、探究与拓展
14．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则||·||的值为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．15
答案　D
解析　由椭圆标准方程，知a＝4，b＝2，c＝2.
当P为左、右顶点时(不妨令P为右顶点)，
||＝a＋c＝6，||＝a－c＝2，
则·＝6×2×cos 0°＝12，
故P不为左、右顶点．
设和的夹角为θ，
因为·＝9，
所以||·||cos θ＝9.
在△PF1F2中，由余弦定理，得2|PF1||PF2|·cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2，
即2|PF1|·|PF2|cos θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2－2|PF1|·|PF2|，
2×9＝(2×4)2－(2×2)2－2||·||，
即||·||＝15，故选D.
15.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
而|AF1|＋|AF2|＝|F1B|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，解得a＝2.又e＝＝，所以c＝a＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由消去y，
整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，
所以m≠0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
即4k2－m2＋3＝0.①
此时x0＝－＝－，y0＝，故P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，由图形的对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m，k恒成立．
因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，
所以由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
即(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.②
由②式对满足①式的m，k恒成立，
所以有得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　D
解析　∵y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于(　　)
A．22 B．21 C．20 D．13
答案　A
解析　由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，
又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.
3．已知双曲线x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
答案　C
解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，
∴c＝， 故右焦点坐标为.
4．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　B
解析　由tan＝＝，有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，
则e＝＝2，故选B.
5．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r的值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D.
答案　D
解析　因为双曲线的渐近线为y＝± x，
即x±y＝0，
已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，
得到d＝＝＝r，故选D.
6．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)
A．4 B．2 C．－4 D．－2
答案　D
解析　椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，即为抛物线x2＝2py的焦点，∴＝－1，∴p＝－2.
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近的焦点的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案　B
解析　由题意，知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，∴所求双曲线的方程为x2－＝1.
8．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案　C
解析　当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a＝2，而|AB|＝4，故可有2条，若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4，故只有1条，所以满足条件的直线有3条．
9．已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝± x，
则＝，即＝，∴a＝3，半焦距c＝＝，
∴e＝＝，故选D.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可得解得＝，
∴e＝＝.
11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
答案　C
解析　由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
12．已知拋物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　拋物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由拋物线的定义可得5＝1＋，得p＝8，即y2＝16x，M(1,4)．双曲线－y2＝1的左顶点为A(－，0)，渐近线方程为y＝± x，直线AM的斜率为 .由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得＝，解得a＝，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
答案　2
解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．
答案　3x2－y2＝1
解析　由题意可得e＝＝2，则c＝2a，设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，
那么d＝＝＝b＝1，而c2＝4a2＝a2＋b2，
解得a2＝，
则所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.
15．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A，B两点．若|AB|＝6，则p的值为________．
答案　
解析　因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝，
由得x2－3px＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，
∴p＝.
16．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
答案　2
解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，
解得e＝2或e＝－(舍去)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解　(1)当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
∵离心率e＝，∴＝.
又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，
∴＋＝1，∴a2＝9，b2＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设其方程为＋＝1(a>b>0)．
同理可得a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，
∴b2＝9，∴b＝3，a＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
18．(12分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
解　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝＝2.
由2＝6，解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
19．(12分)已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
20．(12分)已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
解　(1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1由得x＝±，
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时，|t|＝，解得t＝±，
所以点P的坐标是.
21．(12分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
解　(1)依题意知F1点坐标为(－c,0)，
设M点坐标为(－c，y)．
若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，
则直线AB的斜率k＝.

则有＝，∴y＝.①
又∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.②
由①②得＝，∴＝，
即椭圆的离心率为.
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2＝0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，
设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，
则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.
在△F1QF2中，cos θ＝
＝＝－1≥－1＝0.
②当点Q与椭圆长轴的站点不重合时，
当且仅当m＝n时，等号成立，
∴0≤cos θ≤1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈.
综上∠F1QF2的取值范围是.
22．(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)斜率为定值．理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，
直线PA的方程为y－＝k(x－2)，
联立
消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝，
同理可得x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
∴kAB＝＝＝，
即直线AB的斜率为定值.