第2章圆锥曲线与方程学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测+模块检测

滚动训练(三)
一、填空题
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为________．
答案　y2＝±8x
解析　由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________．
考点　“p∨q”形式命题真假性的判断
题点　由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
答案　[2，＋∞)
解析　由p：?x∈R，mx2＋1≤0，可得m＜0；
由q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，可得Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2.
因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，
若p是假命题，则有m≥0；
若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，
故实数m的取值范围为[2，＋∞)．
3．已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若·＝0，||·||＝8，则该椭圆的标准方程是________．
考点　椭圆的标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　由·＝0，
得⊥，即MF1⊥MF2，
由勾股定理，得MF21＋MF＝(2c)2＝20，
且||·||＝8，
解得||＝4，||＝2(假设||＞||)，
所以根据椭圆的定义，
可得||＋||＝2a＝6，即a＝3，
所以b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的方程为＋＝1.
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是________．
考点　由椭圆方程研究简单几何性质
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　(0,3)∪
解析　当焦点在x轴上时，
e＝∈，
∴∈，∴k∈；
当焦点在y轴上时，e＝∈，
∴k∈(0,3)．
故实数k的取值范围是(0,3)∪.
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为________．
考点　由双曲线的简单几何性质求方程
题点　渐近线为条件求双曲线的标准方程
答案　－＝1
解析　e＝，即c＝a，a＝b，
渐近线方程为－＝0，即y＝±x，
因为左顶点到一条渐近线的距离为＝，
解得a＝2，b＝2，
即该双曲线的标准方程为－＝1.
6．已知抛物线C：x2＝16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一个交点，若＝3，则PF＝________.
考点　抛物线的简单几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　
解析　由抛物线C：x2＝16y可得焦点为F(0,4)，
准线方程为y＝－4，
设M(a，－4)，P，
则＝(a，－8)，＝.
因为＝3，
所以a＝3m，－8＝－12，解得m2＝.
由抛物线的定义，得PF＝＋4＝.
7．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的范围
答案　(－4,0)
解析　由g(x)＝2x－2＜0，可得x＜1，
∴要使?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，
必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0恒成立．
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，
∴二次函数f(x)必须开口向下，
且方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，
即解得－4＜m＜0.
8．与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是__________________．
考点　由双曲线的简单几何性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案　－＝1
解析　设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
∵所求双曲线经过点(3，－3)，∴－＝λ，
∴λ＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，则椭圆的标准方程为____________．
考点　由椭圆的简单几何性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　由椭圆的左顶点的坐标为A(－a,0)，
上、下顶点的坐标为B(0，b)，C(0，－b)，
右焦点为F(c,0)，
得直线AB的方程为y＝x＋b，
直线CF的方程为y＝x－b，
又因为直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，
把点(3a,16)分别代入直线方程可得
解得b＝4且3a＝5c.
又因为a2＝b2＋c2，解得a＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
11．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是________．
答案　6x－4y－3＝0
解析　设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F，所以3×－2×0＋c＝0，
所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.
二、解答题
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若AF＝2BF，求k的值．
解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由消去y得，
k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝4.
由抛物线定义得AF＝x1＋2，BF＝x2＋2，
又∵AF＝2BF，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2，代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0，
∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，∴＝5，
∴k2＝.∵k>0，∴k＝.
13．已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围．
考点　“p∨q”形式命题真假性的判断
题点　由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
解　将方程－＝1改写成＋＝1，
只有当1－m＞2m＞0，即0＜m＜时，
方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于0＜m＜；
因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，
所以m＞0，且1＜＜4，解得0＜m＜15，
所以命题q等价于0＜m＜15.
若p真q假，则m不存在；
若p假q真，则≤m＜15.
综上可知m的取值范围为≤m＜15.
三、探究与拓展
14．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则A，B两点间的距离为________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　3
解析　由题意可设lAB：y＝x＋b.
把直线lAB的方程代入y＝－x2＋3中，得
x2＋x＋b－3＝0，Δ＝1－4(b－3)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1，
∴线段AB的中点坐标为，
∵该点在直线x＋y＝0上，
∴－＋＝0，得b＝1，
∴x1x2＝b－3＝－2.
∴AB＝
＝
＝
＝×＝3.
故A，B两点间的距离为3.
15．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(－2,1)是C1上一点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设A，B，Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P，Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E，证明：直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
(1)解　由题意，得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明　由题意，得A(－2，－1)，B(2,1)，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得x2＋2tx＋2t2－4＝0，
由Δ＝－4t2＋16＞0，解得－2＜t＜2.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4，
∴kPD＋kPE＝＋
＝，
而(y2－1)(－x1＋2)＋(－y1－1)(x2＋2)
＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝0，
∴kPD＋kPE＝0，
∴直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
滚动训练(二)
一、填空题
1．已知命题p：?x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　[0,4]
解析　∵p是假命题，
∴?x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，
∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是________．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　椭圆
解析　设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知PO＝MF2，PF1＝MF1，
又MF1＋MF2＝2a，所以PO＋PF1＝a>F1O＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
3．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是________．
答案　?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
解析　原命题是全称命题，条件为?x∈R，结论为?n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论．
4．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
答案　4
解析　设椭圆的另一个焦点为E，则MF＋ME＝10，
∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴ON＝ME＝4.
5．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是________．
答案　
解析　将直线y＝x＋1代入椭圆x2＋2y2＝4中，
得x2＋2(x＋1)2＝4，
∴3x2＋4x－2＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝－，
代入直线方程y＝x＋1中，得y＝，
∴弦的中点坐标是.
6．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的充要条件是________．
答案　0解析　作出函数f(x)＝|log2x|的图象如图所示，
可得
故00)上不是单调函数的充要条件．
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率e的取值范围是________．
答案　
解析　设M(x，y)，∵·＝0，
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径．
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，∴b>c，∴a2>2c2，
∴2<，∴08．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.
答案　或4
解析　方程化为x2＋＝1，则有m>0且m≠1.
当<1，即m>1时，依题意有＝，
解得m＝4，满足m>1；
当>1，即0解得m＝，满足0综上，m＝或4.
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　
解析　由题意，可得M或M.
∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，
∴×2c×b＝3××c×，
∴b＝a，∴c＝＝a，
∴e＝＝.
10．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1.与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
答案　
解析　由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组
消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝ ＝.
11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案　90°
解析　由题意知，切线的斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋a(k＞0)，
与椭圆方程联立得消去y，
整理得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，
即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，
从而y＝x＋a，交x轴于A，
又F(c,0)，所以＝，＝(c，－a)，
则·＝0，故∠ABF＝90°.
二、解答题
12．已知方程＋＝1表示椭圆，求实数m的取值范围．
考点　椭圆的标准方程
题点　已知椭圆的焦点位置、焦距求参数
解　(1)当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，
则有5－2m>m＋1>0，解得－1(2)当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，
则有m＋1>5－2m>0，解得综上，m的取值范围为∪.
13．在平面直角坐标系xOy中，点A(－2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)直线l：y＝x－1与曲线C相交于P1，P2两点，Q是x轴上一点，若△P1P2Q的面积为6，求Q点的坐标．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
解　(1)设M(x，y)，则×＝－，
化简整理得，点M的轨迹C的方程为
＋＝1(x≠±2)．
(2)由消去y，得7x2－8x－8＝0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴P1P2＝
＝|x1－x2|＝.
设Q(m,0)，则Q到直线l的距离d＝，
依题意，得×P1P2×d＝6，
化简得|m－1|＝7，解得m＝8或m＝－6，
故所求点为Q(8,0)或Q(－6,0)．
三、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有______个．
答案　6
解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
15．已知圆G：x2＋y2－x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中定点、定值、取值范围问题
解　(1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，
∴F(1,0)，B(0，)，
∴c＝1，b＝，
∴a2＝4，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2)．
由消去y，
得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋1＋m2
＝.
∵点F在圆E的内部，
∴·＜0，即＜0，
解得＜m＜.
由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，
解得－＜m＜.
又m＞2，∴2＜m＜.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________．
答案　
解析　∵椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，
∴右焦点到直线x－3y＝0的距离d＝＝.
2．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　△ABF2的周长为4a，且4a＝8，所以a＝2，
得k＝2，所以b2＝3，
所以e＝＝＝.
3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，AF＝2，则BF＝________.
答案　2
解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，
则依题意有焦点F(1,0)，AF＝x1＋1＝2，
∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故BF＝AF＝2.
4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．
答案　
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为＝.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
答案　20
解析　由椭圆定义知，△ABF2的周长为4a，
又e＝＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16，
∴a＝5，∴△ABF2的周长为20.
6．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案　44
解析　由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ上，所以P，Q都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，由PA＋QA＝PQ＝2×8＝16，得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.
7．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．
答案　y＝±x
解析　∵y2＝8x焦点坐标是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．
答案　3x2－y2＝1
解析　由题意可得e＝＝2，则c＝2a，设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，
那么d＝＝＝b＝1，
而c2＝4a2＝a2＋b2，解得a2＝，
则所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.
9．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹方程为________．
答案　＋＝1
解析　设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，
＝(－1－x，－1－y)．
所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)
＝x2＋y2－2.
由已知得x2＋y2－2＝，即＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，且椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF1F2的面积为________．
答案　4
解析　点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，
不妨记PF1＝3，则PF2＝7，又2c＝6，
所以cos∠PF2F1＝＝，
从而可得sin∠PF2F1＝，
所以＝×6×7×sin∠PF2F1＝4.
11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
答案　
解析　在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a，所以a＝7，则e＝＝.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
答案　3
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.
13．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
答案　
解析　由P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0,1)，准线为y＝－1，
∴FM＝2，PQ＝1＋＝，MQ＝1，
则直角梯形PQMF的面积为××1＝.
14．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线－＝－1的渐近线方程是y＝±x.其中所有不正确命题的序号是________．
答案　①②④
解析　①表示的图形是一个点(1,0)；②e＝；③正确；④渐近线方程为y＝±x.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解　(1)当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
∵离心率e＝，∴＝.
又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，
∴＋＝1，∴a2＝9，b2＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设其方程为＋＝1(a>b>0)．
同理可得a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，
∴b2＝9，∴b＝3，a＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
16．(14分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
解　椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，
于是设双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，
又双曲线过点(0,2)，∴c＝5，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，
∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，
焦距为10，离心率e＝＝，
渐近线方程是y＝±x.
17．(14分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．
解　设椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1，焦距2c＝2，
由已知得a1－a2＝4，∶＝3∶7，
解得a1＝7，a2＝3，c＝，
所以b＝36，b＝4，所以两条曲线的方程分别为
＋＝1，－＝1.
18．(16分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
解　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
Δ＝4(4＋m)2－64＞0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为＝
＝＝2.
由2＝6，解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意且满足Δ＞0.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
19．(16分)已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
解　(1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1由得x＝±，
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时，|t|＝，解得t＝±，
所以点P的坐标是.
20．(16分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
解　(1)依题意知F1点坐标为(－c,0)，
设M点坐标为(－c，y)．
若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，
则直线AB的斜率k＝.

则有＝，∴y＝.①
又∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.②
由①②得＝，∴＝，
即椭圆的离心率为.
(2)设QF1＝m，QF2＝n，∠F1QF2＝θ，
则m＋n＝2a，F1F2＝2c.
在△F1QF2中，cos θ＝
＝＝－1≥－1＝0.
当且仅当m＝n时，等号成立，∴0≤cos θ＜1，
又∵θ∈(0，π)，
∴θ∈.
又当Q为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈.
即∠F1QF2的取值范围是.
§2.2　椭　圆
2.2.1　椭圆的标准方程
学习目标　1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．
知识点　椭圆的标准方程
思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c,0)，
F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距F1F2＝2.
1．椭圆的标准方程只与a，b的大小有关．(×)
2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c且a2＝b2＋c2.(√)
类型一　求椭圆的标准方程

例1　求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．
解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意，故舍去．
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．
解　据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
2．与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得，2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

例2　已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．
解　依题意得C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设M(x，y)，动圆的半径为R，
则MC1＝1＋R，MC2＝9－R，
故MC1＋MC2＝10>6＝C1C2，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
反思与感悟　用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．
跟踪训练2　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取PF1＝，PF2＝，
由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2.
即a＝.
由PF1>PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．
在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
类型二　椭圆中焦点三角形问题
例3　已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
解　由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴F1F2＝2.
又由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos∠F1PF2，
即4＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2cos 30°，
即4＝20－(2＋)PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝16(2－)．
∴＝PF1·PF2sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
反思与感悟　1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．
2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF1＋MF2＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
跟踪训练3　在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积＝b2tan.
证明　在△PF1F2中，根据椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a.
两边平方，得PF＋PF＋2PF1·PF2＝4a2.①
根据余弦定理，得PF＋PF－2PF1·PF2cos α＝4c2.②
①－②，得(1＋cos α)PF1·PF2＝2b2，
所以PF1·PF2＝.
根据三角形的面积公式，得＝PF1·PF2sin α＝··sin α＝b2·.
又因为＝＝＝tan，
所以＝b2tan.
类型三　求与椭圆有关的轨迹方程
例4　已知B，C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解　以BC的中点O为坐标原点，过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝BC，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
反思与感悟　求动点的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．
跟踪训练4　如图，设定点A(6,2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP中点M的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　设M(x，y)，P(x1，y1)．
∵M为线段AP的中点，
∴
又∵＋＝1，
∴点M的轨迹方程为＋＝.
1．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________．
答案　(0，－)，(0，)
解析　椭圆方程可化为＋＝1，它的焦点位于y轴上，且c＝，
故两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．
2．已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
答案　11或29
解析　当焦点在x轴上时，20－k＝32，解得k＝11；当焦点在y轴上时，解得k－20＝32，即k＝29.
3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形．
答案　直角
解析　根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝8.
又PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3.
而F1F2＝4，所以F1F＋PF＝PF，
所以△PF1F2是直角三角形．
4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
答案　充要
解析　方程可化为＋＝1.
若m>n>0，则0<<，可得方程为焦点在y轴上的椭圆．
若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则>>0，可得m>n>0.
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则PF1·PF2＝________.
答案　48
解析　依题意知，a＝7，b＝2，c＝＝5，
F1F2＝2c＝10.
由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝100.
又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，
∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.
1．椭圆的定义式：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．在解题过程中将PF1＋PF2看成一个整体，可简化运算．
2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF1＋MF2＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．
一、填空题
1．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为________．
答案　16或14
解析　由m－15＝±1得m＝16或14.
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为________．
答案　1
解析　原方程可化简为x2＋＝1，因为c2＝－1＝4，得k＝1.
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1
解析　由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．设α∈，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为________．
答案　
解析　由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，
∵α∈，∴0<α<.
5．过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是________．
答案　4
解析　方程可化为＋y2＝1，∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.
∴△ABF2的周长为AF1＋AF2＋BF2＋BF1＝2a＋2a＝4a＝4.
6．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．
答案　15
解析　由椭圆定义知PM＋PF1＝PM＋2×5－PF2，
而PM－PF2≤MF2＝5，
所以PM＋PF1≤2×5＋5＝15.
7．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是____________．
答案　＋＝1
解析　由AF1＋AF2＝2a＝4得a＝2，
∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
8．已知椭圆经过点(，0)且与椭圆＋＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为________________．
答案　＋＝1
解析　椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且c＝＝，
故所求椭圆的焦点在y轴上．
又∵它过点(，0)，∴b＝，a2＝b2＋c2＝8.
故这个椭圆的标准方程为＋＝1.
9．“1答案　必要不充分
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．
10．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．
答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　方程(k2－1)x2＋3y2＝1可化为＋＝1.
由椭圆焦点在y轴上，得解得k＞2或k＜－2.
11．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．
答案　
解析　由已知得PF1＋PF2＝2a＝20，
F1F2＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 60°，
即144＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝.
二、解答题
12．点A在椭圆＋＝1上运动，B(－4,0)，C(4,0)，求△ABC的重心G的轨迹方程．
解　设G(x，y)，A(x′，y′)，
则即
又点A在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A, ∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝AF1＋AF2
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
三、探究与拓展
14．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若F2A＋F2B＝12，则AB＝________.
答案　8
解析　由题意，知(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝AB＋AF2＋BF2＝2a＋2a，又由a＝5，可得AB＋(BF2＋AF2)＝20，即AB＝8.
15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3 m，求这个椭圆的标准方程．
解　以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F1，F2所在直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得，2a＝3,2c＝2.4，
故a＝1.5，c＝1.2，所以b2＝a2－c2＝0.81.
所以这个椭圆的标准方程为＋＝1.
2.2.2　椭圆的几何性质(一)
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
梳理　椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
知识点二　椭圆的离心率
思考　如何刻画椭圆的扁圆程度？
答案　用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．
梳理　(1)焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
记为：e＝.
(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)
1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(×)
2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(×)
4．设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a＋c.(c为椭圆的半焦距)(√)
类型一　由椭圆方程研究其几何性质
例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
解　已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．
引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
解　由已知得椭圆标准方程为＋＝1，
于是a＝，b＝，c＝＝.
∴长轴长2a＝，短轴长2b＝，
离心率e＝＝.
焦点坐标为和，
顶点坐标为，.
反思与感悟　解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解　椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，
焦点坐标为(0,6)，(0，－6)，
顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．
离心率e＝＝.
类型二　椭圆几何性质的简单应用

例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
解　(1)由题意知，2c＝8，∴c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思与感悟　依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．
跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12.
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.

例3　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
解　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵＝ ＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋
＝－32＋4b2＋3，
令f(y)＝－32＋4b2＋3.
当－b≤－，即b≥时，
d＝f＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
当－<－b，即0解得b＝－±，与0＜b＜矛盾．
综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.
反思与感悟　求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练3　已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是________．
答案　2
解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.
类型三　求椭圆的离心率
例4　如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解　设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为，
且△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，F1F＋MF＝MF，
即4c2＋b2＝MF.
而MF1＋MF2＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.
反思与感悟　求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝ 求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
跟踪训练4　已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆C的离心率．
解　若焦点在x轴上，得
解得
∴c＝＝＝2，
∴e＝＝；
若焦点在y轴上，得
得∴c＝＝＝10，
∴e＝＝＝.
故椭圆C的离心率为.
1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为________．
答案　
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，又∵0＜e＜1，∴e＝.
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________．
答案　x2＋＝1
解析　由已知得c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
又椭圆的焦点在y轴上，
故椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
答案　
解析　由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
又∵0＜e＜1，∴e＝或e＝－1(舍去)．
4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案　
解析　∵焦点在y轴上，∴0∴a＝，b＝，∴c＝，
又e＝＝，∴＝，解得m＝.
5．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
答案　[4－2，4＋2]
解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．
1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．
2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．
3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．
4．与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1.
一、填空题
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________．
答案　14,4，
解析　先将椭圆方程化为标准形式，得＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1
解析　依题意得c＝2， a＋b＝10 ，
又a2＝b2＋c2从而解得a＝6，b＝4.
3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　依题意得，4b2＝4ac，∴＝，即1－e2＝e.
∴e2＋e－1＝0，∴e＝(舍去负值)．
4．已知椭圆的方程＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，F1F2＝2，离心率e＝，则椭圆的标准方程为________________．
答案　＋＝1
解析　因为F1F2＝2，离心率e＝，
所以c＝1，a＝2，
所以b2＝3，椭圆方程为＋＝1.
5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．
答案　＋y2＝1或＋＝1
解析　若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，∴＝1－＝，∴a2＝4b2＝16，
∴方程为＋＝1.
6．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是________．
答案　±
解析　设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2⊥x轴，
因为a2＝12，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝9，c＝3.
所以点P和点F2的横坐标都为3.
故将x＝3代入椭圆方程，可得y＝±.
7．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________．
答案　
解析　椭圆方程可化简为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.
8．已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
答案　
解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．
∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　
解析　由题意可设PF2＝m，结合条件可知PF1＝2m，F1F2＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
11．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
答案　
解析　设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，
故cos 60°＝＝＝，
解得＝，故离心率e＝.
二、解答题
12．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，
短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e＝.
13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解　(1)设椭圆的标准方程为
＋＝1 (a>b>0)或＋＝1 (a>b>0)．
由已知得2a＝6，e＝＝，∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
三、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1A∥F2B，F1A＝2F2B，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　由F1A∥F2B，F1A＝2F2B，得＝＝，
从而＝，整理得a2＝3c2.故离心率e＝＝.
15．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得
t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
2.2.2　椭圆的几何性质(二)
学习目标　1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．
知识点一　点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)．
(1)当P在椭圆外时，＋>1；
(2)当P在椭圆上时，＋＝1；
(3)当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
答案　有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．
思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
答案　联立消去y得关于x的一元二次方程，则
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．
(2)根与系数的关系及弦长公式：
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．AB＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√)
2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(√)
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)
4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)
类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断

例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
答案　∪
解析　依题意得，＋>1，
解得k<－或k>.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？
答案　∪
解析　依题意得，＋>1，解得k2>，
即k<－或k>.
反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
跟踪训练1　已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
答案　9
解析　依题意得，＋＝1，
而m＋n＝(m＋n)
＝1＋＋＋4
＝5＋＋
≥5＋2＝9，
(当且仅当n＝2m时等号成立)
故m＋n的最小值为9.

例2　对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由消去y，
得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
反思与感悟　判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
类型二　弦长及中点问题
例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
经检验，当k＝－时，(*)式的判别式Δ＞0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即直线AB的斜率kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三　对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
引申探究
在本例中求弦AB的长．
解　由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组消去y并整理，得
x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，
故AB＝＝2.
反思与感悟　直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是AB＝
＝ 
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x3＋x4＝8，y3＋y4＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以AB＝
＝＝
＝ ＝ .
所以当m＝0时，AB最大，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟　求最值问题的基本策略
(1)求解形如PA＋PB的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PA＋PB取得最值，即应用“化曲为直”的思想．
(2)求解形如PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
跟踪训练4　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．
解　由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连结PA(如图)，
则||＝ 
＝，
∵由椭圆方程知a＝5，c＝3，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
答案　(－，)
解析　由题意知＋<1，解得－2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．
答案　相离
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4(a2－3)y2＋8·(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2.
4．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案　(－2,2)
解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，∴－25．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程．
解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由MN＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝＝
＝·，
或AB＝ 
＝ ·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
一、填空题
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b＝________.
答案　±1
解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，
所以b＝1或－1.
2．已知A1，A2，B1，B2，F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F2B2F1面积的2倍，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　依题意得，×b×2a×2＝2××b×2c×2，
即a＝2c，故离心率e＝＝.
3．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
答案　2
解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
4．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么F1A＋F1B的值为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由联立得3x2－4x＝0，
可知A(0，－1)，B，
又F1(－1,0)，∴F1A＋F1B＝＋＝.
5．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取最大值的点P的坐标为________．
答案　(0,1)或(0，－1)
解析　由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4，
∴PF1·PF2≤2＝4，
当且仅当PF1＝PF2＝2，
即P(0，－1)或(0,1)时，取等号．
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为________．
答案　±
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
设交点的纵坐标为y0，
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
7．已知椭圆：＋＝1(0答案　
解析　由题意知a＝2，所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8，因为BF2＋AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为____________．
答案　2
解析　∵
∴b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝(q＋r)(p＋r)，
∴2b＝2.
9．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，
解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　由题意得，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)，
因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6.
11．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．
答案　或
解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，
直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，
其中x1故x2＝－x1＝.
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝ .
由D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
由此解得k＝或k＝.
二、解答题
12．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求||.
解　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y，
整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，
解得－所以b的取值范围是(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.相应地，y1＝1，y2＝－.
所以||＝＝.
13．设直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1(a>1)相交于A，B两点，且l过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C的方程．
解　由椭圆C：＋＝1(a>1)
得c＝＝1，
∴椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
又∵l经过点F2，
∴m＝－1，即直线l的方程为y＝x－1，
代入＋＝1(a>1)得
(2a2－1)x2－2a2x＋2a2－a4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝.
又∵以AB为直径的圆过点F1，∴AF1⊥BF1.
∴kAF1·kBF1＝－1，即·＝－1，
∴y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∵y1＝x1－1，y2＝x2－1，
∴(x1－1)(x2－1)＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即x1x2＝－1，∴＝－1，
解得a2＝2±.
又∵a2>1，∴a2＝2＋，即a2－1＝1＋.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
三、探究与拓展
14．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
答案　
解析　设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
15．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明　椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由
消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解　∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
§2.3　双曲线
2.3.1　双曲线的标准方程
学习目标　1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点　双曲线的标准方程
思考　双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？
答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理　(1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．方程－＝1(m·n＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
2．在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(×)
3．在双曲线标准方程－＝1(a＞0，b＞0)中，焦距为2c，则a2＝b2＋c2.(×)
类型一　求双曲线的标准方程
例1　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，
F2(0,3)，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
∵双曲线过点(－2，)，∴－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练1　(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
类型二　曲线方程的讨论
例2　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．
解　由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m＞5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
反思与感悟　给出方程＋＝1(mn≠0)，当mn＜0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；当时，表示焦点在y轴上的双曲线．
跟踪训练2　(1)“3＜m＜5”是“方程＋＝1表示双曲线”的_________条件．
答案　充分不必要
解析　(m－5)(m2－m－6)＝(m－5)(m－3)(m＋2)．
①方程＋＝1表示双曲线
?(m－5)(m2－m－6)＜0，即(m－5)(m－3)(m＋2)＜0
?3＜m＜5或m＜－2
?3＜m＜5，
∴3＜m＜5不是“＋＝1表示双曲线”的必要条件．
②3＜m＜5?(m－5)(m－3)(m＋2)＜0，
即(m－5)(m2－m－6)＜0
?＋＝1表示双曲线．
∴3＜m＜5是＋＝1的充分条件．
(2)讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
解　由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k＜9,9＜k＜25，k＞25，分别进行讨论．
①当k＜9时，25－k＞0,9－k＞0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
②当9＜k＜25时，25－k＞0,9－k＜0，所给方程表示双曲线，此时a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
③当k＞25时，所给方程没有轨迹．
类型三　双曲线的定义及标准方程的应用
例3　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64，
所以＝PF1·PF2·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
所以PF＋PF－2PF1·PF2＝36，①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝100，②
将②代入①得PF1·PF2＝32，
所以＝PF1·PF2＝16.
反思与感悟　求双曲线－＝1中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式＝PF1·PF2sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：
利用公式S△PF1F2＝F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
同理可求得双曲线－＝1中焦点三角形的面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，特别是与PF＋PF，PF1·PF2间的关系．
跟踪训练3　如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．
解　在△MF1F2中，由余弦定理，
得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2·cos θ.①
∵F1F＝4c2，MF＋MF＝(MF1－MF2)2＋2MF1·MF2＝4a2＋2MF1·MF2，
∴①式化为4c2＝4a2＋2MF1·MF2(1－cos θ)，
∴MF1·MF2＝，
∴＝MF1·MF2·sin θ＝
＝＝.
1．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
答案　(－1,1)
解析　依题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，解得－12．双曲线－＝1的焦距为________．
答案　8
解析　依题意得焦距为2＝8.
3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为－＝1.
4．已知双曲线2x2－y2＝k(k≠0)的焦距为6，则k的值为________．
答案　±6
解析　由题意知，k≠0.
当k>0时，方程化为－＝1，
∴c2＝＋k＝，∴2×＝6，解得k＝6.
当k<0时，方程化为－＝1，
∴c2＝－k，∴2× ＝6，解得k＝－6.
综上，k＝－6或k＝6.
5．已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________．
答案　
解析　由于双曲线－＝1的右焦点为F(5,0)，设M(xM，yM)，将xM＝5代入双曲线方程可得|yM|＝，即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知M到左焦点的距离为＋2×3＝.
求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
与双曲线－＝1有相同焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2＜k＜b2)．
已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
一、填空题
1．满足条件：a＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________．
答案　－＝1
解析　由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x轴上，且c＝4，由c2＝a2＋b2，a＝2，可得b2＝12，故双曲线的标准方程为－＝1.
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________.
答案　1
解析　由题意知焦点在x轴上，因此4－a＝a＋2，
所以a＝1.经检验，a＝1满足题意．故a＝1.
3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A(－2，－5)，则双曲线的标准方程是________．
答案　－＝1
解析　由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝6.
设F1(0，－6)，F2(0,6)分别为双曲线的焦点，
AF1＝＝，
AF2＝＝5，
根据双曲线的定义，2a＝|AF1－AF2|＝4，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝16，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F1(0，－5)，F2(0,5)，双曲线上任意一点P满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________．
答案　－＝1
解析　由题意得，焦点位于y轴上，且c＝5,2a＝6，所以a＝3，b2＝c2－a2＝16，因此所求双曲线的标准方程是－＝1.
5．已知双曲线－＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m＝________.
答案　5
解析　因为c＝＝3，所以解得m＝5.
6．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________．
答案　(9，＋∞)
解析　由题意得解得k>9.
7．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝________.
答案　
解析　设PF1＝d1，PF2＝d2，则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.
8．与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________________．
答案　－＝1
解析　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上，
∴设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
又∵两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①②得，a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
9．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左，右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，PF1＝2＋x，PF2＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以PF2＋PF1＝－1＋＋1＝2.
10．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
答案　－＝1
解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________．
答案　1或5
解析　由题意得Q为PF的中点，
设左焦点为F′，其坐标为(－3,0)，
∴OQ＝PF′.
若P在双曲线的左支上，
则OQ＝PF′＝(PF－2a)＝×(6－2×2)＝1；
若P在双曲线的右支上，
则OQ＝PF′＝(PF＋2a)＝(6＋2×2)＝5.
综上，||＝1或5.
二、解答题
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，||·||＝2，求双曲线的方程．
解　∵·＝0，∴⊥，
∴||2＋||2＝||2＝20a.①
又|||－|||＝4.②
①－②2，得2||·||＝4a.
∵||·||＝2，∴a＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
13．已知双曲线－＝1的左，右焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设MF1＝m，MF2＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴S△MF1F2＝mn＝4＝F1F2·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
三、探究与拓展
14．双曲线 －＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的值为________．
答案　7或－2
解析　(1)当焦点在x轴上时，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上时，有m<0，
则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.
综上，m＝7或m＝－2.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状．
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝2，
又MF1＋MF2＝6，
故解得MF1＝4，MF2＝2，
又F1F2＝2，
所以在△MF1F2中，MF1边最长，
cos∠MF2F1＝<0，
又因为∠MF2F1∈(0°，180°)，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
2.3.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系．
知识点一　双曲线的性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点二　等轴双曲线
思考　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．
(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.
答案　(1)的实半轴长为1，虚半轴长为1
(2)的实半轴长为，虚半轴长为.
它们的实半轴长与虚半轴长相等．
梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.
1．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)
2．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)
3．等轴双曲线的离心率为.(√)
4．离心率是的双曲线为等轴双曲线．(√)
类型一　双曲线的几何性质
例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．
解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入，得
k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为
(1)判断：利用条件判断焦点的位置．
(2)设：设出双曲线的标准方程．
(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程．
(4)求：解参数方程，进而得标准方程．
跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，
∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三　双曲线的离心率
例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　求双曲线的离心率
解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，
知PF1＝F1F2，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以双曲线的离心率为1＋.
反思与感悟　求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝ 得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3　设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　求双曲线的离心率
答案　2
解析　如图所示，在△OAB中，
OA＝a，OB＝b，OE＝c，
AB＝＝c.
因为AB·OE＝OA·OB，
所以c·c＝ab，
即(a2＋b2)＝ab，
两边同除以a2，得2－＋＝0，
解得＝或＝(舍去)．
所以e＝＝ ＝ ＝2.
1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是________．
答案　y＝±x
解析　双曲线方程可化为标准形式－＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
2．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝3，则PF2＝________.
答案　7
解析　双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
由题意得＝，
又b2＝9，∴a＝2，
由双曲线定义知，|PF1－PF2|＝2a＝4，∴PF2＝7.
3．若双曲线的实轴长与虚轴长之比为，则双曲线的离心率e＝________.
答案　
解析　由题意得＝＝，∴e＝＝.
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，
∴双曲线方程为－y2＝1，
因此其渐近线方程为y＝±x.
5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为________．
答案　－＝1
解析　依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.
∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为－＝1.
1．双曲线离心率及其范围的求法：
(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．
(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ＞0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性．
2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，还可以将方程设为－＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．

一、填空题
1．已知点(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
答案　
解析　由题意知c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2，
得b2＝4－1＝3，所以b＝.
2．已知双曲线x2－＝1(m>0)的离心率为2，则m的值为________．
答案　3
解析　由题意得，a2＝1，b2＝m，c＝，根据双曲线离心率e＝＝＝2，得m＝3.
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是________．
答案　－＝1
解析　由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.
4．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．
答案　
解析　由题意2c＝AB＝BC，
∴AC＝2×2c×sin 60°＝2c，
由双曲线的定义，
有2a＝AC－BC＝2c－2c?a＝(－1)c，
∴e＝＝＝.
5．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．
答案　2
解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，
所以b＝＝＝2.
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4,0)．
焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2.
6．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．
答案　－＝1
解析　双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案　[2，＋∞)
解析　因为双曲线渐近线的斜率为k＝，
直线的斜率为k＝tan 60°＝，故有≥，
所以e＝＝≥＝2，
所以所求离心率的取值范围是e≥2.
8．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
答案　
解析　由双曲线的几何性质，可知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆心C的横坐标为±4.故圆心坐标为或.故圆心到双曲线中心的距离为.
9．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．
答案　(4，＋∞)
解析　∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e>，e2>2，即>2，∴m>4.
10．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则·的取值范围是________．
答案　[3＋2，＋∞)
解析　由题意知c＝2，∴a2＝22－12＝3，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
设点P的坐标为(x1，y1)(x1≥)，则－y＝1，
∴·＝(x1，y1)·(x1＋2，y1)
＝x＋2x1＋y＝x＋2x1＋－1
＝＋2x1－1.
∵函数f(x1)＝＋2x1－1在[，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥＋2－1＝3＋2.
11．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e＝________.
答案　
解析　设F(c,0)，则过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B，
由得A，
＝，＝，
由＝－3，
得＝－3，
则＝－3·，即b＝a，
则c＝＝a，则e＝＝.
二、解答题
12．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
解　(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0.
∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵双曲线经过点，∴×－＝λ.即λ＝1.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设F1，F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，
∵PF1⊥PF2，且OP＝6，
∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
∴a＝OP·tan ＝2，
∴b2＝c2－a2＝24.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
三、探究与拓展
14．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　因为MF1与x轴垂直，所以MF1＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，
即MF2＝3MF1.
由双曲线的定义，得2a＝MF2－MF1＝2MF1＝，
所以b2＝a2，
所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
15．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P(异于点A)，使·＝0，求此双曲线的离心率的取值范围．
解　设点P的坐标为(x，y)，
则由·＝0，得AP⊥PQ，
则点P在以AQ为直径的圆上，
即2＋y2＝，①
又点P在双曲线上，得－＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0.
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当x＝a时，点P与点A重合，不符合题意，舍去；
当x＝时，满足题意的点P存在，
需a即a2>2b2，即3a2>2c2，<，
又∵e＞1
所以离心率e＝∈.
§2.4　抛物线
2.4.1　抛物线的标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点　抛物线的标准方程
思考　抛物线的标准方程有何特点？
答案　(1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于.
梳理　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
1．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×)
2．方程x2＝2py(p＞0)表示开口向上的抛物线．(√)
3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√)
4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)
类型一　由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程
例1　已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．
解　将抛物线方程化为标准方程x2＝y(a≠0)，
则抛物线焦点在y轴上，
(1)当a＞0时，p＝，
∴焦点坐标F，
准线方程y＝－.
(2)当a＜0时，p＝－，
∴焦点坐标F，
准线方程y＝－，
综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F，准线方程是y＝－.
反思与感悟　根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．
跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．
答案　2　x＝－1
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0.
解　①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.
②由4x2＝y得x2＝y.
∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为，准线方程为y＝－.
③由3y2＝5x，得y2＝x.∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.
④由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，
故焦点坐标为，准线方程为x＝.
类型二　求解抛物线的标准方程
例2　根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
解　(1)双曲线方程可化为－＝1，
左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝AF＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
反思与感悟　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练2　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
解　设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点F，由题意，
得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
类型三　抛物线在实际生活中的应用
例3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为 m，所以h＝|yA|＋＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解　如图所示，以点B为坐标原点，过点B与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，
即y0＝－，所以OA的长为5－＝1.8(m)．
所以管柱OA的长为1.8 m.
1．已知抛物线的准线方程为x＝7，则抛物线的标准方程为________．
答案　y2＝－28x
解析　可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线方程为x＝7知，＝7，即p＝14.故抛物线的标准方程为y2＝－28x.
2．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p的值为________．
答案　4
解析　焦点的坐标为，由两点间的距离公式得＝5?p＝4.
3．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
答案　2
解析　因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即＝1，p＝2.
4．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案　2
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－，0)，
所以－＝－，解得p＝2.
5．已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则MN＋MF的最小值为________．
答案　
解析　将x＝2代入抛物线方程，得y＝±2.
∵3>2，∴点N在抛物线的外部．
MN＋MF≥NF，而F(1,0)，
则NF＝＝，
∴MN＋MF≥，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF＝x0＋.
一、填空题
1．抛物线y＝x2的准线方程是________．
答案　y＝－1
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－
＝－1.
2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．
答案　y2＝－4x
解析　由题意可设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
则有－＝－1，得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝－4x.
3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．
答案　y2＝x或x2＝－8y
解析　设所求抛物线的标准方程为y2＝2mx(m≠0)或x2＝2ny(n≠0)，
代入点P(4，－2)，解得m＝或n＝－4，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y.
4．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
答案　y2＝16x
解析　∵双曲线的方程为－＝1，
∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，即p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
5．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝x对称，则C2的准线方程是________．
答案　x＝－
解析　y＝2x2关于y＝x对称的曲线为抛物线y2＝x，其准线方程为x＝－.
6．已知一个圆的圆心C在抛物线y2＝4x上，并且与x轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________．
答案　2
解析　设圆心C(x0，y0)，则y＝4x0，①
依题意得，半径r＝|y0|＝|x0＋1|，②
由①②得x0＝1，
故圆的半径r＝2.
7．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________．
答案　x2＝±12y
解析　因为顶点与焦点距离等于3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的方程为x2＝±12y.
8．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________．
答案　
解析　方程化为y2＝－x，抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为.
9．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
答案　
解析　如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y2＝2px，得1＝2p×，解得p＝，故点B到准线的距离为＋＝p＝.
10．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为________．
答案　(1,2)或(1，－2)
解析　设A(x0，y0)，F(1,0)，＝(x0，y0)，
＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y＝－4.
∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0，
即x＋3x0－4＝0，x0＝1或x0＝－4(舍)．
∴x0＝1，y0＝±2.
则点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
11．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则PQ的最小值是________．
答案　－1
解析　设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3,0)，
要求PQ的最小值，只需求PO′的最小值．
设点P坐标为(y，y0)，
则PO′＝＝
＝ ，
∴PO′的最小值为，从而PQ的最小值为－1.
二、解答题
12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此可知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．
解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AF＋BF＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上， ∴QA＝QB，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
三、探究与拓展
14．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案　
解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
∵AF＋BF＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
15．设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求PB＋PF的最小值．
解　(1)如图，
抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于点P，故最小值为＝.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即最小值为4.
2.4.2　抛物线的几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点　抛物线的几何性质
思考　观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
答案　(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
梳理　四种形式的抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
通径长
2p
1．抛物线关于顶点对称．(×)
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√)
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√)
类型一　依据抛物线的几何性质求标准方程
例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3,
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.
引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．
解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
反思与感悟　用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1　已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若AB＝8，则直线l的方程为________________．
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．
答案　(1)16　(2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0　(3)
解析　(1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
(2)∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则AB＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，(*)
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，∴＝6，解得k＝±1.此时(*)式变为x2－6x＋1＝0，满足Δ＞0.
∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为 ＋1＝.
反思与感悟　1.抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为
(1)抛物线y2＝2px(p>0)，PF＝＝＋x0.
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)，PF＝＝－x0.
(3)抛物线x2＝2py(p>0)，PF＝＝＋y0.
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)，PF＝＝－y0.
2．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝.
(2)AB＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝.
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
3．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
跟踪训练2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
类型三　抛物线的综合问题

例3　抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值．
解　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知PF＝PN，
连结PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，
当＝最小时，sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，
切线PA的斜率一定存在，
设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，
此时＝＝cos∠NPA＝.
综上，的最小值为.
反思与感悟　1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．
2．在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．
跟踪训练3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
答案　2
解析　由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝＝2.

例4　抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若AF，MF，BF成等差数列．
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；
(2)若MF＝4，OQ＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程．
(1)证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则AF＝x1＋，BF＝x2＋，MF＝x0＋，x0为已知值．
由题意得x0＝，
∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，
其中t＝≠0(否则AF＝MF＝BF?p＝0)．
而kAB＝＝＝＝，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0)．
(2)解　由MF＝4，OQ＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.∴抛物线方程为y2＝8x.
反思与感悟　在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等．
跟踪训练4　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点．
证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0)．
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________．
答案　y2＝8x或y2＝－8x
解析　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为5，则m的值为________．
答案　±4
解析　由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以1＋＝5，p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x，将点P(1，m)代入方程，得m＝±4.
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________.
答案　8
解析　抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义及中位线定理得AB＝8.
4．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵AB＝8，∴|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即4p2＋4p2＝32.
又p>0，∴p＝2.
5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且AK＝AF，则△AFK的面积为________．
答案　8
解析　F(2,0)，K(－2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则AM＝AF，
∴AK＝AM，∴△AMK为等腰直角三角形．
设A(m2，2m)(m>0)，
则△AFK的面积S＝×4×2m＝4m.
又由AK＝AM，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2，
解得m＝，
∴△AFK的面积S＝4m＝8.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、填空题
1．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
答案　y2＝±8x
解析　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点坐标是，
故直线l的方程为y＝2，
令x＝0，得y＝－，
故△OAF的面积为××＝＝4，a＝±8，
故抛物线的方程为y2＝±8x.
2．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为________．
答案　8
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A.如果AF的斜率为－，那么PF＝________.
答案　8
解析　由题意得，准线l的方程为x＝－2，焦点F(2,0)，
设点A的坐标为(－2，n)，则＝－，
解得n＝4，由(4)2＝8x，得x＝6.
∴P(6,4)，∴PF＝6＋2＝8.
4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．
答案　
解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以的P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为.
5．当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，4)
解析　由题可知，联立整理可得x2－ax＋a＝0，当Δ＝a2－4a＝0时，解得a＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切．因为直线恒过定点(1,0)，所以结合图形(图略)可知a∈(－∞，4)．
6．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
答案　y2＝4x
解析　方法一　设抛物线方程为y2＝kx(k≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2),
∴x1＋x2＝k.
又∵P(2,2)为AB的中点，
∴＝2.
∴k＝4.∴y2＝4x.
方法二　由题意知，交点其一为原点，所以令A(0,0)，
又∵P(2,2)为AB的中点，∴B(4,4)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴p＝2，∴y2＝4x.
7．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为________．
答案　
解析　由题意知直线l过点和(2p,2p)，
所以l：y＝.
联立
整理得8x2－17px＋2p2＝0.
设另一交点坐标为(x1，y1)
由根与系数的关系，得x1＋2p＝，
所以焦点弦的长度为x1＋2p＋p＝.
8．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
答案　(3,2)
解析　设线段的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3,2)．
9．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为________．
答案　
解析　因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
则?4x2－4x－m＝0.①
设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入①式，得x＝，y＝1，
故所求点的坐标为.
10．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤8，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴AB＝＝≤8，
即≤1.∴－211．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
答案　
解析　如图，过A作AA1垂直于准线于A1，
过B作BB1垂直于准线于B1，
过B作BC⊥AA1，垂足为C，
设BF＝m，则AF＝3m，
由抛物线的定义知，AA1＝3m，BB1＝m.
所以在△ABC中，AC＝2m，
AB＝4m，kAB＝，
直线AB的方程为y＝(x－1)，
与抛物线方程联立消去y，得3x2－10x＋3＝0，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，
所以AB中点到准线的距离为＋＝＋1＝.
二、解答题
12．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴AB＝＝ 
＝ ＝.
∵AB＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；
(2)＋＝；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明　(1)如图所示，设AB中点为C(x0，y0)，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，
∴x1x2＝·＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知
FA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，
∴＋＝＋
＝＋＝
＝＝＝.
(3)∵CC1＝(AA1＋BB1)＝(AF＋BF)＝AB.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
三、探究与拓展
14．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________________________________________________________________．
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线位置关系
答案　∪
解析　设M(x1，x)，N(x2，x)关于直线y＝kx＋对称，∴＝－，即x1＋x2＝－.
设MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝k×＋＝4.
又中点P在抛物线y＝x2内，
∴4＞2，即k2＞，
∴k＞或k＜－.
15．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py (p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，
∴y2＝4y1，③
由①，②，③及p>0
得y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)直线l的斜率存在，设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
B(xB，yB)，C(xC，yC)．
由
得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得
k>0或k<－4.
∴b＞2或b＞18，
∴b∈(2，＋∞)．
§2.6　曲线与方程
2.6.1　曲线与方程
学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．
知识点　曲线与方程的概念
思考　到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答案　y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
梳理　如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．
1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)
2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)
3．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)

类型一　曲线与方程的概念
例1　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)
①方程f(x，y)＝0的曲线是C；
②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；
③f(x，y)＝0是曲线C的方程；
④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
答案　②
解析　不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．
反思与感悟　解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
跟踪训练1　设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：
①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；
③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.
其中判断正确的是________．(填序号)
答案　④
解析　“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．
类型二　点与曲线的位置关系
例2　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的________个．
答案　2
解析　由对数的真数大于0，得x＋2y＞0，
∴A(0，－3)，C不符合要求；
将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．
反思与感悟　点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)??f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．
跟踪训练2　证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在这个圆上．
解　(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由(1)，(2)可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边不等，(－2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．
类型三　曲线与方程关系的应用
例3　判断下列结论的正误，并说明理由．
(1)到x轴距离为4的点的直线方程为y＝－4；
(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(3)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.
解　(1)因到x轴距离为4的点的直线方程还有一个y＝4，即不具备完备性．所以结论错误．
(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1，即xy＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．
(3)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．
反思与感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练3　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－22＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
1．已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；
②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.
答案　③
2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)
①(－2,0)　②(1,2)　③(4,0)　④(3,1)
答案　①③
解析　将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．
3．若点M在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，则实数m＝________.
答案　－或2
解析　依题意得2＋(－m－1)2＝10，
解得m＝2或m＝－.
所以m的值为2或－.
4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________．
答案　两条相交直线
解析　原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，
∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.
5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
答案　4个点
解析　由题意，得
∴或或或
∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点．
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、填空题
1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为________．(填序号)
①一条直线 ②一条射线
③一条线段 ④不能确定
答案　②
解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
2．曲线C的方程为y＝2x－1(1① (0,0)　②(7,15)　③(2,3)　④(4,4)
答案　③
解析　由y＝2x－1(13．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．
答案　2
解析　由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，
故其面积为2.
4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)
①y＝alogax；②y＝；③y＝logaax；④y＝.
答案　③④
解析　由y＝logaax＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．
5．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．
答案　点(1,2)
解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．
6．若点M到两坐标轴的距离的积为2 016，则点M的轨迹方程是________．
答案　xy＝±2 016
解析　设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2 016，
所以xy＝±2 016.
7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案　必要不充分
解析　由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，
则当k≠0时，Δ＝[2(k－2)]2－4k2＝16(1－k)>0，
得k<1且k≠0，
故“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．
8．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k的值为________．
答案　±
解析　联立方程组消去y并整理，得
(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＝0，
即k＝±时，直线与椭圆有一个公共点．
9．如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：
①曲线C的方程是F(x，y)＝0；
②方程F(x，y)＝0的曲线是C；
③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；
④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．
其中正确的是________．(填序号)
答案　④
10．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所围的面积为________．
答案　4π
解析　设P(x，y)，∵PA＝2PB，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
∴(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
∴所围成的面积S＝π·22＝4π.
11．下列命题正确的是________．(填序号)
①△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；
②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
答案　③
解析　对照曲线和方程的概念，①中“中线AO的方程是x＝0 (0≤y≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y|＝5.从而只有③是正确的．
二、解答题
12．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解　由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
13．已知两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的一个交点为P(x0，y0)．求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
证明　因为P(x0，y0)是两曲线的交点，
所以点P的坐标既满足方程f(x，y)＝0，又满足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，
故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x，y)＋λg(x，y)＝0的解，
故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
三、探究与拓展
14．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
答案　①
解析　①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
15．方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲线是什么？
解　因为(2x＋3y－5)(－1)＝0，
所以可得或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.
2.6.2　求曲线的方程
2.6.3　曲线的交点
学习目标　1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．
知识点一　坐标法的思想
思考1　怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
答案　只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．
思考2　依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？
答案　不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．
梳理　(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．
知识点二　求曲线的方程的步骤
1．建系：建立适当的坐标系．
2．设点：设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)．
3．列式：列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0.
4．化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式．
5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
知识点三　曲线的交点
已知曲线C1：f1(x，y)＝0和C2：f2(x，y)＝0.
(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共点?
(2)求两曲线的交点，就是求方程组的实数解．
(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．
1．x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆．(×)
2．若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M在曲线f(x，y)＝0上．(√)
3．方程y＝x与方程y＝表示同一曲线．(×)
4．曲线xy＝2与直线y＝x的交点是(，)．(×)
类型一　直接法求曲线的方程
例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
解　设P(x，y)，则|8－x|＝2PA.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．
解　设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又PA＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；
②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明．
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
跟踪训练1　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．求点P的轨迹方程．
解　设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)．
∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于

即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0)．
类型二　相关点法求解曲线的方程
例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思与感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
跟踪训练2　已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
解　设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得
所以
因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
所以3y＝(3x－6)2＋3，
整理，得y＝3(x－2)2＋1.
故ΔABC重心的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
类型三　根据曲线的方程求两曲线的交点
例3　过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．
解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点．
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立曲线方程，得
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．
∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0,2)∪.
反思与感悟　结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定．
跟踪训练3　已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A，B两点，若AB＝5，求实数b的值．
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①
∵x1，x2是关于x的方程①的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
又AB＝
＝，其中k＝2，代入则有
AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±2.
故所求b的值为±2.
1．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．
答案　
解析　由得x2－(x＋4)2－1＝0，
即
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，则直线l与椭圆的交点坐标为________．
答案　(0，－2)，
解析　因F2(1,0)，l方程为y＝2x－2.
由方程组
解得或
故所得交点坐标为(0，－2)，.
3．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________．
答案　x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)
解析　设直线＋＝1与x，y轴交点为A(a,0)，B(0，2－a)，A，B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
4．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
答案　x＝
解析　设动点P(x，y)，
则＝，
化简整理得x＝.
5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且＝3，求动点P的轨迹方程．
解　设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得
所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
求解轨迹方程常用方法：
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．
(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．
一、填空题
1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________．
答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝1
解析　设中点的坐标为(x，y)，则相应圆x2＋y2＝4上的点的坐标为(2x－4,2y＋2)，
所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
答案　或
解析　由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又因为0≤α<2π，
所以α＝或α＝.
3．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案　[1，)
解析　在同一直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图象，如图所示，可得b的范围为1≤b<.
4．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2的值为________．
答案　
解析　因为直线与椭圆只有一个交点，
由消去y得
(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0，
所以由Δ＝(8m)2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，
解得m2＝.
5．已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．
答案　x2＝4y
解析　设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以＝|y＋1|，
两边平方整理得x2＝4y.
6．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是________．
答案　x2＋y2＝1
解析　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y). 由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)·(－y)＝0, 即x2＋y2＝1.
7．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·.则动点P的轨迹C的方程是________．
答案　y2＝4x
解析　设点P(x，y)，则Q(－1，y)．
由·＝·，
得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，
化简得y2＝4x.
8．已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为________．
答案　y2－x2＝2
解析　设动点P的坐标为(x，y)，
则点Q的坐标为(0，y)，
＝(－x,0)，＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，
·＝x2－2＋y2.
由·＝22，得x2－2＋y2＝2x2，
所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
9．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
答案　
解析　由消去y得方程ax2－x＋1＝0.
令Δ＝1－4a＝0，得a＝.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．
答案　
解析　由题意得PF2＝，PF1＝，
由椭圆定义得＝2a,3b2＝3a2－3c2＝2a2，
则此椭圆的离心率e为.
11．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．
答案　45°或135°
解析　由y2＝6x得焦点坐标为，
设直线方程y＝k，
由
得k2x2－(6＋3k2)x＋k2＝0，
设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，
∵弦长为12，∴＋3＝12，
∴k＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.
二、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知点F(0,2)，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
解　设点M(x，y)是所求曲线上任意一点，
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.
过点M作MB⊥x轴，垂足是点B，则MF－MB＝2，
即－y＝2，
整理得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，
化简得y＝x2，
所以所求曲线的方程是y＝x2(x≠0)．
13．已知线段AB，B点的坐标为(6,0)，A点在曲线y＝x2＋3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解　设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，
点A(x1，y1)，
则得
由题知点A(x1，y1)在曲线y＝x2＋3上，
所以2y＝(2x－6)2＋3，
所以线段AB的中点M的轨迹方程为y＝2(x－3)2＋.
三、探究与拓展
14．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________．
答案　[2，4]
解析　曲线|x|－1＝可化为x≥1，(x－1)2＋(y－1)2＝1，或x<－1，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是[2，4]．
15．已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若MN和MQ的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
解　连结ON，OM，则ON⊥MN，设M(x，y)．
∵圆的半径是1，∴MN2＝OM2－ON2＝OM2－1.
由题意，＝λ(λ＞0)，∴MN＝λMQ，
即＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x＝，
该方程表示一条直线；
当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，
该方程表示以为圆心，以为半径的圆．

§2.1　圆锥曲线
学习目标　1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．
知识点一　椭圆的定义
观察图形，思考下列问题：
思考1　如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
答案　椭圆
思考2　图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
答案　PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．
梳理　平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
知识点二　双曲线的定义
观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：
思考1　图中动点M的几何性质是什么？
答案　|MF1－MF2|为一个正常数．
思考2　若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？
答案　以F2为端点，向F2右边延伸的射线．
梳理　平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点三　抛物线的定义
观察图形，思考下列问题：
思考　如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？
答案　抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．
梳理　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．
1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)
2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)
3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)
类型一　圆锥曲线定义的理解
例1　平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？
解　∵MF1＋MF2＝3m，
∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，
∴3m＞F1F2＝3－(－3)＝6，
∴m＞2，∴当m＞2时，M的轨迹是椭圆．
反思与感悟　在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件
(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2.
(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2.
(3)在抛物线中，点F不在定直线上．
跟踪训练1　(1)命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
(2)动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．
答案　(1)必要不充分　(2)椭圆
解析　(1)若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．
反之，若PA＋PB＝2a(a＞0，且是常数)，不能推出P点轨迹是椭圆．
因为仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
(2)由题意知PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，
∴PA＋PB＝6＞4.∴点P的轨迹是椭圆．
类型二　圆锥曲线轨迹的探究
例2　如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？
解　设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2，则CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.
所以CF1－CF2＝r1－r2.
又CF1－CF2＝r1－r2故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F2的一支．
引申探究
若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？
解　动点C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F1的一支．
反思与感悟　紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．
跟踪训练2　已知动点P到点A(－3,0)的距离比它到直线x＝1的距离大2，试判断动点P的轨迹．
解　因点P到A的距离比它到直线x＝1的距离大2，
所以点P到点A的距离等于它到直线x＝3的距离．
因为点A不在直线x＝3上，所以点P的轨迹是抛物线．
类型三　圆锥曲线定义的应用
例3　在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
解　(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.
反思与感悟　利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到MF1＋MF2＝2a(a为大于零的常数)时，还需要看2a与F1F2的大小，只有2a>F1F2时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF1－MF2＝2a(0<2a跟踪训练3　在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝sin A，则顶点A的轨迹是什么？
解　因为|sin C－sin B|＝sin A，由正弦定理可得
|AB－AC|＝BC＝m，且m所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．

1．设F1，F2是两个定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．
答案　椭圆
解析　因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．
2．若F1，F2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．
答案　双曲线靠近点F2的一支
解析　因PF1－PF2＝13．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．
答案　抛物线
解析　依据抛物线定义可得．
4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．
答案　两条射线
解析　据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．
答案　抛物线
解析　由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．
1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．
若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.
2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.
3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．

一、填空题
1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．
答案　线段F1F2
解析　依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.
2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．
答案　直线
解析　因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．
3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)
①|PF1－PF2|＝3；
②|PF1－PF2|＝4；
③|PF1－PF2|＝5；
④PF－PF＝±4.
答案　①
解析　根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.
4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．
答案　一条射线
解析　要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值”；二是“常数”等于两定点间的距离．
5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．
答案　以A，B为焦点的双曲线的右支
(除去点(3,0))
解析　如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．
6．已知点M(x，y)的坐标满足－＝±4，则动点M的轨迹是________．
答案　双曲线
解析　点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距离为4，由定义知动点M的轨迹是双曲线．
7．下列说法中正确的有________．(填序号)
①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；
②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
③到点F1(－6,0)，F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
答案　③
解析　椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．
①中F1F2＝12，故到F1，F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.
②中点到F1，F2两点的距离之和8小于F1F2，故这样的点不存在．
③中点M(10,0)到F1，F2两点的距离之和为＋＝20>F1F2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．
④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
故正确的是③.
8．若动点P到定点F(1,1)和到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是________．
答案　直线
解析　设动点P的坐标为(x，y)，则＝.整理，得x－3y＋2＝0，所以动点P的轨迹为直线．
9．平面内有两个定点F1，F2及动点P，设命题甲：|PF1－PF2|是非零常数，命题乙：动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案　必要不充分
解析　由双曲线的定义可知，若动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则|PF1－PF2|是非零常数，反之则不成立．
10．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足2－2＝4(||－||)≠0.则曲线C的轨迹是______．
答案　椭圆
解析　由2－2＝4(||－||)≠0，
得||＋||＝4，且4>AB.
故曲线C的轨迹是椭圆．
11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．
答案　椭圆
解析　设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．
二、解答题
12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．
解　由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．
13．如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．
解　由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.
MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．
三、探究与拓展
14．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．
答案　抛物线
解析　把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝，∴动点M到原点的距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
15．在△ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹．
解　如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知MB＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC.
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．
§2.5　圆锥曲线的统一定义
学习目标　1.了解三种圆锥曲线的统一定义，掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念．
知识点一　圆锥曲线的统一定义
观察图形，思考下列问题：
思考1　上面两个图中分别对应什么曲线？
答案　图(1)为椭圆，图(2)为双曲线．
思考2　当01呢？
答案　当01时，对应的曲线为双曲线．
梳理
知识点二　圆锥曲线的焦点坐标和准线方程
标准方程
焦点坐标
准线方程
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(±c,0)
x＝±
＋＝1(a>b>0)
(0，±c)
y＝±
双曲线
－＝1(a>0，b>0)
(±c,0)
x＝±
－＝1(a>0，b>0)
(0，±c)
y＝±
抛物线
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
1．若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e＞0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．(×)
2．抛物线y2－2x＝0的准线方程为x＝－.(√)
3．点M(x，y)到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹为＋＝1.(×)
类型一　利用统一定义确定曲线形状
例1　判断下列各动点的轨迹表示的是什么？
(1)定点F，定直线为l，F?l，动点M到定点F的距离MF与动点M到定直线l的距离d的比为2；
(2)定点F，定直线为l，F?l，动点M到定直线l的距离d与动点M到定点F的距离MF的比为5；
(3)到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹；
(4)定点F?l，到定点F的距离与到定直线l的距离的比大于1的点的轨迹．
解　(1)因为＝2>1，所以动点的轨迹是双曲线．
(2)因为＝5，所以0<＝<1，所以动点的轨迹是椭圆．
(3)当F∈l时，动点的轨迹是过F且与l垂直的直线；
当F?l时，动点的轨迹是抛物线．
(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比值虽然大于1，但不一定是常数，动点的轨迹是一个平面区域．
反思与感悟　判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是
(1)如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．
(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质．
跟踪训练1　平面内到定点F(3,0)的距离与到定直线x＝8的距离d的比为的动点P的轨迹是________．
答案　双曲线
解析　因＝>1，故动点的轨迹是双曲线．
类型二　与圆锥曲线的准线相关的问题
例2　已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为y＝x，焦点到相应准线的距离为，求双曲线的方程．
解　设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
依题意得c－＝，
又＝，
结合c2＝a2＋b2，解得a2＝9，b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
引申探究
本例中两准线之间的距离是多少？
解　据本例，得方程－＝1，
两准线之间的距离为2＝2×＝3.
反思与感悟　求圆锥曲线的准线方程的步骤
跟踪训练2　根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)经过点，且一条准线为x＝5；
(2)两准线间的距离为，焦距为2.
解　(1)由于椭圆的一条准线为x＝5，可见椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有
解得a2＝5，b2＝4或a2＝21，b2＝.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有解得
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
类型三　圆锥曲线的统一定义及应用
例3　已知点A(3,1)，且点F(2,0)是双曲线x2－＝1的右焦点，在双曲线上找一点P，使PA＋PF的值最小，求点P的坐标．
解　由双曲线方程知，a＝1，b＝，
∴c＝2，离心率e＝＝2，与焦点F(2，0)对应的准线l：x＝＝.
设点P到准线l的距离为d，由圆锥曲线的统一定义有＝2，
∴PF＝d.
如图，过点P，A作l的垂线PP1，AA1，垂足分别为P1，A1，
则PA＋PF＝PA＋PP1≥AA1＝.
∴当点P为AA1与双曲线的交点，即P时，PA＋PF的值最小．
反思与感悟　一般地，在圆锥曲线上求一点P，使PA＋PF(其中A是圆锥曲线内部的定点，F是焦点，e是离心率)最小时，都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．
跟踪训练3　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋MA的最小值及M的坐标．
解　(1)如图所示，由＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.
所以点A(4,0)为椭圆的右焦点，
则左焦点为F(－4,0)．
则MA＋MF＝2a＝10，即MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2，故10－2≤MA＋MB≤10＋2.即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意知，椭圆的右准线为x＝，过M点作右准线的垂线，垂足为M′，由圆锥曲线的统一定义知，
＝e＝，即MA＝MM′.所以MB＋MA＝MB＋MM′.当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有最小值，最小值为BM′＝－2＝.当y＝2时，由＋＝1，解得x＝或x＝－(舍去)，此时点M的坐标为.
1．中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________．
答案　＋＝1
解析　由题意，得e＝＝，＝8，
∴a＝4，c＝2，∴椭圆方程为＋＝1.
2．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
答案　2
解析　双曲线的方程可化为－＝1，则a2＝3，b2＝9，故c2＝12，e2＝＝4，则e＝2.因此所求比值为2.
3．若双曲线－＝1上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是________．
答案　
解析　设点P到上准线的距离为d，
由＝，得d＝.
4．椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么点P到右焦点的距离为________．
答案　8
解析　如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，
而＝e＝，∴PF1＝2，
∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.
5．已知抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为________．
答案　4
解析　由抛物线定义知点M到准线x＝－1的距离为5，
所以点M到y轴的距离为4.
1．圆锥曲线的统一定义给出了三个量：定点F，定直线l及常数e.其中要求定点F不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线距离的比值，两者顺序不可颠倒．
2．在圆锥曲线中，椭圆与双曲线都有两个焦点，两条准线．在椭圆或双曲线中，图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率．
3．圆锥曲线中求线段和最值的问题，充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”，进而求出最值．
一、填空题
1．设双曲线的焦距为2c，两条准线间的距离为d，且c＝d，那么双曲线的离心率e＝________.
答案　
解析　＝c，c2＝2a2，e2＝＝2，e＝.
2．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为的椭圆的标准方程是________．
答案　＋＝1
解析　依题意得解得
故椭圆的标准方程是＋＝1.
3．到直线y＝－4的距离与到A(0，－2)的距离的比值为的点M的轨迹方程为________．
答案　＋＝1
解析　设M(x，y)，由题意得＝.化简得＋＝1.
4．椭圆＋＝1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是________．
答案　8
解析　准线方程为x＝±＝±，则两准线间的距离为，故所求的距离为－＝8.
5．已知双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，则此双曲线两条准线间的距离为________．
答案　2
解析　由题意知，＝1，m＝4，准线方程为x＝±＝±，故两条准线间的距离为2.
6．双曲线的方程为－＝1，则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是________．
答案　y2＝－x
解析　双曲线的右准线方程为x＝，
∴＝，
从而可得抛物线的标准方程为y2＝－x.
7．已知椭圆的一个焦点为F1(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足，e，成等比数列，则此椭圆的方程为________．
答案　x2＋＝1
解析　∵，e，成等比数列，且0∴e2＝×，e＝.
∵焦点F1(0，－2)，∴c＝2，
∴a2＝2×＝9，∴b2＝a2－c2＝9－8＝1.
故所求椭圆的方程为x2＋＝1.
8．在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________________．
答案　x±y＝0
解析　由题意设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，抛物线y2＝－4x的焦点为(－1,0)，由此可得a＝1.由＝得c＝2.所以b2＝c2－a2＝3，于是双曲线的方程为x2－＝1，其渐近线方程为x±y＝0.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右准线方程为x＝，则双曲线方程为__________．
答案　x2－＝1
解析　由得所以b2＝3－1＝2.
所以双曲线方程为x2－＝1.
10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则右焦点F(c,0)，右准线l：x＝.
把x＝c代入椭圆的方程得y2＝b2＝，即y＝±.
依题设知＝且－c＝＝1，
所以e＝＝·＝×1＝.
11．椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点为M，N，若MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是________．
答案　
解析　由题意有MN≤2F1F2，
∴2×≤2×2c，即a2≤2c2，
∴≥，故e＝≥，
又0二、解答题
12.如图，P是椭圆＋＝1上的一点，F是椭圆的左焦点，且＝(＋)，||＝4，求点P到椭圆左准线的距离．
解　∵＝(＋)，
故Q为PF的中点．
∵||＝4，
∴P点到右焦点F′的距离为8，
∴PF＝2×5－8＝2，
又＝e＝＝(d为P到椭圆左准线的距离)，
∴d＝.
13．已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹．
解　方法一　由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是一椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，
∴e＝＝，与已知条件相符．
∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线方程为y＝±9.
b2＝18，其方程为＋＝1.
方法二　由题意得＝.
整理得＋＝1.
P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．
三、探究与拓展
14．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　由已知得e>＋，即3c2>5ac＋2a2，
所以3e2－5e－2>0，解得e>2或e<－(舍去)．
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过左焦点F(－c,0)的直线交椭圆C于P，Q两点，＝(1，)，若＝λ，且＋＝.
(1)求实数λ的值；
(2)求椭圆C的方程．
解　(1)∵＝λ，∴λ>0，
又＝(1，)，有||＝2，
∴||＝||＝.
又＋＝，∴＋＝，
∴λ＝.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则由＝(1，)，得x1＝1－c.
由圆锥曲线的统一定义可知，
PF＝e＝a＋ex1＝a＋(1－c)＝2，①
同理，QF＝a＋＝，②
由①－②得，·＝，∴a＝2c.
代入①得c＝1，∴椭圆方程为＋＝1.

1　利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1　线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________．
解析　由于PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
PF1＋PF2＝2a＝10，
所以PF1·PF2≤2＝2＝25，
当且仅当PF1＝PF2时取等号．
由解得PF1＝PF2＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“PF1＋PF2＝10”，即两个正数PF1，PF2的和为定值，结合基本不等式可求PF1，PF2乘积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos 120°，
即PF＝PF＋4＋2PF1，①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，
即PF2＝4－PF1.②
将②代入①，得PF1＝.
所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF1，PF2的方程组，消去PF2可求PF1.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2　如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，
AF1＝2c·sin 60°＝c.
∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案　
3．利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA，PB互相垂直，PA＝PB.
又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝OA，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4．综合类
例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
解　由正弦定理得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.

3　活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明．
1．求动点轨迹
例1　动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和圆C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．
解　设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，
因为动圆C与两定圆相外切，
所以
即CC2－CC1＝3所以点C的轨迹是以C1(0,5)，C2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a＝，c＝5，
所以b2＝.
故动圆圆心C的轨迹方程为－＝1.
点评　依据动圆与两定圆外切建立关系式，可得到CC2－CC1＝32．求焦点三角形的周长
例2　过双曲线－＝1左焦点F1的直线与左支交于A，B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析　由双曲线的定义知AF2－AF1＝8，BF2－BF1＝8，
两式相加得AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝AF2＋BF2－AB＝16，
从而有AF2＋BF2＝16＋6＝22，
所以△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝22＋6＝28.
答案　28
点评　与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．
3．最值问题
例3　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PM＋PF的最小值．
解　设双曲线的左焦点为F′，
则F′(－2,0)，
由双曲线的定义知：
PF′－PF＝2a＝2，
所以PF＝PF′－2，
所以PM＋PF＝PM＋PF′－2，
要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值，由图可知，当P、F′、M三点共线时，PM＋PF′有最小值MF′＝2，
故PM＋PF的最小值为2－2.
点评　本题利用双曲线的定义对F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M坐标改为M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？
4．求离心率范围
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，试求该双曲线离心率的取值范围．
解　因为PF1＝4PF2，点P在双曲线的右支上，
所以设PF2＝m，则PF1＝4m，
由双曲线的定义，得PF1－PF2＝4m－m＝2a，
所以m＝a.
又PF1＋PF2≥F1F2，
即4m＋m≥2c，
所以m≥c，即a≥c，所以e＝≤.
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为.
点评　本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．
4　抛物线的焦点弦
例1　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)AB＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)AB＝xA＋xB＋p；
(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A，O，B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明　当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，FA＝FB＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，
即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
由A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵FA＝xA＋，FB＝xB＋，
∴FA＋FB＝xA＋xB＋p，
FA·FB＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)．
∴FA＋FB＝FA·FB·，即＋＝.
点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例2　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6
5　求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．
1．定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法．
例1　如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围．
解　(1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，
∴NA＝NM.
∴NC＋NA＝NC＋NM＝CM＝2a>2＝AC，
∴N的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．
当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由(1)知a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.
设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，
∴　消去x得y＝.
∵离心率e∈，∴≤e2≤，
即≤≤，∴≤a2≤4.
∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，
∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．
又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.
∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2]．
2．直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．
例2　已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程．
解　如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，
则d＋132＝r2，d＋122＝r2，
∴d－d＝25，
即2－2＝25，
化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.
点评　若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可．
3．待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．
例3　已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．
解　椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，
所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
所以OF＝c，AF＝＝
＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
4．相关点法(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．
例4　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
分析　设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．
解　设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，
∵点P是线段QN的中点，
∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1，
即x0－y0＝x－y.②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．
又∵点Q在双曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得2－2＝.
∴线段QN的中点P的轨迹方程为
2－2＝.
点评　本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P，Q两点坐标间的关系，用相关点法求解．
5．参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．
例5　已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．
解　如图，设OP的斜率为k，
则P(2,2k)．当k≠0时，
直线l的方程：y＝－x，①
直线m的方程：y＝2k(x－1)．②
联立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．
当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．
6　解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∵a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
解　(1)设椭圆的焦距为2c，
由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，
由题意知mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，PF－PF′＝4，∴PF＋PA＝4＋PF′＋PA，∴要使PF＋PA最小，只需PF′＋PA最小即可，PF′＋PA最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋F′A＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0 (x<0)．
如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
7　圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验知满足Δ＝4a2＋8(3－a2)＞0，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使QF＝OF，
则有且m2＋n2≠0，
解得故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－(k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.

8　圆锥曲线中的易错点剖析
1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1　长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB中点P的轨迹方程．
错解　如图所示，设A(0，y)，B(x,0)．由中点坐标公式可得P点坐标为，连结OP，由直角三角形斜边上的中线性质有OP＝AB＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析　求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为?x，y?.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解　设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2．忽视定义中的条件而致误
例2　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为________．
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故填椭圆．
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1＋MF2>F1F2，亦即2a>2c.而本题中MF1＋MF2＝F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　线段
3．忽视标准方程的特征而致误
例3　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
∴抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例4　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且AF＝5，求抛物线的标准方程．
错解一　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以
解得或(舍去)．
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.

正解　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝AF＝＋m，所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝AF＝－m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.

9　圆锥曲线中的数学思想方法
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若AB＝2，求椭圆的方程．
解　由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0，
Δ＝16－4(8－2b2)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵AB＝2，∴＝2，
∴·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2　若点(x，y)在＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解　∵＋＝1(b>0)，∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．
例3　如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足OQ·OP＝OR2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．
解　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵OR2＝OQ·OP，∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.①
又∵O，Q，R三点共线，∴kOQ＝kOR，即＝.②
由①②得y＝.③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)．
4．分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例4　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
5．数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．
例5　在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设BC＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则B，C.
设点A坐标为(x，y)，由题设，
得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得|AB－AC|＝可知点A在以B，C为焦点的双曲线上．
2a＝，∴a＝.
又c＝，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，整合知识网络.2.巩固圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质.3.能综合应用本章知识解决相关问题．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝±
x＝±
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2．待定系数法求圆锥曲线标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．圆锥曲线的统一定义
(1)定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹．
当0＜e＜1时，表示椭圆；当e＞1时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物线．
其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
(2)对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(－c,0)，F2(c,0)对应的准线方程分别为x＝－，x＝.
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，PA－PB＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(×)
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√)
4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(×)
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(√)
类型一　圆锥曲线的定义与标准方程
例1　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为AB＋BF2＋AF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
反思与感悟　1.涉及椭圆，双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决．
2．涉及焦点，准线，离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题．
3．求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1　抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是________．(填序号)
①x1，x2，x3成等差数列；
②y1，y2，y3成等差数列；
③x1，x3，x2成等差数列；
④y1，y3，y2成等差数列．
答案　①
解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：
AF＝AA′，BF＝BB′，CF＝CC′.
∵2BF＝AF＋CF，
∴2BB′＝AA′＋CC′.
又∵AA′＝x1＋，BB′＝x2＋，CC′＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，∴2x2＝x1＋x3，
∴x1，x2，x3成等差数列．
类型二　圆锥曲线性质的应用
例2　双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案　(1,3]
解析　如图所示，
由PF1＝2PF2知P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a，
又PF1＝2PF2，
∴PF1＝4a，PF2＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝－＝－，
∵0<∠F1PF2≤π，
且当点P是双曲线的顶点时，∠F1PF2＝π，
∴－1≤cos∠F1PF2<1，
∴－1≤－<1，由e>1，解得1反思与感悟　圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去．
跟踪训练2　双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．
答案　
解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·＝－1，故＝1，所以＝1，
即e2＝2，因为e＞1，所以双曲线的离心率e＝.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系问题
例3　已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解　假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
则
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
将上式整理，得·＝＋m2
＝＋m2
＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，
从而有6m＋14＝0，解得m＝－，
此时·＝.
②当直线AB与x轴垂直时，
此时点A，B的坐标分别为，，
当m＝－时，亦有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、FP为半径的圆与C的准线l相切．
(1)求p的值；
(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．
解　(1)因为以F为圆心、FP为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即FP＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点为D(x0，0)，
则由DA＝DB，y＝4x1，y＝4x2，
得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，
化简得x0＝＋2，①
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).

1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．
答案　2
解析　双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数，得a＝2.
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．
答案　＋＝1
解析　∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，∴点P不能与M，N两点重合，故x≠±2.
4.如图，已知椭圆的方程＋＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
答案　
解析　由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，可得点C的横坐标为.由∠COx＝∠OAB＝30°，得C，代入椭圆的方程得＋＝1，即a2＝9b2，则c2＝a2－b2＝8b2，故椭圆的离心率e＝＝＝＝.
5．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．
答案　2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.
1．离心率的几种求法：
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．
2．在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略：
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解．
一、填空题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为________．
答案　抛物线
解析　由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，且点(0,3)不在直线y＝－1上，根据抛物线的定义可知，圆心C的轨迹为抛物线．
2．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，经过点(0,2)，则该椭圆的方程为________．
答案　＋＝1
解析　椭圆的焦距为4，所以2c＝4，c＝2.椭圆经过点(0,2)，根据椭圆的几何性质可知b＝2，所以a2＝b2＋c2＝8，则由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程为＋＝1.
3．下列曲线中离心率为的是________．(填序号)
①－＝1；②－＝1；③－＝1；④＋＝1(2答案　②③
解析　显然②③符合题意，①④不符合题意．
4．过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线l共有________条．
答案　3
解析　直线l斜率不存在的时候有一条．斜率存在时，一条交线，一条切线，共3条．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，离心率e＝.若点P为双曲线C右支上一点，则PF1－PF2＝________.
答案　8
解析　由题意得c＝2，e＝＝，
∴a＝4，PF1－PF2＝2a＝8.
6．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
答案　
解析　设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝.
7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．
答案　4
解析　由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
F(2,0)，
那么直线l的方程为x＝2，
把x＝2代入渐近线方程可得y＝±2，
故所求的三角形的面积为S＝×4×2＝4.
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若AF＝3，则BF＝________.
答案　
解析　设∠AFx＝θ(0<θ<π)及BF＝m，
因为点A到准线l：x＝－1的距离为3，
所以3＝2＋3cos θ?cos θ＝.
又m＝2＋mcos(π－θ)，∴m＝＝，
所以BF＝.
9．已知A为椭圆＋＝1上的动点，MN为圆(x－1)2＋y2＝1的一条直径，则·的最大值为________．
答案　15
解析　由题意得圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，
那么·＝(－)·(－)
＝·－·(＋)＋2＝－1＋2，
显然A取(－3,0)时2取得最大值16，
此时·的最大值为－1＋16＝15.
10．已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当MA＋MF取最小值时，点M的坐标为________．
答案　
解析　过点M作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义知MF＝ME.
当点M在抛物线上移动时，MF＋MA的值在变化，
显然M移到M′，AM′∥Ox时，
A，M，E共线，此时ME＋MA最小，
把y＝－2代入y2＝8x，得x＝，
∴M.
11．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．
答案　4
解析　由已知可得AB＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．
因此满足条件的C点有4个．
二、解答题
12．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，过O作OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
解　由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，
又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过点O，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，由
得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)
＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，
∴＋(－5p)＝0，∴p＝，
∴抛物线的方程为y2＝x.
13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
解　(1)由题意得解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，
即x＋2y＝4，
∵A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M，
同理直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N.
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋
＝0，即x2＋y2－y＋＝0，
∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
三、探究与拓展
14．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若AF＋BF＝4，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求离心率的取值范围
答案　
解析　如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2.
取M(0，b)，∵点M到直线l的距离不小于，
∴≥，解得b≥1.
∴e＝＝ ≤ ＝.
又∵0＜e＜1，
∴椭圆E的离心率的取值范围是.
15.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)因为AB＋AF2＋BF2＝8，
即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8，
而AF1＋AF2＝F1B＋BF2＝2a，
所以4a＝8，解得a＝2.
又e＝＝，所以c＝a＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由消去y，
整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，
所以m≠0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
即4k2－m2＋3＝0.①
此时x0＝－＝－，y0＝，故P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，由图形的对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m，k恒成立．
因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，
所以由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
即(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.②
由②式对满足①式的m，k恒成立，
所以有得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.