1 怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件，
即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
2．抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
解析 (1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．
解 原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：
函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
点评 如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2
(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．
3 判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以p?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 依题意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案 必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案 [9，＋∞)
4．等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
例4 已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B)．
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题．
剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题．
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题．
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题．(1)(3)不是命题
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断．
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，又x>2?x>3，故选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．
正解 B
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．
错解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区6 不能正确否定结论
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．
5 解“逻辑”问题的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明．
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为q是p的必要不充分条件，
所以p?q，q?p，由A?B得
或即a≤－4或－≤a<0.
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减少的．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是____________．
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B? A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示A ?B的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则A? B?存在x∈A，使得x?B，故①②是假命题，④是真命题．
A ?B?B ?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A ?B不成立．故③是假命题．
综上，真命题的序号是④.
答案 ④
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；当A?B时，a＝2或3.
所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
C．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 B
解析 采取直观演示或定理推证的方式不难找出答案．B中，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.
3．已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β.命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 B
解析 若平面α与β相交，设交线为c.
若a∥c，b∥c，则a∥b，
此时a与b无公共点，所以p?q.
若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.
由此可知p是q的必要不充分条件．故选B.
4．设命题p：存在n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为( )
A．任意n∈N，n2＞2n
B．存在n∈N，n2≤2n
C．任意n∈N，n2≤2n
D．存在n∈N，n2＝2n
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
解析 存在量词改为全称量词，即“存在n∈N”改为“任意n∈N”；把结论否定，即“n2＞2n”改为“n2≤2n”．故选C.
5．设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是( )
A．0＜a＜1或a＞2 B．0＜a＜1或a≥2
C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 由复合命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.
若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.
由题意，得若p假则q真，若p真则q假，
即或
∴1＜a≤2.
6．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则命题p的否定为( )
A．任意x∈A,2x?B
B．任意x?A,2x?B
C．存在x?A,2x∈B
D．存在x∈A,2x?B
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在x∈A,2x?B.故选D.
7．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 复合命题真假性的判断
题点 判断复合命题的真假
答案 D
解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
8．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．若x＞2，则(x－2)(x＋1)＞0
B．若x2＋y2≥4，则xy＝2
C．若x＋y＝2，则xy≤1
D．若a≥b，则ac2≥bc2
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 B
9．设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 B
解析 ∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga310．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 必要、充分条件的概念及判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 B
解析 m?α，m∥β?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，
∴“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
11．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q：函数y＝f(x＋1)的图像关于原点对称，则y＝f(x)的图像关于点(－1,0)对称，则( )
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假
C．p假q真 D．p真q假
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 D
解析 命题p为真命题，命题q中f(x)的图像关于点(1,0)对称，∴q为假命题．
12．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 函数f(x)图像的对称轴为直线x＝a，若1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若“任意x∈，x＋tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 ＋
解析 由已知可得m≥x＋tan x恒成立．
设f(x)＝x＋tan x，显然该函数为增函数，
故f(x)的最大值为f＝＋tan ＝＋，
由不等式恒成立可得m≥＋，即实数m的最小值为＋.
14．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 [－3,0]
解析 由题意，可得ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0，成立；
当a≠0时，得
解得－3≤a＜0.
故－3≤a≤0.
15．已知命题p：(x－3)(x＋1)>0，命题q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点 充分不必要条件的概念及判断
题点 由充分不必要条件求参数的取值范围
答案 (0,2]
解析 p：(x－3)(x＋1)>0等价于x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知A?B，
∴其中等号不能同时成立，
∴m≤2，又m>0，∴016．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p且q为假命题，则m的取值范围是________________．
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 若命题p是真命题，则m≤－1；若命题q是真命题，则m2－4<0，解得－2－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)任意α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)存在x，y∈Z，3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解 (1)假命题，否定为存在α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为任意x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当c＜0时，若ac＞bc，则a＜b；
(2)已知a，b均为非零向量，若a⊥b，则a·b＝0.
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
解 (1)逆命题：当c＜0时，若a＜b，则ac＞bc.是真命题．
否命题：当c＜0时，若ac≤bc，则a≥b.是真命题．
逆否命题：当c＜0时，若a≥b，则ac≤bc.是真命题．
(2)逆命题：已知a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b.是真命题．
否命题：已知a，b均为非零向量，若a不垂直于b，
则a·b≠0.是真命题．
逆否命题：已知a，b均为非零向量，若a·b≠0，则a不垂直于b.是真命题．
19．(12分)已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m＞0)．
(1)当m＝3时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 必要条件的概念及判断
题点 由必要条件求参数的取值范围
解 (1)若p为真命题，则－2≤x≤4；
当m＝3时，若q为真命题，则－1≤x≤5.
∵“p且q”为真命题，
∴x的取值范围为[－1,4]．
(2)∵“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∵p：－2≤x≤4，q：2－m≤x≤2＋m，
∴且等号不同时取得，
∴m的取值范围为[4，＋∞)．
20．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：≤x≤.
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若给定条件q：|f(x)－m|<2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的取值范围
解 (1)f(x)＝2－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin＋1.
∵≤x≤，∴≤2x－≤.
∴3≤4sin＋1≤5.
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|<2，∴m－2又∵p是q的充分条件，
∴
解得321．(12分)已知两个命题：r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
考点 复合命题真假性的判断
题点 由复合命题的真假求参数的取值范围
解 ∵对任意x∈R，sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对任意x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－且－2综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m<2}．
22．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的取值范围
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1即p为真时，实数x的取值范围是1由得2即q为真时，实数x的取值范围是2若p且q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q，且綈q?綈p，
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B，
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，
则即1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是(1,2]．
§1 命 题(一)
学习目标 1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．
知识点一 命题的概念及分类
思考 下列语句有什么共同特征？
(1)空集是任何集合的子集．
(2)单位向量的模为1.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．
答案 共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．
梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
知识点二 命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
知识点三 四种命题
四种命题的定义如下表所示
名称
阐释
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题
1．命题均能判断其真假．(√)
2．我们所学习过的定理均为命题．(√)
3．命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×)
4．命题：若sin A＞sin B，则A＞B，其逆命题为真命题．(×)
类型一 命题的概念及真假判断
命题角度1 命题的概念
例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
解 (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
答案 A
解析 依据命题定义，得①②③为命题．
命题角度2 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题；②中，若a＝－，b＝，则a＋b＝0，是有理数，故②是假命题．
引申探究
1．本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
2．本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC是________三角形．
答案 直角
解析 由·＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 C
解析 因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．
(2)下列命题中为真命题的是( )
A．若ln x＜1，则x＜e
B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c
C．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acos B＝bcos A，则该三角形为等腰三角形
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．
类型二 命题的结构形式
例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式．
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
考点 命题的结构形式
题点 改写成标准的若p则q形式
解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．
反思与感悟 将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
考点 命题的结构形式
题点 改写成标准的若p则q形式
解 (1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．
类型三 四种命题的概念及真假判断
命题角度1 四种命题的概念
例4 (1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．等价命题
答案 A
(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题．
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
解 逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下．
否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?.
逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上．
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练4 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
命题角度2 四种命题的真假判断
例5 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解 (1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练5 已知命题“若2m－1＜x＜3m＋2，则1＜x＜3”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案
解析 其逆命题为若1＜x＜3，则2m－1＜x＜3m＋2.
该命题为真命题，需满足解得≤m≤1，
故m的取值范围为.
1．下列语句为命题的是( )
A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等
C．0不是偶数 D．今天心情真好啊
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
答案 C
解析 结合命题的定义知C为命题．
2．下列说法中错误的是( )
A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”
B．命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”
C．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”
D．命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 由否命题的定义知B是错误的．
3．命题“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题是( )
A．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＜b
B．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＞b
C．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b
D．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a≤b
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 C
解析 将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C.
4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．
考点 命题的定义及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析 由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.
5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
考点 命题的定义及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 “3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
一、选择题
1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的结构形式
题点 区分命题的条件和结论
答案 D
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.
2．下列命题为假命题的是( )
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．0是偶数
D．5＞3
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 B
解析 结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C，D显然是真命题．
3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是( )
A．若x2＞1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－1＜x＜1，则x2＜1
D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 结合逆否命题的定义知B正确．
4．下列命题是真命题的是( )
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0
B．若a>b，则ac>bc
C．若M∩N＝M，则N?M
D．若M?N，则M∩N＝M
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M?N.故A，B，C均错误．
5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．
6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.
7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 结合线面、面面位置关系易知①③为真命题．
8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是( )
A．否命题是“正弦函数是分段函数”
B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”
C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”
D．以上都不正确
考点 四种命题
题点 四种命题的判断
答案 B
解析 否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，
所以A错误；B正确；C不正确，故选B.
二、填空题
9．有下列命题：
①22 340能被5整除；
②不存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；
③对任意的实数x，均有x＋1＞x；
④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．
其中假命题有________．(填序号)
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ④
解析 易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．
10．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝loga x在其定义域内是减函数，则loga 2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 当a＞0，a≠1时，若loga2≥0，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数．
11．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－2]
解析 p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，
解得－2＜a＜2.
q为真命题时，5－2a＞1，
解得a＜2.
当p真q假时，a∈?.
当p假q真时，即a≤－2.
故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
三、解答题
12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
考点 命题的结构形式
题点 改写成标准的若p则q形式，并判断命题的真假
解 (1)若ac>bc，则a>b.
∵ac>bc，c<0时，a(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，该命题是真命题．
13．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解 其逆否命题：已知a，x为实数，
若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．
∵a＜1，∴Δ＝(2a＋1)2－4×(a2＋2)＝4a＋1－8＝4a－7＜0，
即不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，
∴原命题的逆否命题是真命题．
四、探究与拓展
14．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3 D．0考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 A
解析 若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．
15．写出命题“当2m＋1＞0时，如果＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解 由2m＋1＞0，得m＞－.
由＞0，得m＜－3或m＞，
又m＞－，所以m＞.
由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，
又m＞－，所以2＜m＜3.
由此可知，原命题可变为“如果m＞，那么2＜m＜3”，
显然原命题是假命题．
逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，
那么＞0”，
即“如果2＜m＜3，那么m＞”，它是真命题．
否命题为“当2m＋1＞0时，如果≤0，
那么m2－5m＋6≥0”，
因为所以
所以－＜m＜，
由得
即－＜m≤2或m≥3，
所以否命题可表述为“如果－＜m＜，
那么－＜m≤2或m≥3”，它是真命题．
逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，
那么≤0”，
则逆否命题可表述为“如果－＜m≤2或m≥3，
那么－＜m＜”，它是假命题．
§1 命 题(二)
学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题间的关系
思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？
答案 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．
梳理 四种命题间的关系
知识点二 四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．两个互逆命题的真假性相同．(×)
2．原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)
3．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．(×)
类型一 四种命题间的关系及真假判断
例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．
(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；
(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0.
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解 (1)逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．
逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．
所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．
(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．
反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．
跟踪训练1 下列命题为假命题的是( )
A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题
B．“正三角形都相似”的逆命题
C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题
D．“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 B
解析 A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．
B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．
C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m＜0，∴m＜－，
∴原命题的逆否命题是真命题．
D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”，
∵x不是无理数，∴x是有理数，
又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，
∴原命题的逆否命题是真命题．
类型二 等价命题的应用
例2 设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
考点 反证法逆否证法
题点 逆否证法
证明 将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，
则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2.
所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练2 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 反证法和逆否证法
题点 逆否证法
证明 命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.
1．下列命题为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
考点 四种命题间的相互关系
题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．
2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
3．有下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若＞，则a＜b”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
其中是假命题的是________．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 ①②
解析 对于①，其否命题为：若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a＜b，则＞，为假命题；③为真命题，故假命题为①②.
4．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
考点 四种命题间的相互关系
题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．
一、选择题
1．以下说法错误的是( )
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 B
解析 互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 C
解析 只有其逆命题、否命题为真命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 设p为“若A，则B”，那么q为“若非A，则非B”，r为“若非B，则非A”．故q与r为互逆命题．
5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．若xC．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
6．给出下列四个命题：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
考点 反证法和逆否证法
题点 逆否证法
答案 D
解析 根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．
7．原命题为“若A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．假、假、假
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 从原命题、逆命题的真假入手，8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
考点 四种命题间的关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 ①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.
二、填空题
9．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．
答案 2
解析 原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
10．已知命题p：若a＞b＞0，则a＜b＋1，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 2
解析 ∵a＞b＞0，∴a＜b，
∴命题p为真命题，其逆命题为“若a＜b＋1，则a＞b＞0”，
∵当a＝2，b＝2时，a＜b＋1成立，
而a＝b，∴逆命题为假命题．
∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，
∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.
11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(填序号)
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ②
解析 ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：上底面A1，B1，C1，D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题的真假．
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
(2)若x?A∩B，则x?A且x?B；
(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．
(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．
(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 B
解析 由于“M?P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.
15．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，
即x＜或x＞.
由＞0，得2x2－3x＋1＞0，
解得x＜或x＞1.
为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A?B.
令a＝4，得p：x＜－或x＞1，
满足题意，故可以选取a＝4，
此时原命题是“若|5x－1|＞4，则＞0”．
§2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)
3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a＞b，q：ac＞bc.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．
(4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分又不必要条件．
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件．
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件．
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，
有即p?q，但?
比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3符合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，∵a1＝S1＝4＋t，
a2＝S2－S1＝5，
a3＝S3－S2＝7，
∴10＝11＋t，
解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝＜0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0，
此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
反思与感悟 对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．
跟踪训练3 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
即
解得k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4 设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [3，＋∞)
解析 p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3；
q：2x－3＜m，即x＜.
由题意知p?q，q?p，
则在数轴上表示不等式如图所示，
则≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
反思与感悟 (1)在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
(2)根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
①记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
②若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；
③根据集合的关系列不等式(组)；
④求出参数的范围．
跟踪训练4 设A＝，B＝，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案
解析 由题意知A＝{y|0＜y＜1}．，
B＝，
依题意，得B?A，
故∴1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 由x2＋x＞0?x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜ D．a≥1或a≤0
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.
4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示)
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求取值范围
答案 [4，＋∞)
解析 因为p为q的充分条件，所以[1,4)?(－∞，m)，
得m≥4.
5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”“充要”)
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当x2为无理数时，x为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )
A．x＞3 B．x＜3
C．x＞4 D．x＜4
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 因为sin 60°＝，故p?q，但当sin A＝时，A＝60°或120°.
5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0)
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 充分、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 由命题p：－3＜x＜1，因为p?q，q? p，
所以即
所以a≥4.
6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5?4≥3.5＋1，故a＞b?a≥b＋1，故选A.
7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 D
解析 若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；
反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是( )
A．0C.1
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
答案 B
解析 f(x)＝
f(x)的图像在(0,1)内单调递减，
在(1，＋∞)内单调递增．
若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，
则?0二、填空题
9．若a＝(1,2x)，b＝(4，－x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜”的________________条件．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 既不充分又不必要
10．“(x＋1)(x＋2)＞0”是“(x＋1)(x2＋2)＞0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
考点 充分、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 必要不充分
解析 (x＋1)(x＋2)＞0?x＜－2或x＞－1，(x＋1)·(x2＋2)＞0?x＞－1，因为x＞－1?x＜－2或x＞－1，x＜－2或x＞－1?x＞－1，所以应填“必要不充分”．
11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 ①④
解析 ①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分又不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p?q且q? p，得M?N，
∴或
解得≤a<2或即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
考点 充分、必要条件的判断
题点 充要条件的判断
答案 ①④
解析 对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点?q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p；
对于②，当f(x)＝0时，q? p；
对于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p? q；
对于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA.
15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的取值范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
§3 全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理 (1)全称量词及全称命题的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．
(2)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
知识点二 存在量词、特称命题
思考 找出下列命题的共同特征，并判断其真假．
(1)存在x∈R，x2≤0；
(2)有些三棱锥是正四面体．
答案 所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．
梳理 (1)存在量词及特称命题的概念
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．
(2)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)
3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)
类型一 判断命题的类型
例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)正方形是矩形；
(2)球面是曲面；
(3)x2－x＋1＞0(x∈R)；
(4)有的素数为偶数；
(5)方程3x＋＝2有实数解．
考点 全称命题与特称命题
题点 全称命题与特称命题的判定
解 结合题意知(1)(2)(3)为全称命题；(4)(5)为特称命题．
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点 量词与命题
题点 全称(存在)量词的识别
解 命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为特称命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
类型二 判断命题的真假
例2 判断下列命题的真假．
(1)任意x∈R，x2－x＋1＞；
(2)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥＞0，
∴x2－x＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟 要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判定特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)有一些奇函数的图像过原点；
(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；
(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤.
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是特称命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．
(3)该命题是全称命题．
∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题．
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例3 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 (1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
跟踪训练3 已知命题p：“存在x∈R，sin x＜m”，命题q：“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p和q都是真命题，求实数m的取值范围．
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 由命题真假性求参数的取值范围
解 因为“存在x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.
又因为“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．
1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词与全称命题
题点 全称命题的识别
答案 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x，使sin x＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点 特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
3．若对于任意x∈[1,2]，a≥x2＋1，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[3,5]
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 A
解析 依题意a≥(x2＋1)max＝5，故a∈[5，＋∞)．
4．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”“假”)
考点 特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
答案 真
解析 由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥，所以只需m2－m＜，即－＜m＜.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)任意x∈(－1,2)，x2－x＜2；
(2)存在x∈{x|x＞1)，log2x＋logx2＜2；
(3)指数函数都是单调函数；
(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的识别
解 (1)全称命题．由于x2－x＜2?x2－x－2＜0?－1＜x＜2，所以任意x∈(－1,2)，x2－x＜2成立．真命题．
(2)特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，
故log2x＋logx2＝log2x＋≥2，当且仅当x＝2时，(log2x＋logx2)min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．
(3)全称命题．当a＞1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f(x)＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．
(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除．真命题．
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
一、选择题
1．下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“任意x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；
③命题“存在x∈R，x2＋4x＋4≤0”是特称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的识别
答案 C
解析 只有②③正确．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
考点 存在量词与特称命题
题点 特称命题的真假判断
答案 B
3．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D是特称命题．
考点
题点
4．已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是( )
A．对任意的F∈BC，EF⊥AD
B．存在F∈BC，EF⊥AC
C．对任意的F∈BC，EF≥
D．存在F∈BC，EF∥AC
考点 特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
解析 因为△ABD和△ACD为等边三角形，E为AD的中点，
?AD⊥平面BCE，
又EF?平面BCE，
故AD⊥EF.
5．下面命题是真命题的是( )
A．任意x∈R，x3≥x
B．存在x∈R，x2＋1＜2x
C．任意xy＞0，x－y≥2
D．存在x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x－sin y
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 D
6．若“任意x∈，cos x≤m”是真命题，则实数m的最小值为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 C
7．有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2 ＋cos2 ＝；
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：对任意的x∈[0，π],＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
其中假命题为( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p3，p4
考点 全称命题真假性的判断
题点 全称命题的真假判断
答案 A
解析 由于对任意x∈R，sin2 ＋cos2 ＝1，故p1是假命题；当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，
sin x－sin y＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．
对于p3：任意x∈[0，π]，
＝＝|sin x|＝sin x为真命题．
对于p4：sin x＝cos y?x＋y＝为假命题，例如x＝π，y＝，满足sin x＝cos y＝0，而x＋y＝.
二、填空题
8．若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 1
解析 ∵x∈，∴0≤tan x≤1，∴m≥1，故实数m的最小值为1.
9．已知命题p：存在c＞0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：任意x∈R，x2＋2c－3＞0.若p和q都是真命题，则实数c的取值范围为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 (2,3)
解析 由于p和q都是真命题，所以p，q都是真命题，
所以解得2＜c＜3.
故实数c的取值范围为(2,3)．
10．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 (－∞，3]
解析 对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
11．有下列四个命题：
p1：存在x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：存在x∈(0,1)，x＞x；
p3：任意x∈(0，＋∞)，x＞x；
p4：任意x∈，x＜x.
其中为真命题的是________．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 p2，p4
解析 因为幂函数y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以当x∈(0,1)时，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即＞，所以命题p2是真命题；因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈(0,1]时，y＝≥0，当x∈(1，＋∞)时，y＝＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝x在上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝在上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
考点 全称(特称)命题的真假性判断
题点 全称(特称)命题的真假性判断
解 (1)是特称命题，是真命题．
(2)是全称命题，是假命题．
(3)是特称命题，是假命题．
13．若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]都成立，求实数t的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的范围
解 因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1,1]，于是由题意可得对一切a∈[－1,1]，不等式t2－2at＋1≥1恒成立．
由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.
令f(a)＝2t·a－t2，
则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，
当t＝0时，显然f(a)≤0成立，
当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1,1]上恒成立，
则
即解得t≤－2或t≥2.
故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.
四、探究与拓展
14．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的真假性判断
答案 C
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
15．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 易知f(t)∈.
由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，当x＝2时，g(m)＝0，显然不等式不成立，
∴x≠2.
则g(m)＞0对任意m∈恒成立，
所以即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
3．3 全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解全称命题和特称命题的否定的意义.2.会对全称命题和特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法
(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
全称命题的否定是特称命题．
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x∈R，x2＋1<0.
答案 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理 写特称命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
特称命题的否定是全称命题．
1．命题綈p的否定为p.(√)
2．存在x∈M，p(x)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)有些自然数的平方不是正数．
(3)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，是真命题．
(3)一切分数都是有理数，是真命题．
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图像易知，Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“任意x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于特称命题“存在x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．任意x∈R，|x|＋x2＜0
B．任意x∈R，|x|＋x2≤0
C．存在x∈R，|x|＋x2＜0
D．存在x∈R，|x|＋x2≥0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
2．存在m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017的否定是( )
A．任意m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017
B．存在m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 017
C．任意m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017
D．以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
3．命题“任意x∈R，x＞sin x”的否定是________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 存在x∈R，x≤sin x
4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为：?x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意x∈R，x2＋2x＋2＝0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
考点 全称(存在)量词的否定
题点 含全称(存在)量词的命题的否定
解 (1)存在x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
因为任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．
(2)至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
(3)任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是( )
①存在实数x，使得x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 x2＋2≥2，故①是假命题；?x∈R，sin x≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是( )
A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 易知命题p的否定为：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：任意x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p为假命题，那么a的取值范围是( )
A．a＜ B．0＜a≤ C．a≤ D．a≥
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是.
5．下列命题中，假命题是( )
A．任意x∈R,2x－1>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0
C．存在x∈R，lg x<1 D．存在x∈R，tan x＝2
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 对于任意x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当06．命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．任意n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
B．任意n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
C．存在n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
D．存在n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 “f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N＋或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．存在x1∈R，f(x1)≤f(x0)
B．存在x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于任意x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而A，B，D为真命题，C为假命题．
二、填空题
8．若命题：“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由题意得Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.
9．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_________．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 任意x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
10．设命题p：任意x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，＋∞)
解析 命题p的否定：存在x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，显然a∈R.
11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是____________________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
三、解答题
12．若命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为“任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.
故所求实数a的取值范围为[－3,1]．
13．已知p：任意a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝
sin的周期不大于4π.
(1)写出命题p的否定；
(2)当命题p的否定是假命题时，求实数b的最大值．
考点 全称量词的否定
题点 全称量词的命题的否定
解 (1)命题p的否定：存在a∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于命题p的否定是假命题，所以p是真命题，
所以任意a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为________________________________________________________________________．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，
∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，
∴对a的系数讨论如下：
①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得
即
解得x＞或x＜－.
综上，x＞或x＜－.
15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙中至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个真命题；
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
解得a＞或a＜－1.
当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－.
(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
当甲真乙假时，a的取值范围是；
当甲假乙真时，a的取值范围是.
所以，实数a的取值范围为∪.
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1 逻辑联结词“且”
4．2 逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．
(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．
将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
知识点二 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．
(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题．
将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)
2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)
3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)
4．若p：sin x≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解 (1)是p且q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p或q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p或q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．
跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．
考点 “且”的概念
题点 把命题写成“p且q”的形式
答案 p且q
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)96是48与16的倍数；
(2)不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}．
考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解 (1)p且q：p：96是48的倍数；q：96是16的倍数．
(2)p或q：p：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1}，
q：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＞2}．
类型二 “p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假．
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交．
考点 “p且q”和“p或q”形式命题真假性判断
题点 判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假
解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
反思与感悟 形如p或q，p且q命题的真假根据真值表判定．
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
考点 “p且q”和“p或q”形式命题真假性判断
题点 判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假
解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(3)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，
所以所以m＞2.
因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，
所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.
因为p或q为真，p且q为假，
所以p为真，q为假或者p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
引申探究
本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围．
解 同例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，
1＜m＜3.
因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，
即解得2＜m＜3，所以m的取值范围为(2,3)．
反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；
(2)讨论p，q的真假；
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
跟踪训练4 已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是________．
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,3]
解析 由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3.
由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.
∵“p且q”为真，∴
解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3]．
1．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是( )
A．p为假命题 B．q为真命题
C．p或q为真命题 D．p且q为真命题
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案 C
解析 由题意，知p为真命题，q为假命题．
2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是( )
A．p：4＋4＝9，q：7＞4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案 B
3．已知命题p，q，若p为真命题，则( )
A．p且q必为真 B．p且q必为假
C．p或q必为真 D．p或q必为假
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案 C
解析 p或q，一真则真，故必有p或q为真．
4．已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图像关于直线x＝π对称，则p且q是________命题．(填“真”或“假”)
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”形式命题的真假
答案 假
解析 由题意，知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p且q是假命题．
5．已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假．
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解．
所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．
一、选择题
1．“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 A
解析 p且q是真命题?p是真命题，且q是真命题?p或q是真命题；p或q是真命题?p且q是真命题．
2．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)，命题q：如果函数y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图像关于原点对称，则有( )
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假
C．p真q假 D．p假q真
考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 C
解析 由命题p知，ax＋2a＝a，解得x＝－1，故过定点(－1,1)，而命题q为假命题．
3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p且q为假 D．p或q为真
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”形式命题的真假
答案 C
解析 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假．故选C.
4．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 B
解析 ∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，
∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，
∴a2－a>0，解得a<0或a>1.
∵p且q为假命题，p或q为真命题，∴p，q中一真一假．
①当p真q假时，得0≤a≤1；
②当p假q真时，得a>1.
由①②，得所求实数a的取值范围是a≥0.
5．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 D
解析 命题p假，命题q真．
6．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”形式命题的真假
答案 C
解析 点P(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
7．已知p：x2－2x－3＜0；q：＜1，若p且q为真，则x的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－1,3)
C．(3，＋∞) D．(－∞，2)
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的值
答案 A
解析 由命题p，得－1＜x＜3，
当q为真命题时，得x＜2或x＞3，
因为p且q为真命题，所以即－1＜x＜2.
二、填空题
8．设p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p且q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的值
答案 3 －3
解析 若p且q为真命题，则p，q均为真命题，
所以有解得
9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点 “p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，
由于命题是假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
10．设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________．
考点 “p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 ∪
解析 若p真，则0若q真，有即a>.
若q假，则a≤，又p和q有且仅有一个为真，
所以当p真q假时，0当p假q真时，a≥1.
综上所述，a∈∪.
三、解答题
11．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”形式命题的真假
解 (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．
12．已知p：c2＜c和q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0，若p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 由不等式c2＜c，得0＜c＜1.
由对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0，
得(4c)2－4＜0，得－＜c＜.
由已知，得p和q必有一个为真、一个为假．
当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0.
故实数c的取值范围是∪
13．设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，
当a＝0时，f(x)＝lg(－4x)的定义域不为R，不合题意，当a≠0时．
则(－4)2－4a2<0且a>0，即解得a>2.
若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>max.
令g(x)＝2x－＋1，可知g(x)在(－∞，－1)上是增函数，当x＝－1时取得最大值，g(x)max＝1.故a≥1.
又p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中一个为真命题，另一个为假命题．
若p真q假，则无解；
若p假q真，则则1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为[1,2]．
四、探究与拓展
14．命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；命题q：2是集合{x|x2＜a}中的元素．若“p且q”是真命题，则a的取值范围为________．
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 “p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 (4，＋∞)
解析 由p为真命题，得a＞1，由q为真命题，得a＞4.因为p且q为真命题，所以解得a＞4.
15．已知p：(x＋1)(x－5)≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，p或q为真命题，p且q为假命题，求实数x的取值范围．
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 (1)由(x＋1)(x－5)≤0，得－1≤x≤5，
∵p是q的充分条件，∴
解得m≥4.
(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6.
根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，
无解；
当p假q真时，
解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.
综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．
4．3 逻辑联结词“非”
学习目标 1.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“非p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．
答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定．
梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点二 命题的否定与否命题
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？
答案 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．
梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必定相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面．
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．
1．命题的否定和否命题是一回事．(×)
2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)
3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)
4．一个命题的否定的否定仍是原命题．(√)
类型一 綈p命题及构成形式
例1 写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”等．
跟踪训练1 分别写出下列命题的“非p”形式．
(1)p：函数y＝x2与函数y＝ln x没有交点；
(2)p：π是有理数；
(3)p：在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解 (1)綈p：函数y＝x2与函数y＝ln x有交点；
(2)綈p：π不是有理数；
(3)綈p：在△ABC中，若A＞B，则sin A≤sin B.
类型二 复合命题的真假判断
例2 分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图像有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数．
(2)p：7＞7；q：7＝7.
考点 綈p形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
引申探究
在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)且q”“(綈q)或p”的真假；对(2)判断“p且(綈q)”“p或(綈q)”“(綈p)且(綈q)”“(綈p)或(綈q)”的真假．
解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)且q为真命题，(綈q)或p为假命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，
所以綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p且(綈q)为假命题，p或(綈q)为假命题；
(綈p)且(綈q)为假命题，(綈p)或(綈q)为真命题．
反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．
跟踪训练2 已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，则下列结论：
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中所有正确结论的序号是________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断非p的真假
答案 ①④⑤⑥
解析 p为假命题，q为真命题．
类型三 命题的否定的真假应用
例3 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
即，解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
等价于a＝0或
由得解得0因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
反思与感悟 求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
跟踪训练3 已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p且q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案 {x|－1解析 由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p且q：x∈{－1,0,1,2}．綈p：x<－1或x>2，因为“p且q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－11．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 D
解析 因为p是真命题，q是假命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
2．命题p：方程x2－ax＋1＝0无实数根，綈p为假命题，则a的取值范围为( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 因为綈p为假命题，所以p为真命题，
得Δ＝(－a)2－4＜0，即－2＜a＜2，故选C.
3．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是________________，命题的否定是________________．
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
4．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若(綈p)且q为真命题，则实数a的取值范围为________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案
解析 由函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，
知0＜a＜1.
若抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
则Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
∵(綈p)且q为真命题，∴p为假命题，且q为真命题，
于是有∴a＞.
∴所求实数a的取值范围是.
5．已知p：方程x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0的一个根大于1，一个根小于1，q：函数y＝在(－2，＋∞)上是减函数．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 设方程x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0的两根为x1，x2，
由题意不妨设x1＜1，x2＞1，所以(x1－1)(x2－1)＜0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0.
又因为x1＋x2＝－(a2－5a＋4)，x1x2＝－1，
所以a2－5a＋4＜0，所以1＜a＜4，即p：1＜a＜4.
若函数y＝在(－2，＋∞)上是减函数，
则a2－2a－2＞1，解得a＜－1或a＞3，
即q：a＜－1或a＞3.
因为p或q为真，p且q为假，所以p，q必为一真一假．
当p真q假时，a的取值范围为1＜a≤3；
当p假q真时，a的取值范围为a＜－1或a≥4.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪(1,3]∪[4，＋∞)．
1．若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．
2．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．
3．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．
一、选择题
1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 “非”的概念
题点 判断綈p的真假
答案 A
解析 因为綈p为真，所以p为假，那么p且q为假，所以“綈p为真”是“p且q为假”的充分条件；反过来，若“p且q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p且q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件．
2．若p是真命题，綈q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．(綈p)且q为真命题
考点 “非”的概念
题点 判断綈p的真假
答案 A
解析 由綈q为假命题，得q为真命题，故p且q为真命题．p或q为真命题，綈q为假命题，(綈p)且q为假命题．
3．命题“p且q”与“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“綈p”与“綈q”真假不同
B．命题“綈p”与“綈q”至多有一个是假命题
C．命题“綈p”与“q”真假相同
D．命题“(綈p)且(綈q)”是真命题
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 D
解析 “p且q”为假，则p与q中至少有一个为假，而“p或q”为假，则p，q都为假，故綈p，綈q均为真．
4．已知p：x2＋2x－3>0，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 A
解析 p：{x|x>1或x<－3}，q：{x|2则綈p：{x|－3≤x≤1}，綈q：{x|x≥3或x≤2}．
∴(綈p)?(綈q)且(綈q)?(綈p)．
即綈p是綈q的充分不必要条件．
5．已知命题p：存在x∈R，有sin x＋cos x＝2；命题q：任意x∈，有x>sin x．则下列命题是真命题的是( )
A．p且q B．p或(綈q)
C．p且(綈q) D．(綈p)且q
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 D
解析 由题意，知命题p是假命题，命题q是真命题，
所以(綈p)且q为真命题．
6．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5，x∈R}，则P是綈Q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
答案 A
解析 ∵Q＝{x|x≤0或x≥5，x∈R}，
∴綈Q＝{x|07．给出下列两个命题，命题p：“x>3”是“x>5”的充分不必要条件；命题q：函数y＝log2(－x)是奇函数，则下列命题是真命题的是( )
A．p且q B．p或(綈q)
C．p或q D．p且(綈q)
考点 “非p”形式命题的真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 C
解析 因为“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，故命题p为假命题，綈p为真命题；因为函数的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝log2(＋x)＋log2(－x)＝log21＝0，所以命题q为真命题，綈q为假命题；则p且q为假命题，p或(綈q)为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，故选C.
二、填空题
8．命题p：“三角函数y＝sin 5x的周期是2π.”则綈p：___________________________.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
答案 三角函数y＝sin 5x的周期不是2π
9．命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是____________________________________________________________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－3]
解析 由题意，知－≥4，解得a≤－3.
10．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：
①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面或相交．
三、解答题
11．写出下列命题的否定及否命题．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y全为零；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解 (1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y不全为零．
否命题：若m2＋n2＋x2＋y2≠0，
则实数m，n，x，y不全为零．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
12．已知p：关于x的不等式|2x－3|0)，q：x(x－3)<0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围
解 由|2x－3|0)，得由x(x－3)<0，得0若綈p是綈q的必要不充分条件，
则q是p的必要不充分条件，
∴或解得0故实数m的取值范围是(0,3)．
13．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0}．
(1)当a＝时，求(?UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
考点 复合命题真假性的判断
题点 由复合命题的真假求参数的取值范围
解 (1)A＝{x|2当a＝时，B＝.
∴?UB＝，
∴(?UB)∩A＝.
(2)由綈p是綈q的必要条件，得q是p的必要条件，即p?q，可知A?B，
由a2＋2>a，得B＝{x|a∴解得a≤－1或1≤a≤2.
即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．
四、探究与拓展
14．已知p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点，q：若＜1，则x＞1，那么下列四个命题中为真命题的是( )
A．(綈p)或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 D
解析 由题意知，命题p为真命题，q为假命题，只有(綈p)或(綈q)为真命题．
15．设p：q：x2＋y2≤r2(r＞0)，若q是綈p的充分不必要条件，求实数r的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的取值范围
解 设p，q对应的集合分别为A，B，则集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，集合?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合．问题可转化为利用A?(?RB)求解．因为A?(?RB)表示区域A内的点到原点的最短距离大于r，所以结合图像可知，只需直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最短距离大于或等于r.因为原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝，所以实数r的取值范围为.
滚动训练(一)
一、选择题
1．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
2．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：存在x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0
考点 命题的概念
题点 判断命题的真假
答案 B
解析 A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；D中，求含有一个量词的命题的否定时，要特别注意不等号的方向，错误．
3．已知p和q是两个命题，若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 根据逆否命题的等价性知，若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
4．给出下列三个命题：
①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；
②若p且q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题p：任意x∈R,2x＞0，则綈p：存在x∈R,2x≤0.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 ①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．
5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 C
解析 命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.
6．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于07．已知命题p：存在x∈R，mx2＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p且q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 由题意可知，若p且q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
二、填空题
8．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若“(綈q)且p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为“(綈q)且p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有＜0，即2＜x＜3，
所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，
解得x＞1或x＜－3，
由
解得x＜－3或1＜x≤2或x≥3.
9．命题“任意x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为___________________________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 存在x∈R，lg(x2＋1)－x≤0
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为“存在x∈R，lg(x2＋1)－x≤0”．
10．设命题p：若ex＞1，则x＞0，命题q：若a＞b，则＜，则命题p且q为________命题．(填“真”或“假”)
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p且q”形式命题的真假
答案 假
解析 ∵命题p：若ex＞1，则x＞0，
∴可知命题p是真命题．
∵命题q：若a＞b，则＜，
当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但＞，
∴命题q为假命题，∴命题p且q为假命题．
11．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“存在x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．
考点 特称命题的真假性判断
题点 存在性问题求参数的取值范围
答案 (－∞，－2)
解析 因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像过点(0,1)，
所以若命题“存在x＞0，f(x)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，
所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
12．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 由充分、必要条件求取值范围
答案 [4，＋∞)
解析 由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，设A＝{x|－1≤x≤4}，
若|x－3|≤m有解，
则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵綈q是綈p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
则或
即或得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
13．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；
(2)p：A?B，q：A∪B＝B.
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，
∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q?p.
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴p? q，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵A?B?A∪B＝B，∴p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即q?p，
∴p是q的充分不必要条件．
四、探究与拓展
14．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 ①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.
此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得
解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 若命题p为真，则0＜c＜1；
若命题q为真，因为2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞.
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p，q一真一假．
当p真q假时，c的取值范围是；
当p假q真时，c的取值范围是(1，＋∞)．
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的命题间的相互关系.2.掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求全称命题和特称命题的否定.4.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假．
1．命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题，关键是：
①为陈述句；
②能判断真假．
(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
(3)四种命题之间的关系如图所示．
2．充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．
3．简单的逻辑联结词与量词
(1)常见的逻辑联结词有“且”“或”“非”．
(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词．
(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词．
4．含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题．
1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(√)
2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)
3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(×)
4．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．(×)
类型一 命题及其关系
例1 (1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”．
其中是真命题的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．
反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．
(2)“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
跟踪训练1 命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
类型二 充要条件
例2 (1)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 (1)A (2)A
解析 (1)当b＜0，且x＝－＞0时，
f(x)取得最小值－，
则f(x)的值域为，
则当f(x)＝－时，
f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，故是充分条件；
当b＝0时，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，
故不是必要条件．故选A.
(2)当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，
即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
反思与感悟 分清条件与结论，准确判断p?q，还是q?p.
跟踪训练2 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 必要条件的概念及判断
题点 由必要条件求参数的取值范围
解 由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
得1－m≤x≤1＋m.
由≤2，得－2≤x≤10.
由綈p是綈q的必要不充分条件知，
p是q的充分不必要条件，
∴
且不等式组中的等号不能同时成立，得m≥9.
故实数m的取值范围是[9，＋∞)．
类型三 全称命题与特称命题
例3 命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．任意x∈R，存在x∈N＋，使得n＜x2
B．任意x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2
C．存在x∈R，存在x∈N＋，使得n＜x2
D．存在x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定“綈p”
答案 D
解析 由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是“存在x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2”．
反思与感悟 (1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．
跟踪训练3 已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则綈p是( )
A．存在x∈R，sin x≥1 B．存在x∈R，sin x>1
C．任意x∈R，sin x≥1 D．任意x∈R，sin x>1
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定“綈p”
答案 B
解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，
存在x∈R，sin x>1，故选B.
1．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“存在x∈R，x2＞1”的否定是“任意x∈R，x2＞1”
C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 D
解析 A中，命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．
B中，命题“存在x∈R，x2＞1”的否定是“任意x∈R，x2≤1”，∴B错误．
C中，“若x＝y，则cos x＝cos y”为真命题，则其逆否命题也为真命题，∴C错误．
D中，命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题“若cos x＝cos y，则x＝y”为假命题，∴D正确．
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
3．分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题的真假．
(1)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(2)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
解 (1)∵p：?是{0}的真子集，是真命题，q：0∈?，是假命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是假命题．
(2)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，是假命题，
q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题．
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 (－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等，
q：平行四边形的对角线互相平分；
(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，
q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
解 (1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分．
綈p：平行四边形的对角线不相等．
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两个根符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两个根符号相同．
因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
2．判断命题真假的步骤
??
一、选择题
1．全称命题“任意x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是整数，则x?Z
C．若2x＋1不是整数，则x∈Z
D．若2x＋1不是整数，则x?Z
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 A
2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )
A．两个无理数的和必是无理数
B．存在一个实数x，使＝0
C．至少有一个实数x，使x2<0
D．有个实数的倒数等于它本身
考点 特称命题的识别
题点 特称命题的真假性判断
答案 D
解析 A项，为全称命题；B项，是不能为零的，故B为假命题；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C为假命题；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D为真命题．
3．命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R,2x>0
B．存在x∈R,2x≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 特称命题的否定是全称命题．
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 若x＝4，则a＝(4,3)，
∴|a|＝＝5，
若|a|＝5，则＝5，
∴x＝±4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．
5．命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．
6．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．任意x?R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝x
C．存在x?R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，所以“任意x∈R，x2≠x”的否定为“存在x∈R，x2＝x”．
二、填空题
7．若命题p：常数列是等差数列，则綈p：_________________________________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 存在一个常数列，不是等差数列
解析 全称命题的否定是特称命题．
8．把“奇函数的图像关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为__________________________．
考点 命题的结构形式
题点 改写成标准的若p则q形式
答案 若一个函数是奇函数，则这个函数的图像关于原点对称
9．命题p：若＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 假
解析 其原命题的否命题是：若≠b，则a，b，c不成等比数列．
若b＝－，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．
10．定义f(x)＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．
①f(2x)＝2f(x)；②若f(x)＝f(y)，则x－y<1；③任意x，y∈R，f(x＋y)≤f(x)＋f(y)；④f(x)＋f＝f(2x)；⑤函数f(x)为奇函数．
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ②③
解析 根据新定义“取上整函数”的意义f(2x)＝2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)＋f＝f(2x)不一定成立，如x取0；函数f(x)不满足奇函数的关系，如f(1.6)＝f(2)，f(－1.6)＝f(－1)．故答案为②③.
三、解答题
11．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 由充分、必要条件求参数的取值范围
解 由题意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴或
∴0≤a≤.
故实数a的取值范围为.
12．求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
证明 先证充分性，若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．
因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)．
因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，
所以f(x)是偶函数．
再证必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，
从而|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2，
展开并整理，得ax＝0.因为x∈R，所以a＝0.
13．已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
(1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
当a＝0时，2x－1≤0不恒成立，不合题意，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，易知k≠0，且圆心O到直线l的距离d＝＜1，所以|AB|＝2＝2＝2.
若k＝1，则|AB|＝，d＝，
所以△OAB的面积为××＝.
反过来，若△OAB的面积为，
则S＝××2＝＝，
解得k＝±1.
故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
15．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的取值范围
解 (1)当a＝1时，由x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3.
由≤0，得2＜x≤3.
∵p且q为真，∴p真，q真，
∴x应满足
解得2＜x＜3，
即实数x的取值范围为(2,3)．
(2)綈q：实数x满足x≤2或x＞3，
綈p：实数x满足x2－4ax＋3a2≥0，
由x2－4ax＋3a2≥0得x≤a或x≥3a.
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴a≤2且3a＞3，解得1＜a≤2，
∴实数a的取值范围为(1,2]．
