第二章圆锥曲线与方程学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

1　空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．
第1层　用已知向量表示未知向量
例1　如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
解　＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋；
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
第2层　化简向量
例2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)＋(＋)；
(2)－(＋)．
解　(1)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)－(＋)
＝－＝.
，，如图所示．
点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．
第3层　证明立体几何问题
例3　如图，已知M，N分别为四面体ABCD的平面BCD与平面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B，G，N三点共线．
2　空间向量易错点扫描
易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1　“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
错解　a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．
错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．
剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
正解　必要不充分
总结　a·b<0?a与b的夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同．
易错点2　判断是否共面出错
例2　已知O，A，B，C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是(　　)
A. B.
C. D.或
错解　a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以，都与a，b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.
剖析　＋＝(a＋b)，说明＋与a，b共面，但不能认为，都与a，b共面．
对A，B：设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x，y不存在，所以a，b与不共面，
故a，b与可构成空间的一个基底．
同理a，b与也可构成空间的一个基底．
对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a，b共面，故不能构成空间的一个基底．
正解　C
易错点4　混淆向量运算和实数运算
例4　阅读下列各式，其中正确的是(　　)
A．a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
B．a·b＝0?a＝0或b＝0
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D.·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解　A(或B或C)
剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律 ，故A，C错误；a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解　D
易错点4　忽略建系的前提
例4　四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试建立合理的坐标系，求，夹角的余弦值．
错解　以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析　空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．
正解　设AC，BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点5　求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例5　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABD1与平面BD1C的夹角的大小．
错解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
C1(0,1,1)．
由题意知是平面ABD1的一个法向量，
＝(－1,0，－1)，是平面BCD1的一个法向量，
＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为120°.
剖析　利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．
正解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知＝(－1,0，－1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为60°.
3　空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
1．利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1　已知在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求直线BC1与CD夹角的余弦值．
解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故直线BC1与CD夹角的余弦值为.
点评　本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可．
2．利用线面垂直关系
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解　过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图．
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，
C1，E，A1.
点评　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
3．利用面面垂直关系
例3　如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD夹角的大小．
解　取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量为＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD夹角为45°.
点评　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　4　用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．
1．求解、证明问题
例1　在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明　以O为坐标原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x(0≤x≤G)，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2．定位问题
例2　如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
解题提示　假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在．
解　因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，DA，DC?平面ABCD，
所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
因为点M在DG上，假设存在点M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量．
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF的夹角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且当DM＝3－4时，直线MB与平面BEF夹角为45°.
点评　由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．
5　向量与立体几何中的数学思想
1．数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
例1　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．
(1)证明　因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解　因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)．
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，
得
令z＝1，得m＝(2，－2,1)．
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值为.
(3)解　过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，
FM?平面A1B1C1D1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝××FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2．转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求平面ADF与平面DFC夹角的余弦值．
分析　求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角．
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(1,2,0)，C(0,2,0)，
D1(0,0,2)．
＝(0,2,0)，
＝(0,2，－2)，
∵E为AB的中点，
∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝，
∴＝＋＝(0,0,2)＋
＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，
则∴
取x1＝1，得平面DFC的一个法向量为n＝(1,0，－1)．
设p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，
则∴
设平面ADF与平面DFC的夹角为0，取y2＝1，得平面D1EC的一个法向量为p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解　设q＝(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，
则
∴
取y3＝1，得平面ADF的一个法向量为q＝(0,1，－1)，
设平面ADF与平面DFC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴平面ADF与平面DFC的夹角的余弦值为.
3．函数思想
例3　已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)．问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由．
分析　写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解．
解　由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴ymax＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11)．b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评　凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．
4．分类讨论思想
例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析　由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在．
解　假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，
∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为(　　)
A．－13,8 B．－13,5
C．7,5 D．7,8
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　∵a∥b且a≠0，
∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
又∵m，n，p不共面，∴＝＝，
∴x＝－13，y＝8.
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A．(4,2，－2) B．(2,0,4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，
又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.
3．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　D
解析　对于A，b＝－2a，即a∥b；对于B，d＝－3c，即d∥c；对于C，零向量与任何向量都平行．
4．在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　C
解析　①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．
5．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．||≠||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　B
解析　－＝λ－λ＝λ，即＝λ.同理＝μ.因为μ∥λ，所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故不一定等于且||不一定等于||.
6．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A．0° B．45° C．90° D．180°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　C
解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝90°.
7．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　C
解析　∵M为BC中点，
∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
考点　空间向量的数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，
则＝－＝(－)，＝＋，
∴||＝|－|＝，||＝，
·＝(－)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，
设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q.
10．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则直线PC与平面ABCD的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
考点　
题点　
答案　A
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝－，
又因为〈，n〉∈[0°，180°]，
所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线的夹角为60°，所以斜线PC与平面ABCD的夹角为30°.
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小为(　　)
A．120° B．45°
C．150° D．60°
考点　
题点　
答案　B
解析　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE夹角的大小45°.
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD夹角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中错误的结论是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　C
解析　如图所示，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，
B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，
故AC⊥BD.①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形．②正确．
对于③，为平面BCD的一个法向量，
cos〈，〉＝＝
＝＝－.
所以AB与OA所在直线所成的角为45°，
所以AB与平面BCD的夹角为45°.故③错误．
又cos〈，〉＝
＝＝－.
所以AB与CD的夹角为60°.故④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面平行
答案　平行或重合
解析　∵平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，满足v＝－3u，∴α∥β或重合．
14．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　60°
解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β夹角的大小为60°.
15.如图所示，已知在正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线ED和BF夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　设棱长为4，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以cos〈，〉＝＝＝＝.
16．已知向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，则直线AB与平面BCD夹角的正弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　∵向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，
∴＝－＝(－1,2,0)，＝－＝(－1,0,3)，
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝6，得n＝(6,3,2)，
设直线AB与平面BCD夹角为θ，
则sin θ＝＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)
＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)
＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝5，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直．
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0°，180°]，
∴∠BAC＝60°，∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝ ＝ 
＝ 
＝ ，
∴||＝2或.
∴BD的长为2或.
20．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
考点　
题点　
解　(1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线A1B与C1D夹角的余弦值为.
(2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
∴即
取n＝(2，－2,1)．
设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ，
则|cos θ|＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴sin θ＝，
∴平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
21．(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．
(1)求证：D1F⊥平面ADE；
(2)求平面A1C1D与平面ADE夹角的余弦值．
考点　
题点　
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，F(0,1,0)，
C1(0,2,2)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，A1(2,0,2)，＝(0,1，－2)，
＝(2,0,0)，＝(2,2,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，
又∵DA∩DE＝D，DA，DE?平面ADE，
∴D1F⊥平面ADE.
(2)解　由(1)可知平面ADE的法向量n＝＝(0,1，－2)．
设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(2,0,2)，＝(0,2,2)，
则令x＝1，则y＝1，z＝－1，
可得m＝(1,1，－1)，∴cos〈m，n〉＝，
∴平面A1C1D与平面ADE夹角的余弦值为.
22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，
(1)求证：D1E⊥A1D；
(2)AE为何值时，平面D1EC与平面ECD夹角的大小为.
考点　
题点　
(1)证明　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设AE＝x(0≤x≤2)，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，
D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(1，x，－1)．
∵·＝(－1,0，－1)·(1，x，－1)＝0，
∴⊥，∴D1E⊥A1D.
(2)解　＝(1，x－2,0)，＝(0,2，－1)，
＝(0,0,1)，
设平面D1EC的法向量m＝(a′，b′，c′)，
由得
令b′＝1，∴c′＝2，a′＝2－x，
∴m＝(2－x,1,2)，
又平面ECD的一个法向量p＝＝(0,0,1)，
依题意，cos ＝＝，
∴＝，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2±，又0≤x≤2，
∴x＝2－，
∴当AE＝2－时，平面D1EC与平面ECD夹角的大小为.

§1　从平面向量到空间向量
学习目标　1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．
知识点一　空间向量的概念
思考1　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案　在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．
思考2　若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？
答案　一定相同．因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同．
梳理　空间向量的有关概念
(1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．
知识点二　空间向量的夹角
思考　在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？
答案　0或π.
梳理　空间向量的夹角
(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)图形表示
角度
表示
〈a，b〉＝0
〈a，b〉是锐角
〈a，b〉是直角
〈a，b〉是钝角
〈a，b〉＝π
(3)范围：0≤〈a，b〉≤π.
(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
知识点三　向量与直线、平面
1．向量与直线
与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．
2．向量与平面
如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．

类型一　有关空间向量的概念的理解
例1　给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．故选B.
反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
类型二　求空间向量的夹角
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
解　(1)由题意知，＝，
∴〈，〉＝〈，〉．
又∵∠CAB＝，
故〈，〉＝.
(2)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
(3)由题意知，＝，∴〈，〉＝〈，〉＝.
引申探究
在本例中，求〈，〉．
解　如图，连接B1C，则B1C∥A1D，
且＝，连接AC，
在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，
故∠AB1C＝，
〈，〉＝〈，〉＝.
反思与感悟　求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向．
跟踪训练2　如图，在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　C
解析　取AB的中点O，连接OC，OD，
易得OC⊥AB，OD⊥AB.
∵OC∩OD＝O，OC，OD?平面OCD，
∴AB⊥平面OCD，又CD?平面OCD，∴AB⊥CD.
得〈，〉＝.
类型三　直线的方向向量与平面法向量的理解
例3　已知正四面体A－BCD.
(1)过点A作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
解　(1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线．
(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量．
反思与感悟　直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行．
给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面．
跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
解　取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM∥AB，且PM＝AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP∥BM，且AP＝BM.又在四边形BQC1M中，BQ∥C1M，且BQ＝C1M，
所以四边形BQC1M为平行四边形，
所以BM∥C1Q，且BM＝C1Q，
所以AP∥C1Q，故为直线AP的一个方向向量．
1．下列说法正确的是(　　)
A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量模的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
解析　两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．
2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
解析　因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．所以＝，＝，＝.
3．在正四面体A－BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则是平面BCD的一个________向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　法
解析　由四面体A－BCD为正四面体，易知AO⊥面BCD，故是平面BCD的一个法向量．
4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)
①；②；③；④.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　②③
5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量；
③试写出与向量相等的所有向量；
④试写出向量的所有相反向量．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，.
④向量的相反向量有，，，.
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合．二者缺一不可．
给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．两个非零向量的模相等的是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|?a＝b.
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，以顶点为起点和终点的向量中，平面BB1C1C的法向量的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依题意知，∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量为，，，，共4个．
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．
4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是(　　)
A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α平行，则a∥b
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依据平面向量的概念可知，A，B，C都是正确的，由立体几何知识可得a，b不一定平行．
5．如图，在正四面体A－BCD中，〈，〉等于(　　)
A．45° B．60° C．90° D．120°
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　D
解析　两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得〈，〉＝120°，故选D.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1和D1C1的中点，则〈，〉的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　B
解析　如图，连接A1C1，则A1C1∥MN，又因为B1C1∥BC，故〈，〉＝π－∠A1C1B1＝π－＝.
二、填空题
7．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有________对．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　5
解析　因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB.
由此知〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉都为90°.
8．下列说法正确的是________．(填序号)
①两个长度相等的向量一定相等；
②零向量的方向是任意的；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反；
④任何两个向量都不能比较大小．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　②④
解析　据题意知，只有②④正确．
9．如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝__________________，〈，〉＝________，〈，〉＝________.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　0°　180°　120°
解析　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°.因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°.
因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
10．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，已知AB＝5，AC＝3，BC＝4，CC′＝4，则以该三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为________．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义和模
答案　8
解析　向量，，，及它们的相反向量的模都等于5.
三、解答题
11．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC－A1B1C1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；
(3)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
解　(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量，
(2)向量的相反向量为，.
(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，，都是与平行的向量．
12．如图，在三棱锥S－BAC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SA＝SB＝SC＝a，因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.
因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，
所以AO＝a.又SO＝a，SA＝a，
所以△ASO是等腰直角三角形，
即SO⊥OA.
又OA∩BC＝O，OA，BC?平面ABC，
所以SO⊥平面ABC，
所以是平面ABC的一个法向量．
13．如图所示，在正四面体A－BCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
解　过E作EF∥CD交AD于F，连接BF.
∠BEF为向量与的夹角的补角．
设正四面体的棱长为1，
则BE＝，EF＝，
BF＝.
由余弦定理，得cos∠BEF＝＝＝.
所以与所成的角的余弦值为－.
四、探究与拓展
14．给出以下命题：
①若a∥b，b与c的夹角是30°，则a与c的夹角也是30°；
②平面的所有法向量方向相同；
③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等．
其中正确命题的序号是________．
答案　③
解析　命题①，当a与b的方向相反时，a与c的夹角是150°，故①错；命题②，平面的法向量仅指垂直于平面的向量，它们的方向相同或相反，故②错；命题③，起点与终点相同的空间向量相等，故③正确．
15．如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
证明　因为AB是圆O的直径，所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM.
因为PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
所以BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，所以BM⊥AN，又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，所以AN⊥平面PBM.
所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
§2　空间向量的运算(一)
学习目标　1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．
知识点一　空间向量的加减法及运算律
思考　下面给出了两个空间向量a，b，如何作出b＋a，b－a?
答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
梳理　类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b
知识点二　空间向量的数乘运算及运算律
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何
定义
λ＞0
λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0
λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律
λ(a＋b)＝λa＋λb
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论．
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
1．若a＋b＝0，则a＝b＝0.(×)
2．设λ∈R，若a＝λb，则a与b共线．(×)
3.－＝.(×)
4．直线l的方向向量为a，若a∥平面α，则l∥平面α.(×)
类型一　空间向量的加减运算
例1　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
解　(1)－＝－＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解　结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思与感悟　(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.
跟踪训练1　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
类型二　共线问题
例2　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
答案　(1)A　(2)1
解析　(1)因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴解得故k的值为1.
反思与感悟　(1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
①存在实数λ，使＝λ成立．
②对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
③对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练2　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
解　设AC的中点为G，连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与 ＋共线．
类型三　空间向量的数乘运算及应用
例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
解　(1)＝＋
＝(＋)＋＝a＋c＋b.
(2)＝＋＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解　＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思与感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
证明　设＝a，＝b，＝c.
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有(　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
解析　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝，故选D.
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　A
解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.
3．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　C
解析　由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．
4．若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　－
解析　若2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线，
则2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，
∴∴k＝－.
5．化简2＋2＋3＋3＋＝________.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　0
解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
(2)证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B.
C．0 D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　C
解析　－＋＝＋＝－＝0，故选C.
2．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
3．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　A
解析　如图，因为＋＝2，
所以＋(＋)＝＋＝.
4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
5．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a＋b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　B
解析　连接AE(图略)，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝(＋)＝(b＋c)．
在△ABE中，＝＋＝－＋，
又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
6．设点M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设D是BC边的中点，
∵M是△ABC的重心，
∴＝.而＝(＋)＝(c－b)，
∴＝(c－b)．
7．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，
＝(1－n)＋n＝－n＋n，
即－＝n(－)，即＝n.
因为≠0，所以和共线，
又AP和AB有公共点A，所以点A，P，B共线，故选A.
二、填空题
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　2
解析　－＋－＝＋＋－＝＋＝2.
9．在空间四边形ABCD中，连接BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　0
解析　连接DE并延长交BC于点F，连接AF(图略)，
则＝，
∴＋－－
＝＋－＋
＝＋＋＝0.
10．若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　重心
解析　因为＋＝－＝，
所以AG所在直线的延长线为边BC上的中线，同理，得BG所在直线的延长线为AC边上的中线，故G为其重心．
11．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　
解析　∵＝x＋＋，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，
∴x＝.
三、解答题
12．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共面定理及应用
证明　因为M在BD上，
且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，
根据共面向量定理可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
四、探究与拓展
13．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案　2
14．设e1，e2，e3三向量不共面，而＝e1＋2e2＋3e3，＝2e1＋λe2＋μe3，＝3λe1－e2－2μe3，如果A，B，D三点共线，则λ，μ的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
解析　＝＋＝(2e1＋λe2＋μe3)＋(3λe1－e2－2μe3)＝(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3.
∵A，B，D三点共线，
∴与是共线向量．
∴存在实数k，使得＝k，即
e1＋2e2＋3e3＝k[(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3]．
∴(1－2k－3kλ)e1＋(2－kλ＋k)e2＋(3＋kμ)e3＝0.
∵e1，e2，e3三向量不共面，
∴1－2k－3kλ＝0,2－kλ＋k＝0,3＋kμ＝0.
将k＝－代入前两式，
可得
解得λ＝－1，μ＝3.
§2　空间向量的运算(二)
学习目标　1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．
知识点　数量积的概念及运算律
1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)|a|2＝a·a，|a|＝.
(3)cos〈a，b〉＝.
3．空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(2)a·b＝b·a(交换律)．
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
1．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)
2．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)
3．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)
4．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)
类型一　数量积的计算
例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　(1)·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 120°＝－.
(4)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.
反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
类型二　利用数量积证明垂直问题
例2　(1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为___________________________________________________．(填“平行”“垂直”)
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　垂直
解析　∵·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·(－－)＝·＝0，
∴AD与BC垂直．
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面CBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练2　如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
类型三　利用数量积解决空间角或两点间的距离问题
命题角度1　解决角度问题
例3　在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与BC所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
解　∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos〈，〉
＝
＝＝.
反思与感悟　求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求解
解　不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝a－c，＝a＋b.
∴·＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝60°.
又异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2　求空间中的两点间的距离
例4　如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2
＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
反思与感悟　求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练4　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝，即AC1＝.
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　结合向量的运算，只有B正确．
2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
解析　若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A. B．97
C. D．61
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　C
解析　|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，
∴|2a－3b|＝.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　cos〈a，b〉＝＝－，∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
一、选择题
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(　　)
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
考点　空间向量数量积的概念与性质
题点　数量积的性质
答案　A
解析　由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　根据a·(2b－a)＝0，
即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝45°，故选B.
3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
答案　B
解析　由(＋－2)·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，得||＝||，
故△ABC为等腰三角形．
5．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　)
A．14 B. C．4 D．2
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　B
解析　∵|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，
∴|a－2b＋3c|＝.
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(　　)
A.· B.·
C.· D.·
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　D
解析　选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有·＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，
又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，
可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，
此时·＝0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以·＝0，故选D.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　①②正确；∵与的夹角为120°，
∴③不正确，故选B.
二、填空题
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　a2
解析　如图，＝－，
＝－＝－，
∴·
＝(－)·(－)
＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2.
9．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　－
解析　由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，
由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.
解得λ＝－.
10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝.
11．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝.
三、解答题
12．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，
＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，
||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
13．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　空间向量数量积定义
答案　1－
解析　如图，＝－＋＝－＋λ，
故·＝(λ－)·
＝λ||2－||||cos A，
·＝(－λ)·(1－λ)＝λ(λ－1)||2，
设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－.
四、探究与拓展
14．已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB1A1，平行四边形BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，则异面直线BA1与AC所成的角为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　60°
解析　如图所示，∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
§3　向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)
3．1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2　空间向量基本定理
学习目标　1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一　空间向量的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基
有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作i，j，k
空间直角坐标系
以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p＝(x，y，z)
知识点二　空间向量基本定理
思考　平面向量基本定理的内容是什么？
答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
梳理　(1)空间向量基本定理
条件
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p
结论
存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc
(2)基底
条件：三个向量a，b，c不共面．
结论：{a，b，c}叫作空间的一个基底．
基向量：基底中的向量a，b，c都叫作基向量．
1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)
2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)
3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√)
4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)
类型一　基底的判断
例1　下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－MC
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的判断
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C.
(2)②③均可以作为空间的基底，故选B.
反思与感悟　基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1　(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
答案　D
(2)以下四个命题中正确的是(　　)
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．空间向量的基底只能有一组
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．
类型二　空间向量基本定理的应用
例2　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　因为＝＋，
而＝，＝－，
又D为BC的中点，所以＝(＋)，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)－
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
又因为＝－，
＝＝×(＋)
＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
反思与感悟　用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
类型三　空间向量的坐标表示
例3　(1)设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(4，－8,3)，(－2，－3,7)
解析　由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
(2)已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，
e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，
设a＝αe1＋βe2＋λe3，
即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，
所以解得
所以a沿e1，e2，e3的正交分解为a＝e1＋e2＋e3.
反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3　(1)在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　
解析　∵OM＝2MA，点M在OA上，
∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)
＝－a＋b＋c.
∴在基底{a，b，c}下的坐标为.
(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝e3＋e2，
所以＝.
1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
解析　由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1,1，－1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定．
2．在下列两个命题中，真命题是(　　)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　①为真命题；②中，由题意得a，b，c共面，故②为假命题，故选A.
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量在单位正交基底下的坐标
答案　，－1，－
解析　∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3
＝e1＋2e2＋3e3，
∴∴
5．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量在单位正交基底下的坐标
解　延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，
＝＝
＝(＋＋＋－)
＝＋－＝i＋j－k.
＝＋＋＝＋＋
＝－－
＝－－
＝－＋
＝－i＋j＋k.
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
一、选择题
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同
D．向量的坐标与－的坐标相同
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　C
解析　∵＝a－b且a，b不共线，
∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点C坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
5．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　)
A．0,0,1 B．0,0,0
C．1,0,1 D．0,1,0
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
6．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的是(　　)
A．仅① B．仅②
C．①② D．不确定
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　对于①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．
对于②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
7．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝
＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋，故选A.
二、填空题
8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(0,2,1)　(2,2,1)
解析　根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．
9．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
10．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(5,13，－3)
解析　由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即点D坐标为(5,13，－3)．
三、解答题
11.如图所示，在正方体OABC－O′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝(OO′－OC)＝(c－b)．
12.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量的坐标
解　设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，
其方向与各轴的正方向相同，
则＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，
∴＝(2,2,2)．
∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，
∴＝(2,2,1)．∵＝e2，∴＝(0,1,0)．
13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量的基本定理
(1)证明　因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)解　因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
四、探究与拓展
14．已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　3a＋3b－5c
解析　如图所示，取BC的中点G，
连接EG，FG，
则＝－＝－＝＋
＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
15.在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
(1)，，；
(2)，，.
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量的坐标
解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
3.3　空间向量运算的坐标表示
学习目标　1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．
知识点一　空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
1．在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(×)
2．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b?＝＝.(×)
3．四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√)
4．设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(√)
类型一　空间向量坐标的计算
例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.
(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　(1)－244　(2)C
解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.
(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
故cos〈a，b〉＝＝＝.
反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
跟踪训练1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　2
解析　据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝ ＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．
解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
反思与感悟　(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1,0)
＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
类型三　空间向量的夹角与长度的计算
例3　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，E，
C(0,1,0)，
F，G.
所以＝，＝，
 ＝，＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)解　|CE|＝||＝＝.
反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝ ，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，
∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．
2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
3．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)
C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝＝.
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A．0 B．6 C．－6 D．±6
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2 C. D．5
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3 .
5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，
∴＝＝(y≠0)，
∴x＝，y＝－.
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
二、填空题
8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－
解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，
∴cos 120°＝，∴k＝－.
9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　4
解析　由题意知a∥b，
所以＝＝，
即
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；
当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，
a与b同向，所以此时x＋y＝4.
10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－4
解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴在方向上的投影为＝＝－4.
11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
三、解答题
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝ ，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
∴PO＝OB·tan 60°＝.
∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.
(2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，
A(0，－，0)，P(0,0，)．
∴E，
∴＝，＝.
∴·＝0＋0＋×(－)＝－，
||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．
(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，
∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.
四、探究与拓展
14．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　由题意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)，
∴||＝＝3，
∴||＝＝，
∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，
∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝，
∴sin A＝＝，
S△ABC＝||||sin A＝.
15．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
证明　设m＝(，，)，
n＝(1,1,1)，则|m|＝4，|n|＝，
由题意知m·n≤|m||n|，
即＋＋≤4.
当且仅当＝＝，
即a＝b＝c＝时，取“＝”号．
§4　用向量讨论垂直与平行
第1课时　用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标　1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一　空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R)
知识点二　利用空间向量处理平行问题
思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案　(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R)．
(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理　利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．
知识点三　平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
1．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)
2．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×)
3．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×)
4．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)
类型一　求平面的法向量
例1　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即
解得令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．
反思与感悟　利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则
即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
类型二　利用空间向量证明平行问题
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量法求解面面平行
证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，
A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量法求解线面平行
解　存在点E使CE∥平面PAB.
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，∴＝，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
∴y＝1，代入①得z＝，
∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　)
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由题意知解得或
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　因为＝(2,4,6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．
4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　C
解析　∵l∥α，平面α的法向量为，
∴(2，m,1)·＝0，
∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　(1,1,1)(答案不唯一)
解析　不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，
则a·＝0, a·＝0.
因为＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
所以 
所以所以不妨取x＝1，
则a＝(1,1,1)．
(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10.
3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．±
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依题意得，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，
解得x＝±.
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵　∴
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
单位法向量为±＝±.
5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　当a·b＝0时，l?α或l∥α.
6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　B
解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝，∴λ＝6.
7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)
A．－1,2 B．1，－2
C．1,2 D．－1，－2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　A
解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得即
解得
二、填空题
8．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　2∶3∶(－4)
解析　由已知得，＝，
＝，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
9．已知l∥α，且l的方向向量为m＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n＝(1，y,2)，则y＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　
解析　∵l∥α，∴l的方向向量m＝(2，－8,1)与平面α的法向量n＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.
10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　4
解析　由α∥β得＝＝，解得k＝4.
三、解答题
11．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，
依题意有即
解得令y＝1，则x＝2，
∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，，0)，A(0,0,0)，
E，B(1,0,0)，
C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
13．已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，求证：PQ∥平面ACD.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　如图，连接AP并延长交BC于点E，连接ED，易知Q在线段ED上，
∵P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，
∴＝－
＝－
＝(－)＝，
∴∥，即PQ∥AD，
又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
四、探究与拓展
14．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量去求解面面平行
证明　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A1(5,0,4)，
B(5,3,0)，D1(0,0,4)，
B1(5,3,4)，C(0,3,0)，
∴＝(－5,0，－4)，
＝(0,3，－4)，
＝(0,3，－4)，＝(－5,0，－4)．
设平面A1BD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，得x＝－，y＝，则m＝.
设平面B1D1C的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则得n＝.
∵m＝n，即m∥n，∴平面A1BD∥平面B1D1C.
第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题
学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
知识点一　向量法判断线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
知识点二　向量法判断线面垂直
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．
知识点三　向量法判断面面垂直
思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)
2．两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)
3．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)
4．两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)
类型一　线线垂直问题
例1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，
C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，
＝(0，－4,4)，
∴·＝0.∴AC⊥BC1.
类型二　证明线面垂直
例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD?平面A1BD.所以AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)求出平面的法向量．
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，
＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
＝(1,1,1)，
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，
所以PB1⊥平面PAC.
类型三　证明面面垂直问题
例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　方法一　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，
C(0,2,0)，A1(0,0，)，
C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，A1A，AD?平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思与感悟　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解　由于点M在直线AE上，
因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，
即＝，解得λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.
1．下列命题中，正确命题的个数为(　　)
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．
2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)
A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　B
解析　因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　B
解析　∵a∥μ，∴l⊥α.
4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　是
解析　如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由AC＝2，BC＝，
SB＝，
得B(0，，0)，S(0,0，2)，C，
＝，
＝.
因为·＝0，所以SC⊥BC.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2 C．6 D．10
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　D
解析　因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10 B．－10 C. D．－
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　B
解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　C
解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0,①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　B
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　法向量求解线面垂直
答案　B
解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E，
F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法求解面面垂直
答案　B
解析　∵α⊥β，∴μ·v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
二、填空题
8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·＝___________________________________________________________.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　0
解析　因为BE＝EC，故＝－＝(＋)－，在三棱锥A－BCD中，
DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
故·＝·(－)
＝(2－2)＝0.
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量．
其中正确的是________．(填序号)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　①②③
解析　·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．
10．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
考点　向量法求解线面垂直问题
题点　向量法求解线面垂直
答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析　据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得z＝1或z＝－1.
当z＝1时，y＝4，x＝－2；当z＝－1时，y＝－4，x＝2，故n＝(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
三、解答题
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．证明：CD⊥平面PAE.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)．
所以＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，
所以CD⊥AE，CD⊥AP，
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D，
设BE＝x(0≤x≤)，
则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·＝0，
所以当x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
求证：(1)AC⊥PB；
(2)PB∥平面AEC.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　(1)如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设AC＝a，PA＝b.
则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，
C(a,0,0)，P(0,0，b)，
∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)．
从而·＝0，∴AC⊥PB.
(2)由已知得D(a，－b,0)，
E，∴＝.
设平面AEC的一个法向量为n，
则n⊥且n⊥，可得n＝(0,1,1)．
∵n·＝0，∴n⊥PB.
又PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.
四、探究与拓展
14.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比为(　　)
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，
P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1.
15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，
E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)
则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，
∴＝＋，
故，，共面．
又它们有公共点B，
∴E，B，F，D1四点共面．
(2)设M(0,0，z)，则＝，
而＝(0,3,2)，
由题设得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.
∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)，
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)
∴·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，
故ME⊥平面BCC1B1.
§5　夹角的计算
学习目标　1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解．
知识点一　直线间的夹角
思考1　设s1，s2分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈s1，s2〉吗？
答案　不一定．若l1，l2的方向向量的夹角为内的角时，l1与l2的夹角为〈s1，s2〉，否则为π－〈s1，s2〉．
思考2　当两条直线平行时，它们的夹角是多少？
答案　0.
梳理　(1)共面直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为.
(2)异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示．
　
两条异面直线的夹角的范围为，当夹角为时，称这两条直线异面垂直．
综上，空间两条直线的夹角的范围是.
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系
空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
知识点二　平面间的夹角
思考　若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？
答案　0.
梳理　(1)平面间夹角的概念
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是.
当夹角等于0时，两个平面重合；当夹角等于时，两个平面互相垂直．
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定．
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
知识点三　直线与平面的夹角
思考　若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？
答案　不一定．
梳理　(1)直线与平面夹角的概念
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示．
(2)直线与平面夹角的范围
如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是0.
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.
由此可得，直线与平面夹角的范围是.
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法
空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定．
设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.
当0≤〈n，a〉≤时，θ＝－〈n，a〉；
当＜〈n，a〉≤π时，θ＝〈n，a〉－.
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
1．直线与平面的夹角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)
2．平面间的夹角的大小范围是.(√)
3．平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)
4．若直线l?平面α，则l与平面α的夹角为0.(√)
类型一　直线间的夹角求解
例1　已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值．
考点　
题点　
解　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，
∴〈s1，s2〉＞，
∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.
反思与感悟　利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系．因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补．
由于任意两条直线的夹角θ∈，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2〉|.
跟踪训练1　如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．
考点
题点
解　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，
O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.
类型二　求平面间的夹角
例2　如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．
考点　
题点　
解　如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则S(0,0,1)，D，C(1,1,0)，
B(0,1,0)，
∴＝，
＝(1,1，－1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1,1)．
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1,0,0)，
∴cos〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝.
反思与感悟　利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)分别求出两平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)确定平面间夹角的大小．
跟踪训练2　如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：SE＝2EB；
(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小．
考点
题点
(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，
∴＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，＝(0,2,0)．
设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)．
由m⊥，m⊥，得
∴令b＝1，则m＝(1,1,1)．
又设＝λ(λ＞0)，则E，
∴＝.
设平面EDC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由n⊥，n⊥，得
∴令x＝2，则n＝(2,0，－λ)．
由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，∴m·n＝0，
∴2－λ＝0，即λ＝2，∴SE＝2EB.
(2)解　由(1)知E，∴＝，＝，∴·＝0，∴EC⊥DE.
取线段DE的中点F，则F，
∴＝，
∴·＝0，∴FA⊥DE.
∴向量与的夹角或其补角等于平面ADE与平面CDE的夹角．
计算得cos〈，〉＝＝－，
故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60°.
类型三　直线与平面的夹角
例3　已知直线l的一个方向向量为s＝(1,0,0)，平面π的一个法向量为n＝(2,1,1)，求直线l与平面π夹角的正弦值．
考点
题点
解　∵cos〈s，n〉＝＝＝＞0，∴〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin＝cos〈s，n〉＝.
即直线l与平面π夹角的正弦值为.
反思与感悟　注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错．
跟踪训练3　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线CS与底面ABCD夹角θ的余弦值．
考点
题点
解　由题设条件知，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz(如图所示).
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为β＝90°－θ，
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cos θ＝ ＝.
1．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D.或－
考点
题点
答案　A
解析　由
＝＝，
知这两个平面夹角的余弦值为，故选A.
2．已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
考点　
题点　
答案　A
解析　∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB1与ED1夹角的余弦值为.
3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，
M，A(1,0,0)，
N，故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2,0)，则两条直线夹角的余弦值为________．
考点
题点
答案　
解析　据题意知cos〈a，b〉＝＝＝＝.
5．已知平面π1的一个法向量为n1＝(1，－1,3)，平面π2的一个法向量为n2＝(－1,0，－1)，求这两个平面夹角的余弦值．
考点
题点
解　∵n1＝(1，－1,3)，n2＝(－1,0，－1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－＜0.
故这两个平面夹角的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝.
用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角．
一、选择题
1．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D．以上都不对
考点　
题点　
答案　B
解析　∵cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
考点　
题点　
答案　D
解析　∵cos〈a，n〉＝＝＝，
∴直线l与平面α夹角的正弦值为，余弦值为 ＝.
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　方法一　∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝.
而||＝
＝＝＝.
同理||＝.
令α为所求角，则cos α＝＝＝.
方法二　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，N，
∴＝－(1,0,0)＝，
＝－(0,1,0)＝.
故·＝0×1＋×0＋1×＝.
||＝＝，
||＝＝.
设α为所求角，∴cos α＝＝＝.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则直线AD与平面AA1C1C夹角的正弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　
题点　
答案　A
解析　取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，
则＝，＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．
设直线AD与平面AA1C1C夹角为α，
∵cos〈，〉＝－，
∴sin α＝|cos〈，〉|＝.
5．在正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点
题点
答案　C
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，)．
∴＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1，)，
＝(1，－1，)．
设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．
设直线AC与平面SBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．如图，已知空间四边形OABC的各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则直线OE与BF夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝(a＋b)，＝c－b，||＝||＝，
∵·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴直线OE与BF夹角的余弦值为.
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，
＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)．
所以·＝0，
所以直线BM与OP夹角的大小为.
8．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．

＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，
故cos〈，〉＝＝.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　30°
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)．
连接AC，BD，则AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴是平面BB1D1D的一个法向量．
∵＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴A1B与平面BB1D1D夹角为90°－60°＝30°.
10．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
考点
题点
答案　0
解析　∵·＝·(－)
＝·－·
＝||·||·cos －||·||·cos 
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
三、解答题
11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，用过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1.若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1夹角的余弦值．
考点
题点
解　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则B(2,2,0)，D1(0,0,3)，A1(2,0,3)，O1(1,1,3)，
∴＝(2,0,0)，＝(－1，－1,3)，
∴·＝(2,0,0)·(－1，－1,3)＝－2，
||＝2，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线BO1与A1D1夹角的余弦值为.
12．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求直线BD1与AE1夹角的余弦值．
考点
题点
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设||＝a，则A(a,0,0)，
B(0，a,0)，E1，
D1，
∴＝，
∴·＝a2，||＝a，||＝a.
∴cos〈，〉＝＝.
∴直线BD1与AE1夹角的余弦值为.
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1.
(1)证明：BC⊥AB1；
(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC夹角的正弦值．
考点　
题点　
(1)证明　由题意，∵四边形ABB1A1是矩形，D为AA1的中点，AB＝2，AA1＝2，AD＝，
∴在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝＝.
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
∴∠AB1B＝∠ABD.
又∵∠BAB1＋∠AB1B＝90°，
∴∠BAB1＋∠ABD＝90°，
即BD⊥AB1.
又∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，
∴CO⊥AB1，又∵CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，
∴AB1⊥平面BCD.
∵BC?平面BCD，∴BC⊥AB1.
(2)解　如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A，B，C，
B1，D.
又∵＝2，
∴C1，
∴＝，＝，
＝，＝.
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
根据可得n＝(1，，－)是平面ABC的一个法向量．
设直线CD与平面ABC的夹角为α，
则sin α＝，
∴直线CD与平面ABC夹角的正弦值为.
四、探究与拓展
14．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　在PA，PB，PC上取点D，E，F，使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥D－PEF为正四面体，取PE的中点H，连接DH，FH，得∠DHF为平面APB与平面PBC的夹角，设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝－b＋c，＝＋＝－b＋a，所以cos〈，〉＝＝.
15.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值．
考点　向量法求面面角
题点　向量法求面面角
解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)则A1(0,0，a)，C(a，a,0)，
D(0，a,0)，E，
∴＝(a，a，－a)，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故A1C与DE所成角的余弦值为.
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．
又B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，
得＝(0，－a,0)，＝(a，－a，a)，
∴cos〈，〉＝＝，
又直线与平面所成角的范围是，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.
(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，则＝，
＝，
平面ABCD的一个法向量为m＝＝(0,0，a)．
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由得
∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝＝，
∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为.
§6　距离的计算
学习目标　1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点一　点到直线的距离
1．点到直线的距离
因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题．
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝.
2．点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．
知识点二　点到平面的距离
1．求点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．
作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．
而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.
2．点到平面的距离的算法框图
空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示．
知识点三　直线到与它平行的平面的距离
如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均相等．
一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离．
知识点四　两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线．公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的公垂线段．
两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离．
1．点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(√)
2．直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(√)
3．两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(×)
4．平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(√)
类型一　向量法求两点间的距离
例1　如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求线段BD的长．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
解　过点D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F.
则由已知条件可知AC＝5，
所以DE＝＝，BF＝＝.
由已知得AE＝CF＝＝，
所以EF＝5－2×＝.
因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DE?平面ADC，DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥FB，即⊥，所以||2＝2＋2＋2
＝＋＋＝，
所以||＝，故线段BD的长是.
反思与感悟　(1)若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解．
(2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2＝a2求解．
跟踪训练1　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α，如果AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)设＝a，＝b，＝c，＝＋＋＝a－b＋c，||＝
＝＝.
(2)设＝a，＝b，＝c，
因为＝＋＋＝－c＋a＋b，
所以||＝
＝
＝
＝
＝.
类型二　求点到直线的距离
例2　在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线的距离
解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．
所以直线EF的方向向量
＝(1，－2,1)；取直线EF上一点F(1,0,2)，则点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量＝(－1,0,2)．
因为在上的投影为·＝，
所以点A到直线EF的距离
d＝＝.
引申探究
本例条件不变，求点B到直线EF的距离．
解　B(2,2,0)，＝(－1，－2,2)，
因为在上的投影为＝.
所以B到直线EF的距离
d＝＝.
反思与感悟　利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．
跟踪训练2　(1)点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足＝＋＋，则点P到棱AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1的距离的最小值为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线的距离
答案　(1)A　(2)
解析　(1)因为在上的投影为＝，所以点P到AB的距离d＝
＝.
(2)D(0,0,0)，C1(0，a，a)，A(a,0,0)，D1(0,0，a)，设＝λ＝(0，λa，λa)(0≤λ≤1)，＝(－a,0，a)，＝(－a，λa，λa)，在上的投影为＝a(1＋λ)．
故点M到的距离d＝＝a ≥a.
类型三　求点到平面的距离
例3　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得∴
令y＝1，则n＝(－1,1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝.
反思与感悟　利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
跟踪训练3　已知点A(－1,1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1,1)，求点A到平面α的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　∵＝(－1,1，－1)，n＝(1，－1,1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝ .
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)
A. B.
C. D．3
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两平面间距离
答案　B
解析　两平面的一个单位法向量为n＝，故两平面间的距离为d＝|·n|＝.
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　A
解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(a,0，a)，
A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，
∴＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，
则∴∴
令y＝1，得n＝(－1,1,2)．
又∵＝(a,0，a)，
故点A1到平面MBD的距离为d＝＝a.
3．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵
∴
即∴
令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
又∵＝(－7，－7,7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝
＝＝＝.
4．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　2
解析　d＝＝＝2.
5.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cos θ＝.则AB与BC的边长之比为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　∶2
解析　设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，
B(0，a,0)，D(0,0，b)．
所以＝，
＝(0，－a，b)，
所以||＝，||＝，
·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理，得4＋5－26＝0，
解得＝2或＝－(舍去)．
所以＝＝.
1．由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求．
2．两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解．
一、选择题
1．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　B
解析　||＝
＝
＝，
因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤||≤5.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为(　　)
A. B. C. D．1
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　A
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，连接B1C，AB1，因为A1D∥平面AB1C，所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离．
D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，A1(2,0,2)，＝(－2,2,0)，
＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面AB1C的法向量，由n·＝0，
n·＝0，得x＝y＝－z，可取n＝(1,1，－1)，
故A1到平面ACB1的距离为＝.
3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　D
解析　以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系Dxyz，C(0,1,0)，C1(0,1)，A(1,0,0)，＝(0,0，)，＝(－1,1，)，
易知⊥平面ABCD，可取为平面ABCD的法向量，
故A1C1到平面ABCD的距离为＝.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线距离
答案　B
解析　以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)，
设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，
sin θ＝＝.
故A到直线BE的距离
d＝||sin θ＝2×＝.
5．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A.a B.a
C.a D.a
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求平面间的距离
答案　D
解析　由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，∴＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝＝＝a.
6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝.在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为(　　)
A. B. C. D．1
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　A
解析　以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，
∴＝(－1,1，－)，
＝(－1,0，－)，＝(－1,1,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝－，得y＝0，z＝1，∴n＝(－，0,1)．
故点B1到平面A1BC的距离为d＝＝.
7．已知三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，若点C到平面AB1D的距离为1，则a的值为(　　)
A. B．2 C. D．2
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　D
解析　以B为坐标原点，BC，BB1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.由题设可知A，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D，于是有＝，
＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，
则则
令y＝1，可得n＝(，1,2)．
所以点C到平面AB1D的距离为d＝＝a.
令a＝1，解得a＝2.
故当a＝2时，点C到平面AB1D的距离为1.
二、填空题
8．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　因为＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以点P到α的距离为|·|＝＝.
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到平面AB1D1的距离是________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，
B1(2,0,4)，D1(0,2,4)．
设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴＝(2,0,4)，＝(0,2,4)，
则∴
令z＝1，得n＝(－2，－2,1)，
∴点A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求平面的距离
答案　
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(0,1，－1)，
＝(－1,0，－1)，
＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．
∴点D1到平面A1BD的距离为d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
三、解答题
11．在如图所示的空间直角坐标系中，长方体ABCD－A′B′C′D′的棱AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别为A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两直线间的距离
解　依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1,1,0)，＝.
所以点M到直线AC的距离
d＝＝＝.
12．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，
C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．
设点F(0,0，z)．
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴＝，∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2，∴F(0,0,2)，
∴＝(－2，－4,2)，∴||＝2.
即BF的长为2.
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
由得
即
∴∴n1＝.
又∵＝(0,0,3)，
∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
13．如图，在四棱锥S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点A到平面BCS的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　如图，以S(O)为坐标原点，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Sxyz.设A(xA，yA，zA)，因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，即点A在xSz平面上，因此yA＝0，zA＝||＝1.
又x＋12＝||2＝3，xA＞0，解得xA＝.
从而A(，0,1)．
因为AD∥BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面ySz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA＝.
四、探究与拓展
14．空间直角坐标系中(O为坐标原点)，在坐标平面xOy上到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．不存在 D．无数个
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　D
解析　过AB的中点且以＝(0,3，－4)为法向量的平面上的点到A，B的距离相等．
15．已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
(1)证明　如图，取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，且A1D⊥平面ABC，以D为坐标原点，射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，
设A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，其中t＞0，则＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，＝(2,0,0)，
因为·＝0，所以AC1⊥CB，
又因为BA1⊥AC1，且BC∩BA1＝B，BC，BA1?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC.
(2)解　由(1)知AC1⊥平面A1BC，
所以·＝－3＋t2＝0，t＞0，得t＝.
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0,1，)，＝(2,2,0)，
所以
设z＝1，则n＝(，－，1)．
所以点C1到平面A1AB的距离d＝＝.
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点　命题的定义及分类
题点　命题的定义
答案　D
解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B项所给语句不是命题；C项的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明，故选D.
2．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　A
解析　＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列．
原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
3．使不等式＞成立的充分条件是(　　)
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜0 D．a＞0，b＜0
考点　充分条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　D
解析　a＞0，b＜0?＞，其他条件均推不出＞，故选D.
4．下列命题中正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行
B．向量a，b，c共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理应用
答案　C
解析　对于A，当b＝0时，a与c所在直线可重合、平行、相交或异面；当b≠0时，a与c所在直线可重合，排除A；对于B，它们所在直线可异面，排除B；对于D；b＝0时不满足，排除D项．
5．已知向量a，b，c是空间的一基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　B
解析　设p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
得即
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF的夹角为定值
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
答案　D
解析　以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则B1(0,1,1)，D1(1,0,1)，B(0,1,0)，是平面B1BDD1的法向量，BE?平面B1BDD1，故AC⊥BE，故A正确；是平面ABCD的法向量，＝(0,0,1)，＝·＝，·＝0，故⊥，故EF∥平面ABCD，故B正确；VA－BEF＝S△BEF·h＝×||·||·||＝||·||·||＝，故C正确．
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别是DC，BB1的中点，则异面直线MN与A1B的距离为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　B
解析　以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)，
∴＝(－3,2,1)，＝(0,4，－2)．
设MN，A1B的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则z＝2，x＝，即n＝，∴|n|＝.
又∵＝(－3，－2,2)，
∴异面直线MN与A1B的距离为＝.
二、填空题
8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数x的取值范围是________．
考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－1]∪[4，＋∞)
解析　由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋＜1，
得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
9．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件(填“充分”“必要”)．
考点　必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　必要
解析　因为该命题的否命题为真命题，所以B?A.又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A?/ B，即A是B的必要条件．
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系Dxyz，在线段AB上取点E，使||＝||，易得∥，
则AM∥平面ENC，
则异面直线AM与CN的距离等于M到平面ENC的距离，
E，N，C(0,1,0)，M，＝，＝，＝，
设n＝(x，y，z)为平面ENC的法向量，
由n·＝0，n·＝0，得y＝－2z＝4x，
可取n＝(1,4，－2)，
故AM与CN的距离为＝.
11．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＋y＝________.
考点　空间向量运算的坐标运算
题点　空间向量的坐标运算
答案　－
解析　a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以a＋2b＝λ(2a－b)，可得λ＝，x＝，y＝－4，即x＋y＝－.
三、解答题
12．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求取值范围
解　y＝x2－x＋1＝2＋，
因为x∈，所以≤y≤2.
所以A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
所以B＝{x|x≥1－m2}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A?B，
所以1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
13.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值．
考点　
题点　
方法一　(1)证明　如图，取AE的中点H，连接HG，HD.
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，且AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解　如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2)．
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，
所以平面AEF与平面BEC夹角的余弦值为.
方法二　(1)证明　如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一．
四、探究与拓展
14．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要不充分条件，则使a＞b恒成立的实数b的取值范围为________．
考点　必要条件的概念及判断
题点　由必要条件求取值范围
答案　(－∞，2]
解析　由于p：x2－2x－3＜0?－1＜x＜3，
－a＜x－1＜a?1－a＜x＜1＋a(a＞0)．
依题意，得{x|－1＜x＜3}?{x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)，
所以解得a＞2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，
即(－∞，2]．
15．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，＝，＝.
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
所以
令x＝2，则y＝2，z＝3.所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以直线AC到平面PEF的距离为.
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立体几何问题．
1．空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv，k∈R
线线垂直
l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
线线夹角
l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角
l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角
α，β的夹角为θ，cos θ＝
2.用向量法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论．
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．
(2)点的坐标，向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题．
(3)几何问题与向量问题的转化．平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．
1．向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等．(×)
2．两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，平面间的夹角的范围是[0，π]．(×)
3．若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)
类型一　空间向量的概念及运算
例1　(1)给出下列命题：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　①为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②为真命题；③为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.
给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　③④
解析　可以推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
类型二　空间向量法证明平行与垂直
例2　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.
考点　向量法求解线面位置关系
题点　向量法求解线面平行
证明　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则E，
F，
故＝.
又＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0，a,0)·＝0，
∴⊥，即AB⊥EF.又EF?平面BB1C1C，
因此EF∥平面BB1C1C.
反思与感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证)．
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
证明：平面PQC⊥平面DCQ.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　如图所示，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
设DA＝1，依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，D(0,0,0)，则＝(1,1,0)，
＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，
∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，
故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
类型三　空间向量法求空间角
例3　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，P是AA1的中点．
(1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体积之比；
(2)求平面PBC1与平面ABC夹角的正切值．
考点　
题点　
解　(1)以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，
则A，B，
B1，C1，
所以＝(a,0，b)，＝.
因为AB1⊥BC1，
所以·＝0.
即－＋b2＝0，所以a＝b.
又点B到平面ACC1P的距离d＝a，P是AA1的中点，
所以＝
＝××a·a＝a2b，
则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为
V′＝－
＝a2b－a2b＝a2b.
所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为1∶1.
(2)由(1)知a＝b，令b＝2，则a＝2.
所以B(，0,0)，C1(0，，2)，P(－，0,1)．
所以＝(－2，0,1)，＝(－，，2)．
设平面PBC1的法向量为n1＝(x，y，z)．
则
即
令x＝1，得z＝2，y＝－.
所以n1＝(1，－，2)．
取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以sin〈n1，n2〉＝.
所以tan〈n1，n2〉＝＝＝.
即平面PBC1与平面ABC夹角的正切值为.
反思与感悟　利用坐标法求平面间的夹角的余弦值的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所在直线所成的锐角θ，cos θ＝.
跟踪训练3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.
(1)求EF的长；
(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值．
考点　
题点　
解　(1)因为EF∥CB，∠ACB＝90°，
所以CE⊥EF，AE⊥EF.
又平面AEF⊥平面EFBC，
平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，
AE?平面AEF，
所以AE⊥平面EFBC.
设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，
所以＝，
即AE＝＝＝2x.
VA－EFBC＝S梯形EFBC·AE
＝×(x＋2)(4－2x)×2x
＝，x∈(0,2)．
由题意得＝2，即x3－4x＋3＝0，
即(x－1)(x2＋x－3)＝0，
所以x＝1或x＝，
即EF＝1或EF＝.
(2)以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
因为EF＝1，则A(0,0,2)，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)．
设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为θ，
则sin θ＝|cos〈·n〉|＝
＝＝.
所以直线AC与平面ABF夹角的正弦值为.
1．已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　)
A. B．5 C．6 D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　A
解析　∵|a－b＋2c|2
＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝12＋12＋4×12－2×1×1×cos 60°＋4×1×1×cos 60°－4×1×1×cos 60°＝5，
∴|a－b＋2c|＝.
2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　A
解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，
所以＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，
从而 cos〈，〉＝
＝＝，
所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
3．已知在三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC夹角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　如图，以A为坐标原点，分别以AB，AS所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，
B(2,0,0)，C(1，，0)．
则＝(－1，，0)，＝(－2,0,3)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，
所以当θ为直线AB与平面SBC的夹角时，
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，其中t∈R，则|b－a|的最小值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2
＝5＋，
∴当t＝时，|b－a|＝，
∴|b－a|min＝.
5．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，实数m的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　1
解析　∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，
E(－2,1，m)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)，
根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，
使得＝x＋y，
则有解得m＝1.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．
一、选择题
1．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　若两向量的夹角为钝角，则a·b＜0，且a与b不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故选B.
2．下列说法正确的是(　　)
A．零向量是有方向的向量
B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是＝
D．若与是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
考点　
题点　
答案　A
解析　规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B错误；对于选项C，是必要条件，不是充分条件，因为当＝时，有可能A，B，C，D四点共线，故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a－b B．a＋b C.a－b D．2(a－b)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　A
解析　＝＋＝－＝－－＝－a－b.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，
则sin〈，〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.、
设棱长为1，则D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
M，
∴＝(1,1,1)，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝.
5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，i，j，k是两两互相垂直的单位向量，则5a与3b的数量积等于(　　)
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，
故5a＝(15,10，－5)，3b＝(3，－3,6)，
∴5a·3b＝15×3＋10×(－3)＋(－5)×6＝45－30－30＝－15.
6．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.或
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设所求向量为c＝(x，y，z)，
由c·a＝0及c·b＝0及|c|＝1，
得检验知选D.
7．已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
答案　D
解析　依题意得c＝ta＋μb＝(－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ)，
所以解得故选D.
二、填空题
8．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　5
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v垂直，
∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，则abc＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　－
解析　由平行六面体ABCD－A1B1C1D1，得＝＋＋，又已知＝a＋2b＋3c，可得a＝1,2b＝1,3c＝－1，解得a＝1，b＝，c＝－，所以abc＝－.
10．已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　－6
解析　∵A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)，
∴＝(2,0，－4)，＝(4，－2,0)，＝(x,2,4)．
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)，
∴解得x＝－6.
11．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　
解析　如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.
可求得AM＝，BM＝，
CN＝，DN＝，MN＝1.
∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋
||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝.
三、解答题
12.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的一个四等分点(靠近点C1)，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共线定理及应用
解　∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)．
连接AC，则＝(－1,1,0)．
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.又因为＝，
＝(1,1，m－1)，
而D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以 
解得m＝，满足0≤m≤1，即M为B1B的中点．
四、探究与拓展
14．正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD夹角的正弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　取BC的中点O，连接AO，DO，
以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，
B，C，
D，
所以＝，＝，
＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝＝，
因此直线CD与平面ABD夹角的正弦值为.
15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
考点　
题点　
(1)证明　∵AE⊥A1B1，
A1B1∥AB，∴AB⊥AE，
又∵AB⊥AA1，AE∩AA1＝A，
AE，AA1?平面A1ACC1，
∴AB⊥平面A1ACC1，
又∵AC?平面A1ACC1，
∴AB⊥AC.
以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，E，F，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．
设D(x1,0,1)，则＝λ，且λ∈[0,1]，
即(x1,0,0)＝λ(1,0,0)，
∴D(λ，0,1)，
∴＝，
又＝，
∴·＝－＝0，∴DF⊥AE.
(2)解　存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为.理由如下：
设平面DEF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
∵＝，＝，
∴
即
令z2＝2(1－λ)，
∴n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．
由题意可知平面ABC的法向量m＝(0,0,1)．
∵平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
即＝，
∴λ＝或λ＝.
∵λ∈[0,1]，∴λ＝舍去．
∴点D为A1B1的中点．