模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 A
解析 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
2．命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )
A．“若a>b，则a－1≤b－1”
B．“若a>b，则a－1
C．“若a≤b，则a－1≤b－1”
D．“若a考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 C
解析 否命题为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
3．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4 B．2 C．8 D．4
考点 双曲线的标准方程
题点 由标准方程求a，b，c
答案 C
解析 依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4，所以焦距2c＝8.
4．已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 ∵ln a>ln b?a>b>0，a<b?a>b.
∴a>b>0是a>b的充分不必要条件，
∴“ln a>ln b”是“a<b”的充分不必要条件．
5．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 双曲线的简单几何性质
题点 双曲线的简单几何性质
答案 D
解析 由－＝－1，得－＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,2)，(0，－2)．
∴椭圆方程为＋＝1.
6．若命题“存在x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1
考点 特称命题的真假性判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 B
解析 根据题意可得任意x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，∴－1≤a≤3.
7．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
考点 向量法求线面角
题点 向量法求线面角
答案 A
解析 设AB＝1，则AA1＝2，以D1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系D1xyz，
则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，
B(1,1,2)，C(0,1,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即
令z＝1，则n＝(－2,2,1)，
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sin θ＝＝.
8．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案 A
解析 由－＝1，
得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9，
∴右焦点的坐标为(3,0)，
故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)，
故＝3，∴抛物线方程为y2＝12x.
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是( )
A．41 B．15 C．9 D．1
答案 B
10．已知命题p：“若a>b>0，则<＋1”，则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 对于命题p，当a>b>0时，有<，则必有<＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当<＋1时，得<，得a>>0，不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.
11．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 如图，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，
可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.
将点M(2a，a)代入－＝1，可得a2＝b2，
∴e＝＝＝，故选D.
12．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B. C. D.
考点
题点
答案 B
解析 如图所示，S△ABC＝×××sin 60°＝.
设O点是△ABC的中心，
则OP⊥平面ABC，
∠OAP即为PA与平面ABC所成的角．
∴V三棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·OP
＝·OP＝，
∴OP＝.
又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝＝，
又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 綈p
解析 p为假命题，因为a的符号不确定，q为假命题，因为a，b的大小不确定．所以p且q假，p或q假，綈p真．
14．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.
考点 空间向量的数乘运算
题点 平面向量基本定理
答案 －1
解析 ＝(－2x)·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
15．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
考点
题点
答案 120°
解析 在椭圆＋＝1中，a2＝9，a＝3，b2＝2，
又c2＝a2－b2＝7，所以c＝.
因为|PF1|＝4，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF2|＝6－4＝2.
所以cos∠F1PF2＝
＝＝－，
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝120°.
16．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为________．
考点 空间向量在求空间角中的应用
题点 空间向量求线面角
答案
解析 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，D1(0,0,1)，＝(－1，－2,1)，
因为AB⊥平面BCC1B1，
所以＝(0,2,0)为平面BCC1B1的法向量．
设直线BD1与平面BCC1B1所成角为θ，
则有sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围．
考点 “p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
解 将方程－＝1改写成＋＝1，
只有当1－m＞2m＞0，即0＜m＜时，
方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于0＜m＜；
因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，
所以m＞0，且1＜＜4，解得0＜m＜15，
所以命题q等价于0＜m＜15.
若p真q假，则m不存在；
若p假q真，则≤m＜15.
综上可知，m的取值范围为.
18．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的其他问题
解 (1)由消去y，得
(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－故a的取值范围是{a|－＜a＜且a≠±}．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，符合题意，且满足Δ＞0，故a＝±1.
19．(12分)已知A，B是抛物线y2＝x上不同于原点O的两点，OA⊥OB.
(1)求证：直线AB恒过定点T，且以OT为直径的圆过点D(2,1)；
(2)若直线AB与⊙O：x2＋y2＝5相切，求切点坐标及直线AB的方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
(1)证明 设直线AB的方程为x＝my＋t，t＞0，代入y2＝x，得2y2－5my－5t＝0，Δ＝25m2＋40t＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1y2＝－，x1x2＝·＝(y1y2)2＝t2.
又⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
即t2－t＝0，解得t＝或0(舍)．
所以直线AB的方程为x＝my＋，恒过点T.
所以·＝(2,1)·＝2×＋1×1＝0，
所以⊥，即OD⊥TD，
所以点D在以OT为直径的圆上．
(2)解 由(1)知直线AB的方程为2x－2my－5＝0.
由题意得＝.
解得m＝±.
当m＝时，切线AB的方程为2x－y－5＝0，
此时，切点坐标为(2，－1)．
当m＝－时，切线AB的方程为2x＋y－5＝0，
此时，切点坐标为(2,1)．
20．(12分)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
考点 空间向量求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面平行
证明 如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，
则n＝(0,3,4)，
所以平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0，所以⊥n.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
21．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝上，求m的值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时弦中点问题
解 (1)由题意得解得
故椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－12(m2－2)＝24－8m2＞0，此时－＜m＜.
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以2＋2＝，解得m＝±1，符合Δ＞0，∴m＝±1.
22．(12分)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．
(1)求证：BD1∥平面A1DE；
(2)求证：D1E⊥A1D；
(3)在线段AB上是否存在点M，使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为 ？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面平行
(1)证明 由题意可得D1D⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．
＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1DE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则得
取x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE.
(2)证明 由题意得＝(1,1，－1)，
＝(－1,0，－1)，
·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，
⊥，故D1E⊥A1D.
(3)解 线段AB上存在点M，使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为.
设M(1，y0,0)(0≤y0≤2)，
因为＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，
设平面D1MC的一个法向量为v1＝(x，y，z)，
则得
取y＝1，则v1＝(2－y0,1,2)是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为v2＝＝(0,0,1)，
要使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为，
则cos＝|cos〈v1，v2〉|＝
＝＝，
解得y0＝2－(0≤y0≤2)．
所以当AM＝2－时，平面MCD1与平面MCD夹角的大小为.
1 利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1 线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是( )
A．2 B. C. D．5
解析 由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案 C
2．求动点坐标
例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．
解析 设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案 (±3,0)
点评 由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解 由已知，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2 如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析 如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，
|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案 －1
点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2 椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析 如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案
3．利用数形结合求离心率
例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析 如图所示，切线PA，PB互相垂直，|PA|＝|PB|.
又OA⊥PA，OB⊥PB，|OA|＝|OB|，
则四边形OAPB是正方形，
故|OP|＝|OA|，
即＝a，∴e＝＝.
答案
4．综合类
例4 设M为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
解 由正弦定理得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
3 抛物线的焦点弦
例1 如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝xB＋xB＋p；
(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A，O，B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明 当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，
即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
由A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，即＋＝.
点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例2 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案 6
4 求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．
1．定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫作定义法．
例1 如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围．
解 (1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，
∴|NA|＝|NM|.
∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，
∴N的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．
当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.
设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，
∴ 消去x得y＝.
∵离心率e∈，∴≤e2≤，
即≤≤.∴≤a2≤4.
∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，
∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．
又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.
∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2]．
2．直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．
例2 已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程．
解 如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，
则d＋132＝r2，d＋122＝r2，
∴d－d＝25，
即2－2＝25，
化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.
点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可．
3．待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．
例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．
解 椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，
所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
所以|OF|＝c，|AF|＝＝
＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
4．相关点法(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．
例4 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
分析 设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．
解 设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，
∵点P是线段QN的中点，
∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1，
即x0－y0＝x－y.②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．
又∵点Q在双曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得2－2＝.
∴线段QN的中点P的轨迹方程为
2－2＝.
点评 本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P，Q两点坐标间的关系，用相关点法求解．
5．参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法．
例5 已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．
解 如图，设OP的斜率为k，
则P(2,2k)．当k≠0时，
直线l的方程为y＝－x；①
直线m的方程为y＝2k(x－1)．②
联立①②消去k，得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．
当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．
5 解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明 ∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c，
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2 已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设直线l的方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意知y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意知mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析 设右焦点为F′，由题意可知F′的坐标为(4,0)，根据双曲线的定义知，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案 9
点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＞0，
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2 ＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
6 圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析 先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解 设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解 (1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3 试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解 设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－(k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
7 圆锥曲线中的易错点剖析
1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1 长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB中点P的轨迹方程．
错解 如图所示，设A(0，y)，B(x,0)．由中点坐标公式可得P点坐标为，连接OP，由直角三角形斜边上的中线性质有
|OP|＝|AB|＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析 求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为?x，y?.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解 设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2．忽视定义中的条件而致误
例2 平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
错解 根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
正解 因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
错因分析 在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
答案 D
3．忽视标准方程的特征而致误
例3 设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解 抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解 由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例4 抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
错解一 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或(舍去)．
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.
正解 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝－m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
8 圆锥曲线中的数学思想方法
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．
例1 已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若|AB|＝2，求椭圆的方程．
解 由
消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，
∴ ·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2 若点(x，y)在＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解 ∵＋＝1(b>0)，∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．
例3 如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．
解 设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.①
又∵O，Q，R三点共线，∴kOQ＝kOR，即＝.②
由①②得y＝.③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)．
4．分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例4 求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析 由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解 由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
5．数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．
例5 在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解 以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则B，C.
设点A坐标为(x，y)，
由题设，得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m＜m.
可知点A在以B，C为焦点的双曲线上．
2a＝m，∴a＝.
又c＝m，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于( )
A．22 B．21 C．20 D．13
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 A
解析 由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝26，
又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 C
解析 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝，
故右焦点坐标为.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为( )
A．y＝x B．y＝4x
C．y＝x D．y＝2x
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 D
解析 根据题意，有b＝2a，则＝2，
故其中一条渐近线方程为y＝2x，故选D.
4．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线的方程求渐近线方程
答案 D
解析 ∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
5．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 B
解析 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性，得点A的纵坐标为2，代入抛物线方程得x＝，即点A.易知点D，由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以＋8＝＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．
6．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为( )
A．4 B．2 C．－4 D．－2
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 D
解析 椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，即为抛物线x2＝2py的焦点，∴＝－1，∴p＝－2.
7．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 B
解析 由tan＝＝，有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e＝＝2，故选B.
8．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r的值为( )
A．4 B．3 C．2 D.
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
答案 D
解析 因为双曲线的渐近线为y＝±x，
即x±y＝0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，
得d＝＝＝r，故r＝，故选D.
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
考点 椭圆的简单几何性质
题点 求椭圆的离心率
答案 D
解析 由题意可得解得＝，
∴e＝＝.
10．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B．3 C. D．2
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 由已知，有F1(－c,0)(c＞0)，F2(c,0)，
设双曲线的一条渐近线方程为l：y＝x，
即bx－ay＝0，则点F2到l的距离为＝b，
设点F2关于渐近线的对称点为M，交渐近线于点A，则MF2⊥l，|MF1|＝|OF1|＝c.
因为O，A分别为|F1F2|，|F2M|的中点，
所以OA∥MF1，且|OA|＝|MF1|＝c.
在Rt△AOF2中，∠OAF2＝90°，|OF2|＝c，|OA|＝c，
所以|AF2|＝c.
因为|AF2|＝b，所以b＝c，a＝c，
离心率e＝＝2，故选D.
11．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 A
解析 由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．
因此满足条件的C点有4个，故选A.
12．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使＝e，则·的值为( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
考点 双曲线的标准方程
题点 双曲线的定义与方程的综合
答案 B
解析 双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
可得||＝2c＝4，在△PF1F2中，
由正弦定理，得＝＝e＝2，
所以点P在双曲线的右支上，|PF1|－|PF2|＝2，
结合这两个条件，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由余弦定理，得cos〈，〉
＝＝，
所以·＝4×2×＝2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是__________________．
考点 由双曲线的简单几何性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案 －＝1
解析 设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
∵所求双曲线经过点(3，－3)，∴－＝λ，
∴λ＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
14．过椭圆＋＝1的焦点F的弦中最短弦长是__________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求弦长
答案
解析 由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.
15．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|＝3|BF|，则l的斜率是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 ±
解析 ∵抛物线C的方程为y2＝4x，
∴它的焦点为F(1,0)，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去x，得y2－y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得y1＋y2＝①，y1y2＝－4②，
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1＋3y2＝0，可得y1＝－3y2，
代入①②得－2y2＝，且－3y＝－4，
消去y2，得k2＝3，解得k＝±.
16．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，则a的最大值为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0，
可得a2＋b2＞1，
且
∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴－＋1＝0，
整理得a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2(a2－c2)，
2a2－a2e2＝2a2(a2－a2e2)，
2a2＝＝1＋，
∵e∈，∴2a2∈，
即amax＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．
考点 椭圆标准方程求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 设椭圆的方程为＋＝1，
双曲线的方程为－＝1，半焦距c＝，
由已知，得a1－a2＝4，∶＝3∶7，
解得a1＝7，a2＝3，
所以b＝36，b＝4，
所以两条曲线的方程分别为 ＋＝1，－＝1.
18．(12分)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，求|FA|的取值范围．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
解 设点A的横坐标为x1，
则|FA|＝x1＋＝＋
＝＋|AF|cos θ，所以|AF|＝，
由θ≥，得－1＜cos θ≤，2－≤2(1－cos θ)＜4，
＜≤＝1＋，
即|FA|的取值范围为.
19．(12分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，求∠F1PF2的大小．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
解 由椭圆方程，得a＝2，c＝，
设||＝m，||＝n.
由椭圆定义，知m＋n＝2a＝4.①
因为|＋|＝2，所以|＋|2＝12，
即m2＋n2＋2mncos∠F1PF2＝12，②
在△F1PF2中，由余弦定理，得
m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(2c)2＝12，③
②＋③，得m2＋n2＝12，
又由①得m2＋n2＋2mn＝16，从而得mn＝2，
将m2＋n2＝12，mn＝2代入②，
解得cos∠F1PF2＝0，所以∠F1PF2＝.
20．(12分)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，求|BC|.
考点 直线与抛物线的位置关系
考点 直线与抛物线的综合问题
解 不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜，
B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意可知|BF|＝3，点B在x轴的上方，
过点B作该抛物线准线的垂线，垂足为B1，
则|BB1|＝|BF|＝3，＝，由此可得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
焦点F(1,0)，则cos θ＝＝＝，
则sin θ＝＝，
因此tan θ＝＝2，
故直线l的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，得8(x－1)2＝4x，
即2x2－5x＋2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线的定义，知|BC|＝|BF|＋|CF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
21．(12分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
解 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝＝2.
由2＝6，解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
22．(12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的综合问题
解 (1)由已知得c＝2，＝，
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)＞0，且x1＋x2＝－m.
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
§1 椭 圆
1．1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．
知识点一 椭圆的定义
思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理 (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的集合是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的集合是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此集合为空集
知识点二 椭圆的标准方程
思考 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案 不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.
1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的集合是椭圆．(×)
2．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的集合是椭圆．(×)
3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)
4．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆．(×)
类型一 椭圆定义的应用
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的集合是椭圆．
反思与感悟 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的集合为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的集合为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 ②
解析 ①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
(2)已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
解 由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10＞6＝|C1C2|，
由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
类型二 椭圆的标准方程
例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．
考点 椭圆定义及标准方程的应用
题点 椭圆标准方程的应用
解 方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．
解 由题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ＞－b2)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ＞－b2)．
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
解 (1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意可知2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
类型三 求与椭圆有关的轨迹方程
例3 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
解 以BC的中点O为坐标原点，过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8可知点B(－4,0)，
C(4,0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．
跟踪训练3 如图，设定点A(6,2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 相关点法求椭圆的标准方程
解 设M(x，y)，P(x1，y1)．
∵M为线段AP的中点，
∴
又∵＋＝1，
∴点M的轨迹方程为＋＝.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
考点 椭圆的标准方程
题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案 D
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
答案 A
解析 c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积＝________.
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案 4
解析 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，且|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
4．在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案 4
解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.
5．若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝12＞6＝|AC|，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；
当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点．在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上．分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．
一、选择题
1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 B
解析 当||＋||＞||时，M的轨迹才是椭圆．
2．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为( )
A．9 B．4
C．3 D．2
考点 椭圆的标准方程
题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数
答案 C
解析 由题意可知25－m2＝16，解得m＝3.
3．已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为( )
A．16 B．20
C．32 D．40
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 D
解析 结合椭圆的定义，知a＝10，且△F1MN的周长为4a＝40.
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案 B
解析 由|AB|＋|AC|＝12＞|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(x≠0)．
5．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案 B
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝.
又因为∠F1PF2∈[0°，180°)，
所以∠F1PF2＝60°.
6．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆标准方程的应用
答案 C
解析 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．直线
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
二、填空题
8．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________．
考点 椭圆的标准方程
题点 由定义求标准方程
答案 ＋x2＝1
解析 由已知得2a＝8,2c＝2，
所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
9．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆标准方程的应用
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
10．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆标准方程的应用
答案 (0，±1)
解析 根据题意，设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．
F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
其坐标分别为(－，0)，(，0)，
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．
∵＝5，∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，
∴＋n2＝1，＋2＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
11．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 15
解析 由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，
所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
三、解答题
12．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为b2，求cos∠F1PF2的值．
考点 椭圆定义及其标准方程的应用
题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用
解 依题意可得
整理得|PF1|·|PF2|＝.
∵△PF1F2的面积为b2，
∴××sin∠F1PF2＝b2，
∴1＋cos∠F1PF2＝sin∠F1PF2，
又∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1，
∴cos∠F1PF2＝(cos∠F1PF2＝－1舍去)．
13．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的标准方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 (1)把M的纵坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即x2＝9，
解得x＝±3，即M的横坐标为3或－3.
(2)椭圆＋＝1的焦点在x轴上且c2＝9－4＝5.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a2＞5)，
把M点坐标代入椭圆方程，得＋＝1，
解得a2＝15(a2＝3舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 B
解析 由椭圆定义，知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
且已知|MF1|－|MF2|＝1，
所以|MF1|＝，|MF2|＝.
又|F1F2|＝2c＝2，
所以|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，
因此∠MF2F1＝90°，
即△MF1F2为直角三角形．
15.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20＞12.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1，
即＋＝1(x≠±30).
1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点
思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．
梳理 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
知识点二 椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比称为椭圆的离心率，即＝e，因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(×)
2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(×)
4．设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√)
类型一 椭圆的简单性质
例1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解 由已知得＋＝1(m＞0)，
因为0＜m2＜4m2，
所以＞，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，
离心率e＝＝＝.
反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
类型二 由简单性质求椭圆的标准方程
例2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 D
解析 由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D.
(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________________________________________________．
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 ＋＝1
解析 由已知，得焦点在x轴上，且
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有
∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
类型三 求椭圆的离心率
例3 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c的齐次关系式得离心率
解 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝－1.
反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率．
跟踪训练3 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案 D
解析 由题意可设|PF2|＝m(m＞0)，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
1．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 B
解析 原方程可化为＋＝1，所以b2＝4，b＝2，从而短轴长为2b＝4.
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴e＝＝cos 60°＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 C
解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是________________________________________________________________________．
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 ＋＝1
解析 由已知，得a＝4，b＝2，且椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程是＋＝1.
5．求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解 将椭圆方程变形为＋＝1，
得a＝5，b＝4，所以c＝3，
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10,2b＝8，
离心率e＝＝，
焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，
顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
一、选择题
1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 B
解析 由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 B
解析 由已知c＝，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，且焦点在y轴上，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7,2， B．14,4，
C．7,2， D．14,4，
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 B
解析 先将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的特征求方程
答案 A
解析 依题意得c＝2， a＋b＝10 ，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的特征求方程
答案 B
解析 ∵a2＝2，b2＝m，e＝＝ ＝ ＝，∴m＝.
6．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A. B.
C. D．－
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 C
解析 椭圆方程可化简为＋＝1，
由题意，知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
7．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案 C
解析 设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，故cos 60°＝＝＝，
解得＝，
故离心率e＝.
二、填空题
8．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案 －1
解析 如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，
所以F2B⊥BF1.
又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
所以|BF1|＝c，|BF2|＝c，
由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，所以＝－1，
所以椭圆的离心率e＝－1.
9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的特征求方程
答案 ＋＝1
解析 ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
10．已知椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案
解析 因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
11．在△ABC中，tan A＝，B＝.若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
答案
解析 由tan A＝，得sin A＝，cos A＝.
又B＝，∴sin B＝，cos B＝，
则sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理，得|BC|∶|CA|∶|AB|＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
不妨取|BC|＝1，|CA|＝，|AB|＝2.
以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立直角坐标系(C在x轴上方)，D是C在AB上的射影．
可求得|AD|＝，|OD|＝，|CD|＝，
∴点C.设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a2＝2，且＋＝1，解得b2＝，
∴c2＝a2－b2＝2－＝，
∴e2＝＝，又∵0＜e＜1，∴e＝.
三、解答题
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)，其焦距与长轴长的比值是，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解 椭圆方程可化为＋＝1.
因为m＞0，所以m－＝＞0，
所以m＞，所以a2＝m，b2＝，
所以c＝＝ .
由＝，得＝，解得m＝1，
所以a＝1，b＝，则椭圆的标准方程为x2＋＝1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的特征求参数
解 依题意得F1(－c,0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc)．
因为点B为线段CF1的中点，所以B.
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8.
因为0即e的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知c是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距，则的取值范围是( )
A．(1＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，]
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的特征求参数
答案 D
解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b，c，斜边为a，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b＋c＞a，∴＞1，又∵2＝≤＝2(当且仅当b＝c时，取等号)，∴1＜≤，故选D.
15．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
考点 椭圆离心率问题
题点 求a，b，c得离心率
解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义，得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理，得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，|AB|＝4k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系．
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案 当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系．
答案 有三种位置关系：相离、相切和相交
梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法
联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三 弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作弦长．弦长公式：|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√)
2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(√)
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)
4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)
类型一 直线与椭圆位置关系的判断
例1 对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 由消去y，
得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
类型二 弦长问题
例2 已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
解 椭圆的标准方程为＋＝1，
a＝，b＝2，c＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)．
由消去y，得9x2＋10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝×＝.
反思与感悟 求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1＋x2和x1x2的值．
跟踪训练2 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝，求椭圆方程．
考点 由椭圆的简单几何性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 ∵e＝，∴b2＝a2，
∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a2)]，
∴a2＝36，b2＝9，
∴椭圆方程为＋＝1.
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解 (1)由
消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
跟踪训练3 已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解 由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝
＝，
∵由椭圆方程知a＝5，c＝3，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是( )
A．－1 B.
C．－1或1 D．－或
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆几何特征求参数
答案 C
解析 由题意知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1.
2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
答案 A
解析 由题意可知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，
解得k＝－，
所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A. B．±
C. D．±
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
答案 B
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，
∴k＝＝±＝±.
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_________________________________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 2
解析 由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a＞2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
5．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
答案
解析 由得交点为(0,1)，，
则|AB|＝＝.
解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程．
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
考点 椭圆的简单性质
题点 点与椭圆的位置关系
答案 A
解析 由题意，得＋＜1，即a2＜2，解得－＜a＜.
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的位置关系判定
答案 C
3．椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 B
解析 由题意，得a＝3，c＝，
∴离心率e＝＝，故选B.
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c的齐次关系式得离心率
答案 A
解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
5．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m＞1且m≠3
C．m＞3 D．m＞0且m≠3
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆位置关系的判断
答案 B
解析 由可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵直线与椭圆有两个公共点，
∴
∴
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
6．已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1 B. C. D.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案 A
解析 设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，
则k1＝，k2＝，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝＝，
|k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，故选A.
7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为( )
A. B.
C. D．1
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
答案 C
解析 因为椭圆＋＝1的离心率为，
四个顶点构成的四边形的面积为12，
所以解得a＝2，b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1，
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
且线段AB的中点为M(－2,1)，
所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
又因为两式相减，
得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以－(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
所以直线l的斜率为k＝＝，故选C.
二、填空题
8．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的位置关系
答案
解析 已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线x－y＝0的距离为＝.
9．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 2
解析 因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
10．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 交点问题
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2－4x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
|AB|＝·＝·
＝，
|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝.
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为
________________.
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 x2＋y2＝1
解析 不妨设点A在第一象限，
∵AF2⊥x轴，
∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1,0＜c＜1)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3，得B，
代入x2＋＝1，得＋＝1，
又c2＝1－b2，∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
三、解答题
12．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为
＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入到＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入到＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为＋1.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C(m,0)是线段OF上异于O，F的一个定点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得|AC|＝|BC|，并说明理由．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解 (1)由已知可得
解得∴b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得F(1,0)，∴0＜m＜1.
假设存在满足题意的直线l，设l为y＝k(x－1)，
代入到＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，①
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－.
设AB的中点为M，则M.
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCMkAB＝－1，
∴－2m＋·k＝0，等价于(1－2m)k2＝m，
∴当0＜m＜时，k＝± ，
即存在满足条件的直线l；
当≤m＜1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l.
四、探究与拓展
14．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝________.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆方程研究其他简单性质
答案
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1,0)，
所以由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)，
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0，
所以x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入到＋y2＝1中，
得×2＋2＝1，
解得n2＝1，
所以||＝＝＝.
15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，)，且它的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t(k∈R，t∈R)交椭圆E于M，N两点，若椭圆E上一点C满足＋＝λ(O为坐标原点)，求实数λ的取值范围．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知，得解得
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，
所以＝1，所以2k＝(t≠0)．
把y＝kx＋t代入＋＝1，并整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝－，
y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝.
因为λ＝(x1＋x2，y1＋y2)，且λ≠0，
所以C，
又因为点C在椭圆E上，
所以＋＝1，
可得λ2＝＝，
因为t2＞0，所以2＋＋1＞1，
所以0＜λ2＜2，
所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，)．
§2 抛物线
2．1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．
知识点一 抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线的标准方程有何特点？
答案 (1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．
梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
p的几何意义
焦点到准线的距离
1．抛物线的方程都是二次函数．(×)
2．抛物线的焦点到准线的距离是p.(√)
3．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)
类型一 抛物线定义及应用
例1 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
考点 抛物线定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 A
解析 由题意，知抛物线的准线为x＝－.
因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义，得
x0＋＝|AF|＝x0，所以x0＝1，故选A.
(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32
考点 抛物线定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 ∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，
∴将直线x＋5＝0右移1个单位，
得直线x＋4＝0，即x＝－4，
∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．
根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，
即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
反思与感悟 抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
跟踪训练1 (1)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________．
考点 抛物线定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 (6,9)或(－6,9)
解析 设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，
知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
考点 抛物线定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 B
解析 如图所示，可得F(2,0)，
过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，
∴|PM|＝|PN|，
∴|PN|＝|MN|.
设P，则|t|＝＋2，
解得t＝±4，
∴△PMF的面积为×|t|·|MF|＝×4×4＝8.
类型二 求抛物线的标准方程
例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 (1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，
又点(－3,2)在抛物线上，∴2p＝或2p＝，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，∴所求抛物线的焦点为F1(0，－2)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，
令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为F2(4,0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝4，得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)已知抛物线的准线方程是x＝－；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解 (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
其准线方程为x＝－，由题意有－＝－，故p＝3.
因此标准方程为y2＝6x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型三 抛物线的实际应用问题
例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1 m)
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
依题意有P(－1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故抛物线方程为x2＝－y.
又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1，
因此水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
1．抛物线y2＝x的准线方程为( )
A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－
考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点 求抛物线的准线方程
答案 B
解析 抛物线y2＝x的开口向右，且p＝，所以准线方程为x＝－.
2．以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( )
A．x＝4y2 B．y＝4x2 C．x2＝4y D．y2＝4x
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
答案 D
解析 ∵抛物线焦点为F(1,0)，
∴可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
且＝1，则p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
3．已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是( )
A．0 B. C．1 D．2
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 设M(xM，yM)，根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A．x＝1 B．x＝ C．y＝－1 D．y＝－
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 y2＝8x
解析 由题意可知，动点P到直线x＋2＝0的距离与它到点M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程为y2＝8x.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为
考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点 求抛物线的焦点坐标
答案 B
解析 由y＝4x2，得x2＝y，所以开口向上，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点 求抛物线的焦点坐标
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为，故选B.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
4．若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )
A．(0,2) B．(0，－3)
C．(0,3) D．(0,6)
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．
5．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义与其他知识结合的应用
答案 C
解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
6．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于( )
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 A
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10，故选A.
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A. B. C. D．25
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义与其他知识结合的应用
答案 A
解析 抛物线的焦点F坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为
∵抛物线的准线方程为x＝－2，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝，
∴AB的中点到准线的距离为.
二、填空题
8．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________．
考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点 求抛物线的焦点坐标
答案
解析 ∵抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，∴p＝，故焦点坐标为.
9．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案
解析 由点P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1，
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1，
则直角梯形PQMF的面积为××1＝.
10．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的标准方程
答案 y2＝16x
解析 ∵椭圆的方程为＋＝1，∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|＋d的最小值为________．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义与其他知识结合的应用
答案 －1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1.
由题意得d＝|PF|－1，
∴|PA|＋d≥|AF|－1＝－1＝－1，
当且仅当A，P，F三点共线时，
|PA|＋d取得最小值－1.
三、解答题
12．如图，已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点的坐标．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义与其他知识结合的应用
解 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±.
∵＞2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴P点的坐标为(2,2)．
13.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛线C上，且＝
2，求点A的坐标．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 (1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
四、探究与拓展
14．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
答案 C
解析 抛物线的焦点为F.
不妨设点M在第一象限，
由抛物线的定义，得M.
设N点坐标为(0,2)．
因为圆过点N(0,2)，所以NF⊥NM，
即×＝－1.①
设＝t，
则①式可化为t2－4t＋8＝0，解得t＝2，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 抛物线的准线为l：x＝－.
①当点A在抛物线内部时，42＜2p·，
即p＞时，过M作MA′⊥l，垂足为A′，
则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，
即＋＝5，∴p＝3，满足p＞，
∴抛物线方程为y2＝6x.
②当点A在抛物线外部时，42＞2p·，
即p＜时，|MF|＋|MA|≥|AF|，
当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，
即＝5，
∴p＝1或p＝13(舍)，
∴抛物线方程为y2＝2x.
③当点A在抛物线上，即p＝时，结合②明显不成立．
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
2.2 抛物线的简单性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一 抛物线的性质
思考 观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴上的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
答案 (1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.
梳理 四种形式的抛物线的简单性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径
2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
知识点三 焦点弦的性质
已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
1．抛物线的图像关于点(0,0)对称．(×)
2．抛物线没有渐近线．(√)
3．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(×)
4．若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)
类型一 抛物线方程及其性质
例1 (1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性简单应用
答案 D
解析 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.
(2)顶点在原点，经过点(，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________．
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性简单应用
答案 y2＝12x或x2＝－y
解析 若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，因为点(，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p·，解得2p＝12，故所求抛物线的标准方程为y2＝12x.若y轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x2＝－y.
反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①定义法：根据定义求p，最后写标准方程．
②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．
③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．
跟踪训练1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
考点 由抛物线的简单性质求方程
题点 由简单性质求抛物线的方程
解 由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，
则焦点F，准线l：x＝－，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面积为4，∴··2|a|＝4，
∴a＝±2，∴抛物线方程为y2＝±4x.
类型二 焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F，所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得4x2－20x＋9＝0，
解得x1＝，x2＝，
故|AB|＝×＝2×4＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，
于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
反思与感悟 抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
跟踪训练2 如图，斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F(1,0)，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 求抛物线的焦点弦长
解 (1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线l的方程为y＝(x－1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，
所以线段AB的长为.
类型三 直线与抛物线位置关系
例3 (1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
答案 B
解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.
(2)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
解 联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点．
反思与感悟 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪训练3 (1)已知直线y＝kx－k和抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线和抛物线有一个公共点
B．直线和抛物线有两个公共点
C．直线和抛物线有一个或两个公共点
D．直线和抛物线可能没有公共点
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
答案 C
解析 ∵直线y＝kx－k过定点(1,0)，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
(2)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
答案
解析 由得ax2－x＋1＝0，
由Δ＝1－4a＝0，得a＝.
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
考点 由抛物线的简单性质求方程
题点 由简单性质求抛物线的方程
答案 C
解析 在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，
则＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
且点A(－2,3)在准线上，
故－＝－2，解得p＝4，
所以y2＝8x，
所以焦点F的坐标为(2,0)，
这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 A
解析 设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3.
因为2y＝y＋y，
所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
4．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其他问题
答案 2
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
由y2＝2px，得2＝2px，得x2－3px＋＝0.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p＝8，
∴p＝2.
5．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义与其他知识结合的应用
答案
解析 圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即＝.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为( )
A．2 B．1
C. D.
考点 由抛物线的简单性质求方程
题点 由简单性质求抛物线的方程
答案 A
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
2．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
考点 由抛物线的简单性质求方程
题点 由简单性质求抛物线的方程
答案 D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B. C. D．3
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 求距离最小值问题
答案 A
解析 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝，当m＝时，d取得最小值.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形( )
A．不存在 B．必是锐角三角形
C．必是钝角三角形 D．必是直角三角形
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线的简单性质应用
答案 B
解析 设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义，得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，故三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．
5．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线的简单性质应用
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以可得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
6．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 B
解析 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z取得最小值3.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线位置关系的综合应用
答案 B
解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
二、填空题
8．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是___________________________________________________________．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 (1,2)或(1，－2)
解析 ∵抛物线的焦点为F(1,0)，设A，
则＝，＝，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．
9．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
答案 (3,2)
解析 设线段的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3,2)．
10．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________________________________________________________________．
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线位置关系
答案 ∪
解析 设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，∴＝－，即x1＋x2＝－.
设MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝k×＋＝4.
又中点P在抛物线y＝x2内，
∴4＞2，即k2＞，
∴k＞或k＜－.
三、解答题
11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 求抛物线中的直线方程
解 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
∵点Q是弦AB的中点，∴y1＋y2＝2，
于是＝4，即直线AB的斜率为4，
故弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
12．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
考点 由抛物线的简单性质求方程
题点 已知弦长求抛物线的方程
解 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)．
由方程组消去y，
得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
13．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的值；
(2)求证：·是一个定值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
(1)解 依题意得F(1,0)，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得x2－3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一 |AB|＝
＝×＝5.
方法二 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x，整理得y2－4ky－4＝0，
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)
＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
∴·是一个定值．
四、探究与拓展
14．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为________．
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案
解析 由题意，知直线l过和(2p,2p)，
所以直线l：y＝.联立
整理得8x2－17px＋2p2＝0.
设另一交点坐标为(x1，y1)，
由根与系数的关系，得x1＋2p＝，
所以焦点弦的长度为x1＋2p＋p＝.
15．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
解 (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
因为x∈[0，＋∞)，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，
所以当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是.
(2)同(1)求得|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
当a－1≥0，即a≥1时，|PA|＝2a－1，
解得|PA|min＝，此时x＝a－1；
当a－1＜0，即a＜1时，|PA|＝a2，
解得|PA|min＝|a|，此时x＝0.
所以d＝f(a)＝
§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
知识点一 双曲线的定义
思考 如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
梳理 (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合为空集．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段F1F2的中垂线．
知识点二 双曲线的标准方程
思考 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案 双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×)
2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
类型一 双曲线定义的应用
例1 (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 B
解析 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 由题意，得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝×|PF1|×|PF2|＝24.
反思与感悟 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
跟踪训练1 在△ABC中，已知|AB|＝4，A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C，求顶点C的轨迹方程．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
解 由sin B－sin A＝sin C及正弦定理，
可得b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
类型二 求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练2 (1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
类型三 双曲线定义及标准方程的应用
例3 在相距2 000 m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 定义法求双曲线的标准方程
解 设爆炸点为P，由已知可得|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0.
因为|AB|＝2 000＞1 320，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，
使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点．
由2a＝1 320,2c＝2 000，得a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.
因此，点P所在曲线的方程是－＝1(x≥660)．
反思与感悟 可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．
跟踪训练3 已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
证明 如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
则在△PF1F2中，
对于双曲线有|r2－r1|＝2m，
∴cos 2α＝
＝＝
＝－＋1，
∴1－cos 2α＝，
∴sin α＝ .
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos 2α＝＝
＝＝－1，
∴1＋cos 2α＝，
∴cos α＝ ，
∴tan α＝.
1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 B
解析 依题意应有m＋1>0，即m>－1.
2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 D
解析 F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
考点 双曲线的标准方程
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 D
解析 ∵＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入方程中，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
考点 双曲线标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线标准方程
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(n＞0，m＜0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为________．
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 1
解析 由题意知解得a＝1.
1．双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点：
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 C
解析 因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 |AF2|＞|AF1|，由双曲线的定义，
知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
3．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 A
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
4．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是( )
A．1 B．－1 C．－ D.
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 B
解析 由焦点坐标知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 B
解析 由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
7．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为( )
A．2＋4 B．4＋2
C．3 D．2＋3
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 A
解析 由题意可知c＝2，a＝1，设F1为左焦点，
则|MF|＝2，则|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，
当M，P，F1三点共线时(P在M，F1之间)，
|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|＝2，
故周长的最小值为2＋2＋2＝2＋4.
二、填空题
8．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 16
解析 z
9．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 (2，＋∞)
解析 由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，
即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2.
10．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 －y2＝1
解析 由题意可设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有||PF1|－|PF2||＝2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2，
得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，
从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
11．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 ，
解析 因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13.
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝.
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝.
即所求距离分别为，.
三、解答题
12．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
考点 双曲线标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 已知双曲线－＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在所求双曲线上，
∴－＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，
不合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
13．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
考点 双曲线标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
四、探究与拓展
14．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
答案 －＝1
解析 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
考点 双曲线标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)因为
所以tan θ＝.
又＜m＜4，
所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，取等号，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为－＝1.
3．2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．
知识点 双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)
2．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)
3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为.(√)
类型一 双曲线的性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
类型二 由双曲线的性质求标准方程
例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 B
解析 由已知，得双曲线的焦点在y轴上，
从而可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.
又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，
∴2a＋2b＝2c.
又a2＋b2＝c2，∴b2＝4，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2，－3)的双曲线的方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
当所求双曲线的焦点在x轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为＝，所以b＝a.①
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.②
联立①②得方程组无解．
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为＝，所以a＝b.③
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.④
由③④，得a2＝，b2＝4，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三 求双曲线的离心率
例3 已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 求双曲线的离心率
解 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝ 求解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3 设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 求双曲线的离心率
答案 2
解析 如图所示，在△OAB中，
|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，
|AB|＝＝c.
因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，
所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab，
两边同除以a2，得2－＋＝0，
解得＝或＝(舍去)，
所以e＝＝＝ ＝2.
1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为4，虚轴长为2
B．实轴长为8，虚轴长为4
C．实轴长为2，虚轴长为4
D．实轴长为4，虚轴长为8
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c
答案 B
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案 D
解析 由选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 渐近线与离心率的关系
答案 D
解析 ∵双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，
∴e＝＝，故选D.
4．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝________.
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 渐近线与离心率的关系
答案 或
解析 当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
答案 12
解析 设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1三点共线时最小(P在A，F1之间)，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝－S＝|F1F|·yA－|F1F|·yP＝12.
1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．
2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．
3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0)．
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 C
解析 将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 渐近线与离心率的关系
答案 B
解析 由e＝＝＝，得2＝2.
故渐近线方程为y＝±x，故选B.
3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率
答案 C
解析 不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且为30°，
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，
∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，
化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.
4．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．－4 B．－3 C．2 D．1
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 A
解析 ∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
5．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距求方程
答案 D
解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F1(－6,0)，∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的渐近线方程
答案 C
解析 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
7．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于( )
A. B. C. D.
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 设F(c,0)，则过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B，
由得A，
＝，
＝，
由＝－3，
得＝－3，
则＝－3·，
即b＝a，
则c＝＝a，
则e＝＝，故选D.
二、填空题
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点(，1)，则该双曲线的方程为________．
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案 x2－y2＝1
解析 ∵双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∴a＝b，∴双曲线的方程为x2－y2＝a2，
又双曲线经过点(，1)，代入方程可得a2＝1，
故该双曲线的方程是x2－y2＝1.
9．已知双曲线y2－＝1(m＞0)的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是________．
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 双曲线离心率的取值范围
答案 (0,3)
解析 由双曲线y2－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝，
所以e＝＝，
又e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得0＜m＜3.
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，由F2向双曲线C的一条渐近线作垂线，垂足为H，若△F1HF2的面积为b2，则双曲线C的渐近线方程为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案 y＝±x
解析 设过F2(c,0)与渐近线bx－ay＝0垂直的直线为l，则l的方程为y＝－(x－c)，
则的解即为H点的坐标，
可得H.
又△F1HF2的面积为b2，
所以＝×2c×＝b2，解得a＝b，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
11．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线离心率
答案
解析 如图，设双曲线的右焦点为M，连接PM.
∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中，
|EF|＝.
又＝(＋)，
∴E是PF的中点，
∴|PF|＝2|EF|＝2，
|PM|＝2|OE|＝a.
由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a，
∴2－a＝2a，
∴e＝＝.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
解 椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴ 解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
解 (1)设P(x，y)，则|PA|＝
＝＝ ，
当y＝时，|PA|最小，
故所求点P的坐标为.
(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与双曲线方程联立得
(1－2k2)x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2，
解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，
∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
四、探究与拓展
14．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D．2
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率
答案 A
解析 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，
即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，
所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
15．已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同的交点A，B，直线l与y轴的交点为P.
(1)求离心率e的取值范围；
(2)若＝，求a的值．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，得
方程组有两个不同的解，
消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－＜a＜且a≠±1.
又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1.
∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∵0＜a＜且a≠1，
∴e＞且e≠，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)．
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.
∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，
消去x2得－＝，即a2＝.
又∵a＞0，∴a＝.
§4 曲线与方程
4．1 曲线与方程
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．
知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，
那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．
知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤
思考 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．
答案 不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．
(3)求曲线的方程的步骤
如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则
1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)
2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)
3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)
4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线l上．(×)
类型一 曲线的方程与方程的曲线解读
例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 (1)D (2)B
解析 (1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.
(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
解 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)且平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
类型二 曲线与方程的应用
例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲线上；
(2)若点M在上述方程表示的曲线上，求m的值．
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴2＋(－m－1)2＝10，
解得m＝2或m＝－.
引申探究
本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围．
解 结合点与圆的位置关系，
得a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9，
解得a＜－3或a＞3，
故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
∴k＝－2a2－2a＝－22＋，
∴k≤，
∴k的取值范围是.
类型三 求曲线的方程
命题角度1 直接法求曲线的方程
例3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 直接法求曲线方程
解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．
解 设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
跟踪训练3 已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 直接法求曲线方程
解 设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)．
∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于
即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0)．
命题角度2 相关点法求曲线的方程
例4 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 坐标转移法求曲线方程
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
跟踪训练4 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 相关点法求曲线方程
解 设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得即
又因为点P在圆C上，所以x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(x≠0).
1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( )
A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线C
B．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 B
解析 “曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 B
解析 将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上，故选B.
3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是( )
A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1
C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)
考点 求曲线的方程的方法
题点 直接法求曲线方程
答案 D
解析 设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，
所以＝，
化简得x＋2y＋1＝0.
又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D.
4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．
考点 求曲线的方程的方法
题点 几何法求曲线方程
答案 4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析 设该点坐标为(x，y)，则
＝1，即|4x＋3y－5|＝5，
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且＝3，求动点P的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 坐标转移法求曲线方程
解 设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、选择题
1．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是( )
A．一条直线 B．一个正方形
C．一个圆 D．四条直线
考点 曲线和方程的概念
题点 由方程研究曲线的对称性
答案 D
解析 由|x|＋|y|＝|xy|＋1，得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．
2．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B.π C.或π D.或
考点 曲线和方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 C
解析 由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又因为0≤α<2π，
所以α＝或α＝π.
3．方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的( )
考点 曲线和方程的概念
题点 由方程研究曲线的对称性
答案 C
解析 由|x|－|y|＝0知，y＝±x，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为( )
A．9π B．8π C．4π D．π
考点 曲线与方程的意义
题点 曲线与方程的综合应用
答案 C
解析 设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，
∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
∴所围成的面积S＝π·22＝4π.
5．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称；
④曲线W关于直线y＝x对称．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 曲线与方程的意义
题点 曲线与方程的综合应用
答案 A
6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于( )
A．2 B．8 C．4 D．10
考点 求曲线方程的方法
题点 几何法求曲线方程
答案 C
解析 由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故选C.
7．已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2
C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1
考点 求曲线方程的方法
题点 定义法求曲线方程
答案 B
解析 设动点P的坐标为(x，y)，
则点Q的坐标为(0，y)，
＝(－x,0)，＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，·＝x2－2＋y2.
由·＝22，得x2－2＋y2＝2x2，
所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
二、填空题
8．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．
考点 讨论方程的曲线类型
题点 其他类型的曲线与方程
答案 点(1,2)
解析 由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．
9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是________．
考点 求曲线方程的方法
题点 坐标转移法求曲线方程
答案 y2＝4x(x≥0)
解析 设点P(x，y)，则Q(－1，y)．
由·＝·，
得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，
化简得y2＝4x(x≥0)．
10．若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，则m＝________.
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 －1
解析 ∵A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，
∴∴
11．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
考点 曲线与方程的概念
题点 点在曲线上的应用
答案 5
解析 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
三、解答题
12．已知A(－3,0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足⊥，＝，试求动点P的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 直接法求曲线方程
解 设P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，
则＝(x′，－y′)，＝(x，y－y′)，
由＝，得(x′，－y′)＝(x，y－y′)，
即x′＝，y′＝－y，∴B(0，－y)，
又A(－3,0)，∴＝(3，－y)，＝(x,2y)，
由⊥，得·＝0，∴3x－2y2＝0，
即动点P的轨迹方程为y2＝x.
13．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
考点 求曲线方程的方法
题点 坐标转移法求曲线方程
解 方法一 如图所示，设点A(a,0)，
B(0，b)，M(x，y)．
因为M为线段AB的中点，
所以a＝2x，b＝2y，
即A(2x,0)，B(0,2y)．
因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1.
而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以·＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
因为当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
所以线段AB的中点坐标是(1,2)，
它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
方法二 ∴l1⊥l2，OA⊥OB，∵OAPB四点共圆，
AB为直径，
∴|MO|＝|MP|，
设M(x，y)
则＝，
整理得：x＋2y－5＝0.
四、探究与拓展
14．方程＋＝1表示的图形是( )
A．一条直线
B．两条平行线段
C．一个正方形
D．一个正方形(除去四个顶点)
考点 讨论方程的曲线类型
题点 其他类型的曲线与方程
答案 D
解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
15．已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|与|MQ|的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
考点 求曲线方程的方法
题点 直接法求曲线方程
解 连接ON，OM，易知ON⊥MN，设M(x，y)．
∵圆O的半径是1，
∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－1.
由题意知，＝λ(λ＞0)，
∴|MN|＝λ|MQ|，
即＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
∵λ＞0，
∴当λ＝1时，
方程化为x＝，该方程表示一条直线；
当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，
该方程表示以为圆心，以为半径的圆．
4．2 圆锥曲线的共同特征
4．3 直线与圆锥曲线的交点
学习目标 1.了解圆锥曲线的共同特征.2.会求曲线的交点.3.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.4.理解弦长公式及其求解应用．
知识点一 圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线．此即为圆锥曲线的统一定义．
知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线M的方程为f(x，y)＝0，则由消去y，可得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时有：
位置关系
公共点个数
方程
相交
2
Δ＞0
相切
1
Δ＝0
相离
0
Δ＜0
(2)当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该直线与圆锥曲线不是相切，而是相交．
知识点三 两曲线的交点
已知两条曲线C1，C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P0(x0，y0)是C1，C2的交点?
方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
1．平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的集合是圆锥曲线．(×)
2．对于双曲线－＝1，右支上的点满足“平面内到定点F(4,0)与到定直线l：x＝的距离的比等于”左支上的点不满足．(×)
3．若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线必相切．(×)
4．直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解．(√)
类型一 圆锥曲线共同特征的应用
例1 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，离心率e＝，点A在椭圆上，d为点A到定直线l：x＝的距离．求证：＝e.
考点 圆锥曲线定义的应用
题点 圆锥曲线定义的应用
证明 设点A(x，y)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，＝m(m＞0)，则＝m，
两边平方整理得(1－m2)x2＋y2＝x＋，比较椭圆方程＋y2＝b2的各项系数，得2c－＝0，所以m2＝2，
因为m＞0，所以m＝，即＝e.
反思与感悟 圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．
跟踪训练1 (1)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．则动点M的轨迹C的方程为________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其上一点P满足|PF1|＝5|PF2|，则点P直线x＝的距离为________．
考点 圆锥曲线定义的应用
题点 用定义判断曲线类型或求方程
答案 (1)＋＝1 (2)
解析 (1)如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意知，
d＝2|MN|，
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以动点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|＝5|PF2|，
得|PF2|＝2，设点P到直线x＝的距离为d，
则＝＝，得d＝.
类型二 直线与圆锥曲线的位置关系
例2 已知双曲线C：－y2＝1和定点P，过点P可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线公共点个数问题
解 当过P点的直线l斜率存在时，y－＝k(x－2)，与－y2＝1联立消去y，
得(1－4k2)x2－k(4－16k)x－(16k2－8k＋5)＝0.(*)
①当1－4k2＝0，即k＝±时，(*)式变为一元一次方程，解得x＝或x＝，l与双曲线分别交于和，此即直线过点P且平行于渐近线的情形．
②当1－4k2≠0，由Δ＝0，得k＝，
此时l：y－＝(x－2)，交点为.
易知当过P点的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，交点为(2,0)，所以过P点有四条直线与双曲线只有一个公共点．
反思与感悟 对于直线与双曲线、抛物线位置关系判定时，要注意对消元之后所得二次方程的二次项系数是否为零进行讨论．
跟踪训练2 设直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，求k的取值范围．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解 联立消去y，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由于方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0有两个不相等的正根，
所以
即
解得1＜k＜.
即k的取值范围为.
类型三 两曲线的交点问题
例3 求曲线2y2＋3x＋3＝0与曲线x2＋y2－4x－5＝0的公共点．
考点 曲线的交点的问题
题点 求交点
解 由
得2x2－11x－13＝0，
即(2x－13)(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝.
将x＝－1代入①，得
将x2＝代入①，方程无解．
所以两曲线只有一个公共点(－1,0)．
反思与感悟 求解曲线的交点问题，可转化为求解方程组问题，解方程组时注意变形的等价性．
跟踪训练3 (1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
考点 曲线的交点问题
题点 求交点
答案 (1)A (2)[1，)
解析 (1)满足题意的图像如图所示，y＝x＋a的斜率为1，要使y＝a|x|和y＝x＋a有两个交点，y＝a|x|的斜率a＞1.
(2)方法一 由方程组
得
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与C有两个公共点，等价于此方程是有两个不等的非负实数解，
可得解得1≤b＜.
方法二 在同一直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，可得b的取值范围为1≤b＜.
1．直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
答案 D
解析 将y＝x＋m代入＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
∴－＜m＜.
2．已知点M到定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x＝18的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
考点 圆锥曲线定义的应用
题点 用定义判断曲线类型或求方程
答案 B
解析 设M到l的距离为d，由题意得＝＜1，故M的轨迹C为椭圆．
3．一圆过两椭圆＋＝1与＋＝1的交点，则该圆的方程是________．
考点 曲线的交点问题
题点 求交点
答案 x2＋y2＝
解析 将两椭圆方程相加，得x2＋y2＝.
4．已知曲线C：y2＝2x，若C上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，则实数m的取值范围是________．
考点 圆锥曲线性质的应用
题点 圆锥曲线性质的应用
答案 (－，)
解析 方法一 如图．当m＝0时，直线l：y＝0恰好是抛物线的对称轴，满足题设条件．
当m≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，
则P，Q的中点是M.
设直线PQ的方程是y＝－x＋b.
由消去x，得y2＋2my－2mb＝0.(*)
∵方程(*)有两个不相等的实根，
∴Δ＝4m2＋8mb＞0，即m2＋2mb＞0.①
又y1＋y2＝－2m，
x1＋x2＝2mb－m(y1＋y2)＝2mb＋2m2，
∴M(mb＋m2，－m)．
由点M在直线l上，得－m＝m(mb＋m2－2)，
即b＝.②
将②代入①，得m2＜2，解得－＜m＜，且m≠0.
综上可知，m的取值范围是(－，)．
方法二 (点差法)
当m＝0时，符合题意．
当m≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2x上关于直线l对称的两点，线段AB的中点M的坐标为(x0，y0)．
∵点A，B在抛物线上，∴y＝2x1，y＝2x2.
将两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
即2y0(y1－y2)＝2(x1－x2)，∴＝(x1≠x2)．
又∵直线AB⊥l，∴kAB·kl＝－1，∴·m＝－1，
即m＋y0＝0.①
又∵点M在直线l上，∴y0＝m(x0－2)．②
由①②，得点M的坐标为(1，－m)．
∵A，B为抛物线上的两点，∴点M在抛物线的内部，
∴m2＜2，解得－＜m＜，且m≠0.
综上可知，所求m的取值范围是(－，)．
在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案．
处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法．
一、选择题
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案 B
解析 点(2,4)在抛物线y2＝8x上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．
2．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
考点 圆锥曲线定义的应用
题点 用定义判断曲线类型或求方程
答案 B
解析 因为＝|x＋y＋2|，
所以＝＞1.
所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．
3．已知椭圆C：＋x2＝1，直线l：9x＋y－5＝0与椭圆C相交于A，B两点，点P为弦AB的中点，则点P的坐标为( )
A. B.
C．(1，－4) D．(－1,14)
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，把y＝5－9x代入＋x2＝1，整理得45x2－45x＋8＝0，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝5－9x1＋5－9x2＝1.
故x＝＝，y＝＝，
因此点P的坐标为.
4．若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是( )
A．椭圆短轴的一个端点
B．椭圆长轴的一个端点
C．不是椭圆的顶点
D．以上都不对
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
答案 B
5．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案 D
解析 当x≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆在y轴左侧的部分；当x＞0时，曲线方程可化为－＝1，即双曲线在y轴右侧的部分，如图可知直线y＝x＋3与曲线有三个交点．
二、填空题
6．曲线y＝和y＝－x＋有________个公共点．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案 1
解析 y＝可化为x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为上半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．
7．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案
解析 由得5x2－8x＋8＝0.
设A，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
8．直线y＝kx＋1与曲线mx2＋5y2＝5m(m＞0)恒有公共点，则m的取值范围是________．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案 [1，＋∞)
解析 将y＝kx＋1代入mx2＋5y2＝5m，
得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0对k∈R，总有实数解．
所以Δ＝20m(m－1＋5k2)≥0对k∈R恒成立．
因为m＞0，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1.
即m的取值范围为[1，＋∞)．
9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离是3，则|OM|＝________.
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
答案 2
解析 由题意知该抛物线为开口向右的抛物线，设其方程为y2＝2px(p＞0)．
点M到焦点的距离为2＋＝3，p＝2.
故抛物线方程为y2＝4x，
M的坐标为(2，±2)，
所以|OM|＝＝2.
10．将双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，我们称这两个双曲线是互为共轭的双曲线，若两个共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝________.
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
答案 1
解析 因为e1＝，e2＝，
所以e＝，e＝.
故＋＝＝1.
三、解答题
11．已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的点，求实数k的取值范围．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解 当k＝0时，显然不成立．
当k≠0时，设A，B为双曲线上关于直线l对称的两点，如图．
由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入3x2－y2＝3中，得
(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
显然3k2－1≠0，
∴Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)·[－(b2＋3)k2]＞0，
即k2b2＋3k2－1＞0.①
由根与系数的关系，得线段AB的中点M的坐标为.
∵点M在直线l上，
∴＝＋4，即k2b＝3k2－1.②
把②代入①，得k2b2＋bk2＞0，解得b＞0或b＜－1，
∴＞0或＜－1，
即|k|＞或－＜k＜且k≠0.
综上，k的取值范围是∪∪∪.
12．已知直线l：y＝x＋t与椭圆C：x2＋2y2＝2交于A，B两点．
(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
(2)若|AB|＝，求t的值．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
解 (1)因为x2＋2y2＝2，所以＋y2＝1.
所以a＝，b＝1，所以c＝1，
所以长轴长2a＝2，焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为
消元化简得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
所以
所以|AB|＝|x1－x2|＝，
又因为|AB|＝，
所以＝，解得t＝±1，满足Δ＞0.
所以t＝±1.
13．设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
解 (1)由点F在直线l上，得|FA|＝|FB|，
得A，B两点到抛物线的准线的距离相等，
因为抛物线的准线与x轴平行，
所以上述条件等价于y1＝y2，即x＝x，
所以(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
因为x1≠x2，所以当且仅当x1＋x2＝0时，直线l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y＝2x＋b.
则过点A，B的直线方程可设为y＝－x＋m，
由化简得2x2＋x－m＝0，
所以x1＋x2＝－.
因为A，B为抛物线上不同的两点，
所以上述方程的判别式Δ＝＋8m＞0，
即m＞－.
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝－x0＋m＝＋m.
又点N在直线l上，所以＋m＝－＋b，
于是b＝＋m＞－＝，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
四、探究与拓展
14．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
答案 C
解析 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行于x轴，y轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)(x＞0，y＞0)，
S矩形＝4xy＝2ab≤2ab＝2ab∈[3b2,4b2]，
所以3b2≤2ab≤4b2，即≤≤，
所以e2＝＝1－2∈，
故e∈.
15．如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.
因此|AP|＝|x1－x2|＝·.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，
|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
因为k1≠k2，k1，k2＞0，
所以1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
所以＝1＋a2(a2－2)．①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a2＞2，又a＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，
得所求离心率的取值范围为0＜e≤.
滚动训练(三)
一、选择题
1．已知命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 D
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 A
3．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 等差数列{an}为递增数列等价于an＜an＋1.
4．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4
C．5,1 D．9,1
考点 椭圆的几何性质
题点 椭圆的范围问题
答案 D
解析 因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
5．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 B
解析 如图所示，＝，
所以·＝·(－)＝－×2×2cos 60°＝－1，故选B.
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
考点 椭圆的简单性质
题点 由a，b，c求离心率
答案 C
解析 设M(x，y)，∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中|F1F2|为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.又∵07．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案 B
解析 由题意知，切线的斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋a(k＞0)，
与椭圆方程联立得消去y，
整理得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，
即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，
从而y＝x＋a，交x轴于A，
又F(c,0)，所以＝，＝(c，－a)，
则·＝0，故∠ABF＝90°，故选B.
二、填空题
8．“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题为______命题．(填“真”“假”)
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 假
解析 原命题的否命题是“若C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．
9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离是________．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到平面的距离
答案
解析 取DD1的中点F，连接EF，AF，则EF∥CD∥AB，A，B，E，F四点共面，又A1B1∥平面ABEF，所以A1B1到平面ABE的距离等于A1到平面ABEF的距离．
方法一 在矩形ADD1A1中，因为AA1＝2，AD＝1，所以AF＝A1F＝2，AF2＋A1F2＝A1A2，所以A1F⊥AF，因为EF⊥AD，EF⊥DD1，AD∩DD1＝D，所以EF⊥平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABEF，因为平面ADD1A1∩平面ABEF＝AF，所以A1F⊥平面ABEF，所以A1B1到平面ABE的距离为.
方法二 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，E(0，，1)，F(0,0,1)．
所以＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,1)，＝(0，，0)，所以·＝0，·＝0，又AF∩FE＝F，所以＝(－1,0，－1)为平面ABEF的一个法向量，＝(0,0，－2)，
所以A1到平面ABEF的距离为＝＝.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 由a，b，c而关系式得离心率
答案
解析 由题意，可得M或M.
∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，
∴×2c×b＝3××c×，
∴b＝a，∴c＝＝a，
∴e＝＝.
11．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交求弦长
答案
解析 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组
消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝＝.
三、解答题
12．已知方程＋＝1表示椭圆，求实数m的取值范围．
考点 椭圆的标准方程
题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数
解 (1)当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，
则有5－2m>m＋1>0，解得－1(2)当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，
则有m＋1>5－2m>0，解得综上，m的取值范围为∪.
13．已知命题p：(x－2)(x＋m)≤0，q：x2＋(1－m)x－m≤0.
(1)若m＝3，命题“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取范围．
考点 “p且q”形式命题真假性的判断
题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 (1)当m＝3时，p：－3≤x≤2，q：－1≤x≤3.
因为命题“p且q”为真命题，
所以p和q都为真命题，
所以解得－1≤x≤2.
所以实数x的取值范围是[－1,2]．
(2)因为p：(x－2)(x＋m)≤0，
所以记A＝{x|(x－2)(x＋m)≤0}．
因为q：x2＋(1－m)x－m≤0，
所以记B＝{x|x2＋(1－m)x－m≤0}
＝{x|(x－m)(x＋1)≤0}．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q?p，但p?q，
所以集合B为集合A的真子集，
因此有或解得1≤m≤2.
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，点A(－2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)直线l：y＝x－1与曲线C相交于P1，P2两点，Q是x轴上一点，若△P1P2Q的面积为6，求Q点的坐标．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
解 (1)设M(x，y)，则×＝－，
化简整理，得点M的轨迹C的方程为
＋＝1(x≠±2)．
(2)由消去y，得7x2－8x－8＝0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|P1P2|＝|x1－x2|＝.
设Q(m,0)，则Q到直线l的距离d＝，
依题意，得×|P1P2|×d＝6，
化简得|m－1|＝7，解得m＝8或m＝－6，
故所求点Q为(8,0)或(－6,0)．
15．已知圆G：x2＋y2－x－y＝0，经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中定点、定值、取值范围问题
解 (1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，
∴F(1,0)，B(0，)，
∴c＝1，b＝，
∴a2＝4，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2)．
由消去y，
得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋1＋m2
＝.
∵点F在圆E的内部，
∴·＜0，即＜0，
解得＜m＜.
由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，
解得－＜m＜.
又m＞2，∴2＜m＜.
滚动训练(四)
一、选择题
1．命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )
A．任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．存在x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
D．存在x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”，故选D.
2．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
考点 “p或q”形式命题真假性的判断
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 由p：存在x∈R，mx2＋1≤0，可得m＜0；
由q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，可得Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2.
因为p或q为假命题，所以p与q都是假命题，
若p是假命题，则有m≥0；
若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，
故实数m的取值范围为[2，＋∞)，故选A.
3．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
考点 椭圆的性质
题点 由性质求椭圆的标准方程
答案 A
解析 依题意，得a＝2，a＋c＝3，
故c＝1，b＝＝，
故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.
C．(0,2) D．(0,3)∪
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 D
解析 当焦点在x轴上时，e＝∈，
∴∈，∴k∈；
当焦点在y轴上时，e＝∈，∴k∈(0,3)．
故实数k的取值范围是(0,3)∪.
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，平面PAD与平面ADC夹角的大小为60°，则P到AB的距离是( )
A．1 B. C. D.
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到直线的距离
答案 D
解析 以点D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,1，)，＝(0,2,0)，＝(－2,1，)，在上的投影为＝1.
故P到AB的距离为＝.
6．已知抛物线C：x2＝16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一个交点，若＝3，则|PF|等于( )
A. B. C. D.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 A
解析 由抛物线C：x2＝16y可得焦点F(0,4)，
准线方程为y＝－4，
设M(a，－4)，P，
则＝(a，－8)，＝.
因为＝3，
所以a＝3m，－8＝－12，解得m2＝.
由抛物线的定义，得|PF|＝＋4＝，故选A.
二、填空题
7．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 (－4,0)
解析 由g(x)＝2x－2＜0，可得x＜1，
∴要使任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，
必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0恒成立．
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，
∴二次函数f(x)必须开口向下，
且方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，
即解得－4＜m＜0.
8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 2
解析 设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，则椭圆的标准方程为____________．
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 ＋＝1
解析 椭圆的左顶点的坐标为A(－a,0)，
上、下顶点的坐标分别为B(0，b)，C(0，－b)，
右焦点为F(c,0)，
得直线AB的方程为y＝x＋b，
直线CF的方程为y＝x－b，
又因为直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，
把点(3a,16)分别代入直线方程可得
解得b＝4且3a＝5c.
又因为a2＝b2＋c2，解得a＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 (－2，－1]
解析 将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
∵Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1，
又a＞－2，∴－2＜a≤－1.
三、解答题
12．设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求总的轨迹
解 由＝λ，知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(xp，yp)，Q(xp，y0)，M(xp，x)，
则x－y0＝λ(yp－x)，
即y0＝x－λ(yp－x)＝(1＋λ)x－λyp.
设B(x1，y1)，由＝λ，
得(xp－x1，y0－y1)＝λ(1－xp,1－y0)，
得
所以
又点B在抛物线y＝x2上，
所以y1＝x，
即(1＋λ)2x－λ(1＋λ)yp－λ＝[(1＋λ)xp－λ]2，
即2λ(1＋λ)xp－λ(1＋λ)yp－λ(λ＋1)＝0.
因为λ＞0，所以2xp－yp－1＝0，
所以所求的点P的轨迹方程为2x－y－1＝0.
13．已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p或q为真， 綈p为真，求m的取值范围．
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 由复合命题的真假求参数的范围
解 对p：∵直线与圆相交，∴d＝<1.
∴－＋1对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，
∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，
则＜0，得0＜m＜4.
∵綈p为真，∴p为假．又∵p或q为真，∴q为真．
故可得＋1≤m<4.故m的取值范围是[＋1,4)．
四、探究与拓展
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN夹角的大小是________．
考点
题点
答案
解析 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令||＝2，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，
M(0,1,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，N(0,2,1)，
＝(－2,1，－2)，＝(0,2,1)，
因为·＝0，所以⊥，
即异面直线A1M与DN夹角为.
15．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(－2,1)是C1上一点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设A，B，Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P，Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E，证明：直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
(1)解 由题意，得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意，得A(－2，－1)，B(2,1)，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得x2＋2tx＋2t2－4＝0，
Δ＝－4t2＋16＞0，解得－2＜t＜2.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4，
∴kPD＋kPE＝＋
＝，
而(y2－1)(－x1＋2)＋(－y1－1)(x2＋2)
＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝0，
∴kPD＋kPE＝0，
∴直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
章末复习
学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的简单性质，会利用简单性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.待定系数法求圆锥曲线标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(×)
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√)
4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(×)
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(√)
类型一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
考点 椭圆的标准方程
题点 由椭圆的特征求方程
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
反思与感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；
(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；
(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点 双曲线的标准方程
题点 双曲线的定义与方程的综合
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2＜6，
所以点M到两定点C2，C1的距离之差是常数且小于|C1C2|，根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
类型二 圆锥曲线的性质
例2 (1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 圆锥曲线的定义的应用
题点 圆锥曲线定义的应用
答案 A
解析 方法一 设M(－c，y0)，
则AM所在的直线方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得E.
BM所在的直线方程为y＝(x－a)，
令x＝0，得y＝.
由题意，得＝×，
解得a＝3c，即e＝＝.
方法二 设|FM|＝m，|OE|＝t，
则＝，①
＝，②
①×②得：＝，
∴a＝3c，∴e＝.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
考点 圆锥曲线的定义的应用
题点 圆锥曲线定义的应用
答案 A
解析 若已知方程表示双曲线，
则m2＋n＞0,3m2－n＞0，
解得－m2＜n＜3m2.
又4＝4m2，所以m2＝1，
所以－1＜n＜3.
反思与感悟 常见具体类型有：(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练2 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
考点 有关圆锥曲线的性质的应用
题点 圆锥曲线性质的简单应用
答案
解析 由得B，C.
又由F(c,0)，得＝，＝.
又∠BFC＝90°，所以·＝0，即c2－a2＋＝0.
又b2＝a2－c2，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.
类型三 直线与圆锥曲线
例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解 (1)设椭圆的半焦距长为c，依题意有
∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，∴|AB|≤2，
当k＝0时，|AB|＝，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
反思与感悟 涉及直线与圆锥曲线问题，需要用方程思想解决，同时必要时需分类讨论，诸如位置关系判定则需联立方程组．
跟踪训练3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的综合问题
(1)解 抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，
因为点P和点Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，
则可设其方程为y＝－x＋b.
①证明 由消去x，并整理
得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，
所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，又p＞0，
化简得p＋2b＞0.
方程(*)的两根为y1,2＝－p±，
从而y0＝＝－p.
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②解 因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜.
又p＞0，
因此，p的取值范围为.
1．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案 B
解析 联立得x2＋2(x＋1)2－4＝0，
即3x2＋4x－2＝0，
则弦的中点的横坐标为×＝－，
纵坐标为－＋1＝，即，故选B.
2.如图，椭圆＋y2＝1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则△AF2B的面积是( )
A．2 B．4 C．1 D.
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的综合问题
答案 C
解析 由直径所对的圆周角为，可以联想到以AB为直径的圆O与椭圆交于A，B两点，且F2在圆O上，圆的半径为c＝＝，故圆的方程为x2＋y2＝3，联立方程组解得y＝±，所以＝××＝1，故选C.
3．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于( )
A. B．－ C．2 D．－2
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的其他问题
答案 A
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
则y－＝1，y－＝1，根据点差法可得
(y1－y2)(y1＋y2)＝，
所以直线l的斜率为k1＝＝＝，
直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.
4．直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB的中点，则椭圆的离心率为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交弦中点问题
答案
解析 由消去x，
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，
Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵线段AB的中点为(－1,1)，
∴＝2，于是得a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 2
解析 由题意，得l：x＝－，
且直线AB的方程为y＝(x－1)，
则A，
因为＝，所以B，
将B代入y2＝2px，
得32＝2p，
解得p＝2或p＝－6(舍去)．
解决与圆锥曲线有关的最值问题的三种方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意圆锥曲线的范围．
一、选择题
1．到定点(3,5)与直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线 C．线段 D．直线
考点 曲线与方程的意义
题点 曲线与方程的综合应用
答案 D
解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．
2．方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
考点 曲线与方程的意义
题点 曲线与方程的综合应用
答案 D
解析 ∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
考点 由椭圆的简单几何性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝与y2＝x B．y＝x与＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x| D．y＝lg (x2)与y＝2lg x
考点 曲线与方程的意义
题点 方程是否表示同一曲线
答案 C
解析 A项，y＝(y≥0)，y2＝x，y∈R，B项y＝x中y∈R，＝1中，y≠0；D项，y＝lg(x2)中，x≠0，y＝2lg x中，x>0，所以A，B选项中两函数值域不同，D选项中两函数定义域不同，故选C.
5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则||·||的值为( )
A．8 B．10 C．12 D．15
考点 椭圆定义及标准方程的应用
题点 椭圆定义及标准方程的综合应用
答案 D
解析 由椭圆标准方程，知a＝4，b＝2，c＝2.
当P为左、右顶点时(不妨令P为右顶点)，
||＝a＋c＝6，||＝a－c＝2，
则·＝6×2×cos 0°＝12，
故P不为左、右顶点．
设和的夹角为θ，
因为·＝9，
所以||·||cos θ＝9.
在△PF1F2中，由余弦定理，得2|PF1||PF2|·cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2，
即2|PF1|·|PF2|cos θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2－2|PF1|·|PF2|，
2×9＝(2×4)2－(2×2)2－2||·||，
即||·||＝15，故选D.
6．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )
A. B．4－2
C. D.－1
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆位置关系的综合应用
答案 D
解析 点A，B关于原点对称，故以线段AB为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c，设A(x0，y0)，则结合|OA|＝r＝c及y＝－x，得y0＝－x0，x＋y＝c2，所以A，代入椭圆方程，得＋＝1，由b2＝a2－c2化简，得c4－8a2c2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，e2＝＝4±2.结合0＜e＜1，得e2＝4－2，即e＝－1.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 由双曲线的简单几何性质求方程
题点 渐近线为条件求双曲线的方程
答案 C
解析 由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
二、填空题
8．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 2
解析 双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，离心率e＝.若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|－|PF2|＝________.
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 8
解析 由题意，得c＝2，e＝＝，
∴a＝4，|PF1|－|PF2|＝2a＝8.
10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2.
取M(0，b)，∵点M到直线l的距离不小于，
∴≥，解得b≥1.
∴e＝＝≤＝.又0＜e＜1，
∴椭圆E的离心率的取值范围是.
11．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
答案
解析 由双曲线的简单性质，易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为或.易求得圆心到双曲线中心的距离为.
三、解答题
12．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆位置关系的综合应用
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)，
从而有解得
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t.
由消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
由直线OA与l的距离等于4，
可得＝4，从而t＝±2.
∵±2?[－4，4]，
∴符合题意的直线l不存在．
13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
解 (1)由题意得解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，即x＋2y＝4，
∵A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M，
∴直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N.
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，
即x2＋y2－y＋＝0，
∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
四、探究与拓展
14．如图，A1，A2分别为椭圆＋＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2＋|OT|2等于( )
A．5 B．3＋ C．9 D．14
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 D
解析 设Q(x，y)，T(x1，y1)，S(x2，y2)，
直线QA1，QA2的斜率分别为k1，k2，
则直线OT，OS的斜率分别为k1，k2，
设直线OT的方程为y＝k1x，
代入椭圆方程，得x＝，同理x＝，
且k1k2＝·＝＝－，
所以|OT|2＝x＋kx＝，
同理|OS|2＝，
因此|OS|2＋|OT|2＝＋
＝＋
＝＋
＝＝14，故选D.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的内接等边三角形AOB的面积为3(其中O为坐标原点)．
(1)试求抛物线C的方程；
(2)已知点M(1,1)，P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线PQ恒过定点；
②过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
(1)解 依题意，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则由|OA|＝|OB|，得x＋2pxA＝x＋2pxB，
即(xA－xB)(xA＋xB＋2p)＝0，
因为xA＞0，xB＞0，p＞0，所以xA＋xB＋2p＞0，
故xA＝xB，|yA|＝|yB|，
则A，B关于x轴对称，
所以AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，
所以＝tan 30°＝.
因为xA＝，所以|yA|＝2p，
所以|AB|＝2|yA|＝4p，
故S△AOB＝×(4p)2＝12p2＝3，p＝，
故抛物线C的方程为y2＝x.
(2)①证明 由题意可设直线PQ的方程为x＝my＋a，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去x，得y2－my－a＝0，
故Δ＝m2＋4a＞0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a.
因为∠PMQ＝90°，所以·＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，
yy－(y1＋y2)2＋3y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，
即a2－m2－3a－m＋2＝0，
得2＝2，
所以a－＝m＋或a－＝－.
当a－＝m＋，即a＝m＋2时，
直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，
过定点H(2，－1)；
当a－＝－，即a＝－m＋1时，
直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y－1)＋1，
过定点(1,1)，不合题意舍去．
故直线PQ恒过定点H(2，－1)．
②解 设N(x，y)，则⊥，即·＝0，
得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，
即x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1)，
即轨迹是以MH为直径的圆(除去点(1，±1))．
