高一数学 必修4 §1.2.1任意角的三角函数（3）
班级______________ 姓名 ______________
【学习目标】
1．了解与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
2．会利用三角函数线比较三角函数值的大小、解简单的三角不等式；
3．通过三角函数的几何表示的学习，培养数形结合的思想．
【课前导学】阅读教材第15-17面，完成新知识学习．
1.任意角的三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P，由于，那么
，，，
2.有向线段： 的线段，叫做有向线段．
3.三角函数线：当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线．
设任意角的终边与单位圆相交与点过 作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
______，_______，______．
分别称有向线段为角的正弦线、余弦线、正切线．
说明:
①三角函数线是用某些特定的 来表示三角函数值，其中三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示函数值的正负；
②任意角的正弦线MP的起点都在 轴上，余弦线OM的起点都在 ，正切线AT的起点都在点，当角的终边在第二、三象限时，过点作圆的切线与角的终边的 线相交于T，AT为正切线，这是一种非常特别的现象，要牢记！
③当角的终边在轴线上时，如何画出正弦线、余弦线和正切线？
类型一：利用三角函数线求三角函数值
例1．求下列三角函数值：
类型二：利用三角函数线求解三角函数方程
例2．
类型三：利用三角函数线求解三角函数不等式
例3．
练习：利用三角函数线求解下列问题。
【课堂小结】
三角函数的定义；2．三角函数线的简单应用.
高一数学 必修4 §1.2.1任意角的三角函数（3） 课后作业
班级______________ 姓名 ______________
一、选择题
1.sinπ等于( )
A. B. C．－ D．－
2．若MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
3．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
4．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α＞1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α＜1 D．不能确定
5．已知α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 2α的值为( )
A. B. C．－ D．－
二、填空题
6．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．
7．利用单位圆，可得满足sin α＜，且α∈(0，π)的α的集合为________．
三、解答题
8．计算下列各式的值：
(1)tanπ＋sin(－π)； (2)sin 780°cos 450°＋tan 390°.
9．在单位圆中画出满足cosα＝的角α的终边，并写出α组成的集合．
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(1－cos x)
高一数学 必修4 §1.2.1任意角的三角函数（3） 课后作业参考答案
1.解析：π＝4π＋，
∴sinπ＝sin＝.
答案：A
2.解析：作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D正确．
答案：D
3.解析：根据正弦线和余弦线的定义知，当x＝和时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同．
答案：C
解析：作出α的正弦线和余弦线，
由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.
答案：A
5.解析：∵α＝＋2kπ(k∈Z)，
∴cos 2α＝cos(＋4kπ)＝cos＝.
答案：B
6.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋
cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
答案：
7.解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜.
答案：(0，)∪(，π)
8.解析：(1)原式＝tan(2π＋)＋sin(－8π＋)
＝tan＋sin＝＋＝.
(2)原式＝sin(720°＋60°)cos(360°＋90°)＋tan(360°＋30°)
＝sin 60°·cos 90°+tan30°＝.
9.解：如图所示，作直线x＝交单位圆于M、N，连接OM、ON，则OM、ON为α的终边．由于cos＝，cos＝，则M在的终边上，N在的终边上，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.
所以α组成的集合为S＝{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}.
10.解：(1)∵2sin x－≥0，
∴sin x≥，
∴x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)由1－cos x＞0
得cos x＜.
∴x∈(2kπ＋，2kπ＋)(k∈ Z)
《利用微课教学》实验报告
3月15日，高一（1）班和高一（5）班分别在电脑机房上了一节形式特别的数学课，课题是《三角函数线及其应用》。事先数学组老师就本节内容做好了两节微课，每节十分钟，再上传到学生电脑，由学生跟着微课学习本节内容，而两班的数学老师在整堂课中只充当个别辅导的角色。课后对两班学生进行了问卷调查，并让两个在机房上课的班级和另外两个班高一（2）班、高一（6）班对同一内容进行测试，并对测试结果与调查问卷的结果进行分析、比对。现对整个实验过程与结果分析如下：
一、教学内容分析
《三角函数线及其应用》这个内容在整个三角函数知识体系中是一个难点。首先，三角函数线的概念比较抽象、难懂。其次，在三角函数线的应用过程中对学生的思维能力要求比较高。再次，三角函数是高一学生刚刚才接触到的一个内容，对弧度、图形的理解与运用还处于一个很浅的层次。所以无论采取什么样的方式教学，学生学起来都会比较吃力。三角函数线能学会并应用的学生将会对整个三角函数知识体系有一个很深入的理解，从而轻松的完成整章的学习。学的不好的学生也会在后续的三角函数的图形与性质的学习中得到巩固和提升。所以目前学生对该内容掌握的情况如何对整个教学影响不大。
二、学生情况分析
我校高一学生数学基础参差不齐，即便是理科重点班中也有部分学生数学底子薄，理解、分析能力较弱的学生，文科班这种情况则更为突出。所以在利用微课学习过程中学生表现差异明显，好的学生完成两节微课的学习，包括做题、记笔记，大概30分钟。基础弱的同学40分钟也没能完成，尤其是利用三角函数线解方程与不等式的问题需要反复观看视频。但两个班的学生即便是第一次进入电脑室上数学课，也能很快进入状态，虽然对这样的教学很陌生，但也能去思考、摸索应对措施。学生的表现不错，但其本身的数学基础限制了其发挥。
三、问卷调查分析
分别对基础较好、男生较多的高一（1）班和基础较弱、女生较多的高一（5）班进行问卷调查，统计结果如下：
班级
高一（1）班（理科班）
高一（5）班（文科班）
微
课
学
习
效
果
微
课
学
习
效
率
是否跟得上微课中的讲解速度
微课教学是否比常规教学更好
是否跟得上微课中的讲解速度
是否愿意继续使用微课学习
微课有哪些优点
可以暂停，通俗易懂；
简单明了，方便快捷；
图比较全面，自由度大；
可以自行补习；
清晰。
可以重复看；
可以做到真正自主学习；
针对性梳理；
自己调节速度。
有何改进意见或建议
多样性，分层次；
语速快视频时间可以长点；
讲解再详细点；
分基础和提高题；
没有计算过程。
讲解速度快，例题讲解不详细；
不懂没办法问；
无过程，一堆数据无缘无故冒出来；
练习少，跳跃大，对成绩弱的学生太难；
容易看着走神。
从调查问卷快来看，文科班与理科班情况差不多，理科班学生更容易跟上微课的节奏，完全肯定这种教学方式的大概15%，完全否定这一做法的大概10%，大多数人是中立态度。
四、测试结果分析
分别对两组平行班：高一（1）班与高一（2）班，高一（5）班与高一（6）班进行测试，成绩统计如下：
班级
高一（1）班
（微课教学）
高一（2）班
（教师教学）
高一（5）班
（微课教学）
高一（6）班
（教师教学）
实考人数
42
40
41
42
及格人数
9
22
1
1
及格率
21.43
55
2.44
2.38
总分
2876
3760
1780
2090
平均分
68.48
94
43.41
49.76
优生人数
12
25
1
4
优生率
29%
62.50%
2.4%
10%
差生人数
8
1
23
18
差生率
19.05 %
2.5%
56.10%
42.86%
从成绩统计结果不难看出，不论是理科班还是文科班，教师教学的效果比微课教学要好，尤其是在理科班更为明显，由此证明微课无法取代老师的教学，无论它可以重复播多少次，它都是用一种方法在讲述问题，与学生之间也没有互动，更不能因材施教。而教师的可以根据学生的状态、接受程度做出相应的调整，师生互动，实时反馈，这些都是微课教学所不能比拟的。教学设计再好，制作再精美的微课都难以代替老师的课堂教学，只能作为一种课堂教学的有益补充。
本次教学实验对老师而言是一次全新的教学模式的尝试，对学生是一次全新的学习方式的体验。为了这次尝试和体验，我们数学组老师做了大量的工作。从最开始教学模式与教学内容的确定，到PPT课件的制作和微课的录制、剪辑，再到学生问卷调查的设计和测试题的编制，最后调查表与测试题结果的统计、比对，这无不是数学组老师的辛勤劳动的成果。实验并不完全是为了去证明哪种方式好，更多的是去发现问题，从而解决问题，也希望通过这种方式能启发学生利用信息技术与互联网技术去多元化学习，让老师去感受微课的呈现方式与展示效果，让老师把制作微课当成是自身教学经验的沉淀，而非工作负担。
微课作为一种新型的知识载体，我们如何将它有效的利用到教学，使其作用最大化，这是我们数学组本学期教研的主题，这次的实验只是一个开始，敬请期待后续发展。
课件17张PPT。三角函数线及其应用任意角的三角函数的定义 设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。代数形式1.OM看作O为起点， MP看作M为起点的有向线段。
2.线段的方向与相应坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. POxyPOxyMP??正弦线余弦线MP、OM都是有向线段，起点都在坐标轴或原点。正弦线的分布图-1-11111-1-1余弦线的分布图-1-11111-1-1++++????正弦线的分布图余弦线的分布图????????如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？???又∵OA=1有向线段AT叫做角α的正切线，以x轴的正反向为正。第一象限第二象限第三象限第四象限 正切线AT、正弦线MP、余弦线OM统称为三角函数线。POxyMATATPOxyMPOxyMATPOxyMAT第一象限第三象限第二象限第四象限三角函数线的做法正弦线MP
余弦线OM
正切线AT-1-11111-1-1++++????正弦线的分布图余弦线的分布图利用三角函数线求解特殊角的三角函数值??????????????0????????????????不存在?求值利用三角函数线求解特殊角的三角函数值可先暂停视频做题，再对答案????????????????不存在利用三角函数线求解三角函数方程???????或??????或??求出方程中 x的取值? 答案要加上2kπ来拓展x的范围，k只能取整数。利用三角函数线求解三角函数不等式???????求出不等式中 x的范围 答案两边要加上2kπ来拓展x的范围，k只能取整数。利用三角函数线求解右边的问题321利用三角函数线求解特殊角的三角函数值利用三角函数线求解三角函数方程利用三角函数线求解三角函数不等式
