2019数学北师大版选修2-1全套学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测+模块检测

1　怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件，
即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析　T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．
答案　充分不必要
2．抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
解析　(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．
答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．
解　原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：
函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

2　辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1　写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解　(1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
点评　如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2　写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析　依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解　(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．
3　判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．
例1　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以p?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析　依题意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案　必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析　设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案　[9，＋∞)
4．等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
例4　已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析　因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
4　例析逻辑用语中的常见误区
误区1　所有不等式、集合运算式都不是命题
例1　判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B)．
错解　(1)(2)(3)(4)都不是命题．
剖析　(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题．
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题．
正解　(2)(4)是命题，且都为真命题．(1)(3)不是命题
误区2　原命题为真，其否命题必为假
例2　判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.
错解　(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析　否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断．
正解　(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3　搞不清谁是谁的条件
例3　使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解　由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，又x>2?x>3，故选C.
剖析　若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解　B
误区4　考虑问题不周
例4　如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
错解　判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.
剖析　判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．
正解　B
误区5　用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．
错解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析　(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区6　不能正确否定结论
例6　p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析　命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区7　对含有一个量词的命题否定不完全
例7　已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一　綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析　该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8　忽略了隐含的量词
例8　写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
错解　(1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
剖析　以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解　(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．
5　解“逻辑”问题的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明．
例1　证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析　本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明　命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2　命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
分析　将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解　设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为q是p的必要不充分条件，
所以p?q，q?p，由A?B得
或即a≤－4或－≤a<0.
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3　已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减少的．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是____________．
分析　先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析　函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案　(1,2)
点评　若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4　设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B? A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析　画出表示A ?B的Venn图进行判断．
解析　画出Venn图，如图1所示，则A? B?存在x∈A，使得x?B，故①②是假命题，④是真命题．
A ?B?B ?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A ?B不成立．故③是假命题．
综上，真命题的序号是④.
答案　④
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　A
解析　当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；当A?B时，a＝2或3.
所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中为真命题的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
C．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　B
解析　采取直观演示或定理推证的方式不难找出答案．B中，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.
3．已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β.命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　必要不充分条件的判断
答案　B
解析　若平面α与β相交，设交线为c.
若a∥c，b∥c，则a∥b，
此时a与b无公共点，所以p?q.
若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.
由此可知p是q的必要不充分条件．故选B.
4．设命题p：存在n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为(　　)
A．任意n∈N，n2＞2n
B．存在n∈N，n2≤2n
C．任意n∈N，n2≤2n
D．存在n∈N，n2＝2n
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　C
解析　存在量词改为全称量词，即“存在n∈N”改为“任意n∈N”；把结论否定，即“n2＞2n”改为“n2≤2n”．故选C.
5．设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．0＜a＜1或a＞2 B．0＜a＜1或a≥2
C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　由复合命题的真假求参数的取值范围
答案　C
解析　若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.
若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.
由题意，得若p假则q真，若p真则q假，
即或
∴1＜a≤2.
6．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则命题p的否定为(　　)
A．任意x∈A,2x?B
B．任意x?A,2x?B
C．存在x?A,2x∈B
D．存在x∈A,2x?B
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　D
解析　命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在x∈A,2x?B.故选D.
7．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　复合命题真假性的判断
题点　判断复合命题的真假
答案　D
解析　①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
8．下列命题的逆命题为真命题的是(　　)
A．若x＞2，则(x－2)(x＋1)＞0
B．若x2＋y2≥4，则xy＝2
C．若x＋y＝2，则xy≤1
D．若a≥b，则ac2≥bc2
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　B
9．设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　B
解析　∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga310．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　必要、充分条件的概念及判断
题点　必要不充分条件的判断
答案　B
解析　m?α，m∥β?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，
∴“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
11．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q：函数y＝f(x＋1)的图像关于原点对称，则y＝f(x)的图像关于点(－1,0)对称，则(　　)
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假
C．p假q真 D．p真q假
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　判断复合命题的真假
答案　D
解析　命题p为真命题，命题q中f(x)的图像关于点(1,0)对称，∴q为假命题．
12．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　函数f(x)图像的对称轴为直线x＝a，若1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若“任意x∈，x＋tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　＋
解析　由已知可得m≥x＋tan x恒成立．
设f(x)＝x＋tan x，显然该函数为增函数，
故f(x)的最大值为f＝＋tan ＝＋，
由不等式恒成立可得m≥＋，即实数m的最小值为＋.
14．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　[－3,0]
解析　由题意，可得ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0，成立；
当a≠0时，得
解得－3≤a＜0.
故－3≤a≤0.
15．已知命题p：(x－3)(x＋1)>0，命题q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点　充分不必要条件的概念及判断
题点　由充分不必要条件求参数的取值范围
答案　(0,2]
解析　p：(x－3)(x＋1)>0等价于x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知A?B，
∴其中等号不能同时成立，
∴m≤2，又m>0，∴016．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p且q为假命题，则m的取值范围是________________．
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析　若命题p是真命题，则m≤－1；若命题q是真命题，则m2－4<0，解得－2－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)任意α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)存在x，y∈Z，3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
解　(1)假命题，否定为存在α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为任意x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当c＜0时，若ac＞bc，则a＜b；
(2)已知a，b均为非零向量，若a⊥b，则a·b＝0.
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
解　(1)逆命题：当c＜0时，若a＜b，则ac＞bc.是真命题．
否命题：当c＜0时，若ac≤bc，则a≥b.是真命题．
逆否命题：当c＜0时，若a≥b，则ac≤bc.是真命题．
(2)逆命题：已知a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b.是真命题．
否命题：已知a，b均为非零向量，若a不垂直于b，
则a·b≠0.是真命题．
逆否命题：已知a，b均为非零向量，若a·b≠0，则a不垂直于b.是真命题．
19．(12分)已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m＞0)．
(1)当m＝3时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点　必要条件的概念及判断
题点　由必要条件求参数的取值范围
解　(1)若p为真命题，则－2≤x≤4；
当m＝3时，若q为真命题，则－1≤x≤5.
∵“p且q”为真命题，
∴x的取值范围为[－1,4]．
(2)∵“綈p”是“綈q”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∵p：－2≤x≤4，q：2－m≤x≤2＋m，
∴且等号不同时取得，
∴m的取值范围为[4，＋∞)．
20．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：≤x≤.
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若给定条件q：|f(x)－m|<2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求参数的取值范围
解　(1)f(x)＝2－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin＋1.
∵≤x≤，∴≤2x－≤.
∴3≤4sin＋1≤5.
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|<2，∴m－2又∵p是q的充分条件，
∴
解得321．(12分)已知两个命题：r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
考点　复合命题真假性的判断
题点　由复合命题的真假求参数的取值范围
解　∵对任意x∈R，sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对任意x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－且－2综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m<2}．
22．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求参数的取值范围
解　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1即p为真时，实数x的取值范围是1由得2即q为真时，实数x的取值范围是2若p且q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q，且綈q?綈p，
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B，
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，
则即1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是(1,2]．

§1　命　题(一)
学习目标　1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．
知识点一　命题的概念及分类
思考　下列语句有什么共同特征？
(1)空集是任何集合的子集．
(2)单位向量的模为1.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．
答案　共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．
梳理　(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
知识点二　命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
知识点三　四种命题
四种命题的定义如下表所示
名称
阐释
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题
1．命题均能判断其真假．(√)
2．我们所学习过的定理均为命题．(√)
3．命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×)
4．命题：若sin A＞sin B，则A＞B，其逆命题为真命题．(×)
类型一　命题的概念及真假判断
命题角度1　命题的概念
例1　判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
考点　命题的定义及分类
题点　命题的定义
解　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
反思与感悟　判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1　下列语句是命题的是(　　)
①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
考点　命题的定义及分类
题点　命题的定义
答案　A
解析　依据命题定义，得①②③为命题．
命题角度2　命题真假的判断
例2　给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　①③④
解析　结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题；②中，若a＝－，b＝，则a＋b＝0，是有理数，故②是假命题．
引申探究
1．本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解　不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
2．本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC是________三角形．
答案　直角
解析　由·＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．
反思与感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2　(1)下列命题中假命题的个数为(　　)
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　C
解析　因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．
(2)下列命题中为真命题的是(　　)
A．若ln x＜1，则x＜e
B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c
C．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acos B＝bcos A，则该三角形为等腰三角形
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　D
解析　对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．
类型二　命题的结构形式
例3　将下列命题写成“若p，则q”的形式．
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
考点　命题的结构形式
题点　改写成标准的若p则q形式
解　(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．
反思与感悟　将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
跟踪训练3　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
考点　命题的结构形式
题点　改写成标准的若p则q形式
解　(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．
类型三　四种命题的概念及真假判断
命题角度1　四种命题的概念
例4　(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(　　)
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．等价命题
答案　A
(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题．
考点　四种命题的概念
题点　四种命题定义的应用
解　逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下．
否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?.
逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上．
反思与感悟　四种命题的转换方法
(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练4　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
考点　四种命题的概念
题点　四种命题定义的应用
解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
命题角度2　四种命题的真假判断
例5　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
解　(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
反思与感悟　若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练5　已知命题“若2m－1＜x＜3m＋2，则1＜x＜3”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　
解析　其逆命题为若1＜x＜3，则2m－1＜x＜3m＋2.
该命题为真命题，需满足解得≤m≤1，
故m的取值范围为.
1．下列语句为命题的是(　　)
A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等
C．0不是偶数 D．今天心情真好啊
考点　命题的定义及分类
题点　命题的定义
答案　C
解析　结合命题的定义知C为命题．
2．下列说法中错误的是(　　)
A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”
B．命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”
C．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”
D．命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　由否命题的定义知B是错误的．
3．命题“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题是(　　)
A．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＜b
B．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＞b
C．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b
D．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a≤b
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　C
解析　将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C.
4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．
考点　命题的定义及分类
题点　由命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析　由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.
5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
考点　命题的定义及分类
题点　由命题的真假求参数的取值范围
解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
一、选择题
1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(　　)
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
考点　命题的结构形式
题点　区分命题的条件和结论
答案　D
解析　所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.
2．下列命题为假命题的是(　　)
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．0是偶数
D．5＞3
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　B
解析　结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C，D显然是真命题．
3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是(　　)
A．若x2＞1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－1＜x＜1，则x2＜1
D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　结合逆否命题的定义知B正确．
4．下列命题是真命题的是(　　)
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0
B．若a>b，则ac>bc
C．若M∩N＝M，则N?M
D．若M?N，则M∩N＝M
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　D
解析　A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M?N.故A，B，C均错误．
5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　D
解析　D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．
6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　B
解析　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.
7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中为真命题的是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　D
解析　结合线面、面面位置关系易知①③为真命题．
8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是(　　)
A．否命题是“正弦函数是分段函数”
B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”
C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”
D．以上都不正确
考点　四种命题
题点　四种命题的判断
答案　B
解析　否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，
所以A错误；B正确；C不正确，故选B.
二、填空题
9．有下列命题：
①22 340能被5整除；
②不存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；
③对任意的实数x，均有x＋1＞x；
④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．
其中假命题有________．(填序号)
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　④
解析　易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．
10．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝loga x在其定义域内是减函数，则loga 2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　当a＞0，a≠1时，若loga2≥0，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数．
11．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－2]
解析　p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，
解得－2＜a＜2.
q为真命题时，5－2a＞1，
解得a＜2.
当p真q假时，a∈?.
当p假q真时，即a≤－2.
故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
三、解答题
12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
考点　命题的结构形式
题点　改写成标准的若p则q形式，并判断命题的真假
解　(1)若ac>bc，则a>b.
∵ac>bc，c<0时，a(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，该命题是真命题．
13．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
解　其逆否命题：已知a，x为实数，
若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．
∵a＜1，∴Δ＝(2a＋1)2－4×(a2＋2)＝4a＋1－8＝4a－7＜0，
即不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，
∴原命题的逆否命题是真命题．
四、探究与拓展
14．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3 D．0考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
答案　A
解析　若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．
15．写出命题“当2m＋1＞0时，如果＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
解　由2m＋1＞0，得m＞－.
由＞0，得m＜－3或m＞，
又m＞－，所以m＞.
由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，
又m＞－，所以2＜m＜3.
由此可知，原命题可变为“如果m＞，那么2＜m＜3”，
显然原命题是假命题．
逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，
那么＞0”，
即“如果2＜m＜3，那么m＞”，它是真命题．
否命题为“当2m＋1＞0时，如果≤0，
那么m2－5m＋6≥0”，
因为所以
所以－＜m＜，
由得
即－＜m≤2或m≥3，
所以否命题可表述为“如果－＜m＜，
那么－＜m≤2或m≥3”，它是真命题．
逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，
那么≤0”，
则逆否命题可表述为“如果－＜m≤2或m≥3，
那么－＜m＜”，它是假命题．
§1　命　题(二)
学习目标　1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一　四种命题间的关系
思考　原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？
答案　原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．
梳理　四种命题间的关系
知识点二　四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．两个互逆命题的真假性相同．(×)
2．原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)
3．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．(×)
类型一　四种命题间的关系及真假判断
例1　判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．
(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；
(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0.
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
解　(1)逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．
逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．
所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．
(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．
反思与感悟　互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．
跟踪训练1　下列命题为假命题的是(　　)
A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题
B．“正三角形都相似”的逆命题
C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题
D．“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　B
解析　A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．
B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．
C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m＜0，∴m＜－，
∴原命题的逆否命题是真命题．
D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”，
∵x不是无理数，∴x是有理数，
又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，
∴原命题的逆否命题是真命题．
类型二　等价命题的应用
例2　设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
考点　反证法逆否证法
题点　逆否证法
证明　将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，
则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2.
所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．
反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练2　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点　反证法和逆否证法
题点　逆否证法
证明　命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.
1．下列命题为真命题的是(　　)
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
考点　四种命题间的相互关系
题点　写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
答案　A
解析　对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．
2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1
3．有下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若＞，则a＜b”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
其中是假命题的是________．
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案　①②
解析　对于①，其否命题为：若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a＜b，则＞，为假命题；③为真命题，故假命题为①②.
4．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
考点　四种命题间的相互关系
题点　写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
解　(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．
一、选择题
1．以下说法错误的是(　　)
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案　B
解析　互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案　C
解析　只有其逆命题、否命题为真命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(　　)
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　A
解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若非A，则非B”，r为“若非B，则非A”．故q与r为互逆命题．
5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A．若xC．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
6．给出下列四个命题：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
考点　反证法和逆否证法
题点　逆否证法
答案　D
解析　根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．
7．原命题为“若A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．假、假、假
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　A
解析　从原命题、逆命题的真假入手，8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
考点　四种命题间的关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　C
解析　①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.
二、填空题
9．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．
答案　2
解析　原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
10．已知命题p：若a＞b＞0，则a＜b＋1，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案　2
解析　∵a＞b＞0，∴a＜b，
∴命题p为真命题，其逆命题为“若a＜b＋1，则a＞b＞0”，
∵当a＝2，b＝2时，a＜b＋1成立，
而a＝b，∴逆命题为假命题．
∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，
∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.
11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(填序号)
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　②
解析　①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：上底面A1，B1，C1，D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题的真假．
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
(2)若x?A∩B，则x?A且x?B；
(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
解　(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．
(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．
(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
解　方法一　(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二　(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)
①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案　B
解析　由于“M?P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.
15．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？
考点　四种命题间的相互关系
题点　利用四种命题的关系判断真假
解　由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，
即x＜或x＞.
由＞0，得2x2－3x＋1＞0，
解得x＜或x＞1.
为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A?B.
令a＝4，得p：x＜－或x＞1，
满足题意，故可以选取a＝4，
此时原命题是“若|5x－1|＞4，则＞0”．
§2　充分条件与必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一　充分条件与必要条件
(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二　充要条件
思考　在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案　因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理　(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)
3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)
类型一　充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1　下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a＞b，q：ac＞bc.
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．
(4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分又不必要条件．
反思与感悟　充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件．
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件．
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，
有即p?q，但?
比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二　充要条件的探求与证明
命题角度1　充要条件的探求
例2　求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
解　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
解　是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3符合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，∵a1＝S1＝4＋t，
a2＝S2－S1＝5，
a3＝S3－S2＝7，
∴10＝11＋t，
解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
命题角度2　充要条件的证明
例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝＜0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0，
此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
反思与感悟　对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．
跟踪训练3　求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
即
解得k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.
类型三　利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4　设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
答案　[3，＋∞)
解析　p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3；
q：2x－3＜m，即x＜.
由题意知p?q，q?p，
则在数轴上表示不等式如图所示，
则≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
反思与感悟　(1)在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
(2)根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
①记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
②若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；
③根据集合的关系列不等式(组)；
④求出参数的范围．
跟踪训练4　设A＝，B＝，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
答案　
解析　由题意知A＝{y|0＜y＜1}．，
B＝，
依题意，得B?A，
故∴1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　由x2＋x＞0?x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜ D．a≥1或a≤0
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
解析　当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.
4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示)
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求取值范围
答案　[4，＋∞)
解析　因为p为q的充分条件，所以[1,4)?(－∞，m)，
得m≥4.
5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”“充要”)
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　充分不必要
解析　由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
解析　当x2为无理数时，x为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是(　　)
A．x＞3 B．x＜3
C．x＞4 D．x＜4
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　因为sin 60°＝，故p?q，但当sin A＝时，A＝60°或120°.
5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0)
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　充分、必要条件求参数的范围
答案　C
解析　由命题p：－3＜x＜1，因为p?q，q? p，
所以即
所以a≥4.
6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
考点　充分、必要条件的判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5?4≥3.5＋1，故a＞b?a≥b＋1，故选A.
7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　D
解析　若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；
反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是(　　)
A．0C.1
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
答案　B
解析　f(x)＝
f(x)的图像在(0,1)内单调递减，
在(1，＋∞)内单调递增．
若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，
则?0二、填空题
9．若a＝(1,2x)，b＝(4，－x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜”的________________条件．
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　既不充分又不必要
10．“(x＋1)(x＋2)＞0”是“(x＋1)(x2＋2)＞0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
考点　充分、必要条件的判断
题点　必要不充分条件的判断
答案　必要不充分
解析　(x＋1)(x＋2)＞0?x＜－2或x＞－1，(x＋1)·(x2＋2)＞0?x＞－1，因为x＞－1?x＜－2或x＞－1，x＜－2或x＞－1?x＞－1，所以应填“必要不充分”．
11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　①④
解析　①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分又不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
解　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p?q且q? p，得M?N，
∴或
解得≤a<2或即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
考点　充分、必要条件的判断
题点　充要条件的判断
答案　①④
解析　对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点?q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p；
对于②，当f(x)＝0时，q? p；
对于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p? q；
对于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA.
15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的取值范围
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
§3　全称量词与存在量词
3．1　全称量词与全称命题
3．2　存在量词与特称命题
学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．
知识点一　全称量词、全称命题
思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理　(1)全称量词及全称命题的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．
(2)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
知识点二　存在量词、特称命题
思考　找出下列命题的共同特征，并判断其真假．
(1)存在x∈R，x2≤0；
(2)有些三棱锥是正四面体．
答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．
梳理　(1)存在量词及特称命题的概念
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．
(2)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)
3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)
类型一　判断命题的类型
例1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)正方形是矩形；
(2)球面是曲面；
(3)x2－x＋1＞0(x∈R)；
(4)有的素数为偶数；
(5)方程3x＋＝2有实数解．
考点　全称命题与特称命题
题点　全称命题与特称命题的判定
解　结合题意知(1)(2)(3)为全称命题；(4)(5)为特称命题．
反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点　量词与命题
题点　全称(存在)量词的识别
解　命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为特称命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
类型二　判断命题的真假
例2　判断下列命题的真假．
(1)任意x∈R，x2－x＋1＞；
(2)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
考点　特称(全称)命题的真假性判断
题点　特称(全称)命题真假的判断
解　(1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥＞0，
∴x2－x＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟　要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判定特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
跟踪训练2　判断下列命题的真假．
(1)有一些奇函数的图像过原点；
(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；
(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤.
考点　特称(全称)命题的真假性判断
题点　特称(全称)命题真假的判断
解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是特称命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．
(3)该命题是全称命题．
∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题．
类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例3　已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
解　(1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
跟踪训练3　已知命题p：“存在x∈R，sin x＜m”，命题q：“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p和q都是真命题，求实数m的取值范围．
考点　特称(全称)命题的真假性判断
题点　由命题真假性求参数的取值范围
解　因为“存在x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.
又因为“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．
1．下列命题中，是正确的全称命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点　全称量词与全称命题
题点　全称命题的识别
答案　D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(　　)
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x，使sin x＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点　特称命题的真假性判断
题点　特称命题真假的判断
答案　A
3．若对于任意x∈[1,2]，a≥x2＋1，则实数a的取值范围为(　　)
A．[5，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[3,5]
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的范围
答案　A
解析　依题意a≥(x2＋1)max＝5，故a∈[5，＋∞)．
4．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”“假”)
考点　特称命题的真假性判断
题点　特称命题真假的判断
答案　真
解析　由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥，所以只需m2－m＜，即－＜m＜.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)任意x∈(－1,2)，x2－x＜2；
(2)存在x∈{x|x＞1)，log2x＋logx2＜2；
(3)指数函数都是单调函数；
(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．
考点　量词与命题
题点　全称(特称)命题的识别
解　(1)全称命题．由于x2－x＜2?x2－x－2＜0?－1＜x＜2，所以任意x∈(－1,2)，x2－x＜2成立．真命题．
(2)特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，
故log2x＋logx2＝log2x＋≥2，当且仅当x＝2时，(log2x＋logx2)min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．
(3)全称命题．当a＞1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f(x)＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．
(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除．真命题．
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　　)
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“任意x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；
③命题“存在x∈R，x2＋4x＋4≤0”是特称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　量词与命题
题点　特称(全称)命题的识别
答案　C
解析　只有②③正确．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
考点　存在量词与特称命题
题点　特称命题的真假判断
答案　B
3．下列命题中，不是全称命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案　D
解析　D是特称命题．
考点　
题点　
4．已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是(　　)
A．对任意的F∈BC，EF⊥AD
B．存在F∈BC，EF⊥AC
C．对任意的F∈BC，EF≥
D．存在F∈BC，EF∥AC
考点　特称命题的真假性判断
题点　特称命题真假的判断
答案　A
解析　因为△ABD和△ACD为等边三角形，E为AD的中点，
?AD⊥平面BCE，
又EF?平面BCE，
故AD⊥EF.
5．下面命题是真命题的是(　　)
A．任意x∈R，x3≥x
B．存在x∈R，x2＋1＜2x
C．任意xy＞0，x－y≥2
D．存在x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x－sin y
考点　量词与命题
题点　全称(特称)命题的真假性判断
答案　D
6．若“任意x∈，cos x≤m”是真命题，则实数m的最小值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　C
7．有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2 ＋cos2 ＝；
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：对任意的x∈[0，π],＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
其中假命题为(　　)
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p3，p4
考点　全称命题真假性的判断
题点　全称命题的真假判断
答案　A
解析　由于对任意x∈R，sin2 ＋cos2 ＝1，故p1是假命题；当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，
sin x－sin y＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．
对于p3：任意x∈[0，π]，
＝＝|sin x|＝sin x为真命题．
对于p4：sin x＝cos y?x＋y＝为假命题，例如x＝π，y＝，满足sin x＝cos y＝0，而x＋y＝.
二、填空题
8．若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　1
解析　∵x∈，∴0≤tan x≤1，∴m≥1，故实数m的最小值为1.
9．已知命题p：存在c＞0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：任意x∈R，x2＋2c－3＞0.若p和q都是真命题，则实数c的取值范围为________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　(2,3)
解析　由于p和q都是真命题，所以p，q都是真命题，
所以解得2＜c＜3.
故实数c的取值范围为(2,3)．
10．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　(－∞，3]
解析　对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
11．有下列四个命题：
p1：存在x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：存在x∈(0,1)，x＞x；
p3：任意x∈(0，＋∞)，x＞x；
p4：任意x∈，x＜x.
其中为真命题的是________．
考点　量词与命题
题点　全称(特称)命题的真假性判断
答案　p2，p4
解析　因为幂函数y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以当x∈(0,1)时，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即＞，所以命题p2是真命题；因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈(0,1]时，y＝≥0，当x∈(1，＋∞)时，y＝＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝x在上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝在上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
考点　全称(特称)命题的真假性判断
题点　全称(特称)命题的真假性判断
解　(1)是特称命题，是真命题．
(2)是全称命题，是假命题．
(3)是特称命题，是假命题．
13．若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]都成立，求实数t的取值范围．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的范围
解　因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1,1]，于是由题意可得对一切a∈[－1,1]，不等式t2－2at＋1≥1恒成立．
由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.
令f(a)＝2t·a－t2，
则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，
当t＝0时，显然f(a)≤0成立，
当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1,1]上恒成立，
则
即解得t≤－2或t≥2.
故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.
四、探究与拓展
14．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为(　　)
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
考点　量词与命题
题点　特称(全称)命题的真假性判断
答案　C
解析　①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
15．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
解　易知f(t)∈.
由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，当x＝2时，g(m)＝0，显然不等式不成立，
∴x≠2.
则g(m)＞0对任意m∈恒成立，
所以即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
3．3　全称命题与特称命题的否定
学习目标　1.理解全称命题和特称命题的否定的意义.2.会对全称命题和特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一　全称命题的否定
思考　尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案　(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理　写全称命题的否定的方法
(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
全称命题的否定是特称命题．
知识点二　特称命题的否定
思考　尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x∈R，x2＋1<0.
答案　(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理　写特称命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
特称命题的否定是全称命题．
1．命题綈p的否定为p.(√)
2．存在x∈M，p(x)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)
类型一　全称命题的否定
例1　写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
解　(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
解　(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)有些自然数的平方不是正数．
(3)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
类型二　特称命题的否定
例2　写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，是真命题．
(3)一切分数都是有理数，是真命题．
反思与感悟　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．
跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三　含量词的命题的应用
例3　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图像易知，Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解　由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟　含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“任意x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于特称命题“存在x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．任意x∈R，|x|＋x2＜0
B．任意x∈R，|x|＋x2≤0
C．存在x∈R，|x|＋x2＜0
D．存在x∈R，|x|＋x2≥0
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　C
2．存在m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017的否定是(　　)
A．任意m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017
B．存在m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 017
C．任意m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017
D．以上都不对
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　C
3．命题“任意x∈R，x＞sin x”的否定是________________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x∈R，x≤sin x
4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题的否定
答案　1
解析　其否定为：?x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意x∈R，x2＋2x＋2＝0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
考点　全称(存在)量词的否定
题点　含全称(存在)量词的命题的否定
解　(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
因为任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．
(2)至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
(3)任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是(　　)
①存在实数x，使得x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　B
解析　x2＋2≥2，故①是假命题；?x∈R，sin x≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　C
解析　由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是(　　)
A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　D
解析　易知命题p的否定为：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：任意x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p为假命题，那么a的取值范围是(　　)
A．a＜ B．0＜a≤ C．a≤ D．a≥
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案　C
解析　显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是.
5．下列命题中，假命题是(　　)
A．任意x∈R,2x－1>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0
C．存在x∈R，lg x<1 D．存在x∈R，tan x＝2
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　B
解析　对于任意x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当06．命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．任意n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
B．任意n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
C．存在n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
D．存在n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　D
解析　“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N＋或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)
A．存在x1∈R，f(x1)≤f(x0)
B．存在x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　C
解析　当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于任意x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而A，B，D为真命题，C为假命题．
二、填空题
8．若命题：“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由题意得Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.
9．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_________．
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　任意x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
10．设命题p：任意x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，＋∞)
解析　命题p的否定：存在x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，显然a∈R.
11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是____________________________.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
三、解答题
12．若命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解　x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为“任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.
故所求实数a的取值范围为[－3,1]．
13．已知p：任意a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝
sin的周期不大于4π.
(1)写出命题p的否定；
(2)当命题p的否定是假命题时，求实数b的最大值．
考点　全称量词的否定
题点　全称量词的命题的否定
解　(1)命题p的否定：存在a∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于命题p的否定是假命题，所以p是真命题，
所以任意a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为________________________________________________________________________．
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，
∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，
∴对a的系数讨论如下：
①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得
即
解得x＞或x＜－.
综上，x＞或x＜－.
15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙中至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个真命题；
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解　当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
解得a＞或a＜－1.
当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－.
(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
当甲真乙假时，a的取值范围是；
当甲假乙真时，a的取值范围是.
所以，实数a的取值范围为∪.
§4　逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1　逻辑联结词“且”
4．2　逻辑联结词“或”
学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一　“且”
思考　观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案　命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．
梳理　(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．
(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．
将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
知识点二　“或”
思考　观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案　命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
梳理　(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．
(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题．
将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)
2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)
3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)
4．若p：sin x≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)
类型一　含有“且”“或”命题的构成
命题角度1　简单命题与复合命题的区分
例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
考点　“且”“或”的概念
题点　把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解　(1)是p且q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p或q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p或q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．
跟踪训练1　命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．
考点　“且”的概念
题点　把命题写成“p且q”的形式
答案　p且q
命题角度2　用逻辑联结词构造新命题
例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
考点　“且”“或”的概念
题点　把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解　(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思与感悟　用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
跟踪训练2　指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)96是48与16的倍数；
(2)不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}．
考点　“且”“或”的概念
题点　把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解　(1)p且q：p：96是48的倍数；q：96是16的倍数．
(2)p或q：p：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1}，
q：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＞2}．
类型二　“p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3　分别指出“p或q”“p且q”的真假．
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交．
考点　“p且q”和“p或q”形式命题真假性判断
题点　判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假
解　(1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
反思与感悟　形如p或q，p且q命题的真假根据真值表判定．
跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
考点　“p且q”和“p或q”形式命题真假性判断
题点　判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假
解　(1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(3)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．
类型三　已知复合命题的真假求参数范围
例4　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
考点　“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，
所以所以m＞2.
因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，
所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.
因为p或q为真，p且q为假，
所以p为真，q为假或者p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
引申探究
本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围．
解　同例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，
1＜m＜3.
因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，
即解得2＜m＜3，所以m的取值范围为(2,3)．
反思与感悟　应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；
(2)讨论p，q的真假；
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
跟踪训练4　已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是________．
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　[1,3]
解析　由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3.
由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.
∵“p且q”为真，∴
解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3]．
1．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是(　　)
A．p为假命题 B．q为真命题
C．p或q为真命题 D．p且q为真命题
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案　C
解析　由题意，知p为真命题，q为假命题．
2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是(　　)
A．p：4＋4＝9，q：7＞4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案　B
3．已知命题p，q，若p为真命题，则(　　)
A．p且q必为真 B．p且q必为假
C．p或q必为真 D．p或q必为假
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”“p或q”形式命题的真假
答案　C
解析　p或q，一真则真，故必有p或q为真．
4．已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图像关于直线x＝π对称，则p且q是________命题．(填“真”或“假”)
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
答案　假
解析　由题意，知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p且q是假命题．
5．已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假．
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解．
所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．

一、选择题
1．“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　A
解析　p且q是真命题?p是真命题，且q是真命题?p或q是真命题；p或q是真命题?p且q是真命题．
2．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)，命题q：如果函数y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图像关于原点对称，则有(　　)
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假
C．p真q假 D．p假q真
考点　“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　C
解析　由命题p知，ax＋2a＝a，解得x＝－1，故过定点(－1,1)，而命题q为假命题．
3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)
A．p为真 B．q为真
C．p且q为假 D．p或q为真
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
答案　C
解析　函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假．故选C.
4．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　B
解析　∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，
∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，
∴a2－a>0，解得a<0或a>1.
∵p且q为假命题，p或q为真命题，∴p，q中一真一假．
①当p真q假时，得0≤a≤1；
②当p假q真时，得a>1.
由①②，得所求实数a的取值范围是a≥0.
5．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则(　　)
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
考点　“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　D
解析　命题p假，命题q真．
6．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是(　　)
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
答案　C
解析　点P(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
7．已知p：x2－2x－3＜0；q：＜1，若p且q为真，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－1,3)
C．(3，＋∞) D．(－∞，2)
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的值
答案　A
解析　由命题p，得－1＜x＜3，
当q为真命题时，得x＜2或x＞3，
因为p且q为真命题，所以即－1＜x＜2.
二、填空题
8．设p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p且q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的值
答案　3　－3
解析　若p且q为真命题，则p，q均为真命题，
所以有解得
9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点　“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　[1,2)
解析　x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，
由于命题是假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
10．设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________．
考点　“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　∪
解析　若p真，则0若q真，有即a>.
若q假，则a≤，又p和q有且仅有一个为真，
所以当p真q假时，0当p假q真时，a≥1.
综上所述，a∈∪.
三、解答题
11．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
解　(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．
12．已知p：c2＜c和q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0，若p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　由不等式c2＜c，得0＜c＜1.
由对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0，
得(4c)2－4＜0，得－＜c＜.
由已知，得p和q必有一个为真、一个为假．
当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0.
故实数c的取值范围是∪
13．设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
考点　“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，
当a＝0时，f(x)＝lg(－4x)的定义域不为R，不合题意，当a≠0时．
则(－4)2－4a2<0且a>0，即解得a>2.
若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>max.
令g(x)＝2x－＋1，可知g(x)在(－∞，－1)上是增函数，当x＝－1时取得最大值，g(x)max＝1.故a≥1.
又p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中一个为真命题，另一个为假命题．
若p真q假，则无解；
若p假q真，则则1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为[1,2]．
四、探究与拓展
14．命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；命题q：2是集合{x|x2＜a}中的元素．若“p且q”是真命题，则a的取值范围为________．
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　(4，＋∞)
解析　由p为真命题，得a＞1，由q为真命题，得a＞4.因为p且q为真命题，所以解得a＞4.
15．已知p：(x＋1)(x－5)≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，p或q为真命题，p且q为假命题，求实数x的取值范围．
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　(1)由(x＋1)(x－5)≤0，得－1≤x≤5，
∵p是q的充分条件，∴
解得m≥4.
(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6.
根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，
无解；
当p假q真时，
解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.
综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．
4．3　逻辑联结词“非”
学习目标　1.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“非p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．
知识点一　逻辑联结词“非”
思考　观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．
答案　两组命题中，命题q都是命题p的否定．
梳理　(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点二　命题的否定与否命题
思考　已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？
答案　命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．
梳理　(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必定相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面．
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．
1．命题的否定和否命题是一回事．(×)
2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)
3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)
4．一个命题的否定的否定仍是原命题．(√)
类型一　綈p命题及构成形式
例1　写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
解　(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
反思与感悟　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”等．
跟踪训练1　分别写出下列命题的“非p”形式．
(1)p：函数y＝x2与函数y＝ln x没有交点；
(2)p：π是有理数；
(3)p：在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B.
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
解　(1)綈p：函数y＝x2与函数y＝ln x有交点；
(2)綈p：π不是有理数；
(3)綈p：在△ABC中，若A＞B，则sin A≤sin B.
类型二　复合命题的真假判断
例2　分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图像有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数．
(2)p：7＞7；q：7＝7.
考点　綈p形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
解　(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
引申探究
在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)且q”“(綈q)或p”的真假；对(2)判断“p且(綈q)”“p或(綈q)”“(綈p)且(綈q)”“(綈p)或(綈q)”的真假．
解　(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)且q为真命题，(綈q)或p为假命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，
所以綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p且(綈q)为假命题，p或(綈q)为假命题；
(綈p)且(綈q)为假命题，(綈p)或(綈q)为真命题．
反思与感悟　判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．
跟踪训练2　已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，则下列结论：
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中所有正确结论的序号是________．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断非p的真假
答案　①④⑤⑥
解析　p为假命题，q为真命题．
类型三　命题的否定的真假应用
例3　已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非p”命题的真假求参数的取值范围
解　命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
即，解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
等价于a＝0或
由得解得0因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
反思与感悟　求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
跟踪训练3　已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p且q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案　{x|－1解析　由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p且q：x∈{－1,0,1,2}．綈p：x<－1或x>2，因为“p且q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－11．若p是真命题，q是假命题，则(　　)
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　D
解析　因为p是真命题，q是假命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
2．命题p：方程x2－ax＋1＝0无实数根，綈p为假命题，则a的取值范围为(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案　C
解析　因为綈p为假命题，所以p为真命题，
得Δ＝(－a)2－4＜0，即－2＜a＜2，故选C.
3．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是________________，命题的否定是________________．
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
答案　若a≥b，则2a≥2b　若a＜b，则2a≥2b
4．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若(綈p)且q为真命题，则实数a的取值范围为________．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案　
解析　由函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，
知0＜a＜1.
若抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
则Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
∵(綈p)且q为真命题，∴p为假命题，且q为真命题，
于是有∴a＞.
∴所求实数a的取值范围是.
5．已知p：方程x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0的一个根大于1，一个根小于1，q：函数y＝在(－2，＋∞)上是减函数．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
考点　“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　设方程x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0的两根为x1，x2，
由题意不妨设x1＜1，x2＞1，所以(x1－1)(x2－1)＜0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0.
又因为x1＋x2＝－(a2－5a＋4)，x1x2＝－1，
所以a2－5a＋4＜0，所以1＜a＜4，即p：1＜a＜4.
若函数y＝在(－2，＋∞)上是减函数，
则a2－2a－2＞1，解得a＜－1或a＞3，
即q：a＜－1或a＞3.
因为p或q为真，p且q为假，所以p，q必为一真一假．
当p真q假时，a的取值范围为1＜a≤3；
当p假q真时，a的取值范围为a＜－1或a≥4.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪(1,3]∪[4，＋∞)．
1．若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．
2．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．
3．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．
一、选择题
1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　“非”的概念
题点　判断綈p的真假
答案　A
解析　因为綈p为真，所以p为假，那么p且q为假，所以“綈p为真”是“p且q为假”的充分条件；反过来，若“p且q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p且q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件．
2．若p是真命题，綈q是假命题，则(　　)
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．(綈p)且q为真命题
考点　“非”的概念
题点　判断綈p的真假
答案　A
解析　由綈q为假命题，得q为真命题，故p且q为真命题．p或q为真命题，綈q为假命题，(綈p)且q为假命题．
3．命题“p且q”与“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是(　　)
A．命题“綈p”与“綈q”真假不同
B．命题“綈p”与“綈q”至多有一个是假命题
C．命题“綈p”与“q”真假相同
D．命题“(綈p)且(綈q)”是真命题
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　D
解析　“p且q”为假，则p与q中至少有一个为假，而“p或q”为假，则p，q都为假，故綈p，綈q均为真．
4．已知p：x2＋2x－3>0，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　A
解析　p：{x|x>1或x<－3}，q：{x|2则綈p：{x|－3≤x≤1}，綈q：{x|x≥3或x≤2}．
∴(綈p)?(綈q)且(綈q)?(綈p)．
即綈p是綈q的充分不必要条件．
5．已知命题p：存在x∈R，有sin x＋cos x＝2；命题q：任意x∈，有x>sin x．则下列命题是真命题的是(　　)
A．p且q B．p或(綈q)
C．p且(綈q) D．(綈p)且q
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　D
解析　由题意，知命题p是假命题，命题q是真命题，
所以(綈p)且q为真命题．
6．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5，x∈R}，则P是綈Q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
答案　A
解析　∵Q＝{x|x≤0或x≥5，x∈R}，
∴綈Q＝{x|07．给出下列两个命题，命题p：“x>3”是“x>5”的充分不必要条件；命题q：函数y＝log2(－x)是奇函数，则下列命题是真命题的是(　　)
A．p且q B．p或(綈q)
C．p或q D．p且(綈q)
考点　“非p”形式命题的真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　C
解析　因为“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，故命题p为假命题，綈p为真命题；因为函数的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝log2(＋x)＋log2(－x)＝log21＝0，所以命题q为真命题，綈q为假命题；则p且q为假命题，p或(綈q)为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，故选C.
二、填空题
8．命题p：“三角函数y＝sin 5x的周期是2π.”则綈p：___________________________.
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
答案　三角函数y＝sin 5x的周期不是2π
9．命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是____________________________________________________________．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非”命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－3]
解析　由题意，知－≥4，解得a≤－3.
10．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：
①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　②
解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面或相交．
三、解答题
11．写出下列命题的否定及否命题．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y全为零；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定綈p
解　(1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y不全为零．
否命题：若m2＋n2＋x2＋y2≠0，
则实数m，n，x，y不全为零．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
12．已知p：关于x的不等式|2x－3|0)，q：x(x－3)<0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　由“非”命题的真假求参数的取值范围
解　由|2x－3|0)，得由x(x－3)<0，得0若綈p是綈q的必要不充分条件，
则q是p的必要不充分条件，
∴或解得0故实数m的取值范围是(0,3)．
13．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0}．
(1)当a＝时，求(?UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
考点　复合命题真假性的判断
题点　由复合命题的真假求参数的取值范围
解　(1)A＝{x|2当a＝时，B＝.
∴?UB＝，
∴(?UB)∩A＝.
(2)由綈p是綈q的必要条件，得q是p的必要条件，即p?q，可知A?B，
由a2＋2>a，得B＝{x|a∴解得a≤－1或1≤a≤2.
即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．
四、探究与拓展
14．已知p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点，q：若＜1，则x＞1，那么下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．(綈p)或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)
考点　“非p”形式命题真假性的判断
题点　判断綈p的真假
答案　D
解析　由题意知，命题p为真命题，q为假命题，只有(綈p)或(綈q)为真命题．
15．设p：q：x2＋y2≤r2(r＞0)，若q是綈p的充分不必要条件，求实数r的取值范围．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的取值范围
解　设p，q对应的集合分别为A，B，则集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，集合?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合．问题可转化为利用A?(?RB)求解．因为A?(?RB)表示区域A内的点到原点的最短距离大于r，所以结合图像可知，只需直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最短距离大于或等于r.因为原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝，所以实数r的取值范围为.
滚动训练(一)
一、选择题
1．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为(　　)
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
2．下列命题中为真命题的是(　　)
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：存在x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0
考点　命题的概念
题点　判断命题的真假
答案　B
解析　A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；D中，求含有一个量词的命题的否定时，要特别注意不等号的方向，错误．
3．已知p和q是两个命题，若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　根据逆否命题的等价性知，若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
4．给出下列三个命题：
①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；
②若p且q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题p：任意x∈R,2x＞0，则綈p：存在x∈R,2x≤0.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　B
解析　①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．
5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　C
解析　命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.
6．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于07．已知命题p：存在x∈R，mx2＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p且q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案　C
解析　由题意可知，若p且q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
二、填空题
8．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若“(綈q)且p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析　因为“(綈q)且p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有＜0，即2＜x＜3，
所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，
解得x＞1或x＜－3，
由
解得x＜－3或1＜x≤2或x≥3.
9．命题“任意x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为___________________________________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x∈R，lg(x2＋1)－x≤0
解析　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为“存在x∈R，lg(x2＋1)－x≤0”．
10．设命题p：若ex＞1，则x＞0，命题q：若a＞b，则＜，则命题p且q为________命题．(填“真”或“假”)
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
答案　假
解析　∵命题p：若ex＞1，则x＞0，
∴可知命题p是真命题．
∵命题q：若a＞b，则＜，
当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但＞，
∴命题q为假命题，∴命题p且q为假命题．
11．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“存在x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．
考点　特称命题的真假性判断
题点　存在性问题求参数的取值范围
答案　(－∞，－2)
解析　因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像过点(0,1)，
所以若命题“存在x＞0，f(x)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，
所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
12．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　由充分、必要条件求取值范围
答案　[4，＋∞)
解析　由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，设A＝{x|－1≤x≤4}，
若|x－3|≤m有解，
则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵綈q是綈p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
则或
即或得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
13．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；
(2)p：A?B，q：A∪B＝B.
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，
∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q?p.
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴p? q，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵A?B?A∪B＝B，∴p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即q?p，
∴p是q的充分不必要条件．
四、探究与拓展
14．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
解　①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.
此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得
解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
解　若命题p为真，则0＜c＜1；
若命题q为真，因为2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞.
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p，q一真一假．
当p真q假时，c的取值范围是；
当p假q真时，c的取值范围是(1，＋∞)．
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
章末复习
学习目标　1.理解命题及四种命题的命题间的相互关系.2.掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求全称命题和特称命题的否定.4.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假．
1．命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题，关键是：
①为陈述句；
②能判断真假．
(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
(3)四种命题之间的关系如图所示．
2．充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．
3．简单的逻辑联结词与量词
(1)常见的逻辑联结词有“且”“或”“非”．
(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词．
(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词．
4．含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题．
1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(√)
2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)
3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(×)
4．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．(×)
类型一　命题及其关系
例1　(1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”．
其中是真命题的是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①③
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　D
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A．p或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)
考点　“p∨q”形式的命题
题点　判断“p∨q”形式命题的真假
答案　A
解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．
反思与感悟　(1)互为逆否命题的两命题真假性相同．
(2)“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
跟踪训练1　命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(　　)
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
类型二　充要条件
例2　(1)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)当b＜0，且x＝－＞0时，
f(x)取得最小值－，
则f(x)的值域为，
则当f(x)＝－时，
f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，故是充分条件；
当b＝0时，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，
故不是必要条件．故选A.
(2)当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，
即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
反思与感悟　分清条件与结论，准确判断p?q，还是q?p.
跟踪训练2　已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点　必要条件的概念及判断
题点　由必要条件求参数的取值范围
解　由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
得1－m≤x≤1＋m.
由≤2，得－2≤x≤10.
由綈p是綈q的必要不充分条件知，
p是q的充分不必要条件，
∴
且不等式组中的等号不能同时成立，得m≥9.
故实数m的取值范围是[9，＋∞)．
类型三　全称命题与特称命题
例3　命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．任意x∈R，存在x∈N＋，使得n＜x2
B．任意x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2
C．存在x∈R，存在x∈N＋，使得n＜x2
D．存在x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定“綈p”
答案　D
解析　由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是“存在x∈R，任意n∈N＋，使得n＜x2”．
反思与感悟　(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．
跟踪训练3　已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则綈p是(　　)
A．存在x∈R，sin x≥1 B．存在x∈R，sin x>1
C．任意x∈R，sin x≥1 D．任意x∈R，sin x>1
考点　“非”的概念
题点　写出命题p的否定“綈p”
答案　B
解析　所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，
存在x∈R，sin x>1，故选B.
1．下列说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“存在x∈R，x2＞1”的否定是“任意x∈R，x2＞1”
C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题
考点　四种命题的概念
题点　四种命题定义的应用
答案　D
解析　A中，命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．
B中，命题“存在x∈R，x2＞1”的否定是“任意x∈R，x2≤1”，∴B错误．
C中，“若x＝y，则cos x＝cos y”为真命题，则其逆否命题也为真命题，∴C错误．
D中，命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题“若cos x＝cos y，则x＝y”为假命题，∴D正确．
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
3．分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题的真假．
(1)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(2)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　判断复合命题的真假
解　(1)∵p：?是{0}的真子集，是真命题，q：0∈?，是假命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是假命题．
(2)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，是假命题，
q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题．
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
答案　(－∞，0]
解析　由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等，
q：平行四边形的对角线互相平分；
(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，
q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　判断复合命题的真假
解　(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分．
綈p：平行四边形的对角线不相等．
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两个根符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两个根符号相同．
因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
2．判断命题真假的步骤
??

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．全称命题“任意x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是(　　)
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是整数，则x?Z
C．若2x＋1不是整数，则x∈Z
D．若2x＋1不是整数，则x?Z
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　A
2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是(　　)
A．两个无理数的和必是无理数
B．存在一个实数x，使＝0
C．至少有一个实数x，使x2<0
D．有个实数的倒数等于它本身
考点　特称命题的识别
题点　特称命题的真假性判断
答案　D
解析　A项，为全称命题；B项，是不能为零的，故B为假命题；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C为假命题；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D为真命题．
3．命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R,2x>0
B．存在x∈R,2x≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　D
解析　特称命题的否定是全称命题．
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　若x＝4，则a＝(4,3)，
∴|a|＝＝5，
若|a|＝5，则＝5，
∴x＝±4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．
5．命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　D
解析　“且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．
6．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．任意x?R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝x
C．存在x?R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　D
解析　全称命题的否定是特称命题，所以“任意x∈R，x2≠x”的否定为“存在x∈R，x2＝x”．
二、填空题
7．若命题p：常数列是等差数列，则綈p：_________________________________________.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在一个常数列，不是等差数列
解析　全称命题的否定是特称命题．
8．把“奇函数的图像关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为__________________________．
考点　命题的结构形式
题点　改写成标准的若p则q形式
答案　若一个函数是奇函数，则这个函数的图像关于原点对称
9．命题p：若＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　假
解析　其原命题的否命题是：若≠b，则a，b，c不成等比数列．
若b＝－，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．
10．定义f(x)＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．
①f(2x)＝2f(x)；②若f(x)＝f(y)，则x－y<1；③任意x，y∈R，f(x＋y)≤f(x)＋f(y)；④f(x)＋f＝f(2x)；⑤函数f(x)为奇函数．
考点　命题的真假判断
题点　命题真假的判断
答案　②③
解析　根据新定义“取上整函数”的意义f(2x)＝2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)＋f＝f(2x)不一定成立，如x取0；函数f(x)不满足奇函数的关系，如f(1.6)＝f(2)，f(－1.6)＝f(－1)．故答案为②③.
三、解答题
11．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　由充分、必要条件求参数的取值范围
解　由题意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴或
∴0≤a≤.
故实数a的取值范围为.
12．求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
证明　先证充分性，若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．
因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)．
因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，
所以f(x)是偶函数．
再证必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，
从而|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2，
展开并整理，得ax＝0.因为x∈R，所以a＝0.
13．已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的取值范围
(1)证明　当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解　∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
当a＝0时，2x－1≤0不恒成立，不合题意，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　由直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，易知k≠0，且圆心O到直线l的距离d＝＜1，所以|AB|＝2＝2＝2.
若k＝1，则|AB|＝，d＝，
所以△OAB的面积为××＝.
反过来，若△OAB的面积为，
则S＝××2＝＝，
解得k＝±1.
故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
15．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求参数的取值范围
解　(1)当a＝1时，由x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3.
由≤0，得2＜x≤3.
∵p且q为真，∴p真，q真，
∴x应满足
解得2＜x＜3，
即实数x的取值范围为(2,3)．
(2)綈q：实数x满足x≤2或x＞3，
綈p：实数x满足x2－4ax＋3a2≥0，
由x2－4ax＋3a2≥0得x≤a或x≥3a.
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴a≤2且3a＞3，解得1＜a≤2，
∴实数a的取值范围为(1,2]．
模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
答案　A
解析　若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
2．命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是(　　)
A．“若a>b，则a－1≤b－1”
B．“若a>b，则a－1C．“若a≤b，则a－1≤b－1”
D．“若a考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　C
解析　否命题为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
3．双曲线－＝1的焦距是(　　)
A．4 B．2 C．8 D．4
考点　双曲线的标准方程
题点　由标准方程求a，b，c
答案　C
解析　依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4，所以焦距2c＝8.
4．已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a<b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　∵ln a>ln b?a>b>0，a<b?a>b.
∴a>b>0是a>b的充分不必要条件，
∴“ln a>ln b”是“a<b”的充分不必要条件．
5．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　双曲线的简单几何性质
题点　双曲线的简单几何性质
答案　D
解析　由－＝－1，得－＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,2)，(0，－2)．
∴椭圆方程为＋＝1.
6．若命题“存在x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1
考点　特称命题的真假性判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　B
解析　根据题意可得任意x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，∴－1≤a≤3.
7．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　A
解析　设AB＝1，则AA1＝2，以D1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系D1xyz，
则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，
B(1,1,2)，C(0,1,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即
令z＝1，则n＝(－2,2,1)，
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sin θ＝＝.
8．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案　A
解析　由－＝1，
得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9，
∴右焦点的坐标为(3,0)，
故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)，
故＝3，∴抛物线方程为y2＝12x.
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41 B．15 C．9 D．1
答案　B
10．已知命题p：“若a>b>0，则<＋1”，则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　B
解析　对于命题p，当a>b>0时，有<，则必有<＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当<＋1时，得<，得a>>0，不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.
11．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，
可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.
将点M(2a，a)代入－＝1，可得a2＝b2，
∴e＝＝＝，故选D.
12．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　B
解析　如图所示，S△ABC＝×××sin 60°＝.
设O点是△ABC的中心，
则OP⊥平面ABC，
∠OAP即为PA与平面ABC所成的角．
∴V三棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·OP
＝·OP＝，
∴OP＝.
又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝＝，
又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　判断复合命题的真假
答案　綈p
解析　p为假命题，因为a的符号不确定，q为假命题，因为a，b的大小不确定．所以p且q假，p或q假，綈p真．
14．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　平面向量基本定理
答案　－1
解析　＝(－2x)·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
15．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
考点　
题点　
答案　120°
解析　在椭圆＋＝1中，a2＝9，a＝3，b2＝2，
又c2＝a2－b2＝7，所以c＝.
因为|PF1|＝4，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF2|＝6－4＝2.
所以cos∠F1PF2＝
＝＝－，
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝120°.
16．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为________．
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求线面角
答案　
解析　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，D1(0,0,1)，＝(－1，－2,1)，
因为AB⊥平面BCC1B1，
所以＝(0,2,0)为平面BCC1B1的法向量．
设直线BD1与平面BCC1B1所成角为θ，
则有sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围．
考点　“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
解　将方程－＝1改写成＋＝1，
只有当1－m＞2m＞0，即0＜m＜时，
方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于0＜m＜；
因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，
所以m＞0，且1＜＜4，解得0＜m＜15，
所以命题q等价于0＜m＜15.
若p真q假，则m不存在；
若p假q真，则≤m＜15.
综上可知，m的取值范围为.
18．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
解　(1)由消去y，得
(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－故a的取值范围是{a|－＜a＜且a≠±}．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，符合题意，且满足Δ＞0，故a＝±1.
19．(12分)已知A，B是抛物线y2＝x上不同于原点O的两点，OA⊥OB.
(1)求证：直线AB恒过定点T，且以OT为直径的圆过点D(2,1)；
(2)若直线AB与⊙O：x2＋y2＝5相切，求切点坐标及直线AB的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
(1)证明　设直线AB的方程为x＝my＋t，t＞0，代入y2＝x，得2y2－5my－5t＝0，Δ＝25m2＋40t＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1y2＝－，x1x2＝·＝(y1y2)2＝t2.
又⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
即t2－t＝0，解得t＝或0(舍)．
所以直线AB的方程为x＝my＋，恒过点T.
所以·＝(2,1)·＝2×＋1×1＝0，
所以⊥，即OD⊥TD，
所以点D在以OT为直径的圆上．
(2)解　由(1)知直线AB的方程为2x－2my－5＝0.
由题意得＝.
解得m＝±.
当m＝时，切线AB的方程为2x－y－5＝0，
此时，切点坐标为(2，－1)．
当m＝－时，切线AB的方程为2x＋y－5＝0，
此时，切点坐标为(2,1)．
20．(12分)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
考点　空间向量求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面平行
证明　如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，
则n＝(0,3,4)，
所以平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0，所以⊥n.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
21．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝上，求m的值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时弦中点问题
解　(1)由题意得解得
故椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－12(m2－2)＝24－8m2＞0，此时－＜m＜.
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以2＋2＝，解得m＝±1，符合Δ＞0，∴m＝±1.
22．(12分)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．
(1)求证：BD1∥平面A1DE；
(2)求证：D1E⊥A1D；
(3)在线段AB上是否存在点M，使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为 ？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面平行
(1)证明　由题意可得D1D⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．
＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1DE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则得
取x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE.
(2)证明　由题意得＝(1,1，－1)，
＝(－1,0，－1)，
·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，
⊥，故D1E⊥A1D.
(3)解　线段AB上存在点M，使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为.
设M(1，y0,0)(0≤y0≤2)，
因为＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，
设平面D1MC的一个法向量为v1＝(x，y，z)，
则得
取y＝1，则v1＝(2－y0,1,2)是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为v2＝＝(0,0,1)，
要使平面MCD1与平面MCD夹角的大小为，
则cos＝|cos〈v1，v2〉|＝
＝＝，
解得y0＝2－(0≤y0≤2)．
所以当AM＝2－时，平面MCD1与平面MCD夹角的大小为.

1　利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2　如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，
|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案　
3．利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA，PB互相垂直，|PA|＝|PB|.
又OA⊥PA，OB⊥PB，|OA|＝|OB|，
则四边形OAPB是正方形，
故|OP|＝|OA|，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4．综合类
例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
解　由正弦定理得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
3　抛物线的焦点弦
例1　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝xB＋xB＋p；
(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A，O，B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明　当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，
即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
由A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，即＋＝.
点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例2　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6
4　求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．
1．定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫作定义法．
例1　如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围．
解　(1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，
∴|NA|＝|NM|.
∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，
∴N的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．
当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.
设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，
∴　消去x得y＝.
∵离心率e∈，∴≤e2≤，
即≤≤.∴≤a2≤4.
∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，
∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．
又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.
∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2]．
2．直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．
例2　已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程．
解　如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，
则d＋132＝r2，d＋122＝r2，
∴d－d＝25，
即2－2＝25，
化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.
点评　若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可．
3．待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．
例3　已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．
解　椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，
所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
所以|OF|＝c，|AF|＝＝
＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
4．相关点法(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．
例4　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
分析　设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．
解　设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，
∵点P是线段QN的中点，
∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1，
即x0－y0＝x－y.②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．
又∵点Q在双曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得2－2＝.
∴线段QN的中点P的轨迹方程为
2－2＝.
点评　本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P，Q两点坐标间的关系，用相关点法求解．
5．参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法．
例5　已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．
解　如图，设OP的斜率为k，
则P(2,2k)．当k≠0时，
直线l的方程为y＝－x；①
直线m的方程为y＝2k(x－1)．②
联立①②消去k，得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．
当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．
5　解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c，
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设直线l的方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意知y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意知mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′的坐标为(4,0)，根据双曲线的定义知，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＞0，
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2 ＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－(k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
7　圆锥曲线中的易错点剖析
1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1　长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB中点P的轨迹方程．
错解　如图所示，设A(0，y)，B(x,0)．由中点坐标公式可得P点坐标为，连接OP，由直角三角形斜边上的中线性质有
|OP|＝|AB|＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析　求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为?x，y?.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解　设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2．忽视定义中的条件而致误
例2　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
答案　D
3．忽视标准方程的特征而致误
例3　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例4　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
错解一　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0)．
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或(舍去)．
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.

正解　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝－m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
8　圆锥曲线中的数学思想方法
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若|AB|＝2，求椭圆的方程．
解　由
消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，
∴ ·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2　若点(x，y)在＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解　∵＋＝1(b>0)，∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．
例3　如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．
解　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.①
又∵O，Q，R三点共线，∴kOQ＝kOR，即＝.②
由①②得y＝.③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)．
4．分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例4　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
5．数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．
例5　在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则B，C.
设点A坐标为(x，y)，
由题设，得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m＜m.
可知点A在以B，C为焦点的双曲线上．
2a＝m，∴a＝.
又c＝m，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于(　　)
A．22 B．21 C．20 D．13
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　A
解析　由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝26，
又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　C
解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝，
故右焦点坐标为.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝4x
C．y＝x D．y＝2x
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　D
解析　根据题意，有b＝2a，则＝2，
故其中一条渐近线方程为y＝2x，故选D.
4．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线的方程求渐近线方程
答案　D
解析　∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
5．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　B
解析　设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性，得点A的纵坐标为2，代入抛物线方程得x＝，即点A.易知点D，由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以＋8＝＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．
6．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)
A．4 B．2 C．－4 D．－2
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　D
解析　椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，即为抛物线x2＝2py的焦点，∴＝－1，∴p＝－2.
7．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　B
解析　由tan＝＝，有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e＝＝2，故选B.
8．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r的值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线方程研究其他问题
答案　D
解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，
即x±y＝0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，
得d＝＝＝r，故r＝，故选D.
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的简单几何性质
题点　求椭圆的离心率
答案　D
解析　由题意可得解得＝，
∴e＝＝.
10．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．3 C. D．2
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　由已知，有F1(－c,0)(c＞0)，F2(c,0)，
设双曲线的一条渐近线方程为l：y＝x，
即bx－ay＝0，则点F2到l的距离为＝b，
设点F2关于渐近线的对称点为M，交渐近线于点A，则MF2⊥l，|MF1|＝|OF1|＝c.
因为O，A分别为|F1F2|，|F2M|的中点，
所以OA∥MF1，且|OA|＝|MF1|＝c.
在Rt△AOF2中，∠OAF2＝90°，|OF2|＝c，|OA|＝c，
所以|AF2|＝c.
因为|AF2|＝b，所以b＝c，a＝c，
离心率e＝＝2，故选D.
11．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　A
解析　由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．
因此满足条件的C点有4个，故选A.
12．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使＝e，则·的值为(　　)
A．3 B．2 C．－3 D．－2
考点　双曲线的标准方程
题点　双曲线的定义与方程的综合
答案　B
解析　双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
可得||＝2c＝4，在△PF1F2中，
由正弦定理，得＝＝e＝2，
所以点P在双曲线的右支上，|PF1|－|PF2|＝2，
结合这两个条件，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由余弦定理，得cos〈，〉
＝＝，
所以·＝4×2×＝2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是__________________．
考点　由双曲线的简单几何性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案　－＝1
解析　设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
∵所求双曲线经过点(3，－3)，∴－＝λ，
∴λ＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
14．过椭圆＋＝1的焦点F的弦中最短弦长是__________________________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求弦长
答案　
解析　由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.
15．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|＝3|BF|，则l的斜率是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　±
解析　∵抛物线C的方程为y2＝4x，
∴它的焦点为F(1,0)，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去x，得y2－y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得y1＋y2＝①，y1y2＝－4②，
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1＋3y2＝0，可得y1＝－3y2，
代入①②得－2y2＝，且－3y＝－4，
消去y2，得k2＝3，解得k＝±.
16．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，则a的最大值为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0，
可得a2＋b2＞1，
且
∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴－＋1＝0，
整理得a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2(a2－c2)，
2a2－a2e2＝2a2(a2－a2e2)，
2a2＝＝1＋，
∵e∈，∴2a2∈，
即amax＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．
考点　椭圆标准方程求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　设椭圆的方程为＋＝1，
双曲线的方程为－＝1，半焦距c＝，
由已知，得a1－a2＝4，∶＝3∶7，
解得a1＝7，a2＝3，
所以b＝36，b＝4，
所以两条曲线的方程分别为 ＋＝1，－＝1.
18．(12分)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，求|FA|的取值范围．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
解　设点A的横坐标为x1，
则|FA|＝x1＋＝＋
＝＋|AF|cos θ，所以|AF|＝，
由θ≥，得－1＜cos θ≤，2－≤2(1－cos θ)＜4，
＜≤＝1＋，
即|FA|的取值范围为.
19．(12分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，求∠F1PF2的大小．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　由椭圆方程，得a＝2，c＝，
设||＝m，||＝n.
由椭圆定义，知m＋n＝2a＝4.①
因为|＋|＝2，所以|＋|2＝12，
即m2＋n2＋2mncos∠F1PF2＝12，②
在△F1PF2中，由余弦定理，得
m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(2c)2＝12，③
②＋③，得m2＋n2＝12，
又由①得m2＋n2＋2mn＝16，从而得mn＝2，
将m2＋n2＝12，mn＝2代入②，
解得cos∠F1PF2＝0，所以∠F1PF2＝.
20．(12分)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，求|BC|.
考点　直线与抛物线的位置关系
考点　直线与抛物线的综合问题
解　不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜，
B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意可知|BF|＝3，点B在x轴的上方，
过点B作该抛物线准线的垂线，垂足为B1，
则|BB1|＝|BF|＝3，＝，由此可得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
焦点F(1,0)，则cos θ＝＝＝，
则sin θ＝＝，
因此tan θ＝＝2，
故直线l的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，得8(x－1)2＝4x，
即2x2－5x＋2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线的定义，知|BC|＝|BF|＋|CF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
21．(12分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
解　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝＝2.
由2＝6，解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
22．(12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的综合问题
解　(1)由已知得c＝2，＝，
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)＞0，且x1＋x2＝－m.
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.

§1　椭　圆
1．1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．
知识点一　椭圆的定义
思考　给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理　(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的集合是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的集合是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此集合为空集
知识点二　椭圆的标准方程
思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.
1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的集合是椭圆．(×)
2．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的集合是椭圆．(×)
3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)
4．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆．(×)
类型一　椭圆定义的应用
例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的集合是椭圆．
反思与感悟　(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1　(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的集合为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的集合为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　②
解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
(2)已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10＞6＝|C1C2|，
由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
类型二　椭圆的标准方程
例2　求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．
考点　椭圆定义及标准方程的应用
题点　椭圆标准方程的应用
解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．
解　由题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ＞－b2)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ＞－b2)．
跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意可知2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
类型三　求与椭圆有关的轨迹方程
例3　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　以BC的中点O为坐标原点，过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8可知点B(－4,0)，
C(4,0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
反思与感悟　求动点的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．
跟踪训练3　如图，设定点A(6,2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求椭圆的标准方程
解　设M(x，y)，P(x1，y1)．
∵M为线段AP的中点，
∴
又∵＋＝1，
∴点M的轨迹方程为＋＝.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积＝________.
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案　4
解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，且|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
4．在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案　4
解析　把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.
5．若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝12＞6＝|AC|，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；
当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点．在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上．分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．
一、选择题
1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　B
解析　当||＋||＞||时，M的轨迹才是椭圆．
2．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　　)
A．9 B．4
C．3 D．2
考点　椭圆的标准方程
题点　已知椭圆的焦点位置、焦距求参数
答案　C
解析　由题意可知25－m2＝16，解得m＝3.
3．已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为(　　)
A．16 B．20
C．32 D．40
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　D
解析　结合椭圆的定义，知a＝10，且△F1MN的周长为4a＝40.
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案　B
解析　由|AB|＋|AC|＝12＞|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(x≠0)．
5．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案　B
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝.
又因为∠F1PF2∈[0°，180°)，
所以∠F1PF2＝60°.
6．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆标准方程的应用
答案　C
解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．直线
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　B
解析　设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
二、填空题
8．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________．
考点　椭圆的标准方程
题点　由定义求标准方程
答案　＋x2＝1
解析　由已知得2a＝8,2c＝2，
所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
9．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆标准方程的应用
答案　4
解析　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
10．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆标准方程的应用
答案　(0，±1)
解析　根据题意，设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．
F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
其坐标分别为(－，0)，(，0)，
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．
∵＝5，∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，
∴＋n2＝1，＋2＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
11．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　15
解析　由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，
所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
三、解答题
12．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为b2，求cos∠F1PF2的值．
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
解　依题意可得

整理得|PF1|·|PF2|＝.
∵△PF1F2的面积为b2，
∴××sin∠F1PF2＝b2，
∴1＋cos∠F1PF2＝sin∠F1PF2，
又∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1，
∴cos∠F1PF2＝(cos∠F1PF2＝－1舍去)．
13．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的标准方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)把M的纵坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即x2＝9，
解得x＝±3，即M的横坐标为3或－3.
(2)椭圆＋＝1的焦点在x轴上且c2＝9－4＝5.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a2＞5)，
把M点坐标代入椭圆方程，得＋＝1，
解得a2＝15(a2＝3舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　B
解析　由椭圆定义，知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
且已知|MF1|－|MF2|＝1，
所以|MF1|＝，|MF2|＝.
又|F1F2|＝2c＝2，
所以|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，
因此∠MF2F1＝90°，
即△MF1F2为直角三角形．
15.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20＞12.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1，
即＋＝1(x≠±30).
1.2　椭圆的简单性质(一)
学习目标　1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点
思考　在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
答案　在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．
梳理　椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
知识点二　椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比称为椭圆的离心率，即＝e，因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(×)
2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(×)
4．设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√)
类型一　椭圆的简单性质
例1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解　由已知得＋＝1(m＞0)，
因为0＜m2＜4m2，
所以＞，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，
离心率e＝＝＝.
反思与感悟　从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
类型二　由简单性质求椭圆的标准方程
例2　(1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案　D
解析　由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D.
(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________________________________________________．
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案　＋＝1
解析　由已知，得焦点在x轴上，且
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟　此类问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．
跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有
∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
类型三　求椭圆的离心率
例3　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率
解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝－1.
反思与感悟　求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率．
跟踪训练3　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　D
解析　由题意可设|PF2|＝m(m＞0)，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
1．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案　B
解析　原方程可化为＋＝1，所以b2＝4，b＝2，从而短轴长为2b＝4.
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　A
解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴e＝＝cos 60°＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的性质求方程
答案　C
解析　依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是________________________________________________________________________．
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的性质求方程
答案　＋＝1
解析　由已知，得a＝4，b＝2，且椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程是＋＝1.
5．求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解　将椭圆方程变形为＋＝1，
得a＝5，b＝4，所以c＝3，
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10,2b＝8，
离心率e＝＝，
焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，
顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
一、选择题
1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案　B
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的性质求方程
答案　B
解析　由已知c＝，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，且焦点在y轴上，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．7,2， B．14,4，
C．7,2， D．14,4，
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案　B
解析　先将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的特征求方程
答案　A
解析　依题意得c＝2， a＋b＝10 ，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A. B. C. D.
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的特征求方程
答案　B
解析　∵a2＝2，b2＝m，e＝＝ ＝ ＝，∴m＝.
6．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D．－
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案　C
解析　椭圆方程可化简为＋＝1，
由题意，知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
7．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　C
解析　设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，故cos 60°＝＝＝，
解得＝，
故离心率e＝.
二、填空题
8．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　－1
解析　如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，
所以F2B⊥BF1.
又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
所以|BF1|＝c，|BF2|＝c，
由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，所以＝－1，
所以椭圆的离心率e＝－1.
9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的特征求方程
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
10．已知椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　
解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
11．在△ABC中，tan A＝，B＝.若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　
解析　由tan A＝，得sin A＝，cos A＝.
又B＝，∴sin B＝，cos B＝，
则sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理，得|BC|∶|CA|∶|AB|＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
不妨取|BC|＝1，|CA|＝，|AB|＝2.
以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立直角坐标系(C在x轴上方)，D是C在AB上的射影．
可求得|AD|＝，|OD|＝，|CD|＝，
∴点C.设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a2＝2，且＋＝1，解得b2＝，
∴c2＝a2－b2＝2－＝，
∴e2＝＝，又∵0＜e＜1，∴e＝.
三、解答题
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)，其焦距与长轴长的比值是，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解　椭圆方程可化为＋＝1.
因为m＞0，所以m－＝＞0，
所以m＞，所以a2＝m，b2＝，
所以c＝＝ .
由＝，得＝，解得m＝1，
所以a＝1，b＝，则椭圆的标准方程为x2＋＝1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的特征求参数
解　依题意得F1(－c,0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc)．
因为点B为线段CF1的中点，所以B.
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8.
因为0即e的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知c是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距，则的取值范围是(　　)
A．(1＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，]
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的特征求参数
答案　D
解析　椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b，c，斜边为a，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b＋c＞a，∴＞1，又∵2＝≤＝2(当且仅当b＝c时，取等号)，∴1＜≤，故选D.
15．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
考点　椭圆离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义，得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理，得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，|AB|＝4k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
1.2　椭圆的简单性质(二)
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考　类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系．
答案　有三种位置关系：相离、相切和相交
梳理　判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法
联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三　弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作弦长．弦长公式：|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√)
2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(√)
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)
4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)
类型一　直线与椭圆位置关系的判断
例1　对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由消去y，
得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
反思与感悟　判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．
跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
类型二　弦长问题
例2　已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
解　椭圆的标准方程为＋＝1，
a＝，b＝2，c＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)．
由消去y，得9x2＋10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝×＝.
反思与感悟　求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1＋x2和x1x2的值．
跟踪训练2　椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝，求椭圆方程．
考点　由椭圆的简单几何性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　∵e＝，∴b2＝a2，
∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a2)]，
∴a2＝36，b2＝9，
∴椭圆方程为＋＝1.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例3　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解　(1)由
消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟　求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
跟踪训练3　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解　由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝
＝，
∵由椭圆方程知a＝5，c＝3，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是(　　)
A．－1 B.
C．－1或1 D．－或
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆几何特征求参数
答案　C
解析　由题意知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1.
2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　A
解析　由题意可知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，
解得k＝－，
所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B．±
C. D．±
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，
∴k＝＝±＝±.
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_________________________________________________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a＞2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
5．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
答案　
解析　由得交点为(0,1)，，
则|AB|＝＝.
解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程．

一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
考点　椭圆的简单性质
题点　点与椭圆的位置关系
答案　A
解析　由题意，得＋＜1，即a2＜2，解得－＜a＜.
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的位置关系判定
答案　C
3．椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆的简单性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、离心率
答案　B
解析　由题意，得a＝3，c＝，
∴离心率e＝＝，故选B.
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率
答案　A
解析　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
5．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1 B．m＞1且m≠3
C．m＞3 D．m＞0且m≠3
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的判断
答案　B
解析　由可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵直线与椭圆有两个公共点，
∴
∴
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
6．已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案　A
解析　设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，
则k1＝，k2＝，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝＝，
|k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，故选A.
7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B.
C. D．1
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　C
解析　因为椭圆＋＝1的离心率为，
四个顶点构成的四边形的面积为12，
所以解得a＝2，b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1，
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
且线段AB的中点为M(－2,1)，
所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
又因为两式相减，
得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以－(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
所以直线l的斜率为k＝＝，故选C.
二、填空题
8．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________________________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的位置关系
答案　
解析　已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线x－y＝0的距离为＝.
9．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
10．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　交点问题
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2－4x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
|AB|＝·＝·
＝，
|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝.
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为
________________.
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　x2＋y2＝1
解析　不妨设点A在第一象限，
∵AF2⊥x轴，
∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1,0＜c＜1)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3，得B，
代入x2＋＝1，得＋＝1，
又c2＝1－b2，∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
三、解答题
12．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
解　(1)由已知可设椭圆C2的方程为
＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入到＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入到＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为＋1.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C(m,0)是线段OF上异于O，F的一个定点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得|AC|＝|BC|，并说明理由．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解　(1)由已知可得
解得∴b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得F(1,0)，∴0＜m＜1.
假设存在满足题意的直线l，设l为y＝k(x－1)，
代入到＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，①
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－.
设AB的中点为M，则M.
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCMkAB＝－1，
∴－2m＋·k＝0，等价于(1－2m)k2＝m，
∴当0＜m＜时，k＝± ，
即存在满足条件的直线l；
当≤m＜1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l.
四、探究与拓展
14．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝________.
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆方程研究其他简单性质
答案　
解析　设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1,0)，
所以由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)，
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0，
所以x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入到＋y2＝1中，
得×2＋2＝1，
解得n2＝1，
所以||＝＝＝.
15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，)，且它的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t(k∈R，t∈R)交椭圆E于M，N两点，若椭圆E上一点C满足＋＝λ(O为坐标原点)，求实数λ的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知，得解得
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，
所以＝1，所以2k＝(t≠0)．
把y＝kx＋t代入＋＝1，并整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝－，
y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝.
因为λ＝(x1＋x2，y1＋y2)，且λ≠0，
所以C，
又因为点C在椭圆E上，
所以＋＝1，
可得λ2＝＝，
因为t2＞0，所以2＋＋1＞1，
所以0＜λ2＜2，
所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，)．
§2　抛物线
2．1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．
知识点一　抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．
知识点二　抛物线的标准方程
思考　抛物线的标准方程有何特点？
答案　(1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．
梳理　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
p的几何意义
焦点到准线的距离
1．抛物线的方程都是二次函数．(×)
2．抛物线的焦点到准线的距离是p.(√)
3．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)
类型一　抛物线定义及应用
例1　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
考点　抛物线定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　A
解析　由题意，知抛物线的准线为x＝－.
因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义，得
x0＋＝|AF|＝x0，所以x0＝1，故选A.
(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32
考点　抛物线定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，
∴将直线x＋5＝0右移1个单位，
得直线x＋4＝0，即x＝－4，
∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．
根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，
即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
反思与感悟　抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
跟踪训练1　(1)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________．
考点　抛物线定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　(6,9)或(－6,9)
解析　设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，
知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
考点　抛物线定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　B
解析　如图所示，可得F(2,0)，
过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，
∴|PM|＝|PN|，
∴|PN|＝|MN|.
设P，则|t|＝＋2，
解得t＝±4，
∴△PMF的面积为×|t|·|MF|＝×4×4＝8.
类型二　求抛物线的标准方程
例2　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，
又点(－3,2)在抛物线上，∴2p＝或2p＝，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，∴所求抛物线的焦点为F1(0，－2)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，
令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为F2(4,0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝4，得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
反思与感悟　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练2　根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)已知抛物线的准线方程是x＝－；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
其准线方程为x＝－，由题意有－＝－，故p＝3.
因此标准方程为y2＝6x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型三　抛物线的实际应用问题
例3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思与感悟　涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3　如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1 m)
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
依题意有P(－1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故抛物线方程为x2＝－y.
又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1，
因此水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
1．抛物线y2＝x的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的准线方程
答案　B
解析　抛物线y2＝x的开口向右，且p＝，所以准线方程为x＝－.
2．以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是(　　)
A．x＝4y2 B．y＝4x2 C．x2＝4y D．y2＝4x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
答案　D
解析　∵抛物线焦点为F(1,0)，
∴可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
且＝1，则p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
3．已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是(　　)
A．0 B. C．1 D．2
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　设M(xM，yM)，根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝ C．y＝－1 D．y＝－
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　y2＝8x
解析　由题意可知，动点P到直线x＋2＝0的距离与它到点M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程为y2＝8x.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的焦点坐标
答案　B
解析　由y＝4x2，得x2＝y，所以开口向上，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的焦点坐标
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为，故选B.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
4．若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)
A．(0,2) B．(0，－3)
C．(0,3) D．(0,6)
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．
5．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其他知识结合的应用
答案　C
解析　抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
6．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10，故选A.
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A. B. C. D．25
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其他知识结合的应用
答案　A
解析　抛物线的焦点F坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为
∵抛物线的准线方程为x＝－2，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝，
∴AB的中点到准线的距离为.
二、填空题
8．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________．
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的焦点坐标
答案　
解析　∵抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，∴p＝，故焦点坐标为.
9．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　
解析　由点P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1，
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1，
则直角梯形PQMF的面积为××1＝.
10．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的标准方程
答案　y2＝16x
解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|＋d的最小值为________．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其他知识结合的应用
答案　－1
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1.
由题意得d＝|PF|－1，
∴|PA|＋d≥|AF|－1＝－1＝－1，
当且仅当A，P，F三点共线时，
|PA|＋d取得最小值－1.
三、解答题
12．如图，已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点的坐标．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其他知识结合的应用
解　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±.
∵＞2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴P点的坐标为(2,2)．
13.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛线C上，且＝
2，求点A的坐标．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
四、探究与拓展
14．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
答案　C
解析　抛物线的焦点为F.
不妨设点M在第一象限，
由抛物线的定义，得M.
设N点坐标为(0,2)．
因为圆过点N(0,2)，所以NF⊥NM，
即×＝－1.①
设＝t，
则①式可化为t2－4t＋8＝0，解得t＝2，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　抛物线的准线为l：x＝－.
①当点A在抛物线内部时，42＜2p·，
即p＞时，过M作MA′⊥l，垂足为A′，
则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，
即＋＝5，∴p＝3，满足p＞，
∴抛物线方程为y2＝6x.
②当点A在抛物线外部时，42＞2p·，
即p＜时，|MF|＋|MA|≥|AF|，
当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，
即＝5，
∴p＝1或p＝13(舍)，
∴抛物线方程为y2＝2x.
③当点A在抛物线上，即p＝时，结合②明显不成立．
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
2.2　抛物线的简单性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的性质
思考　观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴上的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
答案　(1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.
梳理　四种形式的抛物线的简单性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径
2p
知识点二　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
知识点三　焦点弦的性质
已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
1．抛物线的图像关于点(0,0)对称．(×)
2．抛物线没有渐近线．(√)
3．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(×)
4．若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)
类型一　抛物线方程及其性质
例1　(1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
考点　抛物线的简单性质
题点　焦点、准线、对称性简单应用
答案　D
解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.
(2)顶点在原点，经过点(，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________．
考点　抛物线的简单性质
题点　焦点、准线、对称性简单应用
答案　y2＝12x或x2＝－y
解析　若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，因为点(，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p·，解得2p＝12，故所求抛物线的标准方程为y2＝12x.若y轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x2＝－y.
反思与感悟　求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①定义法：根据定义求p，最后写标准方程．
②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．
③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．
跟踪训练1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
考点　由抛物线的简单性质求方程
题点　由简单性质求抛物线的方程
解　由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，
则焦点F，准线l：x＝－，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面积为4，∴··2|a|＝4，
∴a＝±2，∴抛物线方程为y2＝±4x.
类型二　焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线相交弦长及弦中点问题
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F，所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得4x2－20x＋9＝0，
解得x1＝，x2＝，
故|AB|＝×＝2×4＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，
于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
反思与感悟　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
跟踪训练2　如图，斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F(1,0)，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　求抛物线的焦点弦长
解　(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线l的方程为y＝(x－1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，
所以线段AB的长为.
类型三　直线与抛物线位置关系
例3　(1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　B
解析　当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.
(2)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
解　联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点．
反思与感悟　设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪训练3　(1)已知直线y＝kx－k和抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A．直线和抛物线有一个公共点
B．直线和抛物线有两个公共点
C．直线和抛物线有一个或两个公共点
D．直线和抛物线可能没有公共点
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　C
解析　∵直线y＝kx－k过定点(1,0)，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
(2)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　
解析　由得ax2－x＋1＝0，
由Δ＝1－4a＝0，得a＝.
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
考点　由抛物线的简单性质求方程
题点　由简单性质求抛物线的方程
答案　C
解析　在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，
则＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　C
解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
且点A(－2,3)在准线上，
故－＝－2，解得p＝4，
所以y2＝8x，
所以焦点F的坐标为(2,0)，
这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　A
解析　设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3.
因为2y＝y＋y，
所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
4．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其他问题
答案　2
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
由y2＝2px，得2＝2px，得x2－3px＋＝0.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p＝8，
∴p＝2.
5．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其他知识结合的应用
答案　
解析　圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即＝.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
考点　由抛物线的简单性质求方程
题点　由简单性质求抛物线的方程
答案　A
解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
2．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
考点　由抛物线的简单性质求方程
题点　由简单性质求抛物线的方程
答案　D
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D．3
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　求距离最小值问题
答案　A
解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝，当m＝时，d取得最小值.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(　　)
A．不存在 B．必是锐角三角形
C．必是钝角三角形 D．必是直角三角形
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线的简单性质应用
答案　B
解析　设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义，得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，故三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．
5．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线的简单性质应用
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以可得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
6．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．0
考点　抛物线的简单几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　B
解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z取得最小值3.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线位置关系的综合应用
答案　B
解析　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
二、填空题
8．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是___________________________________________________________．
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　(1,2)或(1，－2)
解析　∵抛物线的焦点为F(1,0)，设A，
则＝，＝，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．
9．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
答案　(3,2)
解析　设线段的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3,2)．
10．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________________________________________________________________．
考点　直线与抛物线位置关系
题点　直线与抛物线位置关系
答案　∪
解析　设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，∴＝－，即x1＋x2＝－.
设MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝k×＋＝4.
又中点P在抛物线y＝x2内，
∴4＞2，即k2＞，
∴k＞或k＜－.
三、解答题
11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　求抛物线中的直线方程
解　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
∵点Q是弦AB的中点，∴y1＋y2＝2，
于是＝4，即直线AB的斜率为4，
故弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
12．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
考点　由抛物线的简单性质求方程
题点　已知弦长求抛物线的方程
解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)．
由方程组消去y，
得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
13．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的值；
(2)求证：·是一个定值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
(1)解　依题意得F(1,0)，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得x2－3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一　|AB|＝
＝×＝5.
方法二　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明　设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x，整理得y2－4ky－4＝0，
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)
＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
∴·是一个定值．
四、探究与拓展
14．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为________．
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　
解析　由题意，知直线l过和(2p,2p)，
所以直线l：y＝.联立
整理得8x2－17px＋2p2＝0.
设另一交点坐标为(x1，y1)，
由根与系数的关系，得x1＋2p＝，
所以焦点弦的长度为x1＋2p＋p＝.
15．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
解　(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
因为x∈[0，＋∞)，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，
所以当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是.
(2)同(1)求得|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
当a－1≥0，即a≥1时，|PA|＝2a－1，
解得|PA|min＝，此时x＝a－1；
当a－1＜0，即a＜1时，|PA|＝a2，
解得|PA|min＝|a|，此时x＝0.
所以d＝f(a)＝
§3　双曲线
3．1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
知识点一　双曲线的定义
思考　如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案　曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
梳理　(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合为空集．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段F1F2的中垂线．
知识点二　双曲线的标准方程
思考　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案　双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理　(1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×)
2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
类型一　双曲线定义的应用
例1　(1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9
C．5 D．3
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　B
解析　由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　由题意，得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝×|PF1|×|PF2|＝24.
反思与感悟　焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
跟踪训练1　在△ABC中，已知|AB|＝4，A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C，求顶点C的轨迹方程．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
解　由sin B－sin A＝sin C及正弦定理，
可得b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
类型二　求双曲线的标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练2　(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
类型三　双曲线定义及标准方程的应用
例3　在相距2 000 m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法求双曲线的标准方程
解　设爆炸点为P，由已知可得|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0.
因为|AB|＝2 000＞1 320，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，
使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点．
由2a＝1 320,2c＝2 000，得a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.
因此，点P所在曲线的方程是－＝1(x≥660)．
反思与感悟　可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
证明　如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
则在△PF1F2中，
对于双曲线有|r2－r1|＝2m，
∴cos 2α＝
＝＝
＝－＋1，
∴1－cos 2α＝，
∴sin α＝ .
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos 2α＝＝
＝＝－1，
∴1＋cos 2α＝，
∴cos α＝ ，
∴tan α＝.
1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　B
解析　依题意应有m＋1>0，即m>－1.
2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　D
解析　F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
考点　双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　D
解析　∵＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入方程中，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
考点　双曲线标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线标准方程
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(n＞0，m＜0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为________．
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　1
解析　由题意知解得a＝1.
1．双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点：
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的焦距是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　C
解析　因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　|AF2|＞|AF1|，由双曲线的定义，
知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
3．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　A
解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
4．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．－ D.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　B
解析　由焦点坐标知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　B
解析　由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
7．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为(　　)
A．2＋4 B．4＋2
C．3 D．2＋3
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　A
解析　由题意可知c＝2，a＝1，设F1为左焦点，
则|MF|＝2，则|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，
当M，P，F1三点共线时(P在M，F1之间)，
|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|＝2，
故周长的最小值为2＋2＋2＝2＋4.
二、填空题
8．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　16
解析　z
9．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　(2，＋∞)
解析　由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，
即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2.
10．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－y2＝1
解析　由题意可设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有||PF1|－|PF2||＝2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2，
得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，
从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
11．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　，
解析　因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13.
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝.
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝.
即所求距离分别为，.
三、解答题
12．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
考点　双曲线标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　已知双曲线－＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在所求双曲线上，
∴－＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，
不合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
13．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
考点　双曲线标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
四、探究与拓展
14．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
答案　－＝1
解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
考点　双曲线标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)因为
所以tan θ＝.
又＜m＜4，
所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，取等号，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为－＝1.
3．2　双曲线的简单性质
学习目标　1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．
知识点　双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)
2．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)
3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为.(√)
类型一　双曲线的性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
反思与感悟　由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
类型二　由双曲线的性质求标准方程
例2　(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　B
解析　由已知，得双曲线的焦点在y轴上，
从而可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.
又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，
∴2a＋2b＝2c.
又a2＋b2＝c2，∴b2＝4，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2，－3)的双曲线的方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
解　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
当所求双曲线的焦点在x轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为＝，所以b＝a.①
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.②
联立①②得方程组无解．
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为＝，所以a＝b.③
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.④
由③④，得a2＝，b2＝4，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
反思与感悟　(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
考点　由双曲线的简单性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三　求双曲线的离心率
例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　求双曲线的离心率
解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
反思与感悟　求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝ 求解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3　设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　求双曲线的离心率
答案　2
解析　如图所示，在△OAB中，
|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，
|AB|＝＝c.
因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，
所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab，
两边同除以a2，得2－＋＝0，
解得＝或＝(舍去)，
所以e＝＝＝ ＝2.
1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为4，虚轴长为2
B．实轴长为8，虚轴长为4
C．实轴长为2，虚轴长为4
D．实轴长为4，虚轴长为8
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c
答案　B
解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
考点　由双曲线的简单性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案　D
解析　由选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　渐近线与离心率的关系
答案　D
解析　∵双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，
∴e＝＝，故选D.
4．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝________.
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　渐近线与离心率的关系
答案　或
解析　当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其他问题
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1三点共线时最小(P在A，F1之间)，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝－S＝|F1F|·yA－|F1F|·yP＝12.
1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．
2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．
3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　C
解析　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　渐近线与离心率的关系
答案　B
解析　由e＝＝＝，得2＝2.
故渐近线方程为y＝±x，故选B.
3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且为30°，
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，
∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，
化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.
4．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4 B．－3 C．2 D．1
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
5．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　由双曲线的简单性质求方程
题点　已知双曲线的焦距求方程
答案　D
解析　∵等轴双曲线的一个焦点为F1(－6,0)，∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的渐近线方程
答案　C
解析　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
7．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　设F(c,0)，则过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B，
由得A，
＝，
＝，
由＝－3，
得＝－3，
则＝－3·，
即b＝a，
则c＝＝a，
则e＝＝，故选D.
二、填空题
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点(，1)，则该双曲线的方程为________．
考点　由双曲线的简单性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案　x2－y2＝1
解析　∵双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∴a＝b，∴双曲线的方程为x2－y2＝a2，
又双曲线经过点(，1)，代入方程可得a2＝1，
故该双曲线的方程是x2－y2＝1.
9．已知双曲线y2－＝1(m＞0)的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是________．
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　双曲线离心率的取值范围
答案　(0,3)
解析　由双曲线y2－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝，
所以e＝＝，
又e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得0＜m＜3.
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，由F2向双曲线C的一条渐近线作垂线，垂足为H，若△F1HF2的面积为b2，则双曲线C的渐近线方程为________．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线
答案　y＝±x
解析　设过F2(c,0)与渐近线bx－ay＝0垂直的直线为l，则l的方程为y＝－(x－c)，
则的解即为H点的坐标，
可得H.
又△F1HF2的面积为b2，
所以＝×2c×＝b2，解得a＝b，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
11．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线离心率
答案　
解析　如图，设双曲线的右焦点为M，连接PM.
∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中，
|EF|＝.
又＝(＋)，
∴E是PF的中点，
∴|PF|＝2|EF|＝2，
|PM|＝2|OE|＝a.
由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a，
∴2－a＝2a，
∴e＝＝.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
考点　由双曲线的简单性质求方程
题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其他问题
解　(1)设P(x，y)，则|PA|＝
＝＝ ，
当y＝时，|PA|最小，
故所求点P的坐标为.
(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与双曲线方程联立得
(1－2k2)x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2，
解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，
∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
四、探究与拓展
14．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率
答案　A
解析　因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，
即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，
所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
15．已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同的交点A，B，直线l与y轴的交点为P.
(1)求离心率e的取值范围；
(2)若＝，求a的值．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其他问题
解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，得
方程组有两个不同的解，
消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－＜a＜且a≠±1.
又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1.
∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∵0＜a＜且a≠1，
∴e＞且e≠，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)．
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.
∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，
消去x2得－＝，即a2＝.
又∵a＞0，∴a＝.
§4　曲线与方程
4．1　曲线与方程
学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．
知识点一　曲线的方程和方程的曲线的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，
那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．
知识点二　坐标法思想及求曲线方程的步骤
思考　曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．
答案　不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
梳理　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．
(3)求曲线的方程的步骤
如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则
1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)
2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)
3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)
4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线l上．(×)
类型一　曲线的方程与方程的曲线解读
例1　(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是(　　)
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.
(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
反思与感悟　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪训练1　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
解　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)且平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
类型二　曲线与方程的应用
例2　已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲线上；
(2)若点M在上述方程表示的曲线上，求m的值．
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴2＋(－m－1)2＝10，
解得m＝2或m＝－.
引申探究
本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围．
解　结合点与圆的位置关系，
得a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9，
解得a＜－3或a＞3，
故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
反思与感悟　判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练2　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
∴k＝－2a2－2a＝－22＋，
∴k≤，
∴k的取值范围是.
类型三　求曲线的方程
命题角度1　直接法求曲线的方程
例3　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　直接法求曲线方程
解　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．
解　设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
跟踪训练3　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　直接法求曲线方程
解　设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)．
∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于

即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0)．
命题角度2　相关点法求曲线的方程
例4　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　坐标转移法求曲线方程
解　设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思与感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
跟踪训练4　已知圆C：x2＋(y－3)2＝9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　相关点法求曲线方程
解　设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得即
又因为点P在圆C上，所以x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(x≠0).
1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是(　　)
A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线C
B．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　B
解析　“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　B
解析　将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上，故选B.
3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是(　　)
A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1
C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)
考点　求曲线的方程的方法
题点　直接法求曲线方程
答案　D
解析　设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，
所以＝，
化简得x＋2y＋1＝0.
又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D.
4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．
考点　求曲线的方程的方法
题点　几何法求曲线方程
答案　4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析　设该点坐标为(x，y)，则
＝1，即|4x＋3y－5|＝5，
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且＝3，求动点P的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　坐标转移法求曲线方程
解　设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、选择题
1．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是(　　)
A．一条直线 B．一个正方形
C．一个圆 D．四条直线
考点　曲线和方程的概念
题点　由方程研究曲线的对称性
答案　D
解析　由|x|＋|y|＝|xy|＋1，得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．
2．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)
A. B.π C.或π D.或
考点　曲线和方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　C
解析　由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又因为0≤α<2π，
所以α＝或α＝π.
3．方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的(　　)
考点　曲线和方程的概念
题点　由方程研究曲线的对称性
答案　C
解析　由|x|－|y|＝0知，y＝±x，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为(　　)
A．9π B．8π C．4π D．π
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　C
解析　设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，
∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
∴所围成的面积S＝π·22＝4π.
5．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称；
④曲线W关于直线y＝x对称．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　A
6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
考点　求曲线方程的方法
题点　几何法求曲线方程
答案　C
解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故选C.
7．已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2
C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1
考点　求曲线方程的方法
题点　定义法求曲线方程
答案　B
解析　设动点P的坐标为(x，y)，
则点Q的坐标为(0，y)，
＝(－x,0)，＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，·＝x2－2＋y2.
由·＝22，得x2－2＋y2＝2x2，
所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
二、填空题
8．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．
考点　讨论方程的曲线类型
题点　其他类型的曲线与方程
答案　点(1,2)
解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．
9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是________．
考点　求曲线方程的方法
题点　坐标转移法求曲线方程
答案　y2＝4x(x≥0)
解析　设点P(x，y)，则Q(－1，y)．
由·＝·，
得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，
化简得y2＝4x(x≥0)．
10．若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，则m＝________.
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　－1
解析　∵A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，
∴∴
11．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
考点　曲线与方程的概念
题点　点在曲线上的应用
答案　5
解析　由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
三、解答题
12．已知A(－3,0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足⊥，＝，试求动点P的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　直接法求曲线方程
解　设P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，
则＝(x′，－y′)，＝(x，y－y′)，
由＝，得(x′，－y′)＝(x，y－y′)，
即x′＝，y′＝－y，∴B(0，－y)，
又A(－3,0)，∴＝(3，－y)，＝(x,2y)，
由⊥，得·＝0，∴3x－2y2＝0，
即动点P的轨迹方程为y2＝x.
13．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
考点　求曲线方程的方法
题点　坐标转移法求曲线方程
解　方法一　如图所示，设点A(a,0)，
B(0，b)，M(x，y)．
因为M为线段AB的中点，
所以a＝2x，b＝2y，
即A(2x,0)，B(0,2y)．
因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1.
而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以·＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
因为当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
所以线段AB的中点坐标是(1,2)，
它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
方法二　∴l1⊥l2，OA⊥OB，∵OAPB四点共圆，
AB为直径，
∴|MO|＝|MP|，
设M(x，y)
则＝，
整理得：x＋2y－5＝0.
四、探究与拓展
14．方程＋＝1表示的图形是(　　)
A．一条直线
B．两条平行线段
C．一个正方形
D．一个正方形(除去四个顶点)
考点　讨论方程的曲线类型
题点　其他类型的曲线与方程
答案　D
解析　由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
15．已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|与|MQ|的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
考点　求曲线方程的方法
题点　直接法求曲线方程
解　连接ON，OM，易知ON⊥MN，设M(x，y)．
∵圆O的半径是1，
∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－1.
由题意知，＝λ(λ＞0)，
∴|MN|＝λ|MQ|，
即＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
∵λ＞0，
∴当λ＝1时，
方程化为x＝，该方程表示一条直线；
当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，
该方程表示以为圆心，以为半径的圆．
4．2　圆锥曲线的共同特征
4．3　直线与圆锥曲线的交点
学习目标　1.了解圆锥曲线的共同特征.2.会求曲线的交点.3.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.4.理解弦长公式及其求解应用．
知识点一　圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线．此即为圆锥曲线的统一定义．
知识点二　直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线M的方程为f(x，y)＝0，则由消去y，可得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时有：
位置关系
公共点个数
方程
相交
2
Δ＞0
相切
1
Δ＝0
相离
0
Δ＜0
(2)当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该直线与圆锥曲线不是相切，而是相交．
知识点三　两曲线的交点
已知两条曲线C1，C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P0(x0，y0)是C1，C2的交点?
方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
1．平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的集合是圆锥曲线．(×)
2．对于双曲线－＝1，右支上的点满足“平面内到定点F(4,0)与到定直线l：x＝的距离的比等于”左支上的点不满足．(×)
3．若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线必相切．(×)
4．直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解．(√)
类型一　圆锥曲线共同特征的应用
例1　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，离心率e＝，点A在椭圆上，d为点A到定直线l：x＝的距离．求证：＝e.
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　圆锥曲线定义的应用
证明　设点A(x，y)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，＝m(m＞0)，则＝m，
两边平方整理得(1－m2)x2＋y2＝x＋，比较椭圆方程＋y2＝b2的各项系数，得2c－＝0，所以m2＝2，
因为m＞0，所以m＝，即＝e.
反思与感悟　圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．
跟踪训练1　(1)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．则动点M的轨迹C的方程为________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其上一点P满足|PF1|＝5|PF2|，则点P直线x＝的距离为________．
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　用定义判断曲线类型或求方程
答案　(1)＋＝1　(2)
解析　(1)如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意知，
d＝2|MN|，
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以动点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|＝5|PF2|，
得|PF2|＝2，设点P到直线x＝的距离为d，
则＝＝，得d＝.
类型二　直线与圆锥曲线的位置关系
例2　已知双曲线C：－y2＝1和定点P，过点P可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线公共点个数问题
解　当过P点的直线l斜率存在时，y－＝k(x－2)，与－y2＝1联立消去y，
得(1－4k2)x2－k(4－16k)x－(16k2－8k＋5)＝0.(*)
①当1－4k2＝0，即k＝±时，(*)式变为一元一次方程，解得x＝或x＝，l与双曲线分别交于和，此即直线过点P且平行于渐近线的情形．
②当1－4k2≠0，由Δ＝0，得k＝，
此时l：y－＝(x－2)，交点为.
易知当过P点的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，交点为(2,0)，所以过P点有四条直线与双曲线只有一个公共点．
反思与感悟　对于直线与双曲线、抛物线位置关系判定时，要注意对消元之后所得二次方程的二次项系数是否为零进行讨论．
跟踪训练2　设直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，求k的取值范围．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解　联立消去y，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由于方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0有两个不相等的正根，
所以
即
解得1＜k＜.
即k的取值范围为.
类型三　两曲线的交点问题
例3　求曲线2y2＋3x＋3＝0与曲线x2＋y2－4x－5＝0的公共点．
考点　曲线的交点的问题
题点　求交点
解　由
得2x2－11x－13＝0，
即(2x－13)(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝.
将x＝－1代入①，得
将x2＝代入①，方程无解．
所以两曲线只有一个公共点(－1,0)．
反思与感悟　求解曲线的交点问题，可转化为求解方程组问题，解方程组时注意变形的等价性．
跟踪训练3　(1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈?
(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
考点　曲线的交点问题
题点　求交点
答案　(1)A　(2)[1，)
解析　(1)满足题意的图像如图所示，y＝x＋a的斜率为1，要使y＝a|x|和y＝x＋a有两个交点，y＝a|x|的斜率a＞1.
(2)方法一　由方程组
得
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与C有两个公共点，等价于此方程是有两个不等的非负实数解，
可得解得1≤b＜.
方法二　在同一直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，可得b的取值范围为1≤b＜.
1．直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
答案　D
解析　将y＝x＋m代入＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
∴－＜m＜.
2．已知点M到定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x＝18的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　用定义判断曲线类型或求方程
答案　B
解析　设M到l的距离为d，由题意得＝＜1，故M的轨迹C为椭圆．
3．一圆过两椭圆＋＝1与＋＝1的交点，则该圆的方程是________．
考点　曲线的交点问题
题点　求交点
答案　x2＋y2＝
解析　将两椭圆方程相加，得x2＋y2＝.
4．已知曲线C：y2＝2x，若C上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，则实数m的取值范围是________．
考点　圆锥曲线性质的应用
题点　圆锥曲线性质的应用
答案　(－，)
解析　方法一　如图．当m＝0时，直线l：y＝0恰好是抛物线的对称轴，满足题设条件．
当m≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，
则P，Q的中点是M.
设直线PQ的方程是y＝－x＋b.
由消去x，得y2＋2my－2mb＝0.(*)
∵方程(*)有两个不相等的实根，
∴Δ＝4m2＋8mb＞0，即m2＋2mb＞0.①
又y1＋y2＝－2m，
x1＋x2＝2mb－m(y1＋y2)＝2mb＋2m2，
∴M(mb＋m2，－m)．
由点M在直线l上，得－m＝m(mb＋m2－2)，
即b＝.②
将②代入①，得m2＜2，解得－＜m＜，且m≠0.
综上可知，m的取值范围是(－，)．
方法二　(点差法)
当m＝0时，符合题意．
当m≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2x上关于直线l对称的两点，线段AB的中点M的坐标为(x0，y0)．
∵点A，B在抛物线上，∴y＝2x1，y＝2x2.
将两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
即2y0(y1－y2)＝2(x1－x2)，∴＝(x1≠x2)．
又∵直线AB⊥l，∴kAB·kl＝－1，∴·m＝－1，
即m＋y0＝0.①
又∵点M在直线l上，∴y0＝m(x0－2)．②
由①②，得点M的坐标为(1，－m)．
∵A，B为抛物线上的两点，∴点M在抛物线的内部，
∴m2＜2，解得－＜m＜，且m≠0.
综上可知，所求m的取值范围是(－，)．
在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案．
处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案　B
解析　点(2,4)在抛物线y2＝8x上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．
2．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　用定义判断曲线类型或求方程
答案　B
解析　因为＝|x＋y＋2|，
所以＝＞1.
所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．
3．已知椭圆C：＋x2＝1，直线l：9x＋y－5＝0与椭圆C相交于A，B两点，点P为弦AB的中点，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C．(1，－4) D．(－1,14)
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，把y＝5－9x代入＋x2＝1，整理得45x2－45x＋8＝0，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝5－9x1＋5－9x2＝1.
故x＝＝，y＝＝，
因此点P的坐标为.
4．若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是(　　)
A．椭圆短轴的一个端点
B．椭圆长轴的一个端点
C．不是椭圆的顶点
D．以上都不对
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
答案　B
5．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案　D
解析　当x≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆在y轴左侧的部分；当x＞0时，曲线方程可化为－＝1，即双曲线在y轴右侧的部分，如图可知直线y＝x＋3与曲线有三个交点．
二、填空题
6．曲线y＝和y＝－x＋有________个公共点．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案　1
解析　y＝可化为x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为上半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．
7．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案　
解析　由得5x2－8x＋8＝0.
设A，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
8．直线y＝kx＋1与曲线mx2＋5y2＝5m(m＞0)恒有公共点，则m的取值范围是________．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
答案　[1，＋∞)
解析　将y＝kx＋1代入mx2＋5y2＝5m，
得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0对k∈R，总有实数解．
所以Δ＝20m(m－1＋5k2)≥0对k∈R恒成立．
因为m＞0，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1.
即m的取值范围为[1，＋∞)．
9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离是3，则|OM|＝________.
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
答案　2
解析　由题意知该抛物线为开口向右的抛物线，设其方程为y2＝2px(p＞0)．
点M到焦点的距离为2＋＝3，p＝2.
故抛物线方程为y2＝4x，
M的坐标为(2，±2)，
所以|OM|＝＝2.
10．将双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，我们称这两个双曲线是互为共轭的双曲线，若两个共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝________.
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
答案　1
解析　因为e1＝，e2＝，
所以e＝，e＝.
故＋＝＝1.
三、解答题
11．已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的点，求实数k的取值范围．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解　当k＝0时，显然不成立．
当k≠0时，设A，B为双曲线上关于直线l对称的两点，如图．
由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入3x2－y2＝3中，得
(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
显然3k2－1≠0，
∴Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)·[－(b2＋3)k2]＞0，
即k2b2＋3k2－1＞0.①
由根与系数的关系，得线段AB的中点M的坐标为.
∵点M在直线l上，
∴＝＋4，即k2b＝3k2－1.②
把②代入①，得k2b2＋bk2＞0，解得b＞0或b＜－1，
∴＞0或＜－1，
即|k|＞或－＜k＜且k≠0.
综上，k的取值范围是∪∪∪.
12．已知直线l：y＝x＋t与椭圆C：x2＋2y2＝2交于A，B两点．
(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
(2)若|AB|＝，求t的值．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
解　(1)因为x2＋2y2＝2，所以＋y2＝1.
所以a＝，b＝1，所以c＝1，
所以长轴长2a＝2，焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为
消元化简得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
所以
所以|AB|＝|x1－x2|＝，
又因为|AB|＝，
所以＝，解得t＝±1，满足Δ＞0.
所以t＝±1.
13．设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
解　(1)由点F在直线l上，得|FA|＝|FB|，
得A，B两点到抛物线的准线的距离相等，
因为抛物线的准线与x轴平行，
所以上述条件等价于y1＝y2，即x＝x，
所以(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
因为x1≠x2，所以当且仅当x1＋x2＝0时，直线l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y＝2x＋b.
则过点A，B的直线方程可设为y＝－x＋m，
由化简得2x2＋x－m＝0，
所以x1＋x2＝－.
因为A，B为抛物线上不同的两点，
所以上述方程的判别式Δ＝＋8m＞0，
即m＞－.
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝－x0＋m＝＋m.
又点N在直线l上，所以＋m＝－＋b，
于是b＝＋m＞－＝，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
四、探究与拓展
14．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
答案　C
解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行于x轴，y轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)(x＞0，y＞0)，
S矩形＝4xy＝2ab≤2ab＝2ab∈[3b2,4b2]，
所以3b2≤2ab≤4b2，即≤≤，
所以e2＝＝1－2∈，
故e∈.
15．如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的公共点个数问题
解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.
因此|AP|＝|x1－x2|＝·.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，
|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
因为k1≠k2，k1，k2＞0，
所以1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
所以＝1＋a2(a2－2)．①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a2＞2，又a＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，
得所求离心率的取值范围为0＜e≤.
滚动训练(三)
一、选择题
1．已知命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　D
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的(　　)
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
考点　四种命题的概念
题点　按要求写命题
答案　A
3．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
答案　C
解析　等差数列{an}为递增数列等价于an＜an＋1.
4．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4
C．5,1 D．9,1
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的范围问题
答案　D
解析　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
5．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·等于(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　如图所示，＝，
所以·＝·(－)＝－×2×2cos 60°＝－1，故选B.
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
考点　椭圆的简单性质
题点　由a，b，c求离心率
答案　C
解析　设M(x，y)，∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中|F1F2|为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.又∵07．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案　B
解析　由题意知，切线的斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋a(k＞0)，
与椭圆方程联立得消去y，
整理得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，
即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，
从而y＝x＋a，交x轴于A，
又F(c,0)，所以＝，＝(c，－a)，
则·＝0，故∠ABF＝90°，故选B.
二、填空题
8．“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题为______命题．(填“真”“假”)
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　假
解析　原命题的否命题是“若C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．
9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离是________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　取DD1的中点F，连接EF，AF，则EF∥CD∥AB，A，B，E，F四点共面，又A1B1∥平面ABEF，所以A1B1到平面ABE的距离等于A1到平面ABEF的距离．
方法一　在矩形ADD1A1中，因为AA1＝2，AD＝1，所以AF＝A1F＝2，AF2＋A1F2＝A1A2，所以A1F⊥AF，因为EF⊥AD，EF⊥DD1，AD∩DD1＝D，所以EF⊥平面ADD1A1，所以平面ADD1A1⊥平面ABEF，因为平面ADD1A1∩平面ABEF＝AF，所以A1F⊥平面ABEF，所以A1B1到平面ABE的距离为.
方法二　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，E(0，，1)，F(0,0,1)．
所以＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,1)，＝(0，，0)，所以·＝0，·＝0，又AF∩FE＝F，所以＝(－1,0，－1)为平面ABEF的一个法向量，＝(0,0，－2)，
所以A1到平面ABEF的距离为＝＝.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.
考点　椭圆的离心率问题
题点　由a，b，c而关系式得离心率
答案　
解析　由题意，可得M或M.
∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，
∴×2c×b＝3××c×，
∴b＝a，∴c＝＝a，
∴e＝＝.
11．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长
答案　
解析　由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组
消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝＝.
三、解答题
12．已知方程＋＝1表示椭圆，求实数m的取值范围．
考点　椭圆的标准方程
题点　已知椭圆的焦点位置、焦距求参数
解　(1)当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，
则有5－2m>m＋1>0，解得－1(2)当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，
则有m＋1>5－2m>0，解得综上，m的取值范围为∪.
13．已知命题p：(x－2)(x＋m)≤0，q：x2＋(1－m)x－m≤0.
(1)若m＝3，命题“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取范围．
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围
解　(1)当m＝3时，p：－3≤x≤2，q：－1≤x≤3.
因为命题“p且q”为真命题，
所以p和q都为真命题，
所以解得－1≤x≤2.
所以实数x的取值范围是[－1,2]．
(2)因为p：(x－2)(x＋m)≤0，
所以记A＝{x|(x－2)(x＋m)≤0}．
因为q：x2＋(1－m)x－m≤0，
所以记B＝{x|x2＋(1－m)x－m≤0}
＝{x|(x－m)(x＋1)≤0}．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q?p，但p?q，
所以集合B为集合A的真子集，
因此有或解得1≤m≤2.
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，点A(－2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)直线l：y＝x－1与曲线C相交于P1，P2两点，Q是x轴上一点，若△P1P2Q的面积为6，求Q点的坐标．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
解　(1)设M(x，y)，则×＝－，
化简整理，得点M的轨迹C的方程为
＋＝1(x≠±2)．
(2)由消去y，得7x2－8x－8＝0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|P1P2|＝|x1－x2|＝.
设Q(m,0)，则Q到直线l的距离d＝，
依题意，得×|P1P2|×d＝6，
化简得|m－1|＝7，解得m＝8或m＝－6，
故所求点Q为(8,0)或(－6,0)．
15．已知圆G：x2＋y2－x－y＝0，经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中定点、定值、取值范围问题
解　(1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，
∴F(1,0)，B(0，)，
∴c＝1，b＝，
∴a2＝4，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2)．
由消去y，
得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋1＋m2
＝.
∵点F在圆E的内部，
∴·＜0，即＜0，
解得＜m＜.
由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，
解得－＜m＜.
又m＞2，∴2＜m＜.
滚动训练(四)
一、选择题
1．命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是(　　)
A．任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．存在x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
D．存在x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　D
解析　根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”，故选D.
2．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
考点　“p或q”形式命题真假性的判断
题点　由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
答案　A
解析　由p：存在x∈R，mx2＋1≤0，可得m＜0；
由q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，可得Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2.
因为p或q为假命题，所以p与q都是假命题，
若p是假命题，则有m≥0；
若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，
故实数m的取值范围为[2，＋∞)，故选A.
3．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
考点　椭圆的性质
题点　由性质求椭圆的标准方程
答案　A
解析　依题意，得a＝2，a＋c＝3，
故c＝1，b＝＝，
故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0,3) B.
C．(0,2) D．(0,3)∪
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　D
解析　当焦点在x轴上时，e＝∈，
∴∈，∴k∈；
当焦点在y轴上时，e＝∈，∴k∈(0,3)．
故实数k的取值范围是(0,3)∪.
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，平面PAD与平面ADC夹角的大小为60°，则P到AB的距离是(　　)
A．1 B. C. D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线的距离
答案　D
解析　以点D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,1，)，＝(0,2,0)，＝(－2,1，)，在上的投影为＝1.
故P到AB的距离为＝.
6．已知抛物线C：x2＝16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一个交点，若＝3，则|PF|等于(　　)
A. B. C. D.
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　A
解析　由抛物线C：x2＝16y可得焦点F(0,4)，
准线方程为y＝－4，
设M(a，－4)，P，
则＝(a，－8)，＝.
因为＝3，
所以a＝3m，－8＝－12，解得m2＝.
由抛物线的定义，得|PF|＝＋4＝，故选A.
二、填空题
7．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．
考点　全称命题的真假性判断
题点　恒成立求参数的范围
答案　(－4,0)
解析　由g(x)＝2x－2＜0，可得x＜1，
∴要使任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，
必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0恒成立．
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，
∴二次函数f(x)必须开口向下，
且方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，
即解得－4＜m＜0.
8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　2
解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，则椭圆的标准方程为____________．
考点　由椭圆的简单性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　椭圆的左顶点的坐标为A(－a,0)，
上、下顶点的坐标分别为B(0，b)，C(0，－b)，
右焦点为F(c,0)，
得直线AB的方程为y＝x＋b，
直线CF的方程为y＝x－b，
又因为直线AB与直线CF的交点为(3a,16)，
把点(3a,16)分别代入直线方程可得
解得b＝4且3a＝5c.
又因为a2＝b2＋c2，解得a＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
∵Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1，
又a＞－2，∴－2＜a≤－1.
三、解答题
12．设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求总的轨迹
解　由＝λ，知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(xp，yp)，Q(xp，y0)，M(xp，x)，
则x－y0＝λ(yp－x)，
即y0＝x－λ(yp－x)＝(1＋λ)x－λyp.
设B(x1，y1)，由＝λ，
得(xp－x1，y0－y1)＝λ(1－xp,1－y0)，
得
所以
又点B在抛物线y＝x2上，
所以y1＝x，
即(1＋λ)2x－λ(1＋λ)yp－λ＝[(1＋λ)xp－λ]2，
即2λ(1＋λ)xp－λ(1＋λ)yp－λ(λ＋1)＝0.
因为λ＞0，所以2xp－yp－1＝0，
所以所求的点P的轨迹方程为2x－y－1＝0.
13．已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p或q为真， 綈p为真，求m的取值范围．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　由复合命题的真假求参数的范围
解　对p：∵直线与圆相交，∴d＝<1.
∴－＋1对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，
∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，
则＜0，得0＜m＜4.
∵綈p为真，∴p为假．又∵p或q为真，∴q为真．
故可得＋1≤m<4.故m的取值范围是[＋1,4)．
四、探究与拓展
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN夹角的大小是________．
考点　
题点　
答案　
解析　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令||＝2，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，
M(0,1,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，N(0,2,1)，
＝(－2,1，－2)，＝(0,2,1)，
因为·＝0，所以⊥，
即异面直线A1M与DN夹角为.
15．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(－2,1)是C1上一点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设A，B，Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P，Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E，证明：直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
(1)解　由题意，得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明　由题意，得A(－2，－1)，B(2,1)，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得x2＋2tx＋2t2－4＝0，
Δ＝－4t2＋16＞0，解得－2＜t＜2.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4，
∴kPD＋kPE＝＋
＝，
而(y2－1)(－x1＋2)＋(－y1－1)(x2＋2)
＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝0，
∴kPD＋kPE＝0，
∴直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形．
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的简单性质，会利用简单性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.待定系数法求圆锥曲线标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(×)
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√)
4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(×)
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(√)
类型一　圆锥曲线的定义与标准方程
例1　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的特征求方程
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
反思与感悟　(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；
(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；
(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点　双曲线的标准方程
题点　双曲线的定义与方程的综合
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2＜6，
所以点M到两定点C2，C1的距离之差是常数且小于|C1C2|，根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
类型二　圆锥曲线的性质
例2　(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　圆锥曲线的定义的应用
题点　圆锥曲线定义的应用
答案　A
解析　方法一　设M(－c，y0)，
则AM所在的直线方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得E.
BM所在的直线方程为y＝(x－a)，
令x＝0，得y＝.
由题意，得＝×，
解得a＝3c，即e＝＝.
方法二　设|FM|＝m，|OE|＝t，
则＝，①
＝，②
①×②得：＝，
∴a＝3c，∴e＝.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
考点　圆锥曲线的定义的应用
题点　圆锥曲线定义的应用
答案　A
解析　若已知方程表示双曲线，
则m2＋n＞0,3m2－n＞0，
解得－m2＜n＜3m2.
又4＝4m2，所以m2＝1，
所以－1＜n＜3.
反思与感悟　常见具体类型有：(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
考点　有关圆锥曲线的性质的应用
题点　圆锥曲线性质的简单应用
答案　
解析　由得B，C.
又由F(c,0)，得＝，＝.
又∠BFC＝90°，所以·＝0，即c2－a2＋＝0.
又b2＝a2－c2，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.
类型三　直线与圆锥曲线
例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解　(1)设椭圆的半焦距长为c，依题意有
∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，∴|AB|≤2，
当k＝0时，|AB|＝，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
反思与感悟　涉及直线与圆锥曲线问题，需要用方程思想解决，同时必要时需分类讨论，诸如位置关系判定则需联立方程组．
跟踪训练3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合问题
(1)解　抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，
因为点P和点Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，
则可设其方程为y＝－x＋b.
①证明　由消去x，并整理
得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，
所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，又p＞0，
化简得p＋2b＞0.
方程(*)的两根为y1,2＝－p±，
从而y0＝＝－p.
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②解　因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜.
又p＞0，
因此，p的取值范围为.

1．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案　B
解析　联立得x2＋2(x＋1)2－4＝0，
即3x2＋4x－2＝0，
则弦的中点的横坐标为×＝－，
纵坐标为－＋1＝，即，故选B.
2.如图，椭圆＋y2＝1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则△AF2B的面积是(　　)
A．2 B．4 C．1 D.
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合问题
答案　C
解析　由直径所对的圆周角为，可以联想到以AB为直径的圆O与椭圆交于A，B两点，且F2在圆O上，圆的半径为c＝＝，故圆的方程为x2＋y2＝3，联立方程组解得y＝±，所以＝××＝1，故选C.
3．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
答案　A
解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
则y－＝1，y－＝1，根据点差法可得
(y1－y2)(y1＋y2)＝，
所以直线l的斜率为k1＝＝＝，
直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.
4．直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB的中点，则椭圆的离心率为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交弦中点问题
答案　
解析　由消去x，
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，
Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵线段AB的中点为(－1,1)，
∴＝2，于是得a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
答案　2
解析　由题意，得l：x＝－，
且直线AB的方程为y＝(x－1)，
则A，
因为＝，所以B，
将B代入y2＝2px，
得32＝2p，
解得p＝2或p＝－6(舍去)．
解决与圆锥曲线有关的最值问题的三种方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意圆锥曲线的范围．
一、选择题
1．到定点(3,5)与直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．抛物线 C．线段 D．直线
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　D
解析　因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．
2．方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　D
解析　∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
考点　由椭圆的简单几何性质求方程
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　A
解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)
A．y＝与y2＝x B．y＝x与＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x| D．y＝lg (x2)与y＝2lg x
考点　曲线与方程的意义
题点　方程是否表示同一曲线
答案　C
解析　A项，y＝(y≥0)，y2＝x，y∈R，B项y＝x中y∈R，＝1中，y≠0；D项，y＝lg(x2)中，x≠0，y＝2lg x中，x>0，所以A，B选项中两函数值域不同，D选项中两函数定义域不同，故选C.
5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则||·||的值为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．15
考点　椭圆定义及标准方程的应用
题点　椭圆定义及标准方程的综合应用
答案　D
解析　由椭圆标准方程，知a＝4，b＝2，c＝2.
当P为左、右顶点时(不妨令P为右顶点)，
||＝a＋c＝6，||＝a－c＝2，
则·＝6×2×cos 0°＝12，
故P不为左、右顶点．
设和的夹角为θ，
因为·＝9，
所以||·||cos θ＝9.
在△PF1F2中，由余弦定理，得2|PF1||PF2|·cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2，
即2|PF1|·|PF2|cos θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2－2|PF1|·|PF2|，
2×9＝(2×4)2－(2×2)2－2||·||，
即||·||＝15，故选D.
6．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B．4－2
C. D.－1
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的综合应用
答案　D
解析　点A，B关于原点对称，故以线段AB为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c，设A(x0，y0)，则结合|OA|＝r＝c及y＝－x，得y0＝－x0，x＋y＝c2，所以A，代入椭圆方程，得＋＝1，由b2＝a2－c2化简，得c4－8a2c2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，e2＝＝4±2.结合0＜e＜1，得e2＝4－2，即e＝－1.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　由双曲线的简单几何性质求方程
题点　渐近线为条件求双曲线的方程
答案　C
解析　由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
二、填空题
8．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　2
解析　双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，离心率e＝.若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|－|PF2|＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　8
解析　由题意，得c＝2，e＝＝，
∴a＝4，|PF1|－|PF2|＝2a＝8.
10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求离心率的取值范围
答案　
解析　如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2.
取M(0，b)，∵点M到直线l的距离不小于，
∴≥，解得b≥1.
∴e＝＝≤＝.又0＜e＜1，
∴椭圆E的离心率的取值范围是.
11．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其他问题
答案　
解析　由双曲线的简单性质，易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为或.易求得圆心到双曲线中心的距离为.
三、解答题
12．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的综合应用
解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)，
从而有解得
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t.
由消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
由直线OA与l的距离等于4，
可得＝4，从而t＝±2.
∵±2?[－4，4]，
∴符合题意的直线l不存在．
13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
解　(1)由题意得解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，即x＋2y＝4，
∵A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M，
∴直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N.
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，
即x2＋y2－y＋＝0，
∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
四、探究与拓展
14．如图，A1，A2分别为椭圆＋＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2＋|OT|2等于(　　)
A．5 B．3＋ C．9 D．14
考点　由椭圆方程研究简单性质
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　D
解析　设Q(x，y)，T(x1，y1)，S(x2，y2)，
直线QA1，QA2的斜率分别为k1，k2，
则直线OT，OS的斜率分别为k1，k2，
设直线OT的方程为y＝k1x，
代入椭圆方程，得x＝，同理x＝，
且k1k2＝·＝＝－，
所以|OT|2＝x＋kx＝，
同理|OS|2＝，
因此|OS|2＋|OT|2＝＋
＝＋
＝＋
＝＝14，故选D.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的内接等边三角形AOB的面积为3(其中O为坐标原点)．
(1)试求抛物线C的方程；
(2)已知点M(1,1)，P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线PQ恒过定点；
②过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
(1)解　依题意，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则由|OA|＝|OB|，得x＋2pxA＝x＋2pxB，
即(xA－xB)(xA＋xB＋2p)＝0，
因为xA＞0，xB＞0，p＞0，所以xA＋xB＋2p＞0，
故xA＝xB，|yA|＝|yB|，
则A，B关于x轴对称，
所以AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，
所以＝tan 30°＝.
因为xA＝，所以|yA|＝2p，
所以|AB|＝2|yA|＝4p，
故S△AOB＝×(4p)2＝12p2＝3，p＝，
故抛物线C的方程为y2＝x.
(2)①证明　由题意可设直线PQ的方程为x＝my＋a，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去x，得y2－my－a＝0，
故Δ＝m2＋4a＞0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a.
因为∠PMQ＝90°，所以·＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，
yy－(y1＋y2)2＋3y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，
即a2－m2－3a－m＋2＝0，
得2＝2，
所以a－＝m＋或a－＝－.
当a－＝m＋，即a＝m＋2时，
直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，
过定点H(2，－1)；
当a－＝－，即a＝－m＋1时，
直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y－1)＋1，
过定点(1,1)，不合题意舍去．
故直线PQ恒过定点H(2，－1)．
②解　设N(x，y)，则⊥，即·＝0，
得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，
即x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1)，
即轨迹是以MH为直径的圆(除去点(1，±1))．

1　空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．
第1层　用已知向量表示未知向量
例1　如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
解　＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋；
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
第2层　化简向量
例2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)＋(＋)；
(2)－(＋)．
解　(1)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)－(＋)
＝－＝.
，，如图所示．
点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．
第3层　证明立体几何问题
例3　如图，已知M，N分别为四面体ABCD的平面BCD与平面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B，G，N三点共线．
2　空间向量易错点扫描
易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1　“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
错解　a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．
错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．
剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
正解　必要不充分
总结　a·b<0?a与b的夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同．
易错点2　判断是否共面出错
例2　已知O，A，B，C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是(　　)
A. B.
C. D.或
错解　a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以，都与a，b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.
剖析　＋＝(a＋b)，说明＋与a，b共面，但不能认为，都与a，b共面．
对A，B：设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x，y不存在，所以a，b与不共面，
故a，b与可构成空间的一个基底．
同理a，b与也可构成空间的一个基底．
对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a，b共面，故不能构成空间的一个基底．
正解　C
易错点4　混淆向量运算和实数运算
例4　阅读下列各式，其中正确的是(　　)
A．a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
B．a·b＝0?a＝0或b＝0
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D.·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解　A(或B或C)
剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律 ，故A，C错误；a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解　D
易错点4　忽略建系的前提
例4　四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试建立合理的坐标系，求，夹角的余弦值．
错解　以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析　空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．
正解　设AC，BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点5　求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例5　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABD1与平面BD1C的夹角的大小．
错解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
C1(0,1,1)．
由题意知是平面ABD1的一个法向量，
＝(－1,0，－1)，是平面BCD1的一个法向量，
＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为120°.
剖析　利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．
正解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知＝(－1,0，－1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为60°.
3　空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
1．利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1　已知在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求直线BC1与CD夹角的余弦值．
解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故直线BC1与CD夹角的余弦值为.
点评　本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可．
2．利用线面垂直关系
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解　过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图．
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，
C1，E，A1.
点评　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
3．利用面面垂直关系
例3　如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD夹角的大小．
解　取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量为＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD夹角为45°.
点评　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　4　用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．
1．求解、证明问题
例1　在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明　以O为坐标原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x(0≤x≤G)，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2．定位问题
例2　如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
解题提示　假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在．
解　因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，DA，DC?平面ABCD，
所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
因为点M在DG上，假设存在点M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量．
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF的夹角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且当DM＝3－4时，直线MB与平面BEF夹角为45°.
点评　由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．
5　向量与立体几何中的数学思想
1．数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
例1　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．
(1)证明　因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解　因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)．
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，
得
令z＝1，得m＝(2，－2,1)．
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值为.
(3)解　过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，
FM?平面A1B1C1D1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝××FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2．转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求平面ADF与平面DFC夹角的余弦值．
分析　求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角．
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(1,2,0)，C(0,2,0)，
D1(0,0,2)．
＝(0,2,0)，
＝(0,2，－2)，
∵E为AB的中点，
∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝，
∴＝＋＝(0,0,2)＋
＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，
则∴
取x1＝1，得平面DFC的一个法向量为n＝(1,0，－1)．
设p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，
则∴
设平面ADF与平面DFC的夹角为0，取y2＝1，得平面D1EC的一个法向量为p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解　设q＝(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，
则
∴
取y3＝1，得平面ADF的一个法向量为q＝(0,1，－1)，
设平面ADF与平面DFC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴平面ADF与平面DFC的夹角的余弦值为.
3．函数思想
例3　已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)．问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由．
分析　写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解．
解　由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴ymax＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11)．b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评　凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．
4．分类讨论思想
例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析　由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在．
解　假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，
∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为(　　)
A．－13,8 B．－13,5
C．7,5 D．7,8
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　∵a∥b且a≠0，
∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
又∵m，n，p不共面，∴＝＝，
∴x＝－13，y＝8.
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A．(4,2，－2) B．(2,0,4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，
又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.
3．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　D
解析　对于A，b＝－2a，即a∥b；对于B，d＝－3c，即d∥c；对于C，零向量与任何向量都平行．
4．在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　C
解析　①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．
5．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．||≠||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　B
解析　－＝λ－λ＝λ，即＝λ.同理＝μ.因为μ∥λ，所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故不一定等于且||不一定等于||.
6．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A．0° B．45° C．90° D．180°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　C
解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝90°.
7．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　C
解析　∵M为BC中点，
∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
考点　空间向量的数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，
则＝－＝(－)，＝＋，
∴||＝|－|＝，||＝，
·＝(－)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，
设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q.
10．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则直线PC与平面ABCD的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
考点　
题点　
答案　A
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝－，
又因为〈，n〉∈[0°，180°]，
所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线的夹角为60°，所以斜线PC与平面ABCD的夹角为30°.
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小为(　　)
A．120° B．45°
C．150° D．60°
考点　
题点　
答案　B
解析　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE夹角的大小45°.
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD夹角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中错误的结论是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　C
解析　如图所示，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，
B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，
故AC⊥BD.①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形．②正确．
对于③，为平面BCD的一个法向量，
cos〈，〉＝＝
＝＝－.
所以AB与OA所在直线所成的角为45°，
所以AB与平面BCD的夹角为45°.故③错误．
又cos〈，〉＝
＝＝－.
所以AB与CD的夹角为60°.故④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面平行
答案　平行或重合
解析　∵平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，满足v＝－3u，∴α∥β或重合．
14．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　60°
解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β夹角的大小为60°.
15.如图所示，已知在正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线ED和BF夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　设棱长为4，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以cos〈，〉＝＝＝＝.
16．已知向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，则直线AB与平面BCD夹角的正弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　∵向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，
∴＝－＝(－1,2,0)，＝－＝(－1,0,3)，
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝6，得n＝(6,3,2)，
设直线AB与平面BCD夹角为θ，
则sin θ＝＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)
＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)
＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝5，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直．
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0°，180°]，
∴∠BAC＝60°，∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝ ＝ 
＝ 
＝ ，
∴||＝2或.
∴BD的长为2或.
20．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
考点　
题点　
解　(1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线A1B与C1D夹角的余弦值为.
(2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
∴即
取n＝(2，－2,1)．
设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ，
则|cos θ|＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴sin θ＝，
∴平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
21．(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．
(1)求证：D1F⊥平面ADE；
(2)求平面A1C1D与平面ADE夹角的余弦值．
考点　
题点　
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，F(0,1,0)，
C1(0,2,2)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，A1(2,0,2)，＝(0,1，－2)，
＝(2,0,0)，＝(2,2,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，
又∵DA∩DE＝D，DA，DE?平面ADE，
∴D1F⊥平面ADE.
(2)解　由(1)可知平面ADE的法向量n＝＝(0,1，－2)．
设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(2,0,2)，＝(0,2,2)，
则令x＝1，则y＝1，z＝－1，
可得m＝(1,1，－1)，∴cos〈m，n〉＝，
∴平面A1C1D与平面ADE夹角的余弦值为.
22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，
(1)求证：D1E⊥A1D；
(2)AE为何值时，平面D1EC与平面ECD夹角的大小为.
考点　
题点　
(1)证明　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设AE＝x(0≤x≤2)，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，
D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(1，x，－1)．
∵·＝(－1,0，－1)·(1，x，－1)＝0，
∴⊥，∴D1E⊥A1D.
(2)解　＝(1，x－2,0)，＝(0,2，－1)，
＝(0,0,1)，
设平面D1EC的法向量m＝(a′，b′，c′)，
由得
令b′＝1，∴c′＝2，a′＝2－x，
∴m＝(2－x,1,2)，
又平面ECD的一个法向量p＝＝(0,0,1)，
依题意，cos ＝＝，
∴＝，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2±，又0≤x≤2，
∴x＝2－，
∴当AE＝2－时，平面D1EC与平面ECD夹角的大小为.

§1　从平面向量到空间向量
学习目标　1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．
知识点一　空间向量的概念
思考1　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案　在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．
思考2　若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？
答案　一定相同．因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同．
梳理　空间向量的有关概念
(1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．
知识点二　空间向量的夹角
思考　在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？
答案　0或π.
梳理　空间向量的夹角
(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)图形表示
角度
表示
〈a，b〉＝0
〈a，b〉是锐角
〈a，b〉是直角
〈a，b〉是钝角
〈a，b〉＝π
(3)范围：0≤〈a，b〉≤π.
(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
知识点三　向量与直线、平面
1．向量与直线
与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．
2．向量与平面
如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．

类型一　有关空间向量的概念的理解
例1　给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．故选B.
反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
类型二　求空间向量的夹角
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
解　(1)由题意知，＝，
∴〈，〉＝〈，〉．
又∵∠CAB＝，
故〈，〉＝.
(2)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
(3)由题意知，＝，∴〈，〉＝〈，〉＝.
引申探究
在本例中，求〈，〉．
解　如图，连接B1C，则B1C∥A1D，
且＝，连接AC，
在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，
故∠AB1C＝，
〈，〉＝〈，〉＝.
反思与感悟　求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向．
跟踪训练2　如图，在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　C
解析　取AB的中点O，连接OC，OD，
易得OC⊥AB，OD⊥AB.
∵OC∩OD＝O，OC，OD?平面OCD，
∴AB⊥平面OCD，又CD?平面OCD，∴AB⊥CD.
得〈，〉＝.
类型三　直线的方向向量与平面法向量的理解
例3　已知正四面体A－BCD.
(1)过点A作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
解　(1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线．
(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量．
反思与感悟　直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行．
给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面．
跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
解　取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM∥AB，且PM＝AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP∥BM，且AP＝BM.又在四边形BQC1M中，BQ∥C1M，且BQ＝C1M，
所以四边形BQC1M为平行四边形，
所以BM∥C1Q，且BM＝C1Q，
所以AP∥C1Q，故为直线AP的一个方向向量．
1．下列说法正确的是(　　)
A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量模的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
解析　两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．
2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
解析　因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．所以＝，＝，＝.
3．在正四面体A－BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则是平面BCD的一个________向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　法
解析　由四面体A－BCD为正四面体，易知AO⊥面BCD，故是平面BCD的一个法向量．
4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)
①；②；③；④.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　②③
5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量；
③试写出与向量相等的所有向量；
④试写出向量的所有相反向量．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，.
④向量的相反向量有，，，.
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合．二者缺一不可．
给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．两个非零向量的模相等的是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|?a＝b.
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，以顶点为起点和终点的向量中，平面BB1C1C的法向量的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依题意知，∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量为，，，，共4个．
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．
4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是(　　)
A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α平行，则a∥b
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依据平面向量的概念可知，A，B，C都是正确的，由立体几何知识可得a，b不一定平行．
5．如图，在正四面体A－BCD中，〈，〉等于(　　)
A．45° B．60° C．90° D．120°
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　D
解析　两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得〈，〉＝120°，故选D.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1和D1C1的中点，则〈，〉的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　B
解析　如图，连接A1C1，则A1C1∥MN，又因为B1C1∥BC，故〈，〉＝π－∠A1C1B1＝π－＝.
二、填空题
7．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有________对．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　5
解析　因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB.
由此知〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉都为90°.
8．下列说法正确的是________．(填序号)
①两个长度相等的向量一定相等；
②零向量的方向是任意的；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反；
④任何两个向量都不能比较大小．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　②④
解析　据题意知，只有②④正确．
9．如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝__________________，〈，〉＝________，〈，〉＝________.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
答案　0°　180°　120°
解析　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°.因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°.
因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
10．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，已知AB＝5，AC＝3，BC＝4，CC′＝4，则以该三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为________．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义和模
答案　8
解析　向量，，，及它们的相反向量的模都等于5.
三、解答题
11．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC－A1B1C1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；
(3)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
解　(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量，
(2)向量的相反向量为，.
(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，，都是与平行的向量．
12．如图，在三棱锥S－BAC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SA＝SB＝SC＝a，因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.
因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，
所以AO＝a.又SO＝a，SA＝a，
所以△ASO是等腰直角三角形，
即SO⊥OA.
又OA∩BC＝O，OA，BC?平面ABC，
所以SO⊥平面ABC，
所以是平面ABC的一个法向量．
13．如图所示，在正四面体A－BCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的夹角
解　过E作EF∥CD交AD于F，连接BF.
∠BEF为向量与的夹角的补角．
设正四面体的棱长为1，
则BE＝，EF＝，
BF＝.
由余弦定理，得cos∠BEF＝＝＝.
所以与所成的角的余弦值为－.
四、探究与拓展
14．给出以下命题：
①若a∥b，b与c的夹角是30°，则a与c的夹角也是30°；
②平面的所有法向量方向相同；
③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等．
其中正确命题的序号是________．
答案　③
解析　命题①，当a与b的方向相反时，a与c的夹角是150°，故①错；命题②，平面的法向量仅指垂直于平面的向量，它们的方向相同或相反，故②错；命题③，起点与终点相同的空间向量相等，故③正确．
15．如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
证明　因为AB是圆O的直径，所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM.
因为PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
所以BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，所以BM⊥AN，又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，所以AN⊥平面PBM.
所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．
§2　空间向量的运算(一)
学习目标　1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．
知识点一　空间向量的加减法及运算律
思考　下面给出了两个空间向量a，b，如何作出b＋a，b－a?
答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
梳理　类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b
知识点二　空间向量的数乘运算及运算律
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何
定义
λ＞0
λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0
λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律
λ(a＋b)＝λa＋λb
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论．
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
1．若a＋b＝0，则a＝b＝0.(×)
2．设λ∈R，若a＝λb，则a与b共线．(×)
3.－＝.(×)
4．直线l的方向向量为a，若a∥平面α，则l∥平面α.(×)
类型一　空间向量的加减运算
例1　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
解　(1)－＝－＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解　结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思与感悟　(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.
跟踪训练1　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
类型二　共线问题
例2　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
答案　(1)A　(2)1
解析　(1)因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴解得故k的值为1.
反思与感悟　(1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
①存在实数λ，使＝λ成立．
②对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
③对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练2　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
解　设AC的中点为G，连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与 ＋共线．
类型三　空间向量的数乘运算及应用
例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
解　(1)＝＋
＝(＋)＋＝a＋c＋b.
(2)＝＋＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解　＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思与感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
证明　设＝a，＝b，＝c.
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有(　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
解析　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝，故选D.
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　A
解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.
3．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　C
解析　由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．
4．若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　－
解析　若2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线，
则2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，
∴∴k＝－.
5．化简2＋2＋3＋3＋＝________.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　0
解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
(2)证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B.
C．0 D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　C
解析　－＋＝＋＝－＝0，故选C.
2．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
3．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　A
解析　如图，因为＋＝2，
所以＋(＋)＝＋＝.
4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
5．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a＋b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　B
解析　连接AE(图略)，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝(＋)＝(b＋c)．
在△ABE中，＝＋＝－＋，
又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
6．设点M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设D是BC边的中点，
∵M是△ABC的重心，
∴＝.而＝(＋)＝(c－b)，
∴＝(c－b)．
7．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，
＝(1－n)＋n＝－n＋n，
即－＝n(－)，即＝n.
因为≠0，所以和共线，
又AP和AB有公共点A，所以点A，P，B共线，故选A.
二、填空题
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　2
解析　－＋－＝＋＋－＝＋＝2.
9．在空间四边形ABCD中，连接BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　0
解析　连接DE并延长交BC于点F，连接AF(图略)，
则＝，
∴＋－－
＝＋－＋
＝＋＋＝0.
10．若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　重心
解析　因为＋＝－＝，
所以AG所在直线的延长线为边BC上的中线，同理，得BG所在直线的延长线为AC边上的中线，故G为其重心．
11．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　
解析　∵＝x＋＋，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，
∴x＝.
三、解答题
12．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共面定理及应用
证明　因为M在BD上，
且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，
根据共面向量定理可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
四、探究与拓展
13．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案　2
14．设e1，e2，e3三向量不共面，而＝e1＋2e2＋3e3，＝2e1＋λe2＋μe3，＝3λe1－e2－2μe3，如果A，B，D三点共线，则λ，μ的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
解析　＝＋＝(2e1＋λe2＋μe3)＋(3λe1－e2－2μe3)＝(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3.
∵A，B，D三点共线，
∴与是共线向量．
∴存在实数k，使得＝k，即
e1＋2e2＋3e3＝k[(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3]．
∴(1－2k－3kλ)e1＋(2－kλ＋k)e2＋(3＋kμ)e3＝0.
∵e1，e2，e3三向量不共面，
∴1－2k－3kλ＝0,2－kλ＋k＝0,3＋kμ＝0.
将k＝－代入前两式，
可得
解得λ＝－1，μ＝3.
§2　空间向量的运算(二)
学习目标　1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．
知识点　数量积的概念及运算律
1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)|a|2＝a·a，|a|＝.
(3)cos〈a，b〉＝.
3．空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(2)a·b＝b·a(交换律)．
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
1．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)
2．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)
3．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)
4．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)
类型一　数量积的计算
例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　(1)·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 120°＝－.
(4)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.
反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
类型二　利用数量积证明垂直问题
例2　(1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为___________________________________________________．(填“平行”“垂直”)
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　垂直
解析　∵·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·(－－)＝·＝0，
∴AD与BC垂直．
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面CBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练2　如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
类型三　利用数量积解决空间角或两点间的距离问题
命题角度1　解决角度问题
例3　在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与BC所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
解　∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos〈，〉
＝
＝＝.
反思与感悟　求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求解
解　不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝a－c，＝a＋b.
∴·＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝60°.
又异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2　求空间中的两点间的距离
例4　如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2
＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
反思与感悟　求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练4　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝，即AC1＝.
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　结合向量的运算，只有B正确．
2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
解析　若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A. B．97
C. D．61
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　C
解析　|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，
∴|2a－3b|＝.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　cos〈a，b〉＝＝－，∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
一、选择题
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(　　)
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
考点　空间向量数量积的概念与性质
题点　数量积的性质
答案　A
解析　由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　根据a·(2b－a)＝0，
即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝45°，故选B.
3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
答案　B
解析　由(＋－2)·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，得||＝||，
故△ABC为等腰三角形．
5．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　)
A．14 B. C．4 D．2
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　B
解析　∵|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，
∴|a－2b＋3c|＝.
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(　　)
A.· B.·
C.· D.·
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　D
解析　选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有·＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，
又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，
可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，
此时·＝0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以·＝0，故选D.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　①②正确；∵与的夹角为120°，
∴③不正确，故选B.
二、填空题
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　a2
解析　如图，＝－，
＝－＝－，
∴·
＝(－)·(－)
＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2.
9．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　－
解析　由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，
由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.
解得λ＝－.
10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝.
11．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝.
三、解答题
12．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，
＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，
||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
13．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　空间向量数量积定义
答案　1－
解析　如图，＝－＋＝－＋λ，
故·＝(λ－)·
＝λ||2－||||cos A，
·＝(－λ)·(1－λ)＝λ(λ－1)||2，
设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－.
四、探究与拓展
14．已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB1A1，平行四边形BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，则异面直线BA1与AC所成的角为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　60°
解析　如图所示，∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
§3　向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)
3．1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2　空间向量基本定理
学习目标　1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一　空间向量的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基
有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作i，j，k
空间直角坐标系
以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p＝(x，y，z)
知识点二　空间向量基本定理
思考　平面向量基本定理的内容是什么？
答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
梳理　(1)空间向量基本定理
条件
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p
结论
存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc
(2)基底
条件：三个向量a，b，c不共面．
结论：{a，b，c}叫作空间的一个基底．
基向量：基底中的向量a，b，c都叫作基向量．
1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)
2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)
3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√)
4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)
类型一　基底的判断
例1　下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－MC
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的判断
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C.
(2)②③均可以作为空间的基底，故选B.
反思与感悟　基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1　(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
答案　D
(2)以下四个命题中正确的是(　　)
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．空间向量的基底只能有一组
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．
类型二　空间向量基本定理的应用
例2　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　因为＝＋，
而＝，＝－，
又D为BC的中点，所以＝(＋)，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)－
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
又因为＝－，
＝＝×(＋)
＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
反思与感悟　用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
类型三　空间向量的坐标表示
例3　(1)设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(4，－8,3)，(－2，－3,7)
解析　由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
(2)已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，
e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，
设a＝αe1＋βe2＋λe3，
即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，
所以解得
所以a沿e1，e2，e3的正交分解为a＝e1＋e2＋e3.
反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3　(1)在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　
解析　∵OM＝2MA，点M在OA上，
∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)
＝－a＋b＋c.
∴在基底{a，b，c}下的坐标为.
(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝e3＋e2，
所以＝.
1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
解析　由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1,1，－1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定．
2．在下列两个命题中，真命题是(　　)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　①为真命题；②中，由题意得a，b，c共面，故②为假命题，故选A.
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量在单位正交基底下的坐标
答案　，－1，－
解析　∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3
＝e1＋2e2＋3e3，
∴∴
5．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量在单位正交基底下的坐标
解　延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，
＝＝
＝(＋＋＋－)
＝＋－＝i＋j－k.
＝＋＋＝＋＋
＝－－
＝－－
＝－＋
＝－i＋j＋k.
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
一、选择题
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同
D．向量的坐标与－的坐标相同
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　C
解析　∵＝a－b且a，b不共线，
∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点C坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
5．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　)
A．0,0,1 B．0,0,0
C．1,0,1 D．0,1,0
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
6．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的是(　　)
A．仅① B．仅②
C．①② D．不确定
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　对于①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．
对于②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
7．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝
＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋，故选A.
二、填空题
8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(0,2,1)　(2,2,1)
解析　根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．
9．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
10．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(5,13，－3)
解析　由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即点D坐标为(5,13，－3)．
三、解答题
11.如图所示，在正方体OABC－O′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝(OO′－OC)＝(c－b)．
12.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量的坐标
解　设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，
其方向与各轴的正方向相同，
则＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，
∴＝(2,2,2)．
∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，
∴＝(2,2,1)．∵＝e2，∴＝(0,1,0)．
13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量的基本定理
(1)证明　因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)解　因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
四、探究与拓展
14．已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　3a＋3b－5c
解析　如图所示，取BC的中点G，
连接EG，FG，
则＝－＝－＝＋
＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
15.在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
(1)，，；
(2)，，.
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量的坐标
解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
3.3　空间向量运算的坐标表示
学习目标　1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．
知识点一　空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
1．在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(×)
2．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b?＝＝.(×)
3．四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√)
4．设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(√)
类型一　空间向量坐标的计算
例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.
(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　(1)－244　(2)C
解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.
(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
故cos〈a，b〉＝＝＝.
反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
跟踪训练1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　2
解析　据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝ ＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．
解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
反思与感悟　(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1,0)
＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
类型三　空间向量的夹角与长度的计算
例3　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，E，
C(0,1,0)，
F，G.
所以＝，＝，
 ＝，＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)解　|CE|＝||＝＝.
反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝ ，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，
∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．
2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
3．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)
C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝＝.
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A．0 B．6 C．－6 D．±6
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2 C. D．5
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3 .
5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，
∴＝＝(y≠0)，
∴x＝，y＝－.
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
二、填空题
8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－
解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，
∴cos 120°＝，∴k＝－.
9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　4
解析　由题意知a∥b，
所以＝＝，
即
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；
当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，
a与b同向，所以此时x＋y＝4.
10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－4
解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴在方向上的投影为＝＝－4.
11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
三、解答题
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝ ，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
∴PO＝OB·tan 60°＝.
∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.
(2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，
A(0，－，0)，P(0,0，)．
∴E，
∴＝，＝.
∴·＝0＋0＋×(－)＝－，
||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．
(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，
∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.
四、探究与拓展
14．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　由题意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)，
∴||＝＝3，
∴||＝＝，
∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，
∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝，
∴sin A＝＝，
S△ABC＝||||sin A＝.
15．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
证明　设m＝(，，)，
n＝(1,1,1)，则|m|＝4，|n|＝，
由题意知m·n≤|m||n|，
即＋＋≤4.
当且仅当＝＝，
即a＝b＝c＝时，取“＝”号．
§4　用向量讨论垂直与平行
第1课时　用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标　1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一　空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R)
知识点二　利用空间向量处理平行问题
思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案　(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R)．
(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理　利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．
知识点三　平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
1．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)
2．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×)
3．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×)
4．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)
类型一　求平面的法向量
例1　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即
解得令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．
反思与感悟　利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则
即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
类型二　利用空间向量证明平行问题
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量法求解面面平行
证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，
A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量法求解线面平行
解　存在点E使CE∥平面PAB.
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，∴＝，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
∴y＝1，代入①得z＝，
∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　)
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由题意知解得或
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　因为＝(2,4,6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．
4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　C
解析　∵l∥α，平面α的法向量为，
∴(2，m,1)·＝0，
∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　(1,1,1)(答案不唯一)
解析　不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，
则a·＝0, a·＝0.
因为＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
所以 
所以所以不妨取x＝1，
则a＝(1,1,1)．
(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10.
3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．±
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依题意得，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，
解得x＝±.
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵　∴
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
单位法向量为±＝±.
5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　当a·b＝0时，l?α或l∥α.
6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　B
解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝，∴λ＝6.
7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)
A．－1,2 B．1，－2
C．1,2 D．－1，－2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　A
解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得即
解得
二、填空题
8．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　2∶3∶(－4)
解析　由已知得，＝，
＝，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
9．已知l∥α，且l的方向向量为m＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n＝(1，y,2)，则y＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　
解析　∵l∥α，∴l的方向向量m＝(2，－8,1)与平面α的法向量n＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.
10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　4
解析　由α∥β得＝＝，解得k＝4.
三、解答题
11．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，
依题意有即
解得令y＝1，则x＝2，
∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，，0)，A(0,0,0)，
E，B(1,0,0)，
C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
13．已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，求证：PQ∥平面ACD.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　如图，连接AP并延长交BC于点E，连接ED，易知Q在线段ED上，
∵P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，
∴＝－
＝－
＝(－)＝，
∴∥，即PQ∥AD，
又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
四、探究与拓展
14．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量去求解面面平行
证明　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A1(5,0,4)，
B(5,3,0)，D1(0,0,4)，
B1(5,3,4)，C(0,3,0)，
∴＝(－5,0，－4)，
＝(0,3，－4)，
＝(0,3，－4)，＝(－5,0，－4)．
设平面A1BD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，得x＝－，y＝，则m＝.
设平面B1D1C的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则得n＝.
∵m＝n，即m∥n，∴平面A1BD∥平面B1D1C.
第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题
学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
知识点一　向量法判断线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
知识点二　向量法判断线面垂直
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．
知识点三　向量法判断面面垂直
思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)
2．两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)
3．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)
4．两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)
类型一　线线垂直问题
例1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，
C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，
＝(0，－4,4)，
∴·＝0.∴AC⊥BC1.
类型二　证明线面垂直
例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD?平面A1BD.所以AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)求出平面的法向量．
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，
＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
＝(1,1,1)，
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，
所以PB1⊥平面PAC.
类型三　证明面面垂直问题
例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　方法一　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，
C(0,2,0)，A1(0,0，)，
C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，A1A，AD?平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思与感悟　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解　由于点M在直线AE上，
因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，
即＝，解得λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.
1．下列命题中，正确命题的个数为(　　)
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．
2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)
A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　B
解析　因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　B
解析　∵a∥μ，∴l⊥α.
4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　是
解析　如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由AC＝2，BC＝，
SB＝，
得B(0，，0)，S(0,0，2)，C，
＝，
＝.
因为·＝0，所以SC⊥BC.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2 C．6 D．10
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　D
解析　因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10 B．－10 C. D．－
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　B
解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　C
解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0,①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　B
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　法向量求解线面垂直
答案　B
解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E，
F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法求解面面垂直
答案　B
解析　∵α⊥β，∴μ·v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
二、填空题
8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·＝___________________________________________________________.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　0
解析　因为BE＝EC，故＝－＝(＋)－，在三棱锥A－BCD中，
DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
故·＝·(－)
＝(2－2)＝0.
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量．
其中正确的是________．(填序号)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　①②③
解析　·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．
10．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
考点　向量法求解线面垂直问题
题点　向量法求解线面垂直
答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析　据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得z＝1或z＝－1.
当z＝1时，y＝4，x＝－2；当z＝－1时，y＝－4，x＝2，故n＝(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
三、解答题
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．证明：CD⊥平面PAE.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)．
所以＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，
所以CD⊥AE，CD⊥AP，
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D，
设BE＝x(0≤x≤)，
则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·＝0，
所以当x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
求证：(1)AC⊥PB；
(2)PB∥平面AEC.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　(1)如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设AC＝a，PA＝b.
则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，
C(a,0,0)，P(0,0，b)，
∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)．
从而·＝0，∴AC⊥PB.
(2)由已知得D(a，－b,0)，
E，∴＝.
设平面AEC的一个法向量为n，
则n⊥且n⊥，可得n＝(0,1,1)．
∵n·＝0，∴n⊥PB.
又PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.
四、探究与拓展
14.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比为(　　)
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，
P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1.
15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，
E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)
则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，
∴＝＋，
故，，共面．
又它们有公共点B，
∴E，B，F，D1四点共面．
(2)设M(0,0，z)，则＝，
而＝(0,3,2)，
由题设得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.
∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)，
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)
∴·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，
故ME⊥平面BCC1B1.
§5　夹角的计算
学习目标　1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解．
知识点一　直线间的夹角
思考1　设s1，s2分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈s1，s2〉吗？
答案　不一定．若l1，l2的方向向量的夹角为内的角时，l1与l2的夹角为〈s1，s2〉，否则为π－〈s1，s2〉．
思考2　当两条直线平行时，它们的夹角是多少？
答案　0.
梳理　(1)共面直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为.
(2)异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示．
　
两条异面直线的夹角的范围为，当夹角为时，称这两条直线异面垂直．
综上，空间两条直线的夹角的范围是.
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系
空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
知识点二　平面间的夹角
思考　若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？
答案　0.
梳理　(1)平面间夹角的概念
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是.
当夹角等于0时，两个平面重合；当夹角等于时，两个平面互相垂直．
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定．
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
知识点三　直线与平面的夹角
思考　若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？
答案　不一定．
梳理　(1)直线与平面夹角的概念
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示．
(2)直线与平面夹角的范围
如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是0.
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.
由此可得，直线与平面夹角的范围是.
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法
空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定．
设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.
当0≤〈n，a〉≤时，θ＝－〈n，a〉；
当＜〈n，a〉≤π时，θ＝〈n，a〉－.
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
1．直线与平面的夹角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)
2．平面间的夹角的大小范围是.(√)
3．平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)
4．若直线l?平面α，则l与平面α的夹角为0.(√)
类型一　直线间的夹角求解
例1　已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值．
考点　
题点　
解　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，
∴〈s1，s2〉＞，
∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.
反思与感悟　利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系．因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补．
由于任意两条直线的夹角θ∈，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2〉|.
跟踪训练1　如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．
考点
题点
解　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，
O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.
类型二　求平面间的夹角
例2　如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．
考点　
题点　
解　如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则S(0,0,1)，D，C(1,1,0)，
B(0,1,0)，
∴＝，
＝(1,1，－1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1,1)．
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1,0,0)，
∴cos〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝.
反思与感悟　利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)分别求出两平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)确定平面间夹角的大小．
跟踪训练2　如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：SE＝2EB；
(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小．
考点
题点
(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，
∴＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，＝(0,2,0)．
设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)．
由m⊥，m⊥，得
∴令b＝1，则m＝(1,1,1)．
又设＝λ(λ＞0)，则E，
∴＝.
设平面EDC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由n⊥，n⊥，得
∴令x＝2，则n＝(2,0，－λ)．
由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，∴m·n＝0，
∴2－λ＝0，即λ＝2，∴SE＝2EB.
(2)解　由(1)知E，∴＝，＝，∴·＝0，∴EC⊥DE.
取线段DE的中点F，则F，
∴＝，
∴·＝0，∴FA⊥DE.
∴向量与的夹角或其补角等于平面ADE与平面CDE的夹角．
计算得cos〈，〉＝＝－，
故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60°.
类型三　直线与平面的夹角
例3　已知直线l的一个方向向量为s＝(1,0,0)，平面π的一个法向量为n＝(2,1,1)，求直线l与平面π夹角的正弦值．
考点
题点
解　∵cos〈s，n〉＝＝＝＞0，∴〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin＝cos〈s，n〉＝.
即直线l与平面π夹角的正弦值为.
反思与感悟　注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错．
跟踪训练3　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线CS与底面ABCD夹角θ的余弦值．
考点
题点
解　由题设条件知，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz(如图所示).
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为β＝90°－θ，
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cos θ＝ ＝.
1．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D.或－
考点
题点
答案　A
解析　由
＝＝，
知这两个平面夹角的余弦值为，故选A.
2．已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
考点　
题点　
答案　A
解析　∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB1与ED1夹角的余弦值为.
3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，
M，A(1,0,0)，
N，故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2,0)，则两条直线夹角的余弦值为________．
考点
题点
答案　
解析　据题意知cos〈a，b〉＝＝＝＝.
5．已知平面π1的一个法向量为n1＝(1，－1,3)，平面π2的一个法向量为n2＝(－1,0，－1)，求这两个平面夹角的余弦值．
考点
题点
解　∵n1＝(1，－1,3)，n2＝(－1,0，－1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－＜0.
故这两个平面夹角的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝.
用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角．
一、选择题
1．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D．以上都不对
考点　
题点　
答案　B
解析　∵cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
考点　
题点　
答案　D
解析　∵cos〈a，n〉＝＝＝，
∴直线l与平面α夹角的正弦值为，余弦值为 ＝.
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　方法一　∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝.
而||＝
＝＝＝.
同理||＝.
令α为所求角，则cos α＝＝＝.
方法二　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，N，
∴＝－(1,0,0)＝，
＝－(0,1,0)＝.
故·＝0×1＋×0＋1×＝.
||＝＝，
||＝＝.
设α为所求角，∴cos α＝＝＝.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则直线AD与平面AA1C1C夹角的正弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　
题点　
答案　A
解析　取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，
则＝，＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．
设直线AD与平面AA1C1C夹角为α，
∵cos〈，〉＝－，
∴sin α＝|cos〈，〉|＝.
5．在正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点
题点
答案　C
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，)．
∴＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1，)，
＝(1，－1，)．
设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．
设直线AC与平面SBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．如图，已知空间四边形OABC的各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则直线OE与BF夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝(a＋b)，＝c－b，||＝||＝，
∵·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴直线OE与BF夹角的余弦值为.
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，
＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)．
所以·＝0，
所以直线BM与OP夹角的大小为.
8．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD夹角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．

＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，
故cos〈，〉＝＝.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D夹角的大小为________．
考点　
题点　
答案　30°
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)．
连接AC，BD，则AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴是平面BB1D1D的一个法向量．
∵＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴A1B与平面BB1D1D夹角为90°－60°＝30°.
10．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
考点
题点
答案　0
解析　∵·＝·(－)
＝·－·
＝||·||·cos －||·||·cos 
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
三、解答题
11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，用过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1.若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1夹角的余弦值．
考点
题点
解　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则B(2,2,0)，D1(0,0,3)，A1(2,0,3)，O1(1,1,3)，
∴＝(2,0,0)，＝(－1，－1,3)，
∴·＝(2,0,0)·(－1，－1,3)＝－2，
||＝2，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线BO1与A1D1夹角的余弦值为.
12．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求直线BD1与AE1夹角的余弦值．
考点
题点
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设||＝a，则A(a,0,0)，
B(0，a,0)，E1，
D1，
∴＝，
∴·＝a2，||＝a，||＝a.
∴cos〈，〉＝＝.
∴直线BD1与AE1夹角的余弦值为.
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1.
(1)证明：BC⊥AB1；
(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC夹角的正弦值．
考点　
题点　
(1)证明　由题意，∵四边形ABB1A1是矩形，D为AA1的中点，AB＝2，AA1＝2，AD＝，
∴在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝＝.
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
∴∠AB1B＝∠ABD.
又∵∠BAB1＋∠AB1B＝90°，
∴∠BAB1＋∠ABD＝90°，
即BD⊥AB1.
又∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，
∴CO⊥AB1，又∵CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，
∴AB1⊥平面BCD.
∵BC?平面BCD，∴BC⊥AB1.
(2)解　如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A，B，C，
B1，D.
又∵＝2，
∴C1，
∴＝，＝，
＝，＝.
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
根据可得n＝(1，，－)是平面ABC的一个法向量．
设直线CD与平面ABC的夹角为α，
则sin α＝，
∴直线CD与平面ABC夹角的正弦值为.
四、探究与拓展
14．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　在PA，PB，PC上取点D，E，F，使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥D－PEF为正四面体，取PE的中点H，连接DH，FH，得∠DHF为平面APB与平面PBC的夹角，设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝－b＋c，＝＋＝－b＋a，所以cos〈，〉＝＝.
15.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值．
考点　向量法求面面角
题点　向量法求面面角
解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)则A1(0,0，a)，C(a，a,0)，
D(0，a,0)，E，
∴＝(a，a，－a)，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故A1C与DE所成角的余弦值为.
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．
又B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，
得＝(0，－a,0)，＝(a，－a，a)，
∴cos〈，〉＝＝，
又直线与平面所成角的范围是，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.
(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，则＝，
＝，
平面ABCD的一个法向量为m＝＝(0,0，a)．
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由得
∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝＝，
∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为.
§6　距离的计算
学习目标　1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点一　点到直线的距离
1．点到直线的距离
因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题．
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝.
2．点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．
知识点二　点到平面的距离
1．求点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．
作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．
而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.
2．点到平面的距离的算法框图
空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示．
知识点三　直线到与它平行的平面的距离
如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均相等．
一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离．
知识点四　两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线．公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的公垂线段．
两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离．
1．点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(√)
2．直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(√)
3．两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(×)
4．平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(√)
类型一　向量法求两点间的距离
例1　如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求线段BD的长．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
解　过点D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F.
则由已知条件可知AC＝5，
所以DE＝＝，BF＝＝.
由已知得AE＝CF＝＝，
所以EF＝5－2×＝.
因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DE?平面ADC，DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥FB，即⊥，所以||2＝2＋2＋2
＝＋＋＝，
所以||＝，故线段BD的长是.
反思与感悟　(1)若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解．
(2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2＝a2求解．
跟踪训练1　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α，如果AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)设＝a，＝b，＝c，＝＋＋＝a－b＋c，||＝
＝＝.
(2)设＝a，＝b，＝c，
因为＝＋＋＝－c＋a＋b，
所以||＝
＝
＝
＝
＝.
类型二　求点到直线的距离
例2　在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线的距离
解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．
所以直线EF的方向向量
＝(1，－2,1)；取直线EF上一点F(1,0,2)，则点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量＝(－1,0,2)．
因为在上的投影为·＝，
所以点A到直线EF的距离
d＝＝.
引申探究
本例条件不变，求点B到直线EF的距离．
解　B(2,2,0)，＝(－1，－2,2)，
因为在上的投影为＝.
所以B到直线EF的距离
d＝＝.
反思与感悟　利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．
跟踪训练2　(1)点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足＝＋＋，则点P到棱AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1的距离的最小值为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线的距离
答案　(1)A　(2)
解析　(1)因为在上的投影为＝，所以点P到AB的距离d＝
＝.
(2)D(0,0,0)，C1(0，a，a)，A(a,0,0)，D1(0,0，a)，设＝λ＝(0，λa，λa)(0≤λ≤1)，＝(－a,0，a)，＝(－a，λa，λa)，在上的投影为＝a(1＋λ)．
故点M到的距离d＝＝a ≥a.
类型三　求点到平面的距离
例3　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得∴
令y＝1，则n＝(－1,1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝.
反思与感悟　利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
跟踪训练3　已知点A(－1,1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1,1)，求点A到平面α的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　∵＝(－1,1，－1)，n＝(1，－1,1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝ .
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)
A. B.
C. D．3
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两平面间距离
答案　B
解析　两平面的一个单位法向量为n＝，故两平面间的距离为d＝|·n|＝.
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　A
解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(a,0，a)，
A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，
∴＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，
则∴∴
令y＝1，得n＝(－1,1,2)．
又∵＝(a,0，a)，
故点A1到平面MBD的距离为d＝＝a.
3．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵
∴
即∴
令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
又∵＝(－7，－7,7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝
＝＝＝.
4．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　2
解析　d＝＝＝2.
5.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cos θ＝.则AB与BC的边长之比为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　∶2
解析　设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，
B(0，a,0)，D(0,0，b)．
所以＝，
＝(0，－a，b)，
所以||＝，||＝，
·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理，得4＋5－26＝0，
解得＝2或＝－(舍去)．
所以＝＝.
1．由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求．
2．两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解．
一、选择题
1．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　B
解析　||＝
＝
＝，
因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤||≤5.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为(　　)
A. B. C. D．1
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　A
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，连接B1C，AB1，因为A1D∥平面AB1C，所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离．
D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，A1(2,0,2)，＝(－2,2,0)，
＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面AB1C的法向量，由n·＝0，
n·＝0，得x＝y＝－z，可取n＝(1,1，－1)，
故A1到平面ACB1的距离为＝.
3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　D
解析　以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系Dxyz，C(0,1,0)，C1(0,1)，A(1,0,0)，＝(0,0，)，＝(－1,1，)，
易知⊥平面ABCD，可取为平面ABCD的法向量，
故A1C1到平面ABCD的距离为＝.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到直线距离
答案　B
解析　以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)，
设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，
sin θ＝＝.
故A到直线BE的距离
d＝||sin θ＝2×＝.
5．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A.a B.a
C.a D.a
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求平面间的距离
答案　D
解析　由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，∴＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝＝＝a.
6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝.在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为(　　)
A. B. C. D．1
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　A
解析　以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，
∴＝(－1,1，－)，
＝(－1,0，－)，＝(－1,1,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝－，得y＝0，z＝1，∴n＝(－，0,1)．
故点B1到平面A1BC的距离为d＝＝.
7．已知三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，若点C到平面AB1D的距离为1，则a的值为(　　)
A. B．2 C. D．2
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　D
解析　以B为坐标原点，BC，BB1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.由题设可知A，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D，于是有＝，
＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，
则则
令y＝1，可得n＝(，1,2)．
所以点C到平面AB1D的距离为d＝＝a.
令a＝1，解得a＝2.
故当a＝2时，点C到平面AB1D的距离为1.
二、填空题
8．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　因为＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以点P到α的距离为|·|＝＝.
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到平面AB1D1的距离是________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
答案　
解析　如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，
B1(2,0,4)，D1(0,2,4)．
设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴＝(2,0,4)，＝(0,2,4)，
则∴
令z＝1，得n＝(－2，－2,1)，
∴点A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求平面的距离
答案　
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(0,1，－1)，
＝(－1,0，－1)，
＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．
∴点D1到平面A1BD的距离为d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
三、解答题
11．在如图所示的空间直角坐标系中，长方体ABCD－A′B′C′D′的棱AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别为A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两直线间的距离
解　依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1,1,0)，＝.
所以点M到直线AC的距离
d＝＝＝.
12．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，
C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．
设点F(0,0，z)．
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴＝，∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2，∴F(0,0,2)，
∴＝(－2，－4,2)，∴||＝2.
即BF的长为2.
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
由得
即
∴∴n1＝.
又∵＝(0,0,3)，
∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
13．如图，在四棱锥S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点A到平面BCS的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　如图，以S(O)为坐标原点，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Sxyz.设A(xA，yA，zA)，因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，即点A在xSz平面上，因此yA＝0，zA＝||＝1.
又x＋12＝||2＝3，xA＞0，解得xA＝.
从而A(，0,1)．
因为AD∥BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面ySz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA＝.
四、探究与拓展
14．空间直角坐标系中(O为坐标原点)，在坐标平面xOy上到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．不存在 D．无数个
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两点间的距离
答案　D
解析　过AB的中点且以＝(0,3，－4)为法向量的平面上的点到A，B的距离相等．
15．已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
(1)证明　如图，取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，且A1D⊥平面ABC，以D为坐标原点，射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，
设A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，其中t＞0，则＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，＝(2,0,0)，
因为·＝0，所以AC1⊥CB，
又因为BA1⊥AC1，且BC∩BA1＝B，BC，BA1?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC.
(2)解　由(1)知AC1⊥平面A1BC，
所以·＝－3＋t2＝0，t＞0，得t＝.
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0,1，)，＝(2,2,0)，
所以
设z＝1，则n＝(，－，1)．
所以点C1到平面A1AB的距离d＝＝.
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点　命题的定义及分类
题点　命题的定义
答案　D
解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B项所给语句不是命题；C项的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明，故选D.
2．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
考点　四种命题的概念
题点　判断四种命题的真假
答案　A
解析　＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列．
原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
3．使不等式＞成立的充分条件是(　　)
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜0 D．a＞0，b＜0
考点　充分条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　D
解析　a＞0，b＜0?＞，其他条件均推不出＞，故选D.
4．下列命题中正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行
B．向量a，b，c共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理应用
答案　C
解析　对于A，当b＝0时，a与c所在直线可重合、平行、相交或异面；当b≠0时，a与c所在直线可重合，排除A；对于B，它们所在直线可异面，排除B；对于D；b＝0时不满足，排除D项．
5．已知向量a，b，c是空间的一基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　B
解析　设p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
得即
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF的夹角为定值
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
答案　D
解析　以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则B1(0,1,1)，D1(1,0,1)，B(0,1,0)，是平面B1BDD1的法向量，BE?平面B1BDD1，故AC⊥BE，故A正确；是平面ABCD的法向量，＝(0,0,1)，＝·＝，·＝0，故⊥，故EF∥平面ABCD，故B正确；VA－BEF＝S△BEF·h＝×||·||·||＝||·||·||＝，故C正确．
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别是DC，BB1的中点，则异面直线MN与A1B的距离为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　B
解析　以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)，
∴＝(－3,2,1)，＝(0,4，－2)．
设MN，A1B的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则z＝2，x＝，即n＝，∴|n|＝.
又∵＝(－3，－2,2)，
∴异面直线MN与A1B的距离为＝.
二、填空题
8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数x的取值范围是________．
考点　命题的真假判断
题点　由命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－1]∪[4，＋∞)
解析　由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋＜1，
得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
9．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件(填“充分”“必要”)．
考点　必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　必要
解析　因为该命题的否命题为真命题，所以B?A.又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A?/ B，即A是B的必要条件．
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为________．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求两线间的距离
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系Dxyz，在线段AB上取点E，使||＝||，易得∥，
则AM∥平面ENC，
则异面直线AM与CN的距离等于M到平面ENC的距离，
E，N，C(0,1,0)，M，＝，＝，＝，
设n＝(x，y，z)为平面ENC的法向量，
由n·＝0，n·＝0，得y＝－2z＝4x，
可取n＝(1,4，－2)，
故AM与CN的距离为＝.
11．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＋y＝________.
考点　空间向量运算的坐标运算
题点　空间向量的坐标运算
答案　－
解析　a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以a＋2b＝λ(2a－b)，可得λ＝，x＝，y＝－4，即x＋y＝－.
三、解答题
12．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求取值范围
解　y＝x2－x＋1＝2＋，
因为x∈，所以≤y≤2.
所以A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
所以B＝{x|x≥1－m2}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A?B，
所以1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
13.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值．
考点　
题点　
方法一　(1)证明　如图，取AE的中点H，连接HG，HD.
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，且AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解　如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2)．
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，
所以平面AEF与平面BEC夹角的余弦值为.
方法二　(1)证明　如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一．
四、探究与拓展
14．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要不充分条件，则使a＞b恒成立的实数b的取值范围为________．
考点　必要条件的概念及判断
题点　由必要条件求取值范围
答案　(－∞，2]
解析　由于p：x2－2x－3＜0?－1＜x＜3，
－a＜x－1＜a?1－a＜x＜1＋a(a＞0)．
依题意，得{x|－1＜x＜3}?{x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)，
所以解得a＞2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，
即(－∞，2]．
15．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点到平面的距离
解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，＝，＝.
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
所以
令x＝2，则y＝2，z＝3.所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以直线AC到平面PEF的距离为.
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立体几何问题．
1．空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv，k∈R
线线垂直
l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
线线夹角
l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角
l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角
α，β的夹角为θ，cos θ＝
2.用向量法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论．
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．
(2)点的坐标，向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题．
(3)几何问题与向量问题的转化．平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．
1．向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等．(×)
2．两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，平面间的夹角的范围是[0，π]．(×)
3．若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)
类型一　空间向量的概念及运算
例1　(1)给出下列命题：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　①为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②为真命题；③为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.
给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　③④
解析　可以推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
类型二　空间向量法证明平行与垂直
例2　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.
考点　向量法求解线面位置关系
题点　向量法求解线面平行
证明　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则E，
F，
故＝.
又＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0，a,0)·＝0，
∴⊥，即AB⊥EF.又EF?平面BB1C1C，
因此EF∥平面BB1C1C.
反思与感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证)．
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
证明：平面PQC⊥平面DCQ.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　如图所示，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
设DA＝1，依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，D(0,0,0)，则＝(1,1,0)，
＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，
∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，
故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
类型三　空间向量法求空间角
例3　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，P是AA1的中点．
(1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体积之比；
(2)求平面PBC1与平面ABC夹角的正切值．
考点　
题点　
解　(1)以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，
则A，B，
B1，C1，
所以＝(a,0，b)，＝.
因为AB1⊥BC1，
所以·＝0.
即－＋b2＝0，所以a＝b.
又点B到平面ACC1P的距离d＝a，P是AA1的中点，
所以＝
＝××a·a＝a2b，
则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为
V′＝－
＝a2b－a2b＝a2b.
所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为1∶1.
(2)由(1)知a＝b，令b＝2，则a＝2.
所以B(，0,0)，C1(0，，2)，P(－，0,1)．
所以＝(－2，0,1)，＝(－，，2)．
设平面PBC1的法向量为n1＝(x，y，z)．
则
即
令x＝1，得z＝2，y＝－.
所以n1＝(1，－，2)．
取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以sin〈n1，n2〉＝.
所以tan〈n1，n2〉＝＝＝.
即平面PBC1与平面ABC夹角的正切值为.
反思与感悟　利用坐标法求平面间的夹角的余弦值的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所在直线所成的锐角θ，cos θ＝.
跟踪训练3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.
(1)求EF的长；
(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值．
考点　
题点　
解　(1)因为EF∥CB，∠ACB＝90°，
所以CE⊥EF，AE⊥EF.
又平面AEF⊥平面EFBC，
平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，
AE?平面AEF，
所以AE⊥平面EFBC.
设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，
所以＝，
即AE＝＝＝2x.
VA－EFBC＝S梯形EFBC·AE
＝×(x＋2)(4－2x)×2x
＝，x∈(0,2)．
由题意得＝2，即x3－4x＋3＝0，
即(x－1)(x2＋x－3)＝0，
所以x＝1或x＝，
即EF＝1或EF＝.
(2)以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
因为EF＝1，则A(0,0,2)，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)．
设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为θ，
则sin θ＝|cos〈·n〉|＝
＝＝.
所以直线AC与平面ABF夹角的正弦值为.
1．已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　)
A. B．5 C．6 D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　A
解析　∵|a－b＋2c|2
＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝12＋12＋4×12－2×1×1×cos 60°＋4×1×1×cos 60°－4×1×1×cos 60°＝5，
∴|a－b＋2c|＝.
2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　A
解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，
所以＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，
从而 cos〈，〉＝
＝＝，
所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
3．已知在三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC夹角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　如图，以A为坐标原点，分别以AB，AS所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，
B(2,0,0)，C(1，，0)．
则＝(－1，，0)，＝(－2,0,3)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，
所以当θ为直线AB与平面SBC的夹角时，
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，其中t∈R，则|b－a|的最小值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2
＝5＋，
∴当t＝时，|b－a|＝，
∴|b－a|min＝.
5．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，实数m的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　1
解析　∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，
E(－2,1，m)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)，
根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，
使得＝x＋y，
则有解得m＝1.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．
一、选择题
1．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　若两向量的夹角为钝角，则a·b＜0，且a与b不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故选B.
2．下列说法正确的是(　　)
A．零向量是有方向的向量
B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是＝
D．若与是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
考点　
题点　
答案　A
解析　规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B错误；对于选项C，是必要条件，不是充分条件，因为当＝时，有可能A，B，C，D四点共线，故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a－b B．a＋b C.a－b D．2(a－b)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　A
解析　＝＋＝－＝－－＝－a－b.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，
则sin〈，〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.、
设棱长为1，则D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
M，
∴＝(1,1,1)，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝.
5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，i，j，k是两两互相垂直的单位向量，则5a与3b的数量积等于(　　)
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，
故5a＝(15,10，－5)，3b＝(3，－3,6)，
∴5a·3b＝15×3＋10×(－3)＋(－5)×6＝45－30－30＝－15.
6．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.或
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设所求向量为c＝(x，y，z)，
由c·a＝0及c·b＝0及|c|＝1，
得检验知选D.
7．已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
答案　D
解析　依题意得c＝ta＋μb＝(－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ)，
所以解得故选D.
二、填空题
8．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　5
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v垂直，
∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，则abc＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　－
解析　由平行六面体ABCD－A1B1C1D1，得＝＋＋，又已知＝a＋2b＋3c，可得a＝1,2b＝1,3c＝－1，解得a＝1，b＝，c＝－，所以abc＝－.
10．已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　－6
解析　∵A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)，
∴＝(2,0，－4)，＝(4，－2,0)，＝(x,2,4)．
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)，
∴解得x＝－6.
11．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　
解析　如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.
可求得AM＝，BM＝，
CN＝，DN＝，MN＝1.
∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋
||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝.
三、解答题
12.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的一个四等分点(靠近点C1)，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共线定理及应用
解　∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)．
连接AC，则＝(－1,1,0)．
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.又因为＝，
＝(1,1，m－1)，
而D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以 
解得m＝，满足0≤m≤1，即M为B1B的中点．
四、探究与拓展
14．正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD夹角的正弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　取BC的中点O，连接AO，DO，
以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，
B，C，
D，
所以＝，＝，
＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝＝，
因此直线CD与平面ABD夹角的正弦值为.
15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
考点　
题点　
(1)证明　∵AE⊥A1B1，
A1B1∥AB，∴AB⊥AE，
又∵AB⊥AA1，AE∩AA1＝A，
AE，AA1?平面A1ACC1，
∴AB⊥平面A1ACC1，
又∵AC?平面A1ACC1，
∴AB⊥AC.
以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，E，F，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．
设D(x1,0,1)，则＝λ，且λ∈[0,1]，
即(x1,0,0)＝λ(1,0,0)，
∴D(λ，0,1)，
∴＝，
又＝，
∴·＝－＝0，∴DF⊥AE.
(2)解　存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为.理由如下：
设平面DEF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
∵＝，＝，
∴
即
令z2＝2(1－λ)，
∴n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．
由题意可知平面ABC的法向量m＝(0,0,1)．
∵平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
即＝，
∴λ＝或λ＝.
∵λ∈[0,1]，∴λ＝舍去．
∴点D为A1B1的中点．