第一章导数及其应用学案+滚动训练+章末检测

滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．从x0到x1的平均变化率
B．在x＝x1处的变化率
C．在x＝x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率．
2．下列求导结果正确的是(　　)
A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3
C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析选项：
对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；
对于B，(2)′＝(2)′＝2××＝3，故B正确；
对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；
对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D错误．故选B.
3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为(　　)
A. B．0
C．1 D．2
考点　导数的乘除法则及运算
题点　导数的乘除法则及运算
答案　C
解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，
解得a＝1.
4．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)
A．1 B．e
C．－ D.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　设M(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝，
所以切线斜率k＝y′|＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e.
所以k＝＝，故选D.
5．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　)
A．2 017 B．2 016
C．2 D．0
考点　导数的加减法则及运算
题点　导数的加减法则及运算
答案　C
解析　函数的导数f′(x)＝acos x＋3bx2，
则f′(x)为偶函数，则f′(2 017)－f′(－2 017)
＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0，
由f(x)＝asin x＋bx3＋1，
得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1，
f(－2 016)＝－asin 2 016－b·2 0163＋1，
则f(2 016)＋f(－2 016)＝2，
则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.
6．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，则a＋b的值为(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
答案　A
解析　由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，
∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1，
∴f′(x)＝＋＋a，
又∵曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，
∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，
∴a＝0，故a＋b＝－1，选A.
7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出四个函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝ln x，④f(x)＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析所给的函数：
①若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，①符合要求；
②若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；
③f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合可知该方程存在实数解(图略)，③符合要求；
④f(x)＝tan x＝，则f′(x)＝，由＝，即sin xcos x＝1，变形得sin 2x＝2，无解，④不符合要求，故选B.
8．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，
所以切点坐标为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．
所以a＋b的最大值是，故选D.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝mxm－n的导数为f′(x)＝8x3，则mn＝________.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　
解析　∵函数f(x)＝mxm－n的导数为
f′(x)＝m(m－n)xm－n－1，
∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2，
由此可得mn＝2－2＝.
10．若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位为m，时间单位为s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的物理意义
答案　0.4
解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
11．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数为f′(x)，则f′(1)＝________.
考点　导数的乘除法则及运算
题点　导数的乘除法则及运算
答案　－6
解析　方法一　因为f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＋x(x－2)(x－3)(x－4)＋x(x－1)(x－3)(x－4)＋x(x－1)(x－2)(x－4)＋x(x－1)(x－2)(x－3)，
所以f′(1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6.
方法二　∵f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，
令g(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)，
则f(x)＝(x－1)g(x)．
∴f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)
＝g(x)＋(x－1)g′(x)，
则f′(1)＝g(1)＋(1－1)g′(1)＝g(1)，
∵g(1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，
∴f′(1)＝g(1)＝－6.
12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　
解析　令y′＝2x－＝1，得x＝1，
故当点P的坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d＝＝.
三、解答题
13．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求函数在某点处的切线方程
解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1，
∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝cos x＋e－x＋x2 016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 017(x)等于(　　)
A．－sin x＋e－x B．cos x－e－x
C．－sin x－e－x D．－cos x＋e－x
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　C
解析　f1(x)＝f′(x)＝－sin x－e－x＋2 016x2 015，
f2(x)＝f1′(x)＝－cos x＋e－x＋2 016×2 015×x2 014，
f3(x)＝f2′(x)＝sin x－e－x＋2 016×2 015×2 014x2 013，
f4(x)＝f3′(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013x2 012，
…，
∴f2 016(x)＝f′2 015(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1，
∴f2 017(x)＝f′2 016(x)＝－sin x－e－x，故选C.
15．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．
考点　求函数过某点的切线方程
题点　求函数过某点的切线方程
解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，故所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．
由f′(x0)＝3x－3，
得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故直线l的斜率k＝－，
故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
滚动训练二(1.3.1～1.3.3)
一、选择题
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，
因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
由于af(b)>f(a)．
4．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为(　　)
A．0 B. C. D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时取得最大值．
5．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
答案　B
解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，则06．已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]∪[e2，＋∞) B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)
C．(－∞，e2] D．[1，e2]
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，
若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，
由f′(x)<0得－若函数f(x)在(1，e)上为单调递增函数，
则≤1，即0若函数f(x)在(1，e)上为单调递减函数，
则≥e，即b≥e2，
综上b≤1或b≥e2，故选A.
7．已知函数f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数的图象确定原函数图象
答案　B
解析　从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
8．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　C
解析　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥max.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－>0，
∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，
∴a≥－6.
当x∈[－2,0)时，a≤，
∴a≤min.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，
当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c10.已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数，如图是f′(x)的大致图象，若f(x)的极大值与极小值的和等于，则f(0)的值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　
解析　∵其导函数的函数值在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，
由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，
∴函数在x＝－2时取得极大值，在x＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f(0))对称，
由f(x)的极大值与极小值之和为，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)＝，
∴f(0)的值为.
11．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，
∴m＋＝，∴m＝2.
三、解答题
12．某造船公司年造船量为20艘，已知造船x艘的产值函数R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么．
解　(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N＋，且1≤x≤20)．MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N＋，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)．因为x＞0，所以P′(x)＝0时，x＝12.所以当0＜x＜12时，P′(x)＞0，当x＞12时，P′(x)＜0，所以当x＝12时，P(x)有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305，所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调递减区间为[1,19]，且x∈N＋，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．
13．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x＜－或x＞时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；当－＜x＜时，g′(x)＞0，从而g(x)在[－，]上是增函数．
由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只可能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[e，＋∞)
解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e或0(舍去)，
当00；
当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
15．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值；
(3)求证：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N＋)．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
(1)解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，
所以f′(x)＝＋＝，
所以f′(0)＝2，
又f(0)＝0，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)解　f′(x)＝＋
＝(x>－1)．
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值．
若－a－1>－1，即a<0，
当－1当x>－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，
极小值为ln(－a)＋a＋1.
(3)证明　当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，
所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.
令x＝(n∈N＋)，
则ln≥＝，
所以ln≥.
又因为－＝>0，
所以>，
所以ln>，
所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．曲线y＝sin x＋ex(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为(　　)
A．2 B．3
C. D.
答案　A
解析　∵y′＝cos x＋ex，
∴k＝y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，故选A.
2．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v2，则和v2关系为(　　)
A.>v2 B.C.＝v2 D．不能确定
答案　C
解析　平均速度为＝＝＝2g.
∵s(t)＝gt2，
∴s′(t)＝gt，∵t＝2的瞬时速度为v2，
∴v2＝s′(2)＝g×2＝2g，∴＝v2，故选C.
3．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
答案　C
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝＝，
由f′(x)>0，可得x>2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．已知?(kx＋1)dx＝k，则实数k等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　A
解析　∵?(kx＋1)dx＝k，
∴＝k，
∴k＋1＝k，∴k＝2.
5．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的个数为(　　)
①f(x)＝－x3＋2x－1；②f(x)＝ln x－2x；
③f(x)＝sin x＋cos x; ④f(x)＝xex.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　①对于f(x)＝－x3＋2x－1，
f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，
当x∈时，f″(x)<0，故为凸函数；
②对于f(x)＝ln x－2x，f′(x)＝－2，
f″(x)＝－，
当x∈时，f″(x)<0，故为凸函数；
③对于f(x)＝sin x＋cos x，
f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，
当x∈时，f″(x)<0，故为凸函数；
④对于f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，
f″(x)＝(x＋2)ex，
当x∈时，f″(x)>0，故不是凸函数，故选D.
6．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[2，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　函数的导数为f′(x)＝1－.
若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，
则等价为f′(x)≤0在区间(0,2]上恒成立，
即1－≤0，即≥1，又∵x∈(0,2]，∴a≥x，即a≥2，故选B.
7．若函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则(　　)
A．a>－2 B．a≥－2
C．a<－2 D．a≤－2
答案　C
解析　∵f(x)＝x2＋aln x，∴f′(x)＝ (x>0)．
设g(x)＝2x2＋a，∵函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，∴g(1)＝2＋a<0，∴a<－2.故选C.
8.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有(　　)
A．a>0，b>0　　　　 B．a<0，b<0
C．a<0，b>0 D．a>0，b<0
答案　B
解析　由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1，x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，
∴a<0.
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，
∴b<0.
9．如图，阴影区域是由函数y＝cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是(　　)
A．1 B．2 C. D．π
答案　B
解析　由题意，阴影区域的面积是S＝＝＝2.故选B.
10．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
答案　B
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3ax2＋，f′(1)＝3a＋.
令F(a)＝3a＋(a<0)，
则F′(a)＝3－＝＝，
∴F(a)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴F(a)max＝F(－2)．∴a＝－2.
11．若函数y1＝sin 2x1＋，函数y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A.＋ B.
C.2 D.
答案　D
解析　表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离．
∵y1′＝2cos 2x1，令y1′＝1，
∴cos 2x1＝，
∵x1∈，∴x1＝，
∴y1＝，故切点为，切点到直线y2的距离为＝，
∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.故选D.
12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　B
解析　当a＝0时，由f(x)＝－3x2＋1＝0，
解得x＝±，函数f(x)有两个零点，不符合题意．
当a>0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3ax＝0，
解得x＝0或x＝>0，
此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∵当x→－∞时，f(x)→－∞，且f(0)＝1>0，
∴存在x0<0，使得f(x0)＝0，不符合题意．
当a<0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3ax＝0，
解得x＝0或x＝<0，
此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x



0

f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
∵f(0)＝1>0，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，
∴存在x0>0，使得f(x0)＝0.
又f(x)存在唯一的零点x0，
∴极小值f＝a3－32＋1>0，
∴a>2或a<－2.
∵a<0，∴a<－2.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－2)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是________．
答案　
解析　由定积分可求得阴影部分的面积为
S＝?(－x2)dx＝x－x3|＝，
所以落在叶形图内部的概率是.
14．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．
答案　1
解析　求导数可得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
且f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则a＝1；
若＝2，则a＝1，
因此a＝1.
15．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝__________.
答案　1－ln 2
解析　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b)．
由导数的几何意义，可得k＝＝，得x1＝x2＋1.
再由切点也在各自的曲线上，
可得
联立上述式子，解得
从而由kx1＋b＝ln x1＋2，得出b＝1－ln 2.
16．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
答案　(0,1)∪(2,3)
解析　由题意知，f′(x)＝－x＋4－＝－.
由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，
故只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调．
由t<1三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.经检验a＝3符合题意．
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)∵点A在f(x)上，由(1)可知，f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
18．(12分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：
(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；
(2)f(x)的最小值是1.
若存在，求出a，b，若不存在，请说明理由．
解　设g(x)＝，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴∴
解得
经检验，当a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．
19．(12分)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
解　(1)由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，
即g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝－＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x.
设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，
则h′(x)＝－≤0，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g.
当0h(1)＝0，即g(x)>g.
当x>1时，h(x)20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解　(1)由于年销售量为Q(x)＝，
则＝500，所以k＝500e40，
则年销售量为Q(x)＝万件．
则年利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0；
所以x＝35时，L(x)取最大值500(5－a)e5.
②当4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当421．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3.
f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－3＝6(x－2)，即6x－y－9＝0.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

0

f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
当x∈时，f(x)>0等价于
即解不等式组，得－5②若a>2，则0<<.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

0



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
当x∈时，f(x)>0等价于
即
解不等式组，得因此2综合①②可知，a的取值范围为(0,5)．

§1.1　导　数
1.1.1　函数的平均变化率
学习目标　1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
知识点　函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
答案　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
梳理　函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]或[x0＋Δx，x0]的平均变化率
(1)条件：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)结论：当Δx≠0时，商：＝称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上的平均变化率．
(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢．
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　)
2．平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢．(　√　)
类型一　求函数的平均变化率
例1　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解　(1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
反思与感悟　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤：
跟踪训练1　如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
答案　(1)　(2)
解析　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
类型二　比较平均变化率的大小
例2　求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　变化问题与变化率
题点　变化率大小的比较
解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟　比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两个不同点处的平均变化率．
(2)作差(或作商)，并对差式(或商式)作合理变形，以便探讨差的符号(或商与1的大小)．
(3)下结论．
跟踪训练2　甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是(　　)
A．v甲>v乙 B．v甲C．v甲＝v乙 D．不确定
答案　B
解析　由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
所以<，所以v甲1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝＝＝2.1.
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案　C
解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝4＋2Δx.
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　B
解析　＝＝＝－1.
4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别是，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
5．计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
解　函数f(x)＝x2在[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率为＝＝2＋Δx.
(1)当Δx＝2时，平均变化率的值为4.
(2)当Δx＝1时，平均变化率的值为3.
(3)当Δx＝0.1时，平均变化率的值为2.1.
(4)当Δx＝0.01时，平均变化率的值为2.01.
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢．
2．求函数f(x)的平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.
(3)得平均变化率＝.
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx应满足(　　)
A．Δx<0 B．Δx>0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
答案　D
解析　根据定义知Δx可正、可负，但不能为0.
2．当自变量从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．在[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对
答案　A
3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)
A．2 B．2Δx
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
答案　C
解析　2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2，
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx .
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　)
A．④ B．③ C．② D．①
答案　B
解析　根据平均变化率的定义计算可知，y＝x3的平均变化率最大．
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　)
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案　B
解析　在t0处，有W1(t0)＝W2(t0)，
在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂治污效果较好．
6．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　C
解析　平均变化率为＝＝5.
7．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)
A．k1k2
C．k1＝k2 D．不确定
答案　B
解析　∵k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，由题意知，Δx>0，故k1>k2.
二、填空题
8．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
9．函数y＝f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．
答案　
解析　＝＝.
10．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.
t/min
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/ (mg/mL)
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)．
答案　－0.002
解析　＝
＝－0.002 mg/(mL·min)．
11．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．(注：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2))
答案　2
解析　ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
∴m2＋m＋1＝7，
∴m＝2或m＝－3(舍)．
三、解答题
12．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
解　在0到之间的平均变化率为＝；
在到之间的平均变化率为
＝.
∵2－<1，∴>.
∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大．
13．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，
∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
四、探究与拓展
14．甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
答案　C
解析　在[0，t0]内，甲、乙的平均速度均为，
故A和B错；在[t0，t1]内，
甲＝，乙＝.
∵s2－s0>s1－s0，且t1－t0>0，
∴甲>乙，故C正确，D错误．
15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解　∵山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∴hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B陡峭．
1.1.2　瞬时速度与导数
学习目标　1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．
知识点一　瞬时速度与瞬时变化率
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
思考1　试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
答案　＝＝－6－3Δt.
思考2　当Δt趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？
答案　当Δt趋近于0时，趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
梳理　瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→l.
上述过程，通常也记作＝l.
知识点二　y＝f(x)在点x0处的导数
(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数定义式：
f′(x0)＝.
(2)实质：函数y＝f(x)在点x0处的导数即函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率．
知识点三　导函数
对于函数f(x)＝－x2＋2.
思考1　如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)?
答案　f′(x0)＝
＝(－2x0－Δx)＝－2x0，
∴f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1，f′(a)＝－2a.
思考2　若a是一变量，则f′(a)是常量吗？
答案　f′(a)＝－2a，说明f′(a)不是常量，而是关于a的函数．
梳理　导函数的概念
(1)函数可导的定义
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．
(2)导函数的定义
①条件：f(x)在区间(a，b)可导．
②定义：对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．
③导函数记法：f′(x)或y′(或yx′)．
1．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　)
3．函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　√　)
类型一　求瞬时速度
例1　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴＝(3＋Δt)＝3，
∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究　
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴(1＋Δt)＝1，
∴物体在t＝0 s时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt，
＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
∴2t0＋1＝9，∴t0＝4.
即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题的常见错误．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
②求平均速度＝.
③求瞬时速度v＝.
跟踪训练1　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解　质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2 s处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
又∵＝4a＝8，∴a＝2.
类型二　求函数在某一点处的导数
例2　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝a，则f′(x0)＝________.
答案　－a
解析　∵
＝＝－3f′(x0)＝a，
∴f′(x0)＝－a.
(2)利用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
解　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝＝＝.
反思与感悟　(1)求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
(2)瞬时变化率的变形形式
＝
＝＝
＝f′(x0)．
跟踪训练2　已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解　∵f′(x0)＝
＝＝(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2 (a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
答案　C
解析　f′(x0)＝＝ (a＋b·Δx)＝a.
2．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
考点　导数的概念
题点　导数概念的理解
答案　C
3．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________．
答案　16
解析　f′(3)＝
＝＝16.
4．一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝______时的瞬时速度为1.
答案　2
解析　设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，
因为＝
＝＝2t0－3＋Δt，
所以(2t0－3＋Δt)＝2t0－3＝1，解得t0＝2.
5．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
答案　4＋Δt　4
解析　在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
利用导数定义求导数三步曲
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)作比求平均变化率＝.
(3)取极限得导数f′(x0)＝.
简记为一差，二比，三极限．
一、选择题
1．若y＝f(x)＝，则f′(1)等于(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
答案　B
解析　∵＝＝，
∴f′(1)＝＝＝－1.
2．已知y＝f(x)＝－x2＋10，则y＝f(x)在x＝处的瞬时变化率是(　　)
A．3 B．－3 C．2 D．－2
答案　B
解析　∵＝＝－Δx－3，
∴＝(－Δx－3)＝－3.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案　A
4．设函数f(x)可导，则等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
答案　A
解析　＝f′(1)．
5．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　)
A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
答案　B
解析　设在t时刻的速度为0，
∴＝
＝－8t＋16－4Δt，
＝(－8t＋16－4Δt)＝－8t＋16＝0，
解得t＝2.
6．已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．±2 B．2 C．－2 D．－4
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
答案　A
解析　f′(x)＝＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
二、填空题
7．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于的值，以下说法正确的是__________．(填序号)
①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．
答案　②
8．若点(0,1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________.
答案　2
解析　∵f′(0)＝＝(a＋Δx)
＝a＝1，
又∵f(0)＝1，即b＝1，∴a＋b＝2.
9．在曲线y＝x2＋2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则＝________.
答案　2
解析　∵＝＝2＋Δx，
∴(2＋Δx)＝2.
10．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案　3
解析　v初＝s′|t＝0＝＝(3－Δt)＝3.
11．设函数f(x)可导，则＝________.
答案　f′(1)
解析　＝
＝f′(1)．
三、解答题
12．求函数y＝f(x)＝x＋在x＝1处的导数．
解　由导数定义，得Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)＋－3＝，
∴＝，
∴f′(1)＝＝＝－1.
13．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程(单位：m)与时间(单位：s)的关系式为s(t)＝at2，如果枪弹的加速度a＝5×105 m/s2，且当t＝1.6×10－3 s时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解　∵s＝at2，∴＝＝at＋aΔt.
∴＝at，
由题意知，a＝5×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s，
∴at＝8×102＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
四、探究与拓展
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．
答案　2
解析　由AB＝t，
∴S(t)＝·OA·AB＝t·t＝t2，
∴S′(2)＝＝＝2.
15．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
解　由导数的定义知，
f′(x0)＝＝2x0，
g′(x0)＝＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0，
解得x0＝或x0＝.
1.1.3　导数的几何意义
学习目标　1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
答案　割线PPn的斜率kn＝＝.
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？
答案　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.
思考3　当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)曲线的切线
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线．由此割线的斜率是＝，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．
(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义
①几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率等于f′(x0)．
②曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率为.
③相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　√　)
2．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　×　)
类型一　求切线方程

例1　求曲线y＝在点M处的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　因为y′＝＝＝－，
所以曲线y＝在点M处的切线斜率为－，
所以曲线在点M处的切线方程为
y－＝－(x－3)，即x＋9y－6＝0.
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案　－3
解析　∵y′|x＝2＝＝＝(4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.

例2　求抛物线y＝x2过点的切线方程．
解　设切线在抛物线上的切点为，
∵y′|＝
＝＝x0，
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切线过抛物线y＝x2上的点，，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，y0，及k, 从而写出切线方程．
跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
类型二　求切点坐标
例3　已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解　对于曲线y＝x2－1，
k1＝y′|＝＝2x0.
对于曲线y＝1－x3，
k2＝y′|＝
＝＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或x0＝－.
引申探究
1．若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解　∵k1＝y′|＝2x0，k2＝y′|＝－3x，
又曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，∴2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．
解　由例3知x0＝0或－.
当x0＝0时，两条平行的切线方程为y＝－1或y＝1.
当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两条平行的切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思与感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点坐标为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
类型三　导数几何意义的应用
例4　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝＝3x2＋2ax－9＝32－9－≥－9－.
由题意知f′(x)最小值是－12，
∴－9－＝－12，a2＝9，
∵a＜0，
∴a＝－3.
跟踪训练4　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
答案　A
解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案　A
解析　由题意知，k＝y′|x＝0
＝＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案　B
解析　由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3 C．－2 D．1
答案　D
解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
答案　(3,30)
解析　设点P(x0,2x＋4x0)．
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
解　∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1， ①
又y′＝
＝＝2ax＋b，
∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1. ②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
答案　C
解析　由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
2．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45° C．135° D．165°
答案　C
解析　∵点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，
∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)
＝＝－1，
又∵倾斜角的取值范围是[0°，180°)，
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
3．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B．－ C. D．－1
答案　B
解析　由y＝ax2，得Δy＝a(x＋Δx)2－ax2
＝2axΔx＋a(Δx)2，
则＝2ax＋aΔx，∴y′＝2ax，∴f′(2)＝4a.
又y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，∴4a＝－，∴a＝－.
4．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为(　　)
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26
答案　D
解析　设P(x0，x－3x＋1)，
k＝y′|＝
＝
＝3x－6x0＝9，
即x－2x0－3＝0，解得x0＝－1或3.
∴点P的坐标为(－1，－3)或(3,1)．
∴切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)，
即y＝9x＋6或y＝9x－26.
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故选B.
6．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
答案　D
解析　∵·
＝＝f′(1)＝－1，
∴f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.
7．设点P是曲线y＝f(x)＝x3－x＋上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
答案　A
解析　设P(x0，y0)，
∵f′(x)＝＝3x2－，
∴切线的斜率k＝3x－，∴tan α＝3x－≥－，
∴α∈∪.
二、填空题
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
答案　2
解析　由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
9.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；
＝______.(用数字作答)
答案　2　－2
解析　∵f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2，
f′(1)＝＝＝－2.
10．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
答案　
解析　∵y′|x＝1＝＝3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
答案　4
解析　设在P点处切线的斜率为k，则k＝y′|x＝－2
＝＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
12．求曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
解　由导数定义可得y′|x＝1＝2，
∴曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，设它与两坐标轴的交点分别为A(0，－1)，B，
∴S△AOB＝|OA||OB|＝.
13．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　因为y′＝
＝＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
四、探究与拓展
14．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为________．
答案　
解析　可设点P的横坐标为x0，
则＝
＝＝2x0＋2＋Δx，
∴＝(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2，
∴曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.
由题意，得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，
∴点P的横坐标的取值范围为.
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a<2}．
§1.2　导数的运算
1.2.1　常数函数与幂函数的导数
1.2.2　导数公式表及数学软件的应用
学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　几个常用函数的导数
(1)若y＝f(x)≡C，则f′(x)＝0.
(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.
(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x_.
(4)若y＝f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2.
(5)若y＝f(x)＝，x≠0，则f′(x)＝－x－2_＝－(x≠0)．
(6)若y＝f(x)＝，x>0，则f′(x)＝＝(x>0)．
知识点二　基本初等函数的导数公式表
y＝f(x)
y′＝f′(x)
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝nxn－1，n为正整数
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
特别提醒：(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆
①将xu与ax对比记忆，两公式最易混淆．
②将ax与logax对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记．
③将sin x与cos x对比记忆，注意正、负号问题．
(2)函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝，当a＝e时，上述公式就变为(ln x)′＝，即f(x)＝ln x是f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax，当a＝e时，(ex)′＝ex.
1．若y＝，则y′＝×2＝1.(　×　)
2．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　×　)
3．f(x)＝，则f′(x)＝－.(　√　)
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos?.
解　(1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝，∴y′＝()′＝＝.
(4)y′＝.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cos?＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.
反思与感悟　若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝x12；　　(2)y＝；
(3)y＝log2x；　(4)y＝2sin?cos?.
解　(1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝()′＝()′＝＝ .
(3)y′＝(log2x)′＝.
(4)y′＝′＝(sin x)′＝cos x.
类型二　导数公式的综合应用

例2　(1)已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．
答案　(1，－4)
解析　由抛物线方程，得y′＝x，
∴kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.
联立方程组得
∴A(1，－4)．
(2)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y1′|＝cos x0，k2＝y2′|＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用以下三个条件联立方程解决
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上．
跟踪训练2　已知直线y＝kx是曲线y1＝ln x的一条切线，则k＝________.
答案　
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得y1′|＝＝k， ①
又y0＝kx0， ②
而且y0＝ln x0， ③
由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝.

例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解　设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1答案　
解析　如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．
∵y′|x＝m＝，
又A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，
∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝.
1．下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若y＝，则y′|x＝3＝－.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确．
2．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
答案　B
解析　设切点为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1，
∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条．
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
答案　
解析　f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　(1，e)　e
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为y′|＝，则＝， ①
又y0＝， ②
由①②可得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
5．求过曲线y＝sin x上点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程．
解　曲线y＝sin x在点P处切线的斜率
k＝y′|＝cos ＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为y－＝－，
即12x＋18y－2π－9＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
一、选择题
1．下列各式中正确的个数是(　　)
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝－；④()′＝；⑤(cos x)′＝－sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　∵②(x－1)′＝－x－2；
⑥(cos 2)′＝0.
∴②⑥不正确．故选B.
2．已知函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)
A. B．0 C. D.
答案　A
解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(　　)
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
答案　D
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，
∴y0＝或y0＝－.
4．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案　A
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
5．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案　D
解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
6．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(　　)
A．4 B．－4
C．28 D．－28
答案　C
解析　∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8， ①
又y′|x＝2＝3×22＝12＝k， ②
由①②可得k＝12，b＝－16，
∴k－b＝28.
7．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案　A
解析　∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴α∈∪.
二、填空题
8．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
答案　－4
解析　f′(x)＝－，g′(x)＝m.
∵g′(2)＝，
∴m＝－4.
9．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
答案　(1,1)
解析　y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－ (m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
10．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
答案　e2
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
11．设直线y＝x＋b是曲线y1＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
答案　ln 2－1
解析　因为y1′＝(ln x)′＝，设切点为(x0，y0)，
由题意，得＝，所以x0＝2，y0＝ln 2，
代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
三、解答题
12．求下列函数的导数．
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解　(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以e＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
四、探究与拓展
14．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　21
解析　∵y′＝2x，
∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为
y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，
即数列{ak}是首项为a1＝16，
公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
15．已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解　设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，
∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
故点P(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
1.2.3　导数的四则运算法则
学习目标　1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
知识点一　导数的四则运算法则
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　试求G(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．并说出G′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．
答案　G′(x)＝1－.同理，H′(x)＝1＋.
∴G′(x)＝f′(x)＋g′(x)，H′(x)＝f′(x)－g′(x)．
思考3　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)正确吗？那么′＝(g(x)≠0且g′(x)≠0)是否正确？
答案　[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.
梳理　导数的四则运算法则
(1)设f(x)，g(x)是可导的，则：
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝ (g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方
(2)特别地，[Cf(x)]′＝Cf′(x)，
′＝－(g(x)≠0)．
特别提醒：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．
(2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
知识点二　复合函数y＝f(u(x))的导数．
y＝f(u(x))是x的复合函数，则y′＝f′(u(x))＝·＝f′(u)·u′(x)．
1．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　√　)
2．当g(x)≠0时，′＝.(　√　)
3．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　×　)
类型一　利用导数的四则运算法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin?cos?；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
解　(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex
＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin x，
∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
反思与感悟　求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1　(1)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，则＋＋＝________.
答案　0
解析　∵f′(x)＝(x－a)′(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－b)′·(x－c)＋(x－a)(x－b)(x－c)′
＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
f′(b)＝(b－a)(b－c)＝－(a－b)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)＝(a－c)(b－c)．
∴＋＋
＝－＋
＝＝0.
(2)求下列函数的导数．
①y＝；　②y＝；
③y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；　④y＝xsin x－.
解　①
②方法一　y′＝
＝
＝.
方法二　∵y＝＝
＝1－，
∴y′＝′＝′
＝＝.
③方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)
＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.
④y′＝(xsin x)′－′
＝x′sin x＋x(sin x)′－
＝sin x＋xcos x－.
类型二　简单复合函数求导
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝ecos x＋1；(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝2sin?；(4)y＝ .
解　(1)设y＝eu，u＝cos x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin x)＝－ecos x＋1sin x.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则yx′＝yu′·ux′＝2cos u×3＝6cos?.
(4)设y＝u，u＝1－2x，
则yx′＝yu′·ux′＝()′·(1－2x)′
＝－×(－2)＝(1－2x).
反思与感悟　求复合函数导数的步骤
(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x)．
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu′，再求ux′.
(3)计算yu′·ux′，并把中间变量转化为自变量．
整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
答案　10
解析　f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.
(2)求下列函数的导数．
①y＝；②y＝ln(x2＋1)；③y＝a1－2x(a>0，a≠1)．
解　①设y＝，u＝3－x，
则yx′＝yu′·ux′＝·(－1)＝－ .
②设y＝ln u，u＝x2＋1，则yx′＝yu′·ux′＝··(2x)＝··(2x)＝.
③令y＝au，u＝1－2x，则yx′＝yu′·ux′＝au·ln a·(－2)
＝a1－2xln a·(－2)＝－2a1－2xln a.
类型三　导数运算法则的综合应用

例3　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
∴f(x)＝－2x.
∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练3　函数f(x)＝＋f′(1)，则f′(1)＝________.
答案　－1
解析　对f(x)求导，得f′(x)＝＝，
则f′(1)＝－1.

例4　(1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案　(e，e)
解析　设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，
∴k＝1＋ln x0.
又k＝2，∴1＋ln x0＝2，
∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
①求a，b的值；
②设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解　①因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
②由①可得g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟　(1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练4　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
答案　1
解析　∵y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，∴－＝－1，即a＝1.
(2)曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解　设u＝sin x，
则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，
即y′|x＝0＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝，所以c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，
故选A.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
答案　A
解析　∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　－1
解析　由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，
得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，
所以函数在x＝处的切线斜率为
－2sin?＝－1.
5．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．
答案　3x－y－11＝0
解析　∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)
＝3(x＋1)2＋3≥3，
∴当x＝－1时，斜率最小，此时切点坐标为(－1，－14)，
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．求复合函数的导数应处理好以下环节
(1)正确分析函数的复合层次．
(2)中间变量应是基本初等函数结构．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
一、选择题
1．下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　A
解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；
C项中，′＝，错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，错误．
2．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
答案　B
解析　f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
令F(x)＝－xsin x，x∈R，
则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝F(x)，
∴f′(x)是偶函数．
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案　B
解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＝－1，a＝2.
4．函数y＝x2cos的导数为(　　)
A．y′＝2xcos－x2sin
B．y′＝2xcos－2x2sin
C．y′＝x2cos－2xsin
D．y′＝2xcos＋2x2sin
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　B
解析　y′＝(x2)′cos＋x2′
＝2xcos＋x2′
＝2xcos－2x2sin.
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D．1
答案　A
解析　y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.
由
解得x＝y＝，
∴A，
则围成的三角形的面积为××1＝.
6．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　)
A. B．－
C. D．－或
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上，故其图象必为图③.
由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴x＝－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　y′＝＝＝.
∵ex＋≥2，∴ex＋＋2≥4，
当且仅当x＝0时等号成立．
∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∴α∈.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
答案　
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
解得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1.
10．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案　(－ln 2,2)
解析　设P(x0，e－x0)，y′|x＝x0＝－e－x0＝－2，得x0＝－ln 2，∴P(－ln 2,2)．
11．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.
答案　4 096
解析　∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′·(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，
∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝4 096.
三、解答题
12．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数的值互为相反数，求c的值．
解　∵f′(x)＝＝，
∴f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，
即＋＝0，
∴2c－1＝0，得c＝.
13．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解　y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴k＝y′|x＝0＝2.
∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设符合题意的直线l的方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，
∴b＝6或－4.
∴符合题意的直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
四、探究与拓展
14．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是____________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2x－y＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝， ①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝， ②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
§1.3　导数的应用
1.3.1　利用导数判断函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点　函数的单调性与其导数
思考　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答案　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数．
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数．
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数．
(4)在区间(－∞，0)内，y′＝－＜0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．
梳理　利用导数判断函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间．
(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
特别提醒：(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．
(2)在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
(3)特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　×　)
2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　×　)
3．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
类型一　判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝在区间上是单调减函数．
证明　f′(x)＝，又x∈，
∴cos x<0，sin x＞0，
∴xcos x－sin x<0，
则f′(x)<0，
∴f(x)在上是单调减函数．
反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)若f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数．但要特别注意，若f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数．
类型二　利用导数求函数的单调区间

例2　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>.
由x>0，解f′(x)<0，得0∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调增区间为，单调减区间为.
反思与感悟　求不含参数的函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
跟踪训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为____________．
答案　(－2－，－2＋)
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调减区间为(－2－，－2＋)．

例3　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
②当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴－<0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
反思与感悟　(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式，要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
跟踪训练3　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a)．
类型三　已知函数的单调性求参数的范围
例4　若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　方法一　(直接法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法二　(数形结合法)
如图所示，
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
因为在(1,4)内，f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
所以另一根在[4,6]上．
所以即
所以5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法三　(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)上单调递减，
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，
因为2所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，
因为x＋1>7，
所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
反思与感悟　已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上是单调(减)函数，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上是单调增(减)函数，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号对有限个x成立．
跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内是单调减函数，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内是单调减函数，
得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝不符合题意，舍去．
故实数a的取值范围为.
(2)若函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调减区间是，求实数a的值．
解　因为f′(x)＝3ax2－2x－1，且函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调减区间是，
所以3ax2－2x－1<0的解集为，
则－，1是方程3ax2－2x－1＝0的两根且a>0，
代入可得a＝1.
1．若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图象确定导函数图象
答案　C
解析　由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.
2．函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是(　　)
A. B．(e，＋∞)
C. D.
答案　C
解析　f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的单调递增区间为.
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)
答案　B
解析　若y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
4．已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案　[－，]
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
由题意知在R上f′(x)≤0恒成立，
则Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，
得－≤a≤.
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，
解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．
2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间．
4．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数
B．在(1,3)上，f(x)是减函数
C．在(4,5)上，f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数
答案　C
解析　由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．
2．函数f(x)＝x2－ln x的单调减区间为(　　)
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
答案　A
解析　y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
y′＝x－，令y′<0，即x－<0，
解得03．若f(x)＝，eA．f(a)C．f(a)>f(b) D．f(a)f(b)>1
答案　C
解析　令f′(x)＝<0，解得x>e.
∴f(x)在(e，＋∞)上为减函数，
∵ef(b)．
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,1]
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2ax－1，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)上恒成立，
∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1.
5．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　∵(x－1)f′(x)<0，
∴当x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
∴f(0)则f(0)＋f(2)<2f(1)．
6．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，
∴当x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；
当－10，∴f′(x)<0，
∴当－1当0∴当0当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
∴当x>1时，函数y＝f(x)单调递增．
结合各选项，故C项正确．
7．下列函数中，在区间(－1,1)上不是增函数的为(　　)
A．y＝ex＋x B．y＝sin x
C．y＝x3－6x2＋9x＋2 D．y＝x2＋x＋1
答案　D
解析　A中，y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，y＝ex＋x在区间(－1,1)上是增函数；B中，y＝sin x，y′＝cos x，由在区间(－1,1)上y′＝cos x>0知，y＝sin x在区间(－1,1)上是增函数；C中，y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，由在区间(－1,1)上y′＝3(x－2)2－3>0知，y＝x3－6x2＋9x＋2在区间(－1,1)上是增函数；D中，y＝x2＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间上y′>0，在区间上y′<0，所以y＝x2＋x＋1在区间(－1,1)上不是增函数．
二、填空题
8．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间
答案　(0,2)
解析　由f′(x)＝x2－4x＋3，
f′(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3＝x2－2x，
令f′(x＋1)<0，解得0所以f(x＋1)的单调递减区间是(0,2)．
9．函数f(x)＝ax3－x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
答案　(0，＋∞)
解析　∵f(x)＝ax3－x，∴f′(x)＝3ax2－1，要使函数f(x)＝ax3－x恰有三个单调区间，则f′(x)是二次函数，且f′(x)＝0有两个不等实根，∴a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．
10．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集为________．
答案　∪[0,1]∪[2,3)
解析　对于不等式xf′(x)≤0，当－11．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2]
解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)．令x－≤0，解得00且a＋1≤3，解得1三、解答题
12．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，则g′(x)＝.
因为在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
所以g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故g(x)在区间[1，＋∞)上的最小值g(x)min＝g(1)＝－，
故a≤－.
即实数a的取值范围为.
13．证明：当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
证明　设f(x)＝ln(x＋1)－＝ln(x＋1)－x＋x2，函数的定义域是(－1，＋∞)．
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
四、探究与拓展
14．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
答案　D
解析　当x<0时，
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
令F(x)＝f(x)g(x)，
则当x<0时，F(x)为增函数．
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
故当x>0时，F(x)仍为增函数．
根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的示意图．
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
15．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0，h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)若函数h(x)存在单调减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)在[1,4]上是单调减函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
得h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0, ＋∞)上存在单调减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可，
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1，
所以a>－1且a≠0，
即实数a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)因为h(x)在[1,4]上是单调减函数，
所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－在[1,4]上恒成立，
所以a≥G(x)max，x∈[1,4]，而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以当x＝4时，G(x)取得最大值－，
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为单调减函数．
故实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
1.3.2　利用导数研究函数的极值
第1课时　利用导数研究函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.4.会利用极值解决方程根与函数图象的交点个数问题．
知识点　极值的概念
思考1　观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．
思考2　导数为0的点一定是极值点吗？
答案　不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是增函数，不满足在x＝0的左、右两侧f′(x)符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
梳理　极值的概念
(1)极大值与极大值点
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)(2)极小值与极小值点
如果在x0附近都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
(3)极值与极值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
1．导数为0的点一定是极值点．(　×　)
2．函数的极大值一定大于极小值．(　×　)
3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　×　)
4．极值点处的导数一定为0.(　×　)
类型一　求函数的极值

例1　求下列函数的极值，并画出函数的草图．
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
解　(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
0
＋
f(x)
?
无极值
?
极小值0
?
无极值
?
∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0，没有极大值．
函数的草图如图所示．
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?

?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
函数的草图如图所示．
反思与感悟　(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①求导数f′(x)．
②求方程f′(x)＝0的根．
③观察f′(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值．
注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．
跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝x2e－x.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可以看出，－1为函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝，3为函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由上表可以看出，0为函数f(x)的极小值点，极小值为f(0)＝0.
2为函数f(x)的极大值点，极大值为f(2)＝4e－2.

例2　设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
解　由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝a－1，
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0，
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上是单调增函数，
在(0，a－1)上是单调减函数，在(a－1，＋∞)上是单调增函数．
综上，当a＝1时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞1时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调减区间为(0，a－1)．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
反思与感悟　讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
类型二　已知函数极值求参数
例3　已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
解　f′(x)＝x2＋(a－1)x＋a，
因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，
所以f′(x)＝0在(0,1)内有两不等实根，
对称轴x＝－，
所以
即
所以0反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
①求a，b，c的值；
②求函数的单调减区间．
解　①∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
由题意可知，当x＝－时，函数取得极小值－4，
∴3＋a2＝－4，
解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.
②由①知f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)．
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，
∴0∴函数f(x)的单调减区间是(0,2)．
(2)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
解　∵f(x)＝，x>0，
∴f′(x)＝－.
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是单调增函数，在(1，＋∞)上是单调减函数，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．
∵函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
∴解得即实数a的取值范围是.
类型三　函数极值的综合应用
例4　(1)函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
－m
?
－16－m
?
则函数g(x)的极大值为g＝－m，
极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练4　若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解　令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．
g(x)与g′(x)随x在(－2，＋∞)上的变化情况如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需
即所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
答案　D
解析　根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
3．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
答案　－2　－
解析　f′(x)＝＋2bx＋3＝，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案　(－2,2)
解析　f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－25．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
解　(1)f′(x)＝2ax＋，
由题意得即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得f′(x)＝x－＝＝.
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
∴f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．
f(x)极小值＝f(1)＝.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)的符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
一、选择题
1．设a考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　y′＝(x－a)(3x－a－2b)，
由y′＝0得x1＝a，x2＝.
当x＝a时，y取得极大值0，
当x＝时，y取得极小值且极小值为负，故选C.
2．若函数f(x)＝x3－3ax＋b (a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调减区间为(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案　A
解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－即f(x)在x＝－处取极大值，在x＝处取极小值．
∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f()＝2，f(－)＝6，
即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，
得a＝1，b＝4，
∴f′(x)＝3x2－3.由f′(x)<0，得－1则f(x)的单调减区间为(－1,1)．故选A.
3．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为(　　)
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11
C．a＝－4，b＝11
D．以上都不对
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－2ax－b，
则f′(1)＝3－2a－b＝0， ①
f(1)＝1－a－b＋a2＝10， ②
由①②可得或
对f′(x)＝3(x－1)2≥0，无极值点，
∴a＝－4，b＝11.
4．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0,4e2) D．(0，＋∞)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　B
解析　令g(x)＝x2ex，
则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．
令g′(x)＝0，得x＝0或－2，
∴g(x)在(－2,0)上单调递减，
在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．
∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，
又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则05．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2px－q.
由函数f(x)的图象与x轴切于点(1,0)，得p＋q＝1，
∴q＝1－p， ①
3－2p－q＝0， ②
由①②解得p＝2，q＝－1，
∴函数f(x)＝x3－2x2＋x，
则f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)为单调增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)为单调减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为单调增函数．
∴f(x)的极大值为，极小值为0.故选A.
6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案　D
解析　由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0，故函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
7．函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b，若f(x)仅在x＝0处有极值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2)
D．[－2，2]
答案　D
解析　求导函数，可得f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x，
令f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x＝0，可得x＝0或3x2＋2ax＋4＝0，∵f(x)仅在x＝0处有极值，
∴Δ＝4a2－48≤0，∴－2≤a≤2，故选D.
二、填空题
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴在极值点处的切线方程为y＝－.
9．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0答案　π＋2　
解析　因为f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0所以f′(x)＝1＋sin，0所以由f′(x)＝0，得sin＝－，
且0＜x＜2π，所以x＝π或.
f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，π)
π



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
π＋2
?

?
由上表知，f(x)的极大值为π＋2，极小值为.
10．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，
由题意知，ex＋a＝0有大于0的实根．
令y1＝ex，y2＝－a，则两曲线的交点在第一象限，
如图所示，结合图形可得－a>1，解得a<－1.
11．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
答案　－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
且f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
∴f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×4＝0，
∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，求：
(1)f(x)的单调区间；
(2)f(x)的极大值．
解　(1)f′(x)＝ex(4x＋4)＋4ex－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4ex－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝ln ，
显然－2当x<－2或x>ln 时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，；
当－2所以f(x)的单调减区间为.
(2)由(1)知，当x＝－2时，
f(x)有极大值f(－2)＝－4e－2－4＋8＝4－4e－2.
13．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
解　(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，
当f′(x)<0时，解得－2所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调减区间为(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex
＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，
得x＝－a或x＝－2.
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，函数无极值，故舍去．
当a<2时，－a>－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2<2，
所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，
此时a＝4－3e2.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　C
解析　由正弦函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±，则＝＋kπ(k∈Z)，
从而得x0＝m(k∈Z)．
所以不等式x＋[f(x0)]2即为2m2＋3变形得m2>3，其中k∈Z.
由题意，存在整数k使得不等式
m2>3成立．
当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，
故k＝－1或k＝0，
此时，不等式即为m2>3，
解得m<－2或m>2.
15．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
解　(1)f′(x)＝－2x－1，
则f′(0)＝－1＝0，则a＝1.
(2)令g(x)＝f(x)－
＝ln(x＋1)－x2－x＋x－b
＝ln(x＋1)－x2＋x－b，
所以g′(x)＝－2x＋
＝
＝－.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1，
x＝1在区间[0,2]内，
且当00，g(x)为增函数，
当1所以g(1)＝ln 2＋－b为极大值，
由题意只需g(1)>0，且g(0)≤0，g(2)≤0.
由g(1)>0，得b由g(0)＝－b≤0，得b≥0，
由g(2)＝ln 3－4＋－b＝ln 3－1－b≤0，
得b≥ln 3－1，
所以ln 3－1≤b所以实数b的取值范围为.
第2课时　利用导数研究函数的最值
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案　不一定，也可能是区间端点的函数值．
思考4　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
答案　比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
梳理　(1)函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f′(x)＝0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f′(x)＝0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．
②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
类型一　求函数的最值

例1　已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[－，3]时，求f(x)的最大值与最小值．
解　(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)．
(2)由(1)可知，当x∈[－，3]时，f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝18，
所以当x∈[－，3]时，f(x)的最大值为18，f(x)的最小值为－2.
反思与感悟　求解函数在给定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x2－cos x，x∈的值域是________．
答案　
解析　f′(x)＝2x＋sin x，
令f′(x)＝0，即2x＋sin x＝0，x∈，得x＝0，
f(0)＝－cos 0＝－1，f＝f＝，
∴f(x)的最大值为，f(x)的最小值为－1.
∴f(x)的值域为.
(2)求f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]的最值．
解　f′(x)＝－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1，－2(舍去)．
函数f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
?
ln 2－
?
ln 3－1
∴f(x)max＝f(1)＝ln 2－，f(x)min＝f(0)＝0.

例2　已知函数f(x)＝ax3－x2＋b(x∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；
(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值．
解　(1)f′(x)＝3ax2－3x，
由f′(2)＝6，得a＝1.
由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.
又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，
所以a＝1，b＝2.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，分以下两种情况讨论：
①若>1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0,1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
f(－1)＝－a－＋2，f(1)＝a－＋2，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
②若0<<1，即a>1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
f(－1)＝－a，f＝2－.
而f－f(－1)＝2－－
＝＋a－>0，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
综合①②知，f(x)min＝f(－1)＝－a.
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，a](a>0)上的最大值和最小值．
解　f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
因为0≤x≤a，所以当0所以f(x)在区间[0，a]上是减函数．
所以当x＝a时，f(x)取最小值f(a)＝a3－4a＋4；
当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝4.
当a>2时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，a)
a
f′(x)
－
＋
f(x)
4
?
－
?
a3－4a＋4
从上表可知：当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个．
所以当2当a>2时，f(x)的最大值为f(a)＝a3－4a＋4.
综上可得：
当0当2当a>2时，f(x)min＝－，f(x)max＝a3－4a＋4.
类型二　由函数的最值求参数
例3　(1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，
f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得当x＝0时，
f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解　h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)及h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
当x＝－3时，f(x)取极大值28；
当x＝1时，f(x)取极小值－4.
而h(2)＝3所以如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.
即k的取值范围为(－∞，－3]．
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　设函数f(x)＝ln x＋，m>0，求f(x)的最小值为2时的m的值．
解　因为f′(x)＝(x>0)，
所以当x∈(0，m)时，
f′(x)<0，f(x)在(0，m)上是减函数，
当x∈(m，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)在(m，＋∞)上是增函数，
所以当x＝m时，
f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2，
即f(m)＝ln m＋＝2，所以m＝e.
类型三　与最值有关的恒成立问题
例4　(1)已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，4]
解析　由2xln x≥－x2＋ax－3(x＞0)，
得a≤2ln x＋x＋(x＞0)．
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)为单调减函数，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)为单调增函数．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤h(x)min＝4.
(2)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)，h(t)为f(x)的最小值．
①求h(t)；
②若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解　①∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
②令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
1－m
?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
反思与感悟　分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练4　设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
解　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得01．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　)
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　C
解析　由导函数图象可知，
函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
2．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为(　　)
A．4e－1 B．1
C．e2 D．3e2
答案　C
解析　f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝－2时，f(－2)＝；
当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，
所以函数的最大值为e2.故选C.
3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________．
答案　
解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x.
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)是上的增函数．
∴f(x)的最大值在x＝处取得，f＝，
f(x)的最小值在x＝0处取得，f(0)＝.
∴函数值域为.
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－.
不等式f(x)＋9≥0恒成立，
即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
5．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则实数a的值为________．
答案　－1
解析　f′(x)＝，
当x>时，
f′(x)<0，f(x)为单调减函数；
当－f′(x)>0，f(x)为单调增函数．
若≥1，即a≥1，
则当x∈[1，＋∞)时，
f(x)max＝f()＝＝，
解得＝<1，不合题意，
∴<1，且当x∈[1，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝＝，
解得a＝－1，满足a＜1.
综上，实数a的值为－1.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先用参数表示最值，注意分类讨论，再利用最值求出参数．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
一、选择题
1．函数y＝f(x)＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e C．e2 D.
答案　A
解析　令y′＝＝＝0，
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.
y极大值＝f(e)＝，且函数在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.
2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案　A
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
3．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知，f(x)在上为单调增函数；在上为单调减函数，故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.
4．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，) B．(－1,2)
C．(－1,2] D．(1,4)
答案　C
解析　由题意知f′(x)＝3－3x2，
令f′(x)>0，解得－1令f′(x)<0，解得x<－1或x>1，
由此知函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数在x＝－1处取得极小值－2.
由题意知，－1∈(a2－12，a)，即a2－12<－1解得－1∴－15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．15 B．－15
C．10 D．－13
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
答案　D
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3，
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
故f(x)在区间[－1,0)上单调递减，
在区间[0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为直线x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
6．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值；
④f(x)有最大值，无最小值．
A．①③ B．①②③
C．② D．①②④
答案　D
解析　由f(x)>0，可得(2x－x2)ex>0，∵ex>0，∴2x－x2>0，∴0或x<－，由f′(x)>0，得－二、填空题
7．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
答案　2　－2
解析　f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
且f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
8．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
答案　1
解析　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1，
解得a＝1.
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__________．
答案　(－∞，2ln 2－2]
解析　由题意知ex－2x＋a＝0有根，
即a＝2x－ex有解，
设g(x)＝2x－ex，
则令g′(x)＝2－ex＝0，解得x＝ln 2.
而g(x)在(－∞，ln 2)上为单调增函数，
在(ln 2，＋∞)上为单调减函数，
∴g(x)max＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2，
∴a≤2ln 2－2.
10．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－2，1]都成立，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－15]
解析　根据题意，a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－2,1]都成立，设函数f(x)＝4x3＋4x2＋1，x∈[－2,1]．求出导数f′(x)＝12x2＋8x，令f′(x)＝0，得x＝0或－.所以在区间上，f′(x)>0，函数为增函数，在区间上，f′(x)<0，函数为减函数，在区间(0,1)上，f′(x)>0，函数为增函数，因此在闭区间[－2,1]上，函数f(x)在x＝－处取得极大值f，在x＝0时函数取得极小值，且f(0)＝1，f(1)＝9，f(－2)＝－15，所以f(－2)＝－15是最小值，所以实数a≤－15.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝2aln x－x2＋1.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；
(2)若a>0，求函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x－x2＋1.
f′(x)＝－2x＝，x>0.
令f′(x)＝<0，因为x>0，
所以x>1，所以函数f(x)的单调减区间是(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝－2x＝，x>0.
令f′(x)＝0，由a>0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当≤1，即0当>1，即a>1时，x在[1，＋∞)上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
?
aln a－a＋1
?
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值为f()＝aln a－a＋1.
综上所述，当01时，函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值为f()＝aln a－a＋1.
12．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，解得0所以当x＝时取得最小值，最小值为－.
(2)依题意知，f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋对于x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，故a的取值范围为(－∞，1]．
13．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)解　(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且当0－a时，f′(x)>0.
∴当x＝－a时，f(x)取最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)ln x－x2，
故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及00，当∴h(x)在上为增函数，在上为减函数，
∴当x＝时，h(x)取得最大值h＝ln －.
∴当g(x)四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝ln x＋(m∈R)，若对任意的b>a>0，<1恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　对任意的b>a>0，<1恒成立，等价于f(b)－b设函数h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x，
则h(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，
即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
得m≥，所以实数m的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上为单调增函数，在上为单调减函数．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f?＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上为单调增函数，g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
1.3.3　导数的实际应用
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的最优化问题
1．最优化问题的概念
在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．
2．解决最优化问题的基本步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
(4)依据实际问题的意义给出答案．
1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)
2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)
类型一　平面几何中的最值问题
例1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．
解　设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数为单调增函数；
当2－∴当x＝2－时，矩形面积取到最大值ymax＝.
反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
解　(1)由题干图知BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝.
所以当θ＝时，S取得最大值，Smax＝3 750 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
类型二　立体几何中的最值问题
例2　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
解　(1)因为容器的体积为 立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
所以圆柱的侧面积为
2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2.
所以y＝×3＋4πr2×4
＝＋8πr2.
又l＝－>0?0＜r<，所以定义域为(0,)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2令y′<0，得0所以当r＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝ 米．
引申探究
本例中，若r∈(0,1]，求最小建造费用．
解　由例2(2)可知，
y＝＋8πr2在(0,1]上单调递减，
∴当r＝1时，ymin＝136π.∴最小建造费用为136π 万元．
反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．
(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解　(1)由PO1＝2 m知，O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积
V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，
则0因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，
所以2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥
＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．
当00，V是单调增函数；
当2故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．
类型三　实际生活中的最值问题

例3　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)当0当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6，
当x>10时，W＝98－
≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7 x，即x＝时，Wmax＝38，
综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可知，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

例4　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km和5a 元/km，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解　如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，
设点C距点D为x km，
则BC＝＝ ，
又设总的水管费用为y元，
依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0∴y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30，在(0,50)上，y只有一个极值点，
根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．
∴供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故当x＝5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)
A．4 B．6 C．4.5 D．8
答案　A
解析　设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝.
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，
判断知当x＝8时，S(x)取得最小值．∴h＝＝4.
2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)
A．9千台 B．8千台
C．6千台 D．3千台
答案　C
解析　构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．
3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
答案　
解析　设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x.
设正方形与圆形的面积之和为S，
则正方形的边长a＝，圆的半径r＝.
故S＝π2＋2(0因此S′＝－＋＝－，
令S′＝0，则x＝.
所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝ cm时，面积之和最小．
4．某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为________件．
答案　25
解析　设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k(k为比例系数)．
由题意知，k＝250 000，
则a2x＝250 000，所以a＝.
设总利润为y元，
则y＝500－x3－1 200(x>0)，
则y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，
当x∈(0,25)时，y′>0，
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，
y取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
答案　5
解析　依题意可设每月土地占用费y1＝(k1>0)，每月库存货物的运费y2＝k2x(k2>0)，其中x是仓库到车站的距离(单位：千米)，
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋.
令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
1．利用导数解决生活中最优化问题的基本思路
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：
2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
一、选择题
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是(　　)
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末 D．0或1秒末
答案　D
解析　∵t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t＝0或1.
2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为(　　)
A. B. C. D．2
答案　C
解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)
A.3π B.3π C.3π D.3π
答案　A
解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝.
∴V＝πr2h＝πr2－2πr3，
则V′＝lπr－6πr2.
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极大值点，也是最大值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案　B
解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V(x)＝x2h＝60x2－ (0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得当x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.
5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A．150 B．200 C．250 D．300
答案　D
解析　由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，即当每年生产300单位的产品时，总利润最大．故选D.
6．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地与B地之间的距离约为500海里．运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船的行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最低，轮船行驶速度应为(　　)
A．25海里/时 B．35海里/时
C．70海里/时 D．75海里/时
答案　B
解析　设轮船的行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．
依题意得y＝×(960＋0.6x2)
＝＋300x，x∈(0,35]，
则y′＝300－，x∈(0,35]．
当0所以函数y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，
轮船应以35海里/时的速度行驶．
7．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　)
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
答案　A
解析　设高为h cm，体积为V cm3，
则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，
∴V＝πr2h＝(400h－h3)(cm3)，V′＝(400－3h2)．
令V′＝0，得h＝或h＝－(舍)，
则当00，
当h>时，V′<0，故当h＝ cm时，V取最大值．
8．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y＝k1x，当投入4万元时，利润为1万元，
即4k1＝1，得k1＝，即y＝x.
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设y＝k2，当投入4万元时，利润为2.5万元，
即k2＝，得2k2＝，即k2＝，即y＝.
设乙产品投入资金为x，
则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
则销售甲、乙两种产品所得利润之和为
y＝(10－x)＋，则y′＝－＋＝，
由y′>0，得5－2>0，即0由y′<0，得5－2<0，即x>，
即当x＝时，函数取得极大值同时也是最大值，此时
y＝＋·＝＋＝.
二、填空题
9．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
答案　40
解析　由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．
∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
10.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　2
解析　设OO1＝x，则1由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)．
则V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)为增函数；
当2综上，当x＝2时，V(x)最大．
11．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)
答案　30
解析　由题意知，毛利润等于销售收入减去进货支出，
即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍)．
此时，L(30)＝23 000.
因为当0＜p＜30时，L′(p)＞0，当p＞30时，L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
三、解答题
12．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S cm2最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V cm3最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15 cm时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20 cm时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
13．某品牌电视机生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元和q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为万元和ln q万元．已知A，B两种型号的电视机的投放总金额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元．请你制定一个投放方案，使得这次活动中农民得到的补贴最多， 并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
解　设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，则A型号电视机的投放金额为(10－x)万元，设这次活动中农民得到的补贴为y万元．
由题意得y＝(10－x)＋ln x＝ln x－x＋1，
则y′＝－.令y′＝0，解得x＝4.
当x∈[1,4)时，y′>0；
当x∈(4,9]时，y′<0.
所以，当x＝4时，y取得最大值，
ymax＝ln 4－0.4＋1≈1.2(万元)．
故当厂家投放A，B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，约为1.2万元．
四、探究与拓展
14．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
答案　80
解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，
依题意得y＝·＝x2＋－(0则y′＝－＝(0得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数为减函数；
当x∈(80,120)时，y′>0，该函数为增函数，
所以当x＝80时，y取得最小值．
15．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
§1.4　定积分与微积分基本定理
1.4.1　曲边梯形面积与定积分
学习目标　1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.3.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义.4.掌握定积分的基本性质．
知识点一　曲边梯形的面积
思考1　如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，该图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考2　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
答案　①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
梳理　(1)曲边梯形
曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．
(2)求曲边梯形面积的方法
求由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图①)的面积的步骤
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)．
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值．
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和．
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
知识点二　定积分的概念与基本性质
思考　分析求曲边梯形的面积和变力所做的功，找一下它们的共同点．
答案　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
梳理　定积分的有关概念与基本性质
(1)函数定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)，
用分点a＝x0当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx.
(2)定积分的定义式
?f(x)dx＝(ξi)Δxi.
(3)定积分的相关名称
符号
?
f(x)
f(x)dx
x
a
b
[a，b]
相关名称
积分号
被积函数
被积式
积分变量
积分下限
积分上限
积分区间
(4)定积分的基本性质
①?cf(x)dx＝c?f(x)dx(c为常数)．
②?[f(x)＋g(x)]dx＝?f(x)dx＋?g(x)dx.
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，只能用2近似代替．(　×　)
2．利用求和符号计算(i＋1)＝40.(　√　)
3．?f(x)dx＝?f(t)dt.(　√　)
4．?f(x)dx的值一定是一个正数．(　×　)
5．?dx＝?x3dx＋?xdx.(　√　)
类型一　求曲边梯形的面积
例1　求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)·(2n＋1)]．
解　令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝·Δx＝·＝2＋2
＝(12＋22＋…＋n2)＋2＝·＋2
＝＋2.
(3)取极限
S＝Sn＝＝，
即所求曲边梯形的面积为.
反思与感悟　求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，
∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由
得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n等分，
则Δx＝， 取ξi＝.
(2)近似代替、求和
Sn＝2·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝.
(3)取极限
S＝Sn＝＝.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
类型二　利用定积分表示曲边梯形的面积
例2　利用定积分表示由直线y＝x－2，曲线x＝y2围成的平面区域的面积S.
解　曲线所围成的平面区域如图所示，S＝A1＋A2，其中，A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1围成．
∴A1＝?[－(－)]dx
＝?2dx，
A2＝?[－(x－2)]dx.
∴S＝?2dx＋?(－x＋2)dx.
反思与感悟　(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分?f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分?f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题，定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．
跟踪训练2　利用定积分表示下图中阴影部分的面积．
则(1)____________；　　　　(2)____________．
答案　(1)　(2)?(－x2＋1)dx
类型三　利用定积分的几何意义求定积分
例3　说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)?2dx；　(2)?xdx；　(3)?dx.
解　(1)?2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以?2dx＝2.
(2)?xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以?xdx＝.
(3)?dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，所以?dx＝.
引申探究
1．将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求?dx.
解　?dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，∴?dx＝.
2. 将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求?dx.
解　?dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，∴?dx＝.
3．将本例(3)改为利用定积分的几何意义，
求?(x＋)dx.
解　由定积分的性质，得?(x＋)dx
＝?xdx＋?dx.
∵y＝x是奇函数，∴?xdx＝0.
由例3(3)知?dx＝.
∴?(x＋)dx＝.
反思与感悟　利用定积分所表示的几何意义求?f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
跟踪训练3　用定积分的几何意义求：
(1)?(3x＋2)dx；　(2)
(3)?(|x＋1|＋|x－1|－4)dx.
解　(1)如图1，阴影部分面积为＝，
从而?(3x＋2)dx＝.
(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，
从而
(3)令f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－4，
作出f(x)在区间[－3，3]上的图象，
如图3所示，易知定积分?f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．
∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，
∴?(|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.
1．下列结论中成立的个数是(　　)
①?x3dx＝·；②?x3dx＝·；③?x3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②③成立．
2．关于定积分a＝?(－2)dx的叙述正确的是(　　)
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
答案　C
解析　由定积分的概念可知，?(－2)dx中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，?(－2)dx等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴?(－2)dx＝－2×3＝－6.
3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案　1.02
解析　将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.
4．?2(x－2)dx＝________.
答案　5
解析　?(x－2)dx＝S2－S1＝×32－×22＝，
故?2(x－2)dx＝5.
5．计算：
解　由定积分的几何意义，得
＝×2＝2π.
由定积分的几何意义，得
所以
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．几类曲边梯形的面积与定积分的关系
面积
图示
S＝?f(x)dx
S＝－?f(x)dx
S＝?f(x)dx－?f(x)dx
S＝?[f(x)－g(x)]dx
一、选择题
1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　＝.
2．下列命题不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　D
解析　A项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替(　　)
A．f B．f
C．f D．f(0)
答案　C
解析　当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
4．根据定积分的定义，?x2dx等于(　　)
A.2· B．2·
C.2· D．2·
答案　D
解析　根据定积分的定义，?x2dx＝2·.
5．若直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数m等于(　　)
A．1 B．3 C．2 D．4
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　由曲边梯形的面积求参数
答案　C
解析　将区间[0，m]n等分，每个区间长为，区间左端点函数值y＝2·＋1＝，
作和Sn＝·
＝m＋·(1＋2＋3＋…＋n)
＝m＋·
＝m＋，
∵S＝ ＝6，且m为正数，
∴m＝2.故选C.
6．下列定积分的值等于1的是(　　)
A．?xdx B．?(x＋1)dx
C．?dx D．?1dx
答案　D
解析　根据定积分的几何意义，
A项，?xdx＝，C项，?dx＝，
B项，?(x＋1)dx＝，D项，?1dx＝1，故选D.
7．与定积分相等的是(　　)
A.
B．
C．?sin xdx－
D．
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　C
解析　当x∈[0，π]时，sin x≥0；
当x∈时，sin x<0.
∴由定积分的性质可得，
＝?|sin x|dx＋
＝?sin xdx＋
＝?sin xdx－
8．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形的面积为(　　)
A．?[(1－y)－y]dy
B．
C．＋
D．?[x－(－x＋1)]dx
答案　C
解析　联立
解得
故A.
由图知阴影部分的面积可表示为
二、填空题
9．设a＝?xdx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是________．
答案　a>b>c
解析　根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c.
10．若?f(x)dx＝1，?3f(x)dx＝2，则?f(x)dx＝________.
答案　
解析　∵?f(x)dx＝?f(x)dx＝1，
∴?f(x)dx＝2.
又?3f(x)dx＝3?f(x)dx＝2，
∴?f(x)dx＝.
∴?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝＋2＝.
11．?[－x]dx＝________.
答案　
解析　?[－x]dx
＝?dx－?xdx.

?dx表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的，即?dx＝π.
?xdx＝×32＝.
∴?[－x]dx＝π－＝.
12．已知t>0，若?(2x－2)dx＝8，则t＝________.
答案　4
解析　?(2x－2)dx＝?2xdx－?2dx＝×t×2t－2t＝8，即t2－2t－8＝0，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
∴t＝4.
三、解答题
13．利用定积分表示曲线y＝x2与x＋y＝2所围成图形的面积．
解　由得交点的横坐标为x＝1及x＝－2，如图，
∴S＝?[(2－x)－x2]dx
＝?(2－x－x2)dx.
四、探究与拓展
14．若?|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)
A．6 B．56
C．36 D．2 016
答案　A
解析　由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，
∵?|x|dx＝a2，
∴a2≤36，即0故正数a的最大值为6.
15. 如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求?dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　解方程组得x＝±2.
∴阴影部分的面积为?dx.
∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义得，
?dx
＝?dx＝π＋.
1.4.2　微积分基本定理(一)
学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点　微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.
思考1　f(x)与F′(x)有何关系？
答案　F′(x)＝2x＋1＝f(x)．
思考2　?f(x)dx与F(2)－F(0)有何关系？
答案　?f(x)dx＝?(2x＋1)dx＝×2×(1＋5)＝6，
F(2)－F(0)＝6.∴?f(x)dx＝F(2)－F(0)．
梳理　(1)微积分基本定理
①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积．
②结论：?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
③符号表示：?f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
(2)常见函数的定积分公式
①?Cdx＝Cx(C为常数)；
②?xndx＝xn＋1(n≠－1)；
③?sin xdx＝－cos x；④?cos xdx＝sin x；
⑤?dx＝ln x(b>a>0)；⑥?exdx＝ex；
⑦?axdx＝(a>0，且a≠1)．
1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(　×　)
2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　√　)
3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　√　)
类型一　求定积分

例1　求下列定积分．
(1)?(2x＋ex)dx；　(2)?dx；
(3)　(4)?(x－3)(x－4)dx.
解　(1)?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|
＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)?dx＝(ln x－3sin x)|
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵2＝1－2sin cos ＝1－sin x，
∴
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴?(x－3)(x－4)dx＝?(x2－7x＋12)dx
＝
＝－0＝.
反思与感悟　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)．
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
跟踪训练1　求下列定积分．
(1)?dx；
(2)
(3)?(1＋)dx.
解　(1)?dx＝
＝－
＝ln 2－.
(2)＝＝1.
(3)?(1＋)dx
＝?(＋x)dx＝
＝－＝.

例2　(1)求函数f(x)＝在区间[0,4]上的定积分；
(2)求定积分?|x2－1|dx.
解　(1)?f(x)dx＝＋＋?(x－1)dx
＝＋＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)∵|x2－1|＝
又′＝1－x2，′＝x2－1，
∴?|x2－1|dx＝?|x2－1|dx＋?|x2－1|dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋＝1－＋－2－＋1＝2.
反思与感悟　分段函数的定积分的求法
(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数的定积分再计算．
跟踪训练2　(1)f(x)＝求?f(x)dx.
解　?f(x)dx
＝?(1＋2x)dx＋?x2dx
＝(x＋x2)|＋x3|＝2＋＝.
(2)求?|x2－x|dx的值．
解　∵|x2－x|＝
∴?|x2－x|dx
＝?(x2－x)dx＋?(x－x2)dx＋?(x2－x)dx
＝＋＋
＝＋＋＝.
类型二　利用定积分求参数
例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤?(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
答案　(1)3　(2)
解析　(1)?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
(2)?(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
引申探究
1．若将本例(1)中的条件改为?f(x)dx＝f，求t.
解　由?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t，
又f＝t－1，
∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．若将本例(1)中的条件改为?f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
解　F(t)＝?f(x)dx＝t2－t＝2－(t>0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
反思与感悟　(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练3　已知x∈(0,1]，f(x)＝?(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
答案　[0,2)
解析　f(x)＝?(1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2)|＝－2x＋2(x∈(0,1])．
∴f(x)的值域为[0,2)．
1．若?dx＝3＋ln 2，则a的值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　D
解析　?dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
2．等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　D
解析　
＝＝＝.
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，?f(x)dx＝－2.求a，b，c的值．
解　∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2， ①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0， ②
?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx＝
＝a＋c＝－2， ③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
4．已知f(x)＝计算：?f(x)dx.
解　?f(x)dx＝
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以
即?f(x)dx＝－π2－1.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
一、选择题
1．?dx等于(　　)
A．e2－ln 2 B．e2－e－ln 2
C．e2＋e＋ln 2 D．e2－e＋ln 2
答案　D
解析　?＝(ex＋ln x)|
＝(e2＋ln 2)－(e＋ln 1)＝e2－e＋ln 2.
2．?|x＋2|dx等于(　　)
A．?(x＋2)dx
B．?(－x－2)dx
C．?(x＋2)dx＋?(－x－2)dx
D．?(－x－2)dx＋?(x＋2)dx
答案　D
解析　∵|x＋2|＝
∴?|x＋2|dx＝?(－x－2)dx＋?(x＋2)dx.
故选D.
3．若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1C．S2答案　B
解析　因为S1＝?x2dx＝x3|＝×23－＝，
S2＝?dx＝ln x|＝ln 2，
S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
又ln 2所以ln 2<4．若则实数a等于(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　A
解析　
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1，故选A.
5．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则?f(－x)dx等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵f′(x)＝mxm－1＋n＝2x＋1，
∴m＝2，n＝1.
则f(x)＝x2＋x，
∴?f(－x)dx＝?(x2－x)dx
＝＝.
6．已知f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.＋2ln 2
C.＋ln 2 D.－ln 2
答案　C
解析　?f(x)dx＝?xdx＋?dx
＝x2＋ln x|＝＋ln 2.
7．已知f(a)＝?(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　f(a)＝?(2ax2－a2x)dx＝＝－a2＋a，
由二次函数的性质，可得f(a)max＝＝.
8．若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，则?f(x)dx等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
答案　B
解析　∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝
＝＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝－.
二、填空题
9．?(xcos x－5sin x＋2)dx＝________.
答案　4a
解析　∵?xcos xdx＝0，
∴?(xcos x－5sin x＋2)dx＝?(－5sin x＋2)dx
＝(5cos x＋2x)|＝4a.
10．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
答案　－1或
解析　?f(x)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
2f(a)＝6a2＋4a＋2，
由题意，得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或.
11．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝____________.
答案　1
解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.
又当x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.因为f(f(1))＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
12．已知α∈，则当?(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________.
答案　
解析　?(cos x－sin x)dx
＝sin α＋cos α－1＝sin－1.
∵α∈，则α＋∈，
当α＋＝，即α＝时，sin－1取得最大值．
三、解答题
13．已知f(x)＝?(12t＋4a)dt，F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解　因为f(x)＝?(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx＝?(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)取到最小值1.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　B
解析　?f(x)dx＝?(x＋1)2dx＋?dx，
?(x＋1)2dx＝＝，
?dx是以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
故?dx＝，
故?f(x)dx＝＋＝.
15．(1)已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且?f(x)dx＝1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)＝ax＋b，且?[f(x)]2dx＝1，求f(a)的取值范围．
解　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数f(x)的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4. ①
又因为?f(x)dx＝?(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1. ②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
(2)由f(x)＝ax＋b及?[f(x)]2dx＝1可知，
?(ax＋b)2dx＝?(a2x2＋2abx＋b2)dx
＝＝＋2b2＝1，
即2a2＋6b2＝3，则a2＝－3b2.
于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－32＋，
所以－≤f(a)≤.
1.4.2　微积分基本定理(二)
学习目标　会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．曲边梯形的面积
(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－?f(x)dx.
2．两函数图象围成图形的面积
当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝?[f(x)－g(x)]dx.(如图)
1．曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为?x3dx＋?(2－x)dx.(　√　)
2．求由两条或两条以上的曲线围成的图形的面积，可根据实际情况选积分变量．(　√　)
类型一　利用定积分求面积

例1　求由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
解　由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝?dx－?x2dx
＝－x3|＝－＝.
反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)找出范围，确定积分上、下限．
(3)确定被积函数．
(4)将面积用定积分表示．
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．
解　由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，根据图形，可得S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx＝－＝－＝.

例2　(1)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
解　画出图形，如图所示．
解方程组及
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝?dx＋
?dx
＝?dx＋?dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝.
(2)由抛物线y2＝8x (y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为________．
答案　
解析　由题意，如图所示，
由得所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)．
方法一　(选y为积分变量)
S＝?dy＝
＝24－8－×64＝.
方法二　(选x为积分变量)
S＝?()dx＋?(6－x)dx
＝×x|＋
＝＋＝.
反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2　如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为________．
答案　＋ln 2
解析　解方程组得
所以S＝?dx＋?dx＝x|＋ln x|
＝＋ln 2.
类型二　定积分的综合应用
例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．
解　如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
令y＝0，得x＝，即C，
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
∵S曲边△AOB＝＝x3＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x
∴S＝x－x＝x＝.
∴x0＝1，
从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.
反思与感悟　定积分的综合应用问题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝?(x－x2)dx＝＝.
由
可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，
所以，＝?(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又因为S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－＝1－.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(　　)
S＝?[f(x)－g(x)]dx　　S＝?(2－2x＋8)dx
　　　　 ①　　　　　　　　　　②
S＝?f(x)dx－?f(x)dx　S＝?[g(x)－f(x)]dx＋?[f(x)－g(x)]dx
　　　　 ③　　　　　　　　　　④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案　D
解析　①应是S＝?[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝?2dx－?(2x－8)dx，③和④正确，故选D.
2．曲线y＝cos x与坐标轴所围成图形的面积是(　　)
A．2 B．3 C. D．4
答案　B
解析　＝sin －sin 0－sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3.
3．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为____________．
答案　e＋－2
解析　如图，所围成的图形的面积为
?(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|
＝e＋e－1－2＝e＋－2.
4．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案　
解析　由题意可知?dx＝a2，
又∵′＝，∴x|＝a2，
即a＝a2，∴a＝.
5．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．
解　作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．
由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，
因此所求图形的面积为
S＝?|x2－1|dx＋?(x2－1)dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋
＝－＋－
＝.
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
一、选择题
1．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形的面积等于(　　)
A．3 B.
C．1 D.
答案　A
解析　直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形如图所示，
其面积为S＝
＝－2cos x
＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.
2.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由图可得f(x)＝1－x2与x轴所围图形的面积为?(1－x2)dx＝
＝－＝.
3.如图，由曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为(　　)
A．ln 2 B．ln 2－1
C．1＋ln 2 D．2ln 2
答案　A
解析　由A，B(1,1)，曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为
S＝?dy＝ln y|＝ln 2，故选A.
4．由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形如图，所以由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积为2?(x－x3)dx＝.故选C.
5．如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　B
解析　点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，
故阴影部分的面积为
S＝?(4－x2)dx＝＝，故选B.
6．曲线C：y＝ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴所围成的图形面积为(　　)
A.－1 B.＋1 C. D.－1
答案　D
解析　设切点A(x0，e)，
直线l的斜率k＝y′|＝e，
又k＝，
∴e＝，即x0＝1.
则l的方程为y＝ex，
∴S＝?(ex－ex)dx＝＝－1.
7．曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组解得
联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得
∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为
S＝?dx－＝＝＋－＝.
二、填空题
8．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
答案　
解析　根据题意得S阴＝?3x2dx＝x3|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝.
9．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝______.
答案　
解析　图形如图所示，
S＝?x2dx－?x2dx
＝?x2dx
＝x3|＝.
10．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c＝________.
考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
答案　
解析　由得x＝0或x＝.
∵当0cx3，
∴S＝
＝－＝＝.
∴c3＝，∴c＝.
11.如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.
答案　
解析　由题意知，×x0×＝
即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0>0，∴x0＝.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
解　由图知，方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)．
则＝?[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，
所以a＝±3.
又－a>0，所以a<0，所以a＝－3.
13．求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．
解　如图，由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
方法一　故所求的面积
S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx＝＋＝－0＋－＝.
方法二　由于点D的横坐标也是2，
故S＝?(2x－x)dx－?(x2－x)dx
＝－＝2－＋＝.
四、探究与拓展
14．由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S＝________.
答案　
解析　如图所示，由
得或(舍)．
且x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，
∴S＝?(x2＋1)dx＋?(3－x)dx
＝＋
＝＋1＋－＝.
15．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
解　(1)当t＝时，S2＝
＝＝(－1)．
(2)当t∈(0,2)时，S1＝?[(4－x2)－(4－t2)]dx
＝＝t3.
S2＝?[(4－t2)－(4－x2)]dx
＝＝－2t2＋t3.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.
S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
当00，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.
习题课　导数的应用
学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．
知识点一　函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调增函数
f′(x)<0
单调减函数
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
(1)求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值，如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．
类型一　构造法的应用

例1　已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有sin x·f′(x)>cos x·f(x)成立，则(　　)
A.f?>f? B.f?>f?
C.f?>2f? D.f?答案　D
解析　由f′(x)sin x>f(x)cos x，
即f′(x)sin x－f(x)cos x>0，
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝.
当x∈时，g′(x)>0，
即函数g(x)在上为单调增函数，
∴g故选D.
反思与感悟　解决比较函数值大小题目的关键是构造出恰当的函数，求出该函数的导数，利用单调性进而确定函数值的大小．
跟踪训练1　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f?，b＝－f(－)，c＝f?，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a答案　B
解析　令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∴g()∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g＝g(ln 2)，
∴g(－)故选B.

例2　已知定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　C
解析　设g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，
即函数g(x)在定义域上为单调减函数．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)为单调减函数，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.
反思与感悟　构造恰当的函数并判断其单调性，利用单调性求解不等式．
跟踪训练2　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(1)＝0，其导函数记为f′(x)，当x>0时，满足xf′(x)－f(x)>0，则f(x)>0的解集为________．
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　构造函数g(x)＝，由f(x)是奇函数，所以g(x)是偶函数，因为g′(x)＝，
当x>0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，
由此可画出g(x)的草图，如图，
所以f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
类型二　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
例3　已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(1)解　因为f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－＝，
所以当0此时函数f(x)为单调减函数，
当10，
此时函数f(x)为单调增函数，
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明　因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0，e]上的最小值为1.
又g′(x)＝，
所以当00，
此时g(x)为单调增函数．
所以g(x)的最大值为g(e)＝<，
所以f(x)min－g(x)max>.
所以在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
(3)解　假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]有最小值3，
则f′(x)＝a－＝，
①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，e]上为单调减函数，
f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
此时函数f(x)的最小值不是3.
②当0<f(x)在上为单调增函数，
所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件．
③当≥e时，f(x)在(0，e]上为单调减函数，
f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
此时函数f(x)的最小值不是3.
综上可知，存在实数a＝e2，使f(x)的最小值是3.
反思与感悟　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可求得最值．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；
(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
解　(1)∵f′(x)＝－＋＝，
当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
∴当x＝1时，f(x)的极小值为1.
f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)∵f′(x)＝(a≠0，a∈R)．
令f′(x)＝0，得x＝，
若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，
其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.
(ⅰ)当x＝<0，即a<0时，f′(x)<0对x∈(0，＋∞)成立，
∴f(x)在区间(0，e]上单调递减，
故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e
＝＋a，由＋a<0，得a<－；
(ⅱ)当x＝>0，即a>0时，
①若e≤，则f′(x)≤0对x∈(0，e]成立，
∴f(x)在区间(0，e]上单调递减，
∴f(x)在区间(0，e]上的最小值为
f(e)＝＋aln e＝＋a>0，
显然，f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．
②若0<，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
∴f(x)在区间(0，e]上的最小值为f?＝a＋aln ，
由f?＝a＋aln ＝a(1－ln a)<0，
得1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．
综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知，a∈∪(e，＋∞)．
类型三　导数的综合应用
例4　已知函数f(x)＝ex－cx－c(c为常数，e是自然对数的底数)，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当c>1时，试求证：
①对任意的x>0，不等式f(ln c＋x)>f(ln c－x)恒成立；
②函数y＝f(x)有两个相异的零点．
(1)解　函数f(x)＝ex－cx－c的导数为f′(x)＝ex－c，
当c≤0时，f′(x)>0恒成立，可得f(x)的增区间为R；
当c>0时，由f′(x)>0，可得x>ln c，
由f′(x)<0，可得x可得f(x)的增区间为(ln c，＋∞)，减区间为(－∞，ln c)．
(2)证明　①f(ln c＋x)－f(ln c－x)＝eln c＋x－c(ln c＋x)－c－eln c－x＋c(ln c－x)＋c＝c(ex－e－x－2x)，
设g(x)＝ex－e－x－2x，x>0，
则g′(x)＝ex＋e－x－2，
由x>0，可得ex＋e－x－2>2－2＝0，
即g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，
可得g(x)>g(0)＝0，
又c>1，则c(ex－e－x－2x)>0，
可得不等式f(ln c＋x)>f(ln c－x)恒成立．
②函数f(x)＝ex－cx－c的导数为f′(x)＝ex－c，当c>1时，f(x)的增区间为(ln c，＋∞)；减区间为(－∞，ln c)，
可得f(x)在x＝ln c处取得极小值，且为最小值，
由f(ln c)＝eln c－cln c－c＝c－cln c－c＝－cln c<0，
可得f(x)＝0有两个不等的实根，
则函数y＝f(x)有两个相异的零点．
反思与感悟　利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时，注意运用构造函数和转化思想．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax－ln x－1，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直．
(1)求a的值；
(2)函数g(x)＝f(x)－m(x－1)(m∈R)恰有两个零点x1，x2(x1解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由f′(x)＝a－，且f′(2)＝，解得a＝1.
(2)因为g(x)＝(1－m)(x－1)－ln x，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝1－m－＝.
(ⅰ)当1－m≤0即m≥1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上为单调减函数，
此时只存在一个零点，不合题意．
(ⅱ)当m<1时，令g′(x)＝0，解得x＝.
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下表：
x



g′(x)
－
0
＋
g(x)
?
极小值
?
由题意可知，g(x)极小值＝g＝m＋ln(1－m)．
下面判断极小值的正负，设h(m)＝m＋ln(1－m)，m<1.
①当m＝0时，h(0)＝0，即g(x)极小值＝0，
此时g(x)恰有一个零点，不合题意．
②当m≠0且m<1时，h′(m)＝1－＝.
当m<0时，h′(m)>0；
当0所以h(m)在(－∞，0)上为单调增函数，在(0,1)上为单调减函数，
所以h(m)综上，m的取值范围是(－∞，0)∪(0,1).
1．若函数y＝x3＋2x2＋mx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
答案　A
解析　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数或g(x)为常函数．
∵a3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意的x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．
答案　(－1，＋∞)
解析　设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，
则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.
又对任意的x∈R，f′(x)>3，
∴F′(x)＝f′(x)－3>0，
∴F(x)在R上是增函数，
∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，
即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．
4．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x(x2－ax＋3)．
(1)若x＝是f(x)的极值点，求f(x)在区间[－1,4]上的最大值与最小值；
(2)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)由f(x)＝x3－ax2＋3x，
得f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由已知得f′＝0，解得a＝5，
∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1



3
(3,4)
4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－9
?

?
－9
?
－4
∴函数f(x)在[－1,4]上的最小值为－9，最大值是.
(2)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由f(x)在[1，＋∞)上单调递增，得3x2－2ax＋3≥0，
即a≤在[1，＋∞)上恒成立，
要使上式成立，只要a≤min即可，
设g(x)＝x＋(x≥1)，
由于g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝2，∴a≤3，
即实数a的取值范围是(－∞，3]．
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)答案　A
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵2＜e＜3，∴f(2)2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
3．函数f(x)＝－x＋ln x在(0，e3]上的最大值为(　　)
A．e B．－e C．1 D．－1
答案　D
解析　f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1，
∴f(x)在x∈(0,1)上为增函数，在x∈(1，e3]上为减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋ln 1＝－1.
4．函数f(x)＝－x2＋ln x的图象大致是(　　)
答案　B
解析　f′(x)＝－x＋＝＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
又f(1)<0，故选B.
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2在(0,2)上为单调增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
答案　A
解析　当x∈(0,2)时，f′(x)＝－3x2＋2ax≥0恒成立，
故得a≥3.
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是(　　)
A．a＋b＋c
B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b
D．c
答案　D
解析　由f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,2)上是增函数，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
7．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R，都有f′(x)<，则不等式f(x)>的解集为(　　)
A．(1,2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－1,1)
答案　B
解析　∵f′(x)<，∴f′(x)－<0.
设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－<0，
∴h(x)是R上的减函数，且h(1)＝f(1)－＝1－＝.不等式f(x)>，
即为f(x)－x>，即h(x)>h(1)，得x<1，
∴原不等式的解集为(－∞，1)．
8．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求函数中参数的取值范围
答案　B
解析　由f(x)－m≥0得f(x)≥m，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
此时，函数f(x)单调递增，
所以f(1)≤f(x)≤f(e)．
即1≤f(x)≤e2－2，
要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，
则有m≤e2－2.
二、填空题
9．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　c解析　f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos x≥0，
故f(x)在上是增函数，
因为>π－2>1>π－3>0，
所以f(π－2)>f(1)>f(π－3)．
即c10．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且＝ax (a>0且a≠1)，f′(x)g(x)答案　
解析　令h(x)＝，
∵f′(x)g(x)∴h′(x)＝<0，
∴函数y＝ax在R上为单调减函数，∴0∵＋＝，
∴a1＋a－1＝，
化为2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
∵011．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则实数a的最大值为________．
答案　0
解析　令g(x)＝＋ln x，g′(x)＝－＋＝，
当x∈时，g′(x)<0，
当x∈(1,2)时，g′(x)>0，
∴g(x)min＝g(1)＝0.
∴a≤0，故a的最大值为0.
三、解答题
12．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3.
13．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3x，若x＝a是f(x)的极值点，求f(x)在[－2，a]上的最大值和最小值．
解　由题意知f′(a)＝3a2－4a2＋3＝0，
∴a＝±.
①当a＝时，x∈[－2，]，
f′(x)＝3x2－4x＋3＝3(x－)，
令f′(x)>0，得－2≤x<；
令f′(x)<0，得∴函数f(x)的单调增区间为，
函数f(x)的单调减区间为.
又f(－2)＝－14－8，f()＝0，
极大值为f?＝.
∴函数f(x)的最小值为－14－8，
函数f(x)的最大值为.
②当a＝－时，x∈[－2，－]，
f′(x)＝3x2＋4x＋3＝3(x＋)，
此时，f′(x)≥0在[－2，－]上恒成立，
∴f(x)在[－2，－]上为增函数，
∴f(x)min＝f(－2)＝－14＋8，
∴f(x)max＝f(－)＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x存在单调减区间，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1)
解析　f′(x)＝ax－2＋＝，
假设f(x)不存在单调减区间，则f′(x)≥0，
即ax2－2x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
由ax2－2x＋1≥0，
得a≥－＝－2＋1，
则a≥1，
所以若函数f(x)存在单调减区间，
则a的取值范围是(－∞，1)．
15．设函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　(1)已知f(x)＝－x3＋x2＋2ax，
则f′(x)＝－x2＋x＋2a，
由于函数f(x)在上存在单调递增区间，
即导函数在上存在函数值大于零的部分，
故f′＝－2＋＋2a>0，即a>－.
即实数a的取值范围为.
(2)已知0而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图象开口向下，
且对称轴为x＝，
则f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a>0，
f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12<0，
则必有一点x0∈[1,4]，使得f′(x0)＝0，
此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，
在[x0,4]上单调递减，
因为f(1)＝－＋＋2a＝＋2a>0，
所以f(4)＝－×64＋×16＋8a＝－＋8a<0.
所以f(4)＝－＋8a＝－，即a＝1.
此时，由f′(x0)＝－x＋x0＋2＝0，
得x0＝2或－1(舍去)，
即f(x)在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减．
所以函数f(x)max＝f(2)＝.
章末复习
学习目标　1.理解导数的几何意义，并能解决有关斜率、切线方程等问题.2.掌握初等函数的求导公式.3.熟练掌握利用导数判断函数单调性，会用导数求函数的极值与最值.4.掌握微积分基本定理，能利用定积分求不规则图形的面积．
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数
(1)定义式：f′(x0)＝.
(2)几何意义：曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
2．基本初等函数的导数公式
y＝f(x)
y′＝f′(x)
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝nxn－1，n为正整数
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
3.导数的四则运算法则
4．复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.
5．函数的单调性与其导数符号的关系
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数．
(2)若在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．
6．求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)考查在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．
若f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
若由负变正，则f(x0)是极小值；
若符号不变，则f(x0)不是极值．
7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值
函数的最值必在极值点或区间端点取得．
因此把函数在区间端点的值与区间内的极值比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为函数在[a，b]上的最小值．
8．定积分
(1)定义式：?f(x)dx＝(ξi)Δxi.
(2)性质：?cf(x)dx＝c?f(x)dx，?[f(x)＋g(x)]dx＝?f(x)dx＋?g(x)dx.
(3)微积分基本定理：?f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)
2．函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　×　)
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0.(　√　)
类型一　导数与曲线的切线
例1　已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝ax＋b.若函数g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝ln x－图象的切线，求a＋b的最小值．
解　设切点(m＞0)，函数f(x)＝ln x－的导数为f′(x)＝＋，即切线的斜率为＋，
若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝ln x－图象的切线，
则a＝＋，ln m－＝ma＋b，即b＝ln m－－1，
a＋b＝ln m－＋－1，
令＝t>0，则a＋b＝－ln t－t＋t2－1(t＞0)，
令a＋b＝φ(t)＝－ln t＋t2－t－1(t＞0)，
则φ′(t)＝－＋2t－1＝(t＞0)，
当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，φ(t)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)>0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增．
即当t＝1时，φ(t)取得极小值，也为最小值．
则a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，
故a＋b的最小值为－1.
反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点(x0，y0)不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　已知曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为________．
答案　(1,1)
解析　函数y＝x2＋aln x(a>0)的定义域为{x|x>0}，y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，此时y＝1，所以切点的坐标为(1,1)．
类型二　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
例2　已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解　(1)当a＝－4时，令f′(x)＝＝0 (x>0)，得x＝或x＝2.
令f′(x)>0，得x∈或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调增区间为和(2，＋∞)．
(2)因为f′(x)＝，a<0，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减；
当x∈时，f(x)单调递增，
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1，即－2≤a<0时，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，
得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f?＝0，不符合题意．
③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，
由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，
得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上，a＝－10.
反思与感悟　本类题考查了分类讨论思想
(1)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要分类．
(2)分类讨论的基本原则是不重不漏．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex－ax，a>0.
(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；
(2)若对任意实数x恒有f(x)≥0，求f(a)的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，
f′(x)＝ex－a，
令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调增区间是(ln a，＋∞)；
令f′(x)<0，得x函数f(x)在x＝ln a处取极小值，
g(a)＝f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a，
g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a，
当00，g(a)在(0,1)上单调递增；
当a>1时，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减，
所以a＝1是函数g(a)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g(a)max＝g(1)＝1.
(2)当x≤0时，a>0，ex－ax≥0恒成立，当x>0时，f(x)≥0，即ex－ax≥0，即a≤ .
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝＝ .
当01时，h′(x)>0，
故h(x)的最小值为h(1)＝e，
所以a≤e，故实数a的取值范围是(0，e]．
f(a)＝ea－a2，a∈(0，e]，f′(a)＝ea－2a，易知在(0，e]内ea－2a≥0恒成立，故f(a)在(0，e]上单调递增，所以f(0)＝1即f(a)的取值范围是(1，ee－e2]．
类型三　定积分及其应用
例3　如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.
解　由得x＝1或x＝4，故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，
S＝2?dx＋?(－x＋2)dx
＝2×|＋
＝2×＋＝.
反思与感悟　求两个曲线围成平面图形面积的方法
(1)画出两个曲线，先将两个方程联立方程组求解，得到两个曲线的交点的横坐标a，b(a(2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，即S＝?[f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x))．
跟踪训练3　求由曲线y＝2x－x2及y＝2x2－4x所围成的图形的面积．
解　由
解得x1＝0，x2＝2.
如图，由于y＝2x2－4x与x轴围成图形的面积为负值，故应加绝对值符号．
S＝?(2x－x2)dx＋
＝＋
＝22－×23－0＋
＝4－＋8×＝4－＋＝4.
1．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为(　　)
A．－2 B．2 C. D．1
答案　D
解析　∵曲线y1＝2－，y2＝x3－x2＋2x，
∴y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2.
∵曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，
∴×(3x－2x0＋2)＝3，解得x0＝1，故选D.
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，则有(　　)
A．a>0，c<0 B．a>0，c>0
C．a<0，c<0 D．a<0，c>0
答案　A
解析　由函数f(x)的图象知f(x)先递增，再递减，再递增，
∴f′(x)先为正，再变为负，再变为正．
∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴a>0，
∵0在递减区间内，∴f′(0)<0，即c<0，故选A.
3．函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若?f(x)dx＝f(x0)，则x0的值为(　　)
A．± B. C. D.
答案　A
解析　∵f(x)＝ax2＋c(a≠0)，
∴?f(x)dx＝＝a＋c.
∵?f(x)dx＝f(x0)，∴f(x0)＝ax＋c＝a＋c，
∴x0＝±.故选A.
4.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
答案　0
解析　∵f(3)＝1，又点(3,1)在直线l上，
∴3k＋2＝1，从而k＝－，∴f′(3)＝k＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
5．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx.
(1)当a＝－2，b＝3时，求函数f(x)的极值；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内恰有两个实数解，求实数m的取值范围．
解　(1)依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2，b＝3时，f(x)＝ln x＋x2－3x(x>0)，
令f′(x)＝＝0，得x＝或x＝1.
可知f(x)的极大值为f?＝－ln 2－，
f(x)的极小值为f(1)＝－2.
(2)F(x)＝ln x＋，x∈(0,3]，
则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立，
∴a≥max.
∴当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，∴a≥.
(3)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝ln x＋x＝mx(x∈[1，e2])，
得 m＝1＋在[1，e2]有两个实数解，
设h(x)＝1＋，x∈，
则h′(x)＝，x∈，
当1＜x＜e时，h′(x)＞0；
当e＜x＜e2时，h′(x)＜0.
∴h(x)max＝h(e)＝＋1，
h(1)＝1，h(e2)＝＋1＞1，
结合图象知，h(e2)≤m＜h(e)．
∴m∈时，方程有两个实数解．
1．函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．
2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域．(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们研究临界值取舍即可．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝－sin πx，且＝2，则a的值为(　　)
A．2 B．－2 C．2π D．－2π
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　A
解析　∵＝2，
∴f′(1)＝2，f(x)＝－sin πx，
f′(x)＝－acos πx，∴－acos π＝2，
∴a＝2，故选A.
2．若?(2x－3x2)dx＝0(m≠0)，则m等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由?(2x－3x2)dx＝m2－m3＝0，
解得m＝1或0(舍去)．
3．已知函数f(x)＝x2＋f′(2)(ln x－x)，则f′(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　C
解析　f′(x)＝2x＋f′(2).
令x＝2，得f′(2)＝4＋f′(2)，解得f′(2)＝.
∴f′(x)＝2x＋，则f′(1)＝2.
4．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．3x－15y＋4＝0 B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
答案　B
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
5.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图所示，则x·f′(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(1,2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，0)∪(1,2)
答案　D
解析　不等式x·f′(x)>0等价于当x>0时，f′(x)>0，即当x>0时，函数递增，此时16．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　S阴影＝?(－x)dx＝
＝－＝.
又S正方形＝1，依几何概型的概率公式知，点P恰好取自阴影部分的概率为＝.
7．已知函数f(x)＝kx2－3x＋1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当k＝0时，函数f(x)＝－3x＋1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，满足条件．
当k≠0时，若函数f(x)＝kx2－3x＋1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，当k<0时，函数f(x)＝kx2－3x＋1的图象开口朝下，且过(0,1)点，此时必有正数零点，
当k>0时，函数f(x)＝kx2－3x＋1的图象开口朝上，且过(0,1)点，对称轴在y轴右侧，若函数有正数零点，则解得k∈，综上可得实数k的取值范围为.
二、填空题
8．已知f(x)＝eπx·sin πx，则f′＝________.
答案　πe
解析　∵f′(x)＝(eπx)′sin πx＋eπx(sin πx)′＝π·eπx·sin πx＋π·eπx·cos πx＝π·eπx(sin πx＋cos πx)，
∴f′＝πe＝πe.
9．若函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋2)x在x＝处取得极大值，则正数a的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　f′(x)＝＋2ax－(a＋2)＝＝，因为f(x)在x＝处取得极大值，所以f′(x)＝0的两根满足>，又a>0，故正数a的取值范围是(0,2)．
10.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．
答案　
解析　如图，设正六边形A′B′C′D′E′F′的顶点到正六边形ABCDEF的边的距离为x，
则|A′B′|＝1－x.
又设正六边形A′B′C′D′E′F′的面积为S，所在棱柱的体积为V，则S＝6××2sin 60°
＝2，
V＝Sh＝2·x＝x－6x2＋2x3.
V′＝－12x＋6x2.
令V′＝0，即4x2－8x＋＝0，
解得x1＝，x2＝(舍去)．
当00；当所以当x＝时，V取得最大值．
此时，|A′B′|＝1－×＝1－＝.
三、解答题
11．求抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
解　如图，∵y′＝－2x＋4，
∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2.
∴在点(0，－3)处的切线方程是y＝4x－3，在点(3,0)处的切线方程是y＝－2(x－3)．
联立方程组
即
得交点坐标为.
所以由它们围成的图形面积为
＝＋＝.
12．已知函数f(x)＝ax＋－3ln x(x>0)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)在[1，e]上是单调函数，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝2x＋－3ln x(x>0)，
f′(x)＝2－－＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－(舍去)．
当x变化时，函数f(x)及导数f′(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
5－3ln 2
?
∴当a＝2时，函数f(x)取得极小值，也是最小值，为f(2)＝5－3ln 2.
(2)f′(x)＝，
令h(x)＝ax2－3x－a＝a2－，
要使f(x)在[1，e]上为单调函数，只需对任意x∈[1，e]，都有f′(x)≥0或f′(x)≤0.
∵h(1)＝－3<0，∴h(e)＝ae2－3e－a≤0，∴a≤.
①当0≤a≤时，h(x)≤0对x∈[1，e]恒成立，
即f′(x)≤0对x∈[1，e]恒成立；
②当a<0时，h(x)的图象的对称轴x＝<0，
∴h(x)在(0，＋∞)上递减，且h(1)＝－3<0，
∴当x∈[1，e]时，h(x)≤h(1)<0，
∴f′(x)<0对x∈[1，e]恒成立．
综上所述，当f(x)在[1，e]上是单调函数时，a≤.
即a的取值范围为.
13．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
可得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，f(x)无极大值．
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝ln x－x＋，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是________．
答案　
解析　若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)min.由f′(x)＝－－＝＝可知，函数f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝.∵g(x)＝x2－2bx＋4，∴g′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，当b≤1时，g(x)在[1,2]上单调递增，故最小值为g(1)＝5－2b，则≥5－2b，解得b≥，不满足题意；当b≥2时，g(x)在[1,2]上单调递减，故最小值为g(2)＝8－4b，则≥8－4b，解得b≥，即b≥2；当115．已知函数f(x)＝ln.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)＞2；
(3)设实数k使得f(x)＞k对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．
(1)解　因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2.
又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)证明　令g(x)＝f(x)－2，
则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝.
因为g′(x)>0(0所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．
所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0,1)，
所以当x∈(0,1)时，f(x)>2.
(3)解　由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0,1)恒成立．
当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，
则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.
所以当0因此h(x)在区间上单调递减．
当0所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立．
综上可知，k的最大值为2.

1　变化率与导数
1．变化率
函数的平均变化率为＝＝，它是用来刻画函数值在区间[x0，x1]上变化快慢的量．式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
例1　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t0]内的平均速度哪个大？
解　比较在相同的时间段[0，t0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果．
在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
所以<.
所以在时间段[0，t0]内乙的平均速度比甲的大．
点评　比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．
2．导数的概念及其几何意义
函数y＝f(x)在x0点的导数即为函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，函数值y关于x的平均变化率＝的极限值；Δx趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．
函数y＝f(x)在x0点处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．
例2　在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是__________．
解析　y′＝＝
＝＝(2x＋Δx)＝2x.
令2x＝tan ＝1，∴x＝，y＝.
故所求的点是.
答案　
例3　函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0解析　根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率．
由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0另一方面，这两点的平均变化率为＝f(3)－f(2)，其几何意义为割线AB的斜率．
由图可知，0答案　C
点评　本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．
通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．
2　导数计算中的策略
1．活用定义
例1　已知函数f(x)＝3x4－2x3＋5，则＝________.
解析　因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝·2＝2f′(1)＝12.
答案　12
2．整体构造
例2　若函数f(x)＝(x－1)·(x－2)·(x－3)·…·(x－2 018)，求f′(2 018)的值．
解　令φ(x)＝(x－1)·(x－2)·(x－3)·…·(x－2 017)，则f(x)＝(x－2 018)φ(x)，故f′(x)＝φ(x)＋(x－2 018)φ′(x)，于是有f′(2 018)＝φ(2 018)＝1×2×3×…×2 017.
3．化繁为简
例3　求f(x)＝(1－)·的导函数．
解　因为f(x)＝(1－)
＝1－＋－1
＝－＋，
所以f′(x)＝′＝－x－－x－.
点评　在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误.
3　函数单调性的多方妙用
1．根据函数的单调性求解参数问题
例1　已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f′＝，求a，b，c的值．
解　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.
又f′＝，
所以解得
点评　由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答．
例2　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)的任何子区间上不恒为零，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是a≤16.
点评　已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零．然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解．
2．利用函数的单调性证明不等式
欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明．
例3　已知x>0，求证：ex>1＋x.
证明　设函数f(x)＝ex－(1＋x)，则f′(x)＝ex－1.
当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(x)＝ex－1>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以当x>0时，f(x)>f(0)．
又f(0)＝e0－(1＋0)＝0，
所以f(x)>0，即ex－(1＋x)>0.故ex>1＋x.
点评　若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明．
3．利用函数的单调性判断方程根的个数
若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根．
例4　试判断函数f(x)＝x－ln x(x>0)在区间和区间(1，e)内零点的个数．
解　因为f′(x)＝－.
所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数；
当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数．而0<<1又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有唯一零点.
4　揭开导数问题易错点的面纱
一、剖析导数运算中的常见错误
1．对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1　已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为(　　)
A．0 B．－4 C．－2 D．2
错解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)，得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.故选A.
错因分析　解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′?1?是常数.
正解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)，得f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故选B.
2．切点位置的确定有误
例2　求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．
错解　由题意知点P(1,0)在曲线上．
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析　点P?1，0?虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P?1，0?当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：?1?曲线在点P处的切线方程?一定是以点P为切点?；?2?曲线过点P的切线方程?无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点?.
正解　设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)．
由切线过点P(1,0)，得
0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3．对切线定义的理解有误
例3　已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
错解　由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点．
错因分析　“切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立.
正解　由消去y整理，得
x3－12x＋16＝0，
即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，
解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．
二、剖析导数应用中的常见错误
1．将函数单调性的充分条件误认为是充要条件
例4　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．
错解　f′(x)＝3ax2＋6x－1.
因为f(x)在R上是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)．
错因分析　“f′(x)<0(x∈(a，b))”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的充分条件而不是充要条件，如f(x)＝－x3在R上单调递减，但f′(x)＝－3x2≤0.
正解　f′(x)＝3ax2＋6x－1.
(1)当f′(x)<0时，f(x)是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
(2)当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，
当且仅当x＝时，f′(x)＝0.
易知此时函数f(x)在R上也是减函数．
综上知，实数a的取值范围为(－∞，－3]．
点评　解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性．
2．将函数取极值的必要条件误认为是充要条件
例5　求函数f(x)＝x6－3x4＋3x2的极值．
错解　f′(x)＝6x5－12x3＋6x＝6x(x4－2x2＋1)
＝6x(x2－1)2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x＝±1时，函数f(x)取极大值1；当x＝0时，
函数f(x)取极小值0.
错因分析　“f′?x0?＝0”是“可导函数y＝f?x?在x0处有极值”的必要条件而不是充要条件，即导数为零的点不一定是极值点.防止出现这类错误的方法是验证可导函数f?x?在x0左右两侧的导数值的符号，若x0两侧的导数值异号，则x0是函数f?x?的极值点.
正解　f′(x)＝6x(x2－1)2.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号如下表所示：
x
(－∞，－1)
(－1,0)
0
(0,1)
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
＋
因此函数f(x)无极大值，当x＝0时，
函数f(x)取极小值0.
点评　函数y＝f(x)在x0处可导，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x0处取得极值”的必要条件，但不是充要条件．一般地，函数f(x)在x0的附近可导且f′(x0)＝0，如果f′(x)在x0两侧的符号相反，则f(x)在x0处取极值；如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则f(x)在x0处无极值.
5　导数应用中的数学思想
1．方程思想
例1　已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.
解析　f′(x)＝3x2＋6mx＋n.
由题意，得
解得或
但当m＝1，n＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，
即x＝－1不是f(x)的极值点，应舍去．
所以m＝2，n＝9.
答案　2　9
点评　本题的解答充分体现了方程思想的应用，通过已知的极值求得函数解析式中的参数，但要注意对所求值的验证．
2．函数思想
例2　设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x>－1时，f(x)≥.
证明　令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1.
解方程ex－1＝0，得x＝0.
当x变化时，g′(x)，g(x)变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?
0
?
从上表看出，当x＝0时，函数有极小值，且g(0)＝0.
因而当x∈R时，有g(x)≥g(0)＝0，即ex≥1＋x.
所以当x>－1时，有f(x)＝1－e－x＝1－≥1－＝，即f(x)≥.
点评　本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷．
3．数形结合思想
例3　已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．
解　f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．
所以a＋27<0或a－5>0，解得a<－27或a>5.
故实数a的取值范围为a<－27或a>5.
点评　数形结合思想是中学数学的一种重要思想．画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解．
4．分类讨论思想
例4　求函数f(x)＝ax3－3x2＋1－的单调区间．
解　f′(x)＝3ax2－6x.由题意，得a≠0.
当a>0时，由3ax2－6x>0，解得x<0或x>；
由3ax2－6x<0，解得0所以f(x)的单调增区间为(－∞，0)和，
单调减区间为.
当a<0时，由3ax2－6x>0，解得由3ax2－6x<0，解得x<或x>0.
所以f(x)的单调增区间为，
单调减区间为和(0，＋∞)．
点评　注意本题中隐含了a≠0的条件．a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论.
6　多法求解定积分
用微积分基本定理求定积分?f(x)dx时，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法．
1．几何法
例1　求定积分?(－x)dx的值．
解　?(－x)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1的一部分与直线y＝x所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此?(－x)dx＝－×1×1＝－.
点评　数形结合思想在这里得到了充分的体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力．
2．函数性质法
例2　求的值．
解　记f(x)＝lg，易知定义域为(－1,1)，
因为f(－x)＝lg＝lg－1＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，因此有
点评　从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有?f(x)dx＝2?f(x)dx；奇函数f(x)有?f(x)dx＝0.
3．转化法
例3　计算定积分的值．
解　
＝x－sin x
＝－·0－sin＋sin 0＝－.
点评　较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分．
4．分段法
例4　求定积分?x|x|dx的值．
解　因为f(x)＝x|x|＝
所以?x|x|dx＝?(－x2)dx＋?x2dx
＝－＋＝－＋＝.
点评　这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值．
5．换元法
例5　求抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积．
解　方法一　选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积即为所求．
解
得
所以交点为A(2，－2)，B(8,4)．
选取x为积分变量，
则0≤x≤8.
因此S＝2?dx＋?(－x＋4)dx
＝＋＝18.
方法二　选取纵坐标y为积分变量，则－2≤y≤4，所求图中阴影部分的面积为
S＝?dy＝＝18.
点评　从上述两种方法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要．但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x＝φ(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x＝，x＝y＋4的形式，然后求面积.
7　利用定积分速求面积
1．巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．
例1　求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形的面积．
解　画出图象如图所示，
解方程组
得A(－1,1)，B(3,9)．
故所求图形的面积为
?(2x＋3－x2)dx
＝＝.
点评　本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变．
2．妙用对称
在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段．
例2　求由两条曲线y＝x2,4y＝x2和直线y＝1所围成的图形的面积．
解　如图，因为y＝x2,4y＝x2是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可．
解方程组和
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．
所以
＝.
点评　巧用对称性能简化解题．
3．恰到好处的分割
例3　求两曲线y＝sin x与y＝sin 2x在[0，π]上围成的图形的面积．
解　如图，令sin x＝sin 2x，得交点的横坐标为x＝0，x＝，x＝π.
由图形分割，得
点评　类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法．
4．进行适当转换
例4　求正弦曲线y＝sin x，x∈和直线x＝及x轴围成的平面图形的面积．
解　由图可知，当x∈[0，π]时，曲线y＝sin x位于x轴的上方，当x∈时，曲线y＝sin x位于x轴的下方．
因此所求面积应为两部分面积的和，即
＝－cos x＋＝2＋1＝3.
点评　对于y＝f(x)和x＝a，x＝b(a(1)若f(x)>0，则?f(x)dx>0，S＝?f(x)dx；
(2)若f(x)<0，则?f(x)dx<0，＝－?f(x)dx；
(3)若a0，则?f(x)dx<0，?f(x)dx>0，所以S＝－?f(x)dx＋?f(x)dx.