模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵(2－i)2＝3－4i，∴(2－i)2对应的点位于第四象限．
2．已知函数y＝f(x)，下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)为函数值的改变量
B.＝称作该函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率
C．f(x)在点x0处的导数记为y′
D．f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)
答案 C
3．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是( )
A．171 B．183 C．205 D．268
答案 B
解析 中间数是周围数的平方和．
4．已知f(x)＝2－|x|，则?f(x)dx等于( )
A．3 B．4 C. D.
答案 C
解析 f(x)＝2－|x|＝
?f(x)dx＝?(2＋x)dx＋?(2－x)dx
＝＋＝＋2＝.
5．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是纯虚数，其中m∈R，i2＝－1，则等于( )
A．－i B.i
C．－ D.
答案 A
解析 ∵z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是纯虚数，
∴解得m＝0，∴z＝2i.
∴＝＝－i.
6．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2
答案 D
解析 ∵y′＝ex，
∴y＝ex在(4，e2)处的切线斜率为e2.
∴过点(4，e2)的切线方程为y＝e2x－e2，
它与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)，
∴S＝×2×e2＝e2.故选D.
7．定义新运算为a?b＝，则2?(3?4)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵a?b＝，∴3?4＝＝1,2?1＝＝3.
8．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实根的条件是b2－4ac>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
答案 D
解析 ②中，|z|2∈R，z2不一定是实数；③中，复数集中不能比较大小，不能用b2－4ac来确定根的个数．
9．已知命题A(n)(n∈N＋)满足，若在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立，现命题A(n)(n∈N＋)若当n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 B
10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
11．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值是( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 A
解析 由a，b为正实数可得，函数f(x)的导函数f′(x)＝3ax2＋b＋2xln 2>0，即函数f(x)在R上是增函数，故函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为f(1)＝a＋b＋2＝4，可得a＋b＝2，∴函数f(x)在[－1,0]上的最小值为f(－1)＝－a－b＋＝－2＋＝－.
12．已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x2＋3x)≤1的解集为( )
A．[－4,1]
B．[－4，－2]∪[－1,1]
C．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)
D．[－4，－2]∪[－1，＋∞)
答案 B
解析 由f′(x)的图象知，f(x)在(－2,0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(4)＝f(－2)＝1，
又f(x2＋3x)≤1，
∴－2≤x2＋3x≤4，
解得－4≤x≤－2或－1≤x≤1.
∴不等式f(x2＋3x)≤1的解集为[－4，－2]∪[－1,1]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设函数f(θ)＝＋＋tan θ，则f′(0)＝___________________.
答案
解析 f′(θ)＝－＋，∴f′(0)＝－0＋1＝.
14．观察下列各式：
2＝2×1；
3×4＝4×1×3；
4×5×6＝8×1×3×5；
5×6×7×8＝16×1×3×5×7；
….
照此规律进行下去，那么当n∈N＋时，(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝__________________.
答案 2n×1×3×5×7×…×(2n－1)
15．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
答案
解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2?(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
16．若?x∈(0，＋∞)，不等式ax－ln x<0成立，则a的取值范围是__________．
答案
解析 若?x∈(0，＋∞)，不等式ax－ln x<0成立，则?x∈(0，＋∞)，不等式a<成立，令f(x)＝，则a
则当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)＝为增函数，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)＝为减函数，故当x＝e时，f(x)max＝，故a的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，∴1－i也是方程的根．
18．(12分)已知函数f(x)＝(x＋m)ex－(x－n)2(m(1)求实数m，n的值；
(2)求f(x)的极值．
解 f′(x)＝(x＋m＋1)ex－(x－n)．
(1)由题意知，f′(0)＝0，得m＋1＋n＝0. ①
又f(0)＝－5，得m－n2＝－5. ②
由①②可得或由m(2)由(1)知f′(x)＝(x－2)ex－(x－2)
＝(x－2)(ex－1)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
极小值
?
∴f(x)极大值＝f(0)＝－5，f(x)极小值＝f(2)＝－e2.
19．(12分)设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
证明 假设4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，4d(1－a)>1，
则有a(1－b)>，b(1－c)>，c(1－d)>，d(1－a)>，即>，>，>，>.
又≤，≤，
≤，≤，
故>，>，>，>.
将上面各式相加得2>2，矛盾．
故4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
20．(12分)网校教学越来越受广大学生的喜爱，它已成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x为多少时，网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
解 (1)当x＝4时，y＝21，代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－6)2(x－2)，所以f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f′(x)＝0，得x＝，易知在上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，在上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以x＝是函数f(x)在(2,6)上的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
21．(12分)若函数f(x)＝(x≠－1)．
(1)用分析法证明：当x>y>－1时，f(x)(2)若数列的各项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，求x1，x2，x3，x4的值．
试猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
(1)证明 要证明f(x)只需证明<，
只需证明(y＋1)2<(x＋1)2，
即证(x＋1)2－(y＋1)2>0，
只需证明(x－y)(x＋y＋2)>0，
由已知x>y>－1，得x－y>0，x＋y＋2>0，
所以当x>y>－1时，f(x)(2)解 x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝×＝，
x3＝×＝，
x4＝×＝.
因为x1，x2，x3，x4所得结果的分子，分母进行了约分化简，
所以规律不明显，若变形为，，，，…，
便可猜想xn＝，n∈N＋.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，因为x1＝，而＝，
所以猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即xk＝.
则当n＝k＋1时，xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))
＝·
＝·
＝·＝，
所以当n＝k＋1时，猜想成立．
综上可知，对一切n∈N＋，猜想xn＝都成立．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；
(3)若函数f(x)解 (1)由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)>0，得x>－a，
∴f(x)的单调递增区间为(－a，＋∞)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则当x∈[1，e]时，x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)；
②若a≤－e，则当x∈[1，e]时，x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)；
③若－e∴f(x)在(1，－a)上为减函数，
当－a0，
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，
∴a＝－.综上所述，a＝－.
(3)由f(x)∴a>xln x－x3在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝xln x－x3(x>1)，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，则h′(x)＝－6x＝(x>1)．
∵h′(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)即当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数，
∴当x∈(1，＋∞)时，g(x)∴a≥－1.即a的取值范围为[－1，＋∞)．
滚动训练四(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 e2i＝cos 2＋isin 2，
由于<2<π，
因此cos 2<0，sin 2>0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，
即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；
当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
4．设复数z＝，则z·等于( )
A．1 B. C．2 D．4
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 C
解析 ∵z＝＝
＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为( )
A．－1 B．0 C．i D．1
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 B
解析 ∵z(i＋1)＝，∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于( )
A．2 B．－2 C．±2 D．－
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 B
解析 由题意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点 共轭复数的定义及应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 D
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
二、填空题
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案
解析 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 一
解析 z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为_________________________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
三、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点 复数四则运算的综合运算
题点 复数的混合运算
解 (1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
四、探究与拓展
13．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.＋
C.－ D.－
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决距离、角、面积
答案 C
解析 复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分．
y≥x的图形是图形中阴影部分，如图，
复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
则y≥x的概率为＝－.
14．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决距离、角、面积
解 方法一 |z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二 |z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
答案 B
2．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．z1－是纯虚数或零
答案 D
解析 举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，故z1－＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．
3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
答案 B
解析 由共轭复数的定义可得．
4．复数等于( )
A．i B．－i
C．2－i D．－2＋i
答案 A
解析 ＝＝＝＝i.
5.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i是虚数单位)，则z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋＝2a＝2，得a＝1.
(z－)i＝2bi2＝2，得b＝－1，
∴z＝1－i.
6．设复数z满足＝i，则|1＋z|的值为( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 C
解析 由＝i，得z＝＝－i，
∴|1＋z|＝|1－i|＝.
7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，则集合{f(n)}的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
答案 B
解析 f(n)有三个值0,2i，－2i.
8．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p2，p4 D．p3，p4
答案 D
解析 z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
9．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(0,1)，B(－1,3)，则等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－1＋3i D．－3－i
答案 A
解析 z1＝i，z2＝－1＋3i，＝＝3＋i.
10．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 A
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
11．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，
∴
得∴λ＋μ＝1.
12．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意可得定义运算＝ad－bc，
所以＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，
代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，
解得a＝2，b＝－1，
所以z＝2－i，所以＝2＋i，
所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限．
故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
答案 (3,4)
解析 ∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得314．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案
解析 ＝＝＝
＝＋i，
∵为纯虚数，
∴∴a＝.
15．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|答案 (－1,1)
解析 由题意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.
∵|z1|16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
答案 ⑤
解析 由y∈?CR知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时：
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
解 (1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或m＝－1.
即当m＝－2或m＝－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解 z2＝＝＝
＝＝1－3i，
则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝
＝＝＋i.
19．(12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.
(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
(2)求的共轭复数．
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.
由得所以z＝－4＋3i.
其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．
(2)由(1)知z＝－4＋3i，
所以＝＝＝＝＝3＋4i，共轭复数为3－4i.
20．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
21．(12分)已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．
解 因为z＝＝＝1－i，
所以|z|＝.
又≤，所以|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
所以－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.
22．(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z.
(1)z＋∈R，且1(2)z的实部和虚部都是整数．
解 设z＝x＋yi(x，y∈Z)，
则z＋＝x＋yi.
因为z＋∈R，所以y＝0.
所以y＝0或x2＋y2＝10.
又1①当y＝0时，可以化为1x＋<0，当x>0时，x＋≥2>6，故当y＝0时，无解．
②当x2＋y2＝10时，可化为1<2x≤6，即因为x，y∈Z，故可得z＝1＋3i或z＝1－3i或z＝3＋i或z＝3－i.
§3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的概念
学习目标 1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一 复数的概念及代数表示
思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理 (1)复数的概念
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数．
(2)复数的表示
复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位．
知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件
思考1 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
答案 实数．
思考2 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？
答案 纯虚数．
梳理 (1)复数的分类
①复数(a＋bi，a，b∈R)
②集合表示：
(2)复数相等的充要条件
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c，且b＝d；a＋bi＝0?a＝0，且b＝0.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )
2．复数z＝bi是纯虚数．( × )
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
类型一 复数的概念与分类
例1 当实数m满足什么条件时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i：
(1)是纯虚数；
(2)是实数；
(3)是虚数．
解 (1)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解得m＝4.
(2)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，解得m＝－2或m＝－3.
(3)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是虚数，解得m<1－2或m>1＋2且m≠－2且m≠－3.
反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.
跟踪训练1 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，
即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，
即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
类型二 复数相等
例2 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练2 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案 C
2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
答案 A
解析 因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1，故选A.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______________.
答案 －4
解析 根据复数相等的充要条件，
有
解得a＝－4.
5．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案 2－2i
解析 2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，
其实部为－2.
∴新复数z＝2－2i.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．
而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 C
4．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 B
解析 由题意，得
解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
5．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为( )
A．7 B．－
C．－7 D．－7或－
答案 C
解析 ∵复数z＝＋i是纯虚数，∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 B
解析 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 由题意可得解得m＝－2.
9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为________．
答案 2或－1
解析 ∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析 若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
11．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 充分不必要
解析 当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
12．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N＋，则m＋n＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 1或2
解析 由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由log(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由log(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
解 复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)由z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)由z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得得x＝－1，y＝2.
3.1.3 复数的几何意义
学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念．
知识点一 复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
知识点二 复数的几何意义
思考1 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)具有怎样的对应关系？
答案 一一对应．
思考2 复平面内的点Z与向量有怎样的对应关系？
答案 一一对应．
梳理 复数z＝a＋bi有序实数对(a，b)点Z(a，b)．
知识点三 复数的模
设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
知识点四 共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，则＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( × )
类型一 复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解 (1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或x＝2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 在复平面内，复数i,1,4＋2i对应的点分别是点A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解 由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)，
则∴即D(3,3)．
∴D点所对应的复数为3＋3i.
例2 (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由复数的几何意义，可得
＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
反思与感悟 根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
跟踪训练2 (1)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
(2)复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为________．
答案 (1)2－i (2)
解析 (1)复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.
(2)∵复数z对应点Z(3,4)，
∴向量所在的直线的斜率为.
类型二 复数的模与共轭复数的计算
例3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z及其共轭复数．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.其共轭复数为－15－8i.
反思与感悟 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
跟踪训练3 (1)若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－，]
解析 复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，
即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－，]．
(2)若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________________．
答案 －1,1
解析 由共轭复数的定义得得
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0 B．－3
C．－3i D．3
答案 C
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________________．
答案 |1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
解析 由3－4i＝x＋yi，
∴x＝3，y＝－4.
则|1－5i|＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2，
∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
答案 4－4i
解析 由复数的几何意义可知，＝(－2,1)，＝(3,2)，＝(1,5)，
＝＋＝(－2,1)＋(1,5)＝(－1,6)，
＝－＝(3,2)－(－1,6)＝(4，－4)，
∴对应的复数为4－4i.
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
3．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
一、选择题
1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
答案 A
解析 ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案 A
解析 由题意得
解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应点的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
答案 A
解析 0则|z|＝∈(1，)．
5．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是( )
A．1＋2i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
答案 B
解析 向量对应的复数是2＋i，即A(2,1)，点A关于虚轴的对称点为B(－2,1)，则向量对应的复数是－2＋i.
6．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
答案 A
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.
二、填空题
8．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．
答案 5
解析 由共轭复数的定义得
∴|z|＝|－4＋3i|＝＝5.
9．若a，b∈R，则复数(a2－4a＋5)＋(－b2＋2b－6)i所对应的点一定落在第________象限．
答案 四
解析 复数对应点的坐标为(a2－4a＋5，－b2＋2b－6)，∵a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，－b2＋2b－6＝－(b－1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．
10．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 3＋4i
解析 因为点B的坐标为(3，－4)，
所以点A的坐标为(－3,4)，
所以点C的坐标为(3,4)，
所以向量对应的复数为3＋4i.
11．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是____________．
答案
解析 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝，
因为－1三、解答题
12．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解 由纯虚数的定义知，
解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
四、探究与拓展
13．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
14．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解 |w|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.
§3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法与减法
学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
知识点一 复数的加法与减法
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？
答案 满足．
梳理 复数的加法与减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
定义z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
如图1，2分别与复数a＋bi，c＋di对应．
思考1 试写出1，2，1＋2，1－2的坐标．
答案 1＝(a，b)，2＝(c，d)，
1＋2＝(a＋c，b＋d)，1－2＝(a－c，b－d)．
思考2 向量1＋2，1－2对应的复数分别是什么？
答案 (a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
梳理 复数加减法的几何意义
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加减法运算
例1 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案 (1)－1 (2)1＋i
解析 (1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，
∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴
解得∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．
解 ∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
②因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
解 根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形．
如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，
∴||＝||，对应的复数为z1＋z2，
∴||＝.
在△AOC中，||＝||＝1，||＝，
∴∠AOC＝30°.
同理得∠BOC＝30°，
∴△OAB为等边三角形，则||＝1，
对应的复数为z1－z2，
∴|z1－z2|＝1.
引申探究
若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|.
解 如例2(2)图，向量表示的复数为z1－z2，
∴||＝1，
则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°，
则||＝，∴||＝，表示的复数为z1＋z2，
∴|z1＋z2|＝.
反思与感悟 (1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．
①四边形OACB为平行四边形．
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________．
答案 (1) (2)(－∞，1)
解析 (1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
1．已知实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
答案 A
解析 ∵(1＋i)x＋(1－i)y＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴由
得x＝y＝1，则xy＝1.
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i
答案 D
解析 由得，∴a＋bi＝－2－i.
4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A. B．5 C. D．5
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案 －1
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
一、选择题
1．已知复数z满足z＋(－3＋i)＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
解析 z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
答案 C
解析 z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知 得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
4．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B.＋i
C.－i D.－i
答案 C
解析 z1＋z2＝－i＝－i.
5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是( )
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
答案 C
解析 ∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴ 解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
6．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
答案 A
解析 由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．
7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
答案 D
解析 |z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝.
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
二、填空题
8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
答案 3i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，
∴b＝3，z＝3i.
9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
答案 5－9i －8－7i
解析 ∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
10.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 2－4i
解析 因为＋＝，
所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，
所以所以
所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
三、解答题
11．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
12．设O为坐标原点．已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若1＋z2可以与任意实数比较大小，求z1与z2的值．
解 因为1＋z2可以与任意实数比较大小，所以1＋z2∈R.
1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(2a＋a2－15)i∈R，
所以
解得a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
13．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解 (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
四、探究与拓展
14．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
答案 C
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋yi|，
∴＝，∴x＋2y＝3.
则2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.
15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
解 (1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1.
由得A，B.
∴|OA|＝，|OB|＝.
∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.
∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.
3.2.2 复数的乘法
3.2.3 复数的除法
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．
知识点一 复数的乘法
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.
(3)共轭复数的性质
设z的共轭复数为，则：
①z·＝|z|2＝||2.
②＝()2.
③＝·.
知识点二 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)．
特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数的乘除运算
例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝
＝
＝＝＋i.
(4)方法一 －
＝
＝＝＝2i.
方法二 －＝－
＝i＋i＝2i.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．
跟踪训练1 计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3).
解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝2＝－1＋i.
(2)原式＝＝＝i.
(3)原式＝＝i－1.
类型二 共轭复数的性质及应用
例2 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
反思与感悟 (1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1. ①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
类型三 in的周期性
例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(2)－；
(3)＋2 016＋.
解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.
(2)原式＝－
＝－＝3－i＝i－i＝0.
(3)原式＝＋1 008＋0＝＋(－i)1 008＝i＋1.
反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
④设ω＝－＋i，则ω2＝－－i，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012.
解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案 B
解析 ∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是( )
A．i B．i2 C．i3 D．i4
答案 B
解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴ 即
得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )
A．M B．N C．P D．Q
答案 D
解析 由图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
4．复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案 5＋i
解析 ∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，＝3＋，
＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
5．已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z－3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的充要条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
一、选择题
1．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于( )
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
答案 C
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－ C．4 D.
答案 D
解析 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝
＝＝＋i，
则z的虚部是.
3．若z＋＝6，z·＝10，则z等于( )
A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得
得或∴z＝3±i.
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 z＝＝
＝＝＝.
z·＝·＝.
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 A
7．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
解析 z2＝＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
二、填空题
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案 1
解析 ＝2－ai＝b＋i，
即 得
∴a＋b＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于________．
答案 1
解析 ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.
10．定义一种运算：＝ad－bc，则复数的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
11.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案 二
解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
三、解答题
12．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解 (1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
∴5a－1＝0且a＋5≠0，解得a＝.
13．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 z是复数，z＋2i与均为实数，
可设z＝x－2i(x∈R)，
＝＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
因为复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以所以即2所以实数a的取值范围为(2,4)．
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案
解析 易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解 设z＝m＋ni(m，n∈R)，
因为(1＋3i)z＝(1＋3i)(m＋ni)＝m－3n＋(3m＋n)i为纯虚数，
所以m－3n＝0，且3m＋n≠0， ①
ω＝＝＝.
由|ω|＝5，得
＋＝(5)2，
即m2＋n2＝250. ②
由①②可得或
代入ω＝，得ω＝±(7－i)．
章末复习
学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模
向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
4．共轭复数的性质
(1)z·∈R.
(2)＝z.
(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数．
(4)共轭复数对应的点关于实轴对称．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋2 012＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解 (1)原式＝＋1 006＋
＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2 计算：(＋i)5＋4＋7.
解 (＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
类型三 复数问题实数化思想
例3 已知复数z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＝2，＝i，
∴z2＝2i.
∵|z|＝2，则＝2. ①
∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，
∴＝ ②
由①②得或
∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.
反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路．
跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝＝＝－2＋i，
∴＝＝.
类型四 复数的几何意义
例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值．
解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值．
如图，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6，
|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，
得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
1．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
答案 D
解析 z＝＝＝在复平面内对应的点在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
2．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1 B．1 C．i D．0
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
3．已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )
A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
答案 A
解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
4．若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________．
答案 1
解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.
5．设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
又2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得所以z＝＋i.
1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化．
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
答案 B
解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．复数＋的虚部是( )
A.i B. C．－i D．－
答案 B
解析 ＋＝＋＝－＋i.故选B.
3．若z＝1＋2i，则等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 C
解析 z＝1＋2i，
则＝＝＝i.
4．若复数z＝cos ＋isin (i是虚数单位)，复数z2的实部、虚部分别为a，b，则下列结论正确的是( )
A．ab<0 B．a2＋b2≠1
C.＝ D.＝
答案 C
解析 ∵z＝cos ＋isin ，
∴z2＝2
＝cos2－sin2＋2cos sin i
＝cos ＋isin ＝＋i，
则a＝，b＝，则＝，故选C.
5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则向量对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．－8＋10i D．8＋(－10i)
答案 A
解析 向量对应的复数是5－4i，可得Z1(5，－4)；
向量对应的复数是－5＋4i，可得Z2(－5,4)；
向量对应的点是(－10,8)，
即向量对应的复数是－10＋8i.故选A.
6．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2 C. D．3
答案 D
解析 ∵|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z－i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________________．
答案 1
解析 因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
9．若复数＋b(b∈R)所对应的点在直线x＋y＝1上，则b的值为________．
答案 0
解析 复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i.
∵所对应的点(b,1)在直线x＋y＝1上，
∴b＋1＝1，解得b＝0.
10．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
答案 －2－i
解析 由图可知，z1＝－1＋2i，
∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虚数z＝________.
答案 ±i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9. ①
又由|z－3|＝3，得＝3. ②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
解 (1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以实数a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
四、探究与拓展
13．若z＝－，则z2 012＋z102＝________.
答案 －1＋i
解析 z2 012＋z102＝(z4)503＋(z2)51＝(－1)503＋(－i)51＝－1－i48＋3＝－1＋i.
14．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为
x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.
所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，
即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为[－4,4]．
1 化虚为实——复数相等的妙用
在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位i的数z＝a＋bi(a，b∈R)为复数．那么复数集C的理论体系与实数集R的理论体系之间存在着怎样的联系和差异呢？
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果b＝0，则z就是我们过去熟知的实数．因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b≠0”．
2．解决复数问题的一条主线是化虚为实．其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等．
利用复数相等的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析．
1．求参数
例1 已知x，y∈R，x2＋2x＋(2y＋x)i＝3x＋(y＋1)i，求复数z＝x＋yi.
解 由复数相等的充要条件，得
解得或所以z＝i或z＝1.
点评 复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段．
2．求模
例2 若复数z满足z－1＝2i－|z|，求|z|.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意得，
a＋bi－1＝2i－，
即(a－1)＋bi＝－＋2i，
由复数相等的充要条件，得
解得
所以z＝－＋2i，所以|z|＝.
3．求方程的根
例3 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数根x0及k的值．
分析 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解．
解 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得或
所以x0的值为±，
相应的k的值为±2.
易错警示 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.
2 复数有了“形”才完美
因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观．下面用实例来说明．
1．复数与点坐标
例1 若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数z(1＋i)的点是______．
解析 因为点Z的坐标为(2，－1)，所以z＝2－i.所以z(1＋i)＝(2－i)·(1＋i)＝3＋i，即该复数对应的点的坐标为(3,1)．
答案 H
点评 本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想．复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，如纯虚数与虚轴上除原点外的点
对应，实数与实轴上的点对应．这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉．
2．复数与平面向量
例2 设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝4，|z1＋z2|＝4，求|z1－z2|.
分析 设复数z1和z2在复平面内表示向量与，则复数z1＋z2表示向量与的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解．
解 复数z1和z2在复平面内表示向量与，画出如图所示的平行四边形，
依题意，有||＝4，||＝4，||＝4.
cos∠OBC＝＝－.
因为∠AOB＋∠OBC＝180°，所以cos∠AOB＝.
所以AB2＝42＋42－2×4×4cos∠AOB＝16，
得AB＝4，即|z1－z2|＝4.
点评 解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题．
3．复数方程的几何意义
例3 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，求的最大值与最小值．
分析 利用复数的几何意义可知，|z－2|＝的轨迹为一个圆，就是圆上的点与原点连线的斜率．
解 复数z在复平面上对应的点Z(x，y)在以C(2,0)为圆心、为半径的圆上，而的几何意义是点Z(x，y)与原点连线的斜率，当连线与圆C相切时，连线的斜率分别取到最大值，最小值－.
点评 |z－(a＋bi)|＝r的几何意义为复平面上以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了.
3 精析复数中的易错点
1．对概念理解不清致误
例1 给出下列命题：
(1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1；
(2)1＋i2是虚数；
(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解 (1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0，解得a＝±1，故正确；
(2)因为1＋i2中含有i，所以正确；
(3)虚轴上所有点的横坐标都为0，故正确．故选D.
错因分析 ?1?对复数z＝a＋bi?a，b∈R?为纯虚数的条件把握不准；
?2?复数未化简到最简形式就判断类型；
?3?未注意原点在虚轴上.
正解 (1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1，所以错误；
(2)1＋i2＝1－1＝0是实数，所以错误；
(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为0，所以错误．故答案为A.
点评 将复数化为标准代数形式，并正确理解复数是实数、虚数和纯虚数的条件，以及复数的几何意义是避免此类错误的关键．
2．忽视题中的隐含条件致误
例2 m取何值时，复数z＝＋(m2－6m－7)i(m∈R)是实数？
错解 要使z为实数，需m2－6m－7＝0，
解得m＝－1或m＝7，
即m＝－1或m＝7时，z是实数．
正解 要使z为实数，需
解得m＝－1.即当m＝－1时，z是实数．
点评 研究一个复数在什么情况下是实数、虚数时，要注意复数的实部、虚部有意义这一隐含条件．
3．忽视复数相等的前提条件致误
例3 已知x∈C，x2－4x＋3＋(x－1)i＝0，求x.
错解 由复数相等的定义，得
解得x＝1.
错因分析 未注意x∈C，误把x2－4x＋3＋(x－1)i看成a＋bi(a，b∈R)的标准形式，错用复数相等的前提条件．
正解 原方程可化为(x－1)(x－3)＋(x－1)i＝0，
即(x－1)(x－3＋i)＝0，
故x－1＝0或x－3＋i＝0，解得x＝1或x＝3－i.
点评 复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要途径，但应用其解题时，需审清题意，注意复数相等的前提条件，并将复数化为标准代数形式．
4．忽视复数不一定能比较大小致误
例4 求使不等式m2－(m2－3m)i<10＋(m2－4m＋3)i成立的实数m满足的条件．
错解 由
解得－错因分析 不全是实数的两个复数不能比较大小，只有相等与不相等之说.故a＋bi>c＋di?a，b，c，d∈R?a>c，且b>d.
正解 因为不等式两边必须都是实数，
所以有解得m＝3.
点评 虚数不能比较大小，两个复数能比较大小的前提条件是它们均是实数．在解决这类问题时，要注意挖掘表达式中的隐含条件．
5．误用实数中的运算律
例5 式子5的化简结果是( )
A．1 B．i
C．－i D．±i
错解1 5＝＝(－1)＝±i，
故选D.
错解2 5＝＝1＝1，故选A.
错因分析 实数中的幂的运算法则?ar?s＝ars是在条件“a>0，r，s∈R”限制下进行的，在复数集中?ar?s＝ars是在条件“r，s∈N＋”限制下进行的，所以不能盲目推广.
正解 5＝4·＝(－i)4·(－i)＝－i.故选C.
点评 实数中的有些运算律和常用结论在复数范围内要慎用．
6．误用实系数方程Δ>0
例6 已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)有实数根，求点(x，y)的轨迹．
错解 ∵方程有实根，
∴Δ＝(2＋i)2－4×1×[2xy＋(x－y)i]≥0，
∴4＋4i－1－4(2xy＋xi－yi)≥0，
∴3－8xy＋(4－4x＋4y)i≥0，
∴
∴x－y＝1且xy≤.
∴点(x，y)的轨迹为直线的一部分．
错因分析 只有在实系数一元二次方程中才能利用判别式Δ讨论方程根的个数，本题正确的处理方法是首先设出方程根的形式，然后利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.
正解 (1)设实根为t0，则t＋(2＋i)t0＋2xy＋(x－y)i＝0，即(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0，
根据复数相等的充要条件，
得
由②得t0＝y－x，
代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2， ③
∴所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
点评 对于复系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为复数)，讨论其根的个数时，需先设x＝m＋ni(m，n∈R)，将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理．
4 复数中的数学思想
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，掌握以下两种数学思想方法，有利于复数问题的解决．
1．化归与转化思想
复数集是由实数集扩充而来的，因此实数集内的一些性质在复数集内仍然成立．利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题方法．
例1 设a，b，c，d∈R，若为实数，则( )
A．bc＋ad≠0 B．bc－ad≠0
C．bc－ad＝0 D．bc＋ad＝0
解析 由已知，得＝＋i.
因为为实数，所以虚部＝0，即bc－ad＝0.
答案 C
点评 这里先把分母“实数化”，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，这是解决复数问题的常见思路．
2．数形结合思想
由于复数既可以用代数形式也可以用几何形式表示，因此解复数题常以形助数，数形结合．
例2 求满足条件|z|＝1，且＝的复数z的集合．
解 因为|z|＝1，所以z在复平面内对应的点在单位圆上．
又＝，
所以z在复平面内对应的点在直线x＝上，如图所示．
由图形可知只有点A，B所表示的复数满足条件．
易得点A，B的坐标分别为，.
所以点A，B所对应的复数分别为＋i和－i.
故复数z的集合是.
点评 本题充分挖掘出复数所隐含的几何因素，通过构造图形，借助几何计算，有效地实现了“复数问题实数化”．
