2011-2018高考数列压轴汇总
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2011~2018 年上海高考数学压轴题汇总
2011 文
已知数列 { }na 和 { }nb 的通项公式分别为 3 6na n? ? ， 2 7nb n? ? （ *)n N? .将集合
{ , *} { , *}n nx x a n N x x b n N? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列
1 2 3, , , , ,nc c c c? ?
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{ }na 中的项，又是数列{ }nb 中的项；
（2）数列 1 2 3 40, , , ,c c c c? 中有多少项不是数列{ }nb 中的项？请说明理由；
（3）求数列{ }nc 的前4n项和 4 ( *)nS n N? .
2011 理
已知数列 ? ?na 和 ? ?nb 的通项公式分别为 3 6, 2 7, ( )n na n b n n N ?? ? ? ? ? . 将集合
? ? ? ?, ,n nx x a n N x x b n N? ?? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列
1 2 3, , , , ,nc c c c? ?
（1）写出 1 2 3 4, , ,c c c c ；
（2）求证：在数列? ?nC 中，但不在数列? ?nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?；
（3）求数列? ?nC 的通项公式.
2012 文
对于项数为 m 的有穷数列? ?na ，记 ? ?1 2max , ,...,k kb a a a? （ 1, 2,...,k m? ），即 kb 为
1 2, ,..., ka a a 中的最大值，并称数列? ?nb 是? ?na 的控制数列，如 1，3，2，5，5 的控制数列
是 1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列? ?na 的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的? ?na
（2）设? ?nb 是? ?na 的控制数列，满足 1k m ka b C? ?? ? （C为常数， 1, 2,...,k m? ），求证：
k kb a? （ 1, 2,...,k m? ）
（3）设 100m ? ，常数
1
,1
2
a
? ??? ?
? ?
，若
( 1)
2 2( 1)
n n
na an n
?
? ? ? ，? ?nb 是? ?na 的控制数列，
求 1 1 2 2( ) ( )b a b a? ? ? ? 100 100... ( )b a? ?
2012 理
对于数集 ? ?1 21, , ,..., nX x x x? ? ，其中 1 20 ... nx x x? ? ? ? ， 2n ? ，定义向量集
? ?( , ), ,Y a a s t s X t X? ? ? ?? ? ，若对任意 1a Y??? ，存在 2a Y???? ，使得 1 2 0a a? ??? ??? ，则称 X
具有性质P，例如? ?1,1, 2? 具有性质P
（1）若 2x ? ，且? ?1,1, 2, x? 具有性质P，求 x的值
（2）若 X 具有性质P，求证：1 X? ，且当 1nx ? 时， 1 1x ?
（3）若 X 具有性质P，且 1 1x ? 、 2x q? （q为常数），求有穷数列 1 2, ,..., nx x x 的通项公
式
2013 文
已知函数 ( ) 2f x x? ? ，无穷数列? ?na 满足 1 ( )n na f a? ? ， *n N? ．
（1）若 1 0a ? ，求 2 3 4, ,a a a ；
（2）若 1 0a ? ，且 1 2 3, ,a a a 成等比数列，求 1a 的值；
（3）是否存在 1a ，使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ；若不存
在，说明理由．
2013 理
给定常数 0c ? ，定义函数 ( ) 2 4f x x c x c? ? ? ? ? ．数列 1 2 3, , ,a a a ?满足 1 ( )n na f a? ? ，
*n N? ．
（1）若 1 2a c? ? ? ，求 2a 及 3a ；
（2）求证：对任意 *n N? ， 1n na a c? ? ? ；
（3）是否存在 1a ，使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ；若不存
在，说明理由
2014 文
已知数列? ?na 满足 1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，
*n?N ， 1 1a ? .
（1）若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ，求 x的取值范围；
（2）若? ?na 是等比数列，且
1
1000m
a ? ，求正整数 m的最小值，以及 m取最小值时相应
? ?na 的公比；
（3）若 1 2 100, , ,a a a? 成等差数列，求数列 1 2 100, , ,a a a? 的公差的取值范围
2014 理
已知数列? ?na 满足 1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，
*n?N ， 1 1a ? .
（1）若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ，求 x的取值范围；
（2）设? ?na 是公比为q的等比数列， 1 2n nS a a a? ? ? ?? . 若 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，
*n?N ，求q的取值范围；
（3）若 1 2, , , ka a a? 成等差数列，且 1 2 1000ka a a? ? ? ?? ，求正整数k的最大值，以
及 k取最大值时相应数列 1 2, , , ka a a? 的公差
2015 文
已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ，n?
*N
（1）若 3 5nb n? ? ，且 1 1a ? ，求{ }na 的通项公式；
（2）设{ }na 的第 0n 项是最大项，即 0n na a? ( )n?
*N ，求证{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）设 1 3 0a ?? ? ，
n
nb ?? ( )n?
*N ，求?的取值范围，使得对任意m、 n? *N ，
0na ? ，且
1
( ,6)
6
m
n
a
a
?
2015 理
已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ，n?
*N
（1）若 3 5nb n? ? ，且 1 1a ? ，求{ }na 的通项公式；
（2）设{ }na 的第 0n 项是最大项，即 0n na a? ( )n?
*N ，求证{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）设 1 0a ?? ? ，
n
nb ?? ( )n?
*N ，求?的取值范围，使得{ }na 有最大值M 与最
小值m，且 ( 2, 2)
M
m
? ?
2016 文
对于无穷数列{ }na 与{ }nb ，记
*{ | , }nA x x a n N? ? ? ，
*{ | , }nB x x b n N? ? ? ，若同
时满足条件：①{ }na ，{ }nb 均单调递增；② A B ? ?? 且
*A B N?? ，则称{ }na 与{ }nb 是
无穷互补数列；
（1）若 2 1na n? ? ， 4 2nb n? ? ，判断{ }na 与{ }nb 是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 2nna ? 且{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列，求数列{ }nb 的前 16 项的和；
（3）若{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列，{ }na 为等差数列，且 16 36a ? ，求{ }na 与{ }nb 的通
项公式；
2016 理
无穷数列{ }na 满足：只要 p qa a? （
*,p q N? ），必有 1 1p qa a? ?? ，则称{ }na 具有性质P；
（1）若{ }na 具有性质P，且 1 1a ? ， 2 2a ? ， 4 3a ? ， 5 2a ? ， 6 7 8 21a a a? ? ? ，求 3a ；
（2）若无穷数列{ }nb 是等差数列，无穷数列{ }nc 是公比为正数的等比数列， 1 5 1b c? ? ，
5 1 81b c? ? ， n n na b c? ? ，判断{ }na 是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{ }nb 是无穷数列，已知 1 sinn n na b a? ? ? （
*n N? ），求证：“对任意 1a ，{ }na 都具
有性质P ”的充要条件为“{ }nb 是常数列”；
2017
根据预测，某地第n *( )n?N 个月共享单车的投放量和损失量分别为 na 和 nb （单位：辆），
其中
45 15, 1 3
10 470, 4
n
n n
a
n n
? ? ? ??? ?
? ? ???
， 5nb n? ? ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第 n个月底的单车容纳量 24( 46) 8800nS n? ? ? ? （单位：
辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容
纳量？
2018
给定无穷数列{ }na ，若无穷数列{ }nb 满足：对任意n?
*N ，都有 | | 1n nb a? ? ，则称
{ }nb 与{ }na “接近”.
（1）设{ }na 是首项为 1，公比为
1
2
的等比数列， 1 1n nb a ?? ? ，n?
*N ，判断数列{ }nb 是
否与{ }na 接近，并说明理由；
（2）设数列{ }na 的前四项为： 1 1a ? ， 2 2a ? ， 3 4a ? ， 4 8a ? ，{ }nb 是一个与{ }na 接近
的数列，记集合 { | , 1,2,3,4}iM x x b i? ? ? ，求M 中元素的个数m；
（3）已知{ }na 是公差为d 的等差数列，若存在数列{ }nb 满足：{ }nb 与{ }na 接近，且在 2 1b b? ，
3 2b b? ， ? ? ?， 201 200b b? 中至少有 100 个为正数，求d 的取值范围.
2011~2018 年上海高考数学压轴题答案汇总
2011 文
23.（1）9、15、21；
（2）10 项，分别为 12、18、24、30、36、42、48、54、60、66
（3）即求首项为 45，公差为 24 的等差数列的前 n项和， 24 12 33nS n n? ?
2011 理
22.（1） 1 2 3 49, 11, 12, 13c c c c? ? ? ? ；
（2）① 任意 *n N? ，设 2 1 3(2 1) 6 6 3 2 7n ka n n b k? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则 3 2k n? ? ，
即 2 1 3 2n na b? ??
② 假设 2 6 6 2 7n ka n b k? ? ? ? ? ?
*13
2
k n N? ? ? （矛盾），∴ 2 { }n na b?
∴ 在数列{ }nc 中、但不在数列{ }nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?
（3） 3 2 2 12(3 2) 7 6 3k kb k k a? ?? ? ? ? ? ? ，
3 1 6 5kb k? ? ? ， 2 6 6ka k? ? ， 3 6 7kb k? ?
∵ 6 3 6 5 6 6 6 7k k k k? ? ? ? ? ? ?
∴ 当 1k ? 时，依次有 1 1 1 2 2 2 3 3 4, , ,b a c b c a c b c? ? ? ? ? ，……
∴ *
6 3 ( 4 3)
6 5 ( 4 2)
,
6 6 ( 4 1)
6 7 ( 4 )
n
k n k
k n k
c k N
k n k
k n k
? ? ??
? ? ? ??? ?? ? ? ??
? ? ??
，即
3 15
, 2 1
2
3 16
, 4 2
2
3 14
, 4
2
n
n
n k
n
c n k
n
n k
?? ? ??
?
??? ? ??
?
?? ???
，
*k N?
2012 文
23.（1）数列 }{ na 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.
（2）因为 },,,max{ 21 kk aaab ?? ， },,,,max{ 1211 ?? ? kkk aaaab ? ，
所以 kk bb ??1 .
因为 Cba kmk ?? ?? 1 ， Cba kmk ?? ??1 ，
所以 011 ???? ???? kmkmkk bbaa ，即 kk aa ??1 .
因此， kk ab ? .
（3）对 25,,2,1 ??k ， )34()34( 234 ????? kkaa k ； )24()24(
2
24 ????? kkaa k ；
)14()14( 214 ????? kkaa k ； )4()4(
2
4 kkaa k ?? .
比较大小，可得 3424 ?? ? kk aa .
因为 12
1 ?? a ，所以 0)38)(1(2414 ????? ?? kaaa kk ，即 1424 ?? ? kk aa ；
0)14)(12(2244 ????? ? kaaa kk ，即 244 ?? kk aa .
又 kk aa 414 ?? ，从而 3434 ?? ? kk ab ， 2424 ?? ? kk ab ， 2414 ?? ? kk ab ， kk ab 44 ? .
因此 )()()( 1001002211 ababab ?????? ?
= )()()()()( 9999141410107733 ababababab kk ??????????? ?? ??
= )()()()()( 999814241097632 aaaaaaaaaa kk ??????????? ?? ??
=?
?
?? ?
25
1
1424 )(
k
kk aa = ?
?
??
25
1
)38()1(
k
ka = )1(2525 a?
2012 理
23.（1）选取 ，Y中与 垂直的元素必有形式 .
所以 x=2b，从而 x=4.
（2）证明：取 .设 满足 .
由 得 ，所以 、 异号.
因为-1 是 X中唯一的负数，所以 、 中之一为-1，另一为 1，
故 1?X.
假设 ，其中 ，则 .
选取 ，并设 满足 ，即 ，
则 、 异号，从而 、 之中恰有一个为-1.
若 =-1，则 2，矛盾；
若 =-1，则 ，矛盾.
所以 x1=1.
（3）[解法一]猜测 ，i=1, 2, …, n.
记 ，k=2, 3, …, n.
先证明：若 具有性质 P，则 也具有性质 P.
任取 ， 、 ? .当 、 中出现-1 时，显然有 满足 ；
当 且 时， 、 ≥1.
)2,(1 xa ? 1a ),1( b?
Yxxa ?? ),( 111 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa
0)( 1 ?? xts 0?? ts s t
s t
1?kx nk ??1 nxx ??? 10 1
Yxxa n ?? ),( 11 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa 01 ?? ntxsx
s t s t
s
t nn xssxx ??? 1
1?? ii qx
},,,1,1{ 2 kk xxA ???
1?kA kA
),(1 tsa ? s t kA s t 2a 021 ??aa
1??s 1??t s t
因为 具有性质 P，所以有 ， 、 ? ，使得 ，
从而 和 中有一个是-1，不妨设 =-1.
假设 ? 且 ? ，则 .由 ，
得 ，与 ? 矛盾.所以 ? .从而 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明： ，i=1, 2, …, n.
当 n=2 时，结论显然成立；
假设 n=k时， 有性质 P，则 ，i=1, 2, …, k；
当n=k+1时，若 有性质P，则
也有性质 P，所以 .
取 ，并设 满足 ，即 .由此可得 s
与 t中有且只有一个为-1.
若 ，则 1，不可能；
所以 ， ，又 ，所以 .
综上所述， ，i=1, 2, …, n.
[解法二]设 ， ，则 等价于 .
记 ，则数集 X具有性质 P 当且仅当数集 B关于
原点对称.
注意到-1 是 X中的唯一负数， 共有 n-1 个数，
所以 也只有 n-1 个数.
由于 ，已有 n-1 个数，对以下三角数阵
……
注意到 ，所以 ，从而数列的通项公式为
，k=1, 2, …, n.
1?kA ),( 112 tsa ? 1s 1t 1?kA 021 ??aa
1s 1t 1s
1t 1?kA 1t kA 11 ?? kxt 0),1(),( 1 ??? ?kxts
11 ?? ?? kk xtxs s kA 1t kA kA
1?? ii qx
},,,1,1{ 2 kk xxA ??? 1?? ii qx
},,,,1,1{ 121 ?? ?? kkk xxxA ? },,,1,1{ 2 kk xxA ???
},,,,1,1{ 1
1
1 ?
?
? ?? k
k
k xqqA ?
),( 11 qxa k ?? ),(2 tsa ? 021 ??aa 01 ??? qtsxk
1??t
1??s kkk qqqqtx ????
?
?
1
1
1
1
?
? ?
k
k qx
k
k qx ??1
1?? ii qx
1?? ii qx
),( 111 tsa ? ),( 222 tsa ? 021 ??aa 2
2
1
1
s
t
t
s ??
|}|||,,|{ tsXtXsB t
s ????
},,,{)0,( 32 nxxxB ?????? ??
),0( ???B
1221 x
x
x
x
x
x
x
x nn
n
n
n
n ????
??
?
1221 x
x
x
x
x
x
x
x nn
n
n
n
n ????
??
?
1
1
3
1
2
1
x
x
x
x
x
x n
n
n
n
n ?
?
?
?
? ??? ?
1
2
x
x
1
2
1
1
1 x
x
x
x
x
x nn ??? ? ?
1
2
2
1
1 x
x
x
x
x
x
n
n
n
n ???
?
?
?
?
11
1 )( 1
2 ?? ?? kkx
x
k qxx
2013 文
22.（1） 2 2a ? ， 3 0a ? ， 4 2a ? ．
（2） 2 1 12 2a a a? ? ? ? ， 3 2 12 2 2a a a? ? ? ? ? ．
① 当 10 2a? ? 时， ? ?3 1 12 2a a a? ? ? ? ，所以 ? ?
22
1 12a a? ? ，得 1 1a ? ．
② 当 1 2a ? 时， ? ?3 1 12 2 4a a a? ? ? ? ? ，
所以 ? ? ? ?21 1 14 2a a a? ? ? ，得 1 2 2a ? ? （舍去）或 1 2 2a ? ? ．
综合①②得 1 1a ? 或 1 2 2a ? ? ．
（3）假设这样的等差数列存在，那么 2 12a a? ? ， 3 12 2a a? ? ? ．
由 2 1 32a a a? ? 得 1 1 12 2 2a a a? ? ? ? （?）．
以下分情况讨论：
① 当 1 2a ? 时，由（?）得 1 0a ? ，与 1 2a ? 矛盾；
② 当 10 2a? ? 时，由（?）得 1 1a ? ，从而 1na ? ? ?1,2,n ? ? ，
所以? ?na 是一个等差数列；
③ 当 1 0a ? 时，则公差 ? ?2 1 1 12 2 0d a a a a? ? ? ? ? ? ? ，因此存在 2m ? 使得
? ?1 2 1 2ma a m? ? ? ? ．此时 1 2 0m m m md a a a a?? ? ? ? ? ? ，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当 1 1a ? 时， 1 2 3, ,a a a ?构成等差数列
2013 理
23. （1） 2 32, 10a a c? ? ? ．
（2） ? ?
8,
3 3 +8,
8,
x c
f x x c
x c
? ??
?? ??
?? ? ??
,
4 ,
4.
x c
c x c
x c
? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
当 na c? ? 时， 1 8n na a c c? ? ? ? ? ；
当 4 nc a c? ? ? ? ? 时， ? ?1 2 3 8 2 4 3 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；
当 4na c? ? ? 时， ? ?1 2 8 2 4 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
所以，对任意n N ?? ， 1n na a c? ? ? ．
（3）由（2），结合 0c ? 得 1n na a? ? ，即? ?na 为无穷递增数列．
又? ?na 为等差数列，所以存在正数M ，当n M? 时， na c? ? ，
从而， 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ．
由于? ?na 为等差数列，因此其公差 8d c? ? ．
① 若 1 4a c? ? ? ，则 2 1 1( ) 8a f a a c? ? ? ? ? ，
又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? ，故 1 18 8a c a c? ? ? ? ? ? ，即 1 8a c? ? ? ，从而 2 0a ? ．
当 2n ? 时，由于? ?na 为递增数列，故 2 0na a c? ? ? ? ，
所以， 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ，而 2 1 8a a c? ? ? ，
故当 1 8a c? ? ? 时，? ?na 为无穷等差数列，符合要求；
② 若 14c a c? ? ? ? ? ，则 2 1 1( ) 3 3 8a f a a c? ? ? ? ，又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? ，
所以， 1 13 3 8 8a c a c? ? ? ? ? ，得 1a c? ? ，舍去；
③ 若 1a c? ? ，则由 1na a? 得到 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ，
从而? ?na 为无穷等差数列，符合要求．
综上， 1a 的取值集合为? ? ? ?, 8c c? ?? ? ??
2014 文
23.（1）由条件得
2
6
3
x? ? 且 9 3
3
x
x? ? ，解得3 6x? ? ．所以 x的取值范围是 [3,6]x? ．
（2）设{ }na 的公比为q．由
1
3
3 n n
a a? ，且 11 0
n
na a q
?? ? ，得 0na ? ．
因为
1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，所以
1
3
3
q? ? ．从而 1 1 11
1 1
( )
1000 3
m m ma q q? ? ?? ? ? ， 13 1000m? ? ，
解得 8m ? ． 8m ? 时， 7
1 1
[ ,3]
1000 3
q ? ? ．所以，m的最小值为8，此时{ }na 公比为
7 410
10
．
（3）设数列 10021 ,,, aaa ? 的公差为d ．由
1
3
3 n n n
a a d a? ? ? ，
2
2
3 n n
a d a? ? ? ， 99,,2,1 ??n ．
① 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，所以 10 2d a? ? ，即0 2d? ? ．
② 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，符合条件．
③ 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，
所以 99 99
2
2
3
a d a? ? ? ，
2
(1 98 ) 2(1 98 )
3
d d d? ? ? ? ? ，
又 0d ? ，所以
2
0
199
d? ? ? ．
综上， 10021 ,,, aaa ? 的公差的取值范围为
2
[ ,2]
199
?
2014 理
23. （1）依题意， 2 3 2
1
3
3
a a a? ? ，∴
2
6
3
x? ? ，又 3 4 3
1
3
3
a a a? ? ，∴3 27x? ? ，
综上可得3 6x? ? ；
（2）由已知得 1nna q
?? ，又 1 2 1
1
3
3
a a a? ? ，∴
1
3
3
q? ?
当 1q ? 时， nS n? ， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即 1 33
n
n n? ? ? ，成立
当1 3q? ? 时，
1
1
n
n
q
S
q
?
?
?
， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即
11 1 1 1
3
3 1 1 1
n n nq q q
q q q
?? ? ?
? ?
? ? ?
，
∴
11 1
3
3 1
n
n
q
q
? ?
? ?
?
，此不等式即
1
1
3 2 0
3 2 0
n n
n n
q q
q q
?
?
? ? ? ?
?
? ? ??
，∵ 1q ? ，
∴ 13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
对于不等式 1 3 2 0n nq q? ? ? ? ，令 1n ? ，得 2 3 2 0q q? ? ? ，解得1 2q? ? ，
又当1 2q? ? 时， 3 0q ? ? ，
∴
1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成立，
∴1 2q? ?
当
1
1
3
q? ? 时，
1
1
n
n
q
S
q
?
?
?
， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即
11 1 1 1
3
3 1 1 1
n n nq q q
q q q
?? ? ?
? ?
? ? ?
，
即
1
1
3 2 0
3 2 0
n n
n n
q q
q q
?
?
? ? ? ?
?
? ? ??
，3 1 0, 3 0q q? ? ? ?
∵
13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
∴
1
1
3
q? ? 时，不等式恒成立
综上，q的取值范围为
1
2
3
q? ?
（3）设公差为d ，显然，当 1000, 0k d? ? 时，是一组符合题意的解，
∴ max 1000k ? ，则由已知得
1 ( 2)
1 ( 1) 3[1 ( 2) ]
3
k d
k d k d
? ?
? ? ? ? ? ? ，
∴
(2 1) 2
(2 5) 2
k d
k d
? ? ??
? ? ? ??
，当 1000k ? 时，不等式即
2 2
,
2 1 2 5
d d
k k
? ? ? ?
? ?
，
∴
2
2 1
d
k
? ?
?
， 1 2
( 1)
... 1000
2k
k k d
a a a k
?
? ? ? ? ? ? ，
∴ 1000k ? 时，
2000 2 2
( 1) 2 1
k
d
k k k
?
? ? ?
? ?
，
解得1000 999000 1000 999000k? ? ? ? ，∴ 1999k ? ，
∴ k的最大值为1999，此时公差
2000 2 1998 1
( 1) 1999 1998 1999
k
d
k k
?
? ? ? ? ?
? ?
2015 文
23. （1）根据题意 1 6n na a? ? ? ，即{ }na 为等差数列，∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ?
（2）根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解，即{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）根据题意 11 (2 2)
n
n na a ? ?
?
?? ? ? ，累加可得 2
n
na ? ?? ? ， ( 0)? ?
① 当 ( 1,0)?? ? 时，偶数项均大于?，奇数项均小于?，
∵ ( 1,0)?? ? ，∴偶数项是递减的，奇数项是递增的
∴
2
max 2 2a a ? ?? ? ? ， min 1 3a a ?? ? ，∴
21 2
6
6 3
? ?
?
?
? ?
解得
1
0
4
?? ? ?
② 当 1? ? ? 时，奇数项均为 3? ，偶数项均为1，明显不符合题意
③ 当 ( , 1)?? ?? ? 时，偶数项均大于?，奇数项均小于?，
∵ ( , 1)?? ?? ? ，∴偶数项是递增的，必含有正数项，奇数项是递减的，均为负值
∴不可能对任意m、n? *N ，满足 0na ? ，且
m
n
a
a
为正，不符合题意
综上
1
( ,0)
4
?? ?
2015 理
22.（1）根据题意 1 6n na a? ? ? ，即{ }na 为等差数列，∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ?
（2）根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解，即{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）根据题意 11 (2 2)
n
n na a ? ?
?
?? ? ? ，累加可得 2
n
na ? ?? ? ， ( 0)? ?
当 ( 1,0)?? ? 时，偶数项均大于 ?? ，奇数项均小于 ?? ，
∵ ( 1,0)?? ? ，∴偶数项是递减的，奇数项是递增的
∴
2
2 2M a ? ?? ? ? ， 1m a ?? ? ，∴
22
2 1
M
m
? ? ?
?
?
? ? ?
即 2 1 ( 2, 2)? ? ? ? ，∴ 1( ,0)
2
?? ?
当 1? ? ? 时，奇数项均为 1? ，偶数项均为3，明显不符合题意
当 ( , 1)?? ?? ? 时，偶数项均大于 ?? ，奇数项均小于 ?? ，
∵ ( , 1)?? ?? ? ，∴偶数项是递增的，奇数项是递减的，无最大值和最小值
综上
1
( ,0)
2
?? ?
2016 文
22.（1）不是无穷互补数列， 4na ? ， 4nb ? ，不满足
*A B N??
（2） 1 2a ? ， 2 4a ? ， 3 8a ? ， 4 16a ? ， 16
(1 20) 20
2 4 8 16 180
2
S
? ?
? ? ? ? ? ?
（3）由题意，公差为2 ，∴ 2 4na n? ? ，
, 5
2 5, 6n
n n
b
n n
??
? ? ? ??
2016 理
23.（1） 2 5 2a a? ? ，∴ 3 6a a? ， 4 7 3a a? ? ， 5 8 2a a? ? ，∴ 6 16a ? ， 3 16a ?
（2）∵ 1 5 1b c? ? ， 5 1 81b c? ? ，∴ 20 19nb n? ? ，
53 nnc
?? ，即 520 19 3 nna n
?? ? ?
∵ 1 1 1 82a b c? ? ? ， 5 5 5 82a b c? ? ? ，∴ 1 5a a? ，∵ 2 48a ? ，
1
6 101 3a
?? ? ，
∴ 2 6a a? ，∴{ }na 不具有性质P
（3）充分性：{ }nb 是常数列，设 nb b? ，∴ 1 sinn na b a? ? ? ，若 p qa a? ，
1 sinp pa b a? ? ? ， 1 sinq qa b a? ? ? ，∴ 1 1p qa a? ?? 一定成立，∴{ }na 具有性质P
必要性： 2 1 1sina b a? ? ，设函数 1( )f x x b? ? ， ( ) sing x x? ，两函数图像必有交点，
∴必存在 1a ，使得 1 1 1sina b a? ? ，∴ 1 2a a? ，∴ 1n na a ?? ，∴ 1n nb b? ? ，{ }nb 是常数列
2017
19.（1）前 4 个月累计投放量为 1 2 3 4 20 95 420 430 965a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 辆，
前 4 个月累计损失量为 1 2 3 4 6 7 8 9 30b b b b? ? ? ? ? ? ? ? 辆，
∴该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为965 30 935? ? 辆.
（2）当 n na b? 时，保有量始终增加，∴ 10 470 5 42n n n? ? ? ? ? ? ，
即第 42 个月底，保有量达到最大，此时 1 2 42 1 2 42( ) ( )a a a b b b? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(420 50) 38 (6 47) 42
[965 ] 8782
2 2
? ? ? ?
? ? ? ，
即保有量为 8782 辆，而容纳量 242 4(42 46) 8800 8736S ? ? ? ? ? ，
8782 8736? ，∴该保有量超出了此时停放点的单车容纳量.
2018
21.（1）数列{ }nb 与{ }na 接近，由题意，
11( )
2
n
na
?? ， 1
1
1 ( ) 1
2
n
n nb a ?? ? ? ? ，
∴ 1
1 1 1
( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2 2
n n n
n nb a
?? ? ? ? ? ? ，∵n? *N 时，
1 1
0 ( )
2 2
n? ? ，∴
1 1
1 ( ) 1
2 2
n? ? ?
满足对任意n? *N ， | | 1n nb a? ? ，∴数列{ }nb 与{ }na 接近；
（2）∵ 1 1a ? ， 2 2a ? ， 3 4a ? ， 4 8a ? ，又{ }nb 与{ }na 接近，∴ | | 1n nb a? ? ，
∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? ，则 1 [0,2]b ? ， 2 [1,3]b ? ， 3 [3,5]b ? ， 4 [7,9]b ? ，
∴当 1 2 [1,2]b b? ? 时，M 中有 1 2( )b b 、 3b 、 4b 三个元素；
或 2 3 3b b? ? 时，M 中有 1b 、 2 3( )b b 、 4b 三个元素；
当 1 2b b? ， 2 3b b? 时，M 中有 1b 、 2b 、 3b 、 4b 四个元素；
∴M 中元素的个数m为 3 或 4；
（3）∵ | | 1n nb a? ? ，∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? ， 1 1 1[ 1, 1]n n nb a a? ? ?? ? ? ，
∴ 1 1 1[ 2, 2]n n n n n nb b a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ，即 1 [ 2, 2]n nb b d d? ? ? ? ? ，n?
*N ，
① 若 2d ? ? ，则 1 0n nb b? ? ? 恒成立，不满足“至少有 100 个为正数”，不符；
② 若 2d ? ? ，令 ( 1)nn nb a? ? ? ，n?
*N ，∴ | | | ( 1) | 1nn nb a? ? ? ? ，
满足 | | 1n nb a? ? ，数列{ }nb 与{ }na 接近，此时 1 2( 1)
n
n nb b d? ? ? ? ? ，
当 n为奇数时， 1 2( 1) 2 0
n
n nb b d d? ? ? ? ? ? ? ? ，
∴在 2 1b b? 、 3 2b b? 、 ? ? ?、 201 200b b? 这 200 个数中，
至少存在 2 1b b? 、 4 3b b? 、 ? ? ?、 200 199b b? 这 100 个数为正，
故 2d ? ? 时，存在数列 ( 1)nn nb a? ? ? ( )n?
*N 满足题意，
∴ d 的取值范围即 2d ? ? .
2011 文
已知数列 { }na 和 { }nb 的通项公式分别为 3 6na n? ? ， 2 7nb n? ? （ *)n N? .将集合
{ , *} { , *}n nx x a n N x x b n N? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列
1 2 3, , , , ,nc c c c? ?
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{ }na 中的项，又是数列{ }nb 中的项；
（2）数列 1 2 3 40, , , ,c c c c? 中有多少项不是数列{ }nb 中的项？请说明理由；
（3）求数列{ }nc 的前4n项和 4 ( *)nS n N? .
2011 理
已知数列 ? ?na 和 ? ?nb 的通项公式分别为 3 6, 2 7, ( )n na n b n n N ?? ? ? ? ? . 将集合
? ? ? ?, ,n nx x a n N x x b n N? ?? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列
1 2 3, , , , ,nc c c c? ?
（1）写出 1 2 3 4, , ,c c c c ；
（2）求证：在数列? ?nC 中，但不在数列? ?nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?；
（3）求数列? ?nC 的通项公式.
2012 文
对于项数为 m 的有穷数列? ?na ，记 ? ?1 2max , ,...,k kb a a a? （ 1, 2,...,k m? ），即 kb 为
1 2, ,..., ka a a 中的最大值，并称数列? ?nb 是? ?na 的控制数列，如 1，3，2，5，5 的控制数列
是 1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列? ?na 的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的? ?na
（2）设? ?nb 是? ?na 的控制数列，满足 1k m ka b C? ?? ? （C为常数， 1, 2,...,k m? ），求证：
k kb a? （ 1, 2,...,k m? ）
（3）设 100m ? ，常数
1
,1
2
a
? ??? ?
? ?
，若
( 1)
2 2( 1)
n n
na an n
?
? ? ? ，? ?nb 是? ?na 的控制数列，
求 1 1 2 2( ) ( )b a b a? ? ? ? 100 100... ( )b a? ?
2012 理
对于数集 ? ?1 21, , ,..., nX x x x? ? ，其中 1 20 ... nx x x? ? ? ? ， 2n ? ，定义向量集
? ?( , ), ,Y a a s t s X t X? ? ? ?? ? ，若对任意 1a Y??? ，存在 2a Y???? ，使得 1 2 0a a? ??? ??? ，则称 X
具有性质P，例如? ?1,1, 2? 具有性质P
（1）若 2x ? ，且? ?1,1, 2, x? 具有性质P，求 x的值
（2）若 X 具有性质P，求证：1 X? ，且当 1nx ? 时， 1 1x ?
（3）若 X 具有性质P，且 1 1x ? 、 2x q? （q为常数），求有穷数列 1 2, ,..., nx x x 的通项公
式
2013 文
已知函数 ( ) 2f x x? ? ，无穷数列? ?na 满足 1 ( )n na f a? ? ， *n N? ．
（1）若 1 0a ? ，求 2 3 4, ,a a a ；
（2）若 1 0a ? ，且 1 2 3, ,a a a 成等比数列，求 1a 的值；
（3）是否存在 1a ，使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ；若不存
在，说明理由．
2013 理
给定常数 0c ? ，定义函数 ( ) 2 4f x x c x c? ? ? ? ? ．数列 1 2 3, , ,a a a ?满足 1 ( )n na f a? ? ，
*n N? ．
（1）若 1 2a c? ? ? ，求 2a 及 3a ；
（2）求证：对任意 *n N? ， 1n na a c? ? ? ；
（3）是否存在 1a ，使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ；若不存
在，说明理由
2014 文
已知数列? ?na 满足 1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，
*n?N ， 1 1a ? .
（1）若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ，求 x的取值范围；
（2）若? ?na 是等比数列，且
1
1000m
a ? ，求正整数 m的最小值，以及 m取最小值时相应
? ?na 的公比；
（3）若 1 2 100, , ,a a a? 成等差数列，求数列 1 2 100, , ,a a a? 的公差的取值范围
2014 理
已知数列? ?na 满足 1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，
*n?N ， 1 1a ? .
（1）若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ，求 x的取值范围；
（2）设? ?na 是公比为q的等比数列， 1 2n nS a a a? ? ? ?? . 若 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，
*n?N ，求q的取值范围；
（3）若 1 2, , , ka a a? 成等差数列，且 1 2 1000ka a a? ? ? ?? ，求正整数k的最大值，以
及 k取最大值时相应数列 1 2, , , ka a a? 的公差
2015 文
已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ，n?
*N
（1）若 3 5nb n? ? ，且 1 1a ? ，求{ }na 的通项公式；
（2）设{ }na 的第 0n 项是最大项，即 0n na a? ( )n?
*N ，求证{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）设 1 3 0a ?? ? ，
n
nb ?? ( )n?
*N ，求?的取值范围，使得对任意m、 n? *N ，
0na ? ，且
1
( ,6)
6
m
n
a
a
?
2015 理
已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ，n?
*N
（1）若 3 5nb n? ? ，且 1 1a ? ，求{ }na 的通项公式；
（2）设{ }na 的第 0n 项是最大项，即 0n na a? ( )n?
*N ，求证{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）设 1 0a ?? ? ，
n
nb ?? ( )n?
*N ，求?的取值范围，使得{ }na 有最大值M 与最
小值m，且 ( 2, 2)
M
m
? ?
2016 文
对于无穷数列{ }na 与{ }nb ，记
*{ | , }nA x x a n N? ? ? ，
*{ | , }nB x x b n N? ? ? ，若同
时满足条件：①{ }na ，{ }nb 均单调递增；② A B ? ?? 且
*A B N?? ，则称{ }na 与{ }nb 是
无穷互补数列；
（1）若 2 1na n? ? ， 4 2nb n? ? ，判断{ }na 与{ }nb 是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 2nna ? 且{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列，求数列{ }nb 的前 16 项的和；
（3）若{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列，{ }na 为等差数列，且 16 36a ? ，求{ }na 与{ }nb 的通
项公式；
2016 理
无穷数列{ }na 满足：只要 p qa a? （
*,p q N? ），必有 1 1p qa a? ?? ，则称{ }na 具有性质P；
（1）若{ }na 具有性质P，且 1 1a ? ， 2 2a ? ， 4 3a ? ， 5 2a ? ， 6 7 8 21a a a? ? ? ，求 3a ；
（2）若无穷数列{ }nb 是等差数列，无穷数列{ }nc 是公比为正数的等比数列， 1 5 1b c? ? ，
5 1 81b c? ? ， n n na b c? ? ，判断{ }na 是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{ }nb 是无穷数列，已知 1 sinn n na b a? ? ? （
*n N? ），求证：“对任意 1a ，{ }na 都具
有性质P ”的充要条件为“{ }nb 是常数列”；
2017
根据预测，某地第n *( )n?N 个月共享单车的投放量和损失量分别为 na 和 nb （单位：辆），
其中
45 15, 1 3
10 470, 4
n
n n
a
n n
? ? ? ??? ?
? ? ???
， 5nb n? ? ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第 n个月底的单车容纳量 24( 46) 8800nS n? ? ? ? （单位：
辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容
纳量？
2018
给定无穷数列{ }na ，若无穷数列{ }nb 满足：对任意n?
*N ，都有 | | 1n nb a? ? ，则称
{ }nb 与{ }na “接近”.
（1）设{ }na 是首项为 1，公比为
1
2
的等比数列， 1 1n nb a ?? ? ，n?
*N ，判断数列{ }nb 是
否与{ }na 接近，并说明理由；
（2）设数列{ }na 的前四项为： 1 1a ? ， 2 2a ? ， 3 4a ? ， 4 8a ? ，{ }nb 是一个与{ }na 接近
的数列，记集合 { | , 1,2,3,4}iM x x b i? ? ? ，求M 中元素的个数m；
（3）已知{ }na 是公差为d 的等差数列，若存在数列{ }nb 满足：{ }nb 与{ }na 接近，且在 2 1b b? ，
3 2b b? ， ? ? ?， 201 200b b? 中至少有 100 个为正数，求d 的取值范围.
2011~2018 年上海高考数学压轴题答案汇总
2011 文
23.（1）9、15、21；
（2）10 项，分别为 12、18、24、30、36、42、48、54、60、66
（3）即求首项为 45，公差为 24 的等差数列的前 n项和， 24 12 33nS n n? ?
2011 理
22.（1） 1 2 3 49, 11, 12, 13c c c c? ? ? ? ；
（2）① 任意 *n N? ，设 2 1 3(2 1) 6 6 3 2 7n ka n n b k? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则 3 2k n? ? ，
即 2 1 3 2n na b? ??
② 假设 2 6 6 2 7n ka n b k? ? ? ? ? ?
*13
2
k n N? ? ? （矛盾），∴ 2 { }n na b?
∴ 在数列{ }nc 中、但不在数列{ }nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?
（3） 3 2 2 12(3 2) 7 6 3k kb k k a? ?? ? ? ? ? ? ，
3 1 6 5kb k? ? ? ， 2 6 6ka k? ? ， 3 6 7kb k? ?
∵ 6 3 6 5 6 6 6 7k k k k? ? ? ? ? ? ?
∴ 当 1k ? 时，依次有 1 1 1 2 2 2 3 3 4, , ,b a c b c a c b c? ? ? ? ? ，……
∴ *
6 3 ( 4 3)
6 5 ( 4 2)
,
6 6 ( 4 1)
6 7 ( 4 )
n
k n k
k n k
c k N
k n k
k n k
? ? ??
? ? ? ??? ?? ? ? ??
? ? ??
，即
3 15
, 2 1
2
3 16
, 4 2
2
3 14
, 4
2
n
n
n k
n
c n k
n
n k
?? ? ??
?
??? ? ??
?
?? ???
，
*k N?
2012 文
23.（1）数列 }{ na 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.
（2）因为 },,,max{ 21 kk aaab ?? ， },,,,max{ 1211 ?? ? kkk aaaab ? ，
所以 kk bb ??1 .
因为 Cba kmk ?? ?? 1 ， Cba kmk ?? ??1 ，
所以 011 ???? ???? kmkmkk bbaa ，即 kk aa ??1 .
因此， kk ab ? .
（3）对 25,,2,1 ??k ， )34()34( 234 ????? kkaa k ； )24()24(
2
24 ????? kkaa k ；
)14()14( 214 ????? kkaa k ； )4()4(
2
4 kkaa k ?? .
比较大小，可得 3424 ?? ? kk aa .
因为 12
1 ?? a ，所以 0)38)(1(2414 ????? ?? kaaa kk ，即 1424 ?? ? kk aa ；
0)14)(12(2244 ????? ? kaaa kk ，即 244 ?? kk aa .
又 kk aa 414 ?? ，从而 3434 ?? ? kk ab ， 2424 ?? ? kk ab ， 2414 ?? ? kk ab ， kk ab 44 ? .
因此 )()()( 1001002211 ababab ?????? ?
= )()()()()( 9999141410107733 ababababab kk ??????????? ?? ??
= )()()()()( 999814241097632 aaaaaaaaaa kk ??????????? ?? ??
=?
?
?? ?
25
1
1424 )(
k
kk aa = ?
?
??
25
1
)38()1(
k
ka = )1(2525 a?
2012 理
23.（1）选取 ，Y中与 垂直的元素必有形式 .
所以 x=2b，从而 x=4.
（2）证明：取 .设 满足 .
由 得 ，所以 、 异号.
因为-1 是 X中唯一的负数，所以 、 中之一为-1，另一为 1，
故 1?X.
假设 ，其中 ，则 .
选取 ，并设 满足 ，即 ，
则 、 异号，从而 、 之中恰有一个为-1.
若 =-1，则 2，矛盾；
若 =-1，则 ，矛盾.
所以 x1=1.
（3）[解法一]猜测 ，i=1, 2, …, n.
记 ，k=2, 3, …, n.
先证明：若 具有性质 P，则 也具有性质 P.
任取 ， 、 ? .当 、 中出现-1 时，显然有 满足 ；
当 且 时， 、 ≥1.
)2,(1 xa ? 1a ),1( b?
Yxxa ?? ),( 111 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa
0)( 1 ?? xts 0?? ts s t
s t
1?kx nk ??1 nxx ??? 10 1
Yxxa n ?? ),( 11 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa 01 ?? ntxsx
s t s t
s
t nn xssxx ??? 1
1?? ii qx
},,,1,1{ 2 kk xxA ???
1?kA kA
),(1 tsa ? s t kA s t 2a 021 ??aa
1??s 1??t s t
因为 具有性质 P，所以有 ， 、 ? ，使得 ，
从而 和 中有一个是-1，不妨设 =-1.
假设 ? 且 ? ，则 .由 ，
得 ，与 ? 矛盾.所以 ? .从而 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明： ，i=1, 2, …, n.
当 n=2 时，结论显然成立；
假设 n=k时， 有性质 P，则 ，i=1, 2, …, k；
当n=k+1时，若 有性质P，则
也有性质 P，所以 .
取 ，并设 满足 ，即 .由此可得 s
与 t中有且只有一个为-1.
若 ，则 1，不可能；
所以 ， ，又 ，所以 .
综上所述， ，i=1, 2, …, n.
[解法二]设 ， ，则 等价于 .
记 ，则数集 X具有性质 P 当且仅当数集 B关于
原点对称.
注意到-1 是 X中的唯一负数， 共有 n-1 个数，
所以 也只有 n-1 个数.
由于 ，已有 n-1 个数，对以下三角数阵
……
注意到 ，所以 ，从而数列的通项公式为
，k=1, 2, …, n.
1?kA ),( 112 tsa ? 1s 1t 1?kA 021 ??aa
1s 1t 1s
1t 1?kA 1t kA 11 ?? kxt 0),1(),( 1 ??? ?kxts
11 ?? ?? kk xtxs s kA 1t kA kA
1?? ii qx
},,,1,1{ 2 kk xxA ??? 1?? ii qx
},,,,1,1{ 121 ?? ?? kkk xxxA ? },,,1,1{ 2 kk xxA ???
},,,,1,1{ 1
1
1 ?
?
? ?? k
k
k xqqA ?
),( 11 qxa k ?? ),(2 tsa ? 021 ??aa 01 ??? qtsxk
1??t
1??s kkk qqqqtx ????
?
?
1
1
1
1
?
? ?
k
k qx
k
k qx ??1
1?? ii qx
1?? ii qx
),( 111 tsa ? ),( 222 tsa ? 021 ??aa 2
2
1
1
s
t
t
s ??
|}|||,,|{ tsXtXsB t
s ????
},,,{)0,( 32 nxxxB ?????? ??
),0( ???B
1221 x
x
x
x
x
x
x
x nn
n
n
n
n ????
??
?
1221 x
x
x
x
x
x
x
x nn
n
n
n
n ????
??
?
1
1
3
1
2
1
x
x
x
x
x
x n
n
n
n
n ?
?
?
?
? ??? ?
1
2
x
x
1
2
1
1
1 x
x
x
x
x
x nn ??? ? ?
1
2
2
1
1 x
x
x
x
x
x
n
n
n
n ???
?
?
?
?
11
1 )( 1
2 ?? ?? kkx
x
k qxx
2013 文
22.（1） 2 2a ? ， 3 0a ? ， 4 2a ? ．
（2） 2 1 12 2a a a? ? ? ? ， 3 2 12 2 2a a a? ? ? ? ? ．
① 当 10 2a? ? 时， ? ?3 1 12 2a a a? ? ? ? ，所以 ? ?
22
1 12a a? ? ，得 1 1a ? ．
② 当 1 2a ? 时， ? ?3 1 12 2 4a a a? ? ? ? ? ，
所以 ? ? ? ?21 1 14 2a a a? ? ? ，得 1 2 2a ? ? （舍去）或 1 2 2a ? ? ．
综合①②得 1 1a ? 或 1 2 2a ? ? ．
（3）假设这样的等差数列存在，那么 2 12a a? ? ， 3 12 2a a? ? ? ．
由 2 1 32a a a? ? 得 1 1 12 2 2a a a? ? ? ? （?）．
以下分情况讨论：
① 当 1 2a ? 时，由（?）得 1 0a ? ，与 1 2a ? 矛盾；
② 当 10 2a? ? 时，由（?）得 1 1a ? ，从而 1na ? ? ?1,2,n ? ? ，
所以? ?na 是一个等差数列；
③ 当 1 0a ? 时，则公差 ? ?2 1 1 12 2 0d a a a a? ? ? ? ? ? ? ，因此存在 2m ? 使得
? ?1 2 1 2ma a m? ? ? ? ．此时 1 2 0m m m md a a a a?? ? ? ? ? ? ，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当 1 1a ? 时， 1 2 3, ,a a a ?构成等差数列
2013 理
23. （1） 2 32, 10a a c? ? ? ．
（2） ? ?
8,
3 3 +8,
8,
x c
f x x c
x c
? ??
?? ??
?? ? ??
,
4 ,
4.
x c
c x c
x c
? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
当 na c? ? 时， 1 8n na a c c? ? ? ? ? ；
当 4 nc a c? ? ? ? ? 时， ? ?1 2 3 8 2 4 3 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；
当 4na c? ? ? 时， ? ?1 2 8 2 4 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
所以，对任意n N ?? ， 1n na a c? ? ? ．
（3）由（2），结合 0c ? 得 1n na a? ? ，即? ?na 为无穷递增数列．
又? ?na 为等差数列，所以存在正数M ，当n M? 时， na c? ? ，
从而， 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ．
由于? ?na 为等差数列，因此其公差 8d c? ? ．
① 若 1 4a c? ? ? ，则 2 1 1( ) 8a f a a c? ? ? ? ? ，
又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? ，故 1 18 8a c a c? ? ? ? ? ? ，即 1 8a c? ? ? ，从而 2 0a ? ．
当 2n ? 时，由于? ?na 为递增数列，故 2 0na a c? ? ? ? ，
所以， 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ，而 2 1 8a a c? ? ? ，
故当 1 8a c? ? ? 时，? ?na 为无穷等差数列，符合要求；
② 若 14c a c? ? ? ? ? ，则 2 1 1( ) 3 3 8a f a a c? ? ? ? ，又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? ，
所以， 1 13 3 8 8a c a c? ? ? ? ? ，得 1a c? ? ，舍去；
③ 若 1a c? ? ，则由 1na a? 得到 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ，
从而? ?na 为无穷等差数列，符合要求．
综上， 1a 的取值集合为? ? ? ?, 8c c? ?? ? ??
2014 文
23.（1）由条件得
2
6
3
x? ? 且 9 3
3
x
x? ? ，解得3 6x? ? ．所以 x的取值范围是 [3,6]x? ．
（2）设{ }na 的公比为q．由
1
3
3 n n
a a? ，且 11 0
n
na a q
?? ? ，得 0na ? ．
因为
1
1
3
3 n n n
a a a?? ? ，所以
1
3
3
q? ? ．从而 1 1 11
1 1
( )
1000 3
m m ma q q? ? ?? ? ? ， 13 1000m? ? ，
解得 8m ? ． 8m ? 时， 7
1 1
[ ,3]
1000 3
q ? ? ．所以，m的最小值为8，此时{ }na 公比为
7 410
10
．
（3）设数列 10021 ,,, aaa ? 的公差为d ．由
1
3
3 n n n
a a d a? ? ? ，
2
2
3 n n
a d a? ? ? ， 99,,2,1 ??n ．
① 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，所以 10 2d a? ? ，即0 2d? ? ．
② 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，符合条件．
③ 当 0d ? 时， 129899 aaaa ???? ? ，
所以 99 99
2
2
3
a d a? ? ? ，
2
(1 98 ) 2(1 98 )
3
d d d? ? ? ? ? ，
又 0d ? ，所以
2
0
199
d? ? ? ．
综上， 10021 ,,, aaa ? 的公差的取值范围为
2
[ ,2]
199
?
2014 理
23. （1）依题意， 2 3 2
1
3
3
a a a? ? ，∴
2
6
3
x? ? ，又 3 4 3
1
3
3
a a a? ? ，∴3 27x? ? ，
综上可得3 6x? ? ；
（2）由已知得 1nna q
?? ，又 1 2 1
1
3
3
a a a? ? ，∴
1
3
3
q? ?
当 1q ? 时， nS n? ， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即 1 33
n
n n? ? ? ，成立
当1 3q? ? 时，
1
1
n
n
q
S
q
?
?
?
， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即
11 1 1 1
3
3 1 1 1
n n nq q q
q q q
?? ? ?
? ?
? ? ?
，
∴
11 1
3
3 1
n
n
q
q
? ?
? ?
?
，此不等式即
1
1
3 2 0
3 2 0
n n
n n
q q
q q
?
?
? ? ? ?
?
? ? ??
，∵ 1q ? ，
∴ 13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
对于不等式 1 3 2 0n nq q? ? ? ? ，令 1n ? ，得 2 3 2 0q q? ? ? ，解得1 2q? ? ，
又当1 2q? ? 时， 3 0q ? ? ，
∴
1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成立，
∴1 2q? ?
当
1
1
3
q? ? 时，
1
1
n
n
q
S
q
?
?
?
， 1
1
3
3 n n n
S S S?? ? ，即
11 1 1 1
3
3 1 1 1
n n nq q q
q q q
?? ? ?
? ?
? ? ?
，
即
1
1
3 2 0
3 2 0
n n
n n
q q
q q
?
?
? ? ? ?
?
? ? ??
，3 1 0, 3 0q q? ? ? ?
∵
13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
∴
1
1
3
q? ? 时，不等式恒成立
综上，q的取值范围为
1
2
3
q? ?
（3）设公差为d ，显然，当 1000, 0k d? ? 时，是一组符合题意的解，
∴ max 1000k ? ，则由已知得
1 ( 2)
1 ( 1) 3[1 ( 2) ]
3
k d
k d k d
? ?
? ? ? ? ? ? ，
∴
(2 1) 2
(2 5) 2
k d
k d
? ? ??
? ? ? ??
，当 1000k ? 时，不等式即
2 2
,
2 1 2 5
d d
k k
? ? ? ?
? ?
，
∴
2
2 1
d
k
? ?
?
， 1 2
( 1)
... 1000
2k
k k d
a a a k
?
? ? ? ? ? ? ，
∴ 1000k ? 时，
2000 2 2
( 1) 2 1
k
d
k k k
?
? ? ?
? ?
，
解得1000 999000 1000 999000k? ? ? ? ，∴ 1999k ? ，
∴ k的最大值为1999，此时公差
2000 2 1998 1
( 1) 1999 1998 1999
k
d
k k
?
? ? ? ? ?
? ?
2015 文
23. （1）根据题意 1 6n na a? ? ? ，即{ }na 为等差数列，∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ?
（2）根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解，即{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）根据题意 11 (2 2)
n
n na a ? ?
?
?? ? ? ，累加可得 2
n
na ? ?? ? ， ( 0)? ?
① 当 ( 1,0)?? ? 时，偶数项均大于?，奇数项均小于?，
∵ ( 1,0)?? ? ，∴偶数项是递减的，奇数项是递增的
∴
2
max 2 2a a ? ?? ? ? ， min 1 3a a ?? ? ，∴
21 2
6
6 3
? ?
?
?
? ?
解得
1
0
4
?? ? ?
② 当 1? ? ? 时，奇数项均为 3? ，偶数项均为1，明显不符合题意
③ 当 ( , 1)?? ?? ? 时，偶数项均大于?，奇数项均小于?，
∵ ( , 1)?? ?? ? ，∴偶数项是递增的，必含有正数项，奇数项是递减的，均为负值
∴不可能对任意m、n? *N ，满足 0na ? ，且
m
n
a
a
为正，不符合题意
综上
1
( ,0)
4
?? ?
2015 理
22.（1）根据题意 1 6n na a? ? ? ，即{ }na 为等差数列，∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ?
（2）根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
当 1n na a ?? ， 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ，即 1n nb b ??
∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解，即{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）根据题意 11 (2 2)
n
n na a ? ?
?
?? ? ? ，累加可得 2
n
na ? ?? ? ， ( 0)? ?
当 ( 1,0)?? ? 时，偶数项均大于 ?? ，奇数项均小于 ?? ，
∵ ( 1,0)?? ? ，∴偶数项是递减的，奇数项是递增的
∴
2
2 2M a ? ?? ? ? ， 1m a ?? ? ，∴
22
2 1
M
m
? ? ?
?
?
? ? ?
即 2 1 ( 2, 2)? ? ? ? ，∴ 1( ,0)
2
?? ?
当 1? ? ? 时，奇数项均为 1? ，偶数项均为3，明显不符合题意
当 ( , 1)?? ?? ? 时，偶数项均大于 ?? ，奇数项均小于 ?? ，
∵ ( , 1)?? ?? ? ，∴偶数项是递增的，奇数项是递减的，无最大值和最小值
综上
1
( ,0)
2
?? ?
2016 文
22.（1）不是无穷互补数列， 4na ? ， 4nb ? ，不满足
*A B N??
（2） 1 2a ? ， 2 4a ? ， 3 8a ? ， 4 16a ? ， 16
(1 20) 20
2 4 8 16 180
2
S
? ?
? ? ? ? ? ?
（3）由题意，公差为2 ，∴ 2 4na n? ? ，
, 5
2 5, 6n
n n
b
n n
??
? ? ? ??
2016 理
23.（1） 2 5 2a a? ? ，∴ 3 6a a? ， 4 7 3a a? ? ， 5 8 2a a? ? ，∴ 6 16a ? ， 3 16a ?
（2）∵ 1 5 1b c? ? ， 5 1 81b c? ? ，∴ 20 19nb n? ? ，
53 nnc
?? ，即 520 19 3 nna n
?? ? ?
∵ 1 1 1 82a b c? ? ? ， 5 5 5 82a b c? ? ? ，∴ 1 5a a? ，∵ 2 48a ? ，
1
6 101 3a
?? ? ，
∴ 2 6a a? ，∴{ }na 不具有性质P
（3）充分性：{ }nb 是常数列，设 nb b? ，∴ 1 sinn na b a? ? ? ，若 p qa a? ，
1 sinp pa b a? ? ? ， 1 sinq qa b a? ? ? ，∴ 1 1p qa a? ?? 一定成立，∴{ }na 具有性质P
必要性： 2 1 1sina b a? ? ，设函数 1( )f x x b? ? ， ( ) sing x x? ，两函数图像必有交点，
∴必存在 1a ，使得 1 1 1sina b a? ? ，∴ 1 2a a? ，∴ 1n na a ?? ，∴ 1n nb b? ? ，{ }nb 是常数列
2017
19.（1）前 4 个月累计投放量为 1 2 3 4 20 95 420 430 965a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 辆，
前 4 个月累计损失量为 1 2 3 4 6 7 8 9 30b b b b? ? ? ? ? ? ? ? 辆，
∴该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为965 30 935? ? 辆.
（2）当 n na b? 时，保有量始终增加，∴ 10 470 5 42n n n? ? ? ? ? ? ，
即第 42 个月底，保有量达到最大，此时 1 2 42 1 2 42( ) ( )a a a b b b? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(420 50) 38 (6 47) 42
[965 ] 8782
2 2
? ? ? ?
? ? ? ，
即保有量为 8782 辆，而容纳量 242 4(42 46) 8800 8736S ? ? ? ? ? ，
8782 8736? ，∴该保有量超出了此时停放点的单车容纳量.
2018
21.（1）数列{ }nb 与{ }na 接近，由题意，
11( )
2
n
na
?? ， 1
1
1 ( ) 1
2
n
n nb a ?? ? ? ? ，
∴ 1
1 1 1
( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2 2
n n n
n nb a
?? ? ? ? ? ? ，∵n? *N 时，
1 1
0 ( )
2 2
n? ? ，∴
1 1
1 ( ) 1
2 2
n? ? ?
满足对任意n? *N ， | | 1n nb a? ? ，∴数列{ }nb 与{ }na 接近；
（2）∵ 1 1a ? ， 2 2a ? ， 3 4a ? ， 4 8a ? ，又{ }nb 与{ }na 接近，∴ | | 1n nb a? ? ，
∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? ，则 1 [0,2]b ? ， 2 [1,3]b ? ， 3 [3,5]b ? ， 4 [7,9]b ? ，
∴当 1 2 [1,2]b b? ? 时，M 中有 1 2( )b b 、 3b 、 4b 三个元素；
或 2 3 3b b? ? 时，M 中有 1b 、 2 3( )b b 、 4b 三个元素；
当 1 2b b? ， 2 3b b? 时，M 中有 1b 、 2b 、 3b 、 4b 四个元素；
∴M 中元素的个数m为 3 或 4；
（3）∵ | | 1n nb a? ? ，∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? ， 1 1 1[ 1, 1]n n nb a a? ? ?? ? ? ，
∴ 1 1 1[ 2, 2]n n n n n nb b a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ，即 1 [ 2, 2]n nb b d d? ? ? ? ? ，n?
*N ，
① 若 2d ? ? ，则 1 0n nb b? ? ? 恒成立，不满足“至少有 100 个为正数”，不符；
② 若 2d ? ? ，令 ( 1)nn nb a? ? ? ，n?
*N ，∴ | | | ( 1) | 1nn nb a? ? ? ? ，
满足 | | 1n nb a? ? ，数列{ }nb 与{ }na 接近，此时 1 2( 1)
n
n nb b d? ? ? ? ? ，
当 n为奇数时， 1 2( 1) 2 0
n
n nb b d d? ? ? ? ? ? ? ? ，
∴在 2 1b b? 、 3 2b b? 、 ? ? ?、 201 200b b? 这 200 个数中，
至少存在 2 1b b? 、 4 3b b? 、 ? ? ?、 200 199b b? 这 100 个数为正，
故 2d ? ? 时，存在数列 ( 1)nn nb a? ? ? ( )n?
*N 满足题意，
∴ d 的取值范围即 2d ? ? .
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