2019数学北师大版选修2-2全套学案+滚动训练+章末检测+模块检测

p
C．p＝rq
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　易知p＝f()＝ln ＝ln(ab)；q＝f＝ln ；r＝[f(a)＋f(b)]＝ln(ab)．
因为>，且f(x)＝ln x是增函数，
所以f>f()，
所以q>p＝r.
12．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
A．26 B．31 C．32 D．36
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　B
解析　有菱形纹的正六边形的个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则S(2)＝________.
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第一步：归纳奠基
答案　
解析　S(2)＝＋＋＝＝.
14．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　8
解析　y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A(－2，－1)．
又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.
又∵mn>0，∴m>0，n>0，
∴2m＋n＝1≥2，
当且仅当2m＝n＝，即m＝，n＝时取等号，
∴mn≤，∴＋＝＝≥8.
15．观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　28　
解析　
根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(个)小正方形．
第n个图形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝个小正方形．
16．用数学归纳法证明不等式≥n(a，b≥0，n∈N＋)，假设n＝k时命题成立之后，证明n＝k＋1时命题也成立的关键是将归纳假设两边同乘以________．
答案　
解析　当n＝k时，不等式为≥k，
当n＝k＋1时，不等式为≥k＋1，
比较可知：只需将归纳假设的两边同乘以，得·≥k＋1，
再进一步证明不等式≥·成立即可．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
解　假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝－md,2＝＋nd，m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数．
∴左边为有理数，右边为无理数，m＝(＋1)n不成立，矛盾．
∴假设不成立，即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证c－只需证－即证|a－c|<，
只需证(a－c)2<()2，
只需证a2－2ac＋c2即证2ac>a2＋ab，因为a>0，所以只需证2c>a＋b.
因为2c>a＋b已知，所以原不等式成立．
19．(12分)在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a>b>0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为.
证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(－a,0)．
椭圆中：·＝·＝＝＝－；
双曲线中·＝＝＝.
20．(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＋<2；②＋<2；③＋<2.
(1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；
(2)请将此规律推广至一般情形，并证明．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)的应用
解　(1)验证①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般结论为：若n∈N＋，
则＋<2，证明如下：
要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
即证2n＋2＋2·<4n＋4，
即证·只需证n(n＋2)故＋<2.
21．(12分)(1)在 △ABC中，AB⊥AC，且AD⊥BC于点D，求证：＝＋.
(2)类比上述结论，在四面体A－BCD中，能得到怎样的猜想？并说明理由．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
(1)证明　如图所示，由射影定理可知，
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋，
∴＝＋.
(2)解　猜想：在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图所示，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.
又AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
又在Rt△BAF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
同理可得，在Rt△CAD中，AF⊥CD，AC⊥AD，
∴＝＋，
∴＝＋＋，
故猜想正确．
22．(12分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式．
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4.
(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
解　(1)∵f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，
∴
解得a＝1，b＝0，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝×＝，
x3＝(1－f(3))＝×＝，
x4＝×＝.
(3)由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，
x4＝＝，…，
由此可以猜想xn＝.
证明：①当n＝1时，
∵x1＝，而＝，
∴猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，xn＝成立，
即xk＝，则当n＝k＋1时，
xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))
＝·
＝·
＝·＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据①②可知，对一切n∈N＋，猜想xn＝都成立．

§1　归纳与类比
1．1　归纳推理
学习目标　1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．
知识点　归纳推理
思考　(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
以上属于什么推理？
答案　属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理　归纳推理的定义及特征
定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理
特征
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的
1．归纳推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)
3．由归纳推理得出的结论一定是正确的．(　×　)
类型一　归纳推理在数与式中的应用
例1　(1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为___________________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)　(2)f3(x)＝　fn(x)＝
解析　(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.
引申探究　
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．
解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝.
反思与感悟　已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论．
跟踪训练1　已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；….
根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
解　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为，，，，…，.
归纳得一般性结论：1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
类型二　归纳推理在数列中的应用
例2　已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　当n＝1时，a1＝1，
当n＝2时，a2＝＝，
当n＝3时，a3＝＝，
当n＝4时，a4＝＝，
…，
归纳得数列{an}的通项公式为an＝(n＝1,2,3，…)．
反思与感悟　用归纳推理解决数列问题的方法
在求数列的通项和前n项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．
跟踪训练2　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为(　　)

　
　　
　　　
　　　　
……
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　B
解析　由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，第11行的第2个数为－＝.
类型三　归纳推理在图形中的应用
例3　如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)是由(1)中的小正方体木块叠放而成的．按照这样的规律摆放下去，第7个图形中，小正方体木块的总个数是________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　91
解析　记第n个图形中木块的总数为an，观察前三个图形中的木块数可知，a1＝1，a2＝1＋(1＋4)＝1＋5＝6，a3＝1＋5＋(5＋4)＝1＋5＋9＝15，按照题中的规律放下去，可知，第7个图形中小木块的总个数为1＋5＋9＋…＋25＝91.
反思与感悟　归纳推理在图形中的应用策略
跟踪训练3　如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律性的为(　　)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一格，由第二组的前两个图，可知整体图形再次向左移动一格，第三个图，左边没有格的情况下，应从最右边出现，故选A.
1．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
2．已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式an等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
答案　C
解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
则an＝.
3．已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为(　　)
A．xn＋>n B．xn＋>n＋1
C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给的不等式，都是写成xn＋>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋>n＋1，故选B.
4．有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色．两种彩旗排成一行：???????????????????????????…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为(　　)
A．111 B．89
C．133 D．67
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗，则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　40
解析　图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，…，
所以图10中的点数为10×4＝40.
1．归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．
2．归纳推理解决问题的思维过程
实验、观察→分析概括→猜测总结
一、选择题
1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(　　)
A．192 B．202 C．212 D．222
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　由题意可知，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A. B．△
C. D．○
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋小于(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　观察可以发现，第n(n≥1)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，所以当n＝2 018时不等式为1＋＋＋…＋<.
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为(　　)
A．01 B．43 C．07 D．49
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，
75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，
可以看出末两位数字呈周期出现，且周期为4，
2 019÷4＝504…3.
所以72 019的末两位数字为43.
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　C
解析　从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
7．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…，
可知推测A－B等于(　　)
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　D
解析　观察发现各式等号右边第一项的系数为对应项指数的倒数，且各项系数之和为1，故A＝，B＝－，所以A－B＝.
8．如图，已知△ABC的周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2 018个三角形的周长为(　　)
A. B. C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　∵第一个三角形的周长为2，第二个三角形的周长为1，第三个三角形的周长为，……，∴第n个三角形的周长为22－n，∴第2 018个三角形的周长为22－2 018＝.
二、填空题
9．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2， ＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：______________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　已知a，b是正实数且a≠b，若a＋b＝20，则＋<2
10．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
…；
照此规律，第n个等式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1
解析　12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
11．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　30
解析　观察题图易得
∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30.
12．n个连续自然数按规律排列如表：根据规律，从2 018到2 020，箭头的方向依次为________．(填序号)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　③
解析　箭头方向呈周期变化，且周期为4,2 018÷4＝504…2，故填③.
三、解答题
13．已知正项数列{an}满足Sn＝，求出a1，a2，a3，并推测通项an.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　∵Sn＝，∴S1＝，
又∵S1＝a1，∴a1＝，∴a1＝1(负值舍去)．
又∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝－，
∴－an＝an－1＋，∴－a2＝2，∴a2＝－1±，
又∵an>0，∴a2＝－1.
同理，a3＝－.
∴a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
利用归纳推理，猜测：an＝－，n∈N＋.
四、探究与拓展
14．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)，(2,1)
(1,3)，(2,2)，(3,1)
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
…
记第n行的第m个数对为anm(m，n∈N＋)，如a43＝(3,2)，则：
(1)a54＝________；(2)anm＝________________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)
解析　若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,2)．
15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示的为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
解　(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…，
由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝1＋＝－.
1．2　类比推理
学习目标　1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　类比推理
思考　科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案　类比推理．
梳理　类比推理的定义及特征
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理
特征
①类比推理是两类事物特征之间的推理；
②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
知识点二　合情推理
思考　归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
梳理　合情推理的定义及分类
定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理．
1．由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理．(　√　)
2．类比推理是从特殊到特殊的推理．(　√　)
3．合乎情理的推理一定是正确的．(　×　)
类型一　平面图形与立体图形间的类比
例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟　(1)类比推理的一般步骤
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形
空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_____________________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析　类比条件：
两边AB，AC互相垂直侧面ABC，ACD，ADB互相垂直．
结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.
类型二　数列中的类比推理
例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式______成立．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)
解析　在等差数列{an}中，
由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.
相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．
反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．
(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．
跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，_____，成等比数列．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　　
解析　由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，
T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，
T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，
∴＝bq22，＝bq38，＝bq54，
即2＝·T4，2＝·，
故T4，，，成等比数列．
类型三　定义、定理或性质中的类比
例3　下列是用类比推理得出的结论：
①由“a＝b?ac＝bc”类比得到“a>b?ac>bc”；
②由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比得到“sin(A＋B)＝sin A＋sin B”；
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行”；
④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”．
其中正确结论的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　B
解析　当c≤0时，①中类比的结论不正确；显然②中类比的结论不正确；空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故③中类比的结论不一定成立；④中类比的结论是正确的．
反思与感悟　运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．
跟踪训练3　若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为(　　)
A. B.
C.－1 D.＋1
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　A
解析　在Rt△ABF中，由AB⊥BF可得＝，则b2＝ac，即c2－a2＝ac，可得e2－e＝1，又由e>1，则e＝.
1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(　　)
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2．下面使用类比推理，得出的结论正确的是(　　)
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　C
解析　显然A，B，D不正确，只有C正确．
3．根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心．
4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝(a1＋an)，类似地正项等比数列{bn}的前n项积Tn等于(　　)
A．(b1＋bn) B．(b1bn)
C.(b1＋bn) D.(b1bn)
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　B
解析　等差数列{an}的前n项和为Sn＝(a1＋an)，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn＝(b1·bn)，故选B.
5．已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比以上结论有：双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　－＝1
解析　圆x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，可以看作是圆的方程中的用x0x代替x2，用y0y代替y2而得，故类比过圆上一点的切线方程，可类比推理得出过双曲线－＝1上一点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、选择题
1．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶9
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积之比为1∶8，故选C.
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　D
3．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)
A．3 B．5 C. D．3
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　B
解析　类比点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d＝，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝5，故选B.
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积的和．
则四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中，延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设 △OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是(　　)
A．S0＝ B．S0＝
C.＝ D.＝
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质，故由“EF＝”，类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的结论是＝.故选C.
6．已知双曲线正弦函数sh x＝和双曲线余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是(　　)
A．sh x为奇函数，ch x为偶函数
B．sh 2x＝2sh xch x
C．sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y
D．ch(x－y)＝ch xch y＋sh xsh y
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　D
解析　容易验证A，B，C正确，
∵×＋×
＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y＋ex＋y－ex－y－e－x＋y＋e－x－y)＝(2ex＋y＋2e－x－y)
＝(ex＋y＋e－x－y)＝ch(x＋y)，
∴ch(x－y)＝ch x·ch y－sh x·sh y，故选D.
二、填空题
7．等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　
解析　在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列，类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{bn}也是等比数列．
8．已知tan＝且tan x是以π为周期的周期函数．若a≠0，且f(x＋a)＝，通过类比，f(x)是以T＝________为周期的周期函数．
考点　
题点　
答案　4a(答案不唯一)
解析　类比tan＝与f(x＋a)＝可知，与a对应．
而tan x是以π＝4×为周期的周期函数，
所以猜想f(x)应是以T＝4a为周期的周期函数．
事实上f(x＋2a)＝＝＝－.
所以f(x＋4a)＝－＝f(x)．
故此类比猜想正确．
9．已知点A(x1,2x1)，B(x2,2x2)是函数y＝2x的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>2成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则有____________________成立．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　解析　函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像是向上凸的，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，故由类比推理可知，10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
解析　平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
11．已知x∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，类比有x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　nn
解析　由类比推理可得x＋＝＋≥(n＋1)·＝n＋1，此时a＝nn.
三、解答题
12．在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
解　在长方形ABCD中，
cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2
＝＝＝1.
13．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n的值的过程．
因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，
…，
22－12＝2×1＋1，
以下各式相加得：
(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
所以1＋2＋3＋…＋n＝＝，
类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n2.(参考公式：n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1)
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
解　∵23－13＝3·22－3·2＋1，
33－23＝3·32－3·3＋1，
…，
n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，
把这n－1个式子相加可得：
n3－1＝3×(22＋32＋…＋n2)－3×(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，
由此可得：n3－1＝3(12＋22＋32＋…＋n2)－3(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，
即12＋22＋32＋…＋n2
＝，
∴12＋22＋32＋…＋n2＝n3＋n2＋n.
四、探究与拓展
14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　
解析　∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
15．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：·为定值b2－a2；
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，则·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
(1)证明　设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，
同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)解　－(a2＋b2)．
§2　综合法与分析法
学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一　综合法
思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．
梳理　综合法的定义及特点
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．
(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．
(3)模式：综合法可以用以下的框图表示
→→→…→
其中P为条件，Q为结论．
知识点二　分析法
思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理　分析法的定义及特征
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．
(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：
→→→…→
1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)
2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)
类型一　用综合法证明不等式
例1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
反思与感悟　综合法证明问题的步骤：
跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数，
求证：＋＋>3.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　因为＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
又a，b，c为不全相等的正实数，
而＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式等号不能同时成立，
所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
类型二　分析法的应用
例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
反思与感悟　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”．
跟踪训练2　设a>b>0，求证：＋>(－)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　因为a>b>0，所以a2>ab>b2，所以a2－ab>0.
要证＋>(－)，
只需证>，
只需证－<＋.
又<＋＋显然成立，
所以＋>(－)成立．
类型三　分析法与综合法的综合应用
例3　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
引申探究　
本例改为求证>.
证明　要证>，
只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，
即证a＋b>c.
而a＋b>c显然成立，
所以>.
反思与感悟　综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
跟踪训练3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证logx＋logx＋logx只需证
logx由已知0··>abc，
由公式≥>0，≥>0，≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．类比法
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　B
解析　在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．
2．要证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案　C
解析　根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2.
3．设0A．a B．b
C．c D．随x取值不同而不同
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　∵02>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，
∴c>b>a.
4．已知f(x)＝(x∈R)是奇函数，那么实数a的值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　1
解析　∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝＋＝0，
∴a＝1.
5．已知a，b，c都为正实数，求证：≥.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
而这是显然成立的，
所以≥成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　B
解析　分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②?①，所以①是②的必要条件．故选B.
2．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(　　)
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　A
解析　由得
3．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由题意得，f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，只有f(x)＝符合要求．
4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　D
解析　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－(a2＋b2)＋1≥0，
即证(a2－1)(b2－1)≥0.
5．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是(　　)
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　D
解析　由余弦定理的推论，得cos A＝，
∵A为钝角，∴cos A<0，则b2＋c26．A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　C
解析　由正弦定理得＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，
又A，B为三角形的内角，
∴sin A>0，sin B>0，
∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
7．设a，b>0，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　B
解析　因为a≠b，故>ab，
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负 B．恒等于零
C．恒为正 D．无法确定正负
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，
所以f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
9．“已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8”的证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　综合法
解析　本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
10．如果a＋b>a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b>a＋b.
11．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　a·＝a·≤＝，当且仅当a2＝＋且a2＋＝1，即a＝，b＝时，等号成立．
三、解答题
12．已知n∈N＋，且n≥2，求证：>－.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1.
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，该不等式显然成立，
故原不等式成立．
13．(1)用分析法证明：当a>2时，＋<2.
(2)设a，b是两个不相等的正数，且＋＝1，用综合法证明：a＋b>4.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)要证＋<2，
只要证(＋)2<(2)2，
只要证2a＋2<4a，
只要证∵a2－4∴＋<2成立．
(2)∵a>0，b>0，且a≠b，
∴a＋b＝(a＋b)
＝1＋1＋＋>2＋2＝4，
∴a＋b>4.
四、探究与拓展
14．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　当n为偶数时，a<2－，
而2－≥2－＝，所以a<；
当n为奇数时，a>－2－，
而－2－<－2，所以a≥－2.
综上可得，－2≤a<.
15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝.③
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
§3　反证法
学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识点　反证法
(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．
1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　)
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)
类型一　用反证法证明否定性命题
例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
反思与感悟　(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设，，成等差数列，则2＝＋，
∴4b＝a＋c＋2.①
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②
由②得b＝，代入①式，
得a＋c－2＝(－)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立．故，，不成等差数列．
类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题
例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.
所以≥>1.
同理≥>1，≥>1.
三式相加，得＋＋>3，
即3>3，矛盾．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
引申探究　
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数．
∴≥>＝.
同理，>，>.
三式相加，得＋＋>，
即>，显然不成立．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得其对应方程的Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，
且Δ3＝4a2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
类型三　用反证法证明唯一性命题
例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则＝3,＝3，两式相除得＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题得证．
反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
跟踪训练3　若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
4．下面关于反证法的说法正确的有________．(填序号)
①反证法的应用需要逆向思维；
②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；
④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．
考点　
题点　
答案　①②
解析　反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故①②正确，使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故④错误，反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故③错误．
5．用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则
解得－故原命题成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　D
2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　B
解析　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
4．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．
5．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
6．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
7．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　C
解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋
＝＋＋≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
二、填空题
8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设____________．
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　x＝a或x＝b
9．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．
甲说：“丙没有考满分”．
乙说：“是我考的”．
丙说：“甲说的是真话”．
若这三名同学中，只有一人说的是假话，则得满分的同学是________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　甲
解析　采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙说的也是假话，与题目矛盾；如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分，符合要求．
10．若下列两个方程x2＋(a－2)x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
解析　若两方程均无实根，
则Δ1＝(a－2)2－4a2＝(3a－2)(－a－2)<0，
∴a<－2或a>.
Δ2＝a2＋8a＝a(a＋8)<0，
∴－8若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－8或a≥－2.
11．将下列用反证法证题的过程补充完整．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为奇数，则________均为奇数．①
因为7个奇数之和为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
显然②与③矛盾，故假设不成立，故(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇数　0
三、解答题
12．已知x∈R，a＝x2－1，b＝4x＋5.求证：a，b中至少有一个不小于0.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a，b都小于0，即a<0，b<0，则a＋b<0.
又a＋b＝x2－1＋4x＋5＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
这与a＋b<0矛盾，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个不小于0.
13．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点　
题点　
证明　假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
故a，b，c中至少有一个是大于0的．
四、探究与拓展
14．若a，b，c，d都是有理数，，都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a＝b，c＝d
解析　假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，
于是b＋m＋＝b＋，
所以m＋＝，两边平方整理得＝.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，
因此a＝b，从而c＝d.
15．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导数列{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
(1)解　设数列{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
所以Sn＝，
综上所述，Sn＝
(2)证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
因为a1≠0，
所以2qk＝qk－1＋qk＋1.
因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，
所以q＝1，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．
§4　数学归纳法
学习目标　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
知识点　数学归纳法
对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.
思考1　验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？
答案　成立．
思考2　能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？
答案　不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．
梳理　(1)数学归纳法的定义
用来证明某些与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；
②在假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫作数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　×　)
2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　×　)
3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　√　)
类型一　用数学归纳法证明等式
例1　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明等式
题点　利用数学归纳法证明等式
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
即1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．
反思与感悟　用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
跟踪训练1　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.
考点　用数学归纳法证明等式
题点　利用数学归纳法证明等式
证明　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N＋都成立．
类型二　用数学归纳法证明不等式
例2　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明不等式
题点　利用数学归纳法证明不等式
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，
故左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋
>＋.(*)
方法一　(分析法)
下面证(*)式≥，即＋＋－≥0，
只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，
只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，
只需证9k＋5≥0，显然成立．
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
方法二　(放缩法)
(*)式>＋＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．
引申探究　
把本例改为求证：＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋…＋＋＋－
>＋＋－，
∵＋－＝＝>0，
∴＋＋＋…＋＋＋－>＋＋－>，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立．
反思与感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键：
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
跟踪训练2　在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，an＋1＝(n∈N＋)，用数学归纳法证明：an>2(n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明不等式
题点　利用数学归纳法证明不等式
证明　①当n＝1时，a1＝a>2，命题成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即ak>2，则当n＝k＋1时，ak＋1－2＝－2＝>0，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②得，对任意正整数n，都有an>2.
类型三　归纳—猜想—证明
例3　已知数列{an}满足关系式a1＝a(a>0)，an＝(n≥2，n∈N＋)．
(1)用a表示a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
解　(1)a2＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
(2)因为a1＝a＝，a2＝，…，
猜想an＝.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，
因为a1＝a＝，
所以当n＝1时猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，
即ak＝，
所以当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝＝
＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
根据①与②可知猜想对一切n∈N＋都成立．
反思与感悟　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
跟踪训练3　请观察以下三个式子：
(1)1×3＝；
(2)1×3＋2×4＝；
(3)1×3＋2×4＋3×5＝，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．
考点　
题点　
解　结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)
＝.
证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝，
则当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)
＝＋(k＋1)(k＋3)
＝(2k2＋7k＋6k＋18)
＝(2k2＋13k＋18)
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，命题成立.
1．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推算：当n≥2时，有(　　)
A．f(2n)>(n∈N＋)
B．f(2n)>(n∈N＋)
C．f(2n)>(n∈N＋)
D．f(2n)>(n∈N＋)
考点　利用数学归纳法证明不等式
题点　不等式中的归纳、猜想、证明
答案　D
解析　f(4)>2改写成f(22)>；f(8)>改写成f(23)>；f(16)>3改写成f(24)>；f(32)>改写成f(25)>，由此可归纳得出：当n≥2时，f(2n)>(n∈N＋)．
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第一步：归纳奠基
答案　C
解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　C
解析　由已知，得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则n＝n0＋1时命题成立，
在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，
依此类推，可知选C.
4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．
上述证明，错误是________．
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　未用归纳假设
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．
5．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明等式
题点　利用数学归纳法证明等式
证明　①当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立．
即＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立．
即对所有n∈N＋，原式都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、选择题
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第一步：归纳奠基
答案　C
解析　由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.
2．某个与正整数有关的命题：
如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
考点　
题点　
答案　A
解析　因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　C
解析　因式子右边各分数的分母是连续正整数，
则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.
故Sk＋1＝Sk＋－.
4．一个与正整数n有关的命题中，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立，可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　B
解析　由n＝k时命题成立，可以推出n＝k＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n0＝2.故对所有的正偶数都成立．
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法的定义
答案　D
解析　对于D，∵f(4)＝25≥42，
∴当k≥4时，均有f(k)≥k2.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为(　　)
A. B.
C. D.
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
答案　B
解析　结合题意，得a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝，故选B.
7．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)的过程中，从n＝k到n＝k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法的第二步：归纳递推
答案　C
解析　当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．
二、填空题
8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第一步：归纳奠基
答案　10
9．证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为_______．
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　缺少步骤归纳奠基
10．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2n＋1)－f(2n)＝______________________________.
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　＋＋…＋
三、解答题
11．用数学归纳法证明：
1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N＋)．
考点　
题点　
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.
则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝2k2－k＋(4k＋1)
＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综上(1)(2)可知，原命题成立．
12．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明不等式
题点　利用数学归纳法证明不等式
证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，
右式＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－
＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
四、探究与拓展
13．用数学归纳法证明“34n＋1＋52n＋2(n∈N＋)能被14整除”时，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋2应变形为________________．
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋2×14×4
解析　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋2＝34×34k＋1＋52×52k＋2＝34×34k＋1＋34×52k＋2＋52×52k＋2－34×52k＋2＝34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋2×(34－52)＝34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋2×14×4.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N＋)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
解　(1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想：an＝.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，
即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝，
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②可知猜想成立．
滚动训练(一)
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质；
②由正方形、矩形的内角和为360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；
③三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°；
④小李某次数学模块考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．②③④
考点　合情推理的综合应用
题点　合情推理的判别
答案　B
2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”，即假设正确的是：假设a，b，c都不是偶数，故选B.
3．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第二步：归纳递推
答案　D
解析　当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，增加了项(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.故选D.
4．“已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，求的最大值”时，可理解为在以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆上找一点，使它到原点距离最远问题，据此类比到空间，试分析：已知实数x，y，z满足(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝1，求的最大值是(　　)
A.＋1 B.－1 C.＋1 D.－1
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　由题意，根据类比思想，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝1，球心(1,1,1)到原点的距离为，∴的最大值是球心(1,1,1)到原点的距离加上半径，即＋1，故选C.
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　C
解析　由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证<a，只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“<a”索的因应是(a－c)(a－b)>0，故选C.
6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为(　　)
A. B.
C. D.
考点　类比推理的应用
题点　类比推理在图形中的应用
答案　B
解析　由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335用算筹可表示为，故选B.
7．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定(　　)
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．正负都有可能
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　A
解析　∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函数且是奇函数．
∵a＋b>0，∴a>－b，
∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.
二、填空题
8．如图所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．
考点　
题点　
答案　白
解析　通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1，得第36颗珠子一定为白色．
9．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　44.5
解析　设S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，
则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
两式倒序相加，得
2S＝ (sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝44.5.
10．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)
考点　
题点　
答案　垂心
解析　如图，
设S在底面ABC上的射影为点O，
∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO.
∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，
∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.
同理可证，AC⊥BO.
∴O为△ABC的垂心．
11．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋…＋＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　
解析　根据分析，可得
a2＝3＝3×(2－1)，
a3＝6＝3×(3－1)，
a4＝9＝3×(4－1)，
a5＝12＝3×(5－1)，
…，
an＝3(n－1)，
数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，
通项为an＝3(n－1)(n≥2)，
所以＝＝，
则＋＋…＋
＝9××
＝1－＝.
三、解答题
12．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　方法一　(分析法)已知a，b是正实数，
要证＋≥＋，
只需证a＋b≥(＋)，
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
即证a＋b－≥，
就是要证a＋b≥2.
显然a＋b≥2恒成立，
所以＋≥＋.
方法二　(作差法)因为a，b是正实数，
所以＋－－＝＋＝
＝≥0，所以＋≥＋.
方法三　(综合法)因为a，b是正实数，
所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，
当且仅当a＝b时取等号，
所以＋≥＋.
方法四　(综合法)因为a，b是正实数，
所以(＋)＝a＋b＋＋
≥a＋b＋2
＝a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当a＝b时取等号，
所以＋≥＋.
13．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，即2＋y2＝0.
即所以x＝y＝0，
这与已知x，y为非零实数矛盾，所以原命题成立．
四、探究与拓展
14．将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：
①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n＋1)2(n∈N＋)的坐标为__________．
考点　
题点　
答案　(－n，n＋1)
解析　9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n＋1)2的坐标为(－n，n＋1)．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．
(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)证明你的猜想，并求出an的表达式．
考点　用数学归纳法证明等式
题点　等式中的归纳、猜想、证明
解　(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，Sn＝n2an，
∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)．
∴Sn＝Sn－1(n≥2)，
∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝(n∈N＋)．
(2)证明：①当n＝1时，S1＝1成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，
∴ak＋1＝，
∴Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式也成立，得证．
∴根据①②可知，对于任意n∈N＋，等式均成立．
又∵ak＋1＝，∴an＝(n∈N＋)．
章末复习
学习目标　1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．
1．归纳与类比
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
2．综合法和分析法
(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；
(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法．
3．反证法
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．
4．数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立.
类型一　合情推理
例1　(1)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　n(n＋1)
解析　第一个等式中1＝，2＝；
第二个等式中，2＝，3＝；
第三个等式中，3＝，4＝.
由此可推得第n个等式等于××＝n(n＋1)．
(2)根据图(1)的面积关系：＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝________.
考点　类此推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　··
解析　题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为＝··.
反思与感悟　(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
跟踪训练1　(1)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，……，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　8　π
解析　第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90°，因此弧长为；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90°，因此弧长为π；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90°，因此弧长为，…，第n道弧所在圆的半径为n，圆心角为90°，因此弧长为.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以为首项，为公差的等差数列，故所求这n道弧的弧长之和为n＋·＝.
(2)设P是△ABC内一点，△ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有＋＋＝1，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有________________________．
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　＋＋＋＝1
解析　易知＝＝，
＝＝，
＝＝，
＝＝，
故＋＋＋
＝＝1.
类型二　综合法与分析法
例2　试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　方法一　分析法
要证2sin 2α≤成立，
只需证4sin αcos α≤，
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
只需证4cos α≤，
∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．
方法二　综合法
∵＋4(1－cos α)≥4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
∴4sin αcos α≤，∴2sin 2α≤.
反思与感悟　分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
跟踪训练2　设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立．
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立．
即a3＋b3>a2b＋ab2.
类型三　反证法
例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2中至少有一个成立．
反思与感悟　反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．
跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．
类型四　数学归纳法
例4　已知在数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　数学归纳法证明数列通项问题
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－
＝－＝－.
即当n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．
反思与感悟　(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
跟踪训练4　观察下列四个等式：
第一个式子　　　　 1＝1
第二个式子 2＋3＋4＝9
第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25
第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
(1)按照此规律，写出第五个等式；
(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．
考点　利用数学归纳法证明等式
题点　等式中的归纳、猜想、证明
解　(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.
(2)猜想第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，
猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，
即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2
＝[2(k＋1)－1]2.
右边＝[2(k＋1)－1]2，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②知，猜想对任意n∈N＋都成立．
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　)
A．47 B．65 C．63 D．128
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为(　　)
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　A
解析　∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.故选A.
3．若a>0，b>0，则有(　　)
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　因为－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a.
4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　A
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
5．用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．
考点　用数学归纳法证明等式
题点　利用数学归纳法证明等式
解　(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝.
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
即有＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋，等式都成立．
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
3．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．
一、选择题
1．如图所示的是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　从所给三个图形中，可以看出，三个黑色三角形在进行顺时针旋转，每次旋转都是隔一格，故选A.
2．若aA.<
B．a＋>b＋
C．b＋>a＋
D.<
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
答案　C
解析　取a＝－2，b＝－1，验证可知C正确．
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n个正方形点数是(　　)
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．(n＋1)2 D．n2
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　由题意可知第n个正方形点数为n2.
4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)
A. B.
C. D．不可类比
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线的类比
答案　C
解析　扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇＝.
5．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2 B．3 C．5 D．6
考点　数学归纳法定义及原理
题点　数学归纳法第一步：归纳奠基
答案　C
解析　当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，n0值为5，故选C.
6．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到(　　)
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　D
解析　利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
7．定义运算：x?y＝例如3?4＝4，则下列等式不成立的是(　　)
A．x?y＝y?x
B．(x?y)?z＝x?(y?z)
C．(x?y)2＝x2?y2
D．c·(x?y)＝(c·y)?(c·x)(c>0)
考点　合情推理的综合应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　C
解析　由定义可知：“?”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的．
8．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
考点　综合法及应用
题点　综合法的应用
答案　D
解析　因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又因为a2＋b2＋c2≥0，
所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.
二、填空题
9．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　(1 009,1 008)
解析　观察已知的点(1,0)处标1，即12，
点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，
由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2.
当2n＋1＝2 017时，n＝1 008，
∴标签为2 0172的格点的坐标为(1 009,1 008)．
10．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…， ＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　41
解析　由题意归纳推理得＝6，b＝62－1＝35，a＝6.
∴a＋b＝6＋35＝41.
11．已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________．
考点　
题点　
答案　S4＝56
解析　显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.
12．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比值为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍，可以从给出的简单图形(如图①②所示)中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是＋＝1与x2＋y2＝a2(a>0，b>0)，运用上面的原理，则该图中椭圆的面积为________．
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　abπ
解析　设直线的方程为x＝m(－a三、解答题
13．用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg≥；
(2)6＋>2＋2.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg(ab)＝.
(2)要证＋>2＋2，
只需证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
∴原不等式成立．
四、探究与拓展
14．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
考点　
题点　
答案　B
解析　进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．
若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；
若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若a≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意．
综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．
15．给出下列等式：
1＝1，
1－4＝－(1＋2)，
1－4＋9＝1＋2＋3，
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
……
(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(n∈N＋)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜想的等式．
考点　利用数学归纳法证明等式
题点　等式中的归纳、猜想、证明
(1)解　第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，
第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)．
猜想第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n－1·(1＋2＋3＋…＋n)．
(2)证明　①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1
·，
则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·，
故当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，对于任意n∈N＋，猜想均成立．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列函数存在极值的是(　　)
A．y＝2x B．y＝
C．y＝3x－1 D．y＝x2
答案　D
解析　画出图像可知y＝x2存在极值0.
2．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　C
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝＝，
由f′(x)>0，可得x>2.
∴f(x)的递增区间为(2，＋∞)．
3．函数f(x)＝sin x＋2xf′，f′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　因为f′(x)＝cos x＋2f′，
所以f′＝cos ＋2f′，
则f′＝－，
故f′(x)＝cos x－1≤0，即函数f(x)是减少的，
而－1f(b)．
4．如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列结论正确的是(　　)
A．在区间(－3,1)内，f(x)是增加的
B．在区间(1,2)内，f(x)是减少的
C．在区间(4,5)内，f(x)是增加的
D．当x＝2时，f(x)取得极小值
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　C
解析　由题中图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(4,5)内是增加的．
5．已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　D
解析　由图像可知，在x＝－2左侧附近，y＝(1－x)·f′(x)>0，则f′(x)>0；在x＝－2右侧附近，y＝(1－x)·f′(x)<0，则f′(x)<0，所以函数在x＝－2处取得极大值．在x＝1左侧附近，y＝(1－x)f′(x)<0，则f′(x)<0，在x＝1右侧附近，y＝(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0.所以函数在x＝1处没有极值．在x＝2左侧附近，y＝(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0；在x＝2右侧附近，y＝(1－x)f′(x)<0，则f′(x)>0，所以函数在x＝2处取得极小值．
6．函数f(x)＝xsin x＋cos x＋1(x∈[0，π])的最大值为(　　)
A.＋1 B．2 C．1 D．0
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　A
解析　∵f′(x)＝xcos x，∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的；当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的，∴f(x)max＝f＝＋1.
7．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上是减少的，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[2，＋∞)
C. D.
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　B
解析　函数的导数为f′(x)＝1－.
若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上是减少的，
则等价为f′(x)≤0恒成立，
即1－≤0，即≥1，即a≥x，
∵08．已知函数f(x)(x∈R)图像上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)∪(－1,2) D．[2，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　B
解析　由已知得，f′(x)＝(x－2)(x＋1)2.
由f′(x)<0，得x<2且x≠－1，
又在(－∞，2]上只有x＝－1使f′(x)＝0，
故该函数的单调减区间为(－∞，2]．
9.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图像如图所示，若|x1|>|x2|，则有(　　)
A．a>0，b>0
B．a<0，b<0
C．a<0，b>0
D．a>0，b<0
答案　B
解析　由f(x)的图像易知f(x)有两个极值点x1，x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图像如图所示，
∴a<0.
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，
∴b<0.
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　D
解析　由导函数图像可知，当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，排除A，B；当00，函数f(x)是增加的，故选D.
11．如果函数f(x)在[m，n]上存在x1，x2(mA. B.
C. D.
考点　数学思想方法在导数中的应用
题点　转化与化归思想在导数中的应用
答案　C
解析　∵f(x)＝x3－x2＋a，f′(x)＝3x2－2x，
在区间[0，a]上存在x1，x2(0满足f′(x1)＝f′(x2)＝＝a2－a，
∴方程3x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不相等的解．
令g(x)＝3x2－2x－a2＋a(0解得12．若函数f(x)对任意的x∈R都有f′(x)>f(x)恒成立，则(　　)
A．3f(ln 2)<2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)>2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　设g(x)＝.因为f′(x)>f(x)，所以g′(x)＝>0，即函数g(x)在R上是增加的．又因为ln 3>ln 2，所以g(ln 3)>g(ln 2)，即>，即3f(ln 2)<2f(ln 3)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝x－ex的单调增区间为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　(－∞，0)
解析　y′＝1－ex，令y′>0，即1－ex>0，解得x<0，
所以所求的单调增区间为(－∞，0)．
14．若函数f(x)＝x·2x在x0处取极小值，则x0＝________.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　－
解析　由已知得，f′(x)＝2x(1＋xln 2)，
令f′(x)＝0，解得x＝－.
当x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0.
所以x＝－是f(x)的极小值点，则x0＝－.
15．已知函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是______．
考点　数学思想方法在导数中的应用
题点　分类讨论思想在导数中的应用
答案　
解析　f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)．
由f(x)的图像经过四个象限知，
若a>0，则此时无解；
若a<0，则∴－综上知，－16．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　(－3，－2)
解析　f′(x)＝3x2－3，设切点为P(x0，y0)，
则切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
∵切线经过点A(1，m)，∴m－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
∴m＝－2x＋3x－3，令g(x0)＝－2x＋3x－3，
则g′(x0)＝－6x＋6x0，
∴当01时，此函数是减少的，当x0＝0时，m＝g(0)＝－3，当x0＝1时，m＝g(1)＝－2，
∴当－3三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax＋4，f′(0)＝－4.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极大值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)由函数解析式知f′(x)＝x2－a，
因为f′(0)＝－a＝－4，所以a＝4.
(2)由(1)知f′(x)＝x2－4，易知函数在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增加的，在区间(－2,2)上是减少的，
所以函数f(x)的极大值为f(－2)＝.
18．(12分)当x>0时，证明：ln(1＋x)>x－x2.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　设f(x)＝ln(1＋x)－
＝ln(x＋1)－x＋x2(x>0)，
则f′(x)＝－1＋x＝>0在(0，＋∞)上恒成立．
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)＝0，
∴当x>0时，ln(1＋x)>x－x2.
19．(12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的最值求参数
解　函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上是增加的，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
20．(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋b(x∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；
(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝3ax2－3x，由f′(2)＝6，得a＝1.
由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.
又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，所以a＝1，b＝2.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，分以下两种情况讨论：
①若>1，即0x
(－1,0)
0
(0,1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
f(－1)＝－a－＋2，f(1)＝a－＋2，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
②若0<<1，即a>1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(－1)＝－a，f＝2－.
而f－f(－1)＝2－－＝＋a－>0，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
综合①和②知，f(x)min＝f(－1)＝－a.
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上是减少的，在(e，＋∞)上是增加的．
故当x＝e时，g(x)有最小值且最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由题意，得k(x)＝x－2ln x－a.令φ(x)＝x－2ln x，
又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)<0，φ(x)是减少的，
当x∈(2,3)时，φ′(x)>0，φ(x)是增加的．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln x有两个交点，
则2－2ln 2即实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．


§1　函数的单调性与极值
1．1　导数与函数的单调性(一)
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点　函数的单调性与导数
思考1　已知函数(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系．
答案　(1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数；
(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数；
(3)y′＝2xln 2>0，y＝2x是增函数．
思考2　观察图中函数f(x)，填写下表．
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
>0
锐角
上升
增加的
<0
<0
钝角
下降
减少的
梳理　函数的单调性与导数符号的关系
导数符号
单调性
在某个区间内，f′(x)>0
在这个区间内，函数y＝f(x)是增加的
在某个区间内，f′(x)<0
在这个区间内，函数y＝f(x)是减少的
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上是减少的．(　×　)
2．函数f(x)在某区间内是增加的，则一定有f′(x)>0.(　×　)
3．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　√　)
类型一　函数与导数的图像间的关系
例1　(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　D
解析　由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图像确定导函数的图像
答案　D
解析　应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像．
反思与感悟　函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降．看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像．
跟踪训练1　在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是(　　)
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
考点　
题点　
答案　C
解析　当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的．故可得，①②中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误．
类型二　利用导数求函数的单调区间

例2　求下列函数的单调区间．
(1)y＝x2－ln x；
(2)y＝x＋(b>0)．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
解　(1)函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝.
若y′>0，即解得x>1；
若y′<0，即解得0故函数y＝x2－ln x的单调增区间为(1，＋∞)；单调减区间为(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)>0，则(x＋)(x－)>0，
所以x>或x<－.
所以函数的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
所以－所以函数的单调减区间为(－，0)，(0，)．
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
跟踪训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为____________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　(－2－，－2＋)
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为
(－2－，－2＋)．

例3　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
②当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
反思与感悟　(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
跟踪训练3　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上是减少的，在(ln a，＋∞)上是增加的．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上是减少的，在(ln a，＋∞)上是增加的.
1．函数y＝xln x，x∈(0,1)(　　)
A．在区间(0,1)上是增加的
B．在区间(0,1)上是减少的
C．在上是减少的，在上是增加的
D．在上是增加的，在上是减少的
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　C
解析　y′＝ln x＋1，当00，函数y＝xln x是增加的．
2．若函数f(x)的图像如图所示，则导函数f′(x)的图像可能为(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图像确定导函数图像
答案　C
解析　由f(x)的图像可知，函数f(x)的单调增区间为(1,4)，单调减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)和x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.
3．函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知单调区间求参数值
答案　－　－6
解析　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.
由得
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调减区间为，
单调增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
一、选择题
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是增加的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　A
解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是增加的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．定义域为的可导函数y＝f(x)的图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)
A.∪[2,3)
B.∪
C.∪(1,2)
D.∪∪
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图像确定导函数图像
答案　A
解析　f′(x)≤0?f(x)是减函数，由图像知f(x)的递减区间为，[2,3)．故f′(x)≤0的解集为∪[2,3)．
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的递减区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(－1,3) D．(0,2)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　D
解析　∵函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，
∴f′(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3＝x2－2x，
令f′(x＋1)<0，得0故函数f(x＋1)的递减区间是(0,2)．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，则下列不可能正确的是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　D
解析　函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内是增加的；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内是减少的．对于D，若x轴上方是导函数的图像，则函数f(x)应该是增加的，不符合；若x轴下方是导函数的图像，则函数f(x)是减少的，不符合．其他三项均符合．
6.函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(cos A)B．f(sin A)C．f(sin A)>f(sin B)
D．f(sin A)>f(cos B)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　D
解析　根据图像知，当00，
∴f(x)在区间(0,1)上是增函数．
∵△ABC为锐角三角形，∴A，B都是锐角且A＋B>，
则0<－B则sin∴0f(cos B)．
7．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　∵(x－1)f′(x)<0，
∴当x>1时，f′(x)<0，当x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上是减少的，在(－∞，1)上是增加的，
∴f(0)则f(0)＋f(2)<2f(1)．
二、填空题
8．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的递减区间为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　(－1,11)
解析　f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
令f′(x)<0，解得－1所以递减区间为(－1,11)．
9.在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为________．
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用单调性确定导数值的正负号
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　由xf′(x)<0可得，
或
由题图可知当－1当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
则或
解得0∴xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
10．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调增区间为_____．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数的函数的单调区间
答案　(0，＋∞)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)>0，解得x>0，
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上是增加的，且在区间(0,2)上是减少的，则a的值为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知单调区间求参数值
答案　－6
解析　由题意得f′(x)＝6x2＋2ax＝0的两根为0和2，可得a＝－6.
12．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是______．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　(－∞，1)
解析　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，
∴当x<1时，f(x)－2x＋1>0，
即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间
解　(1)由y＝f(x)的图像经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1.
又f′(－1)＝6，∴即
解得b＝c＝－3，
故所求函数解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)由(1)得f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，单调减区间为(1－，1＋)．
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝(x2－2x)ex(e为自然对数的底数)的大致图像是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　A
解析　f(x)＝(x2－2x)ex的定义域为R，且f′(x)＝(x－)(x＋)ex.令f′(x)>0，得x<－或x>；令f′(x)<0，得－15．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0，试讨论f(x)的单调性．
考点　利用导函数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数的函数的单调区间
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
方程x2－ax＋2＝0的判别式Δ＝a2－8.
(1)当Δ<0，即00，都有f′(x)>0，此时f(x)是(0，＋∞)上的单调增函数；
(2)当Δ＝0，即a＝2时，当且仅当x＝时，有f′(x)＝0，对定义域内其余的x都有f′(x)>0，此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调增函数；
(3)当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根：x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
即f(x)在和上是增加的；在上是减少的．
1．1　导数与函数的单调性(二)
学习目标　1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．
知识点一　导数与单调性的关系
f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．因为函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增加的，但f′(x)≥0，因此f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．f(x)为增函数的充要条件：f′(x)≥0(当且仅当有限个x或无限个离散的x使得等号成立)．
知识点二　求参数的取值范围
已知f(x)在区间D上是增加的，求f(x)中的参数值问题，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立，求f(x)中的参数值．
知识点三　利用导数证明不等式
要证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以等价转化为证明f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)．先证[f(x)－g(x)]′>0，说明函数f(x)－g(x)在区间(a，b)上是增加的；再证f(a)－g(a)≥0，则由增函数的定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
类型一　利用函数的单调性求参数
例1　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立．
当x>1时，0<<1，∴k≥1.
即k的取值范围是[1，＋∞)．
引申探究
1．若将本例中条件增加的改为减少的，求k的取值范围．
解　∵f′(x)＝k－，
又f(x)在(1，＋∞)上是减少的，
∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤，∵0<<1，∴k≤0.
即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若将本例中条件增加的改为不单调，求k的取值范围．
解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
只需∈(1，＋∞)，即>1，则0∴k的取值范围是(0,1)．
反思与感悟　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练1　若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上是减少的，在(6，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　方法一　(直接法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上是增加的，在(1，a－1)上是减少的，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法二　(数形结合法)
如图所示，
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
因为在(1,4)内，f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
所以另一根在[4,6]上．
所以即所以5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法三　(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)上是减少的，
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，
因为2所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
又因为f(x)在(6，＋∞)上是增加的，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，
因为x＋1>7，
所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
类型二　利用导数证明不等式
例2　证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是增加的，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，
∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，
∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)．
综上，ex≥x＋1≥sin x＋1.
反思与感悟　用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤
(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．
(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.
(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
这是因为F(x)为单调增函数，
所以F(x)≥F(a)>0，
即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.
跟踪训练2　求证：当x>1时，2>3－.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　令f(x)＝2－3＋，x∈(1，＋∞)，
则f′(x)＝－.
当x>1时，有0<，
所以f′(x)＝－>0，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，
所以当x>1时，恒有f(x)>f(1)＝0，即2－3＋>0，
所以当x>1时，2>3－.
1．函数y＝xln x＋m的递增区间是(　　)
A. B．(0，e)
C. D.
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
答案　A
解析　函数的定义域为{x|x>0}，由y′＝ln x＋1>0，得x>，故选A.
2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．
当x>0时，f(x)，g(x)是增加的，
则当x<0时，f(x)是增加的，g(x)是减少的，
即f′(x)>0，g′(x)<0.
3．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减少的，则实数m的取值范围是____．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[－1,1)
解析　f′(x)≤0，即3x2－12≤0，得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
∴得－1≤m<1.
4．函数y＝ax－ln x在上增加的，则a的取值范围为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[2，＋∞)
解析　y′＝a－，由题意知，
当x∈时，y′≥0，
即a≥在上恒成立，
由x∈，得<2，∴a≥2.
5．证明方程x－sin x＝0只有一个实根，并试求出这个实根．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
解　令f(x)＝x－sin x，x∈(－∞，＋∞)，
则f′(x)＝1－cos x>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为单调增函数，
显然当x＝0时，f(x)＝0.
所以方程x－sin x＝0有唯一的实根x＝0.
利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意.
一、选择题
1．若三次函数f(x)＝ax3＋x，x∈(－∞，＋∞)是增函数，则(　　)
A．a>0 B．a<0
C．a<1 D．a<
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　由题意可知f′(x)≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立，故选A.
2．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上(　　)
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　C
解析　∵f′(x)＝－3x2－1<0，∴f(x)在区间[m，n]上是减少的．又f(m)f(n)<0，∴方程f(x)＝0在区间[m，n]上有且只有一个实数根，故选C.
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内是减少的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内是减少的，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
4．若函数y＝a(x3－x)在上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　y′＝a(3x2－1)＝3a·，
当－要使y＝a(x3－x)在上是减少的，
只需y′<0，即a>0.
5．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上是减少的，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．a≤2 D．1考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　D
解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)．
当x－≤0时，有0即f(x)在(0,3]上是减函数，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得16．已知定义域为R的奇函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，若当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0,1)时，f′(x)>0，且f(2)＝0，则关于x的不等式(x＋1)·f(x)>0的解集为(　　)
A．(－2，－1)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－2,0) D．(1,2)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　A
解析　由于f(x)为奇函数，且当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0,1)时，f′(x)>0.因此f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是增加的，在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上是减少的，易知f(2)＝－f(－2)＝0.当x＋1>0，即x>－1时，由(x＋1)f(x)>0，得f(x)>0，解得x<－2或00，得f(x)<0，解得－22，所以－2二、填空题
7．若y＝sin x＋ax在R上是增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[1，＋∞)
解析　因为y′＝cos x＋a≥0，
所以a≥－cos x对x∈R恒成立．所以a≥1.
8．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－∞，0)
解析　y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，
∴a<0.
9．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(0，＋∞)
解析　∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
10．若函数f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－∞，－1]
解析　f′(x)＝－x＋，
由题意知f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即≤x在(－1，＋∞)上恒成立，
∵x>－1，∴x＋2>1>0，∴b≤x(x＋2)，
设y＝x(x＋2)，则y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x>－1，∴y>－1，
∴要使b≤x(x＋2)成立，则有b≤－1.
11．若f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[－1,1]
解析　f′(x)＝2·，
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴f′(x)＝2·≥0.
∵(x2＋2)2>0，∴x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则即∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调增区间是(－1,1)，单调减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，
易求得在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上是增加的，
故min＝g(1)＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围为.
13．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)证明：当x>1时，f(x)考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
(1)解　f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)>0，得
解得0故f(x)的单调增区间是.
(2)证明　令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．
则F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上是减少的，
故当x>1时，F(x)即当x>1时，f(x)四、探究与拓展
14．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x>0时，g′(x)＝′＝<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0g(1)＝0?>0?f(x)>0；在(－∞，0)上，当x<－1时，g(x)0.
综上，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
15．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是增加的，求k的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的．
若k<0，则当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的；
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的．
综上，当k>0时，f(x)的单调增区间为，减区间为；当k<0时，f(x)的单调增区间为，单调递减区间为.
(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，
即0若k<0，则当且仅当－≥1，即－1≤k<0时，函数f(x)在(－1,1)上是增加的．
综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)上是增加的时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
1．2　函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数的极值点和极值
思考1　观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；
极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．
思考2　导数为0的点一定是极值点吗？
答案　不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是增加的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
梳理　(1)函数极值的概念
①极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
②极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
③极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
(2)函数的单调性与极值
①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
知识点二　函数的极值求法
(1)求出导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，
(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．
②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．
③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
1．导数为0的点一定是极值点．(　×　)
2．函数的极大值一定大于极小值．(　×　)
3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　×　)
4．极值点处的导数一定为0.(　×　)
类型一　求函数的极值点和极值

例1　求下列函数的极值．
(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝x2e－x.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e－2.

例2　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
反思与感悟　讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
类型二　利用函数的极值求参数
例3　已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值点求参数
答案　D
解析　若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
所以f(x)在(－∞，a)上是减少的，在(a，－1)上是增加的，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上是减少的，在(a，＋∞)上是增加的，与题意不符，故选D.
反思与感悟　已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
跟踪训练3　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值点求参数
解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1，
∴∴
解得
(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，
且定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.
1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　D
解析　根据导函数图像知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　D
解析　函数f(x)＝＋ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－，
令f′(x)＝0，即－＝0得，x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
3．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　判断极值点的个数
答案　0
解析　因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－2
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得则a＋b＝－2.
5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
解　(1)f′(x)＝2ax＋，
由题意得　即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得，f′(x)＝x－＝＝.
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．
f(x)极小值＝f(1)＝.

1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
一、选择题
1．下列函数中x＝0是极值点的函数是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝－cos x
C．y＝sin x－x D．y＝
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　B
解析　A中，y′＝－3x2≤0恒成立，所以函数在R上是减少的，故无极值点．B中，y′＝sin x，当－π2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　)
A．－e B．1－e
C．－1 D．0
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　C
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　C
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
∵函数f(x)有极大值和极小值，
∴f′(x)＝0有两个不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
∴a<－3或a>6.
4．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　B
解析　因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
所以f′(x)＝6x2－30x＋36
＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)>0，得x<2或x>3.
5．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则(　　)
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　D
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
6．设a考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　C
解析　y′＝(x－a)(3x－a－2b)，
由y′＝0得x1＝a，x2＝.
当x＝a时，y取得极大值0，
当x＝时，y取得极小值且极小值为负，故选C.
7．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)
A. B.
C. D.
考点　函数某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　B
解析　f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，
∴x＝kπ，k∈Z，
当2kπ0，f(x)是增加的，
当(2k－1)π∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，
∵x∈(0,2 017π)，∴0<(2k＋1)π<2 017π，
∴0≤k<1 008，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为
S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 015π)
＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 015π
＝＝，故选B.
二、填空题
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点　函数某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴在极值点处的切线方程为y＝－.
9．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
令f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×4＝0，∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.
∴函数f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
10．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是_______．
考点　
题点　
答案　6
解析　依题意，f(x)的递减区间为(－1,1)．
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1.
由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，故b＝4.
∴f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
11．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　(－∞，－1)
三、解答题
12．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数函数求极值
解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为单调减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
13．已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
解　f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，得x＝－m或x＝m.
又m>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m

m

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)有极大值f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4
＝－，∴m＝1.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　②③
解析　设g(x)＝x3－6x2＋9x，
令g(x)＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，其图像如图(1)所示．
要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，需将g(x)的图像向下平移，如图(2)所示．
又由f′(x)＝3x2－12x＋9＝0，得x1＝1，x2＝3，
易知f(1)是极大值，f(3)是极小值．
由图(2)可知f(0)·f(1)<0，f(0)·f(3)>0.
15．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值的综合应用
(1)解　易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
因此函数f(x)在(0,1)上是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的．
故x＝1是f(x)的极小值，所以f(x)在x＝1处取得极小值.
(2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2
＝＝.
当x>1时，F′(x)<0，故f(x)在区间[1，＋∞)上是减少的，
又F(1)＝－<0，所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方．
2．2　最大值、最小值问题
第1课时　函数的最大值、最小值的求法
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最值点与最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
梳理　(1)最值点
①最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
②最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．
(2)最值
函数的最大值与最小值统称为最值．
(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．函数的最大值不一定是函数的极大值．(　√　)
2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　×　)
3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　×　)
类型一　求函数的最值

例1　求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0,2]上的最大值与最小值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　f′(x)＝－x(x>－1)，
令－x＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当00，函数f(x)是增加的；
当1所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值．
又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1，所以f(1)>f(2)>f(0)，
所以函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，最大值为ln 2－.
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练1　求下列函数的最值．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当f′(x)>0时，x<2，
当f′(x)<0时，x>2.
所以f(x)在(－∞，2)上是增加的，在(2，＋∞)上是减少的，
所以f(x)无最小值，f(x)max＝f(2)＝.
(2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得x＝π或x＝π.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝π－，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
解　因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上是增加的，g(x)min＝g(0)＝1－b.
(2)若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上是减少的，
在区间[ln(2a)，1]上是增加的，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上是减少的，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为1－b；
当当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为e－2a－b.
引申探究　
1．若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
解　因为a＝1，b＝－2，
g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，
又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，
因为x∈[0,1]，解得x＝ln 2，
所以当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，
故g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
2．当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．
解　当b＝0时，因为f(x)＝ex－ax2－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，
又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上是增加的，
g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意．
(2)若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上是减少的，
在区间[ln(2a)，1]上是增加的，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，
解得a＝，不符合题意，舍去．
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上是减少的，
g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝.
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增加的；
(2)求f(x)在[1，＋∞)上的最小值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
(1)证明　f(x)＝x2－2ln x，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增加的．
(2)解　f′(x)＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增加的，最小值为f(1)＝1.
当a>0时，f(x)在上是减少的；
f(x)在上是增加的．
若≤1，即0又f(1)＝1，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为1.
若>1，即a>2，则f(x)在上是减少的，在上是增加的，
又f＝－ln ，
所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为－ln .
综上，当a≤2时，f(x)在[1，＋∞)上的最小值为1；
当a>2时，f(x)在[1，＋∞)上的最小值为－ln .
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝31．如图所示，函数f(x)导函数的图像是一条直线，则(　　)
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　C
解析　由导函数图像可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1? [－3,0]．
所以f(x)在[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
3．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值；
④f(x)有最大值，无最小值．
A．①③ B．①②③
C．② D．①②④
考点　
题点　
答案　D
解析　由f(x)>0，可得(2x－x2)ex>0，∵ex>0，
∴2x－x2>0，∴0或x<－，由f′(x)>0，得－4．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　－37
解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由题意知，在区间[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，
∴f(x)min＝－37.
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
解　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，
f(x)在x2＝2处取得极小值，f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4.
因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
一、选择题
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求导数
答案　A
解析　因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
又x∈(－1,1)且1? (－1,1)，
∴函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)
A．2 B．3
C. D．2＋
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,5]时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　)
A．2 B．1 C. D．0
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　A
解析　∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点．
又∵f′(x)＝acos x＋cos 3x，
∴f′＝acos＋cos π＝0，解得a＝2.
经验证，a＝2符合题意．
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　A
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减少的，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.或－
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　C
解析　由题意知a<2，令f′(x)＝－2x－2＝0，
则x＝－1.
当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去)．
所以a＝－.
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．15 B．－15
C．10 D．－13
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
答案　D
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3，
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在区间[－1,0)上是减少的，在区间(0,1]上是增加的，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
二、填空题
8．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　2　－2
解析　f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
由f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
9．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图像上的点(1，f(1))处的切线方程是_________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　15x－3y－2＝0
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
10．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　
解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
所以f(x)在上是增函数，
故f(x)的最大值为f＝，f(x)的最小值为f(0)＝.
11．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　1
解析　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln a－1＝－1，
解得a＝1.
12．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值与零点问题
答案　(－∞，2ln 2－2]
解析　由题意知ex－2x＋a＝0有根，即a＝2x－ex有解，
令g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，
令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.
而g(x)在(－∞，ln 2)上是增加的，
在(ln 2，＋∞)上是减少的，
∴g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2，
∴a≤2ln 2－2.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)f′(x)＝－2bx.
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上是增加的，在(1，e]上是减少的，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　由f(x)＝x3－x2－x＋m，
可得f′(x)＝x2－2x－1，
令x2－2x－1＝0，可得x＝1±.
当x∈(1－，1＋)时，f′(x)<0，
即函数f(x)在(1－，1＋)上是减函数，
即f(x)在[0,1]上为减函数，故f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，所以－1－1＋m＝，解得m＝2.
15．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的．
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上是增加的，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)是增加的，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)是减少的，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减少的，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
第2课时　最大值、最小值的实际应用
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．
知识点　生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(3)解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　与最值有关的恒成立问题
例1　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为
解得
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调增区间为，(1，＋∞)；单调减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)只需c2>f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
引申探究　
若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)解　由例题解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c>c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)所以只需c2>f(1)＝c－，即2c2－2c＋3>0，
解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练1　已知函数f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　(－∞，4]
解析　由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤4.
类型二　实际生活中的最值问题

例2　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
解　∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×
＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴底面边长为x＝20(cm)，
高为(30－x)＝10(cm)，
即高与底面边长的比值为.
引申探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解　∵AE＝x，∴HE＝x.
∵EF＝60－2x，
∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)．
∴S侧＝4×HE×EG＝4×x×(30－x)
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152.
∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.
反思与感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
跟踪训练2　已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　
解析　设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
∵V′(r)只有一个极值点，
∴当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，
圆柱的高h为.

例3　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9(或x＝－9舍)，
当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得极大值也为最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6，
当x>10时，W＝98－≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7 x，即x＝时，Wmax＝38.
综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故当x＝5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8 B.
C．－1 D．－8
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解生活中的其他最值问题
答案　C
解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．当x∈(0,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，＋∞) B．[－6，－5]
C．[－6，＋∞) D．[－4，－3]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　C
解析　∵x>0，∴a≥－－恒成立．
令＝t，∵x∈(0,1]，∴t≥1，
∴a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，则g′(t)＝1－8t－9t2，
易知g′(t)图像的对称轴是t＝－＝－，
∴函数g′(t)在[1，＋∞)上是减少的．
又g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立，
∴g(t)在[1，＋∞)上是减少的，
∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6.
3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，
得P＝30或P＝－130(舍)．
所以当P＝30时，f(P)取得极大值也为最大值．
故当P＝30时，毛利润最大，
所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　160
解析　设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴当x＝2时，ymin＝160(元)．
5．已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　由2xln x≥－x2＋ax－3(x>0)，
得a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的．
∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤h(x)min＝4.
1．恒成立问题可转化为函数最值问题．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
一、选择题
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　B
解析　设圆锥的高为h cm,0∴V圆锥＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h
∴V′＝π(400－3h2)，令V′(h)＝0得h＝，
当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
故当h＝时，体积最大．
2．某工厂生产的机器销售收入y1(万元)与产量x(千台)的函数关系为y1＝17x2，生产总成本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)
A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　设利润为y，则y＝17x2－2x3＋x2＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)，易知递增区间为(0,6)，递减区间为(6，＋∞)，∴当x＝6时，利润最大．
3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　A
解析　由f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)
A．0≤a<1 B．0C．－1考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－3a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，这表明f(x)在(0,1)上是增加的，所以f(x)在(0,1)内无最值，显然不可能．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±，易知f(x)在x＝处取得唯一的极小值，故极小值点在(0,1)内，所以0<<1，即0综上所述，a的取值范围为(0,1)．
5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
考点　与最值有关的其他问题
题点　与最值有关的其他问题
答案　B
解析　设P(x，x2－ln x)，则点P到直线y＝x－2的距离d＝＝.
设g(x)＝x2－x－ln x＋2(x>0)，
则g′(x)＝＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，
则当x＝1时，g(x)取得极小值也是最小值，且g(1)＝2，
所以dmin＝.
6．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为(　　)
A．1 B. C. D.
考点　与最值有关的其他问题
题点　与最值有关的其他问题
答案　D
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－ln x(x>0)，
则F′(x)＝2x－.
令F′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，
易知F(x)在x＝处取得最小值，即当|MN|取最小值时，t的值为.
7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．4∶1
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　A
解析　设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝.
由题意知，当表面积S最小时所用材料最省．
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋.
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
当r＝时，h＝＝.
则h∶r＝2∶1时，表面积S最小．
二、填空题
8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　80
解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
y＝·
＝x2＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数是减少的；当x∈(80,120]时，y′>0，该函数是增加的，所以当x＝80时，y取得最小值．
9．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　4
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
当0所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，
|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈(0,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[4，＋∞)
解析　当x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
a≥－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
11．某厂生产某种产品x件的总成本为C(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　25
解析　由题意知502＝，解得k＝25×104.
∴产品的单价P＝＝.
∴总利润L(x)＝x－1 200－x3
＝500－1 200－x3，
L′(x)＝250x－－x2，
令L′(x)＝0，得x＝25，
∴当x＝25时，总利润最大．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)由f(x)在x＝1处取得极值－3－c，知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)，
由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，所以a＝－4b＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
因此，f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.
从而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥或c≤－1.
故实数c的取值范围为(－∞，－1]∪.
13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－r，
所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－r>0，即r<，
所以定义域为(0,)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
令y′>0得2所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l＝米．
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对任意x1∈[－1,5]，存在x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．
考点　与最值有关的其他问题
题点　与最值有关的其他问题
答案　14
解析　f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
易知f(x)在[－1,2]上是减少的，在[2,5]上是增加的，
所以f(x)min＝f(2)＝8－24＋3＝－13，
g(x)＝3x－m在[0,2]上是增加的，
所以g(x)min＝g(0)＝1－m，
由题意知－13≥1－m，即m≥14.
所以m的最小值为14.
15．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值．
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，g(x)＝ln x＋(x>0)，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的递增区间．
因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0即a的取值范围是(0，e)．
滚动训练(三)
一、选择题
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，
因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
由于af(b)>f(a)．
2．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为(　　)
A．0 B.
C. D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时取得最大值．
3．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
答案　B
解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，则04．函数f(x)＝，则(　　)
A．f(x)在(0，π)上是减少的
B．f(x)在(0，π)上是增加的
C．f(x)在上是减少的
D．f(x)在上是增加的
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　A
解析　f′(x)＝＝.
设g(x)＝xcos x－sin x，
则g′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
则g′(x)<0在(0，π)上恒成立，
∴g(x)是减少的，∴g(x)即f′(x)<0在(0，π)上恒成立，
∴f(x)在(0，π)上是减少的．
5．已知f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]，则f(1)的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　B
解析　由f(x)＝x3＋3bx2＋3cx，
得f′(x)＝3x2＋6bx＋3c.
令f′(x)＝0得g(x)＝x2＋2bx＋c＝0.
∵x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]，x1，x2是g(x)＝0的两个根，
∴
又f(1)＝1＋3b＋3c＝3(b＋c)＋1，
取f(1)＝－2，得b＋c＝－1，则b＝－c－1，
将b＝－c－1代入上面不等式组中得到－1≤c≤0，不等式组有解，说明f(1)＝－2满足，所以可排除A，D.
再取f(1)＝－8，同理可得不等式组无解，故可排除C.
故选B.
6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数的图像确定原函数图像
答案　B
解析　从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
7．对于函数f(x)与g(x)和区间E，如果存在x0∈E，使|f(x0)－g(x0)|<1，则称函数f(x)与g(x)在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间(0，＋∞)上“互相接近”的是(　　)
A．f(x)＝x2，g(x)＝2x－3
B．f(x)＝，g(x)＝x＋2
C．f(x)＝ex，g(x)＝x
D．f(x)＝ln x＋1，g(x)＝x
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　D
解析　对于A，f(x)－g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴不存在x0∈(0，＋∞)，使|f(x0)－g(x0)|<1，
∴A不满足．
对于B，g(x)－f(x)＝x＋2－＝2＋≥1，∴不存在x0∈(0，＋∞)，使|f(x0)－g(x0)|<1，∴B不满足．
对于C，设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x，则h′(x)＝ex－1>0，函数h(x)在(0，＋∞)上是增加的，又h(0)＝1，∴h(x)>1，∴不存在x0∈(0，＋∞)，使|f(x0)－g(x0)|<1，∴C不满足．
对于D，设h(x)＝g(x)－f(x)＝x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝1－，令h′(x)>0，可得x>1；令h′(x)<0，可得0二、填空题
8．已知定义在R上的函数f(x)可导，y＝ef′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的递增区间是________．
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图像确定原函数图像
答案　(－∞，2)
解析　由题意知当x∈(－∞，2)时，f′(x)≥0，故函数y＝f(x)的递增区间是(－∞，2)．
9．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，
∴m＋＝，∴m＝2.
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数，如图是f′(x)的大致图像，若f(x)的极大值与极小值的和等于，则f(0)的值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　
解析　∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，
由导函数图像可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，
∴函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f(0))对称，
由f(x)的极大值与极小值之和为，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)，
∴＝2f(0)，则f(0)的值为.
11．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c三、解答题
12．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得
y＝(10－x)＋ln x＝ln x－x＋1,1≤x≤9，
∴y′＝－，令y′＝0，得x＝4.
由y′>0，得1≤x<4，由y′<0，得4故y在[1,4)上是增加的，在(4,9]上是减少的，
∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝ln 4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
即厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．
13．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘
∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.
∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[e，＋∞)
解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝或0(舍)，
当00；
当x>时，g′(x)<0，
∴当x＝时，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e.
15．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值；
(3)求证：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N＋)．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
(1)解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，
所以f′(x)＝＋＝，
所以f′(0)＝2，
又f(0)＝0，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为2x－y＝0.
(2)解　f′(x)＝＋
＝(x>－1)．
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值．
若－a－1>－1，即a<0，
当－1当x>－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，
极小值为ln(－a)＋a＋1.
(3)证明　当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，
所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.
令x＝(n∈N＋)，
则ln≥＝，
所以ln≥.
又因为－＝>0，
所以>，
所以ln>，
所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.
章末复习
学习目标　1.梳理构建本章知识网络.2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法.3.能求函数的单调区间、极值及最值.4.进一步体会导数的应用．
1．函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
在这个区间内，函数y＝f(x)是增加的
f′(x)<0
在这个区间内，函数y＝f(x)是减少的
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
(1)求出导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，
(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．
②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．
③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
3．函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
类型一　构造法的应用

例1　已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且sin x·f′(x)>cos x·f(x)恒成立，则(　　)
A.f>f B.f>f
C.f>2f D.f考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　D
解析　由f′(x)sin x>f(x)cos x，
得f′(x)sin x－f(x)cos x>0，
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝.
当x∈时，g′(x)>0，
即函数g(x)在上是增加的，
∴g故选D.
反思与感悟　用构造法比较函数值的大小的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小．
跟踪训练1　已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f，b＝－f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　B
解析　令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g＝g(ln 2)，
∴g(－)
例2　已知定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　C
解析　设g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上是减少的．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.
反思与感悟　构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练2　定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意的x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为_______．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　(0,10)
解析　∵f′(x)<，∴f′(x)－<0，
∴f(x)－在R上为减函数．
设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数．
∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0.
由f(lg x)>，得f(lg x)－>0，
∴F(lg x)>F(1)．
∵F(x)在R上是减少的，∴lg x<1，∴0∴原不等式的解集为(0,10)．
类型二　利用导数研究函数的单调性
例3　已知函数f(x)＝ax－－2ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　(1)f′(x)＝a＋－＝(x>0)．
①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
②当a>0时，令g(x)＝ax2－2x＋a，
∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，
∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴a≥在区间[1，＋∞)上恒成立．
令u(x)＝，x∈[1，＋∞)．
∵u(x)＝≤＝1，
当且仅当x＝1时取等号．
∴a≥1.
∴当a≥1时，函数f(x)是增加的．
∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．
(2)由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
③当0解得x＝或x＝.
∴函数f(x)在，上是增加的，在上是减少的．
反思与感悟　利用导数研究函数单调性应注意以下几点
(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练3　设函数f(x)＝ln x＋x2－2ax＋a2，a∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1,3]上不存在单调增区间，求实数a的取值范围．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　存在递增(或递减)区间
解　(1)当a＝2时，f(x)＝ln x＋x2－4x＋4(x>0)，
f′(x)＝＋2x－4＝，
令f′(x)>0，解得x>或x<，
令f′(x)<0，解得故f(x)在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的．
(2)f′(x)＝＋2x－2a＝，x∈[1,3]，
设g(x)＝2x2－2ax＋1，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调增区间，
必有g(x)≤0，
于是解得a≥.
即实数a的取值范围为.
类型三　函数的极值、最值与导数
例4　已知函数f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]，g(x)＝，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点　导数在最值中的应用
题点　已知最值求参数
(1)解　当a＝1时，f(x)＝2x－ln(2x)，f′(x)＝2－＝，x∈(0，e]，
当0当0，此时f(x)是增加的．
所以f(x)的极小值为f＝1，
故f(x)的单调减区间为，单调增区间为，f(x)的极小值为f＝1，无极大值．
(2)证明　令h(x)＝g(x)＋＝＋，
h′(x)＝，x∈(0，e]，
当00，此时h(x)是增加的，
所以h(x)max＝h(e)＝＋<1，
由(1)知f(x)min＝1，
所以在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
(3)解　假设存在实数a，使f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2a－＝，x∈(0，e]，
①当a≤0时，因为x∈(0，e]，
所以f′(x)<0，f(x)在(0，e]上是减少的，
所以f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，
解得a＝(舍)；
②当0<时，f(x)在上是减少的，在上是增加的，
所以f(x)min＝f＝1－ln＝3，
解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0所以f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，
解得a＝(舍)．
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小值为3.
反思与感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；
(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)∵f′(x)＝－＋＝，
当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴当x＝1时，f(x)的极小值为1，无极大值．
f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)∵f′(x)＝(a≠0，a∈R)．
令f′(x)＝0，得x＝，
若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，
其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.
(ⅰ)当x＝<0，即a<0时，f′(x)<0对x∈(0，＋∞)成立，
∴f(x)在区间(0，e]上是减少的，
故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e
＝＋a，由＋a<0，得a<－；
(ⅱ)当x＝>0，即a>0时，
①若e≤，则f′(x)≤0对x∈(0，e]成立，
∴f(x)在区间(0，e]上是减少的，
∴f(x)在区间(0，e]上的最小值为
f(e)＝＋aln e＝＋a>0，
显然，f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．
②若1<，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln ，
由f＝a＋aln ＝a(1－ln a)<0，
得1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．
综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知，a∈∪(e，＋∞).
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　对于B，y′＝(xex)′＝(1＋x)ex，x∈(0，＋∞)，
则y′>0，y＝xex在(0，＋∞)上是增函数，故选B.
2．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　C
解析　由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，
可得解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝x3－3x2＋2x.
f′(x)＝3x2－6x＋2，
由方程3x2－6x＋2＝0，可得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝.
3．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　A
解析　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上是减少的或g(x)为常函数．
∵a4．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
∴x＝是f(x)的极小值点．
∴得1≤a<.
5．已知函数f(x)＝x(x2－ax＋3)．
(1)若x＝是f(x)的极值点，求f(x)在区间[－1,4]上的最大值与最小值；
(2)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)由f(x)＝x3－ax2＋3x，
得f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由已知得f′＝0，解得a＝5，
∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1



3
(3,4)
4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－9
↗

↘
－9
↗
－4
∴函数f(x)在[－1,4]上的最小值是－9，最大值是.
(2)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由f(x)在[1，＋∞)上是增加的，得3x2－2ax＋3≥0，
即a≤，
要使上式成立，只要a≤min即可，
设g(x)＝x＋(x≥1)，
由于g(x)在[1，＋∞)上是增加的，
∴g(x)min＝2，∴a≤3，
即实数a的取值范围是(－∞，3]．
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
一、选择题
1．函数f(x)＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内f′(x)大于或等于0(不恒为0)即可．∴只有选项B符合题意．
2．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　A
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
3．若函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的一个极值点为x＝1，则f(x)的极大值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　C
解析　f′(x)＝(x2＋ax－1＋2x＋a)ex－1，
由f′(1)＝0，即1＋a－1＋2＋a＝0，解得a＝－1，
∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1，
则函数的极值点为x1＝－2，x2＝1，
当x<－2或x>1时，f′(x)>0，函数是增函数，
当x∈(－2,1)时，函数是减函数，
∴f(x)极大值＝f(－2)＝5e－3.
4.已知定义在R上的函数f(x)的图像如图，则x·f′(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(1,2)
B．(1,2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据单调性确定导数值的正负号
答案　A
解析　不等式x·f′(x)>0等价于当x>0时，f′(x)>0，即当x>0时，函数是增加的，此时15．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　C
解析　由题意知f′(x)＝－x＋≤0，x∈(－1，＋∞)，
即f′(x)＝≤0，
即－x2－2x＋b＝－(x＋1)2＋1＋b≤0，
∴1＋b≤0，b≤－1.
6．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求函数中参数的取值范围
答案　B
解析　由f(x)－m≥0得f(x)≥m，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
此时，函数f(x)是增加的，
所以f(1)≤f(x)≤f(e)．
即1≤f(x)≤e2－2，
要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，
则有m≤e2－2.
7．定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>1－f(x)，f(0)＝6，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(3，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　A
解析　不等式exf(x)>ex＋5可化为exf(x)－ex－5>0.
设g(x)＝exf(x)－ex－5，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
所以函数g(x)在定义域R上是增加的．
又g(0)＝0，所以g(x)>0的解集为(0，＋∞)．
二、填空题
8．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调增区间为_________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　(－∞，－1)和(1，＋∞)
解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±.
由题意得f()＝2，f(－)＝6，得a＝1，b＝4.
由f′(x)＝3x2－3>0，得f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
9．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是_______．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　c解析　f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos x≥0，
故f(x)在上是增函数，
因为>π－2>1>π－3>0，
所以f(π－2)>f(1)>f(π－3)．即c10．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是增加的，则实数m的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－1,0]
解析　f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上是增加的，
所以解得－111．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[1，＋∞)
解析　由f(x)>1，得ax－ln x>1，
∵x>1，∴原不等式转化为a>，
设g(x)＝(x>1)，得g′(x)＝，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
则g(x)在(1，＋∞)上是减少的，则g(x)∵a>在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥1.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　求函数的最值
解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9，
令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，
∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
当x∈(－1,3)时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－1,2]上是增加的．
又由于f(x)在[－2，－1)上是减少的，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即f(x)的最小值为－7.
13．已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x>1时，x2＋ln x<x3.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
(1)解　f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，
所以2－＝0，则a＝4.
此时f′(x)＝x－＝，
因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，
所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.
(2)解　因为f′(x)＝x－＝，
所以当a≤0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
所以函数f(x)的单调增区间为(，＋∞)；单调减区间为(0，)．
(3)证明　设g(x)＝x3－x2－ln x(x>1)，
则g′(x)＝2x2－x－，
因为当x>1时，g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝>0，
所以当x>1时，x2＋ln x<x3.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是_________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　求不等式的解集
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　令g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝.
∵当x>0时，>0，即g′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)，此时f(x)>0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)<0的解集为(－1,0)，此时f(x)>0.
由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0)．
又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，
∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
15．设函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调增区间，求a的取值范围；
(2)当0考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　(1)已知f(x)＝－x3＋x2＋2ax，
则f′(x)＝－x2＋x＋2a，
由于函数f(x)在上存在单调增区间，
即导函数在上存在函数值大于零的部分，
故f′＝－2＋＋2a>0，即a>－.
即实数a的取值范围为.
(2)已知0而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图像开口向下，且对称轴为x＝，
则f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a>0，
f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12<0，
则必有一点x0∈[1,4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上是增加的，在[x0,4]上是减少的，
因为f(1)＝－＋＋2a＝＋2a>0，
所以f(4)＝－×64＋×16＋8a＝－＋8a<0.
所以f(4)＝－＋8a＝－，即a＝1.
此时，由f′(x0)＝－x＋x0＋2＝0，
得x0＝2或－1(舍去)，
即f(x)在[1,2]上是增加的，在[2,4]上是减少的．
所以函数f(x)max＝f(2)＝.
§2　导数在实际问题中的应用
2．1　实际问题中导数的意义
学习目标　1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．
知识点　实际问题中导数的意义
(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数．
瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度．
(2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数．
(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
(4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．
1．对功关于时间的函数，W′(t)就是表示t s内的功率．(　×　)
2．气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度．(　√　)
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．(　√　)
类型一　导数在函数图像中的应用
例1　如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是(　　)
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在函数图像中的应用
答案　D
解析　选项A表示面积的增速是常数，与实际不符，选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符．选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符．选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.
反思与感悟　解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像．
跟踪训练1　如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是________________．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在函数图像中的应用
答案　①→B　②→A　③→D　④→C
类型二　导数在实际问题中的应用

例2　某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)＝2t3－5t2，则当t＝2时，汽车的加速度是________ m/s2.
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在物理学中的应用
答案　14
解析　汽车的速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以汽车的加速度为v′(t)＝12t－10，则v′(2)＝14 m/s2.
反思与感悟　(1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值．
(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)．
(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．
跟踪训练2　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在物理学中的应用
解　(1)当t从1 s变到3 s时，
功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，
此时功W关于时间t的平均变化率为
＝＝5(J/s)．
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.
(2)首先求W′(t)，根据导数公式和求导法则可得
W′(t)＝3t2－12t＋16，
W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.
W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.

例3　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在经济生活中的应用
解　当x从10件提高到20件时，
总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究　
若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
解　因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
反思与感悟　实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．
跟踪训练3　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在经济生活中的应用
解　(1)产量为1 000台时的总利润为
c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600
＝5 000 600(元)，
平均利润为＝5 000.6(元)．
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
＝＝2 000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，
∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．
c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．
c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．
c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.
1．在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示(　　)
A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在气象学中的应用
答案　A
解析　f′(t)表示t时刻的降雨强度．故选A.
2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是(　　)
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　C
解析　∵h′(t)＝－200t＋800，
∴当t＝2时，h′(2)＝400.
3．圆的面积S关于半径r的函数关系式是S(r)＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(　　)
A．6 B．9 C．9π D．6π
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　D
解析　∵S′(r)＝2πr，
∴S′(3)＝2π×3＝6π.
4．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　C
解析　∵s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.
5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是_____．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　4　边长每增加一个单位，周长增加4个单位

1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．
2．实际问题中导数的意义
(1)功关于时间的导数是功率．
(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．
(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．
(4)路程关于时间的导数是速度．
(5)速度关于时间的导数是加速度.
一、选择题
1．吹气球时，气球的体积V(r)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，当半径为2 dm时体积的瞬时变化率为(　　)
A.π B．4π C．12π D．16π
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　D
解析　∵V′(r)＝4πr2，∴V′(2)＝4π·22＝16π，∴气球的体积V(r)在半径为2 dm时的瞬时变化率为16π.
2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　)
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　C
解析　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
考点　导数在某点处的导数的几何意义
题点　导数在经济生活中的应用
答案　B
解析　因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0.
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是(　　)
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在函数图像中的应用
答案　A
解析　根据变化率的大小判断．
5．细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为(　　)
A．2x B．3x C．4x D．5x
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　C
解析　设m(x)＝kx2，
当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.
∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.
6．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　　)
A．成正比，比例系数为C
B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C
D．成反比，比例系数为2C
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　D
解析　根据题意知，V＝πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)．∵球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
二、填空题
7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　
解析　s′＝6t＋1＝10，∴t＝.
8．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝t2＋t－80，t∈[0,30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是__________________．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　　t＝15 s时的电流强度为 C/s
9．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)的函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年．(1.0510≈1.628，ln 1.05≈0.049，结果精确到0.01)
考点　导数在实际问题中的应用
题点　导数在经济生活中的应用
答案　0.08
解析　因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．因为p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，所以p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08.因此，在第10个年头，这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨．
10．如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　25 000π
解析　∵面积S＝πr2，半径r＝50t，∴S＝2 500πt2.
令r＝50t＝250，∴t＝5，
又S′＝5 000πt，
∴当t＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.
三、解答题
11．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
解　(1)T(10)－T(0)＝＋15－－15＝－16 ℃，
所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)由已知得T′(t)＝，所以T′(5)＝－1.2，它表示t＝5 min时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.
12．江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2 L，即与船相对于水的速度的平方成正比．
(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；
(2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
解　(1)船的实际速度为(x－6) km/h，
故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝＝(x>6)．
(2)f′(x)＝3·＝，
f′(36)＝＝2.88()，
f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时，耗油量增加的速度为2.88 ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.
四、探究与拓展
13．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．
求：(1)t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)求t＝20时的瞬时速度
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
解　(1)因为Δs＝s(20.1)－s(20)
＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)
＝21.05(m)，
所以＝＝210.5(m/s)．
(2)因为s′＝10＋10t，
所以当t＝20时，s′＝10＋10×20＝210(m/s)，
即当t＝20时的瞬时速度为210 m/s.
14．水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度．
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
解　设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，则V＝20t，V＝πr2h(r如图所示)．
由图知＝，∴r＝h，
∴V＝π·2·h3＝h3，
∴20t＝h3，∴h＝ ，
于是h′＝ ··t－，
当h＝10时，t＝，此时h′＝，
∴当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数y＝4x在[1,2]上的平均变化率是(　　)
A．1 B．2 C．6 D．12
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　D
解析　＝＝12.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．4
考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　B
解析　求导后导函数为奇函数，故选B.
3．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为(　　)
A．(0，－1)或(1,0)
B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2)
D．(1,0)或(2,8)
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　B
解析　设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴y＝0或－4.
∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
4．函数f(x)＝xsin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为(　　)
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　C
解析　∵f(x)＝xsin x，∴f′(x)＝sin x＋xcos x，
∴f′(－x)＝－sin x－xcos x＝－f′(x)，
∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.
5．函数y＝的导数为(　　)
A.＋1 B.－1
C.＋1 D.－1
考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　D
解析　∵y＝2－x＋3－2，
∴y′＝2·－1－2··
＝3＋－1＝－1.
6．已知函数f(x)＝xln x，若f(x)在x＝x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值为(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．不存在
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　A
解析　因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1.由题意，得x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)．
7．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　由归纳推理得，若f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数．
8．在函数y＝x3－8x的图像上，切线的倾斜角小于的切点中，横坐标为整数的点的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　D
解析　由y′＝3x2－8，得0≤3x2－8<1，则≤x2<3，x∈Z，无解．
9．设函数f(x)＝x3＋x2＋4x－1，θ∈，则f′(－1)的取值范围是(　　)
A．[3,4＋] B．[3,6]
C．[4－，6] D．[4－，4＋]
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ＋4，
将x＝－1代入导函数，得
f′(－1)＝sin θ－cos θ＋4＝2sin＋4，
由θ∈，可得θ－∈，
∴sin∈，∴f′(－1)∈[3,6]．
10．(2017·江西新余模拟)曲线f(x)＝ex－xf(0)＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝ex＋2e－ B．y＝ex－2e－
C．y＝ex－1 D．y＝ex－
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　D
解析　由题意知f′(x)＝ex－f(0)＋x，
所以f′(1)＝e－f(0)＋1，解得f(0)＝1，
所以f(x)＝ex－x＋x2，
令x＝0，得f(0)＝e0，所以f′(1)＝e，
再令x＝1得f(1)＝e1－1＋，
所以f(1)＝f′(1)－＝e－，
所以切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y＝ex－.
11．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.
令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，
即2f′(2)＝－，∴f′(2)＝－，故选D.
12．已知曲线f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1,0)
B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　B
解析　∵对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，
∴曲线y＝f(x)的切线的斜率不可能为－1，
即f′(x)＝2sin xcos x＋2a＝sin 2x＋2a＝－1无解．
∵0≤sin 2x＋1＝－2a≤2，
∴当－1≤a≤0时，sin 2x＋2a＝－1有解，
∴对任意实数m，若直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，
则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设函数f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝________.
考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　－4x＋3
解析　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f′(x)＝a.由f(1)＝－1得a＋b＝－1，由f′(2)＝－4得a＝－4，∴b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
14．如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点(4,5)处的切线，则f′(4)＝________.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　
解析　根据题图可知直线l过点(0,3)，又直线l过点(4,5)，所以直线l的斜率为＝，f′(4)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(4,5)处的切线l的斜率，故f′(4)＝.
15．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝1－e－x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　γ>α>β
解析　g′(x)＝1，由g(x)＝g′(x)＝1，得x＝1，即α＝1；h′(x)＝′＝e－x，由1－e－x＝e－x，解得x＝ln 2，即β＝ln 2；φ′(x)＝－sin x，由φ(x)＝φ′(x)，得sin x＋cos x＝sin＝0，解得x＝，即γ＝，所以γ>α>β.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　－2
解析　∵y′＝(n＋1)xn，∴当x＝1时，y′＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得切线与x轴交点的横坐标xn＝，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg＝lg ＝－2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)t＝2时质点的瞬时速度．
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
解　(1)∵Δs＝s(3)－s(2)＝(3×32＋2×3＋1)－(3×22＋2×2＋1)＝17，∴＝＝17，即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17 m/s，它的实际意义是质点在此段时间的平均速度为17 m/s.
(2)∵s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14，即t＝2时质点的瞬时速度为14 m/s.
18．(12分)求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xcos x；(2)y＝；(3)y＝.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
解　(1)y′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝6x＋x′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝＝
＝＝.
(3)∵y＝＝－＋
＝x－1－2x－2＋5x－3，
∴y′＝－x－2－2×(－2)x－3＋5×(－3)x－4
＝－＋－.
19．(12分)(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；
(2)过曲线y＝f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　(1)由题意得f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，
∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，
其方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
(2)求导函数y′＝3x2－2，设切点坐标为(m，m3－2m)，
则切线方程为y－(m3－2m)＝(3m2－2)(x－m)，
∵点(1，－1)在切线上，
∴－1－(m3－2m)＝(3m2－2)(1－m)，
则2m3－3m2＋1＝0，
∴(m－1)2(2m＋1)＝0，
∴m＝1或m＝－.
当m＝1时，切线方程为x－y－2＝0；
当m＝－时，切线方程为5x＋4y－1＝0.
20．(12分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
解　(1)f′(x)＝a－，
于是
解得或
因为a，b∈Z，所以
所以f(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，
f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，
所以过点的切线方程为y－＝(x－3)，
即3x－4y＋5＝0.
所以切线与直线x＝1的交点为(1,2)，
切线与直线y＝x的交点为(5,5)，
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.
21．(12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝ln x，问是否存在x0，使得曲线y＝f(x)，y＝g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
解　(1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.
(2)由题意，得f′(x0)＝g′(x0)，且x0>0，
故f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，
解得x0＝.
故存在x0＝满足题意．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
解　(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)直线m恒过定点(0,9)，设直线m是曲线y＝g(x)的切线，切点的坐标为(x0,3x＋6x0＋12)，
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将点(0,9)代入，得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
下面验证直线y＝9和y＝12x＋9是否也为曲线y＝f(x)的切线．
由(1)得，f′(x)＝－6x2＋6x＋12，
若k＝f′(x)＝0，即－6x2＋6x＋12＝0，则x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，切线方程为y＝－18；
当x＝2时，切线方程为y＝9.
∴直线y＝9为公切线．
若k＝f′(x)＝12，即－6x2＋6x＋12＝12，则x＝0或x＝1.
当x＝0时，切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，切线方程为y＝12x－10.
∴直线y＝12x＋9不是公切线．
综上所述，公切线是直线y＝9，此时k＝0.
§2　导数的概念及其几何意义
2．1　导数的概念
学习目标　1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义．
知识点　导数的概念
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．
思考1　质点在前3 s内的平均速度是多少？
答案　8 m/s.
思考2　对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？
答案　＝.
思考3　当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
答案　是．
梳理　导数的定义及表示
(1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．
(2)记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝.
1．f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(　√　)
2．f′(x)＝≠.(　×　)
类型一　导数定义的理解
例1　(1)＝1，则f′(x0)等于(　　)
A．2 B．1 C. D．0
(2)已知f′(x0)＝2，则＝________.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的理解
答案　(1)C　(2)－1
解析　(1)∵＝1，
∴＝f′(x0)＝.
故选C.
(2)＝－＝－f′(x0)＝－1.
反思与感悟　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．
跟踪训练1　设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝a，则f′(x0)＝________.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的理解
答案　－a
解析　∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a.
类型二　求函数在某点处的导数
例2　(1)函数f(x)＝在x＝1处的导数为(　　)
A．2 B．－2 C．－1 D．1
(2)已知点P(x0，y0)是函数f(x)＝3x2图像上一点，且f′(x0)＝6，则点P的坐标为________．
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　(1)D　(2)(1,3)
解析　(1)f(x)＝1－，＝＝，
当Δx趋于0时，趋于1，故f′(1)＝1.
(2)f′(x0)＝＝(6x0＋3Δx)＝6x0＝6，∴x0＝1，y0＝3，故点P的坐标为(1,3)．
反思与感悟　求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
跟踪训练2　利用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　函数在某点处的导数的概念的理解
解　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝＝＝.
类型三　导数的实际应用
例3　某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
解　f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.
反思与感悟　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．
跟踪训练3　一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则该物体在t＝________时的瞬时速度为1.
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　
解析　设在t＝t0时的瞬时速度为1，＝＝7Δt＋14t0，当 (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
1．函数在某一点处的导数是(　　)
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
考点　导数的概念
题点　导数的概念的理解
答案　C
解析　由导数的定义可知，函数在某点处的导数是平均变化率的极限值，是个常数．
2．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则质点A在t0＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18 C．54 D．81
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
答案　B
解析　∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴＝18＋3Δt，
∴＝(18＋3Δt)＝18，故选B.
3．设函数f(x)可导，则等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3)
考点　导数的概念
题点　导数的概念的理解
答案　C
解析　
＝＝f′(1)．
4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　1
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，∴＝2a，∴a＝f′(1)＝1.
5．若f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则＝________.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　8
解析　＝2＝2f′(x0)＝8.
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
简记为一差，二比，三极限．
特别提醒：①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
一、选择题
1．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　C
解析　f′(0)＝＝＝(Δx－3)＝－3，故选C.
2．若可导函数f(x)的图像过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　B
解析　∵f(x)图像过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝＝＝－1，
故选B.
3．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　)
A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　B
解析　设在t0时刻速度为0，
则s′(t0)＝
＝
＝(－8t0＋16－4Δt)＝－8t0＋16＝0，
∴t0＝2.
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　D
解析　f′(m)＝＝－，
于是有－＝－，即m2＝4，解得m＝±2.
5．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为(　　)
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　B
解析　当t＝0时的速度，即为初速度，故初速度为＝ (3－Δt)＝3.
6．若＝k，则等于(　　)
A．2k B．k C.k D．以上都不是
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　A
解析　＝×2＝2＝2k.
7．设函数f(x)＝，则等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　C
解析　令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0，
∴＝
＝＝－.
二、填空题
8．已知函数y＝f(x)＝x＋，f′(1)＝－2，则k＝________.
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　3
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋－1－k＝Δx－，则＝1－，
∵f′(1)＝－2，∴＝1－k＝－2，∴k＝3.
9．已知y＝f(x)＝，则f′(1)＝________.
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　函数在某点处的导数的概念的理解
答案　
解析　由题意知Δy＝－
＝－，∴＝，
∴f′(1)＝＝
＝.
10．对于函数y＝(x≠0)，其导数值等于函数值的点是________．
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
答案　
解析　f′(x0)＝
＝＝－.
由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则＝________.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　－22
解析　
＝－2·
＝－2f′(x0)＝－22.
三、解答题
12．一质点的运动位移s(t)(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义．
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
解　＝＝
＝－2.
当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，
s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1 s时的瞬时速度．
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
解　由导数的定义知，
f′(x0)＝＝2x0，
g′(x0)＝＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0.
解得x0＝或x0＝.
四、探究与拓展
14．已知f′(x0)＝－2，求的值．
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
解　因为f′(x0)＝＝－2，
所以
＝－×
＝－f′(x0)＝×(－2)＝1.
15．若函数y＝f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数为8，求a，b的值．
考点　利用定义求函数在某点处的导数
题点　利用定义求函数在某点处的导数的应用
解　因为Δy＝[3(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(3×12＋a×1＋b)，
所以＝＝3Δx＋6＋a.
所以f′(1)＝＝(3Δx＋6＋a)＝6＋a＝8.
所以a＝2，b可以为任意实数．
2．2　导数的几何意义
学习目标　1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．
知识点一　割线
思考　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为，由下图你能说出它的几何意义吗？
答案　表示过点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的斜率．
梳理　割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
知识点二　导数的几何意义
如图，Bn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，A的坐标为(x0，y0)，直线AT为在点P处的切线．
思考1　割线ABn的斜率kn是多少？
答案　割线ABn的斜率kn＝.
思考2　当点Bn无限趋近于点A时，割线ABn的斜率kn与切线AT的斜率k有什么关系？
答案　kn无限趋近于切线AT的斜率k.
梳理　(1)切线的定义
若A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是曲线y＝f(x)上的点，当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．函数y＝f(x)在x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(　√　)
2．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　×　)
类型一　求切线方程

例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点为P(2,4)．
∴＝
＝＝4，
∴k＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　－3
解析　∵＝
＝(4＋Δx)＝4，∴k＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.

例2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图像上过原点的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－3x＋x0，
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0)
＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，
∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，
∴f′(x0)＝＝3x－6x0＋1.
∴切线方程为y－(x－3x＋x0)＝(3x－6x0＋1)·(x－x0)．
∵切线过原点，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0，
即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝，
故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.
类型二　利用图像理解导数的几何意义
例3　已知函数f(x)的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　C
解析　kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图像在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图像在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图像可知0反思与感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　A
解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足．
类型三　求切点坐标
例4　已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
解　对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝
＝＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或－.
引申探究
若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解　∵k1＝2x0，k2＝－3x.
根据曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
反思与感悟　求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练4　直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　　
解析　设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为f′(x0)＝
＝3x－2x0，
则f′(x0)＝3x－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，f(x0)＝x－x＋1＝1，
又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.
代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．
当x0＝－时，f(x0)＝3－2＋1＝.
将代入直线y＝x＋a中，得a＝.
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　函数在某点处的导数为0，说明函数的图像在该点处的切线的斜率为0.
2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是(　　)
A．－4 B．4 C．0 D．不存在
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　C
解析　k＝＝(－2Δx)＝0.故选C.
3.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)4．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝2x＋3，则点P的坐标为________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　(1,1)
解析　设点P(x0，y0)，则＝＝2x0，∴2x0＝2，∴x0＝1，故点P的坐标为(1,1)．
5．已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　±1
解析　∵f′(a)＝
＝＝3a2，
∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，
∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，
即y＝3a2x－2a3.
令y＝0得切线与x轴的交点为，
由题设知三角形面积为|a3|＝，
得a＝±1.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．165°
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的倾斜角
答案　B
解析　曲线y＝x2－2在点P处的切线斜率为
k＝
＝＝1，
所以在点P处的切线的倾斜角为45°，故选B.
2．下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　D
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
则当x＝x0时，y′＝＝2x0＝tan ＝1，
所以x0＝，y0＝.
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　D
解析　由图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　A
解析　由题意，知k＝＝＝a＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
5．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　D
解析　∵·
＝＝f′(1)＝－1，
∴f′(1)＝－2.
由导数的几何意义，知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.
6．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　A
解析　设切点为(x0，y0)，
因为f′(x0)＝＝(2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　)
A．－2 B．1
C. D．2
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　B
解析　由题意知，y1′＝＝，
y2′＝＝3x2－2x＋2，
所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2.
由题意可知，＝3，所以x0＝1.
二、填空题
8．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线方程为________________________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
解析　f(x)＝x－与x轴交点坐标为(1,0)，(－1,0)，
f′(1)＝
＝＝2，
同理f′(－1)＝2，
∴所求切线方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
9．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　2
解析　由题意知a＋b＝3，
又y在x＝1处的导数为＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
10．若抛物线f(x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　4
解析　设在P点处切线的斜率为k，
则k＝f′(－2)
＝＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
11．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　
解析　设点P的横坐标为x0，则
y′＝
＝＝(Δx＋2x0＋2)
＝2x0＋2.
∴曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.
由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－.
12.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则＝________.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　－2
解析　由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
三、解答题
13．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　因为y′＝
＝＝2x＋1，
所以y在x＝1处的导数等于3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
考点　曲线过某点处的切线方程
题点　求曲线过某点的切线方程
答案　y＝0或3x－y－2＝0
解析　设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，求a，b的值．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
解　∵f′(1)＝＝2a，
∴曲线y＝f(x)在点(1，c)处的切线斜率k1＝2a.
∵g′(1)＝＝3＋b，
∴曲线y＝g(x)在点(1，c)处的切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得

§1　变化的快慢与变化率
学习目标　1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．
知识点一　函数的平均变化率
下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
x(min)
0
10
20
30
40
50
60
y(℃)
39
38.7
38.5
38
37.6
37.3
36.9
思考1　观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案　不相同．
思考2　哪段时间体温变化较快？
答案　从20分钟到30分钟变化最快．
梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
知识点二　瞬时变化率
思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
答案　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
答案　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
梳理　瞬时变化率的定义及作用
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　)
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　)
类型一　函数的平均变化率

例1　求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　变化问题与变化率
题点　变化率大小的比较
解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　(1)Δx　(2)　
解析　(1)＝
＝＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图像知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.

例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即＝＝.
跟踪训练2　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC类型二　求瞬时速度
例3　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
当Δt趋于0时，趋于3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究　
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝
＝1＋Δt，
当Δt趋于0时，趋于1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
Δt趋于0时，趋于2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
跟踪训练3　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
解　质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a.
则4a＝8，∴a＝2.
1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0＋Δx)－f(x0) D．f(x0)Δx
考点　函数自变量、因变量的增量
题点　函数因变量的增量
答案　C
2．质点的运动规律满足s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)中，相应的平均速度为(　　)
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
考点　变化问题与变化率
题点　平均速度与变化率
答案　A
解析　∵Δs＝(3＋Δt)2＋3－32－3＝6Δt＋(Δt)2，
∴＝6＋Δt.
3．一质点的运动规律为s＝t2＋3t(其中位移单位：m，时间单位：s)，那么该物体在2 s时的瞬时速度是(　　)
A．5 m/s B．6 m/s C．7 m/s D．8 m/s
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
答案　C
解析　＝
＝＝Δt＋7，
当Δt趋于0时，趋于7.
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
5．已知函数y＝f(x)＝在x＝1处的瞬时变化率为－2，则实数a的值是________．
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　2
解析　＝＝－，
当Δx趋于0时，趋于－a，
∴－a＝－2，∴a＝2.
1．对瞬时速度的理解及求法
(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．
(2)当Δt在变化中趋近于0时，比值趋近于一个确定的常数，此常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．对瞬时变化率的两点说明
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：
①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
(2)“Δx无限趋近于0”的含义：
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.

一、选择题
1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
考点　函数自变量、因变量的增量
题点　函数因变量的增量
答案　B
解析　Δy＝－(2＋1)＝－.
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　C
解析　平均变化率为＝＝5.
3．自由落体运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v的值是9.8 m/s，则9.8 m/s是(　　)
A．从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．从1 s到(1＋Δt) s这段时间的平均速度
C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
考点　瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　C
解析　根据瞬时变化率的概念可得．
4．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
答案　D
解析　Δt趋于0时，(－3Δt－6)趋于－6，所以该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
5．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　B
解析　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
6.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　)
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　在t0处，有W1(t0)＝W2(t0)，
在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂治污效果较好．
7．求函数y＝x2＋1在x＝1时的瞬时变化率时，甲、乙分别选择[1＋Δx,1](Δx<0)，[1,1＋Δx](Δx>0)，得到平均变化率，当Δx→0时，得到的瞬时变化率分别为k甲，k乙，则(　　)
A．k甲C．k甲>k乙 D．以上都有可能
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　B
解析　对于甲，＝2＋Δx，对于乙，＝2＋Δx，
当Δx趋于0时，k甲＝k乙．
二、填空题
8．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　－
解析　＝＝－(℃/h)．
9．若函数y＝f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
10．正弦函数y＝sin x在区间上的平均变化率k1与它在区间上的平均变化率k2的大小关系是________．
考点　变化问题与变化率
题点　变化率大小的比较
答案　k1>k2
解析　k1＝＝，
k2＝＝，
∴k1>k2.
11．质点M按规律s＝4t2＋1(位移单位：cm，时间单位：s)做直线运动，则该质点M在t＝2 s时的瞬时速度是________ cm/s.
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
答案　16
解析　Δs＝4(2＋Δt)2＋1－(4×22＋1)＝16Δt＋4(Δt)2，所以＝＝16＋4Δt，故质点M在t＝2 s时的瞬时速度为16 cm/s.
三、解答题
12．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
解　(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)
＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－18，
当Δt趋于0时，趋于－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－12，
当Δt趋于0时，趋于－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
四、探究与拓展
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．
考点　
题点　
答案　2
解析　由AB＝t，
∴S(t)＝·OA·AB＝t·t＝t2，
∴＝＝
＝2＋Δt.
当Δt趋近于0时，趋于2.
15．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从灯在地面上的射影点C沿某直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　(1)如图所示，
设人从C点运动到B点的路程为x m，
AB为人影，AB的长度为y，
因为DC∥EB，所以＝，
即＝，所以y＝x.
(2)84 m/min＝1.4 m/s，故第一个10 s内自变量的增量Δx＝1.4×10－1.4×0＝14.
又因为Δy＝×14－×0＝，所以＝＝.
即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为.
§3　计算导数
学习目标　1.理解导函数的定义.2.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　导函数的概念
思考1　已知函数f(x)＝x2，求f′(2)，f′(1)，f′(－2)．
答案　f′(2)＝2，f′(1)＝1，f′(－2)＝－2.
思考2　对思考1中的函数f(x)，试求f′(x0)．
答案　f′(x0)＝
＝＝x0.
梳理　导函数的定义
若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．
知识点二　函数的导数公式
函数
导函数
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cos x
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝cos x
y′＝－sin x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a特别地(ex)′＝ex
y＝tan x
y′＝
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝特别地(ln x)′＝
y＝cot x
y′＝－

1．函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　√　)
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　√　)
3．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　×　)
类型一　求函数的导数

例1　(1)利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值．
(2)已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，求的值．
考点　求函数的导数
题点　利用导函数定义求导数
解　(1)∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1，
∴f′(x)＝
＝
＝(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1，
∴f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25.
(2)原式＝＝2－3＝2－3f′(3)＝8.
反思与感悟　由导数的定义知，计算函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)通过自变量在x0处的改变量Δx确定函数y＝f(x)在x0处的改变量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)确定函数y＝f(x)在x0处的平均变化率：
＝；
(3)当Δx趋于0时，得到导数：f′(x0)＝.
上述求导方法可简记为：一差，二比，三极限．
跟踪训练1　求函数y＝f(x)＝＋x的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(2)，f′(3)．
考点　求函数的导数
题点　利用导函数的定义求导数
解　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋(x＋Δx)－－x＝＋Δx－＝，则＝.
当Δx趋于0时，有
f′(x)＝＝＝＝1－.
则f′(－1)＝1－＝0，f′(2)＝1－＝，f′(3)＝.

例2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin ；(2)y＝x；(3)y＝lg x；(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
解　(1)y′＝0.
(2)y′＝xln＝－xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，∴y′＝＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思与感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
跟踪训练2　下列结论：
①(sin x)′＝cos x；②＝；
③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点　求函数的导数
题点　利用导数公式求导
答案　C
解析　∵②＝；③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.
类型二　利用导数公式研究切线问题

例3　已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　由得得两曲线的交点坐标为(1,1)．
两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝，g′(1)＝－1.
易得两切线方程分别为y－1＝(x－1)，
y－1＝－(x－1)，
即y＝x＋与y＝－x＋2.
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－(－1)|＝.
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练3　已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得y′＝＝k，①
又y0＝kx0，②
而且y0＝ln x0，③
由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝.

例4　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图像在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图像的切线有关．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练4　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.
1．下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若f(x)＝，则f′(3)＝－.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案　C
解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确．
2．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　B
解析　设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1，
∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条．
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ .
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　1
解析　f′(x)＝2x，g′(x)＝，
f′(x)－g′(x)＝1，即2x－＝1，
解得x＝1或－.因为x>0，所以x＝1.
4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　(1，e)　e
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为y在x＝x0处的导数，
则＝，①
又y0＝，②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
5．求过曲线y＝sin x上一点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　曲线y＝sin x在点P处切线的斜率为
k＝cos ＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为y－＝－，
即12x＋18y－2π－9＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
一、选择题
1．下列各式中正确的个数是(　　)
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝－；④()′＝；⑤(cos x)′＝－sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案　B
解析　∵②(x－1)′＝－x－2；
⑥(cos 2)′＝0.
∴②⑥不正确，故选B.
2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　A
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)
A. B.
C. D.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　B
解析　∵s′＝.∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(　　)
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　D
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y在x＝x0处的导数为cos x0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　C
解析　∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　D
解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. B.
C. D．1
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　B
解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)·xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
二、填空题
8．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ .
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　64
解析　∵y＝，∴y′＝－，
∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－a)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a，
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，
∴a＝64.
9．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　(1,1)
解析　y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－ (m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
10．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　4
解析　∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
11．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝ .
考点　正弦、余弦函数的导数
题点　正弦、余弦函数的运算法则
答案　cos x
解析　由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.
12．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　∪
解析　∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴α∈∪.
三、解答题
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
四、探究与拓展
14．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　21
解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
15．求证：双曲线xy＝a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
证明　设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
§4　导数的四则运算法则
学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)．
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．
答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴Q′(x)＝＝＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
梳理　和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
知识点二　积、商的导数
(1)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(2)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，
′≠.
1．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)
2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　√　)
3．当g(x)≠0时，′＝.(　√　)
类型一　利用导数的运算法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos x；(2)y＝lg x－；
(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；(4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(lg x)′－(x－2)′＝＋.
(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋.
(4)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋′＝2x＋
＝2x＋.
(5)y′＝＝＝.
反思与感悟　(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)∵y＝2－3＋x－1＋，
∴y′＝3＋－x－2－.
(2)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
类型二　导数公式及运算法则的综合应用

例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
∴f(x)＝－2x.
∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　函数f(x)＝＋2f′(1)x，则f′(0)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　1
解析　对f(x)求导，得f′(x)＝＋2f′(1)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.

例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟　(1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____.
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　(1)1　(2)4
解析　(1)∵y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
∴－＝－1，即a＝1.
(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2.
又∵f(x)＝g(x)＋x2，
∴f′(x)＝g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　y′＝＝，故y在x＝处的导数为，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　A
解析　因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　
解析　因为f′(x)＝＝(x≠0)．
所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0.
解得x0＝.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)；
(3)当f(x)＝1时，有′＝－(g(x)≠0).
一、选择题
1．下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　A
解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；
C项中，′＝，错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，错误．
2．若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　B
解析　y′＝′＝＝，
由x－a2＝0，得x0＝±a.
3．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A. B．0 C．钝角 D．锐角
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　C
解析　∵f′(x)＝exsin x＋excos x，
∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)．
∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　C
解析　∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－>0，
整理得>0，
解得－12.
又x>0，∴x>2.
5．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
令F(x)＝－xsin x，x∈R，
则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝F(x)，
∴f′(x)是偶函数．
6．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B. C．－ D．－2
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　D
解析　∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，∴y在x＝3处的导数为－.
∴－a×＝－1，即a＝－2.
7．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)等于(　　)
A. B．－
C. D．－或
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图像开口向上，
故其图像必为③.
由图像特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t＝1 s时物体的瞬时速度为________ m/s.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　5
解析　因为s(t)＝＋2t2＝－＋2t2
＝－＋2t2，
所以s′(t)＝－＋2·＋4t，
所以s′(1)＝－1＋2＋4＝5，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为5 m/s.
10．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f＝1.
11．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　x－y－1＝0
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，
∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
12．若函数f(x)＝在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为__________．
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　
解析　∵f(x)＝，∴f(a)＝.
又∵f′(x)＝′＝，∴f′(a)＝.
由题意知f(a)＋f′(a)＝0，
∴＋＝0，∴2a－1＝0，∴a＝.
三、解答题
13．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　∵f(x)的图像过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
四、探究与拓展
14．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　)
A．26 B．29
C．215 D．212
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，
∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
§5　简单复合函数的求导法则
学习目标　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
知识点一　复合函数的概念
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考1　这三个函数都是复合函数吗？
答案　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．
思考2　试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
答案　设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
梳理 　一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
知识点二　复合函数的求导法则
(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．
(2)复合函数求导的步骤
①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．
②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．
③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．
1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　×　)
2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　×　)
3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(　√　)

类型一　复合函数的概念
例1　指出下列函数的复合关系．
(1)y＝(a＋bx)x；(2)y＝ln；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3.
考点　简单复合函数的导数
题点　复合函数的概念
解　函数的复合关系分别是：
(1)y＝ux，u＝a＋bx.
(2)y＝ln u，u＝，v＝ex＋2.
(3)y＝3log2u，u＝x2－2x＋3.
(4)y＝u3，u＝sin v，v＝x＋.
反思与感悟　要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．
跟踪训练1　下列函数不可以看成是复合函数的是(　　)
A．y＝xcos x B．y＝
C．y＝(2x＋3)4 D．y＝sin
考点　简单复合函数的导数
题点　复合函数的概念
答案　A
解析　B中函数y＝是由函数f(u)＝和函数u＝φ(x)＝ln x复合而成的，其中u是中间变量；C中函数y＝(2x＋3)4是由函数f(u)＝u4和函数u＝φ(x)＝2x＋3复合而成的，其中u是中间变量；D中函数y＝sin是由函数f(u)＝sin u和函数u＝φ(x)＝－x复合而成的，其中u是中间变量．故选A.
类型二　复合函数的求导
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1；(4)y＝；
(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
解　(1)y′＝2×(3x－2)·(3x－2)′＝6×(3x－2)
＝18x－12.
(2)y′＝·(6x＋4)′＝.
(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.
(4)y′＝·(2x－1)′＝ .
(5)y′＝cos·′＝3cos.
(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
反思与感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝′
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
类型三　复合函数导数的应用
例3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
反思与感悟　复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3　曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由y＝esin x，
得y′＝(esin x)′＝cos xesin x，
即当x＝0时，y′＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝，得c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　B
解析　y′＝[xln(2x＋5)]′
＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′
＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′
＝ln(2x＋5)＋.
2．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　A
解析　f′(x)＝ex－a·e－x，
由f′(x)为奇函数可得a＝1，
故f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.
设点P(x0，f(x0))处的切线斜率为，
则－＝，解得x0＝ln 2.
3．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝2，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2 C. D．a>0
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　B
解析　由题意得f′(x)＝·(ax2－1)·2ax＝，所以f′(1)＝＝2，所以a＝2.故选B.
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝________.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　3
解析　∵f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，
∴f′(x)＝f′·3cos 3x－3sin 3x，
令x＝可得f′＝f′×3cos －3sin 
＝f′－3×，
解得f′＝3.
5．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　e2
解析　y′＝，
切线的斜率k＝e2，
则切线方程为y－e2＝(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，
∴切线与坐标轴围成三角形的面积为
×2×|－e2|＝e2.
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．
一、选择题
1．函数y＝2sin 3x的导数y′等于(　　)
A．2cos 3x B．－2cos 3x
C．6sin 3x D．6cos 3x
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　D
解析　y′＝2(cos 3x)·(3x)′＝6cos 3x.
2．已知函数f(x)＝24x－3，则f′的值是(　　)
A. B.ln 2
C．ln 2 D．1
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　C
解析　∵f′(x)＝24x－3·ln 2·(4x－3)′＝24x－1·ln 2，∴f′＝ln 2.
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　y′＝a－，由题意得当x＝0时，y′＝2，
即a－1＝2，所以a＝3.
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D．1
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　A
解析　∵当x＝0时，y′＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.
由得x＝y＝，
∴A，
则围成的三角形的面积为××1＝.
5．若f(x)＝e2xln 2x，则f′(x)等于(　　)
A．e2xln 2x＋ B．e2xln 2x＋
C．2e2xln 2x＋ D．2e2x·
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　C
解析　f′(x)＝(e2x)′ln 2x＋e2x(ln 2x)′＝2e2xln 2x＋e2x.
6．已知函数f(x)＝eax＋3x(x∈R)，a为实数，若f′(x)＝0有大于零的解，则(　　)
A．a>－3 B．a<－3 C．a>－ D．a<－
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝aeax＋3，
由aeax＋3＝0，得eax＝－(a<0)．
又f′(x)＝0有大于零的解，
∴0<－<1，∴a<－3.
7．要得到函数f(x)＝sin的导函数f′(x)的图像，只需将f(x)的图像(　　)
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
B．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
C．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　∵f(x)＝sin的导函数f′(x)＝2cos
＝2sin＝2sin，
∴将f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f′(x)＝2sin的图像．
二、填空题
8．函数y＝cos(π－3x)的导数y′＝________.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　3sin 3x
解析　∵y＝－cos 3x，
∴y′＝－(－sin 3x)·(3x)′＝3sin 3x.
9．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2
解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e1－1＝2.
10．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　1
解析　令u＝2x＋a，
则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.
11．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　(－ln 2,2)
解析　设P(x0，)，
当x＝x0时，y′＝－＝－2，得x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2,2)．
12．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2
解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＝－1，a＝2.
三、解答题
13．曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由y′＝(e2xcos 3x)′
＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
得当x＝0时，y′＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为
2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
四、探究与拓展
14．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2x－y＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，
即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　作出直线l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln(2x－1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝(2x－1)′＝.
设切点为P(x0，y0)，
所以＝2，所以x0＝1，
所以y0＝ln(2×1－1)＝0，即P(1,0)．
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，
最短距离d＝＝＝.
滚动训练(二)
一、选择题
1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．从x0到x1的平均变化率
B．在x＝x1处的变化率
C．在x＝x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率．
2．下列求导结果正确的是(　　)
A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3
C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；
对于B，(2)′＝(2)′＝2××＝3，故B正确；
对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；
对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D错误．故选B.
3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y在x＝2处的导数为5，则实数a的值为(　　)
A. B．0 C．1 D．2
考点　导数乘除法则及运算
题点　导数乘除法则及运算
答案　C
解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
由y在x＝2处的导数为(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，
解得a＝1.
4．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)
A．1 B．e C．－ D.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　设M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝，
所以切线斜率k＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e.所以k＝＝，故选D.
5．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　)
A．2 017 B．2 016 C．2 D．0
考点　导数的加减法则及运算
题点　导数的加减法则及运算
答案　C
解析　函数的导数f′(x)＝acos x＋3bx2，
则f′(x)为偶函数，则f′(2 017)－f′(－2 017)
＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0，
由f(x)＝asin x＋bx3＋1，
得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1，
f(－2 016)＝－asin 2 016－b·2 0163＋1，
则f(2 016)＋f(－2 016)＝2，
则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.
6．若函数f(x)＝tln x与函数g(x)＝x2－1在点(1,0)处有共同的切线l，则t的值是(　　)
A. B．2 C．1 D．3
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　B
解析　∵g′(x)＝2x，∴g′(1)＝2，∴切线l的斜率为2，又∵f′(x)＝，∴f′(1)＝t＝2.
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　D
解析　y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈.
8．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位为m，t的单位为h，则函数在t＝18时的导数为(　　)
A. B. C. D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单的复合函数的导数
答案　D
解析　s(t)＝3sin是由函数f(x)＝3sin x和函数x＝φ(t)＝t＋复合而成的，其中x是中间变量．
由导数公式表可得f′(x)＝3cos x，φ′(t)＝.
由复合函数求导法则得
s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos.
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝mxm－n的导数为f′(x)＝8x3，则mn＝________.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　
解析　∵函数f(x)＝mxm－n的导数为
f′(x)＝m(m－n)xm－n－1，
∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2，
由此可得mn＝2－2＝.
10．若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位为m，时间单位为s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的物理意义
答案　0.4
解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴当t＝1.2时，v＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
11．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围为________．
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　
解析　f′(x0)＝3x－3a，则3x－3a＝－1无解，
即3x－3a＋1＝0无解．
∴Δ＝0－4×3×(－3a＋1)<0，解得a<.
三、解答题
12．已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)．
(1)求该函数的导数；
(2)求该函数在x＝－2处的切线的倾斜角．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的倾斜角
解　(1)因为y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，
所以y′＝e2x＋4×(2x＋4)′－×(2x＋5)′
＝e2x＋4×2－×2＝e2x＋4－.
(2)由(1)知y′＝e2x＋4－，
所以当x＝－2时，y′＝1－2＝－1.
即该函数在x＝－2处的切线的倾斜角为135°.
13．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax，x∈R，且曲线y＝f(x)的切线的斜率的最小值为－1.
(1)求a的值；
(2)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(3)若直线l过原点，且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的斜率k的值．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　(1)∵f′(x)＝3x2－6x＋a＝3(x－1)2＋a－3，
∴切线斜率的最小值为f′(1)＝a－3＝－1，
∴a＝2.
(2)∵f′(x)＝3x2－6x＋2，
∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝－1，
∴切线方程为y＝－1×(x－1)＋13－3×12＋2×1，
即x＋y－1＝0.
(3)∵f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.
易知曲线y＝f(x)过原点．
当原点是切点时，切线斜率k＝f′(0)＝2，
当原点不是切点时，设切点为P(x0，y0)，其中x0≠0，
则切线的斜率k＝.
又k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，
∴＝3x－6x0＋2，即y0＝3x－6x＋2x0，
又∵切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，
∴y0＝x－3x＋2x0，
∴3x－6x＋2x0＝x－3x＋2x0.
∵x0≠0，∴x0＝，∴k＝f′＝－.
综上所述，k＝2或k＝－.
四、探究与拓展
14．对正整数n，设曲线y＝f(x)＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和Sn的公式是________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　Sn＝2n＋1－2
解析　∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′xn
＝nxn－1(1－x)－xn.
f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.
在x＝2处切点的纵坐标为y＝－2n，
∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．
令x＝0得切线与y轴交点的纵坐标为y＝(n＋1)·2n＝an，
∴＝＝2n，
∴是等比数列，其首项为2，公比为2，
∴前n项和为Sn＝＝2n＋1－2.
15．(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，求的值；
(2)若曲线f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
解　(1)由题意得f′(x)＝cos x－sin x＝2(sin x＋cos x)，
即－cos x＝3sin x，所以tan x＝－.
＝
＝＝＝.
(2)曲线f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
又f′(x)＝＋a，所以＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
即a＝2－在(0，＋∞)上有解，
因为x>0，所以2－<2，
所以a的取值范围是(－∞，2)．
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解导数的概念及其几何意义.3.能熟练应用公式及运算法则求导．
1．导数的概念
(1)函数在点x0处的导数
f′(x0)＝，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．
(2)导函数
f′(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．
2．导数的几何意义
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．
(2)求切线方程
常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1),由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数
①f(x)＝c，则f′(x)＝0；
②f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；
③f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
④f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；
⑤f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
⑥f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin_x；
⑦f(x)＝tan x，则f′(x)＝；
⑧f(x)＝cot x，则f′(x)＝－.
(2)导数四则运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③′＝.
(3)复合函数的求导法则
设复合函数u＝φ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f(φ(x))在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·φ′(x)，即y′x＝y′u·u′x，利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量.
类型一　导数的概念及应用
例1　已知一个质量为1的物体的运动方程是s(t)＝3t2－t＋2.试求物体在t＝10时的瞬时速度和加速度．
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
解　物体的瞬时速度v(t)＝s′(t)＝6t－1，所以物体在t＝10时的瞬时速度为v(10)＝59.物体的加速度a(t)＝v′(t)＝6，所以物体在t＝10时的加速度为6.
反思与感悟　位移的瞬时变化率是瞬时速度，速度的导数是加速度．
跟踪训练1　对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立的函数叫作Ω函数，则下面四个函数中属于Ω函数的为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　A
解析　∵|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，∴<1，即Ω函数是指在区间(1,2)内，曲线上任意两点连线的斜率均在(－1,1)内的函数．对于A，f′(x)＝－的值域为，故选A.
类型二　导数的计算
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝ex·sin x；
(3)y＝－x－2；(4)y＝(2＋3x)(3－5x＋x2)；
(5)y＝；(6)y＝2x＋log2x.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
解　(1)y′＝＝.
(2)y′＝(ex)′·sin x＋ex·(sin x)′＝ex(sin x＋cos x)．
(3)y′＝()′－(x－2)′＝＋.
(4)y′＝(2＋3x)′·(3－5x＋x2)＋(2＋3x)·(3－5x＋x2)′＝9x2－26x－1.
(5)y′＝
＝.
(6)y′＝2xln 2＋.
反思与感悟　(1)求函数的导数，首先要看函数式的结构形式是否为复合函数，能否化简等．
(2)若函数是复合函数，要注意函数的外层，内层，准确运用复合函数求导公式求导．
跟踪训练2　已知f1(x)＝sin x＋cos x，且f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N＋，n≥2，则f1＋f2＋…＋f2 012＝________.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　0
解析　f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推可得出fn(x)＝fn＋4(x)．
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 012＝0.
类型三　导数的应用
例3　已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　8
解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
反思与感悟　(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
②准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
(2)常见的两个问题
①已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，一定要分清楚．
②如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断．
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b均为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　－3
解析　∵曲线y＝ax2＋过点(2，－5)，
∴4a＋＝－5，①
又y′＝2ax－，∴4a－＝－，②
由①②解得∴a＋b＝－3.

1．函数f(x)＝xsin t的导数为(　　)
A．f′(x)＝xcos t B．f′(x)＝sin t
C．f′(x)＝sin t＋xcos t D．f′(x)＝cos t
考点　导数乘除法则及运算
题点　导数乘法法则及运算
答案　B
解析　所给函数解析式中，x为自变量，故f′(x)＝sin t.
2．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(4)＝2，f(x)的图像在点(4，f(4))处的切线方程为y＝kx＋2，则f(4)等于(　　)
A．4 B．6 C．10 D．12
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　C
解析　由导数的几何意义可知k＝f′(4)＝2，又因为切点(4，f(4))在切线上，所以可得f(4)＝2×4＋2＝10.
3．已知过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)
A. B.或
C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　B
解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，
当x＝－时，y＝－2；
当x＝时，y＝2.
故选B.
4．已知函数f(x)＝在区间[1，t]上的平均变化率为－，则t＝________.
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　3
解析　函数f(x)＝在区间[1，t]上的平均变化率为＝－，由已知得－＝－，解得t＝3.
5．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.
(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求出y关于t的函数的导数．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
解　x′＝－32e－2t.
(1)当t＝1时，x′＝－.
(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，
y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t.
本章的内容要点有两个，一个是导数的概念求法，另一个是导数的应用．
1．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
一般有两种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
(1)用定义求函数在点x0处的导数的方法：
①计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值＝；
③当Δx无限趋近于0时，即Δx→0时，则无限趋近于某一常数A，这一常数A就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)．
(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f′(x)，则函数在x＝x0点的导数为f′(x0)．
2．利用导数求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．
(2)利用直线方程的点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
一、选择题
1．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t(秒)表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　D
解析　s′＝′＝t3－12t2＋32t＝t(t－4)(t－8)，
令s′＝0，则有t(t－4)(t－8)＝0，
解得t＝0或t＝4或t＝8.
2．函数f(x)＝x2＋2ax＋5，若f′(a＋1)＝0，则a等于(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．1
考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　C
解析　由已知得，f′(x)＝2x＋2a，
则f′(a＋1)＝2(a＋1)＋2a＝4a＋2，
由4a＋2＝0解得a＝－，
故选C.
3．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－1)与f(1)的大小关系为(　　)
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　B
解析　∵f(x)＝x2＋2xf′(2)，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，
∴f(x)＝x2－8x＝(x－4)2－16，
则f(x)在区间(－∞，4]上是减少的，
∵－1<1<4，∴f(－1)>f(1)．
4．已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝，则g′(1)等于(　　)
A. B．－ C．－ D．2
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　A
解析　∵函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1，f′(1)＝.
∵g(x)＝，∴g′(x)＝，
则g′(1)＝＝.
5．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图像的切线平行，则实数a的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　A
解析　由题意可知在x＝处，两个函数的导数值相等，f′(x)＝，g′(x)＝，则f′＝1，g′＝4a，所以1＝4a，即a＝.
6．已知f(x)＝sin 2x＋sin x，则f′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．非奇非偶函数
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　f′(x)＝′
＝(sin 2x)′＋(sin x)′
＝·cos 2x·2＋cos x
＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cos x－1
＝22－，
∴f′(x)的最大值为2，f′(x)的最小值为－，
且f′(x)＝2cos2x＋cos x－1为偶函数，
故选B.
7．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋，则与f(x)图像相切的斜率最小的切线方程为(　　)
A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．2x＋y－3＝0
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　B
解析　f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝2时，f′(x)取最小值－1，此时f(2)＝1，则切点坐标为(2,1)，故所求的切线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
二、填空题
8．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
考点　导数加减法则及运算
题点　导数加减法则及运算
答案　0
解析　∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.
9．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　2
解析　ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，∴m2＋m＋1＝7，
∴m＝2或m＝－3(舍)．
10．曲线f(x)＝＋在(1，a＋1)处的切线与直线3x＋y＝0垂直，则a＝________.
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　
解析　因为f′(x)＝－，所以f′(1)＝－a，又直线3x＋y＝0的斜率为－3，所以－a＝，解得a＝.
11．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋4上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　∪
解析　y′＝3x2－6x＋3－＝3(x2－2x＋1)－
＝3(x－1)2－，
所以y′≥－，则α的取值范围是∪.
三、解答题
12．已知f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1，求所有使f(x)＋f′(x)＝0成立的实数x的集合．
考点　正弦、余弦函数的导数
题点　正弦、余弦函数的导数计算法则
解　∵f(x)＝sin x＋cos x，∴f′(x)＝cos x－sin x.
由f(x)＋f′(x)＝2cos x＝0，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴所求的实数x的集合为.
13．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且l与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1，求直线l的方程及a的值．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　由f(x)＝ln x，知f′(x)＝，则f′(1)＝1，即kl＝1，
又切点的坐标为(1，f(1))，即(1,0)，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
直线l与g(x)的图像相切，等价于方程组只有一解，即方程x2－x＋(1＋a)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝1－4×(1＋a)＝0，所以a＝－.
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝2ln x＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的图像在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是(　　)
A．2 B．2 C. D．1
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　A
解析　设切线斜率为k，由已知可知f′(x)＝＋2x－b，则k＝f′(b)＝＋b，∵b>0，∴k≥2(当且仅当b＝时，等号成立)，故选A.
15．已知曲线S：y＝x3－6x2－x＋6.
(1)求曲线在哪一点处切线的斜率取得最小值，并求此时的切线方程；
(2)设(1)中所求点是P(x0，y0)，证明：曲线S关于点P中心对称．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
(1)解　y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13，
当x＝2时，y′最小，即斜率取得最小值为－13，
此时切点为(2，－12)，切线方程为13x＋y－14＝0.
(2)证明　设点(x1，y1)是S上任意一点，
点(x，y)是点(x1，y1)关于点P(2，－12)的对称点，
则
∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，
整理得y＝x3－6x2－x＋6.
故点(x，y)在曲线S上，因此曲线S关于点P(2，－12)中心对称．
模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　共轭复数的定义与应用
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　∵z＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，∴在复平面内对应的点位于第四象限．
2．曲线y＝sin x＋ex(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为(　　)
A．2 B．3 C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　A
解析　∵y′＝cos x＋ex，∴当x＝0时，y′＝2，
即k＝2，故选A.
3．观察下列等式：
9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N＋)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　注意观察每一个等式与n的关系，易知选项B正确．
4．?|sin x|dx等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　D
解析　?|sin x|dx＝?sin xdx＋?(－sin x)dx
＝－cos x|＋cos x|＝1＋1＋1＋1＝4.
5．已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　由题意知，O为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h，由等体积法可求得内切球的半径为h，外接球的半径为h，所以＝3.
6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)
A. B．－1 C．0 D．1
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　D
解析　由f′(x)＝3－12x2＝3(1＋2x)(1－2x)＝0，
解得x＝±，
∵－?[0,1](舍去)．
当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在[0,1]上的极大值为f＝－4×3＝1.
又f(0)＝0，f(1)＝－1，∴函数最大值为1.
7．若函数f(x)＝ax2＋ln x的图像上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　A
解析　易知f′(x)＝2ax＋(x>0)．
若函数f(x)＝ax2＋ln x的图像上存在垂直于y轴的切线，则2ax＋＝0存在大于0的实数根，
即a＝－<0.
8．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c与a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　演绎推理的综合应用
题点　演绎推理在其他方面的应用
答案　B
解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确；a＝b与b＝c与a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确；由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　D
解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋12×2
＝240＋72(x>0)，l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l有最小值816.
因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.
10．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围为(　　)
A．(－1,2) B.
C. D．(－2,1)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　已知函数值大小求未知数
答案　A
解析　∵f(x)是奇函数，∴不等式xf′(x)∵F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，即当x∈(－∞，0]时，F′(x)<0，函数F(x)为减函数．
∵f(x)是奇函数，∴F(x)＝xf(x)为偶函数，且当x>0时，F(x)为增函数，即不等式F(3)>F(2x－1)等价于F(3)>F(|2x－1|)，
∴|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，得－111．若由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S，则S等于(　　)
A. B. C．3 D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　由
得或
所以所求面积为图中阴影部分的面积．
所以S＝?(x2＋1)dx＋?(3－x)dx
＝＋
＝＋1＋－＝.
12．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值
答案　C
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，
在x＝1附近的右侧f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　5
解析　z＝(2－i)2＝3－4i，
所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
14．已知不等式1－<0的解集为(－1,2)，则?dx＝________.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　2－3ln 3
解析　由1－<0，得－a又不等式1－<0的解集为(－1,2)，
∴解得a＝1，
∴?dx＝?dx
＝[x－3ln(x＋1)]|＝2－3ln 3.
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数
答案　[－，]
解析　依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
1
　
　　
　　　
　　　　
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　
解析　设第n(n≥2且n∈N＋)行的第2个数字为，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝19＋18＋…＋1＋1＝＋1＝191，
∴＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z满足|z|＝，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．
(1)求复数z；
(2)若m2＋m＋mz2是纯虚数，求实数m的值．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a2＋b2＝2，b＝1.
因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a<0，
所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.
(2)由(1)得z＝－1＋i，
所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，
所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.
又因为m2＋m＋mz2是纯虚数，
所以所以m＝－1.
18．(12分)已知a>5，求证：－<－.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证－<－，
只需证＋<＋，
即证(＋)2<(＋)2，
即证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a即证0<6，
显然0<6成立，所以－<－.
19．(12分)设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　f′(x)＝cos x＋sin x＋1
＝sin＋1(0令f′(x)＝0，即sin＝－，
解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
π＋2
↘

↗
所以f(x)的单调增区间为(0，π)和，单调减区间为.
f(x)极大值＝f(π)＝π＋2，
f(x)极小值＝f＝.
20．(12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N＋.
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
解　(1)a1＝S1＝＋－1，所以a1＝－1±.
又因为an>0，所以a1＝－1.
S2＝a1＋a2＝＋－1，
所以a2＝－.
S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，
所以a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－，n∈N＋.
下面用数学归纳法加以证明：
①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时，
ak＝－成立．
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝＋－，
所以a＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N＋都成立．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明：对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式问题
(1)解　由奇函数的定义，
应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0.
故解得a＝1，c＝－3.
因此f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f′(－1)＝f′(1)＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－1,1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，
且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，
f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2.
∴对任意的x1，x2∈(－1,1)，
恒有|f(x1)－f(x2)|22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点；
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
(1)证明　f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)解　由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，
则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上是增加的．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上是增加的，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
章末检测试卷(五)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应
答案　A
2．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A．－1－i B．1＋i
C．1－i D．－1＋i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　C
解析　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i.
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．i(1＋i)2 D．i(1＋i)
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数的乘除法运算法则
答案　A
解析　A项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选A.
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　A
解析　因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.
因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
7．已知复数z＝－＋i，i为虚数单位，则＋|z|等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的运算法则
答案　D
解析　因为z＝－＋i，
所以＋|z|＝－－i＋ 
＝－i.
8．已知i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于(　　)
A．1 B. C. D.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝i，∴z＝＝＝(1＋i)，
则|z|＝.
9．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－ C.i D．－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　∵i4＝1，∴i2 016＝(i4)504＝1，
∴z＝＝，则＝－i，∴的虚部为－.
10．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　D
解析　z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
11．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，则z2等于(　　)
A．1－i B．1＋i
C.＋i D.－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　B
解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i，
由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，
则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.
所以z2＝1＋i.
12．若A，B是锐角三角形ABC的两内角，则复数z＝(cos B－sin A)＋(sin B－cos A)i在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵A，B是锐角三角形ABC的两内角，
∴A＋B>，①
由①得A>－B.
∵A，B为锐角三角形ABC的内角，
∴A∈，－B∈.
又正弦函数在上是增加的，
∴sin A>sin，即sin A>cos B，
∴cos B－sin A<0.
又由①可得B>－A，
∴同理可得sin B>sin，
即sin B>cos A，∴sin B－cos A>0，
∴z在复平面内所对应的点在第二象限．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的方程问题
答案　－3
解析　∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，
则a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3.
14．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　
解析　z＝－(－i)，|z|＝，∴z·＝|z|2＝.
15．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，
∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)
＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
又∵z1·2是实数，
∴4t－3＝0，即t＝.
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　⑤
解析　由y∈?CR知，y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z＝.
(1)求z的共轭复数；
(2)若az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的方程问题
解　(1)因为z＝＝＝1＋i，
所以＝1－i.
(2)由题意得a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋ai＝1－i.
解得a＝－1，b＝2.
19．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
考点　转化与化归思想在复数中的应用
题点　转化与化归思想的应用
解　因为z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，
2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|
＝|4－a＋2i|＝，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1,7)．
20．(12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·2的值．
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的综合应用
解　(1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋i，
∵z1＋z2是纯虚数，∴则m＝1.
(2)由(1)得z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则2＝－1－i，
∴z1·2＝
＝－2＝－＝－－i.
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.综上，△ABC的面积为1.
22．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
章末复习
学习目标　1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
2．原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
类型一　复数的概念
例1　已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝3，∴当a＝3时，z＝0.
引申探究　
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．
解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟　(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二　复数的四则运算
例2　(1)计算：＋2 018＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
考点　复数四则运算的综合运用
题点　复数的混合运算
解　(1)原式＝＋1 009＋＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟　(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　B
解析　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
(2)已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
①求复数z；
②求的模．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　①设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝＝＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
②＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
类型三　数形结合思想的应用
例3　已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
考点　分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用
题点　数形结合思想的应用
解　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i＝－1－2isin2θ.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
反思与感悟　根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
跟踪训练3　在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　A
解析　∵＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
∴复数＋z2对应点的坐标为(1,1)，
故在第一象限．
1．若z＝1＋2i，则等于(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　＝＝i.
2．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
考点　乘除法的运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　z＝＝
＝在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若 z·i＋2＝2z，则z等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　A
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以z·i＋2＝2z，
即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
4．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　3＋4i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a－bi，
∵|z|－＝，∴|z|－＝2＋4i，
则－a＋bi＝2＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.
一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
答案　B
2．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则等于(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　D
解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，得m＝1且n＝1.
则＝＝＝i.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a等于(　　)
A. B．2 C. D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，
∴＝|1－ai|＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍)．
4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i
＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.
经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，i为虚数单位，则复数－b在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　C
解析　z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
∴＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C正确．
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　D
解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合应用
答案　±1
解析　＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　1
解析　因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
10．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i(i为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　(3,4)
解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得311．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数与点的对应关系
答案　－2－i
解析　由题图可知，z1＝－1＋2i，
由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
解　(1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．已知复数z1满足z1(1－i)＝2(i为虚数单位)，若复数z2满足z1＋z2是纯虚数，z1·z2是实数，求复数z2.
考点　复数四则运算的综合运用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　∵z1(1－i)＝2，
∴z1＝＝＝＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＋z2＝1＋a＋(b＋1)i是纯虚数，
∴　∴a＝－1，b≠－1.
∴z1·z2＝(1＋i)(－1＋bi)＝(－1－b)＋(b－1)i，
又z1·z2是实数，则b－1＝0，
∴b＝1，∴z2＝－1＋i.
四、探究与拓展
14．若a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b是复数z2＝的实部，则ab＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　－
解析　z1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i，
由a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a＝－2.
z2＝＝＝＝＋i，
由b是复数z2＝的实部，得b＝.
则ab＝－2×＝－.
15．求虚数z，使z＋∈R，且|z－3|＝3.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.

§1　数系的扩充与复数的引入(一)
学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一　复数的概念及复数的表示
思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理　复数及其表示
(1)复数的定义
①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；
②若a∈R，b∈R，则形如a＋bi的数叫作复数．
(2)复数的表示
①复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)；
②对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.
知识点二　复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示
知识点三　两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)
2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)
类型一　复数的概念
例1　(1)给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(1)C　(2)±，5
解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确；
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确；
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确．
∴只有③⑤正确．
(2)由题意知∴a＝±，b＝5.
反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，故②错误．显然③正确．故选B.
类型二　复数的分类
例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)复数z是虚数的充要条件是

解得m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是

解得
故m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，求m为何值时，z为实数．
解　由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是

解得
故m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝_____时，z为纯虚数．
答案　3或－2
解析　由题意知解得m＝3或－2.
反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2　当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是
(1)纯虚数；(2)实数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则解得m＝4.
故当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数．
(2)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
则解得m＝－2或m＝－3.
故当m＝－2或－3时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i为实数．
类型三　复数相等
例3　(1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　
解析　由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，
由此得解得m＝.
(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
即
所以a＝－1.
反思与感悟　(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝_____.
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　)
A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2 C．1 D．－1或2
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　D
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由题意知得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　因为a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.
而当复数a＋bi是纯虚数，则a＝0一定成立．
所以a，b∈R，a＝0是复数a＋bi是纯虚数的必要不充分条件．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
考点　复数的概念
题点　求复数的实部和虚部
答案　A
解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A. B．2 C．0 D．1
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
4．下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错，故选A.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　B
解析　由题意，得
解得k∈Z，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A．7 B．－ C．－7 D．－7或－
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　C
解析　∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，
∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，
则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由得m＝－2.
9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的_________条件．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　充分不必要
解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　0或1
解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，解得m＝0或1.
11．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析　若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
12．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N＋，则m＋n＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　1或2
解析　由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴或
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使z是实数，m需满足解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足解得m＝0或m＝－2.
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得解得
15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
§1　数系的扩充与复数的引入(二)
学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
知识点一　复平面
思考　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．
梳理　当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二　复数的几何意义
知识点三　复数的模或绝对值
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.
两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　×　)
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
类型一　复数的模
例1　已知复数z1＝－i，z2＝cos θ＋isin θ.
(1)求|z1|及|z2|，并比较它们的大小；
(2)设z∈C，点Z为z在复平面内所对应的点，则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z构成了什么图形？
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　(1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1.
因为2>1，所以|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．
反思与感悟　利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
跟踪训练1　已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，)．
类型二　复数的几何意义
例2　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练2　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z的对应点的轨迹是(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　A
解析　由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．
3．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1或a>1 B．－1C．a>1 D．a>0
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求参数
答案　B
解析　因为|z1|＝，|z2|＝＝，
所以<，即a2＋4<5，
所以a2<1，即－14．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　3
解析　复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.
5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由得
所以－7(2)由得
所以m＝4.

1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，
故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．
2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　A
解析　由题意得解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(2,5) B．(2,3)
C．(2，) D．(2，)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　C
解析　由题知z＝a－2i，所以|z|＝，
又a∈(0,1)，所以|z|∈(2，)．
5．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0或a＝2 D．a＝0
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
6．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，
解得a＝－1(舍正)，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　D
解析　设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得
∴或
二、填空题
8．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________________．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　(x－2)2＋y2＝8
解析　由模的计算公式得＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.
10．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，即故
所以|x＋yi|＝＝.
11．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，
因为该点位于第二象限，所以解得－1由条件得|z|＝＝
＝ ＝ .
因为－1三、解答题
12．求实数m的值，使复数z＝m(m－1)＋(m－1)i对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由复数z对应的点位于实轴上，可得m－1＝0，
解得m＝1，即当m＝1时，复数z对应的点位于实轴上．
(2)由复数z对应的点位于第一象限，可得
解得m>1，即当m>1时，复数z对应的点位于第一象限．
(3)由复数z对应的点位于第四象限，可得
解得m<0，即当m<0时，复数z对应的点位于第四象限．
13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－＋i，－－i，并求出它们的模．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－＋i，－－i，与之对应的向量可用，，来表示．
|1|＝1，
＝ ＝，
＝ ＝1.
四、探究与拓展
14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　二
解析　因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
所以所以
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
15．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，求的最大值．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，
故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识易知，的最大值为.
§2　复数的四则运算
学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点一　复数代数形式的加减法
思考　类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
梳理　(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二　复数的乘法及其运算律
思考　怎样进行复数的乘法运算？
答案　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理　(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点三　共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即当z＝a＋bi时，＝a－bi.
知识点四　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)
2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(　√　)
3．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)
4．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)
类型一　复数的加法、减法运算
例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　(1)－1　(2)1＋i
解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟　(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1　(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋i，则z＝________.
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)i
解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋i，
∴解得
∴z＝i.
类型二　复数代数形式的乘除运算
例2　计算：
(1)(1＋i)；
(2)；
(3).
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　(1)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＝
＝＝
＝＝＝1－i.
反思与感悟　(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
跟踪训练2　计算：
(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；
(2)＋；
(3).
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
(2)＋
＝＋＝i－i＝0.
(3)＝
＝＝
＝＝＝－1＋i.
类型三　i的运算性质
例3　计算：(1)＋2 016；
(2)i＋i2＋…＋i2 017.
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
解　(1)原式＝＋1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008
＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008＝i－1＋i4×252
＝i－1＋1＝i.
(2)方法一　原式＝＝＝
＝＝＝＝i.
方法二　因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N＋)，
所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017
＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.
反思与感悟　(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度．
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
跟踪训练3　(1)2 018＝________.
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
答案　－1
解析　2 018＝2 018＝2 018
＝i2 018＝(i4)504·i2＝1504·i2＝－1.
(2)化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
解　设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①
所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②
①－②得
(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101
＝－100i101＝0－100i＝－100i.
所以S＝＝＝
＝50－50i.
所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.
类型四　共轭复数及其应用
例4　把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
由复数相等的定义知，得
所以z＝2＋i.
引申探究　
若将本例条件改为(z＋2)＝4＋3i，求z.
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)．则＝x－yi，
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
反思与感悟　当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
跟踪训练4　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝＝1，
即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法与点的对应
答案　D
解析　∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
2．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　A
解析　z＝＝－i.
3．若z＝4＋3i(i为虚数单位)，则等于(　　)
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　D
解析　z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.
4．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z＝，则＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　－1＋i
解析　z＝＝＝－1－i，
所以＝－1＋i.
5．已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.

一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2 B．4 C．3 D．－4
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的运算法则
答案　B
解析　∵z＋(3－4i)＝1，
∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
2．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的运算法则
答案　D
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则　解得
∴z＝＋i.
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　C
解析　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，
所以z＝2－i.
4．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b等于(　　)
A．6 B．－6 C．0 D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　∵＝＝
＝是实数，
∴6－b＝0，∴实数b的值为6，故选A.
5．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A．M B．N C．P D．Q
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　D
解析　由图可知z＝3＋i，
所以复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
6．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)
A．1 B. C. D．2
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　A
解析　由＝i，
得z＝＝＝＝i，
∴|z|＝|i|＝1.
7．若z＋＝6，z·＝10，则z等于(　　)
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
所以解得则z＝3±i.
8．计算＋的值是(　　)
A．0 B．1 C．2i D．i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　原式＝＋
＝＋＝＋i
＝＋i＝＋i＝2i.
二、填空题
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　2
解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
10．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，|z|＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　1
解析　因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.
则|z|＝1.
11．定义一种运算：＝ad－bc.则复数
的共轭复数是________．
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　－1－3i
解析　＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
三、解答题
12．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i.
由题意得a－3b＝0,3a＋b≠0.
因为|ω|＝＝5，
所以|z|＝＝5，
将a＝3b代入，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝±＝±(7－i)．
13．已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　(1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z＝1＋i，
所以＝＝1－i，
即＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以解得
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　
解析　易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与四则运算有关的问题
(1)解　因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i.
因为ω是实数，且y≠0，
所以y－＝0，即x2＋y2＝1.
所以|z|＝1，此时ω＝2x.
又－1<ω<2，所以－1<2x<2.
所以－即z的实部的取值范围是.
(2)证明　μ＝＝
＝
＝.
又x2＋y2＝1，所以μ＝－i.
因为y≠0，所以μ为纯虚数．
滚动训练(五)
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是(　　)
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
考点　
题点　
答案　B
解析　设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2(舍负)，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；
当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”不是“(a＋bi)2＝2i”的必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
4．设复数z＝，则z·等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　∵z＝＝＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－1 B．0 C．i D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．－
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　由题意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点　共轭复数的定义及应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　D
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
二、填空题
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数
答案　－2i
解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的几何意义
答案　一
解析　z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　2
解析　复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2 ＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
三、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点　复数四则运算的综合运算
题点　复数的混合运算
解　(1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝，求|z1|；
(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
解　∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵·(3＋i)为纯虚数，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
(1)z1＝＝＝－－i，
∴|z1|＝ ＝.
(2)∵z＝1－3i，
z2＝＝＝，
又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴解得
∴－3四、探究与拓展
14．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)
A.＋ B.＋
C.－ D.－
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
答案　C
解析　复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及圆内部分．
y≥x是图中阴影部分，如图，
复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
则y≥x的概率为＝－.
15．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　方法一　|z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
章末检测试卷(四)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．定积分?exdx的值为(　　)
A．1 B．－1 C．e2－1 D．e2
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　A
解析　定积分?exdx＝ex＝2－1＝1，故选A.
2．若a＝?x2dx，b＝?x3dx，c＝?sin xdx，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．以上都不对
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　B
解析　∵a＝＝，b＝＝4，c＝－cos x＝1－cos 2，∴b>a>c.
3．若函数y＝?(1－x)dx(t>0)取最大值，则t等于(　　)
A. B．1 C．π D．2π
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　B
解析　y＝?(1－x)dx＝＝t－t2＝－(t－1)2＋，因为t>0，所以当t＝1时，y取得最大值，最大值为.
4．曲线y＝cos x与坐标轴围成的图形的面积是(　　)
A．4 B. C．3 D．2
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　所求面积S＝3＝＝3.
5．若?(x－a)dx＝，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．4 C．2 D．1
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　D
解析　?(x－a)dx＝＝－a，
＝＝，
由题意知－a＝，得a＝1.
6．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若?f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于(　　)
A．± B. C．±1 D．2
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　A
解析　∵?f(x)dx＝?(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b＝3f(x0)，
∴f(x0)＝3a＋b＝ax＋b，
∴x＝3，则x0＝±.
7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
考点　利用定积分求路程问题
题点　利用定积分求路程问题
答案　C
解析　由v(t)＝0，得t＝4(舍负)，
故刹车距离为s＝?v(t)dt＝?dt＝＝4＋25ln 5.
8．如图，阴影区域是由函数y＝cos x的一段图像与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是(　　)
A．1 B．2 C. D．π
考点　
题点　
答案　B
解析　由题意知，阴影区域的面积是S＝－＝＝2.故选B.
9．已知等比数列{an}中，a3＝4，前三项之积等于?4sin xdx，则首项a1的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　A
解析　?4sin xdx＝－4cos x
＝(－4cos π)－(－4cos 0)＝8，
∴a1·a2·a3＝8，则a＝8，得a2＝2，
∴q＝＝＝2，a1＝＝＝1.
10．如图所示的阴影部分的面积S是(　　)
A．e＋
B．e＋－1
C．e＋－2
D．e－
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　S＝?(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋e－1－(e0＋e0)＝e＋－2.
11．若y＝?(sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是(　　)
A．1 B．2 C．－ D．0
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　B
解析　y＝?dt
＝
＝－cos x－cos 2x＋
＝－cos2x－cos x＋
＝－(cos x＋1)2＋2.
当cos x＝－1时，ymax＝2.
12．过点(－1,0)的直线l与曲线y＝相切，则曲线y＝与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　设直线l与曲线y＝的切点为(x0，)，
由y＝得y′＝()′＝x－，
则切线方程为y－＝x0－(x－x0)，
把(－1,0)代入方程，解得x0＝1，
故切线方程为y＝(x＋1)，则曲线y＝与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为
×1×＋?dx
＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．定积分?(2x＋ex)dx的值为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　e
解析　?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.
14．?(x＋sin x)dx＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　0
解析　方法一?(x＋sin x)dx＝
＝－＝0.
方法二　函数y＝x＋sin x为奇函数，且在[－π，π]上连续，则?(x＋sin x)dx＝0.
15．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a的值为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
答案　
解析　由题意知，曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为?dx＝＝，所以＝a2，所以a＝.
16．若y＝f(x)的图像如图所示，定义F(x)＝?f(t)dt，x∈[0,1]，则下列对F(x)的性质描述正确的有________．
①F(x)是[0,1]上的增函数；
②F′(x)＝f(x)；
③F(x)是[0,1]上的减函数；
④存在x∈[0,1]，使得F(1)＝f(x)．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　①②④
解析　由定积分的几何意义可知，F(x0)表示图(a)中阴影部分的面积，且F′(x)＝f(x)，当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F(x)为增函数，故①②正确；由定积分的几何意义可知，必然存在x0∈[0,1]，使S1＝S2，如图(b)所示，此时S矩形ABCO＝S曲边三角形AOD，即F(1)＝f(x0)，故④正确．所以对F(x)的性质描述正确的有①②④.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
解　由
解得x1＝0，x2＝3.
因此所求图形的面积为S＝?(x＋3)dx－?(x2－2x＋3)dx＝?[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝?(－x2＋3x)dx
＝＝.
18．(12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，?f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
解　由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2，①
f′(x)＝2ax＋b，由f′(0)＝0，得b＝0，②
?f(x)dx＝?(ax2＋bx＋c)dx＝
＝a＋b＋c，即a＋b＋c＝－2.③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
19．(12分)如图所示，由曲线x2＝2y，x2＝－2y，x＝2，x＝－2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2＋y2≤4，x2＋(y－1)2≥1，x2＋(y＋1)2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试比较V1与V2的大小．
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
解　由题意知V1＝2?(4π－2πy)dy＝2[4πy－πy2]＝8π.满足x2＋y2≤4，x2＋(y－1)2≥1，x2＋(y＋1)2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为一个半径为2的球体减去两个半径为1的球体，则V2＝π×23－2×π×13＝8π.所以可得关系式为V1＝V2.
20．(12分)已知f(x)＝若?3f(x)dx＝40，且－2≤k≤2，求实数k的值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
解　由题意得?f(x)dx＝?(2x＋1)dx＋?(1＋x2)dx＝(x2＋x)＋＝(4＋2)－(k2＋k)＋(3＋9)－＝－(k2＋k)＝，即k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.
21．(12分)由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积为S，求S的值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　由y′＝－2x＋4，得点A，B处的切线的斜率分别为2和－2，则切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由得其交点坐标为C(2,2)，故所求图形的面积S＝S△ABC－?(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.
22．(12分)设f(a)＝?|x2－a2|dx.
(1)当0≤a≤1与a>1时，分别求f(a)；
(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
解　(1)当0≤a≤1时，f(a)＝?|x2－a2|dx
＝?(a2－x2)dx＋?(x2－a2)dx
＝＋
＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3
＝a3－a2＋.
当a>1时，f(a)＝?(a2－x2)dx＝＝a2－.
∴f(a)＝
(2)当a>1时，由于f(a)＝a2－在区间[1，＋∞)上是增加的，故f(a)在区间[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝.
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(x)>0，得a>，
故f(a)在区间上是减少的，在上是增加的．
因此在区间[0,1]上，f(a)的最小值为f＝.
综上可知，f(a)在[0，＋∞)上的最小值为.

§1　定积分的概念
学习目标　1.了解“以直代曲”，“以不变代变”的思想方法，会求曲边梯形的面积.2.了解定积分的概念，会用定义求定积分.3.理解定积分的几何意义，并掌握定积分的基本性质．
知识点一　曲边梯形的面积
思考　如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
梳理　由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示．
求曲边梯形的面积的步骤
(1)分割：将区间[a，b]n等分；
(2)计算：过剩估计值S1＝×；
不足估计值S2＝×.
(3)近似代替：无论用S1还是用S2表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1－S2.
知识点二　定积分的概念
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．
(1)将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0(2)?f(x)dx中符号的意义
符号
?
a
b
f(x)
名称
积分号
积分下限
积分上限
被积函数
知识点三　定积分的几何意义、物理意义
(1)定积分的几何意义
当f(x)≥0时，?f(x)dx表示的是y＝f(x)与x＝a，x＝b和x轴所围曲边梯形的面积．
(2)定积分的物理意义
当f(x)表示速度关于时间x的函数时，?f(x)dx表示的是运动物体从 x＝a到x＝b时所走过的路程．
知识点四　定积分的性质
(1)?1dx＝b－a.
(2)?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)．
(3)?[f(x)±g(x)]dx＝?f(x)dx±?g(x)dx.
(4)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，只能用2近似代替．(　×　)
2．定积分?f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．(　√　)
3．曲边梯形的面积S＝?f(x)dx；变速直线运动的位移s＝；变力做功W＝?F(r)dr.(　√　)
类型一　定积分的定义及应用
例1　求抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.

考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲线梯形的面积问题
解　(1)分割：
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间，即，，…，.记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则S＝Si.
(2)近似代替：
记f(x)＝x2.当n很大时，即Δx很小时，在区间上可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.这样在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝2·Δx＝2·(i＝1,2，…，n)．①
(3)求和：
由①得Sn＝Si′＝Δx＝2·＝0·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝·＝，从而得到S的近似值，
即S≈Sn＝.②
(4)取极限：
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋近于，即所求面积为.
反思与感悟　求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
跟踪训练1　利用定积分的定义，求?xdx.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
解　(1)分割：
将区间[0,1]分为n等份，形成n个小区间[xi－1，xi]＝(i＝1,2，…，n)，且每个小区间的长度为Δx＝.
(2)近似代替：
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx＝·
＝＝·＝.
(3)取极限：
?xdx＝Sn＝ ＝.
类型二　利用定积分的性质求定积分
例2　已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求下列各式的值．
(1)?(3x3)dx；(2)?(6x2)dx；(3)?(3x2－2x3)dx.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
解　(1)?(3x3)dx＝3?x3dx＝3
＝3×＝12.
(2)?(6x2)dx＝6?x2dx＝6
＝6×＝126.
(3)?(3x2－2x3)dx＝?(3x2)dx－?(2x3)dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×＝－.
反思与感悟　若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则
(1)若函数f(x)为奇函数，则?f(x)dx＝0.
(2)若函数f(x)为偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx.
跟踪训练2　若f(x)＝且?(2x－1)dx＝－2，?e－xdx＝1－e－1，
求?f(x)dx.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
解　?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝?(2x－1)dx＋?e－xdx
＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．
类型三　利用定积分的几何意义求定积分
例3　用定积分的几何意义求下列各式的值．
(1)?dx；(2).
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　(1)由y＝得x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图所示．
?dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和，
S弓形CED＝π×22×－×2×＝－，
S矩形ABCD＝AB·BC＝2，
∴?dx＝2＋－＝＋.
(2)∵函数y＝sin x在x∈上是奇函数，
∴＝0.
反思与感悟　利用定积分所表示的几何意义求? f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
跟踪训练3　求定积分：?(－x)dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　?dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即?dx＝×π×22＝π.
?xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积，
即?xdx＝×22＝2.
∴原式＝?dx－?xdx＝π－2.
1．在求由函数y＝的图像与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为(　　)
A. B.
C．[i－1，i] D.
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
答案　B
解析　把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1.故选B.
2．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)、区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关
D．与f(x)、区间[a，b]、分点的个数n和ξi的取法都有关
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
答案　D
3．下列值等于1的是(　　)
A．?xdx B．?(x＋1)dx
C．?1dx D．?dx
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　C
解析　?xdx＝×1×1＝，?(x＋1)dx＝×(1＋2)×1＝，?1dx＝1×1＝1，?dx＝×1＝.
4．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以－2米/秒2的加速度刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(　　)
A．80米 B．60米 C．40米 D．30米
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
答案　D
解析　由题意知v(t)＝v0＋at＝10－2t，令v(t)＝0，得t＝5，即当t＝5秒时，汽车将停车．将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．
5．计算：.
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
解　由定积分的几何意义，得
＝×2＝2π.
由定积分的几何意义，得＝0.
所以＝－5＝2π.
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、选择题
1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)
A. B. C. D.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　B
解析　区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．当n的值很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列函数值近似代替的是(　　)
A．f B．f C．f D．f(0)
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
答案　C
3．下列命题不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　D
解析　A项，因为f(x)是奇函数，图像关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，故y轴两侧的图像都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
4．与定积分相等的是(　　)
A.
B.
C．?sin xdx－
D．＋
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　C
解析　当x∈[0，π]时，sin x≥0；
当x∈时，sin x<0.
∴由定积分的性质可得，
＝?|sin x|dx＋
＝?sin xdx＋
＝?sin xdx－.
5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝?[f(x)－g(x)]dx求出的是(　　)
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　B
解析　定积分S＝?[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方．对照各选项可知，B项中f(x)的图像不全在g(x)的图像上方，故选B.
6．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形的面积为(　　)
A．?[(1－y)－y]dy
B．
C．＋
D．?[x－(－x＋1)]dx
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　C
解析　联立
解得
故A.
由图知阴影部分的面积可表示为＋.
7．设a＝?xdx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．a＝b>c D．c>a>b
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c，故选A.
8．若?|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)
A．6 B．56
C．36 D．2 016
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，
∵?|x|dx＝a2，∴a2≤36，即0故正数a的最大值为6.
二、填空题
9．若?f(x)dx＝1，?3f(x)dx＝2，则?f(x)dx＝________.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
答案　
解析　∵?f(x)dx＝?f(x)dx＝1，
∴?f(x)dx＝2.
又?3f(x)dx＝3?f(x)dx＝2，
∴?f(x)dx＝.
∴?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝＋2＝.
10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　?dx
11．定积分?(2＋)dx＝________.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　2＋
解析　原式＝?2dx＋?dx.
因为?2dx＝2，?dx＝，
所以?(2＋)dx＝2＋.
12．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)且?f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为________．
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　f(x)＝x＋
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图像过(3,4)点，∴3a＋b＝4.
又?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝a?xdx＋?bdx＝a＋b＝1.
解方程组得
∴f(x)＝x＋.
三、解答题
13．已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　如图画出函数f(x)的图像．
由定积分的几何意义得?xdx＝×2×2＝2，
?(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
?dx＝×2×1＝1.
所以?f(x)dx＝?xdx＋?(4－x)dx＋
?dx＝2＋＋1＝.
四、探究与拓展
14．若定积分?dx＝，则m等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　根据定积分的几何意义知，定积分?dx的值就是函数y＝的图像与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成的图形的面积．y＝是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于，而?dx＝，所以m＝－1.
15.如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求?dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　解方程组得x＝±2.
∴阴影部分的面积为?dx.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义得，
?dx
＝?dx＝π＋.
§2　微积分基本定理
学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点　微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考1　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则?(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
答案　由定积分的几何意义知，?(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故?(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．
思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?
答案　不唯一．根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
梳理　(1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；
②结论：?f(x)dx＝F(b)－F(a)；
③符号表示：?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
(2)常用函数积分公式表
被积函数f(x)
f(x)的一个原函数F(x)
f(x)＝xα(α≠－1)
F(x)＝
f(x)＝(b＋kx)α(α≠－1，k≠0)
F(x)＝·
f(x)＝
F(x)＝ln |x|
f(x)＝ekx(k≠0)
F(x)＝ekx
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
F(x)＝
f(x)＝sin x
F(x)＝－cos x
f(x)＝cos x
F(x)＝sin x
f(x)＝
F(x)＝tan x
f(x)＝ln x
F(x)＝xln x－x
f(x)＝
F(x)＝ln(x＋)
1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(　×　)
2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　√　)
3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　√　)
类型一　求定积分

例1　求下列定积分．
(1)?dx；
(2)；
(3)?(x－3)(x－4)dx.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
解　(1)?dx＝(ln x－3sin x)|
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(2)∵2＝1－2sin cos 
＝1－sin x，
∴＝
＝＝－(0＋cos 0)＝－1.
(3)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴?(x－3)(x－4)dx＝?(x2－7x＋12)dx
＝
＝－0＝.
反思与感悟　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
跟踪训练1　求下列定积分．
(1)?dx；
(2)；
(3)?(1＋)dx.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
解　(1)?dx
＝
＝－
＝ln 2－.
(2) ＝
＝＝1.
(3)?(1＋)dx
＝?(＋x)dx＝
＝－＝.

例2　求下列定积分：
(1)f(x)＝求?f(x)dx；
(2)?|x2－1|dx.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
解　(1)?f(x)dx＝＋＋?(x－1)dx
＝＋＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)?|x2－1|dx＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋＝2.
反思与感悟　分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
跟踪训练2　(1)?e|x|dx＝_______.
(2)已知f(x)＝则?f(x)dx＝______.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　(1)2e－2　(2)e＋－ln 2
解析　(1)?e|x|dx＝?e－xdx＋?exdx
＝－e－x|＋ex|＝－e0＋e1＋e1－e0
＝2e－2.
(2)?f(x)dx＝?(2x＋ex)dx＋?dx
＝(x2＋ex)|＋
＝(1＋e)－(0＋e0)＋－
＝e＋－ln 2.
类型二　利用定积分求参数
例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤?(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　(1)3　(2)
解析　(1)?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
(2)?(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
引申探究
1．若将例3(1)中的条件改为?f(x)dx＝f，求t.
解　由?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t，
又f＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．若将例3(1)中的条件改为?f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
解　F(t)＝?f(x)dx＝t2－t＝2－(t>0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
反思与感悟　(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练3　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝?(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　(1)[0,2)　(2)
解析　(1)f(x)＝?(1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2)|＝－2x＋2，x∈(0,1]．
∴f(x)的值域为[0,2)．
(2)∵?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx
＝＝＋c.
又f(x0)＝ax＋c，
∴＝ax，即x0＝或－.
∵0≤x0≤1，∴x0＝.
1．若?dx＝3＋ln 2，则a的值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　D
解析　?dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
2．等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　D
解析　
＝＝＝.
3．设f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D．不存在
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　C
解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx＝＋＝.
4．已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，则?f(－x)dx＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，
∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，
∴f(x)＝x2＋2x，则f(－x)＝x2－2x，
∴?f(－x)dx＝?(x2－2x)dx
＝＝9－9－＋1＝.
5．求函数f(a)＝?(6x2＋4ax＋a2)dx的最小值．
考点　微积分基本定理的综合应用
题点　微积分基本定理的综合应用
解　∵?(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝2＋2a＋a2，
∴f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1，
∴当a＝－1时，f(a)有最小值1.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题
1．?dx等于(　　)
A．e2－ln 2 B．e2－e－ln 2
C．e2＋e＋ln 2 D．e2－e＋ln 2
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　D
解析　?＝(ex＋ln x)|
＝(e2＋ln 2)－(e＋ln 1)＝e2－e＋ln 2.
2．若＝2，则实数a等于(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　A
解析　＝
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1，故选A.
3．若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1C．S2考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　B
解析　因为S1＝?x2dx＝＝×23－＝，
S2＝?dx＝ln x|＝ln 2，
S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
又ln 2所以ln 2<4．?|x2－4|dx等于(　　)
A. B. C. D.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　C
解析　∵|x2－4|＝
∴?|x2－4|dx＝?(x2－4)dx＋?(4－x2)dx
＝＋
＝＋
＝－3－＋8＋8－＝.
5．若函数f(x)，g(x)满足?f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　C
解析　对于①，?sin xcos xdx＝?sin xdx＝0，
所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于②，?(x＋1)(x－1)dx＝?(x2－1)dx≠0，
所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于③，?x·x2dx＝?x3dx＝0，
所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．
6．若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，则?f(x)dx等于(　　)
A．－ B．－1
C. D．1
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　A
解析　∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝
＝＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝－.
二、填空题
7．设f(x)＝则?f(x)dx＝________.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　sin 1－
解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx
＝＋(sin x－x)|
＝＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)]
＝sin 1－.
8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　－1或
解析　?f(x)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
2f(a)＝6a2＋4a＋2，
由题意得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或.
9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　长方形的面积为S1＝3，S阴＝?3x2dx＝x3|＝1，则P＝＝.
10．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝____________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　1
解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.
又当x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为f(f(1))＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
11．设f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　f(x)＝4x＋3
解析　∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx
＝a＋b＝5，
?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx
＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝.
∴解得
∴f(x)＝4x＋3.
12．已知α∈，则当?(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　?(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)|
＝sin α＋cos α－1＝sin－1.
∵α∈，则α＋∈，
当α＋＝，即α＝时，
sin－1取得最大值．
三、解答题
13．已知f(x)＝?(12t＋4a)dt，F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
解　因为f(x)＝?(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx＝?(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)取到最小值为1.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　B
解析　?f(x)dx＝?(x＋1)2dx＋?dx，
?(x＋1)2dx＝＝，
?dx以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
故?dx＝，
故?f(x)dx＝＋＝.
15．已知f′(x)是f(x)在(0，＋∞)上的导数，满足xf′(x)＋2f(x)＝，且?[x2f(x)－ln x]dx＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x>0时，证明不等式2ln x≤ex2－2.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
(1)解　由xf′(x)＋2f(x)＝，得
x2f′(x)＋2xf(x)＝，
即[x2f(x)]′＝，
所以x2f(x)＝ln x＋c(c为常数)，
即x2f(x)－ln x＝c.
又?[x2f(x)－ln x]dx＝1，
即?cdx＝1，所以cx|＝1，
所以2c－c＝1，所以c＝1.
所以x2f(x)＝ln x＋1，所以f(x)＝.
(2)证明　由(1)知f(x)＝(x>0)，
所以f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝，f′(x)>0时，0f′(x)<0时，x>，
所以f(x)在上单调增，在上单调减．
所以f(x)max＝＝，
所以f(x)＝≤，
即2ln x≤ex2－2.
§3　定积分的简单应用
学习目标　1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.会求简单几何体的体积．
知识点一　求平面图形的面积
思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
梳理　(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－?f(x)dx.
(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝?[f(x)－g(x)]dx.(如图)
知识点二　求简单几何体的体积
设旋转体是由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的曲边梯形AMNB绕x轴旋转一周而成的(如图所示)．
根据定积分的定义可得旋转体的体积为V＝π?[f(x)]2dx.
1．曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为?x3dx＋?(2－x)dx.(　√　)
2．曲线f(x)＝x2，直线x＝1，x＝2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为π?x2dx.(　×　)

类型一　平面图形的面积

例1　由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S＝________.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　
解析　由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝?dx－?x2dx
＝－＝－＝.
反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)找出范围，确定积分上、下限．
(3)确定被积函数．
(4)将面积用定积分表示．
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
解　由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，
根据图形可得，S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx
＝－
＝－＝.

例2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　画出图形，如图所示．
解方程组
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝?dx＋?dx
＝?dx＋?dx
＝＋
＝＋＋6－×9－2＋＝.
反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2　求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　由和
解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx
＝＋
＝－0＋－＝.
类型二　简单几何体的体积
例3　求由曲线y＝x3与y＝围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
解　由得或
所求旋转体的体积等于由曲线y＝，直线x＝1以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积与由曲线y＝x3，直线x＝1以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之差，即V＝π?xdx－π?x6dx＝－＝－＝.
反思与感悟　利用定积分求旋转体体积的大致步骤
(1)找准旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数；
(2)分清端点；
(3)确定几何体的结构；
(4)利用定积分进行体积计算．
跟踪训练3　由曲线y＝，直线x＝2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为(　　)
A. B．π C. D．2π
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　D
解析　由曲线y＝，直线x＝2以及x轴所围成的平面图形如图所示，则V＝π?()2dx＝π?xdx＝＝2π.
1．由直线x＝，x＝2，曲线y＝以及x轴所围成的图形的面积为(　　)
A. B. C.ln 2 D．2ln 2
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　如图所示，所围成的图形的面积S＝＝＝ln 2－ln ＝2ln 2.
2．如图所示，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是(　　)
A．6 B．8
C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　阴影部分的面积S＝?(3－x2－2x)dx＝.
3．由直线y＝x，x＝1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V是(　　)
A．π B. C. D．1
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　B
解析　V＝π?x2dx＝＝.
4．由曲线y＝sin x，直线x＝0，x＝π与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V＝________.
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　
解析　由题意，得V＝π?sin2xdx＝?(1－cos 2x)dx＝·＝.
5．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　
解析　由图形可得
S＝?(x2＋4－5x)dx＋
?(5x－x2－4)dx
＝＋

＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.
求简单图形的面积的一般步骤
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
(3)写出平面图形面积的定积分表达式．
(4)运用微积分基本定理计算定积分．
一、选择题
1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)
A．?f(x)dx
B．|?f(x)dx|
C．?f(x)dx＋?f(x)dx
D．?f(x)dx－?f(x)dx
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝?f(x)dx－?f(x)dx.
2．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形的面积等于(　　)
A．3 B. C．1 D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　A
解析　直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形如图所示，
其面积为S＝
＝
＝－2cos －(－2cos 0)
＝1＋2＝3，故选A.
3．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S等于(　　)
A. B. C. D．1
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　y＝x2，y＝x2，x＝1所围成的图形如图所示，
S＝?x2dx－?x2dx
＝?x2dx＝＝.
4．由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形如图，所以由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形的面积为2?(x－x3)dx＝，故选C.
5．由曲线y2＝4ax与直线x＝a(a>0)所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积V是(　　)
A．2πa2 B．4πa2 C．4πa3 D．2πa3
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　D
解析　由旋转体的体积公式可得所求体积V＝π?y2dx＝π?4axdx＝＝2πa3.
6．曲线C：y＝ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴所围成的图形面积为(　　)
A.－1 B.＋1 C. D.－1
考点　
题点　
答案　D
解析　设切点A(x0，)，
直线l的斜率k＝，
又k＝，∴＝，即x0＝1.
则直线l的方程为y＝ex，
∴S＝?(ex－ex)dx
＝＝－1.
7．由曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组解得
联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得
∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为S＝?dx－
＝＝＋－＝.
二、填空题
8．如图所示，若阴影部分的面积为4，则?f(x)dx＝________.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　2
解析　由题图得，?f(x)dx＝2×3－4＝2.
9．由直线y＝x和曲线y＝x3(x≥0)所围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为________．
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　
解析　由得或
所以V＝?πx2dx－?πx6dx＝－
＝π＝.
10．由曲线y＝ex，直线x＝0，x＝与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为________．
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　
解析　V＝＝π＝π×＝.
11．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c＝________.
考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
答案　
解析　由得x＝0或x＝.
∵当0cx3，
∴S＝＝
＝－＝＝.
∴c3＝，∴c＝.
三、解答题
12．求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　如图所示，
由得
所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)．
方法一　(选y为积分变量)
S＝?dy
＝
＝24－8－×64＝.
方法二　(选x为积分变量)
S＝?()dx＋?(6－x)dx
＝＋
＝＋
＝.
13.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
解　由题图知方程f(x)＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)．
有＝?[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，
所以a＝±3.
又－a>0，即a<0，所以a＝－3.
四、探究与拓展
14.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　
解析　∵S阴＝2?(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，
S正方形＝e2，∴P＝.
15.已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及曲线y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　(1)当t＝时，S2＝[2－(4－x2)]dx
＝＝(－1)．
(2)当t∈(0,2)时，S1＝?[(4－x2)－(4－t2)]dx
＝＝t3.
S2＝?[(4－t2)－(4－x2)]dx＝＝－2t2＋t3.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.
S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，
令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
当00，S单调增，所以当t＝1时，Smin＝2.
滚动训练(四)
一、选择题
1．?e－xdx等于(　　)
A．e＋ B．2e C. D．1－
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　D
解析　?e－xdx＝－e－x＝1－.
2．已知?(2x－1)dx＝－8，则a的值是(　　)
A．2 B．4 C．－2 D．－4
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　B
解析　因为?(2x－1)dx＝(x2－x)＝(a2－a)－(a2＋a)＝－2a＝－8，所以a＝4.故选B.
3．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)
A．?(x2－4)dx
B.
C．?|x2－4|dx
D．?(x2－4)dx＋?(x2－4)dx
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　C
4．若f(x)＝则等于(　　)
A．－ B. C．1 D．－
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　A
解析　?f(x)dx＝?x2dx＝＝，
?f(x)dx＝?(x－2)dx＝＝－，
故原式＝－.
5．?f′(3x)dx等于(　　)
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　C
解析　?f′(3x)dx＝?f′(3x)d(3x)＝f(3x)＝[f(3b)－f(3a)]．
6．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则直线l与抛物线C所围成的图形的面积等于(　　)
A. B．2 C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
如图所示，可知直线l与抛物线C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图像和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2?dx＝＝4－＝.
7．已知U＝?dx，V＝?2xdx，执行如图所示的算法框图，则输出的S等于(　　)
A. B. C．1 D．2
考点　利用定积分的几何意义求定积分
题点　利用定积分的几何意义求定积分
答案　A
解析　U＝?dx＝，V＝?2xdx＝x2|＝1，所以U8．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2(t∈(0,1))所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　由题意及图像知，曲线y＝x2和直线y＝t2的交点坐标是(t，t2)，故阴影部分的面积S＝?(t2－x2)dx＋?(－t2＋x2)dx＝＋＝t3－t2＋.则S′＝4t2－2t＝2t(2t－1)，故S＝t3－t2＋在(0,1)上先减少后增加，在t＝时取到最小值，
故面积S的最小值Smin＝×3－2＋＝.
二、填空题
9．?(xcos x－5sin x＋2)dx＝________.
考点　
题点　
答案　4a
解析　∵?xcos x＝0，
∴?(xcos x－5sin x＋2)dx
＝?(－5sin x＋2)dx
＝(5cos x＋2x)|＝4a.
10．?(x2＋)dx＝________.
考点　利用定积分的几何意义求定积分
题点　利用定积分的几何意义求定积分
答案　＋
解析　由微积分基本定理，得?x2dx＝＝，
由定积分的几何意义，得?dx＝，
所以?(x2＋)dx＝＋.
11．一个做变速直线运动的物体的运动速度v(t)＝则该物体在0≤t≤e时间段内的位移为________．(速度单位：m/s，时间单位：s)
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　9－8ln 2＋
解析　∵当0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又当1∴v(1)＝a＝2，∴v(2)＝a2＝22＝4；
又当2≤t≤e时，v(t)＝，∴v(2)＝＝4，∴b＝8.
∴位移s＝?2tdt＋?2tdt＋?dt＝9－8ln 2＋.
12．如图阴影部分是由y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成的，则其面积为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　＋ln 2
解析　由题意可得y＝，y2＝x的交点为(1,1)，
所以S＝?dx＋?dx＝＋ln x
＝＋ln 2.
三、解答题
13．设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若直线x＝－t(0考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b，
又∵f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
由于方程f(x)＝0有两相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，得c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由题意得
?(x2＋2x＋1)dx＝?(x2＋2x＋1)dx，
即＝，
即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，即2(t－1)3＝－1，
∴t＝1－.
四、探究与拓展
14．直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝围成的图形的面积为(　　)
A．ln 2 B．ln  C．ln 3 D．ln 3－ln 2
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　B
解析　根据已知条件画出其所围成图形(图略)，由定积分的几何意义知，曲边梯形的面积可表示为S＝?dx＝?dx＝?dx－?dx＝ln x－ln (x＋1)＝ln 2－(ln 3－ln 2)＝2ln 2－ln 3＝ln ，故选B.
15．求半椭圆＋y2＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
解　因为＋y2＝1(y≥0)可变形为y＝ ，
所以V＝?πdx＝2?πdx
＝2π＝2π
＝2π＝.
即所求旋转体的体积为.
章末复习
学习目标　1.梳理构建定积分的知识网络.2.进一步理解定积分的概念及性质，能熟练应用微积分基本定理求定积分．
1．曲边梯形
(1)由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示．
(2)求曲边梯形面积的一般步骤
①分割：将区间[a，b]n等分；
②计算：过剩估计值
S1＝×；
不足估计值s1＝×.
③近似代替：无论用S1还是用s1表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1－s1.
2．定积分的概念
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．
将[a，b]区间分成n份，分点为：
a＝x0第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，容易验证，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点δ1，S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn的值也趋于该常数A，我们称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝A.
其中?叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．
3．定积分的性质
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
(1)?1dx＝b－a.
(2)?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)．
(3)?[f(x)±g(x)]dx＝?f(x)dx±?g(x)dx.
(4)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a4．微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．
5．利用定积分求平面图形的面积
设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形(如图所示)的面积为S，则S＝?[f(x)－g(x)]dx.
6．求简单的旋转体体积
由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围成的图形(如图所示)绕x轴旋转而成的旋转体的体积V＝π?[f(x)]2dx.

类型一　定积分的计算
例1　(1)?(e|x|－)dx＝________.
(2)若cos 2t＝－?cos xdx，其中t∈(0，π)，则t＝________.
考点　
题点　
答案　(1)2e－2－　(2)
解析　(1)?(e|x|－)dx
＝2?(ex－)dx
＝2，
而?dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限部分的面积，∴?dx＝，
∴?(e|x|－)dx＝2＝2e－2－.
(2)∵?cos xdx＝(sin x)＝sin t，
∴cos 2t＝－sin t，
即2sin2t－sin t－1＝0，
解得sin t＝1或sin t＝－.
又∵t∈(0，π)，∴sin t＝1，
即t＝.
反思与感悟　求定积分通常利用微积分基本定理，若不易找出原函数还可利用定积分的几何意义求解．
跟踪训练1　求定积分?[－x]dx的值．
考点　
题点　
解　由定积分的几何意义知，
?[－x]dx表示半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的一部分与直线y＝x所围成的图形(如图所示)的面积．
将直线和半圆的方程联立，可求得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此?[－x]dx＝－×1×1＝－.
类型二　定积分的综合应用
例2　如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　由题意知×x0×＝，
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0>0，∴x0＝.
引申探究
1．本例中，若阴影部分面积是△OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0.
解　由题意4××x0＝.
∴x0＝＝x，
即x＝x0，解得x0＝或x0＝－或x＝0，
∵x0>0，∴x0＝.
2．曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及直线y＝0所围成的图形的面积为多少？
解　由题知，曲线在点P处切线的斜率为4，
故曲线在点P处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即y＝4x－4，
所求图形的面积为?x2dx＋?(x2－4x＋4)dx
＝x3|＋＝.
反思与感悟　解决此类问题的关键是利用定积分表示或求出相关的图形的面积．
跟踪训练2　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：
切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．
考点　
题点　
解　如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
令y＝0，得x＝，即C.
设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
∵S曲边△AOB＝＝＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x.
∴S＝x－x＝x＝.
∴x0＝1，从而切点为A(1,1)，
切线方程为2x－y－1＝0.

1．已知f(x)＝F′(x)＝xn(n∈N＋)，则F(x)的解析式可能为(　　)
A．F(x)＝nxn
B．F(x)＝xn
C．F(x)＝(n＋1)xn＋1
D．F(x)＝xn＋1＋5
考点　
题点　
答案　D
2．一物体运动的速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，物体做直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　在[1,2]上v(t)≥0，故其位移为?(t2－t＋2)dt＝＝.
3．直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数m等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　
题点　
答案　B
解析　S＝?(2x＋1)dx＝(x2＋x)＝m2＋m＝6，
解得m＝2或－3(舍)．
4.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于(　　)
A. B.
C．2 D.
考点　
题点　
答案　A
解析　点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，故阴影部分的面积为
S＝?(4－x2)dx＝＝，故选A.
5．函数F(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
考点　
题点　
答案　C
解析　因为F′(x)＝(?t(t－4)dt)′＝x2－4x(x>0)，所以F(x)无最大值，当x＝4时，F(x)取最小值－.故选C.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．利用定积分求平面图形面积的一般步骤
同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.
一、选择题
1．和式(xi＋1)可表示为(　　)
A．(x1＋1)＋(x5＋1)
B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1
C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5
D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求和符号的表示
答案　C
解析　(xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.
2．若?(2x－3x2)dx＝0(k≠0)，则k等于(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．以上都不对
考点　
题点　
答案　A
解析　?(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝k2·(1－k)＝0，∵k≠0，∴1－k＝0，k＝1，故选A.
3．一质点以v(t)＝t2－4的速度做变速直线运动，则该质点从t＝0到t＝4时间段内行驶的路程s为(　　)
A. B．－ C．－16 D．16
考点　
题点　
答案　D
解析　由题意知s＝?|t2－4|dt＝?(4－t2)dt＋?(t2－4)dt＝＋＝16.
4．已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　B
解析　由图像知，f(x)＝1－x2，
∴所求面积S＝?(1－x2)dx＝＝.
5.由曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为(　　)
A．ln 2
B．ln 2－1
C．1＋ln 2
D．2ln 2
考点　
题点　
答案　A
解析　由A，B(1,1)，曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为
S＝?dy＝ln y|＝ln 2，故选A.
6．已知函数f(x)＝xm＋ax的导函数是f′(x)＝2x＋1，则?f(－x)dx的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　A
解析　∵f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x.
∴?f(－x)dx＝?(x2－x)dx＝＝.
7．由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(　　)
A．6π B．12π C．24π D．3π
考点　简单几何体的体积
题点　求简单几何体的体积
答案　B
解析　因为xy＝4，所以y＝，
V(x)＝π?y2dx＝π?2dx＝16π?x－2dx
＝＝－16π＝12π.
二、填空题
8．?(ex＋e－x)dx＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　e－
解析　?(ex＋e－x)dx＝(ex－e－x)＝(e1－e－1)－(e0－e0)＝e－.
9．如图阴影部分的面积分别用A1，A2，A3表示，则定积分?f(x)dx＝________.
考点　利用定积分的几何意义求定积分
题点　利用定积分的几何意义求定积分
答案　A1＋A3－A2
解析　?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx＋?f(x)dx＝A1＋(－A2)＋A3＝A1＋A3－A2.
10．?dx的值为________．
考点　利用定积分的几何意义求定积分
题点　利用定积分的几何意义求定积分
答案　
解析　设y＝，则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)，其曲线是半径为1的圆的四分之一圆弧，根据定积分的几何意义可知，?dx表示圆面积的四分之一，所以?dx＝.
11．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　
解析　作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．
由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，
因此所求图形的面积为
S＝?|x2－1|dx＋?(x2－1)dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋
＝－＋－
＝.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝?(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，求实数a，b的值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
解　f(x)＝?(at2＋bt＋1)dt＝
＝x3＋x2＋x.
∵f(x)为奇函数，∴＝0，∴b＝0.
又∵f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝，
∴a＝－，∴a＝－，b＝0.
13．求抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　如图，∵y′＝－2x＋4，在x＝0处切线的斜率是4，在x＝3处切线的斜率是－2.
∴在点(0，－3)处的切线方程是y＝4x－3，在点(3,0)处的切线方程是y＝－2(x－3)．
联立方程组解得
得交点坐标为.
所以由它们围成的图形面积为
S＝＋
＝＋
＝＋＝.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　A
解析　由＝＝
＝－cos＋cos φ＝0，得cos φ＝sin φ，
从而有tan φ＝，则φ＝nπ＋，n∈Z，
从而有f(x)＝sin＝(－1)nsin，n∈Z.
令x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
即f(x)的图像的对称轴方程是x＝kπ＋，k∈Z，
故选A.
15．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分?f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，求由随机模拟方法得到的积分?f(x)dx的近似值．
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　由题意可知，x，y的所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yi≤f(xi)的点(xi，yi)落在y＝f(x)，y＝0以及x＝1，x＝0围成的区域内．由几何概型的计算公式可知，?f(x)dx的近似值为.