第1章导数及其应用学案+滚动训练+章末检测

章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．函数y＝的导数为________．
答案　
解析　y′＝′＝
＝.
2．曲线f(x)＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线的斜率为________．
答案　2
解析　∵f′(x)＝cos x＋ex，
∴k＝f′(0)＝cos 0＋e0＝2.
3．函数f(x)＝xex－ex＋1的单调增区间是________．
答案　(e－1，＋∞)
解析　f′(x)＝ex＋xex－ex＋1＝(x－e＋1)ex，
令f′(x)＞0，得x＞e－1.
4．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调增区间为________．
答案　(2，＋∞)
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝＝，
令f′(x)>0，可得x>2.
∴f(x)的单调增区间为(2，＋∞)．
5．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案　－1
解析　求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.
6．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　[2，＋∞)
解析　函数的导数为f′(x)＝1－.
若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，
则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，
即1－≤0，即≥1，即a≥x，
∵07．若函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，－2)
解析　∵f(x)＝x2＋aln x，∴f′(x)＝ (x>0)．
设g(x)＝2x2＋a，∵函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，
∴g(1)＝2＋a<0，∴a<－2.
8．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为________．
答案　－2
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3ax2＋，f′(1)＝3a＋.
令F(a)＝3a＋(a<0)，
则F′(a)＝3－＝＝，
∴F(a)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，
∴F(a)max＝F(－2)．∴a＝－2.
9．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则实数a的值为________．
答案　－1
解析　f′(x)＝，
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当－0，f(x)单调递增．
若≥1，即a≥1，
则当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f()＝＝，
解得＝<1，不符合题意，
∴<1，
且当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f(1)＝＝，
解得a＝－1，满足<1.
10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－2)
解析　若a＝0，令f(x)＝0，解得x＝±，不符合题意．
若a>0，则f(－1)＝－a－2<0，f(0)＝1>0，
所以f(x)存在负的零点，不符合题意．
若a<0，则f′(x)＝3ax，
可得f?＝1－为极小值，
则1－>0，解得a>2或a<－2，故a<－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2)．
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，满足xf′(x)＋2f(x)＝，且f(1)＝2，则函数f(x)的最大值为________．
答案　
解析　由xf′(x)＋2f(x)＝，
即x2f′(x)＋2xf(x)＝，
变形为[x2f(x)]′＝(ln x)′，
∴f(x)＝，∵f(1)＝2，∴c＝2.
∴f(x)＝ (x>0)．f′(x)＝－，
当x>时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；
当00，此时函数f(x)单调递增．
∴当x＝时，函数f(x)取得最大值为＝.
12．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．
答案　1
解析　求导数可得，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
所以f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
因此a＝1.
13．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　∵f′(x)＝4x－＝，x>0，
∴当0当x>时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
依题意得∴1≤k<.
14．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是________．
答案　{x|x>2}
解析　令g(x)＝x·f(x)，
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数．
又∵f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
∴(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
∴即∴x>2.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)∵点A在f(x)上，由(1)可知，f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
16．(14分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：
(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；
(2)f(x)的最小值是1.
若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．
解　设g(x)＝，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∵f(x)的最小值为1，
∴g(x)的最小值为3.
∴∴解得
经检验，当a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．
17．(14分)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x吨与每吨产品的价格p(元/吨)之间的函数关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
解　依题意知，每月生产x吨产品时的利润为f(x)＝x－(50 000＋200x)＝－x3＋24 000x－50 000(x＞0)，故f′(x)＝－x2＋24 000.
令f′(x)＝0，得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
∵在(0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且x＝200是极大值点，
∴200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．
∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
18．(16分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解　函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调增区间为(0，)，
单调减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
19．(16分)已知x＝1是函数f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．
解　(1)由题意知f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，
由f′(1)＝0，得a＝1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋2x＋5.
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，
即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，
令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，则g(x)有三个零点．
由g′(x)＝x2－3x＝0，得x＝0或x＝3.
令g′(x)>0得x<0或x>3；
令g′(x)<0得0∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．
∴函数在x＝0处取得极大值，在x＝3处取得极小值．
要使g(x)有三个零点，只需解得∴实数m的取值范围为.
20．(16分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)；
当2由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.

1．1　导数的概念
1．1．1　平均变化率
学习目标　1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．
知识点　平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案　自变量x的改变量为x2－x1，函数值y的改变量为y2－y1.
思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
答案　对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度．
梳理　(1)一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
①函数在区间[x1，x2]上有意义．
②在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
③实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
④作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
1．对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0.(　×　)
2．对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量为f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零．(　√　)
3．函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.(　√　)
类型一　函数在某区间上的平均变化率
例1　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
解　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为
＝＝12.3.
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为
＝＝＝3.
反思与感悟　求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量x2－x1.
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)．
(3)求平均变化率.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1,0]上的平均变化率为________．
答案　1
解析　∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，f(0)＝－5，
∴＝＝1.
类型二　实际问题中的平均变化率
例2　某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．
解　前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年)．
后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年)．
反思与感悟　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
跟踪训练2　(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
答案　0.4π
解析　∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，
圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π.
(2)在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？
解　赛车在[20,20.1]上的平均速度为
＝＝＝210.5(m/s)．
类型三　函数平均变化率的应用
例3　甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号)
①v甲>v乙；②v甲答案　②
解析　由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．
反思与感悟　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．
跟踪训练3　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是________．
答案　3>2>1
解析　1＝＝kOA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象知，kOA所以3>2>1.
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是________．
答案　2
解析　＝＝2.
2．已知函数f(x)＝x2＋3，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值是________．
答案　0.41
解析　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)
＝0.41.
3．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
答案　2
解析　＝＝＝2.
4．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/ (mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
答案　－0.002
解析　＝＝－0.002.
5.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题
(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．
(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点．
2．一次函数的平均变化率
一次函数y＝f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的取值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．
3．平均变化率的几何意义
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．
一、填空题
1．已知函数y＝f(x)＝＋3，当x由2变化到1.5时，函数的增量Δy＝________.
答案　
解析　Δy＝f(1.5)－f(2)＝－
＝－1＝.
2．质点运动规律s＝t2＋3，则在区间[3,3＋Δt]上，相应的平均速度为__________．
答案　6＋Δt
解析　因为＝＝＝6＋Δt.
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
答案　－1
解析　 ＝＝＝－1.
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，则在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．
答案　③
解析　①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．
5.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为___________；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为________．
答案　　
解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，
所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为＝＝，
函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为＝＝.
6．甲、乙二人跑步路程与时间的关系如图所示，则________跑得快．
答案　乙
解析　乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
7.如图所示，物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度．(填“等于”、“大于”或“小于”)
答案　等于　大于
解析　由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．
8．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
答案　4
解析　＝＝a2＋a＋1＝21.
解得a＝4或a＝－5.
∵a>1，∴a＝4.
9．如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为________．
答案　3
解析　根据平均变化率的定义可知，＝＝＝a＝3.
10．已知函数f(x)＝2x2＋1，则函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为________．
答案　8.02
解析　函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为＝8.02.
二、解答题
11．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
解　∵函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为＝；
函数y＝sin x在到之间的平均变化率为＝.
又2－<1，∴>，
∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大．
12．(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①当x1＝4，x2＝5时，求函数增量Δy和平均变化率；
②当x1＝4，x2＝4.1时，求函数增量Δy和平均变化率.
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝＝2Δx＋(4x1＋3)．
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k113．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
三、探究与拓展
14．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2时，t的值是5.
15．跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在这段时间内的平均速度；
(2)运动员在这段时间内是静止的吗？
(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
解　(1)＝＝＝0(m/s)，
即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s.
(2)运动员在这段时间里显然不是静止的．
(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时.
1．1．2　瞬时变化率——导数
学习目标　1.了解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．
知识点一　曲线上某一点处的切线
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，点P的坐标为(x0，y0)．
思考1　当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？
答案　当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，即曲线上点P处的切线位置．
思考2　割线PPn的斜率是什么？它与切线PT的斜率有何关系．
答案　割线PPn的斜率kn＝；当Pn无限趋近于P时，kn无限趋近于点P处切线的斜率k.
梳理　(1)设Q为曲线C上的不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
(2)若P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx→0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
知识点二　瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率
1．平均速度
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
3．瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
知识点三　导数
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．(　√　)
2．有的曲线过它上面的某一点可作两条切线．(　×　)
3．函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0∈(a，b)都有f′(x0)存在．(　√　)
4．f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值．(　√　)
类型一　求曲线上某一点处的切线
例1　已知曲线y＝f(x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
解　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝2＋Δx＋－＝＋Δx，
∴＝＋＝＋1.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，
即点A处的切线的斜率是.
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
即3x－4y＋4＝0.
反思与感悟　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
跟踪训练1　(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．
答案　(3,30)
解析　设点P坐标为(x0，y0)，
则＝
＝4x0＋4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即点P坐标为(3,30)．
(2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．
解　设A(1,2)，B(1＋Δx，3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，
则kAB＝＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
类型二　求瞬时速度
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解　在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度＝＝
＝
＝3＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴当Δt→0时，1＋Δt→1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的速度为9 m/s.
又＝
＝(2t0＋1)＋Δt.
∴当Δt→0时，→2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　(1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
②求平均速度＝.
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
跟踪训练2　有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v＝3t－t2，求此物体在t＝2 s时的瞬时加速度．
解　因为v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，
所以＝－1－Δt，
所以当Δt趋于0时，－1－Δt无限趋近于－1.
所以该物体在t＝2 s时的瞬时加速度为－1 m/s2.
类型三　求函数在某点处的导数
例3　已知f(x)＝x2－3.
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
解　(1)因为＝
＝
＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4.
(2)因为＝
＝
＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
反思与感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．
跟踪训练3　(1)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案　2
解析　∵＝＝a，
∴f′(1)＝a，即a＝2.
(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
解　当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为

＝
＝＝5＋Δx.
当Δx→0时，5＋Δx趋近于5，
所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6时原油温度大约以5 ℃/h的速度上升．
1．设函数f(x)可导，则当Δx→0时，趋近于________．
答案　f′(1)
解析　当Δx→0时，→f′(1)．
2．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________________．
答案　x＋y－3＝0
解析　∵k＝f′(1)＝－1，
∴切线方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
3．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝________.
答案　3
解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，
所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
4．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．
答案　8
解析　因为＝
＝＝8＋2Δx，
当Δx→0时，8＋2Δx趋近于8.即k＝8.
5．函数y＝f(x)＝x＋在x＝1处的导数是________．
答案　0
解析　∵函数y＝f(x)＝x＋，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝1＋Δx＋－1－1＝，
∴＝，当Δx→0时，→0，
即y＝f(x)＝x＋在x＝1处的导数为0.
1．平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，当Δx无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x＝x0处的瞬时变化率．
即有：Δx无限趋近于0是指自变量间隔Δx越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．
2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy.(2)求.(3)当Δx→0时，无限趋近于一个常数．(4)常数即为所求值.
一、填空题
1．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数为________．
答案　6
解析　＝＝6＋Δx，
当Δx→0时，得f′(3)＝6.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.
答案　1　1
解析　＝＝a＋Δx，
当Δx→0时，→a.
∵切线x－y＋1＝0的斜率为1，
∴a＝1.
∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为________．
答案　45°
解析　∵y＝x2－2，
∴＝
＝
＝x＋Δx.
故当Δx→0时，其值无限趋近于x，
∴y在x＝1处的导数等于1，
∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
答案　1
解析　＝＝2a＋aΔx，
当Δx→0时，→2a，
∴可令2a＝2，∴a＝1.
5．已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在点P处切线的斜率为________．
答案　4
解析　由y＝x3，得＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，
当Δx→0时，其值无限趋近于x2.
故y在x＝2处的导数等于4，
结合导数的几何意义知，曲线在点P处切线的斜率为4.
6．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点的坐标为________．
答案　
解析　∵＝＝2x＋Δx，
当Δx→0时，其值趋近于2x.
∴令2x＝tan ＝1，得x＝，
∴y＝2＝，所求点的坐标为.
7.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
答案　2
解析　∵点P在切线上，
∴f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝k＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
8．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案　3
解析　由在点M处的切线方程是y＝x＋2，
得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
9．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
答案　4
解析　设在点P处切线的斜率为k，
∵＝
＝－5＋Δx，
∴当Δx→0时，→－5，∴k＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
二、解答题
10．已知质点运动方程是s(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4 s时的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．
解　＝
＝
＝
＝gΔt＋4g＋2.
∵当Δt→0时，→4g＋2，
∴s′(4)＝4g＋2，即v(4)＝4g＋2，
∴质点在t＝4 s时的瞬时速度为(4g＋2) m/s.
11．求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程．
解　因为点(1,3)在曲线上，且f(x)在x＝1处可导，
＝
＝
＝(Δx)2＋3Δx＋2，
当Δx→0时，(Δx)2＋3Δx＋2→2，故f′(1)＝2.
故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
12．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．
解　(1)＝
＝Δx＋3，
当Δx→0时，→3，
∴直线l1的斜率k1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
又∵直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，
∴所求三角形的面积为S＝××＝.
三、探究与拓展
13．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
答案　
解析　∵＝
＝＝Δx＋2x＋2.
故当Δx→0时，无限趋近于2x＋2.
∴可设点P横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.由已知，得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的取值范围为.
14．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋ax的切线，则a＝________.
答案　1或
解析　因为y＝x3－3x2＋ax，设切点(x0，y0)，
所以＝
＝(Δx)2＋(3x0－3)Δx＋3x－6x0＋a.
所以当Δx→0时，→常数3x－6x0＋a.
所以
所以或
1．2　导数的运算
1．2．1　常见函数的导数
学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　几个常见函数的导数
思考1　函数f(x)＝x的导数是什么？
答案　∵＝＝＝1，
∴当Δx→0时，→1，即x′＝1.
思考2　函数f(x)＝的导数是什么？
答案　∵＝＝
＝＝－，
∴当Δx→0时，→－，
即′＝－.
梳理　1.(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
2．C′＝0(C为常数)；
3．(x)′＝1；
4．(x2)′＝2x；
5．(x3)′＝3x2；
6.′＝－；
7．()′＝ .
知识点二　基本初等函数的导数公式
1．(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
2．(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
3．(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)；
4．(ex)′＝ex；
5．(ln x)′＝；
6．(sin x)′＝cos x；
7．(cos x)′＝－sin x.
1．常见函数的导数x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2，()′＝，′＝－分别是幂函数求导公式(xα)′＝αxα－1当α＝1,2,3，，－1的特例．(　√　)
2．(ex)′＝ex是(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)当a＝e时的特例．(　√　)
3．(ln x)′＝是(logax)′＝(a>0且a≠1)当a＝e时的特例．(　√　)
4.′＝cos ＝.(　×　)
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.
解　(1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，
∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝，
∴y′＝()′＝＝.
(4)y′＝.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cos＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
反思与感悟　若给出函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．
跟踪训练1　(1)求下列函数的导数．
①y＝；②y＝；③y＝2x；④y＝e2x；⑤y＝log3x；⑥y＝sin.
解　①y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
②y′＝＝＝.
③y′＝(2x)′＝2xln 2.
④y′＝[(e2)x]′＝(e2)xln e2＝2e2x.
⑤y′＝(log3x)′＝.
⑥∵y＝sin＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(2)求下列函数的导数．
①y＝(1－)＋；
②y＝1－2sin2.
解　①∵y＝(1－)＋
＝＋＝＝，
∴y′＝－.
②∵y＝1－2sin2＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
类型二　求函数在某一点处的导数
例2　求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解　∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝＝－，
∴f′(1)＝－.
反思与感悟　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
跟踪训练2　函数f(x)＝，则f′(3)＝________.
答案　
解析　∵f′(x)＝()′＝，
∴f′(3)＝＝.
类型三　利用导数研究切线问题

例3　已知P，Q为抛物线y＝f(x)＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．
答案　(1，－4)
解析　f′(x)＝x，
kPA＝f′(4)＝4，kQA＝f′(－2)＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.
联立方程组得
∴A(1，－4)．
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决．
跟踪训练3　求过曲线f(x)＝sin x上一点P且与在该点处的切线垂直的直线方程．
解　因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率是f′＝cos ＝.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.

例4　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解　设切点坐标为(x0，x)，依题意知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练4　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解　设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，
∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，故点P(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.
1．下列函数中的求导运算正确的个数为________．
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若f(x)＝，则f′(3)＝－.
答案　3
解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确．
2．函数f(x)＝x3的切线斜率等于1的有________条．
答案　2
解析　设切点为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1，
∴x0＝±.
故斜率等于1的切线有2条．
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
答案　
解析　f′(x)＝，
则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
答案　±1
解析　因为f′(x)＝3x2，
所以f′(a)＝3a2，
所以曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，
令y＝0，则切线与x轴的交点为，
所以由题意知，所围成的三角形面积为
·|a3|＝，所以a＝±1.
5．求下列函数的导数．
(1)y＝(＋1)(－1)＋1；
(2)y＝2－1；
(3)y＝3log2.
解　(1)∵y＝x3，∴y′＝3x2.
(2)∵y＝cos2＋sin2＋2sin cos －1＝sin x，
∴y′＝cos x.
(3)∵y＝log2x，∴y′＝.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
一、填空题
1．下列各式中正确式子的序号是________．
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③()′＝－；④()′＝；⑤(cos 2)′＝－sin 2.
答案　①③④
解析　∵②(x－1)′＝－x－2；
⑤(cos 2)′＝0.
∴②⑤不正确．
2．正弦曲线f(x)＝sin x的切线的斜率等于的点为________．
答案　或(k∈Z)
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵f′(x0)＝cos x0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－(k∈Z)，
∴y0＝或y0＝－.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值为________．
答案　4
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
4．已知曲线f(x)＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝________.
答案　28
解析　∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8.①
又f′(2)＝3×22＝12＝k，②
由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合方程f′(x)＋1＝g′(x)的x的值为________．
答案　1或－
解析　由导数公式可知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，
所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0.
解得x＝1或x＝－.
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
答案　－4
解析　f′(x)＝－，g′(x)＝m.
∵g′(2)＝，∴m＝－4.
7．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
答案　(1,1)
解析　y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－(m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
8．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为________．
答案　e2
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
9．曲线f(x)＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案　x＋y－6＝0
解析　∵f′(x)＝－，∴f′(3)＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为
y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
10．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值为________．
答案　
解析　∵y′＝(ln x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝x＋ln x0－1.
由ln x0－1＝0知，x0＝e.∴k＝.
11．设曲线f(x)＝xn＋1 (n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2x1＋log2x2＋log2x3＝________.
答案　－2
解析　f′(1)＝n＋1，
∴f(x)＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝(n＋1)(x－1)，
则xn＝.
∴log2x1＋log2x2＋log2x3
＝log2(x1·x2·x3)
＝log2＝log2
＝－2.
二、解答题
12．求下列函数的导数．
(1)y＝－2sin ；
(2)y＝log2x2－log2x.
解　(1)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
13．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解　由解得交点为(1,1)．
∵y′＝′＝－，
∴曲线y＝在(1,1)处的切线斜率为－1，
∴曲线y＝在(1,1)处的切线方程为
y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2.
又y′＝(x2)′＝2x，
∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线斜率为2，
∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
y＝－x＋2与y＝2x－1和x轴的交点分别为(2,0)，.
∴所求三角形的面积S＝×1×＝.
三、探究与拓展
14．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
答案　∪
解析　∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴α∈∪.
15．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
1．2．2　函数的和、差、积、商的导数
学习目标　1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
当Δx→0时，→1－，
∴Q′(x)＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
思考3　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
答案　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
梳理　函数和、差的求导法则
(1)和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
(2)差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
知识点二　积、商的导数
已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.
思考1　试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
答案　f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0.
思考2　求H(x)＝x2sin x，M(x)＝，Q(x)＝3sin x的导数．
答案　H′(x)＝2xsin x＋x2cos x，
M′(x)＝
＝＝，
Q′(x)＝3cos x.
梳理　积商的求导法则
(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．
(2)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
特别提醒：对于积与商的求导法则，首先要注意在两个函数积与商的求导法则中，[f(x)g(x)]′≠f′(x)·g′(x)以及′≠；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的求导法则中是“＋”，商的求导法则中分子上是“－”．
1．[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)．(　√　)
2．[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)．(　×　)
3．[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g(x)h(x)＋f(x)g′(x)h(x)＋f(x)g(x)h′(x)．(　√　)
4.′＝.(　×　)
类型一　利用导数的运算法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos x；
(2)y＝lg x－；
(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；
(4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(lg x)′－(x－2)′＝＋.
(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋.
(4)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋′
＝2x＋
＝2x＋.
(5)y′＝
＝＝.
反思与感悟　(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)∵y＝2－3＋x－1＋，
∴y′＝3＋－x－2－.
(2)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
类型二　导数运算法则的综合应用

例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
解　(1)由题意，得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
∴f(x)＝－2x，
∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知，得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　(1)熟练应用导数运算法则，表示出导数f′(x)．
(2)利用待定系数法确定a，b，c，d的值．
跟踪训练2　函数f(x)＝＋f′(1)，则f′(1)＝________.
答案　－1
解析　对f(x)求导，得f′(x)＝＝，
则f′(1)＝－1.

例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案　(1)1　(2)4
解析　(1)∵y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
∴－＝－1，即a＝1.
(2)因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知，g′(1)＝2.
又f(x)＝g(x)＋x2，
所以f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1．设y＝－2exsin x，则y′＝________________.
答案　－2ex(sin x＋cos x)
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．函数y＝的导数y′＝________________.
答案　
解析　y′＝′＝
＝.
3．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k＝________.
答案　
解析　∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝.
4．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意，得解得
则a＋b＝－3.
5．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．
答案　3x－y－11＝0
解析　∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)
＝3(x＋1)2＋3≥3，
∴当x＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)，
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．和与差的求导法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．积、商的求导法则
(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)．
(3)当f(x)＝1时，有′＝－(g(x)≠0).
一、填空题
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为________．
答案　
解析　f′(x)＝3ax2＋6x，则f′(－1)＝3a－6＝4，
解得a＝.
2．曲线f(x)＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．
答案　5x＋y＋2＝0
解析　由f(x)＝－5ex＋3，得f′(x)＝－5ex，
所以切线的斜率k＝f′(0)＝－5，
所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
3．设曲线f(x)＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案　－2
解析　∵f(x)＝＝1＋，
∴f′(x)＝－，∴f′(3)＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．函数f(x)＝excos x，x∈[0,2π]，且f′(x0)＝0，则x0＝________.
答案　或
解析　f′(x)＝excos x－exsin x，
由f′(x0)＝0，得ex0cos x0－ex0sin x0＝0，
即ex0(cos x0－sin x0)＝0，
又ex>0，∴cos x0－sin x0＝0.
∴cos x0＝sin x0，即tan x0＝1.
又x0∈[0,2π]，∴x0＝或.
5．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值为________．
答案　－
解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.
令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，
即2f′(2)＝－，∴f′(2)＝－.
6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____________．
答案　
解析　y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，
则y′＝－＝－，
∵t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立，
∴y′∈[－1,0)，α∈.
7．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
答案　
解析　由题意知，f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，
g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f?的值为________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f?＝1.
9．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案　1
解析　∵f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
10．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案　x－y－1＝0
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
设切点为(x0，y0)．
又f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
11．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　8
解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
二、解答题
12．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
解　∵f′(x)＝＝，
∴f′(c)＝.
依题意知，f(c)＋f′(c)＝0，
即＋＝0，
∴2c－1＝0，得c＝.
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
解　∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1.①
∵y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b.
∴4a＋b＝1.②
又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1.③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
三、探究与拓展
14．若曲线y＝在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
答案　64
解析　∵y＝，∴y′＝－，
∴曲线在点处的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－a)．
令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②，得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
1．2．3　简单复合函数的导数
学习目标　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
知识点　复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考1　这三个函数都是复合函数吗？
答案　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．
思考2　试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
答案　设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5复合而成，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
思考3　试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．
答案　y′x＝·(2x＋5)′＝.
梳理　复合函数求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
1．下列函数都是复合函数．(　×　)
①y＝－x3－＋1；②y＝cos；③y＝；④y＝(2x＋3)4.
2．函数y＝的导数y′＝－.(　√　)
3．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则实数a的值为1.(　√　)
类型一　简单复合函数求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝log2(2x＋1)；
(2)y＝2sin；
(3)y＝ .
解　(1)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝＝.
(2)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3
＝6cos.
(3)设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝·(1－2x)′
＝－×(－2)＝.
反思与感悟　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数．②求导时分清是对哪个变量求导．③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝e－0.05x＋1；
(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω，φ为常数)；
(4)y＝log2(5－3x)．
解　(1)y＝＝是函数y＝，u＝2x＋3的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝·(2x＋3)′
＝－·2＝－3＝－3.
(2)y＝e－0.05x＋1是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.
(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′
＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．
(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·＝＝.
类型二　复合函数导数的综合应用

例2　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.
∴y′x＝
＝＝.
(2)y′x＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′x＝′
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
反思与感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3；(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)．
解　(1)y′x＝′
＝2sin ·′′
＝sin cos 
＝sin x.
(2)y′x＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y′x＝
＝
＝
＝.
(4)y′x＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋.
命题角度2　复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
例3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．
解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得
f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
所以a＝0，b＝－1.
反思与感悟　正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
解　∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′
＝2ax－，
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相切，
∴圆心(0,0)到直线l的距离为，
∴＝，解得a＝.
1．设f(x)＝e－x，则f′(x)＝________.
答案　－e－x
解析　f′(x)＝(－x)′e－x＝－e－x.
2．若f(x)＝sin，则f′＝________.
答案　－3
解析　f′(x)＝3cos，
所以f′＝－3.
3．函数y＝(1－2x)4在x＝处的导数为________．
答案　0
解析　y′x＝4(1－2x)3·(1－2x)′＝－8(1－2x)3，
当x＝时，y′x＝0.
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
答案　
解析　∵f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案　2
解析　由题意知，y′x＝aeax.
当x＝0时，y′x＝a＝2.
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
一、填空题
1．若f(x)＝，则f′(x)＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝＝(1－3x)－4，
∴f′(x)＝[(1－3x)－4]′＝－4(1－3x)－5·(1－3x)′
＝12(1－3x)－5＝.
2．函数y＝5的导数为________．
答案　54
解析　函数y＝5是函数y＝u5与u＝x＋的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝54.
3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是________．
答案　(ex－e－x)
解析　因为y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．
4．已知f(x)＝eπx·sin πx，则f′＝________.
答案　
解析　f′(x)＝(eπx)′·sin πx＋eπx(sin πx)′
＝π·eπxsin πx＋π·eπxcos πx
＝π·eπx(sin πx＋cos πx)，
所以f′＝＝.
5．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．
答案　2
解析　y′x＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2.
6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案　2
解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)，
由题意，得
得x0＝－1，a＝2.
7．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为__________．
答案　1
解析　由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，∴k＝1.
8．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
答案　
解析　由曲线在x＝0处的导数为－2e－2×0＝－2，
∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.
由
得x＝y＝，∴A，
令y＝－2x＋2＝0，得x＝1，∴B(1,0)．
则围成的三角形的面积为××1＝.
9．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案　1
解析　f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.
10．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案　(－ln 2,2)
解析　设P(x0，e－x0)，y′x＝－e－x.
当x＝x0时，有－e－x0＝－2，得x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2,2)．
11．设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，则f′(x)>g′(x)的解集为________．
答案　(5，＋∞)
解析　因为f′(x)＝1＋，g′(x)＝，
所以由f′(x)>g′(x)，
得1＋>，
即>0，
所以x>5或x<1.
又两个函数的定义域为即x>5，
所以不等式f′(x)>g′(x)的解集为(5，＋∞)．
二、解答题
12．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解　由y′x＝(e2xcos 3x)′
＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
当x＝0时，切线方程的斜率k＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为
2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝?c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
13．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．
解　作出直线l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln(2x－1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′x＝(2x－1)′＝.
设切点为P(x0，y0)，
所以＝2，所以x0＝1，
所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，
最短距离d＝＝＝.
三、探究与拓展
14．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
答案　2x－y＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
15．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的解析式．
解　(1)∵y＝e－x，∴y′x＝(e－x)′＝－e－x，
当x＝t时，y′x＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，
即x＋ety－(t＋1)＝0.
(2)令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．
1．3　导数在研究函数中的应用
1．3．1　单调性
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点　函数的单调性与导函数正负的关系
思考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答案　从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2　观察图中函数f(x)，填写下表．
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
>0
锐角
上升
递增
<0
<0
钝角
下降
递减
梳理　一般地，某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数的关系
对于函数y＝f(x)，
如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．
上述结论可以用下图来直观理解．
1．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增．(　√　)
2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f′(x)>0.(　×　)
类型一　利用导数求函数的单调区间

例1　求下列函数的单调区间：
(1)y＝x3－2x2＋x；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
解　(1)y′＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，
因此，y＝x3－2x2＋x的单调增区间为(1，＋∞)，.
再令3x2－4x＋1<0，解得因此，y＝x3－2x2＋x的单调减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又∵x>0，∴0∴f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
反思与感悟　(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练1　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为____________．
答案　(－2－，－2＋)
解析　令f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调减区间为(－2－，－2＋)．

例2　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
(2)当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴－<0.
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，
在(1，＋∞)上为增函数．
反思与感悟　(1)讨论参数要全面，要做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
跟踪训练2　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a)．
类型二　已知函数的单调性求参数的范围
例3　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．
解　∵f′(x)＝k－，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤，∵0<<1，∴k≤0.
即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．
解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不符合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
当x>时，f′(x)>0，当x<时，f′(x)<0，
只需∈(1，＋∞)，即>1，则0∴k的取值范围是(0,1)．
反思与感悟　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，
即≥0在[2，＋∞)上恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立．
∴a的取值范围是(－∞，16].
1．函数f(x)＝(x－1)ex的单调增区间是________．
答案　(0，＋∞)
解析　f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，
令f′(x)>0，解得x>0.
2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是__________．
答案　[1，＋∞)
解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)上单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)上恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
3．函数f(x)＝3＋x·ln x的单调增区间是________．
答案　
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的单调增区间为.
4．已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案　[－，]
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
由题意知，在R上f′(x)≤0恒成立，
则Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，
得－≤a≤.
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，令f′(x)<0，即<0，
解得0令f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调减区间为，
单调增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
一、填空题
1．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的增区间是________，减区间是________．
答案　(－∞，0)和(1，＋∞)　(0,1)
解析　因为f′(x)＝6x2－6x，
令f′(x)>0，得x<0或x>1，
令f′(x)<0，得02．函数y＝(3－x2)ex的单调增区间是__________．
答案　(－3,1)
解析　求导函数，得y′＝(－x2－2x＋3)ex.
令y′＝(－x2－2x＋3)ex＞0，可得x2＋2x－3＜0，
∴－3＜x＜1，
∴函数y＝(3－x2)ex的单调增区间是(－3,1)．
3．函数f(x)＝x2－ln x的单调减区间为________．
答案　(0,1)
解析　∵f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝x－，令f′(x)<0，即x－<0，
解得0又x>0，∴04．函数f(x)＝的单调减区间是________．
答案　(0,1)，(1，e)
解析　令f′(x)＝<0，解得0因为函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
所以函数f(x)＝的单调减区间是(0,1)，(1，e)．
5．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调减区间为(0,3)，则m＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝x3－mx2＋m－2，
∴f′(x)＝3x2－2mx.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝m，
又函数f(x)的单调减区间为(0,3)，
∴m＝3，即m＝.
6．若f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
答案　(－∞，－1]
解析　由题意可知，f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x－2)在(1，＋∞)上恒成立，
由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故b≤－1.
所以b的取值范围是(－∞，－1]．
7．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为________．
答案　[3，＋∞)
解析　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
要使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在x∈(－1,1)上恒成立，
则3x2－a≤0，
即a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立，
在x∈(－1,1)上，0≤3x2<3，∴a≥3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调减区间为____________．
答案　(－∞，0)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x.
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的单调减区间为(－∞，0)．
9．如图为函数f(x)的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　由图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
10．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2]
解析　因为f(x)＝x2－9ln x，
所以f′(x)＝x－(x>0)．
令x－≤0，
解得0所以a－1>0且a＋1≤3，解得111．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围为________．
答案　(－∞，1)
解析　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，∴f(x)－2x＋1>0，
即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
二、解答题
12．已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
解　由已知，得f′(x)＝2a＋.
∵f(x)在(0,1]上是增函数，
∴f′(x)≥0，即a≥－在(0,1]上恒成立．
而g(x)＝－在(0,1]上是增函数，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋，
对x∈(0,1]有f′(x)≥0，
∴当a＝－1时，f(x)在(0,1]上是增函数．
综上，若f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．
13．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．
解　f′(x)＝ax2＋1.
若a≥0，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
即只有一个单调增区间(－∞，＋∞)，
所以a<0.
当a<0时，由f′(x)>0，得－ 由f′(x)<0，得x<－ 或x> ，
即当a<0时，f(x)在上为增函数，在， 上为减函数．
综上可知，当a<0时有3个单调区间，分别是，，.
三、探究与拓展
14．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．
答案　(－∞，－3)∪(0,3)
解析　当x<0时，
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
令F(x)＝f(x)g(x)，
则当x<0时，F(x)为增函数．
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，
∴F(x)为奇函数．
故当x>0时，F(x)仍为增函数．
根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，作出F(x)的示意图如图．
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
15．已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－－＝.
(1)当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(2)当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，
令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋>0.
①若－10，
∵x∈(0，＋∞)，
∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上为增函数，在(1－，1＋)上为减函数．
②若a>0，则x1<0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)<0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在区间(0,1＋)上为减函数，
在区间(1＋，＋∞)上为增函数．
③若a＝0，则f′(x)＝1－＝，
当x>2时，f′(x)>0；当0∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上为增函数，在区间(0,2)上为减函数．
综上所述，当a≤－1时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当－1当a＝0时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(0,2)；
当a>0时，f(x)的单调减区间为(0,1＋)，单调增区间为(1＋，＋∞)．
1．3．2　极大值与极小值
第1课时　极值的概念及求法
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数的极值点和极值
思考1　观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．
思考2　导数为0的点一定是极值点吗？
答案　不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是单调递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
梳理　(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二　函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)＞0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)＜0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)列表．
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
1．导数为零的点一定是函数的极值点．(　×　)
2．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值．(　×　)
3．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　√　)
4．函数f(x)的极大值一定大于极小值．(　×　)
类型一　求函数的极值点和极值

例1　求下列函数的极值，并画出函数的草图．
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
解　(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
0
＋
f(x)
?
无极值
?
极小值f(0)
?
无极值
?
∴当x＝0时，f(x)有极小值0.
函数的草图如图所示．
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?

?
因此，x＝e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
函数的草图如图所示．
反思与感悟　(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①求导数f′(x)．
②求方程f′(x)＝0的根．
③观察f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值．
注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．
跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝x2e－x.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可以看出，x＝－1为函数f(x)的极大值点，且极大值f(－1)＝，x＝3为函数f(x)的极小值点，且极小值f(3)＝－6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由上表可以看出，x＝0为函数f(x)的极小值点，且极小值为f(0)＝0.
x＝2为函数f(x)的极大值点，且极大值为f(2)＝4e－2.

例2　设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
解　由已知，得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
列表如下.
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值f(0)
?
极小值f(a－1)
?
从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
在(0，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增．
综上，当a＝1时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，
当a>1时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调减区间为(0，a－1)．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
反思与感悟　含参数的函数求极值应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
类型二　已知函数极值求参数
例3　已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．
解　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1时取得极小值，∴a＝2，b＝9.
反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用，确定函数的解析式时，应注意两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练3　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值点求参数
解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1，
∴f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，
且定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.
1．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a＝________.
答案　
解析　f′(x)＝a－，令f′＝0，
即a－＝0，解得a＝.
2．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
答案　11
解析　y′＝9x2－9.
令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
极大值
?
极小值
?
从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值，
极大值为3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝________.
答案　5
解析　由题意，得f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.
4．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　判断极值点的个数
答案　0
解析　因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
答案　－2
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意，知即
解得则a＋b＝－2.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大值或最小值，并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
一、填空题
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则原函数y＝f(x)的极大值点的个数为________．
答案　1
解析　由图象可知，从左到右，函数f(x)的图象先减，后增，再减，再增．由极大值点的定义可知，图中与x轴交点从左到右第二个就是极大值点，极大值点有1个．
2．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为________．
答案　
解析　∵f(x)＝x3－x2－x＋a，
∴f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，则x＝－或1.
当x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当－当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)．
f(1)＝a－1＝1，∴a＝2.
当x＝－时，f(x)取得极大值f＝.
3.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极值点说法中，正确的为______．
①无极大值点，有四个极小值点；
②有三个极大值点，两个极小值点；
③有两个极大值点，两个极小值点；
④有四个极大值点，无极小值点．
答案　③
解析　在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知函数f(x)有两个极大值点，两个极小值点．
4．函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b，若f(x)仅在x＝0处有极值，则a的取值范围是________．
答案　[－2，2]
解析　f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x，
令f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x＝0，可得x＝0或3x2＋2ax＋4＝0，∵f(x)仅在x＝0处有极值，
∴Δ＝4a2－48≤0，∴－2≤a≤2.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为________．
答案　，0
解析　f′(x)＝3x2－2px－q.
由函数f(x)的图象与x轴相切于点(1,0)，
得f(1)＝1－p－q＝0，
f′(1)＝3－2p－q＝0，
由以上两式解得p＝2，q＝－1，
∴函数f(x)＝x3－2x2＋x，
则f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
当x≤时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
f(x)极小值＝f(1)＝0，
f(x)极大值＝f＝，
∴f(x)的极大值为，极小值为0.
6．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
答案　－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
且f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
∴f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×4＝0，
∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
7．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　f′(x)＝3x2－3b，
∵当b≤0时，f′(x)>0，此时在(0,1)内单调递增．
当b＞0时，令f′(x)＝0，即3x2－3b＝0，得x＝±.
∵当x∈(－，)时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，
f′(x)>0，
∴x＝是f(x)的极小值点，则0<<1，∴08．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(－1)＝________.
答案　30
解析　由题意知即
解得或
经检验知，当时，f′(x)≥0，不合题意．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，则f(－1)＝30.
9．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－1
解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点，得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；当－2当x>1时，f′(x)>0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.
10．设a∈R，若函数y＝eax＋3x的极值点大于0，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－3)
解析　令y＝f(x)，则f′(x)＝aeax＋3，
函数f(x)取极值的点大于0，即f′(x)＝aeax＋3＝0有正根．
当f′(x)＝aeax＋3＝0成立时，显然有a<0，
此时x＝ln，
由x>0，可得a<－3.
二、解答题
11．已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极小值．
解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知f(x)＝－6x3＋9x2.
所以f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，f′(x)<0；当00；
当x>1时，f′(x)<0.
所以当x＝0时，f(x)有极小值，其极小值为0.
12．已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
解　∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m(m>0)．
列表如下.
x
(－∞，－m)
－m

m

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值f(－m)
?
极小值f?
?
∴f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
三、探究与拓展
13．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为__________．
答案　(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.
14．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
令f′(x)>0，解得x<－2或x>－1；
令f′(x)<0，解得－2所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)，
单调减区间为(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，
得x＝－a或x＝－2.
当a<2，即－a>－2时，列表如下.
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值f(－2)
?
极小值f(－a)
?
由表可知，f(x)有极大值f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2<2，
当a＝2时，f(x)＝(x2＋2x＋2)ex，
此时f′(x)＝(x2＋4x＋4)ex＝(x＋2)2ex≥0，
f(x)在R上单调递增，无极值，不满足题意．
所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，
此时a＝4－3e2.
第2课时　极值的应用
学习目标　1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．
1．极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增?
极大值f(x1)
?减
2.极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
x
x2左侧
x2
x2右侧
f(x)
?减
极小值f(x2)
增?
1．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　×　)
2．极值点处的导数一定为0.(　×　)
3．有极值的函数一定是非单调函数．(　√　)
类型一　由极值的存在性求参数的范围
例1　若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，1)
解析　f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
引申探究
1．若本例中函数的极大值点是－1，求a的值．
解　f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．
2．若本例中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．
解　由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，
设为x1，x2，则
解得0故a的取值范围是(0,1)．
反思与感悟　函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0的根的问题．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
解　∵f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－.
当00，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．
∵函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
∴解得即实数a的取值范围为.
类型二　利用函数极值解决函数零点问题
例2　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大值
?
极小值
?
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16即实数m的取值范围为.
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练2　已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
解　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)的图象与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．
答案　1
解析　由图可知，在区间(a，x1)，(x2，0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，
在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x2)．
2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f(x)是增函数；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
答案　③④
解析　f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)＝0，极小值是f(2)＝－4.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．
答案　－
解析　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，
∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，
∴a2＋8a＋12＝0，
∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．
当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意，
∴＝－＝－.
4．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.
答案　－
解析　f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，
得x＝－，
且x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，
所以x＝－是极小值点．
5．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案　9
解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，
从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意
(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法.
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1.若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　由f′(x)＝x2＋2x－2a，由题意知，f′(1)·f′(2)<0，
即(3－2a)(8－2a)<0，∴即实数a的取值范围是.
2．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　9
解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴a＋b≥2，
∴2≤6，∴ab≤9.
3．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a的值为________．
答案　4或5
解析　f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
由f′(x)>0，得x<1或x>2，
由f′(x)<0，得1所以函数f(x)在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，
在区间(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)．
若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4.
4．函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－5．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　f′(x)＝(ln x－ax)＋x
＝ln x＋1－2ax(x>0)，
令f′(x)＝0，得2a＝，
设φ(x)＝，则φ′(x)＝.
易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
大致图象如下图．
若f(x)有两个极值点，则y＝2a和y＝φ(x)图象有两个交点，
∴0<2a<1，∴06．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
答案　[1,5)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
7．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　令g(x)＝x2ex，
则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．
令g′(x)＝0，得x＝0或－2，
∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．
∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，
又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则08．若函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋2)x在x＝处取得极大值，则正数a的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　f′(x)＝＋2ax－(a＋2)＝＝，
因为f(x)在x＝处取得极大值，
所以f′(x)＝0的两根满足>，
又a>0，故正数a的取值范围是(0,2)．
9．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
答案　3
解析　f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝0，即＝0，解得a＝3.
10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
答案　
解析　∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
∴当x＝a时，f(x)有极小值，当x＝－a时，f(x)有极大值．
由题意得解得a>.
11．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝0得，a＝－ex.
又x>0，∴ex>1，
∴－ex<－1，
∴a<－1.
二、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6的图象在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴f(x)的极大值是f?＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，
x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f?＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴(a－1)>0，
∴a＜－或a＞1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
三、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，若y＝f(cos x)在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　由函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
可得f′(x)＝x(ex－2a)，
令x(ex－2a)＝0，可得x＝0或ex＝2a，
当a≤0时，函数只有一个极值点，并且x＝0是函数f(x)的极小值点，
并且f(0)＝－1<0，y＝f(cos x)在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，
也就是y＝f(x)在x∈[－1,1]上有且仅有两个不同的零点，
可得即可得a≤－.
当a>0时，函数的两个极值点为x＝0，x＝ln(2a)，
如果ln(2a)>0，
因为f(0)<0，可知不满足题意；
如果ln(2a)<0，可得
即可得a≤－，与a>0矛盾．
综上可知，a的取值范围是.
15．若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解　令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．
g(x)与g′(x)在(－2，＋∞)的变化情况如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需
即所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].
1．3．3　最大值与最小值
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案　不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理　(1)最大值与最小值
①如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．
②如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值唯一．
(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在区间(a，b)上的极值．
②将第①步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
1．定义在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值．(　√　)
2．定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值．(　×　)
3．函数的所有极小值中最小的一个就是最小值．(　×　)
4．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　×　)
类型一　求函数的最值

例1　求下列各函数的最值.
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
?
极大值4
?
极小值4
?
极大值4
?
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练1　求下列函数的最值．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)函数f(x)＝的定义域为x∈R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当f′(x)>0时，x<2，
当f′(x)<0时，x>2.
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
(2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得x＝π或x＝π.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f?＝π－，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

例2　已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
又x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<<1，即0列表如下.
x
(0，)

(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
2a
?
f(x)max＝f()＝2a.
②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
解　f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<<2，即0从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，列表如下.
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案　(－1,2]
解析　由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
列表如下.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－2
?
2
?
由此得a2－12<－1又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1(2)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0，求a的值．
解　f(x)的定义域为(－a，＋∞)，
f′(x)＝1－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1－a>－a.
当－a1－a时，f′(x)>0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知，f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1.
类型三　与最值有关的恒成立问题
例4　已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解　由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4，
∴a≤h(x)min＝4.
即a的取值范围是(－∞，4]．
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练4　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1.
由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值
?
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1.
又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max＝1.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞).
1．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________．
答案　3，－17
解析　f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝3，在x＝1处取得极小值f(1)＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.
2．函数f(x)＝的最大值为________．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　e－1
解析　令f′(x)＝＝＝0，
解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；
当00.
f(x)极大值＝f(e)＝，且函数在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝.
3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为________．
答案　e2
解析　f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝－2时，f(－2)＝；当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，所以函数的最大值为e2.
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为________．
答案　32
解析　因为函数f(x)＝x3－12x＋8，
所以f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，解得－2f(－3)＝17，f(3)＝－1，
所以函数在x＝2时取到最小值f(2)＝8－24＋8＝－8，
在x＝－2时取到最大值f(－2)＝－8＋24＋8＝24.
即M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
5．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　－37
解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由题意知，在区间[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，
f(2)＝16－24＋3＝－5，
∴f(x)min＝－37.
1．求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：(1)对函数进行准确求导．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
2．解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题．如：(1)f(x)≥m恒成立，只需f(x)min≥m成立即可，也可转化为h(x)＝f(x)－m，这样就是求h(x)min≥0的问题．(2)若在某区间D上恒有f(x)≥g(x)成立，可转化为h(x)＝f(x)－g(x)，求h(x)min≥0的问题．
一、填空题
1．函数f(x)＝xln x在(0，＋∞)上的最小值为________．
答案　－
解析　f′(x)＝(xln x)′＝x′·ln x＋x·(ln x)′
＝ln x＋1.
由f′(x)>0，得x>；
由f′(x)<0，得0所以f(x)＝xln x在x＝处取得极小值f?＝－，
所以－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为__________．
答案　－71
解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
3．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是________________．
答案　15x－3y－2＝0
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
4．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0,2]上有最大值f(2)，
则要求f(x)在[0,2]上单调递增，
则2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立．
当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立；
当a<0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
答案　－
解析　当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－17．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________．
答案　π
解析　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
8．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________．
答案　2
解析　f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2.
9．已知函数f(x)＝ax3＋c，f′(1)＝6，且函数f(x)在[1,2]上的最大值为20，则c＝________.
答案　4
解析　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
10．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－2，1]都成立，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－15]
解析　根据题意，a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－2,1]都成立，
设函数f(x)＝4x3＋4x2＋1，x∈[－2,1]．
求出导数f′(x)＝12x2＋8x，
令f′(x)＝0，得x＝0或－.
所以在区间上，f′(x)>0，函数为增函数，
在区间上，f′(x)<0，函数为减函数，
在区间(0,1)上，f′(x)>0，函数为增函数，
因此函数在闭区间[－2,1]上，
在x＝－处取得极大值f?，
在x＝0时函数取得极小值，
且f(0)＝1，f(1)＝9，f(－2)＝－15，
所以f(－2)＝－15是最小值，所以实数a≤－15.
11．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案　[－2,1)
解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．
函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，即实数a满足a<1<6－a2，且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.
解a<1<6－a2，得－不等式a3－3a≥f(1)＝－2，
即a3－3a＋2≥0，即a3－1－3(a－1)≥0，
即(a－1)(a2＋a－2)≥0，
即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2.
故实数a的取值范围是[－2,1)．
二、解答题
12．设函数f(x)＝exsin x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f′(x)＝ex(sin x＋cos x)
＝exsin.
由f′(x)≥0，得sin≥0，
所以2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知，当x∈[0，π]时，是单调增区间，是单调减区间．
且f(0)＝0，f(π)＝0，f?＝，
所以f(x)max＝f?＝，
f(x)min＝f(0)＝f(π)＝0.
13．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)f′(x)＝－2bx.
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e)上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
三、探究与拓展
14．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则实数a的最大值为________．
答案　0
解析　令f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝，
当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递减，在(1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，a的最大值为0.
15．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，
最大值为f?＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f?＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
1．4　导数在实际生活中的应用
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
1．优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题．(　√　)
2．生活中的优化问题都必须利用导数解决．(　×　)
3．生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点．(　√　)
类型一　几何中的最值问题
例1　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
解　∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×
＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴底面边长为x＝20(cm)，
高为(30－x)＝10(cm)，
即高与底面边长的比值为.
引申探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解　∵AE＝x，∴HE＝x.
∵EF＝60－2x，
∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)．
∴S侧＝4×HE×EG＝4×x×(30－x)
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152.
∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.
反思与感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
跟踪训练1　已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　
解析　设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
∵V′(r)只有一个极值点，
∴当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，
圆柱的高h为.
类型二　实际生活中的最值问题

例2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)当0所以当0当9所以当x＝9时，Wmax＝38.6.
当x>10时，令W′＝－2.7＋＝0，得x＝，
当100；当x>时，W′<0，
所以当x＝时，Wmax＝38<38.6，
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
列表如下.
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值f(4)
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值为42.
所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

例3　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.(0(2)由(1)知，f′(x)＝－＋m
＝．
令f′(x)＝0，得＝512，
所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)上为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故当m＝640米时，需新建9个桥墩才能使y最小．
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解　(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故当x＝5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．
答案　4
解析　设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝.
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，判断知当x＝8时，S(x)取得最小值．
∴h＝＝4.
2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产________千台．
答案　6
解析　构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．
3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入．
答案　1 800
解析　设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1 600－100x，∴当x＝16时，f(x)取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大．
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
答案　160
解析　设底面长为x m，由题意得底面宽为 m.
设总造价为y元，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，
y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴当x＝2时，ymin＝160.
5．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
答案　
解析　设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x.
设正方形与圆形的面积之和为S，
则正方形的边长a＝，圆的半径r＝.
故S＝π2＋2(0因此S′＝－＋＝－，
令S′＝0，则x＝.
由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝时，面积之和最小．
1．利用导数解决生活中实际问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
一、填空题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________．
答案　－1
解析　原油温度的瞬时变化率f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为________．
答案　
解析　设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
当x∈(0，)时，S′<0，S单调递减，
当x∈(，＋∞)时，S′>0，S单调递增，
∴x＝为S的极小值点也是最小值点．
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为________．
答案　3π
解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝.
∴V＝πr2h＝πr2－2πr3，
则V′＝lπr－6πr2.
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极大值点，也是最大值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为________ cm3.
答案　128 000
解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V(x)＝x2h＝60x2－ (0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得当x＝80时，V取最大值为128 000 cm3.
5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________．
答案　300
解析　由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，即当每年生产300单位的产品时，总利润最大．
6．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为________．
答案　2∶1
解析　设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝.
由题意知，当表面积S最小时所用材料最省，
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋.
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
当r＝时，h＝＝.
则当h∶r＝2∶1时，表面积S最小．
7．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长和宽各为____________．
答案　32 m,16 m
解析　如图所示，设场地一边长为x m，
则另一边长为 m，因此新墙总长度L＝2x＋(x＞0)，L′＝2－.
令L′＝2－＝0，得x＝16或x＝－16.∵x＞0，
∴x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点．∵x＝16，∴＝32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
8．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
答案　40
解析　由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．
∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
9.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求面积的最值问题
答案　
解析　设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
令f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
答案　80
解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
y＝·
＝x2＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数单调递减；当x∈(80,120)时，y′>0，该函数单调递增，所以当x＝80时，y取得最小值．
11．某厂生产某种产品x件的总成本为c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大．
答案　25
解析　由题意知，502＝，解得k＝25×104.
∴产品的单价P＝＝，
∴总利润L(x)＝x－1 200－x3＝500－1 200－x3，
L′(x)＝250x－－x2，
令L′(x)＝0，得x＝25，
∴当x＝25时，总利润最大．
二、解答题
12．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
解　设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10，p＝6，
所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，
所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当020时，q′>0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少．
13．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解　设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m.
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
当00；
当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
三、探究与拓展
14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是________．
答案　
解析　∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设f(x)＝kx，当投入4万时，获得利润为1万，
即4k＝1，得k＝，即f(x)＝x.
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设g(x)＝k′，当投入4万时，获得利润为2.5万，
即k′＝，得2k′＝，即k′＝，即g(x)＝.
设乙产品投入资金为x，则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
则销售甲、乙两种产品所得利润为y＝(10－x)＋，
则y′＝－＋＝，
令y′>0，得5－2>0，即0令y′<0，得5－2<0，即即当x＝时，函数取得极大值同时也是最大值，此时
y＝＋×＝＋＝.
15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0解　由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]×y
＝(3－0.9x)×3 240＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取得极大值，f＝20 000.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
1．5　定积分(选学)
1．5．1　曲边梯形的面积
学习目标　1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
知识点　曲边梯形的面积
思考1　如何计算下列两图形的面积？

答案　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
思考2　如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0及y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
梳理　(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．(如图②所示)
　　
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割．②以直代曲．③作和．④逼近.
类型一　求曲边梯形的面积
例1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
解　(1)分割
把区间[0,1]等分成n个小区间：，，…，，…，，简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－·为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积．
(3)作和
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
S＝Si≈－(ξi)Δx＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·＝－＝－.
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0(亦即n→＋∞)时，－→S，
即当n→＋∞时，有S＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
反思与感悟　求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近．
(3)关键：以直代曲．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝；
12＋22＋32＋…＋n2＝；
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，
∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n等分，
则Δx＝， 取ξi＝.
(2)以直代曲、作和
ΔSi≈2·，
S≈2·
＝[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝.
(3)逼近
当n→＋∞时，
→.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积为.
类型二　求变速运动的路程
例2　当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解　将区间[1,2]等分成n个小区间，
第i个小区间为.
所以Δsi≈v·.
sn＝Δsi≈v
＝ 
＝ 
＝
＝3＋＋.
当n→＋∞时，
3＋＋→.
所以s＝，
所以这段时间行驶的路程为 km.
引申探究　
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？
解　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
所以Δsi≈v·.
sn＝Δsi≈v
＝3＋[12＋22＋…＋(n－1)2＋n2]＋[2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n]
＝3＋＋.
当n→＋∞时，
3＋＋→.
所以s＝，
所以这段时间行驶的路程为 km.
所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．
反思与感悟　求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变速直线运动的时间区间．
跟踪训练2　一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)．
解　①分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝－＝，把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记为Δs1，Δs2，…，Δsn，则有s＝si.
②以直代曲
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
③作和
sn＝si≈
＝－·－·－…－·＋10
＝－(12＋22＋…＋n2)＋10
＝－·＋10
＝－8·＋10.
④逼近
当n→＋∞时，s＝.
因此，行驶的路程为 km.
1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为________．
答案　
解析　区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案　1.02
解析　将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.
3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为________．
答案　
4．直线y＝0，x＝1，x＝2，曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积为________．
答案　
5．求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2所围成的图形的面积．
解　(1)分割
将区间[0,1]等分成n个小区间：，，…，，…，，
每个小区间的长度为Δx＝.
过各区间端点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
在区间上，用处的函数值2作为高，以小区间的长度Δx＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈2·.
(3)作和
曲边梯形的面积为
S＝ΔSi≈ 2·
＝0·＋·2·＋·2·＋…＋·2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝.
(4)逼近
当n→＋∞时，→.
即曲边梯形的面积为.
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]．
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]．
(3)作和：(ξi)·.
(4)逼近：当n→＋∞时，(ξi)·→S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题．
一、填空题
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以近似代替为________．
答案　f?或f?
2．在求由曲线y＝与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈________.
答案　
解析　每个区间的长度为，
第i个小曲边梯形的高为，
∴第i个小曲边梯形的面积为×＝.
3．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是________．
答案　
4．把区间[a，b](a答案　(i＝1,2，…，n)
解析　区间[a，b](a每个小区间长度均为，
所以第i个小区间是(i＝1,2，…，n)．
5．在区间[0,8]上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度Δx＝________，第5个小区间是________．
答案　0.8　[3.2,4]
6．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
答案　1
解析　只有①正确．
7．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．
答案　3
解析　将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．
当n→＋∞时，→9，
∴＝9，解得a＝3.
8.＝________.
答案　
解析　＝(1＋2＋…＋n)＝·＝.
9．已知某物体运动的速度v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
答案　55
解析　∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
10．当n很大时，可以代替函数f(x)＝x2在区间上的值有________个．
①f?；②f?；③f?；④f?.
答案　3
解析　因为当n很大时，区间上的任意的取值都可以代替，又?，∈，∈，－∈，故能代替的有②③④.
11．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成曲边梯形，将区间[0,2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________.
答案　3.92　5.52
解析　分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1≈(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2≈(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
二、解答题
12．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解　(1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，显然有
Δsi≈v·Δt＝·
＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
sn＝si≈＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4＝8＋4.
(4)逼近
当n→＋∞时，
8＋4→12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
13．如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
解　(1)分割
如图，将区间[0,3]n等分，
则每个小区间(i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝.分别过各区间端点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)以直代曲
以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．ΔSi≈f·Δx.
则当n很大时，用n个小矩形面积之和近似代替曲边梯形的面积S.
(3)作和
S≈fΔx
＝×
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－×＋×＋9
＝－9＋9＋9.
(4)逼近
当n→＋∞时，
－9＋9＋9→9.
即所求曲边梯形面积为9.
14．利用定积分表示由直线y＝x－2，曲线x＝y2围成的平面区域的面积S.
解　曲线所围成的平面区域如图所示，S＝A1＋A2，
其中，A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1围成．
∴A1＝?[－(－)]dx
＝?2dx
A2＝?[－(x－2)]dx.
∴S＝?2dx＋?(－x＋2)dx.
1．5．2　定积分
学习目标　1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义．
知识点一　定积分的概念
思考　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答案　两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近．
梳理　一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为S＝?f(x)dx，其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．
知识点二　定积分的几何意义
思考1　根据定积分的定义求得?(x＋1)dx的值是多少？
答案　?(x＋1)dx＝.
思考2　?(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形面积有何关系？
答案　相等．
梳理　一般地，定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).
类型一　利用定积分的定义求定积分
例1　利用定积分的定义，计算?(3x＋2)dx的值．
解　令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)以直代曲、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn≈?·Δx
＝·
＝
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5
＝×＋5＝－.
(3)逼近
当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→，
所以S＝?(3x＋2)dx＝.
反思与感悟　利用定义求定积分的步骤
跟踪训练1　利用定积分的定义计算?(x＋2)dx.
解　令f(x)＝x＋2.
将区间[2,3]平均分为n个小区间，每个小区间的长度为Δxi＝，
[xi－1，xi]＝，i＝1,2，…，n.
取ξi＝xi＝2＋，则f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.
则Sn≈f(ξi)Δx＝ ·
＝ ＝n·＋
＝4＋.
∴当n趋于＋∞时，?(x＋2)dx＝.
类型二　利用定积分的几何意义求定积分
例2　说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)?2dx；
(2)?xdx；
(3)?dx.
解　(1)?2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以?2dx＝2.
(2)?xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，
所以?xdx＝.
(3)?dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，
所以?dx＝.
引申探究
1．将本例(3)改为利用定积分的几何意义求?dx.
解　?dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，
∴?dx＝.
2．将本例(3)改为利用定积分的几何意义求?dx.
解　?dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，
∴?dx＝.
反思与感悟　利用定积分所表示的几何意义求?f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
跟踪训练2　利用定积分的几何意义，求：
(1)?dx；
(2)?(2x＋1)dx.
解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示，
其面积S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知，?dx＝π.
(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．
?(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0所围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)，
其面积S＝×(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知，?(2x＋1)dx＝12.
1．将曲线y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为________．
答案　?exdx
2．关于定积分a＝?(－2)dx的叙述正确的命题的序号是________．
①被积函数为y＝2，a＝6；
②被积函数为y＝－2，a＝6；
③被积函数为y＝－2，a＝－6；
④被积函数为y＝2，a＝－6.
答案　③
解析　由定积分的概念可知，
?(－2)dx中的被积函数为y＝－2，
由定积分的几何意义知，?(－2)dx等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴?(－2)dx＝－2×3＝－6.
3．?2(x－2)dx＝________.
答案　5
解析　?(x－2)dx＝S2－S1＝×32－×22＝，
故?2(x－2)dx＝5.
4．计算：.
解　由定积分的几何意义，得
＝×2＝2π.
由定积分的几何意义，得＝0.
所以＝－＝2π.
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、填空题
1．?dx＝________.
答案　1
解析　定积分?dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
2.如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为________．
①?f(x)dx；
②?f(x)dx－?f(x)dx；
③－?f(x)dx－?f(x)dx；
④－?f(x)dx＋?f(x)dx.
答案　④
解析　若f(x)≥0，则在[a，b]上阴影部分的面积S＝?f(x)dx；若f(x)≤0，则在[a，b]上阴影部分的面积S＝－?f(x)dx；因为在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，所以在[a，b]上阴影部分的面积S＝－?f(x)dx＋?f(x)dx，故填④.
3．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案　－?sin xdx
解析　由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为
S＝－? sin xdx.
4．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则?f(x)dx＝________.
答案　0
解析　∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴?f(x)dx＝0.
5．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形的面积用定积分表示为________．
答案　
解析　联立
解得故A.
由图知阴影部分的面积可表示为
.
6．已知?xdx＝2，则?xdx＝________.
答案　－2
解析　?xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形的面积，而?xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积的相反数，而直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积与直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形面积相等，所以?xdx＝－2.
7．设a＝?dx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案　a>b>c
解析　根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c.
8．定积分?dx的值为________．
答案　
解析　因为y＝，
所以(x－1)2＋y2＝1，y≥0，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆的上半部分．
定积分?dx即为该圆的面积的四分之一，
所以定积分?dx＝.
9．若?f(x)dx＝1，?3f(x)dx＝2，则?f(x)dx＝________.
答案　
解析　∵?f(x)dx＝?f(x)dx＝1，
∴?f(x)dx＝2.
又?3f(x)dx＝3?f(x)dx＝2，
∴?f(x)dx＝.
∴?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝＋2＝.
10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
答案　?dx
11．?[－x]dx＝________.
答案　
解析　?[－x]dx
＝?dx－?xdx.

?dx表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的，即?dx＝π.
?xdx＝×32＝.
∴?[－x]dx＝π－＝.
12．若?x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案　3
解析　令f(x)＝x2.
①分割
将区间[0，T]n等分，则Δx＝.
②以直代曲、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝.
③逼近
当n→＋∞时，Sn→，
∴＝9, ∴T3＝27，∴T＝3.
二、解答题
13.如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求?dx.
解　解方程组
得x＝±2.
∴阴影部分的面积为?dx.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义，得?dx
＝?dx＝π＋.
1．5．3　微积分基本定理
学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点　微积分基本定理
思考1　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则
?(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
答案　由定积分的几何意义知，?(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，
F(1)－F(0)＝2，故?(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．
思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?
答案　不唯一．根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
梳理　(1)微积分基本定理
对于被积函数f(x)，
如果F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)，
即?F′(x)dx＝F(b)－F(a)．
(2)常见的原函数与被积函数关系
①?cdx＝cx|(c为常数)．
②?xndx＝(n≠－1)．
③?sin xdx＝－cos x|.
④?cos xdx＝sin x|.
⑤?dx＝ln x|(b>a>0)．
⑥?exdx＝ex|.
⑦?axdx＝(a>0且a≠1)．
⑧?dx＝(b>a>0).
类型一　求定积分

例1　求下列定积分．
(1)?(2x＋ex)dx；
(2)?dx；
(3)；
(4)?(x－3)(x－4)dx.
解　(1)?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|
＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)?dx＝(ln x－3sin x)|
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵2
＝1－2sin cos ＝1－sin x，
∴＝
＝
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴?(x－3)(x－4)dx
＝?(x2－7x＋12)dx
＝
＝－0＝.
反思与感悟　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)．
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
跟踪训练1　求下列定积分．
(1)?dx；
(2)；
(3)?(1＋)dx.
解　(1)?dx
＝
＝－
＝ln 2－.
(2)
＝
(3)?(1＋)dx
＝?(＋x)dx＝

例2　(1)求函数f(x)＝在区间[0,4]上的定积分；
(2)求定积分?|x2－1|dx.
解　(1)?f(x)dx＝＋?(x－1)dx
＝
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)∵|x2－1|＝
又′＝1－x2，′＝x2－1，
∴?|x2－1|dx＝?|x2－1|dx＋?|x2－1|dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝|＋|
＝1－＋－2－＋1＝2.
反思与感悟　分段函数的定积分的求法
(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
跟踪训练2　(1)f(x)＝求?f(x)dx.
(2)求?|x2－x|dx的值．
解　(1)?f(x)dx
＝?(1＋2x)dx＋?x2dx
＝(x＋x2)|＋x3|
＝2＋＝.
(2)∵|x2－x|＝
∴?|x2－x|dx
＝?(x2－x)dx＋?(x－x2)dx＋?(x2－x)dx
＝|＋|＋|
＝＋＋＝.
类型二　利用定积分求参数
例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤?(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
答案　(1)3　(2)
解析　(1)?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或t＝－2，∵t>0，∴t＝3.
(2)?(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
引申探究
1．若将本例(1)中的条件改为?f(x)dx＝f?，求t.
解　由?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t，
又f?＝t－1，
∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．若将本例(1)中的条件改为?f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
解　F(t)＝?f(x)dx＝t2－t＝2－(t>0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
反思与感悟　(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练3　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝?(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案　(1)[0,2)　(2)
解析　(1)f(x)＝?(1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2)|＝－2x＋2(x∈(0,1])．
∴f(x)的值域为[0,2)．
(2)∵?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx
＝＝＋c.
又f(x0)＝ax＋c，
∴＝ax，即x0＝或x0＝－.
∵0≤x0≤1，∴x0＝.
类型三　求图形的面积
例4　求由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
解　画出草图，如图所示．
解方程组
得A(0,3)，B(3,6)．
所以S＝?(x＋3)dx－?(x2－2x＋3)dx，
取F(x)＝x2＋3x，则F′(x)＝x＋3，
取H(x)＝x3－x2＋3x，则H′(x)＝x2－2x＋3，
从而S＝F(3)－F(0)－[H(3)－H(0)]
＝－0－
＝.
反思与感悟　利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)找出范围，定出积分上、下限．
(3)确定被积函数．
(4)写出相应的定积分表达式，即把曲线梯形面积表示成若干个定积分的和或差．
(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．
跟踪训练4　求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．
解　由题意，三条曲线围成的面积如图阴影部分所示．
由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx
＝|＋|
＝－0＋－＝.
1．若?dx＝3＋ln 2，则a的值是________．
答案　2
解析　?dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
2．＝________.
答案　
解析　
＝
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，?f(x)dx＝－2.求a，b，c的值．
解　∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，②
?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx＝
＝a＋c＝－2，③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
4．已知f(x)＝计算：?f(x)dx.
解　?f(x)dx＝
＝
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以
即?f(x)dx＝－－1.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、填空题
1．?dx＝________.
答案　e2－e＋ln 2
解析　?＝(ex＋ln x)|
＝(e2＋ln 2)－(e＋ln 1)＝e2－e＋ln 2.
2．?|x＋2|dx＝________.
答案　4
解析　∵|x＋2|＝
∴?|x＋2|dx＝?(－x－2)dx＋?(x＋2)dx＝4.
3．已知f(x)＝则?f(x)dx的值为________．
答案　
解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?1dx＝＋1
＝＋1＝.
4．若?(2x－3x2)dx＝0，则正数k的值为________．
答案　1
解析　?(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，
解得k＝1或k＝0(舍去)．
5．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则?f(－x)dx＝________.
答案　
解析　∵f′(x)＝mxm－1＋n＝2x＋1，
∴m＝2，n＝1.
则f(x)＝x2＋x，
∴?f(－x)dx＝?(x2－x)dx
＝＝.
6．已知f(a)＝?(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为________．
答案　
解析　f(a)＝?(2ax2－a2x)dx＝＝－a2＋a，
由二次函数的性质，可得f(a)max＝f?＝＝.
7．若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，则?f(x)dx＝________.
答案　－
解析　∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝
＝＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝－.
8．?(xcos x－5sin x＋2)dx＝________.
答案　4a
解析　∵?xcos xdx＝0，
∴?(xcos x－5sin x＋2)dx
＝?(－5sin x＋2)dx
＝(5cos x＋2x)|＝4a.
9．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
答案　－1或
解析　?f(x)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
2f(a)＝6a2＋4a＋2，
由题意，得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或a＝.
10．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝____________.
答案　1
解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.
又当x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为f(f(1))＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
11．设f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝4x＋3
解析　∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx
＝a＋b＝5，
?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx
＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝.
∴解得
∴f(x)＝4x＋3.
12．已知α∈，则当?(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________.
答案　
解析　?(cos x－sin x)dx
＝sin α＋cos α－1＝sin－1.
∵α∈，则α＋∈，
当α＋＝，即α＝时，
sin－1取得最大值．
二、解答题
13．求曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.
解　如图所示，
由
得或
且x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，
∴S＝?f(x)dx，
其中f(x)＝
∴S＝?(x2＋1)dx＋?(3－x)dx
＝＋
＝＋1＋(9－)－(3－)＝.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
解　由图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)，
又＝?[0－(x3＋ax2)]dx
＝－＝，
所以a＝±3.
又－a>0，所以a<0，得a＝－3.
滚动训练一(1．1～1．2)
一、填空题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．
答案　2.1
解析　＝＝＝＝2.1.
2．沿直线运动的物体从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么当Δt→0时，的物理意义为__________________________．
答案　t时刻物体的瞬时速度
解析　＝，当Δt→0时，则为t时刻物体的瞬时速度．
3．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
答案　－6
解析　∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，
∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
4．函数f(x)＝在x＝1处的导数值为________．
答案　
解析　∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝＝，
∴f′(1)＝.
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.
答案　
解析　因为f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，
所以f′(x)＝3x2－2ax－4.
又因为f′(－1)＝3＋2a－4＝0，所以a＝.
6．已知函数f(x)＝mxm－n的导数为f′(x)＝8x3，则mn＝________.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　
解析　∵函数f(x)＝mxm－n的导数为
f′(x)＝m(m－n)xm－n－1，
∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2，
由此可得mn＝2－2＝.
7．已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为________．
答案　
解析　由g(x)＝ln x，得x＞0，且g′(x)＝.
故2x＋1＝，即2x2＋x－1＝0，
解得x＝或x＝－1.
又x＞0，故x＝(x＝－1舍去)．
8．若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位为m，时间单位为s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的物理意义
答案　0.4
解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
9．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　
解析　设M(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝，
所以切线斜率k＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e.
所以k＝＝.
10．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数为f′(x)，则f′(1)＝________.
考点　导数的乘除法则及运算
题点　导数的乘除法则及运算
答案　－6
解析　∵f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，
令g(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)，
则f(x)＝(x－1)g(x)
∴f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)
＝g(x)＋(x－1)g′(x)，
则f′(1)＝g(1)＋(1－1)g′(1)＝g(1)，
∵g(1)＝1×(1－2)×(1－3)×(1－4)＝－6，
∴f′(1)＝g(1)＝－6.
二、解答题
11．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解　因为直线l过原点，
所以直线l的斜率k＝(x0≠0)，
因为点(x0，y0)在曲线C上，
所以y0＝x－3x＋2x0，
所以＝x－3x0＋2，
又y′＝3x2－6x＋2，
所以k＝3x－6x0＋2，
又k＝，
所以3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0，
因为x0≠0，所以x0＝，
此时，y0＝－，k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x，
切点坐标为.
12．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求函数在某点处的切线方程
解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1，
∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
三、探究与拓展
13．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　
解析　设切点坐标P(x0，y0)，由题意知，当切线方程与y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，令y′＝2x－＝1，得x＝1，
故当点P坐标为(1,1)时，最小距离d＝＝.
14．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．
考点　求函数过某点的切线方程
题点　求函数过某点的切线方程
解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，
故所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．
由f′(x0)＝3x－3，
得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故直线l的斜率k＝－，
故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
滚动训练二(1．3～1．4)
一、填空题
1．函数y＝x3－x2－40x＋80的增区间为________．
答案　和(4，＋∞)
解析　y′＝3x2－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，
由y′>0，得x>4或x<－.
所以函数的单调增区间为和(4，＋∞)．
2．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为______．
答案　
解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．
∵x∈，f′(x)＞0，
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f?＝.
3．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为________．
答案　
解析　y′＝－＝·，
由y′＝0得x＝.
在上，y′＞0，在上，y′＜0.
∴当x＝时，y取得极大值，极大值为，
又x∈(0,1)，
∴ymax＝.
4．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为________．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　
解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时取得最大值．
5．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
答案　(0,2)
解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，则06．已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是________________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－∞，1]∪[e2，＋∞)
解析　若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，
若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，
由f′(x)<0得－若函数f(x)在(1，e)上为单调递增函数，
则≤1，即0若函数f(x)在(1，e)上为单调递减函数，
则≥e，即b≥e2，
综上b≤1或b≥e2.
7．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，
∴m＋＝，∴m＝2.
8．已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数，如图是f′(x)的大致图象，若f(x)的极大值与极小值的和等于，则f(0)的值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　
解析　∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，
由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，
∴函数在x＝－2时取得极大值，在x＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f(0))对称，
由f(x)的极大值与极小值之和为，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)，
∴＝2f(0)，则f(0)的值为.
9．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c10．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　(－1，＋∞)
解析　f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，
则1＋a>0，解得a>－1.
11．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　4
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，
|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
二、解答题
12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　求函数的最值
解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9，
令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，
∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
当x∈(－1,3)时，f′(x)>0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)的最小值为－7.
13．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x＜－或x＞时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；当－＜x＜时，g′(x)＞0，从而g(x)在(－，)上是增函数．
由g(x)的单调性知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只可能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
三、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[e，＋∞)
解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝或0(舍去)，
当00；
当x>时，g′(x)<0，
∴当x＝时，g(x)取最大值＝e，∴a≥e.
15．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
解　由题意知f(1)＝－3－c.
即b－c＝－3－c，从而b＝－3.
对f(x)求导，
得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)．
由题意知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12.
因为f′(x)＝48x3ln x(x>0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可，
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.
章末复习
学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
1．导数的概念
(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)．
(2)(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)．
(3)(ex)′＝ex.
(4)(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)．
(5)(ln x)′＝.
(6)(sin x)′＝cos_x.
(7)(cos x)′＝－sin_x.
3．函数的求导法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．
(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(4)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.
5．函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
对于函数y＝f(x)，
如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数f(x)的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数f(x)的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
类型一　导数几何意义的应用
例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
解　(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1，
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
反思与感悟　已知函数y＝f(x)，利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　直线y＝kx＋b与曲线f(x)＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.
答案　－15
解析　由题意知f(2)＝3，则a＝－3.
f(x)＝x3－3x＋1.
f′(2)＝3×22－3＝9＝k，
又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，
∴b＝3－9×2＝－15.
类型二　函数的单调性、极值、最值问题
例2　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，
f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
列表如下.
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值f(ln 2)
?
故f(x)的单调减区间是(－∞，ln 2)，单调增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知，当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
反思与感悟　本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力，分析问题、解决问题的能力．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，
解得0故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝f?＝ln＝－.
(2)∵f(x)＝xln x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立，
令g(x)＝ln x＋，则a≤g(x)min(x≥1)恒成立；
∵g′(x)＝－＝，
∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，
即y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
由(1)知当0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
f(x)min＝f?＝ln＝－；
故当－即若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－取b的取值范围是.
类型三　生活中的实际问题
例3　某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．
解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t
＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)．
由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
所以g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，
所以当x＝2时，g(x)取得极大值，也是最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大．
反思与感悟　解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大．
解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)．
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又h>0，可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
故V′(r)＝(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
1．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
答案　y＝－
解析　依题意得y′＝ex＋xex，令y′＝0，可得x＝－1，
∴y＝－.
∴函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
2．函数f(x)＝x·e－x的单调增区间是________．
答案　(－∞，1)
解析　f(x)＝x·e－x，则f′(x)＝＝，
令f′(x)＞0, 得x＜1，故单调增区间为(－∞，1)．
3.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
答案　0
解析　∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，
∴3k＋2＝1，从而k＝－，∴f′(3)＝k＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
4．体积为16π的圆柱，当它的半径为________时，圆柱的表面积最小．
答案　2
解析　设圆柱底面半径为r，高为l.
∴16π＝πr2l，即l＝.
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
令S′＝4πr－＝0，得r＝2.
∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．
5．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.则a，b的值为________．
答案　2，e
解析　f(x)的定义域为R.
∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.
依题设知，即
解得a＝2，b＝e.
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．
一、填空题
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是______________________________．
答案　曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
2．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是________米/秒．
答案　
解析　∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2.
故物体在2秒末的瞬时速度为s′(2)＝－＋2＝.
3．a＝(x2＋6x,5x)，b＝，已知f(x)＝a·b，则f′(x)＝________.
答案　x2－6x＋5
解析　f(x)＝a·b＝(x2＋6x,5x)·＝x3－3x2＋5x，则f′(x)＝′＝x2－6x＋5.
4．已知函数f(x)＝x－ln(1＋x2)，则f(x)________极值．(填“有”或“无”)
答案　无
解析　∵f′(x)＝1－＝≥0，且仅在有限个点上等号成立，
∴函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值．
5．若函数f(x)＝x3－(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0,2)内有极小值，则b的取值范围是________．
答案　(－1,1)
解析　f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]．令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，且x＝b＋1是极小值点，∴0＜b＋1＜2，∴－1＜b＜1.
6．设函数f(x)＝xa－ax(0＜a＜1)，则f(x)在[0，＋∞)内的极大值点x0＝________.
答案　1
解析　f′(x)＝(xa－ax)′＝axa－1－a＝a(xa－1－1)．
令a(xa－1－1)＝0，
∵0＜a＜1，
∴x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.
∴x＝1是[0，＋∞)内的极大值点．
7．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.
答案　
解析　f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．
由f′(x)＝0，得x＝0(舍)或x＝3，
可得当x＝3时，f(x)取到最小值为b－27a.
又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，因此f(4)为最大值．
由解得所以a＋b＝.
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调增区间是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　
解析　不妨取a＝1，又d＝0，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，当x>时，y′>0，
即函数y的单调增区间为.
9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
答案　(－2,15)
解析　y′＝3x2－10，令y′＝2，解得x＝±2.又∵点P在第二象限内，∴x＝－2，此时y＝15，∴点P的坐标为(－2,15)．
10．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2· (0答案　40
解析　V(x)＝－x3＋30x2，
由V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)＝0，
得x＝0(舍去)或x＝40.
∴x＝40是V(x)唯一的极值点也是最值点．
∴当底面边长为40时，箱子的容积最大．
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　求不等式的解集
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　令g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝.
∵当x>0时，>0，即g′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，
∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(－∞，0)上，g(x)<0的解集为(－1,0)．
由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0)．
又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，
∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
二、解答题
12．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：P＝，Q＝，今共有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
解　设对乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资为(3－x)万元，总利润为y万元，
根据题意，得y＝＋(0≤x≤3)．
y′＝－＋· .
令y′＝0，解得x＝.
由实际意义知，x＝即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x＝，y＝1.05.
因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．
13．已知函数f(x)＝ex＋.
(1)当a＝时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．
解　(1)∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－，
∴f′(0)＝1－.
当a＝时，f′(0)＝－3.又∵f(0)＝－1，
∴f(x)在x＝0处的切线方程为
y－(－1)＝－3(x－0)，
即y＝－3x－1.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，a)∪(a，＋∞)．
当x∈(a，＋∞)时，ex＞0，＞0，
∴f(x)＝ex＋＞0.
即f(x)在区间(a，＋∞)上没有零点．
当x∈(－∞，a)时，f(x)＝ex＋＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，
只要讨论g(x)的零点即可．
g′(x)＝ex(x－a＋1)，g′(a－1)＝0，
当x∈(－∞，a－1)时，g′(x)＜0，g(x)是减函数；
当x∈(a－1，a)时，g′(x)＞0，g(x)是增函数．
∴g(x)在区间(－∞，a)上的最小值为
g(a－1)＝1－ea－1.
显然，当a＝1时，g(a－1)＝0，
∴x＝a－1是f(x)的唯一的零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有两个不同的零点．
三、探究与拓展
14．设函数f(x)＝ln x＋(m∈R)，若对任意的b>a>0，<1恒成立，则实数m的取值范围是____________．
考点　数学思想方法在导数中的应用
题点　转化与化归思想在导数中的应用
答案　
解析　对任意的b>a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b设函数h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x，
则h(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，
即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
得m≥，
所以实数m的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x≥1时，f(x)≤恒成立，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝，
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)f(x)－＝，
令g(x)＝xln x－a(x2－1)，x≥1，
g′(x)＝ln x＋1－2ax，
令F(x)＝g′(x)＝ln x＋1－2ax，F′(x)＝，
①若a≤0，F′(x)>0，g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，
g′(x)≥g′(1)＝1－2a>0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，
从而f(x)－≥0，不符合题意．
②若00，
∴g′(x)在上单调递增，
从而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，
从而f(x)－≥0，不符合题意．
③若a≥，F′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
∴g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0，
从而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(1)＝0，f(x)－≤0，
综上所述，实数a的取值范围是.