模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．i是虚数单位，复数的共轭复数是________．
答案 2＋i
解析 ∵＝＝＝2－i，
∴的共轭复数是2＋i.
2．函数y＝的导数是________．
答案 y′＝
解析 y′＝
＝.
3．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案
解析 因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i
＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.
经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
4．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是________．(填序号)
①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④大前提和小前提都错误．
答案 ①
解析 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时是增函数，当0
5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为________________．
答案 a，b都不能被3整除
解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．
6．i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在第________象限．
答案 三
解析 因为z＝＝＝－－i，所以复平面内表示复数z＝的点在第三象限．
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1，
解得a＝1.
8．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为______________．
答案 (0，＋∞)
解析 由题意可知不等式为exf(x)－ex－5＞0，
设g(x)＝exf(x)－ex－5，
∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)－1]＞0，
∴函数g(x)在定义域上是增函数．又∵g(0)＝0，
∴g(x)＞0的解集为(0，＋∞)．
9．若曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．
答案 (1,0)或(－1，－4)
解析 设点P的坐标为(a，b)，因为f′(x)＝3x2＋1，
所以点P处的切线的斜率为f′(a)＝3a2＋1，又切线平行于直线y＝4x－1，所以3a2＋1＝4，解得a＝±1.
当a＝1时，由P(a，b)为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，
得b＝0；当a＝－1时，同理可得b＝－4，
所以点P的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则方程3x2－2ax＋1＝0在(－∞，＋∞)上至多有一个实根，
则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)2的解集为________．
答案 (0，＋∞)
解析 令g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝>0，
∴g(x)为增函数．
由>2得>，
∴g(x)>g(0)，∴x>0.
12．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
答案 4＋2i
解析 ∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R.
z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
13．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：________________________________.
答案 若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有＝1
14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
1
答案
解析 设第n(n≥2且n∈N*)行的第2个数字为，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝19＋18＋…＋1＋1＝＋1＝191，
∴＝.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1，得＝1，(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，
则3a－4b＝0,4a＋3b≠0，
∴解得或
∴＝－i或＝－＋i.
16．(14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴c＝0，
则f(x)＝ax3＋bx.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，
∴a>0，b＝－12，
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.
∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2x3－12x.
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
列表如下：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f()＝－8，f(3)＝18，f(－)＝8，
∴f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.
17．(14分)已知a>5，求证：－<－.
证明 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a只需证0<6.
因为0<6恒成立，
所以－<－成立．
18．(16分)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解 a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，
即ak＝.
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N*，an＝都成立．
19．(16分)已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：B不可能是钝角．
(1)解 大小关系为<.
证明如下：
要证<，只需证<，
由题意知a，b，c>0，只需证b2∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，∴b2≤ac，
又a，b，c都不相等，∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明 假设B是钝角，则cos B<0，
而cos B＝>>>0.
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．
∴B不可能是钝角．
20．(16分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当xx2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调减，在(x1，x2)上单调增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0,1]上单调增．
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调增，在(x2,1]上单调减．
所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；
当1章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．i是虚数单位，复数＝________.
答案 1＋2i
解析 ＝＝＝1＋2i.
2．已知a是实数，是纯虚数，则a＝________.
答案 1
解析 ＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.
3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.
答案 －5
解析 ∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2,1)，
又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
4．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
答案 2＋i
解析 ∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，
∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.
5．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则a，b的值分别为________．
答案 ，
解析 ∵＝1＋i，
∴a＋bi＝＝＝，
∴a＝，b＝.
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
7．已知复数w满足w－1＝(1＋w)i(i为虚数单位)，则w＝________.
答案 i
解析 ∵复数w满足w－1＝(1＋w)i(i为虚数单位)，
∴w＝＝＝＝i.
8．若a－i与2＋bi(a，b∈R)互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.
答案 3＋4i
解析 根据已知得a＝2，b＝1，
所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
9．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则点D对应的复数是________．
答案 －3－2i
解析 由复数的几何意义知，A(2,3)，B(3,2)，C(－2，－3)．设D(x，y)，由＝，
∴(3－2,2－3)＝(－2－x，－3－y)，
则 解得
∴点D对应的复数为－3－2i.
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数对应的点在第________象限．
答案 一
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意可得定义运算＝ad－bc，
所以＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，
z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，
所以＝2＋i，
所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限．
11．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
答案 (3,4)
解析 ∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得312．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.
答案 2
解析 由纯虚数的定义知
解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z对应的点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
13．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
答案
解析 z＝－(－i)，|z|＝，
∴z·＝|z|2＝.
14．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．
答案 1
解析 由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)计算：(1)；
(2)(1＋i)(－1－i)(＋i)(1＋i)．
解 (1)原式＝
＝＝
＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝－2i(＋i2＋3i＋i)
＝－2i·4i＝－8i2＝8.
16．(14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，
∴k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，
∴k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.
当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
17．(14分)已知复数z＝2＋bi(i为虚数单位)，b为正实数，且z2为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数ω＝，求ω的模．
解 (1)由z＝2＋bi，得z2＝(2＋bi)2＝4－b2＋4bi，
∵z2为纯虚数，∴得b＝±2，
又b>0，∴b＝2，则z＝2＋2i.
(2)ω＝＝＝＝2i，∴|ω|＝2.
18．(16分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·的值．
解 (1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋i，
∵z1＋z2是纯虚数，∴则m＝1.
(2)由(1)得z1＝1＋i，z2＝－1＋i，
则＝－1－i，
∴z1·＝＝－2＝－＝－－i.
19．(16分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
20．(16分)已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|
＝＝2.
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．
由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝2＋1.
3．1 数系的扩充
学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一 复数的概念及代数表示
思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，则方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理 (1)虚数单位i
引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
①i2＝－1.
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
(2)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
(3)复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
知识点二 复数的分类
1．复数(a＋bi，a，b∈R)
2．集合表示：
知识点三 两个复数相等的充要条件
思考1 由4>2能否推出4＋i>2＋i?
答案 不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
思考2 两个复数能不能判断相等或不等呢？
答案 能．
梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．复数z＝3i－，则它的实部是3，虚部是－.( × )
2．实部为零的复数一定是纯虚数．( × )
3．若复数z＝m＋ni，则m，n一定是复数z的实部和虚部．( × )
4．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
类型一 复数的概念
例1 (1)给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的序号为________．
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
答案 (1)③⑤ (2)±，5
解析 (1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，∴只有③⑤正确．
(2)由题意知∴a＝±，b＝5.
反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
是真命题的为________．(填序号)
答案 ①④
解析 ②当a＝－1时，(a＋1)i＝0，所以②错．
③当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以③错．
①④正确．
类型二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．
解 (1)复数z是虚数的充要条件是
?m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
??m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．
解 由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
??m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案 3或－2
解析 由题意知
解得m＝3或－2.
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
类型三 复数相等
例3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解 ∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1,1,4i}，且M∪P＝P，
∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
∴或
∴m＝1或m＝2.
反思与感悟 (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
跟踪训练3 (1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案
解析 由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，
由此得?m＝.
(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以即所以a＝－1.
1．已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．
答案 1或－1
解析 a2－1＝0，∴a＝±1.
2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝______________________________.
答案 1
解析 因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的序号为________．
答案 ①②③⑥
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.
答案 －10
解析 由解得∴m＋n＝－10.
5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
答案 －2
解析 由题意知得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、填空题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________________条件．
答案 必要不充分
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．
而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
2．若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝______________________________________.
答案 1
解析 因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，
所以x＋y＋(x－y)i＝2，可得
所以x＝y＝1，所以xy＝1.
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案 2－2i
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y＝________.
答案 1
解析 由复数相等的充要条件知，
x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝1.
5．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ，z1＝z2，则θ＝________.
答案 ＋2kπ，k∈Z
解析 由复数相等的定义，
可知
所以cos θ＝，sin θ＝.
所以θ＝＋2kπ，k∈Z.
6．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m＝________.
答案 －1
解析 根据题意，M∩N＝{1,3}，故3∈M，而M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，则有(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，即m2－3m－1＝3且m2－5m－6＝0，解得m＝－1.
7．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 ?m＝－2.
8．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的______________条件．
答案 充分不必要
解析 当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m＝________.
答案 2或－1
解析 ∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.
10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析 若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．故答案为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
11．下列命题中，假命题的序号为________．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③引进虚数单位i后任何负数都可以开方了．
答案 ①②
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③引进虚数单位i的主要原因就是能使负数也能开平方，故③是真命题．
二、解答题
12．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数时，求a的值；
(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，求实数a的取值范围．
解 复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数时，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，解得a＝－1.
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大时，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以实数a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
13．(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
三、探究与拓展
14．若复数z＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i是纯虚数，则sin2 017θ＋cos2 017θ＝________.
答案 －1
解析 由题意得
由①得sin θ＋cos θ＝－1，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
所以或
所以sin2 017θ＋cos2 017θ＝(－1)2 017＋02 017＝－1.
15．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1解 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z13．2 复数的四则运算
第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．
知识点一 复数的加减运算
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？
答案 满足．
梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数的乘法运算
思考 复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？
答案 复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．
梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点三 共轭复数
思考 复数3＋4i与3－4i，a＋bi与a－bi(a，b∈R)有什么特点？
答案 这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．
梳理 (1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数记作，即＝a－bi.
(3)当复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．
1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．( × )
2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．( √ )
3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．( × )
类型一 复数的加减运算
例1 计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解 (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.
反思与感悟 复数加减运算法则的记忆方法
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪训练1 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
解 (1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
(2)由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.
类型二 复数的乘法
例2 计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
跟踪训练2 若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________.
答案 －1
解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.
类型三 共轭复数的概念
例3 复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i.
得解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
因此z的共轭复数＝1－3i或＝1＋i.
反思与感悟 (1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2；②z∈R?z＝.
(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
跟踪训练3 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)．
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1．已知复数z1＝－i和复数z2＝cos 60°＋isin 60°，则z1＋z2＝________.
答案 1
解析 ∵z2＝＋i，∴z1＋z2＝1.
2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.
答案 －1＋3i
解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.
3．若复数z满足z＋(2－3i)＝－1＋2i，则z＋2－5i＝________.
答案 －1
解析 ∵z＝－1＋2i－2＋3i＝－3＋5i，
∴z＋2－5i＝－3＋5i＋2－5i＝－1.
4．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
答案 －1＋10i
解析 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，
由复数相等的定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为________．
答案 －3，－4
解析 ∵z1＋z2＝a－3＋(4＋b)i为实数，
∴4＋b＝0，即b＝－4.
又z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
∴a＋3＝0且4－b≠0，∴a＝－3.
1．复数的加减运算
把复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则．
2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i＝3.
3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．
4．理解共轭复数的性质
(1)z∈R?z＝.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．
一、填空题
1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z＝________.
答案 1＋i
解析 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________.
答案 2
解析 (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，
令2－b＝0，且2b＋1≠0，
∴b＝2.
3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案 －1
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
4．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________．
答案 －1－i
解析 ∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i.
∴z的共轭复数是＝－1－i.
5．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z的实部是________．
答案 6
解析 ∵z＝1－2i，
∴＝1＋2i，
∴z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5，
∴z·＋z＝5＋1－2i＝6－2i.
∴z·＋z的实部是6.
6．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a＝________.
答案
解析 ∵z2＝2＝－ai，
∴－ai＝－i(a∈R)，则
∴a＝.
7．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
答案 2＋i
解析 设z＝a＋bi，则＝a－bi(a，b∈R)，
(1＋2i)z]＝(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
由复数相等的充要条件可得解得
∴z＝2＋i.
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 5－9i －8－7i
解析 ∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则z1·z2＝________.
答案 －18－6i
解析 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋(a－b－1)i＝4.
∴解得
∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.
z1·z2＝(＋3i)(－3＋3i)＝－18－6i.
10．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.
答案 5＋5i
解析 ∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，
∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)
＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i
＝5＋5i.
11．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
答案 2
解析 ∵xi＋i2＝－1＋2i，xi－1＝－1＋2i，
∴xi＝2i，∴x＝2.
二、解答题
12．已知z－1＋2zi＝－4＋4i，求复数z.
解 ∵xi＋i2＝－1＋2i，
xi－1＝－1＋2i，
∴xi＝2i，∴x＝2.
13．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
解 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，∴
解得∴b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
三、探究与拓展
14．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
答案
解析 ∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，
∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)
＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
又∵z1·2是实数，
∴4t－3＝0，即t＝.
15．已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝(a＋2z)2成立，求a，b的值．
解 az＋2bz＝(a＋2b)＋(a＋2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，
∴(a＋2b)＋(a＋2b)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∴解得或
∴所求实数a＝－2，b＝4－3或a＝2，b＝4＋3.
第2课时 复数的乘方与除法运算
学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i的幂的周期性．
知识点一 复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
思考 计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？
答案 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有
①zm·zn＝zm＋n.
②(zm)n＝zmn.
③(z1·z2)n＝z·z.
(2)虚数单位i的乘方：in(n∈N*)的周期性
i4n＝__1__，i4n＋1＝__i__，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
知识点二 复数的除法
思考 如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
答案 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘以c－di，化简后可得结果．
梳理 把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i.
1．两个复数的积与商一定是虚数．( × )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( √ )
类型一 i的运算特征
例1 计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 015＋i2 016；
(2)2 014＋(1－i)2 014.
解 (1)1＋i＋i2＋…＋i2 015＋i2 016＝＝＝1.
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴2 014＋(1－i)2 014
＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.
反思与感悟 (1)虚数单位i的性质
①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．
跟踪训练1 计算：i2 006＋(＋i)8－50.
解 i2 006＋(＋i)8－50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－25
＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.
类型二 复数的除法运算
例2 (1)已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是________．
答案 1＋i
解析 ＝
＝＝1－i，
∴复数的共轭复数为1＋i.
(2)计算：.
解 原式＝＝
＝＝＝1－i.
反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
跟踪训练2 已知i是虚数单位，则＝________.
答案 －1
解析 ∵＝＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.
类型三 复数四则运算的综合应用
例3 计算：
(1)＋(5＋i2)－2；
(2).
解 (1)＋(5＋i2)－2
＝＋(5－1)－＝i＋4－i＝4.
(2)原式＝＝
＝＝·(2i)2·i
＝－4i.
反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
①＝＝＝i(a，b∈R，b－ai≠0)．利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．
②记忆一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
③设ω＝－＋i，则ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1.
跟踪训练3 计算：＋6.
解 原式＝＋i66
＝i＋i2＝i－1.
1．已知i是虚数单位，则＝________.
答案 －i
解析 ＝＝－i.
2．若复数的实部与虚部互为相反数，则b＝________.
答案 －
解析 ＝
＝，
由题意知2－2b－(b＋4)＝0，
得b＝－.
3．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
答案 i
解析 z2＝2＝i，
则z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
4．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意可知＝
＝－i＝－＋i，
因此＝－.
化简得5a2－5＝3a2＋3，
所以a2＝4，则a＝±2.
由－＝可知a<0，所以a＝－2.
5．化简：＋＝________.
答案 2i
解析 原式＝3＋＝i＋i＝2i.
1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式、两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．
2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝i(a＋bi)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．
3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现“i2＝1”，“i4＝－1”等错误.
一、填空题
1．复数＋i3＝________.
答案 0
解析 ∵＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.
2．复数＝________.
答案 －1
解析 原式＝＝－1.
3．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b＝________.
答案 6
解析 ＝＝
＝，
∵是实数，∴6－b＝0，即b＝6.
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝________.
答案 1－i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z＋＝2a＝2，得a＝1.
(z－)i＝2bi2＝2，得b＝－1，
∴z＝1－i.
5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z＝，则＝________.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1＋i
解析 z＝＝＝－1－i，
所以＝－1＋i.
6．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.
答案 6
解析 因为z＝1＋2i，
所以＝1－2i.
所以·＝z·＋1＝5＋1＝6.
7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.
答案 －1＋i
解析 ＝＝－1－i，
∴z＝－1＋i.
8．计算＋1 996＝________.
答案 －1＋i
解析 原式＝＋998
＝i＋998＝i＋i998＝i＋i4×249＋2＝i＋i2＝－1＋i.
9．定义：＝ad－bc，若复数z满足＝－1＋2i，则z＝________.
答案 1＋i
解析 ＝zi＋i＝－1＋2i，
则z＝＝1＋i.
10．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
答案 4－3i
解析 ∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
11．若f(z)＝1－(z∈C)，已知z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f?＝________.
答案 －i
解析 ＝＝－i，
故f?＝1－＝－i.
二、解答题
12．计算2－20.
解 2－20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
13．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝＋2＝2－i.
由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，
∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
三、探究与拓展
14．已知i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.
答案 4－4i
解析 设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8，①
则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9，②
①－②得
(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9
＝－8i
＝－8i.
∴S＝＝＝
＝4－4i.
15．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
解 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
由已知得∵y≠0，
∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件.
3.3 复数的几何意义
学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．
知识点一 复平面
思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二 复数的几何意义
1．复数与点、向量间的对应关系
2．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝.
知识点三 复数加、减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答案 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，且，不共线，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
梳理 (1)复数加减法的几何意义
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
1．原点是实轴和虚轴的交点．( √ )
2．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )
3．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )
4．复数的模一定是正实数．( × )
类型一 复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点的坐标为Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解 (1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上？
解 (1)由题意，知
解得
即－7故当－7(2)由题意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，
所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上．
类型二 复数模及其几何意义的应用
例2 已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值；
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形？
解 (1)|z1|＝|－i|＝＝2，
|z2|＝＝ ＝1.
(2)由(1)知1≤|z|≤2，因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．
反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．
跟踪训练2 设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，
∴即
即解得
∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝
＝ ＝.
类型三 复数加、减法的几何意义
例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.
求：(1)表示的复数；
(2)表示的复数；
(3)表示的复数．
解 因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义，知与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思与感悟 (1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则
①四边形OACB为平行四边形．
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练3 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．
答案 (1) (2)(－∞，1)
解析 (1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
1．若＝(0，－3)，则对应的复数为________．
答案 －3i
解析 ＝(0，－3)，
∴Z(0，－3)，复数z＝0＋(－3)i＝－3i.
2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m＝________.
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
3．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________________．
答案 |1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
解析 由3－4i＝x＋yi，
∴x＝3，y＝－4.
则|1－5i|＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2，
∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
4．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限．
答案 四
解析 ∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限．
5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．
答案 5－2i
解析 设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.
1．复数模的几何意义
复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
一、填空题
1．复数z＝3＋4i对应的向量的坐标是________．
答案 (3,4)
解析 复数z＝3＋4i对应的向量的坐标是(3,4)．
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 由题意得
解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限．
答案 二
解析 若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．
4．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是________．
答案 －3＋i
解析 向量对应的复数是3＋i，即A(3,1)，点A关于虚轴的对称点为B(－3,1)，则向量对应的复数是－3＋i.
5．若复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－，]
解析 复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，
即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－，]．
6．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝________.
答案 －1＋i
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
7．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
答案 2
解析 z1＝1－i对应的点为Z1(1，－1)，z2＝3－5i对应的点为Z2(3，－5)，由两点间距离公式，得
Z1Z2＝＝2.
8．若a，b∈R，则复数(a2－4a＋5)＋(－b2＋2b－6)i所对应的点一定落在第________象限．
答案 四
解析 复数对应点的坐标为(a2－4a＋5，－b2＋2b－6)，∵a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，－b2＋2b－6＝－(b－1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．
9．若复数z＝(m＋1)－(m－3)i在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m的取值范围是____________．
答案 (－1,3)
解析 若z＝(m＋1)－(m－3)i在复平面内对应的点在第一或第三象限，
则(m＋1)[－(m－3)]>0，
即(m＋1)(m－3)<0，解得－1∴实数m的取值范围是(－1,3)．
10．在复平面内，对应的复数是2＋i，对应的复数是－1－3i，则对应的复数为________．
答案 －3－4i
解析 由复数的几何意义知＝(2,1)，
∴＝(－2，－1)，又＝(－1，－3)，
∴＝＋＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，
∴对应的复数为－3－4i.
11．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是____________．
答案
解析 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝，
因为－1所以|z|∈.
二、解答题
12．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解 由题意得＝(m2＋m－2)－(4m2－8m＋3)i，对应的点位于第一象限，
所以有所以
所以
即113．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解 方法一 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，
∴AC的中点为，BD的中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴
∴
即点D对应的复数为3＋5i.
方法二 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，
∵对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
＝，
∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴∴
即点D对应的复数为3＋5i.
三、探究与拓展
14．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为________．
答案 2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，
∴|z－i|＝，
由|z－i|≤知≤，x2＋(y－1)2≤2.
∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，
∴所求图形的面积S＝2π.
15．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i；
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i；
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||·||＝××2＝2.
滚动训练四(3.1～3.3)
一、填空题
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数对应的点在复平面中位于第________象限．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 二
解析 e2i＝cos 2＋isin 2，
由于<2<π，
因此cos 2<0，sin 2>0，点(cos 2，sin 2)在第二象限．
2．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 －1－i
解析 因为＝1＋i，
所以z＝＝＝＝－1－i.
3．设复数z＝，则z·＝________.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 2
解析 ∵z＝＝
＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
4．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 0
解析 ∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
6．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案
解析 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
7．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 一
解析 z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
8．若ω＝－＋i，则ω＋＝________.
答案 －1
解析 ω＋＝－＋i＋
＝－＋i－－i＝－1.
9．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
答案 8
解析 因为＝＝(25＋15i)＝5＋3i，
所以a＝5，b＝3，
所以a＋b＝5＋3＝8.
10．适合方程＋＝的实数x，y的值分别为________．
答案 －1,5
解析 因为＋＝，
所以＋
＝，
即＋＝，
所以(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，
所以解得
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
二、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点 复数四则运算的综合运算
题点 复数的混合运算
解 (1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝，求|z1|；
(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应关系
解 ∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵·(3＋i)为纯虚数，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
(1)z1＝＝－－i，
∴|z1|＝＝.
(2)∵z＝1－3i，
z2＝＝＝，
又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴解得
∴－3即实数a的取值范围是.
三、探究与拓展
14．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)+ (z2*z3);
②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)；?
④z1*z2=z2*z1.
答案 2
解析 由于ω1*ω2＝ω1，对于①，(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1*z3)+（z2*z3），显然成立；?
对于②，z1*(z2+z3)=z1()=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3)，显然成立；?
对于③，(z1*z2)*z3=(z1)=z1，而z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1z3，显然不一定成立；
对于④，由于z1*z2=z1,而z2*z1=z2，显然不一定成立．
15．设z为虚数，ω＝z＋，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u为纯虚数；
(3)在(2)的条件下，求ω－u2的最小值．
(1)解 设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
则ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝＋i；
因为－1<ω<2，
所以ω∈R.
所以y－＝0.
又因为y≠0，
所以x2＋y2＝1，且ω＝2x.
所以|z|＝＝1.
由－1<ω<2，得－1<2x<2.
所以－即z的实部的取值范围为.
(2)证明 u＝＝
＝＝
＝＝－，
因为y≠0，所以u是纯虚数．
(3)解 ω－u2＝2x－2＝2x＋
＝2x＋＝2x＋
＝2(x＋1)＋－3≥4－3＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．
所以当x＝0，即z＝±i时，ω－u2有最小值1.
章末复习
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 (1)已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为________．
(2)下列说法：
①复数z是实数的充要条件是z＝；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是________．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 (1)－2 (2)2
解析 (1)(m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，
由复数相等得解得m＝－2.
(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，z＝时，得b＝0，z为实数；z为实数则b＝0，有z＝成立，所以①正确．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．
类型二 复数的运算
例2 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想．当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．
跟踪训练2 已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
因为|z2|＝5，所以|z2(5＋5i)|＝50，
所以z2(5＋5i)＝±50，
所以z2＝±＝±＝±(5－5i)．
类型三 复数的几何意义
例3 (1)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥CB，求顶点C所对应的复数z.
(2)已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．
解 (1)设z＝x＋yi，x，y∈R，则顶点C的坐标为(x，y)．
如图，因为OA∥BC，
所以kOA＝kBC，OC＝BA，
所以
解得或
因为OA≠BC，所以x＝－3，y＝4舍去，故z＝－5.
(2)如图所示，设复数z1，z2的对应点为A，B，以，为邻边作?OACB，
则对应的复数为z1＋z2，
所以||＝3，||＝5，||＝.
所以cos∠AOB＝＝＝.
所以cos∠OBC＝－，
又||＝||＝3，
所以|z1＋z2|＝＝.
反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算．
(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离．
跟踪训练3 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
1．若复数z＝cos θ－＋i(i是虚数单位)是纯虚数，则tan θ＝________.
答案 －
解析 ∵复数z＝cos θ－＋i是纯虚数，
∴ ∴
则tan θ＝＝－.
2．设z＝，则z的共轭复数为________．
答案 1－3i
解析 由z＝＝＝1＋3i，
得＝1－3i.
3．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
答案
解析 z＝＝＝＋i.
4．若z是复数，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z＝________.
答案 －3－i
解析 z＝－3＝－3－i.
5．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||＝________.
答案
解析 如图，设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i.
因为＝－，
所以表示的复数为3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
一、填空题
1．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是________．
答案 1
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________.
答案 －6
解析 ＝＝＝＋i.若复数是纯虚数，则＝0，且≠0，所以a＝－6.
3．复数的虚部是________．
答案 －
解析 ＝＝－i，其虚部是－.
4．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为________．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 －7
解析 ∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，
∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，
则tan＝＝＝－7.
5．若i为虚数单位，则＝________.
答案 －1－i
解析 ＝＝＝＝
＝－1－i.
6．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有
②2＋i>1＋i；
③若一个数是实数，则其虚部不存在；
④若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 ④
解析 由y∈?CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；实数的虚部为0，故③错误；④中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故④正确．
7．设复数z满足i(z－4)＝3＋2i(i是虚数单位)，则z的虚部为________．
答案 －3
解析 由i(z－4)＝3＋2i得z＝＋4＝＋4＝＋4＝2－3i＋4＝6－3i.
8.＝________.
答案
解析
＝＝＝.
9．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝________.
答案 2－2i
解析 ∵x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，∴b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0.根据复数相等的充要条件，得b2＋4b＋4＝0且a＋b＝0，解得a＝2，b＝－2，∴z＝2－2i.
10．已知z1，z2，z3∈C，给出下列三个命题：①若z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0；②若z1＋z2＞z3，则z1＋z2－z3＞0；③若两个虚数互为共轭复数，则它们的和为实数．其中正确命题的个数为________．
答案 2
解析 因z1，z2∈C，所以若z1＋z2＝0，则z1＝－z2，此时z1与z2不一定均为0，∴①错误；∵z1＋z2＞z3，∴z1＋z2与z3均为实数，∴z1＋z2－z3＞0，②正确；两个虚数互为共轭复数，不妨设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)，∴z1＋z2＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R，③正确．
11．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)＝__________.
答案 －1 005＋1 005i
解析 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.
二、解答题
12．已知复数z1满足z1－2＝(1＋i)·i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2的值．
解 由z1－2＝(1＋i)·i＝i－1，
∴z1＝2＋(i－1)＝i＋1，
∵z2的虚部为2，∴可设z2＝a＋2i(a∈R)．
则z1·z2＝(i＋1)(a＋2i)＝(a－2)＋(2＋a)i为实数．
∴2＋a＝0，即a＝－2，因此z2＝－2＋2i.
13．已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－.
(1)计算复数z；
(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值．
解 (1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i.
(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，
∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，
∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，
∴ 解得a＝3，b＝－14.
三、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f(f(1－i))＝________.
答案 3
解析 ∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴f(f(1－i))＝f(2)＝1＋2＝3.
15．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，∴1－i也是方程的根．
