第二章概率学案+滚动训练+章末检测

章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法不正确的是(　　)
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的期望
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
答案　C
解析　C项中公式只适用于服从二项分布的随机变量，故C不正确．其余选项均正确．
2．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是(　　)
A．0.06 B．0.24 C．0.56 D．0.94
答案　A
解析　甲气象台预报不准确的概率为1－0.8＝0.2，乙气象台预报不准确的概率为1－0.7＝0.3，∴一次预报中两个气象台的预报都不准确的概率为0.2×0.3＝0.06.
3．张老师上数学课时，两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　变形公式的应用
答案　B
解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，
由已知得P(A1)＝0.80，P(A1A2)＝0.60，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.80×P(A2)＝0.60，
解得P(A2)＝＝0.75.
4．已知η的分布列为
η
－1
0
1
P



设ξ＝3η－2，则D(ξ)的值为(　　)
A．5 B. C．－ D．－3
答案　A
解析　E(η)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
D(η)＝2×＋2×＋2×＝，D(ξ)＝D(3η－2)＝32×＝5.
5．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知其次品率是1%，现把6个这种零件装成一盒，那么此盒中恰好含一件次品的概率为(　　)
A.2 B．0.01
C．C··5 D．C·2·4
答案　C
解析　盒中次品数服从二项分布B(6,1%)，所以所求概率为C··5.
6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)
A．10 B．100 C. D.
答案　C
解析　由正态分布密度曲线上的最高点为知＝，∴D(X)＝σ2＝.
7．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于(　　)
A．6 B．4 C．3 D．9
答案　A
解析　∵D(2X＋1)＝4D(X)，
D(X)＝6××＝，∴D(2X＋1)＝4×＝6.
8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
9．一袋子里装有完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望为(　　)
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.2
答案　D
解析　设含红球个数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.2.
10．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得X～B，所以D(X)＝.
11．甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为，则p的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　依题意知，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，∴有p2＋(1－p)2＝，解得p＝或p＝.∵p>，∴p＝.
12．如图所示，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X＝0)，则E(X)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知X所有可能的取值为0，，，1，
P(X＝0)＝＝，P＝＝，
P＝＝，P(X＝1)＝.
所以E(X)＝0×＋×＋×＋1×＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．甲、乙两人进行射击练习，甲、乙各射击一次中靶的概率分别为p1，p2，且，是关于x的方程x2－5x＋m＝0(m∈R)的两个根，若两人各射击5次，甲射击5次中靶次数X的期望是2.5，则p1＝________，p2＝________.
答案　　
解析　由题意知甲射击5次，中靶次数X服从X～B(5，p1)，∴E(X)＝5p1＝2.5，∴p1＝.由已知得＋＝5，∴p2＝.
14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，则3个水龙头同时被打开的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　0.008 1
解析　对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1.
15．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能的取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
答案　
解析　设直线l的方程为y＝kx＋1，
则原点到直线l的距离d＝.
当k＝0时，d＝1；
当k＝±时，d＝；
当k＝±时，d＝；
当k＝±2时，d＝，
所以ξ的分布列为
ξ



1
P




E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.
16．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，用B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
答案　②④
解析　对于①，P(B)＝×＋×＋×＝；
对于②，P(B|A1)＝＝＝；
对于③，由P(A1)＝，P(B)＝，P(A1B)＝，可得P(A1B)≠P(A1)·P(B)，故事件B与事件A1不是相互独立事件；
对于④，从甲罐中只取出一球，若取出红球就不可能是其他颜色球，故两两互斥；
对于⑤，由①可求得．所以②④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解　(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
18．(12分)设计某项工程，需要等可能地从a＝(2,3)，b＝(1,5)，c＝(4,3)，d＝(8,1)四个向量中任选两个来计算数量积，若所得数量积为随机变量ξ.
(1)求随机变量ξ≤19的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．
解　(1)从四个向量中任选两个来计算数量积有C种方法，即a·b＝2×1＋3×5＝17，a·c＝2×4＋3×3＝17，a·d＝2×8＋3×1＝19，b·c＝1×4＋5×3＝19，b·d＝1×8＋5×1＝13，c·d＝4×8＋3×1＝35，
P(ξ≤19)＝P(ξ＝19)＋P(ξ＝17)＋P(ξ＝13)＝＋＋＝，
所以随机变量ξ≤19的概率为.
(2)数量积ξ的可能取值为13,17,19,35.
P(ξ＝13)＝，P(ξ＝17)＝＝，P(ξ＝19)＝＝，P(ξ＝35)＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
13
17
19
35
P




19.(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．
解　(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝2××1＝，
ξ的分布列为
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
20．(12分)某工厂生产一种零件，这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少有一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
(1)一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
(2)随机抽出5个零件进行检测，其中至多有3个零件是合格品的概率是多少？
(3)随机抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E(ξ)与D(ξ)．
解　(1)设A，B两项技术指标达标的概率分别为P1，P2.
由题意，得
可得P1P2＝，即一个零件经过检测为合格品的概率为.
(2)随机抽出5个零件进行检测，其中至多有3个零件是合格品的概率为1－C5－C5＝.
(3)依题意知，ξ～B，
所以E(ξ)＝4×＝2，D(ξ)＝4××＝1.
21．(12分)某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率；
(2)求这位射手在这次射击比赛中得分的期望．
解　记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意得P(A)＝，
设在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝，且＝，∴k＝5 000，
即P(x)＝，
∴P(B)＝＝，P(C)＝＝，
P(D)＝××＝.
(1)由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中命中目标的概率
P＝P(A)＋P(·B)＋P(··C)
＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(C)
＝＋×＋××＝.
(2)依题意，设射手甲得分为X，
则P(X＝3)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝1)＝××＝，
P(X＝0)＝，
∴E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝.
∴该射手在这次射击比赛中得分的期望为.
22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n＋m)道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．
(1)求X＝n＋2的概率；
(2)设m＝n，求X的分布列和数学期望．
解　以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.
(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.
(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.
P(X＝n)＝P(12)＝·＝，
P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(1A2)＝·＋·＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.
从而X的分布列为
X
n
n＋1
n＋2
P



所以E(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.

§2.1　离散型随机变量及其分布列
2.1.1　离散型随机变量
学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．
知识点一　随机变量
思考1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
答案　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
思考2　在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？
答案　x＝0,1,2,3，…，10.
梳理　随机变量
(1)定义
(2)表示
知识点二　离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
知识点三　随机变量与函数的关系
相同点
随机变量和函数都是一种一一对应关系
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)
2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)
类型一　随机变量的概念
例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．
反思与感悟　随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1　掷均匀硬币一次，随机变量为(　　)
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　B
解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
类型二　离散型随机变量的判定
例2　下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
解析　①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；③是，1小时内网站的点击量可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.
反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．
(2)由条件求解随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪训练2　下列不是离散型随机变量的是(　　)
A．掷一枚骰子出现的点数
B．投篮一次的结果
C．某同学在12：00到12：30到校的时刻
D．从含有10件合格品、10件次品共20件产品中任取3件，其中的合格品件数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
类型三　用随机变量表示随机试验的结果
例3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的取值
解　(1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
引申探究
本例(2)中，若将“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答．
解　X＝1表示取出的球的编号为1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5或1,4,5.
X＝2表示取出的球的编号为2,3,4；2,3,5；2,4,5.
X＝3表示取出的球的编号为3,4,5.
反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．
解　(1)ξ可取0,1,2,3，
ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；
ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；
ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；
ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.
(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.
1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　B
解析　B中水沸腾时的温度是一个确定的值．
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
3．下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　)
A．某人早晨在车站等出租车的时间
B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度
C．射击十次，命中目标的次数
D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　17
解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．
5．甲、乙两队队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
解　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示．(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取值．
一、选择题
1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　)
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　A
解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
2．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　　)
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　D
解析　由题意，得ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选D.
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　B
解析　由于取到白球取球停止，所以取球次数可以是1,2,3，…，7.
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　C
解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.
5．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验的结果为(　　)
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　C
6．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是(　　)
A．Y＝5 B．Y＝4
C．Y＝3 D．Y＝2
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　B
7．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．2
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　B
解析　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.
二、填空题
8．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客人量X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的人量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　②
9．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　0,1,2,3
解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.
10．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，用ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　21
解析　ξ＝8表示在3个篮球中，一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．
11．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能取值有________个．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　24
解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
三、解答题
12．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)白炽灯的寿命ξ；
(2)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；
(3)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．
解　(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．
(2)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
(3)是离散型随机变量．从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．
解　X的可能取值为6,11,15,21,25,30.
其中，X＝6表示抽到的是1元和5元；
X＝11表示抽到的是1元和10元；
X＝15表示抽到的是5元和10元；
X＝21表示抽到的是1元和20元；
X＝25表示抽到的是5元和20元；
X＝30表示抽到的是10元和20元．
四、探究与拓展
14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　－300，－100,100,300
解析　∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
15．在对电灯泡的寿命测试中，若规定寿命在1 500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1 000到1 500小时之间的为二等品；寿命在1 000小时之下的为不合格品．
(1)如果按灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？
(2)若按是否为一等品、二等品或不合格品，应如何定义随机变量？
(3)如果我们只关心灯泡的使用寿命，应如何定义随机变量？
解　(1)当关心“灯泡是否为合格品”时，可定义随机变量
X＝
(2)当关心“灯泡是否为一等品、二等品或不合格品”时，可定义随机变量
Y＝
(3)当关心“灯泡的使用寿命”时，可定义随机变量
Z＝
2.1.2　离散型随机变量的分布列
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.3.理解二点分布的特点．
知识点一　离散型随机变量的分布列
思考　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？当X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
答案　(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
(2)X与P的对应关系为
X
1
2
3
4
5
6
P






梳理　离散型随机变量的分布列
(1)定义
①条件：(ⅰ)离散型随机变量X所有可能取的值x1，x2，…，xi，…，xn；(ⅱ)X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.
②表格
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
③结论：称该表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
(2)性质
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点二　二点分布
1．表格形式(其中0X
1
0
P
p
q
2.结论：离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　×　)
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　×　)
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(　√　)
类型一　离散型随机变量的分布列的性质
例1　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
反思与感悟　利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练1　(1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　(1)(5,6]　(2)
解析　(1)由条件知P(ξ＝k)＝，k＝5,6，…，16，
P(ξ(2)由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



∴＋＋＝1，∴k＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝.
类型二　求离散型随机变量的分布列
例2　一袋中装有完全相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中一人取到白球时终止，用X表示取球终止时取球的总次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的分布列．
解　(1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，
由题意知＝，化简得n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
故袋中原有6个白球．
(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，则
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P




反思与感悟　求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率．
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．
跟踪训练2　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．
考点　随机变量的分布列
题点　求随机变量的分布列
解　X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
P





类型三　二点分布
例3　袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列．
解　由题意可知，随机变量X服从二点分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
P


反思与感悟　两步法判断一个分布是否为二点分布
(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.
(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布．
跟踪训练3　已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　二点分布
解　由题意知，X服从二点分布，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P


1．已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m
则P(X＝10)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)
X
－1
0
1
P
a
b
c
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，得b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3,4，…，n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(　　)
A．3 B．4
C．10 D．不能确定
答案　C
解析　由条件知P(ξ＝i)＝(i＝1,2，…，n)，
所以P(ξ＜4)＝×3＝0.3，解得n＝10.
4．离散型随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若η＝2ξ－3，则离散型随机变量η的分布列为________．
答案　
η
－1
1
3
5
7
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
解析　ξ的可能取值为1,2,3,4,5，由η＝2ξ－3知，η的可能取值为－1,1,3,5,7，其对应的概率不变．
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P






1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
一、选择题
1．设某运动员投篮命中(记为1)的概率P＝0.7，则他一次投篮时命中次数ξ的分布列是(　　)
A.
ξ
0
1
P
0.3
0.7

B.
ξ
0
1
P
0.7
0.3
C.
ξ
1
P
0.7
D.
ξ
0
P
0.3
答案　A
2．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　A
解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
3．若随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　D
解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.
4．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　C
解析　由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故15．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　B
解析　由题意知解得b＝.
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝.
6．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质，得a＝1，
所以a＝.
7．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　B
解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
则由分布列的性质，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝.
由解得－≤d≤.
二、填空题
8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　
解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．
∴分布列为
ξ
1
2
3
P



∴P＝P(ξ＝1)＝.
9．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m
则m的值为________．
答案　
解析　m＝P(X＝10)＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝9)]＝1－＝1－＝9＝.
10．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X<2)＝________.
考点　离散型随机变量的性质及应用
题点　排列组合在分布列中的应用
答案　
解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
三、解答题
11．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P




12.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝.
(2)X的可能取值为0,10,20,50,60.
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
故随机变量X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P





所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)
＝＋＝.
13．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错一个得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它的随意连线，将他的得分记为ξ.
(1)求该观众得分为负数的概率；
(2)求ξ的分布列．
解　(1)当该观众只连对《三国演义》，其它全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，
故得分为负数的概率P(ξ＝－1)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为－1,2,8.
由(1)知P(ξ＝－1)＝，
又P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
－1
2
8
P



四、探究与拓展
14．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．
答案　
X
1
2
3
P



解析　由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P



15．如图，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ.
(1)当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
(2)求ξ的分布列．
解　(1)从6条网线中随机任取3条网线共有C＝20(种)情况．
∵1＋1＋4＝1＋2＋3＝6，
∴P(ξ＝6)＝＝.
∵1＋2＋4＝2＋2＋3＝7，
∴P(ξ＝7)＝＝.
∵1＋3＋4＝2＋2＋4＝8，
∴P(ξ＝8)＝＝.
∵2＋3＋4＝9，
∴P(ξ＝9)＝＝.
∴P(ξ≥6)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＝＋＋＋＝.
∴线路信息畅通的概率为.
(2)ξ的可能取值为4,5,6,7,8,9，
∵1＋1＋2＝4，
∴P(ξ＝4)＝＝.
∵1＋1＋3＝1＋2＋2＝5，
∴P(ξ＝5)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
8
9
P






2.1.3　超几何分布
学习目标　1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.掌握超几何分布的特点，并能简单的应用．
知识点　超几何分布
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
思考1　X可能取哪些值？
答案　X＝0,1,2.
思考2　X＝1表示的试验结果是什么？求P(X＝1)的值．
答案　任取2件产品中恰有1件次品，P(X＝1)＝.
思考3　如何求P(X＝k)(k＝0,1,2)?
答案　P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
梳理　超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件 (n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
类型一　利用超几何分布公式求概率
例1　已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格．若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少？
解　用X表示抽取的2件产品中不合格产品的件数，则X服从超几何分布，记“至少有一件产品不合格”为事件A.
方法一　A由X＝1，X＝2两个互斥事件构成．
∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
∴P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
方法二　记“2件产品中没有不合格产品”为事件.
则P()＝P(X＝0)＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝.
反思与感悟　若随机变量服从超几何分布，则可先确定相应参数，再直接套用公式求解相应变量对应的概率．
跟踪训练1　在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数)
解　设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.
于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋
＝
＝≈0.19.
类型二　求超几何分布的分布列
例2　某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)设此员工的工资为Y元，求Y的分布列．
解　(1)选对A饮料的杯数X的可能取值为0,1,2,3,4，
其服从参数为N＝8，M＝4，n＝4的超几何分布，其概率分别为
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝.
其分布列为
X
0
1
2
3
4
P





(2)此员工月工资Y的所有可能取值为3 500,2 800,2 100，
则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝.
其分布列为
Y
2 100
2 800
3 500
P



反思与感悟　(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中，P(X＝m)＝，0≤m≤n，其中，m＝min{M，n}．这里的N是产品总数，M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且0≤n≤N,0≤m≤n，0≤m≤M，0≤n－m≤N－M.
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，得X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P



类型三　超几何分布的应用
例3　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)




(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3两两互斥，且A＝A1＋A2＋A3.
因为P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
反思与感悟　利用超几何模型求分布列，首先要弄清“产品”有多少个，其中“次品”有多少个，要取多少个“产品”，即要正确找出超几何分布的参数，然后再利用超几何分布的概率计算公式进行计算．
跟踪训练3　袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列组合在分布列中的应用
解　(1)方法一　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
方法二　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝＝，所以P(A)＝1－＝.
(2)由题意知，X所有可能的取值是2,3,4,5，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P




(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　记取出的10个球中红球个数为X，则X服从超几何分布，即P(X＝6)＝，故选D.
2．一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用(用完即为旧的)，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.
3．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P(X＝4)＝.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
5．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列．
解　(1)X的分布列为
X
0
1
P


(2)∵P(X＝0)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
P


超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：
P(X＝k)＝求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义.
一、选择题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
考点　超几何分布
题点　超几何分布的概念
答案　B
解析　由超几何分布的定义可知B正确．
2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为(　　)
A. B.
C．1－ D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　C
解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故答案为1－.
3．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则等于的是(　　)
A．P(0C．P(X≥1) D．P(X≥2)
答案　B
解析　由条件知，随机变量X服从参数为N＝26，M＝4，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝(k＝0,1,2)，∴P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝.
4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
答案　C
解析　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.
5．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　记取出的次品件数为X，则X服从超几何分布．由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
7．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则事件{X＝k}中含有的基本事件个数为(　　)
A．CC B．CC
C．CC D．CC
考点　超几何分布
题点　超几何分布的概念
答案　B
解析　事件{X＝k}表示从含M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有k件次品，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件．
二、填空题
8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．
9．某手机经销商在已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　易知P(X＝1)＝＝.
10．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求概率
答案　
解析　设10个球中有白球m个，
则＝1－，解得m＝5.
所以P(X＝2)＝＝.
三、解答题
11．在15人的数学兴趣小组中，有5名三好学生，现从中任意选出8人参加“希望杯”数学竞赛，求一定有三好学生参加的概率．
解　设X为选出的8人中三好学生的人数，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X服从参数为N＝15，M＝5，n＝8的超几何分布．
由于P(X＝0)＝＝，
因此，一定有三好学生参加的概率为
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝≈0.993.
故一定有三好学生参加的概率约为0.993.
12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2)他能及格的概率．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
13．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，得X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
因此，X的分布列为
X
0
1
2
3
P




四、探究与拓展
14．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P



X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P


15.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8)，其中女校友6人，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现从中随机选出2名校友代表，若选出的是一男一女，则为“最佳组合”．
(1)若随机选出2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)若n＝12，被选出的2名校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．
解　(1)由题意得≥，解得9≤n≤16，
故n的最大值为16.
(2)ξ的可能取值为0,1,2，且
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



§2.2　条件概率与事件的独立性
2.2.1　条件概率
学习目标　1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1　试求P(A)，P(B)，P(A∩B)．
答案　P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3　P(B)，P(A∩B)，P(A|B)间有怎样的关系？
答案　P(A|B)＝.
梳理　(1)条件概率
条件
设A，B为两个事件，且P(A)>0
含义
在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率
记作
P(B|A)
计算公式
P(B|A)＝
(2)事件A与B的交(或积)
①含义：事件A和B同时发生所构成的事件；
②记法：A∩B或AB.
知识点二　条件概率的性质
1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
2．如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　×　)
2．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　√　)
类型一　条件概率公式的直接应用
例1　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
解　由古典概型的概率公式可知，
(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
反思与感悟　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型．
(2)计算P(A)，P(A∩B)．
(3)代入公式求P(B|A)＝.
跟踪训练1　某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
答案　A
解析　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
类型二　缩小基本事件范围求条件概率
例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
引申探究
1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解　甲抽到的数大于4的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为A∩B.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(A∩B)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
跟踪训练2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.根据分步乘法计数原理得n(A)＝AA＝20，
n(A∩B)＝A＝12.
所以P(B|A)＝＝＝.
类型三　条件概率的应用
例3　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
解　设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中的5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中的4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知，
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
P(A∩D)＝P(A)，P(B∩D)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故所求的概率为.
反思与感悟　(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
跟踪训练3　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记事件A为“从2号箱中取出的是红球”，事件B为“从1号箱中取出的是红球”，
则根据古典概型的概率计算公式和对立事件的概率和为1可知，P(B)＝＝，P()＝1－＝.
根据条件概率公式可知，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝＝，
从而P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
1．已知P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　B
解析　P(B|A)＝＝＝.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　条件概率变形公式的应用
答案　A
解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　B
解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
答案　
解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝.
5．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝＝.
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8.
所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，
所以P(B)＝＝.
事件A∩B的基本事件数为6.
故P(A∩B)＝＝.
由条件概率公式，得
(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
1．利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(A∩B)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中A∩B表示A，B同时发生．
2．利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为A∩B.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(A∩B)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
一、选择题
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　条件概率变形公式的应用
答案　C
解析　P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　出现点数互不相同的事件共有6×5＝30(种)，出现一个5点的事件共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
答案　C
解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，
则n(A)＝A，n(A∩B)＝A，所以P(B|A)＝＝.
4．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，则P(B|A)＝＝＝，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.
5．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝，B＝，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　P(A)＝＝.∵A∩B＝，
∴P(A∩B)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
6．某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为(　　)
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　D
解析　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件A∩B，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B|A，P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，
由条件概率公式，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
7．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.
二、填空题
8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(A∩B)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
9．如图，四边形EFGH是以点O为圆心、1为半径的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
答案　(1)　(2)
解析　圆O的面积是π，正方形EFGH的面积是2，
扇形OHE的面积是，
由几何概型概率公式得P(A)＝，
由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝.
10．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．
答案　
解析　记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝，即所求事件的概率是.
11．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　0.5
解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.
三、解答题
12．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件A∩B.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)＝A＝20.
又n(A)＝A×A＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝3×2＝6，
所以P(A∩B)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝＝＝.
13．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．
解　(1)设A表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.
又P(A∩B)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
四、探究与拓展
14．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
答案　
解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，
P(A∩B)＝＝，
P(A∩C)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
15．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3，所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，所以P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝.
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
2.2.2　事件的独立性
学习目标　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点　相互独立事件的概念与性质
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案　不影响．
思考2　P(A)，P(B)，P(A∩B)的值为多少？
答案　P(A)＝，P(B)＝，
P(A∩B)＝＝.
思考3　P(A∩B)与P(A)，P(B)有什么关系？
答案　P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
梳理　相互独立事件的概念与性质
(1)定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
(2)性质：当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
(3)n个事件相互独立：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
(4)独立事件的概率公式
①若事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)；
②若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
2．必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)
4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)
类型一　相互独立事件的判断
例1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，A∩B中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝，
显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(A∩B)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　①②③
解析　根据事件相互独立性的定义判断，只要P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)成立即可．
利用古典概型概率公式计算，可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(A∩B)＝0.25，P(A∩C)＝0.25，P(B∩C)＝0.25.
可以验证P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)．
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
类型二　求相互独立事件的概率
例2　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个独立事件同时发生的概率
解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(∩B∩C)＋P(A∩∩C)＋P(A∩B∩)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(∩∩)＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解　恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A∩∩)＋P(∩B∩)＋P(∩∩C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解　事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(A∩B∩C)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件A∩B.
(3)A，B都不发生为事件∩.
(4)A，B恰有一个发生为事件A∩＋∩B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A∩＋∩B＋∩.
跟踪训练2　甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能破译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都破译出密码的概率；
(2)2个人都破译不出密码的概率；
(3)恰有1个人破译出密码的概率；
(4)至多有1个人破译出密码的概率；
(5)至少有1个人破译出密码的概率．
解　记“甲独立地破译出密码”为事件A，“乙独立地破译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)2个人都破译出密码的概率为
P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)2个人都破译不出密码的概率为
P(∩)＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝＝.
(3)恰有1个人破译出密码分为两类：甲破译出乙未破译出以及甲未破译出乙破译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人破译出密码的概率为
P[(A∩)∪(∩B)]＝P(A∩)＋P(∩B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝.
(4)至多有1个人破译出密码的对立事件为2人都破译出密码，所以至多有1个人破译出密码的概率为1－P(A∩B)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(5)至少有1个人破译出密码的对立事件为2个人都未破译出密码，所以至少有1个人破译出密码的概率为
1－P(∩)＝1－P()P()
＝1－×＝.
类型三　相互独立事件的综合应用
例3　计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；
(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝2)＝P(D)＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




反思与感悟　(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)组成．
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3　甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
由题意得P()P()＝，
解得P()＝或P()＝－(舍去)，
故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.
(2)方法一　由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1－P(·)＝1－P()P()＝.
方法二　由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()＋P(A)P(A)＝.
1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
考点　相互独立事件的定义
题点　独立事件与互斥事件的区别
答案　D
解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A、C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个独立事件同时发生的概率
答案　A
解析　P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)，故选B.
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个独立事件同时发生的概率
答案　C
解析　由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，，则在这段道路上三处都不停车的概率为P＝××＝.
5．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲，丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
解　(1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题意得
即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝代入②，得P(B)＝，
将P(B)＝代入①，得P(A)＝.
故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即A∩B＝?
概率公式
A与B相互独立等价于P(A∩B) ＝P(A)P(B)
若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立
2.相互独立事件同时发生的概率P(A∩B)＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．

一、选择题
1．若P(A∩B)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
考点　相互独立事件的定义
题点　独立事件与互斥事件的区别
答案　C
解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝，
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，∴A与B相互独立．
2．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　B
解析　因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以P＝××＝.
3．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于(　　)
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　至少有1个红球的概率是×＋×＋×＝.
4．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解　设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3，
第3次拨号才接通电话可表示为1∩2∩A3，
显然1，2，A3相互独立，
所以P(1∩2∩A3)＝××＝.
5．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(M∩N)＝P(M)P(N)＝×＝.
6．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将元件T2，T3并联后再和元件T1串联组成如图所示的零件，则零件可正常工作的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记三个元件T1，T2，T3正常工作分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
且零件正常工作为事件(A2∪A3)∩A1.
故零件可正常工作的概率为
P[(A2∪A3)∩A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)＝×＝.
7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　D
解析　甲队获冠军有两种情形：
甲第1局就赢；甲第1局输，第2局赢，
分别记为A1，A2事件．
则甲队获得冠军为A1∪A2，则P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝.
二、填空题
9．某自动银行设有两台ATM机．在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，，则该客户此刻到达需要等待的概率为________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　
解析　该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P＝×＝.
10．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是________．
答案　0.128
解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)∩∩A∩A]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128.
11．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．
据题意可知，P(A)＝＝，P(B)＝＝，
故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
三、解答题
12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一，二，三轮的问题的概率分别为，，，且能否正确回答各轮问题互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解　(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
∴该选手被淘汰的概率
P＝1－P(A1∩A2∩A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)
＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值为1,2,3.
则P(ξ＝1)＝P(1)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1∩2)＝P(A1)P(2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P



13.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列．
解　设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4.
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
四、探究与拓展
14．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
答案　
解析　设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B为“从乙袋中任取一个球，取得白球”．
由题意得P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝，
∵事件A与B相互独立，
∴事件与相互独立．
∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P[(A∩B)∪(∩)]＝P(A∩B)＋P(∩)
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
15．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　设事件A为“答对第一个问题”，事件B为“答对第二个问题”，事件C为“答对第三个问题”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.
(1)这名同学得300分可表示为(BC)∪(A C)，
所以P[(BC)∪(A C)]＝P(BC)＋P(A C)
＝P()·P(B)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)
＝(1－0.8)×0.7×0.6＋0.8×(1－0.7)×0.6＝0.228，
所以这名同学得300分的概率为0.228.
(2)这名同学至少得300分可表示为
(BC)∪(A C)∪(ABC)，
所以P[(BC)∪(A  C)∪(ABC)]
＝P[( BC)∪(A C)]＋P(ABC)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564，
所以这名同学至少得300分的概率为0.564.
2.2.3　独立重复试验与二项分布
学习目标　1.理解n次独立重复试验的模型及其意义.2.理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.会求n次独立重复试验及二项分布的概率．
知识点一　n次独立重复试验
思考1　要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．其前提是什么？
答案　条件相同．
思考2　试验结果有哪些？
答案　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
思考3　各次试验的结果有无影响？
答案　无影响，即各次试验相互独立．
梳理　n次独立重复试验
(1)前提条件：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立．
(2)概率公式：若一次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
知识点二　二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件．
思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)．
答案　B1＝(A1∩2∩3)∪(1∩A2∩3)∪(1∩2∩A3)，
因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A1∩2∩3，1∩A2∩3，1∩2∩A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22＝0.096.
思考2　试求P(B2)和P(B3)．
答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，
P(B3)＝0.83＝0.512.
思考3　由以上问题的结果你能得出什么结论？
答案　P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)．
梳理　二项分布
事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0的各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(　√　)
2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)
3．在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)
4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　)
类型一　独立重复试验的概率
例1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.
引申探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝.
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝.
反思与感悟　独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解　(1)记“预报一次准确”为事件A，
则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5次独立重复试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
类型二　二项分布
命题角度1　求二项分布的分布列
例2　某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
解　设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，
则D＝A∪(B∩C)，
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P[A∪(B∩C)]＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，
因为P(A0)＝C×4＝，
P(A1)＝C××3＝，
P(A2)＝C×2×2＝，
P(A3)＝C×3×＝，
P(A4)＝C×4×0＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





反思与感悟　(1)运用n次独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式．
跟踪训练2　袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数X的分布列．
考点　二项分布的应用
题点　求二项分布的分布列
解　取到黑球个数X的可能取值为0,1,2,3.
又由于每次取到黑球的概率均为，
所以P(X＝0)＝C0·3＝，
P(X＝1)＝C·2＝，
P(X＝2)＝C2·＝，
P(X＝3)＝C3·0＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




命题角度2　二项分布的实际应用
例3　经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
>25
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
(1)求每天不超过20人排队结算的概率；
(2)若一周7天中有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，则商场就需要增加结算窗口．请问该商场是否需要增加结算窗口？
解　(1)设每天排队结算的人数为X，则
P(X≤20)＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75，
即每天不超过20人排队结算的概率为0.75.
(2)该商场一个结算窗口每天排队结算出现超过15人的概率为P(X>15)＝0.25＋0.2＋0.05＝0.5.
设7天中出现超过15人排队结算的天数为Y，则
P(Y≥3)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)－P(Y＝2)
＝1－C×0.57－C×0.57－C×0.57＝.
因为>0.75，所以该商场需要增加结算窗口．
反思与感悟　用二项分布模型解决实际问题的步骤
(1)根据题意设出随机变量．
(2)分析随机变量是否服从二项分布．
(3)若随机变量服从二项分布，求出参数n和p的值．
(4)根据需要列出相关式子，解决问题．
跟踪训练3　一批玉米种子，其发芽率是0.8.每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．问：每穴至少种几粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%？(lg 2≈0.301 0)
解　记事件A：“种一粒种子，发芽”，则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2，
设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.
∵每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B：“每穴至少有一粒发芽”，则P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
∴P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
由题意，令P(B)>98%，
即0.2n<0.02，两边取常用对数，得nlg 0.2即n(lg 2－1)∴n>≈≈2.43，且n∈N＋，∴n≥3.
答　每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
考点　n次独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　A
解析　由题意知，Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，故选A.
2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　n次独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　D
解析　两次击中目标的概率为P1＝C×2×＝，三次击中目标的概率为P2＝3＝，所以至少有两次击中目标的概率为P＝P1＋P2＝.
3．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．
考点　n次独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　乙队3∶0获胜的概率为，乙队3∶1获胜的概率为×＝，乙队3∶2获胜的概率为2×＝.
∴最后乙队获胜的概率为P＝＋＋＝.
4．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　
解析　因为X～B(2，p)，
所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
所以1－(1－p)2＝，
结合0≤p≤1，解得p＝.
5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　由题意知ξ～B，
则P(ξ＝0)＝C03＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




1．n次独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生．
2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生r次的概率为Pn(r)＝Cpr·(1－p)n－r.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第r＋1项，故称该公式为二项分布公式.
一、选择题
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由n次独立重复试验的定义知，在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是P＝C·2·3＝.
2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　C
解析　P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝C×6＋C·6＋C·6＋C·6＝.
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
答案　D
解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
4．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是(　　)
A. B. C. D.
考点　n次独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　B
解析　设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1－x.由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－＝，所以(1－x)4＝，解得x＝.
5．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　A
解析　当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C2×＝3×××＝，故选A.
6．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．4
答案　B
解析　P(X＝k)＝Ck6－k＝C()6，
∴当k＝3时，C6最大．
7．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)
A．C×2×5
B．C×2×2
C．C×2×5
D．C×2×5
考点　n次独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　D
解析　由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选D.
二、填空题
8．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　0.048 6
解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
9．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
答案　
解析　质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为C23＝C5＝.
10．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
考点　n次独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　4
解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4.
11．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________.
考点　n次独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．
则P(X＝5)＝C2×2×＝.
三、解答题
12．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么P(D)＝C··2＋3＝＝.
故系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.
13．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
解　(1)该公司决定对该项目投资的概率为
P＝C2·＋ 3＝.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：
“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
事件A
0
0
3
事件B
1
0
2
事件C
1
1
1
事件D
0
1
2
P(A)＝C3＝，
P(B)＝C3＝，
P(C)＝CC3＝，
P(D)＝C3＝，
因为A，B，C，D互斥，所以P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
四、探究与拓展
14．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X＝ξη，求随机变量X的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)．
(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为
P(A1)＝C13＝.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C0×4＋C4×0＝＋＝，
P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C1×3＋C3×1＝＋＝，
P(X＝4)＝P(A2)＝C22＝.
所以随机变量X的分布列是
X
0
3
4
P



15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X，求X的分布列．
解　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意，知A1与A2相互独立，A1∩2与1∩A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1∩A2，B2＝A1∩2＋1∩A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A1∩2＋1∩A2)＝P(A1∩2)＋P(1∩A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝×＋×＝.
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获奖的概率为，所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




§2.3　随机变量的数字特征
2.3.1　离散型随机变量的数学期望
学习目标　1.理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念.2.会求离散型随机变量的数学期望.3.会利用数学期望分析和解决一些实际问题．
知识点一　离散型随机变量的数学期望
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
答案　X＝5,6,7.
思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？
答案　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.
思考3　如何求每个西瓜的平均重量？
答案　＝5×＋6×＋7×＝.
梳理　离散型随机变量的数学期望
(1)定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
(2)意义：它反映了离散型随机变量的平均取值水平．
(3)数学期望的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X为随机变量．
①Y也是随机变量；
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
知识点二　二点分布、二项分布及超几何分布的数学期望
1．二点分布：E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p.
2．二项分布：在n次独立重复试验中，X～B(n，p)，则E(X)＝np.
3．超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
1．随机变量X的期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)
2．随机变量的期望与样本的平均值相同．(　×　)
3．若随机变量X的期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)
类型一　离散型随机变量的数学期望
命题角度1　一般离散型随机变量的数学期望
例1　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望．
解　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明实际参加考试次数X的分布列为
X＝k
1
2
3
4
P(X＝k)
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的期望为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
反思与感悟　求随机变量X的数学期望的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用数学期望的定义求E(X)．
跟踪训练1　在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
解　设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为
X
0
5
25
100
P




所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100×
＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元．
命题角度2　二项分布与二点分布的数学期望
例2　某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布、二点分布的数学期望
解　(1)投篮1次，命中次数X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，
E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
引申探究
在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)．
解　E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17.
反思与感悟　(1)常见的两种分布的数学期望
设p为一次试验中成功的概率，则
①二点分布E(X)＝p；
②二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．
(2)二点分布与二项分布辨析
①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
②不同点：
a．随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望．
考点　二项分布、二点分布的期望
题点　二项分布的期望
解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.
∴X的数学期望是20.
类型二　超几何分布的数学期望
例3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的数学期望E(ξ)．
考点　超几何分布的数学期望
题点　超几何分布的数学期望
解　p＝，∴＝，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．
方法一　白球的个数ξ可取0,1,2.
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.
方法二　取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝＝＝.
反思与感悟　(1)超几何分布模型
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
(2)超几何分布数学期望的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.
跟踪训练3　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的数学期望；
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
解　(1)X服从超几何分布，且n＝3，M＝2，N＝6，
则E(X)＝＝＝1.
(2)P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝1－＝.
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的数学期望为(　　)
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　A
解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P



则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的数学期望是(　　)
A．0.6 B．1 C．3.5 D．2
答案　C
解析　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P






∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
3．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　D
解析　由E(X)＝np＝40p＝16，得p＝0.4.
4．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p

则E(ξ)的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　B
解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，
则E(ξ)＝p＋1≤.故选B.
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、数学期望；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望性质的应用
解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P





ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
1．求离散型随机变量的数学期望的步骤
(1)确定离散型随机变量X的取值．
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否．
(3)根据公式写出数学期望．
2．二点分布、二项分布和超几何分布的期望
(1)若随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝p.
(2)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则E(X)＝np.
(3)若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
一、选择题
1．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的数学期望为(　　)
A．20 B．10 C．5 D．15
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　B
解析　废品率为，所以E(X)＝150×＝10.
2．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　C
解析　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，
故有0.6n＝3，解得n＝5.
则P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
3．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的数学期望为(　　)
A. B. C．2 D.
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　D
解析　由题意知X＝2,3，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
则X的分布列为
X
2
3
P


所以E(X)＝2×＋3×＝.
4．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为(　　)
X
1
2
3
4
P

m
n

A. B. C. D.
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望性质的应用
答案　A
解析　由Y＝12X＋7，得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而得E(X)＝，∴E(X)＝1×＋2m＋3n＋4×＝，即2m＋3n＝，m＋n＝1－－＝，解得m＝.
5．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的数学期望是(　　)
A．20 B．25 C．30 D．40
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　B
解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.
6．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)
A. B.
C. D.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　由题意得，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．
7．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　D
解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
二、填空题
8．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率均为0.8，则其第一大题得分的数学期望为________．
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　48
解析　设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，
则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
9．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　2
解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，
∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
10．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得分为________分．
考点　超几何分布的数学期望
题点　超几何分布的数学期望
答案　1.5
解析　用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.
11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　
解析　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.
随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×2＋2××2＝，
P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
三、解答题
12．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望．
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
解　X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
13．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的数学期望．
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
解　设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20,0.9)，X2～B(20,0.25)，所以E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2.所以，他们在测验中的成绩的数学期望分别是：
E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，
E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25.
四、探究与拓展
14．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望E(η)．
解　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元，则
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.
15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P



X2
0
3
6
P



所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
2.3.2　离散型随机变量的方差
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
知识点一　离散型随机变量的方差、标准差
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：
X
0
1
2
P



Y
0
1
2
P



思考1　试求E(X)，E(Y)．
答案　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？
答案　不能，因为E(X)＝E(Y)．
思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
答案　方差．
梳理　离散型随机变量的方差、标准差
(1)方差及标准差的定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
①方差：D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
②标准差：.
(2)意义：离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动大小．
(3)方差的运算性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．
知识点二　二点分布和二项分布的方差
1．若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)．
2．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　×　)
2．若a是常数，则D(a)＝0.(　√　)
3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　√　)
类型一　求随机变量的方差与标准差
例1　已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P


a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的数学期望和方差．
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
解　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，
从而X2的分布列为
X2
0
1
P


(2)方法一　由(1)知a＝，所以X的数学期望E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二　由(1)知a＝，所以X的数学期望
E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
X2的数学期望E(X2)＝0×＋1×＝，
所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，
所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
反思与感悟　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的数学期望比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．
跟踪训练1　已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P





(1)求方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
解　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
类型二　二点分布与二项分布的方差
例2　某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．(结果保留小数点后两位)
考点　三种常用分布的方差
题点　二点分布与二项分布的方差
解　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从二点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
反思与感悟　解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从二点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．
跟踪训练2　(1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
(2)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3ξ)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　(1)　(2)10
解析　(1)由题意知解得p＝.
(2)由题意知ξ～B，
则D(ξ)＝5××＝，
所以D(3ξ)＝9D(ξ)＝9×＝10.
类型三　方差的实际应用
例3　有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1(元)
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2(元)
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解　根据月工资的分布列，可得
E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，
D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
反思与感悟　利用E(X)或D(X)可在实际问题中做决策，当E(X1)＝E(X2)时，再比较D(X1)与D(X2)的大小．
跟踪训练3　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平．
考点　期望、方差的综合应用
题点　期望与方差在实际中的应用
解　甲保护区的违规次数ξ的期望和方差分别为
E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的期望和方差分别为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.
1．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P



则下列式子：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　数学期望、方差的综合应用
题点　求随机变量的数学期望与方差
答案　C
解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．
2．已知随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则(　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
答案　B
解析　E(X)＝np＝2.4，D(X)＝np(1－p)＝1.44，
解得n＝6，p＝0.4.
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本期望E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
考点　期望、方差的综合应用
题点　期望与方差在实际中的应用
答案　B
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

考点　数学期望、方差的综合应用
题点　数学期望与方差在实际中的应用
答案　　
解析　由题意知解得
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
考点　数学期望、方差的综合应用
题点　求随机变量的数学期望与方差
解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位学生只有1位学生坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P



E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于数学期望的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离数学期望的平均程度越小；方差D(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．
2．求离散型随机变量X的数学期望、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值．
(2)求X取每一个值的概率．
(3)写出随机变量X的分布列．
(4)由数学期望、方差的定义求E(X)，D(X)．
特别地，若随机变量服从二点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．
一、选择题
1．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　C
2．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　)
A．3·2－2 B．3·2－10
C．2－4 D．2－8
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　B
解析　由题意得解得
∴p(ξ＝1)＝C11＝3·2－10.
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的数学期望与方差分别为(　　)
A．E(X)＝0，D(X)＝1
B．E(X)＝，D(X)＝
C．E(X)＝0，D(X)＝
D．E(X)＝，D(X)＝1
考点　数学期望、方差
题点　求随机变量的数学期望与方差
答案　A
解析　由题意知，随机变量X的分布列为
X
－1
1
P


∴E(X)＝(－1)×＋1×＝0，
D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.
4．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于(　　)
A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　C
解析　∵ξ～B(10,0.02)，
∴D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P(X1＝xi)
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P(X2＝xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
考点　数学期望、方差的综合应用
题点　数学期望与方差在实际中的应用
答案　A
解析　E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝(－1.1)2×0.2＋(－0.1)2×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝(－1.1)2×0.3＋(－0.1)2×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)6．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P

a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A．0 B．2
C．1 D.
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差、标准差的计算
答案　A
解析　由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值0.
7．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为(　　)
A. B．3
C. D．2
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　A
解析　因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B，则X的方差D(X)＝3××＝，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，所以Y的标准差为＝.
二、填空题
8．设投掷一颗骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差、标准差的计算
答案　
解析　依题意，得X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P






故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
9．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1考点　数学期望、方差的综合应用
题点　数学期望与方差在实际中的应用
答案　
解析　由题意可得E(X)＝x1＋x2，
D(X)＝2×＋2×，
∴
解得x1＋x2＝.
10．设d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.(用d表示)
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差与标准差的计算
答案　30d2
解析　E(ξ)＝x10，
D(ξ)＝(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.
11．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的数学期望与方差分别为________．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　60,96
解析　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题意知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，
D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中成绩的数学期望与方差分别是60与96.
三、解答题
12．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X.
(1)求X的分布列及方差D(X)；
(2)若ξ＝aX＋2，且D(ξ)＝33.6，求实数a的值．
解　X的所有可能取值为6,9,12.
P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝.
∴X的分布列为
X
6
9
12
P



∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
(2)由(1)可知，D(ξ)＝D(aX＋2)＝a2D(X)＝3.36a2＝33.6，
解得a＝±.
13．有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA，ξB 分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，若在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种的质量较好．
考点　数学期望、方差的综合应用
题点　数学期望与方差在实际中的应用
解　先比较ξA与ξB的数学期望：
E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
所以它们的数学期望相同且大于120.再比较它们的方差：
D(ξA)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
D(ξB)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165，
所以D(ξA)四、探究与拓展
14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.则工期延误天数Y的方差为________．
考点　期望、方差的综合应用
题点　求随机变量的期望与方差
答案　9.8
解析　由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
15．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
解　(1)设顾客所获的奖励额为X.
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意，得X的所有可能取值为20,60.
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，
即X的分布列为
X
20
60
P


所以顾客所获的奖励额的期望E(X)＝20×＋60×＝40.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，
所以先寻找期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案为(10,10,50,50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P



X1的期望E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P



X2的期望E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
因为两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
§2.4　正态分布
学习目标　1.通过实际问题，了解什么是正态曲线和正态分布.2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量X在某一范围内的概率．
知识点　正态分布
1．概率密度曲线
(1)特点：曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积为1.
(2)意义：概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的．
2．正态变量的概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝，x∈R，其中μ，σ是参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞，μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．
3．正态曲线
(1)概念：正态变量的概率密度函数的图象．
(2)性质
①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ时处于最高点，并且由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
4．正态分布在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ1．函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的数学期望与方差．(　×　)
2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　×　)
3．正态曲线可以关于y轴对称．(　√　)
类型一　正态曲线及其性质
例1　如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.
由＝，解得σ＝.
于是概率密度曲线的函数解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
反思与感悟　利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
跟踪训练1　设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的正态曲线如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　A
解析　根据正态曲线的特点可知正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
类型二　利用正态分布的对称性求概率
例2　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
解　因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954－0.683)≈0.136.
(3)P(X>5)＝P(X<－3)＝[1－P(－3引申探究　
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X解　因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(Xa)；
②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．
跟踪训练2　已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　C
解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
类型三　正态分布的应用
例3　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　由题意，可知μ＝110，σ＝20，
P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)，
∵P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)
＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1，
∴P(X－μ<－σ)＝0.159，
∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ)
＝1－0.159＝0.841.
∴54×0.841≈45(人)，即及格人数约为45.
∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)，
∴P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1，
∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159.
∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8.
反思与感悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
∴尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个).
1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线
答案　A
解析　由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的数学期望或方差
答案　C
解析　因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ<4)，故P(ξ<4)＝，所以μ＝4.
3．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有(　　)
A．997人 B．972人
C．954人 D．683人
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(604．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　0.8
解析　如图，易得P(05．设随机变量X～N(0,1)，求P(X<0)，P(－2考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
解　对称轴为X＝0，故P(X<0)＝0.5，
P(－21．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；
②P(Xa)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.
一、选择题
1．若随机变量X的概率密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则E(2X＋1)的值是(　　)
A．5 B．9 C．3 D．2
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　C
解析　由f(x)＝知，μ＝1，∴E(X)＝1，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.
2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξc)，则c的值为(　　)
A．0 B．μ C．－μ D．σ
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　B
解析　由正态分布密度曲线的性质知，曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ.
3．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
答案　D
解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－22)等于(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　A
解析　∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0.又∵P(－22)＝(1－0.4×2)＝0.1.
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态曲线如图所示．则下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y>μ2)≥P(Y>μ1)
B．P(X<σ2)≤P(X<σ1)
C．对任意正数t，P(XP(YD．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线
答案　C
解析　由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y>μ2)μ1)，故A错；
P(X<σ2)>P(X<σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(XP(Y而P(Xt)，P(Yt)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错．
6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683，
P(μ－2σ＜X<μ＋2σ)＝0.954.
A．2 386 B．2 718 C．3 415 D．4 772
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的综合应用
答案　C
解析　由X～N(0,1)知，P(－1＜X<1)＝0.683，
∴P(0∴落在阴影部分中点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 5＝3 415，故选C.
7．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 498名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　A
解析　因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝[1－P(888．若随机变量X的密度为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为(　　)
A．p1>p2 B．p1C．p1＝p2 D．不确定
答案　C
解析　由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
二、填空题
9．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ>3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________.
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的数学期望或方差
答案　1
解析　根据题意ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝＝1，
∴E(ξ)＝μ＝1.
10．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2,3)内的概率为________．
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　x＝1　0.136
解析　由正态分布的概率密度函数，知μ＝1，σ＝1，
所以正态曲线关于直线x＝1对称，
且在x＝1处取得最大值．
根据正态曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．
由X～N(1,1)知，P(2＝[P(－1＝[P(1－2×111．据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　231
解析　依题意，得P(60－20P(X>80)＝(1－0.954)＝0.023，
故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.023＝230.
所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第231名．
三、解答题
12．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64＜X<72)．
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的数学期望或方差
解　(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P(72结合P(μ－σ(2)因为P(μ－2σ又因为P(X<64)＝P(X>96)，
所以P(X<64)＝(1－0.954)＝0.023，
所以P(X>64)＝0.977.
又P(X<72)＝[1－P(72＝×(1－0.683)≈0.159，
所以P(X>72)＝0.841，
P(6464)－P(X>72)≈0.136.
13．在一次全国高中五省大联考中，有90万名学生参加考试，考后对所有学生的成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N(μ，σ2)．用如下茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.
(1)求μ，σ；
(2)给出正态分布的数据：P(μ－σ①若从这90万名学生成绩中随机抽取1名学生的成绩，求该学生英语成绩在(82.1,103.1)内的概率；
②若从这90万名学生成绩中随机抽取1万名学生的成绩，记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，求X的数学期望．
解　(1)由茎叶图得这20个数据的平均数：
＝×(79＋80＋81＋82＋87＋87＋88＋88＋89＋90×4＋91＋92＋93＋93＋100＋101＋109)＝90，
∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，
英语成绩服从正态分布N(μ，σ2)，
∴μ＝90－0.9＝89.1，σ＝＝7.
(2)①∵英语成绩服从正态分布N(89.1,49)，
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954，∴P(82.1＜X＜96.1)＝0.683，P(75.1＜X＜103.1)＝0.954，由题意知x服从正态分布N(89.1,49)，作出相应的正态曲线，如图，
依题意P(82.1即曲边梯形ABCD的面积为0.954，曲边梯形EFGH的面积为0.683，其中A，E，F，B的横坐标分别是75.1，82.1,96.1,103.1，
由曲线关于直线x＝89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.954－≈0.819，
即该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率约为0.819.
②∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.819，
且从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，
∵X～B(10 000,0.819)，
∴X的数学期望E(X)＝0.819×10 000＝8 190.
四、探究与拓展
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　683
解析　依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.515．某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分)，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)，已知P(X<75)＝0.3，P(X>95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85)，(85,95)，(95,100)内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解　(1)P(80P(85故所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024.
(2)P(75故ξ服从二项分布B(3,0.4)，
P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，
P(ξ＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432，
P(ξ＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288，
P(ξ＝3)＝C×0.43＝0.064.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)＝3×0.4＝1.2.
习题课　离散型随机变量的数学期望
学习目标　1.进一步熟练掌握数学期望公式及性质.2.能利用随机变量的数学期望解决实际生活中的有关问题．
1．离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的性质
如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
3．三种常见分布的数学期望
(1)如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．
(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.
(3)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
类型一　放回与不放回问题的数学期望
例1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的数学期望；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的数学期望．
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
解　(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(ξ)＝＝＝.
(2)由题意知1次取到次品的概率为＝，
随机变量η服从二项分布η～B，
∴E(η)＝3×＝.
反思与感悟　二项分布与超几何分布的主要区别：有无放回．若有放回，则为二项分布，主要确定参数n，p；若无放回，则为超几何分布，主要确定参数N，M，n.
跟踪训练1　PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值为35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 ～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值的茎叶图(十位为茎，个位为叶)如图所示．
PM2.5日均值(微克/立方米)
(1)从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
(2)若以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级？
解　(1)随机变量ξ服从参数为N＝15，M＝6，n＝3的超几何分布，ξ的可能值为0,1,2,3，
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




(2)依题意可知，这360天中每天空气质量达到一级的概率为P＝＝，这360天中空气质量达到一级的天数为η，则η～B，
所以E(η)＝360×＝144(天)，
故这360天中空气质量达到一级的天数约为144.
类型二　与排列、组合有关的分布列的数学期望
例2　如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求数学期望E(V)．
考点　常见的几种数学期望
题点　与排列、组合有关的数学期望
解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
则P(V＝0)＝，P＝＝，
P＝＝，P＝＝，
P＝＝.
因此V的分布列为
V
0




P





E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.
反思与感悟　解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用数学期望的公式便可得到．
跟踪训练2　某位同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为.
(1)求m的值；
(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的期望E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明．
考点　超几何分布的期望
题点　超几何分布的期望
解　(1)P(X＝2)＝＝，
即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.
所以m的值为6.
(2)由原问题知，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0,1，2,3.
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝3)＝＝，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P




E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
由E(X)＝，E(Y)＝得出
①E(X)>E(Y)．说明记住公式个数的期望大于没记住公式个数的期望．
②E(X)＋E(Y)＝3.说明记住和没记住的期望之和等于随机抽取公式的个数．
类型三　与互斥、独立事件有关的分布列的数学期望
例3　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响．
假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的数学期望．
考点　常见的几种数学期望
题点　相互独立事件的数学期望
解　ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格为事件B1，B2，
则P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2)
＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.
所以其分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
反思与感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练3　甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的数学期望．
考点　常见的几种数学期望
题点　独立重复事件的数学期望
解　由题意，知X的所有可能值是3,4,5.
则P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝，
P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
P



E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
类型四　数学期望的实际应用
例4　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
考点　离散型随机变量的期望的性质
题点　期望在实际中的应用
解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22.从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望小于当n＝20时所需费用的期望，故应选n＝19.
反思与感悟　解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的数学期望．
(3)对照实际意义，回答概率、数学期望等所表示的结论．
跟踪训练4　某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望在实际中的应用
解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　B
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　B
解析　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15
＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
3．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P


m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________.
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望性质的应用
答案　2
解析　由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，
所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，
即－a＋3＝，得a＝2.
4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
考点　常见的几种数学期望
题点　与排列、组合有关的数学期望
答案　
解析　分布列为
ξ
0
1
2
P



所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．
(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；
(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
考点　常见的几种数学期望
题点　相互独立事件的数学期望
解　(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为2＋2＝.
(2)落入A槽的概率为2＝，
落入B槽的概率为，
落入C槽的概率为2＝.
X的所有可能取值为0,5,10，
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝5)＝＋×＋2×＝，
P(X＝10)＝＋×＋2×＝.
所以X的分布列为
X
0
5
10
P



E(X)＝0×＋5×＋10×＝.
1．实际问题中的数学期望问题
数学期望在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的数学期望来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的数学期望．
(3)对照实际意义，回答概率、数学期望等所表示的结论.
一、选择题
1．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　B
解析　E(X)＝n＝15，∴n＝30，∴E(Y)＝30×＝10.
2．一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目X的数学期望为(　　)
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
考点　常见的几种数学期望
题点　独立重复事件的数学期望
答案　C
解析　X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064，所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
3．抛掷两颗骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望是(　　)
A. B. C. D.
考点　二项分布、二点分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
答案　D
解析　成功的概率为1－＝，
所以X～B，所以E(X)＝10×＝.
4．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支签，设X为这3支签中号码最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6
考点　常见的几种数学期望
题点　与排列、组合有关的数学期望
答案　B
解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.
5．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量一样 D．无法判定
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望在实际中的应用
答案　A
解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E(X)6．某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)等于(　　)
A．1.48 B．0.76
C．0.24 D．1
考点　离散型随机变量的数学期望的概念与计算
题点　数学期望的计算
答案　A
解析　ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
7．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的期望是(　　)
A. B.
C. D.
考点　常见的几种期望
题点　相互独立事件的期望
答案　C
解析　设所得两数之积为ξ，则ξ的可能值为0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝2××＋2××＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝2××＝，
P(ξ＝4)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
4
P




所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝.
二、填空题
8．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为8∶1∶1，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是________元．
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望在实际中的应用
答案　1.56
解析　设收寄信件的价格为X，则X的分布列为
X
1.2
2.4
3.6
P
0.8
0.1
0.1
E(X)＝1.2×0.8＋2.4×0.1＋3.6×0.1＝1.56，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为1.56元．
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望与其他知识点的综合
答案　
解析　由已知可得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，
∴ab＝·3a·2b≤2＝×2＝，
当且仅当3a＝2b＝时取等号，即ab的最大值为.
10．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________.(结果用最简分数表示)
考点　常见的几种数学期望
题点　与排列、组合有关的数学期望
答案　
解析　由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2，
因此P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
11．已知卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元．若该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的数学期望是________．(1年按365天计算，结果保留两位有效数字)
考点　离散型随机变量的数学期望的性质
题点　数学期望在实际中的应用
答案　61
解析　设该个体户每天的获利是随机变量X，则X可能的取值为100，－10，其中P(X＝－10)＝，P(X＝100)＝，所以E(X)＝100×＋(－10)×≈61.
三、解答题
12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点　超几何分布的数学期望
题点　超几何分布的数学期望
解　(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解　(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可，记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
故所求的分布列为
X＝k
51
48
45
42
P(X＝k)




所求的数学期望为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
四、探究与拓展
14．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及期望E(ξ)．
考点　常见的几种期望
题点　相互独立事件的期望
解　(1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.
故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能的取值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
∴甲，乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P





∴E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
滚动训练三(§2.1～§2.2)
一、选择题
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则随机变量可以是(　　)
A．第一次出现的点的种数
B．第二次出现的点的种数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　B
解析　记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
3．若ξ～B，则P(ξ≥2)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　C
解析　P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－C0×10－C1×9
＝1－－＝.
4．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P(X＝i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于(　　)
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　B
解析　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x＋0.05＋0.1＋0.0y＝0.4，
即10x＋y＝25，
由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5.
故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
5．某人进行射击训练，射击1次中靶的概率为.若射击直到中靶为止，则射击3次的概率为(　　)
A.3 B.2×
C.2× D.3
考点　同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　C
解析　由题意得，射击3次说明前2次未中，第3次击中，所以射击3次的概率为2×.
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为(　　)
A．0.998 B．0.046
C．0.002 D．0.954
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　D
解析　三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知
至少有两枚导弹命中目标的概率为P＝1－0.046＝0.954.
7．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　C
解析　由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝＝，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C2×1＝.
8．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是，则k的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．3或4
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　D
解析　设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由已知，得P(X＝k)＝，即C×k×5－k＝，解得k＝3或k＝4.
二、填空题
9．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　　
解析　ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝＝，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝＝.
10．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率为________．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　1－(1－p)m
解析　由题意知，设电子元件损坏的个数为X，
则X～B(m，p)，则这个仪表不能工作的概率
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)m＝1－(1－p)m.
11．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设A为下雨，B为刮风，
由题意得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
P(B|A)＝＝＝.
12．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N＋)，则S4＝2的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　
解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
三、解答题
13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．记X为第二天开始时该商品的件数，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P


四、探究与拓展
14．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，
记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，
记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C×3＝.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C×2××＝.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C×2×2×＝.
(2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.
因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
故按比赛规则甲获胜的概率为.
15．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，
故X～B.
所以P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C30＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




滚动训练四(§2.1～§2.4)
一、选择题
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
解析　A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
2．设随机变量ξ服从正态分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξA．4 B．3
C．2 D．1
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　B
解析　由P(ξ>c＋2)＝P(ξ3．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.7%)
A．95.4% B．99.7%
C．4.6% D．0.3%
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　B
解析　由X～N知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.54．设X为随机变量且X～B(9，p)，若随机变量X的期望E(X)＝3，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　D
解析　∵X～B(9，p)，E(X)＝3，∴9p＝3，∴p＝，
∴P(X＝2)＝C×2×7＝.
5．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　因为师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为
P＝1－C2C2＝.故选A.
6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　C
解析　设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，P(B|A)＝，而P(A)＝＝，
AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，则P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝×＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3.则D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9
C．3 D．4
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　A
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
所以D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
所以D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B.
C. D.
考点　常见的几种期望
题点　与排列、组合有关的随机变量的期望
答案　D
解析　∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号，
∴ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者．则乙连胜四局的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　0.09
解析　乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　
解析　P(A|B)＝＝＝.
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的期望是2，则p＝________.
考点　二项分布、二点分布的期望
题点　二项分布的期望
答案　
解析　因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
三、解答题
12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p，且各次投篮互不影响．
(1)若投篮1次的得分记为X，求方差D(X)的最大值；
(2)当(1)中D(X)取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　(1)依题意，得X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝－2＋，∴当p＝时，D(X)取得最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.记投篮5次的得分为Y，则Y～B，那么P(Y＝4)＝C×4×＝，
故甲运动员投篮5次得4分的概率为.
13．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；
(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和期望．
考点　常见的几种期望
题点　与排列、组合有关的随机变量的期望
解　(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝.
X的分布列为
X
2
3
4
5
P




因此，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
四、探究与拓展
14．如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8.则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于(　　)
A．0.752 B．0.988
C．0.168 D．0.832
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　A
解析　P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752.
15．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
考点　离散型随机变量的期望的性质
题点　期望在实际中的应用
解　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C×1×2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＝，
P(X＝100)＝C×3×0＝，
P(X＝－200)＝C×0×3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P




(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的期望为
E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的期望为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
章末复习
学习目标　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及其分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的期望、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
1．条件概率的性质
(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.
(2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件的性质推广
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
3．二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是n次独立重复试验中某事件发生的次数．
4．超几何分布与二项分布的概率计算
(1)超几何分布：P(X＝m)＝(其中m为非负整数)．
(2)二项分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
5．期望与方差及性质
(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(2)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
(3)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.
(4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
(5)D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2.
6．正态总体在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ类型一　条件概率的求法
例1　从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．
解　若A表示“抽到的两张都是假钞”，B表示“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．
∵P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A|B)＝＝＝＝.
反思与感悟　条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.
在古典概型中，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1　已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率的性质的简单应用
解　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率
P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)由(1)得P(AC)＝，又因为P(C)＝，
所以P(A|C)＝＝＝.
类型二　互斥、对立、独立事件的概率
例2　乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
解　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，
则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝.
记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j＝0,1,3)，
则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．
由题意，得D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，
由事件的独立性和互斥性，得
P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)
＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)
＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)
＝×＋×＋×＋×＝，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
(2)由题意，得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)
＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)
＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)
＝×＋×＝，
P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.
可得随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P






所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
反思与感悟　在本类题求解中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式
(1)P(A)＝1－P()．
(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
跟踪训练2　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥、对立、独立事件的概率问题
解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P( F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E )＝×＝，
P(X＝220)＝P(E F)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P




E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140.
类型三　离散型随机变量的分布列、数学期望和方差
例3　一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．
考点　数学期望与方差的应用
题点　数学期望与方差的综合应用
解　(1)由已知，得随机变量η的取值为2,3,4,5,6.
设掷一个正方体骰子所得点数为η0，
P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，P(η0＝3)＝，
所以P(η＝2)＝×＝，
P(η＝3)＝2××＝，
P(η＝4)＝2××＋×＝，
P(η＝5)＝2××＝，
P(η＝6)＝×＝.
故η的分布列为
η
2
3
4
5
6
P





(2)由已知，得满足条件的一次投掷的点数和取值为6，
设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝.
因为随机变量ξ～B，
所以E(ξ)＝np＝10×＝，
D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
反思与感悟　求离散型随机变量的数学期望与方差的步骤
跟踪训练3　设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解　(1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
方法一　P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)
＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
方法二　P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)
＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，
故P(A)＝1－P()＝0.91.
类型四　正态分布及应用
例4　从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知X～B(100，0.683)，所以E(X)＝100×0.683＝68.3.
反思与感悟　(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
跟踪训练4　某市去年高考考生成绩X服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550分～600分的人数．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，
∴P＝(550＝[P(500－2×50＝(0.954－0.683)＝0.135 5.
故考生成绩在550分～600分的人数约为
25 000×0.135 5≈3 388.
类型五　概率的实际应用
例5　某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
考点　分类讨论思想
题点　分类讨论思想
解　(1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)．
三个问题一对两错，包括两种情况：
①前两个问题一对一错，第三个问题错，
得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)．
三个问题两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题对，第三个问题错，
得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128，
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6＝0.192，
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.
所以ξ的分布列为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以E(ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984.
反思与感悟　解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．
跟踪训练5　某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B，C，D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．
考点　分类讨论思想
题点　分类讨论思想
解　(1)A直接感染一个人有2种情况，分别是A－B－C－D和A－B－概率是×＋×＝.
(2)A直接感染二个人有3种情况，分别是A－A—A—概率是×＋×＋×＝.
(3)A直接感染三个人只有一种情况概率是×＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



1．6位同学参加百米短跑比赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　记“甲同学排在第一跑道”为事件A，“乙同学排在第二跑道”为事件B，则n(A)＝A＝120，n(AB)＝A＝24，所以P(B|A)＝＝.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P(  )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝，故选B.
3．某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　∵数学成绩ξ服从正态分布N(110,102)，
且P(100≤ξ≤110)＝0.34，
∴P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝×(1－0.34×2)＝0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
4．设X为随机变量，X～B，若X的方差为D(X)＝，则P(X＝2)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　D
解析　由D(X)＝×n＝，得n＝6.
∴P(X＝2)＝C×2×4＝，故选D.
5．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：
(1)3台都未报警；
(2)恰有1台报警；
(3)恰有2台报警；
(4)3台都报警；
(5)至少有2台报警；
(6)至少有1台报警．
解　令X为在发生险情时3台报警器中报警的台数，那么X～B(3,0.9)，则它的分布列为P(X＝k)＝C0.9k·(1－0.9)3－k(k＝0,1,2,3)．
(1)3台都未报警的概率为
P(X＝0)＝C×0.90×0.13＝0.001.
(2)恰有1台报警的概率为
P(X＝1)＝C×0.91×0.12＝0.027.
(3)恰有2台报警的概率为
P(X＝2)＝C×0.92×0.1＝0.243.
(4)3台都报警的概率为
P(X＝3)＝C×0.93×0.10＝0.729.
(5)至少有2台报警的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972.
(6)至少有1台报警的概率为
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P()P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
3．求解实际问题的数学期望与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用二点分布、二项分布等特殊分布的数学期望、方差公式以及数学期望与方差的线性性质．
一、选择题
1．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　C
解析　第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球，…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
2．将一枚骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为(　　)
A．C33 B．C34
C．C30 D．C5
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　A
解析　每次抛掷出现6点的概率为，由二项分布的知识，可知选A.
3．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　)
A．(90,100) B．(95,125)
C．(100,120) D．(105,115)
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　因为X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5.因为＝0.95≈P(μ－2σ4．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影响)(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　D
解析　该生各项均合格的概率为××＝.
5．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率
题点　直接利用公式求条件概率
答案　C
解析　∵P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
6．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ(元)，则E(ξ)等于(　　)
A．1 850 B．1 720 C．1 560 D．1 480
考点　常见的几种数学期望
题点　独立重复事件的数学期望
答案　A
解析　根据题意知，ξ的可能取值为2 450,1 450,450，－550，且P(ξ＝2 450)＝3＝，P(ξ＝1 450)＝C12＝，P(ξ＝450)＝C21＝，P(ξ＝－550)＝C3＝，∴E(ξ)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850.
二、填空题
7．变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)＝________.
X
－1
0
1
P
a
b
c
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差与标准差的计算
答案　
解析　由a，b，c成等差数列，知a＋c＝2b，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(X)＝－a＋c＝，∴a＝，b＝，c＝.∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
8．甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　0.8
解析　P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝ 1－0.2＝0.8.
9．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　甲以4比2获胜，则需打六局比赛且甲第六局胜，前五局胜三局，故其概率为C3×2×＝.
10．在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________．(精确到0.001)
考点　n次独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　0.103
解析　设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋≈0.103.
11．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班男生的人数为________．
考点　常见的几种期望
题点　与排列、组合有关的数学期望
答案　33
解析　根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班男生的人数为33.
三、解答题
12．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，
求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望．
考点　常见的几种数学期望
题点　二项分布的数学期望
解　设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第3次取到白球”．
(1)P(A)＝＝.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，
所以每次取球互不影响，
所以P()＝＝.
(3)设事件C为“取一次球，取到白球”，
则P(C)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，
则ξ～B.
所以P(ξ＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
E(ξ)＝3×＝.
13．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
　　　　　逻辑思维能力
运动协调能力　　　　　
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4
b
1
优秀
1
3
a
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(1)求a，b的值；
(2)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(3)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
解　(1)设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋a)人，则P(A)＝＝，
解得a＝2，所以b＝4.
(2)设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人，则P(B)＝1－P()＝1－＝.
(3)ξ的可能取值为0,1,2.
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生有8人，所以
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
四、探究与拓展
14．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的期望为(　　)
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
考点　数学期望、方差的综合应用
题点　数学期望与方差在实际中的应用
答案　A
解析　由题意得X＝0,1,2，则
P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.
15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的期望E(ξ)．
考点　二点分布、二项分布的数学期望
题点　二项分布的数学期望
解　(1)方法一　记小球落入B袋中的概率为P(B)，则P(A)＋P(B) ＝1.
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
∴P(B)＝3＋3＝，
∴P(A)＝1－＝.
方法二　由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋，∴P(A)＝C3＋C3＝.
(2)由题意，ξ～B，
∴P(ξ＝3)＝C31＝，
∴E(ξ)＝4×＝3.