章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若A＝2A，则m的值为( )
A．5 B．3 C．6 D．7
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 A
解析 依题意得＝2×，化简得(m－3)·(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.
2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74 C．84 D．200
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 B
解析 分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
答案 A
解析 由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.
4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A．A种 B．AA种
C．CA种 D．CCA种
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 C
解析 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种．
5．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3 C．2 D．0
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 A
解析 常数项为C·22·C＝4，x7的系数为C·C·(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.
6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为( )
A．AA B．AAA
C．CAA D．AAA
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 D
解析 先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A种放法，再考虑4幅油画本身排放有A种方法，5幅国画本身排放有A种方法，故不同的排列方式有AAA种．
7．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－1
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 B
解析 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.又由条件可知a5＝－1，故＝－.
8．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( )
A．16 B．24 C．32 D．48
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 C
解析 圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6个直角三角形，共有CC＝24(个)直角三角形，斜三角形的个数为C－CC＝32.
9．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )
A．96 B．114 C．128 D．136
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 B
解析 由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．
10．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19 B．19 C．－20 D．20
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
答案 D
解析 n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝C，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选D.
11．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CC B．CA
C．CA D．CA
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 C
解析 先从后排中抽出2人有C种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即为A，共有CA种调整方法．
12．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第19项 D．第20项
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理与其他知识点的综合应用
答案 D
解析 ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
答案 2或3
解析 设女生有x人，则CC＝30，即·x＝30，解得x＝2或3.
14．学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 240
解析 分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法．由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种)．
15．(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值为________．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理与其他知识点的综合应用
答案 或
解析 由题意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝，∴sin x＝.∵x∈[0,2π]，∴x＝或x＝.
16．将A，B，C，D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种．
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理的综合应用
答案 30
解析 先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，
若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法．
故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|1
(1)从集合A和B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
(2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，则这样的三位数有多少个？
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理的综合应用
解 A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．
(1)从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34(个)不同的点．
(2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C＝20(个)．
18．(12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 二项式的通项为Tr＋1＝C(2r)，由题意知展开式中第r＋1项系数是第r项系数的2倍，是第r＋2项系数的倍，
∴解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大的两项是
T4＝C(2)3＝280与T5＝C(2)4＝560x2.
19．(12分)10件不同厂生产的同类产品：
(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A＝1 680(或C·A)(种)．
(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有A·A＝50 400(或C·A)(种)．
20．(12分)设m＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列．
(1)求m展开式的中间项；
(2)求m展开式中所有含x的奇次幂的系数和．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 (1)依题意得a0＝1，a1＝，a2＝C2.
由2a1＝a0＋a2，求得m＝8或m＝1(应舍去)，
所以m展开式的中间项是第五项，
T5＝C4＝x4.
(2)因为m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，
即8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝8，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝8，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝，
所以展开式中所有含x的奇次幂的系数和为.
21．(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．
(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)1,2,3,4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.
(2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A＝120(个)；若有2个数相同，则有＝60(个)；若有3个数相同，则有＝20(个)；若有4个数相同，则有＝5(个)；若5个数全相同，则有1个．
22．(12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 (1)根据题意得C＋C＝7，
即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为
C＋C＝＋＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为
m2－7m＋21＝2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3
≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02.
(3)由题意可得a＝C＝70，再根据
即
求得k＝5或6，此时，b＝7×28，∴＝.
§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
第1课时 两个计数原理
学习目标 1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会利用两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
知识点一 分类加法计数原理(加法原理)
第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？
答案 两类，即乘飞机、坐火车．
思考2 这几类方案中各有几种方法？
答案 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？
答案 共有7＋6＝13(种)不同的方法．
梳理 分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．
知识点二 分步乘法计数原理(乘法原理)
某运动员为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车．
思考1 该运动员从北京到A城需要经过几个步骤？
答案 2个．
思考2 该运动员从北京到A城共有多少种不同的方法？
答案 7×6＝42(种)．
梳理 分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )
2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( √ )
3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )
类型一 分类加法计数原理的应用
例1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有( )
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 A
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.
当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝2时，n＝1，
即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．
反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．
(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 由已知得ab≤1.
若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
类型二 分步乘法计数原理
例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码．
引申探究
若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；
第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；
第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；
第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码．
反思与感悟 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路
①分步：将完成这件事的过程分成若干步；
②计数：求出每一步中的方法数；
③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 18 6
解析 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．
若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．
类型三 辨析两个计数原理
例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
反思与感悟 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
(3)混合问题一般是先分类再分步．
跟踪训练3 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6(种)选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6(种)选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4(种)选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
所以共有6＋6＋4＋2＝18(种)选法．所以共有18种不同的选法.
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12 C．64 D．81
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 B
解析 要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．
3．若x，y∈N＋，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)的个数为( )
A．6 B．8 C．9 D．10
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 D
解析 当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；
当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；
当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(个)有序自然数对．
4．4名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目，若每人报且只能报一项，则不同的报名方法共有( )
A．81种 B．64种
C．4种 D．24种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 完成这件事共分四步：
第一步，第1名同学可以报三个项目中的任何一个，有3种报名方法；
第二步，第2名同学也有3种报名方法；
第三步，第3名同学也有3种报名方法；
第四步，第4名同学也有3种报名方法．
所以共有34＝81(种)报名方法．
5．完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，共有81种完成方法，若改革后完成这项工作减少了一个步骤，则改革后完成这项工作有________种方法．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 27
解析 设改革前每一步骤有n种方法，则n4＝81，
∴n＝3.
故减少一个步骤后，共有3×3×3＝27(种)方法．
1．使用两个原理解题的本质
―→―→
―→―→
2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法
一、选择题
1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有( )
A．120种 B．16种 C．64种 D．39种
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．
2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是( )
A．6 B．9 C．16 D．24
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定r，有4种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.
3．从集合A＝{1,2,3，…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，则这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 以1为首项的等比数列为1,2,4；以2为首项的等比数列为2,4,8.把这两个数列的顺序颠倒，又得到2个数列，∴所求数列为4个．
4．在“学雷锋、在行动”传承雷锋精神活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名参加“义务劳动”“才艺表演”项目，但该活动为了有序性，规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自己才艺不如甲，若甲报才艺表演，乙就报义务劳动，则他们三人不同的报名方法有( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．8种
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 C
解析 从甲着手分析，分两类：若甲报才艺表演，则乙报义务劳动，丙可任选，有2种报名方法；若甲报义务劳动，则丙、乙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．
5．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是( )
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种)．
6．(2017·陕西榆林清涧月考)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的数字相加，则和为偶数的不同取法的种数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 C
解析 从0,1,2,3,4,5六个数字中取出的两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有3＋3＝6(种)取法．
7．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，若公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数是( )
A．2 000 B．4 096
C．8 320 D．5 904
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 可从反面考虑，因为卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096(个)，所以这组号码中“优惠卡”的个数是5 904.
8．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18 B．17 C．16 D．14
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 D
解析 分两类．
第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有3×2＝6(个)；
第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有4×2＝8(个)．
由分类加法计数原理可知，共有6＋8＝14(个)点在第一、二象限．
二、填空题
9．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 16
解析 由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法．
10．在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 5 6
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．
对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的一个开关；
第二步，合上B中的一个开关，
故有2×3＝6(种)不同的方法．
11．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 22
解析 若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20(条)，故共有20＋2＝22(条)不同的直线．
12．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 2 880
解析 分两步安排这8名运动员．
第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24(种)方法；
第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)方法．
所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．
三、解答题
13．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
四、探究与拓展
14．若甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是( )
A．30 B．24
C．12 D．6
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 B
解析 首先从四种不同的品牌中任选一种给甲、乙两人，有4种选法，再从剩下的三种品牌中任选一种给甲，有3种选法，最后从剩下的两种品牌中任选一种给乙，有2种选法，根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2＝24(种)不同的选法．
15．求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数．
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
解 设较小的两边长为x，y，且x≤y，
则x≤y≤11，x＋y>11，x，y∈N＋.
当x＝1时，y＝11；
当x＝2时，y＝10,11；
当x＝3时，y＝9,10,11；
当x＝4时，y＝8,9,10,11；
当x＝5时，y＝7,8,9,10,11；
当x＝6时，y＝6,7,8,9,10,11；
当x＝7时，y＝7,8,9,10,11；
……
当x＝11时，y＝11.
所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
第2课时 两个计数原理的综合应用
学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数．
知识点一 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种类
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
知识点二 两个计数原理的应用
解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：
(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.
类型一 组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
引申探究
由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？
解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)．
反思与感悟 对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
跟踪训练1 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
答案 B
解析 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共6种，因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B.
类型二 选(抽)取与分配问题
例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
考点 抽取(分配)问题
题点 抽取(分配)问题
答案 C
解析 方法一 (直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．
方法二 (间接法)
先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．
反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
考点 抽取(分配)问题
题点 抽取(分配)问题
解 (以小球为研究对象)分三步来完成：
第一步：放第一个小球有5种选择；
第二步：放第二个小球有4种选择；
第三步：放第三个小球有3种选择，
由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60.
类型三 涂色与种植问题
例3 (1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种．
考点 种植问题
题点 种植问题
答案 42
解析 分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.
①若第三块田放c：
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．
②若第三块田放a：
a
b
a
第四块有b或c两种方法，
(ⅰ)若第四块放c：
a
b
a
c
第五块有2种方法；
(ⅱ)若第四块放b：
a
b
a
b
第五块只能种作物c，共1种方法．
综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．
(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
考点 涂色问题
题点 涂色问题
解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．
由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．
引申探究
本例(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？
①
②
④
③
解 依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．
第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．
第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；
第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．
于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)．
第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．
第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．
于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．
综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．
反思与感悟 解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．
种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
跟踪训练3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________．
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 420
解析 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．
第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．
根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法.
1．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( )
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 C
解析 不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种)．
2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．648
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
答案 B
解析 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
3．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )
A．24种 B．48种 C．64种 D．81种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．
4．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，则乘客下车的可能方式有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．500种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 分10步．
第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；
第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；
…；
第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．
故共有乘客下车的可能方式有＝510(种)．
5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.
A
B
C
D
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 108
解析 A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．
2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．
3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．
4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.
一、选择题
1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )
A．512个 B．192个 C．240个 D．108个
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
答案 D
解析 能被5整除的四位数，可分为两类：
一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(个)．
二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48(个)．
由分类加法计数原理得60＋48＝108(个)．
2．有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A．8种 B．9种
C．10种 D．11种
考点 抽取(分配)问题
题点 抽取(分配)问题
答案 B
解析 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.若A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法．同理，若A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，得监考方法共有3＋3＋3＝9(种)．
3．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A．9×8×7×6×5×4×3×2
B．8×96
C．9×106
D．8.1×106
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
答案 D
解析 电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，∴可增加的电话部数是9×106－9×105＝81×105.故选D.
4．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )
A．10个 B．14个 C．15个 D．21个
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 A
解析 当b＝1时，c＝4，
当b＝2时，c＝4,5；
当b＝3时，c＝4,5,6；
当b＝4时，c＝4,5,6,7.
故共有10个这样的三角形．
5.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )
A．6种 B．36种
C．63种 D．64种
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 C
解析 每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63(种)可能情况．
6．从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为( )
A．12 B．18 C．24 D．30
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 D
解析 选出符合要求的3盆花可分为两类：第一类，可从4盆菊花中选1盆，再从3盆山茶花中选2盆，有4×3＝12(种)选法；第二类，可从4盆菊花中选2盆，再从3盆山茶花中选1盆，有6×3＝18(种)选法．根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为12＋18＝30.
7．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱所有对角线的条数为( )
A．20 B．15
C．12 D．10
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 D
解析 由题意知，正五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，所以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱所有对角线的条数为2×5＝10.
8.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为( )
A．280 B．180
C．96 D．60
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 B
解析 按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)涂法．
二、填空题
9．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
答案 36
解析 根据题意，知个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
10．某班将元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 110
解析 先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中，有10种方法；再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中，有11种插法．由分步乘法计数原理知有10×11＝110(种)不同的插法．
11．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 60
解析 分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组)．
三、解答题
12．有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 (1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16(种)选法．
(2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120(种)选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39(种)选法．
13．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数．
(1)可以排出多少个不同的三位数？
(2)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？
考点 两个计数原理的应用
题点 两个原理在排数中的应用
解 (1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数．
(2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．
(3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个)．
四、探究与拓展
14．在“五云山寨”某天的活动安排中，有钓鱼、烧烤、野炊、拓展训练、消防演练共五项活动可供选择，若每班上、下午各安排一项活动，且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则该天A，B两个班的活动安排方案共有( )
A．260种 B．120种
C．100种 D．45种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 以A班为主进行分析，分步完成：第一步先确定上午的活动，A班从五项活动中任选一项，B班再从剩下的四项活动中任选一项，有5×4＝20(种)选择；第二步安排下午的活动，A班若恰好安排B班上午做过的活动，则此时B班可从剩下的四项活动中任选，若A班安排上午B班没做过的活动，则此时B班只能从剩下的三项活动中任选，所以有1×4＋3×3＝13(种)选择．根据分步乘法计数原理知，共有20×13＝260(种)安排方案．
15．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．
(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？
(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．
考点 涂色问题
题点 涂色问题
解 完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数．
(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理知，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)．
(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)．
∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.
∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(无实根)．∵n≥4
∴n＝5(负值舍去)．
§2 排 列
第1课时 排列与排列数公式
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
知识点一 排列的定义
思考1 若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来．
答案 ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.
思考2 ABC与ACB是同一种站法吗？
答案 不是．
梳理 排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．
知识点二 排列数及排列数公式
思考1 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
答案 4×3×2＝24(个)．
思考2 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？
答案 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
梳理 排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
排列数公式
乘积式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
A＝(n，m∈N＋，m≤n)
排列数的性质
A＝n！；A＝1；0！＝1
1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( × )
2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )
3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )
4．从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( × )
类型一 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
考点 排列的概念
题点 排列的判断
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
考点 排列的概念
题点 排列的判断
解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．
类型二 排列的列举问题
例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
解 (1)由题意作“树状图”，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意作“树状图”，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
类型三 排列数公式及应用
例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋，且n<55)；
(2)计算；
(3)求证：A－A＝mA.
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
(1)解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
(2)解
＝
＝＝1.
(3)证明 方法一 因为A－A
＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA，
所以A－A＝mA.
方法二 A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A个．
含有a1的可这样进行排列：
先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法．
故A＝mA＋A，
所以mA＝A－A.
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
跟踪训练3 不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 D
解析 由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7又所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N＋，得x＝8.
1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1种 B．3种 C．2种 D．4种
考点 排列的概念
题点 排列的判断
答案 C
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙，丙乙、丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 C
3．(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，x∈N＋，x>13可表示为( )
A．A B．A C．A D．A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 B
解析 从(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A.
4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 D
5．解方程A＝140A.
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
解 根据题意，原方程等价于
即
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N＋)，
解得x＝3.
1．判断一个问题是不是排列的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．就是说，在判断一个问题是不是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋，m≤n”的运用.
一、选择题
1．A＝9×10×11×12，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 B
2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 排列的概念
题点 排列的判断
答案 B
解析 由排列的定义知①④是排列问题．
3．与A·A不相等的是( )
A．A B．81A C．10A D．A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式证明
答案 B
解析 A·A＝10×9×8×7！＝A＝10A＝A，81A＝9A≠A，故选B.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4 C．8 D．10
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 B
解析 列树状图如下：
丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．
5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( )
A．6个 B．10个 C．12个 D．16个
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 C
解析 不同结果有A＝4×3＝12(个)．
6．下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式证明
答案 D
解析 A＝，
而AA＝n×＝，
∴AA＝A.
7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6 B．9 C．12 D．24
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 B
解析 这四位数列举为如下：
1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，
1 210,2 011,2 101,2 110，共9个．
二、填空题
8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 3
解析 由题意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3个元素．
10．满足不等式>12的n的最小值为________．
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 10
解析 ＝＝>12，
得(n－5)(n－6)>12，解得 n>9或n<2(舍去)．
∴最小正整数n的值为10.
11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 60
解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．
三、解答题
12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，求x的值．
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 当x≠0时，有A＝24(个)四位数，每个四位数的各位数字之和为1＋4＋5＋x，
故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；
当x＝0时，每个四位数的各位数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，
综上可知，x＝2.
13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 由题意可得A－A＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.
所以原有车站14个，现有车站16个．
四、探究与拓展
14．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5 C．3 D．0
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 C
解析 1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，100！＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3.
15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．
因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A＝21×20＝420(种)．
所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
第2课时 排列的应用
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
知识点 排列及其应用
1．排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(读作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．
反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
跟踪训练1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60(种)．
(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．
类型二 排队问题
例2 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
解 (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720(种)排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法．
(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144(种)排法．
反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
解 (1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．
例3 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲只能在中间或两端；
(2)甲、乙必须在两端；
(3)甲不在最左端，乙不在最右端．
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
解 (1)先考虑甲有A种方案，再考虑其余5人全排列，故N＝A·A＝360(种)．
(2)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余4人全排列，故N＝A·A＝48(种)．
(3)方法一 甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504(种)站法．
方法二 以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A种，b.甲站在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A·A·A种，故共有A＋A·A·A＝504(种)站法．
反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
跟踪训练3 从6名运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，求满足下列条件的参赛方法数：
(1)甲不能跑第一棒和第四棒；
(2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”的问题
解 (1)方法一 (元素分析法)：
从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第一类，甲不参赛，有A种参赛方法．
第二类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有A种方法，然后安排其他三棒，有A种方法，此时有AA种参赛方法．
综上，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A＋AA＝240(种)．
方法二 (位置分析法)：
从位置的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，这两棒可以从除甲以外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有AA＝240(种)．
方法三 (间接法)：
不考虑对甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有2A种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A－2A＝240(种)．
(2)方法一 (元素分析法)：
从人(元素)的角度考虑，优先考虑乙，可分为如下两类：
第一类，乙参加比赛，此时优先考虑乙，分为两种情况：
(ⅰ)乙跑第一棒，有A＝60(种)方法；
(ⅱ)乙不跑第一棒，有A种方法(跑第二棒或第三棒)．
此时按甲是否参赛，又分为两类：
①甲参赛，有AA种方法；
②甲不参赛，有A种方法．
故此时(乙不跑第一棒)共有A(AA＋A)＝96(种)方法．
由分类加法计数原理，得乙参加比赛共有60＋96＝156(种)方法．
第二类，乙不参赛，①若甲参赛，先考虑甲，有A种方法，此时共有AA种方法；②若甲不参赛，则有A种方法．
从而乙不参赛时共有AA＋A＝96(种)方法．
综上，共有156＋96＝252(种)参赛方法．
方法二 (位置分析法)：
从位置的角度考虑，第一棒与第四棒为特殊位置，优先考虑第一棒，分为如下两类：
第一类，第一棒为乙，则第四棒无限定条件，共有A种安排方法．
第二类，第一棒不为乙，则第一棒有A种安排方法，第四棒(不能为乙和已跑第一棒的人)有A种安排方法，其余两棒共有A种安排方法，从而第一棒不为乙共有AAA种安排方法．
由分类加法计数原理，得共有A＋AAA＝252(种)参赛方法．
方法三 (间接法)：
不考虑限定条件，有A种参赛方法，其中不符合要求的分为三类：
①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有AAA种参赛方法．
②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有AAA种参赛方法．
③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有AAA种参赛方法．
综上，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的参赛方法有A－AAA－2AAA＝252(种)．
例4 将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？
考点 排列的应用
题点 排列中的定序问题
解 5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．
方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．
所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．
反思与感悟 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：
(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
跟踪训练4 用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
考点 排列的应用
题点 排列中的定序问题
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.
故有A＝210(个)七位数符合条件．
类型三 数字排列问题
例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)第一步，排个位，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法．
故共有AAA＝288(个)六位奇数．
(2)方法一 (直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，
因此需分两类．
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个．
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．
方法二 (排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
(3)分三种情况，具体如下：
①当千位上排1,3时，有AAA个．
②当千位上排2时，有AA个．
③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A个；
形如4 1××的有AA个；
形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．
反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．
跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个．
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A个数，
∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，
即240 135是数列的第193项.
1．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120 C．240 D．720
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 D
解析 不同的排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 C
解析 第一步：排甲，共有A种不同的排法；第二步：排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有AA＝480(种)．
3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 B
解析 当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．
4．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，则儿童不相邻的站法有________种．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 86 400
解析 第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法；
第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：
母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A种排法．
由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A·A＝86 400(种)．
5．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 24
解析 分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法．则共有2×2×6＝24(种)排法．
求解排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
一、选择题
1．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )
A．1 260 B．120 C．240 D．720
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 D
解析 相当于3个元素排10个位置，有A＝720(种)不同的分法．
2．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 B
解析 不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．
3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.
4．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．8种 B．16种
C．18种 D．24种
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 A
解析 可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A种；第三步，余下的两个位置排公益宣传广告，有A种．根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有A·A·A＝8(种)，故选A.
5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A．1 543 B．2 543
C．3 542 D．4 532
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 C
解析 首位是1的四位数有A＝24(个)，
首位是2的四位数有A＝24(个)，
首位是3的四位数有A＝24(个)，
由分类加法计数原理得，
首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．
由此得a72＝3 542.
6．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 C
解析 由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A＝96(种)．故选C.
7．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
A．210个 B．300个
C．464个 D．600个
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 B
解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有＝300(个)．
8．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有( )
A．504种 B．960种 C．1 108种 D．1 008种
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 D
解析 由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．
二、填空题
9．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 72
解析 甲、乙两人相邻共有AA种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有A－AA＝72(种)排法．
10．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且没有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
答案 120
解析 当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.
故符合题意的四位数一共有120个．
11．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 24
解析 把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．
三、解答题
12．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
解 (1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720.
(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480.
(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法．
13．用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)用插空法，共有AA＝1 440(个)．
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576(个)．
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720(个)．
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840(个)．
四、探究与拓展
14．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数是________．(用数字作答)
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 40
解析 第一步，让1,2必相邻有A种排法；第二步，在5个位置上任取1个位置排有5种方法；第三步，在与1,2相邻的一个位置上排有2种方法；第四步，在下一个位置上仍有2种方法；第五步，其余2个位置只有1种排法．故共有A×5×2×2×1＝40(种)．
15．高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
解 分两类：
第1类，数学课安排在上午第一节或第四节共A种排法，体育课安排在下午共A种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节有2A种排法，其余两门在剩下的位置安排共A种．
由分步乘法计数原理知，共有A×A×2A×A＝32(种)排法．
第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共A种排法，体育课安排在下午有A种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节共A种排法，其余两门在剩下的位置安排共A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A×A×A×A＝16(种)排法．
综上，由分类加法计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48.
§3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
知识点一 组合的定义
思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除；
②从3,5,7,11中任取两个数相乘．
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
答案 ①是排列，①中选取的两个数是有顺序的，②中选取的两个数无需排列．
梳理 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
知识点二 组合数与组合数公式
从3,5,7,11中任取两个数相除，
思考1 如何用分步乘法计数原理求商的个数？
答案 第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA＝12.
思考2 你能得出C的计算公式吗？
答案 因为A＝CA，所以C＝＝6.
梳理
组合数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
组合数公式
乘积形式
C＝＝
阶乘形式
C＝
性质
C＝C
C＝C＋C
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝1
1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合的个数为C.( √ )
2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．( √ )
3．C＝5×4×3＝60.( × )
4．C＝C＝2 017.( √ )
类型一 组合概念的理解
例1 给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
考点 组合的概念
题点 组合的判断
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．
(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
考点 组合的概念
题点 组合的判断
解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C＝10.
(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C＝36(种)．
类型二 组合数公式及性质的应用
例2 (1)计算C－C·A；
考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算
解 原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)求证：mC＝nC.
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
证明 ∵mC＝m·＝
＝n·＝nC，
∴原式成立．
反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
跟踪训练2 (1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
(2)计算C＋C＝________.
考点 组合数性质
题点 利用组合数的性质计算与证明
答案 (1)C (2)5 150
解析 (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1.
(2)C＋C＝C＋C
＝＋200＝5 150.
例3 (1)已知－＝，求C＋C；
(2)解不等式C>C.
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
解 (1)∵－＝，
∴－＝，
即－
＝.
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
∵0≤m≤5，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
(2)由C>C，得
即解得
又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.
(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练3 解方程3C＝5A.
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
解 原式可变形为3C＝5A，
即
＝5(x－4)(x－5)，
所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.
所以x＝11或x＝－2(舍去)．
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.
类型三 简单的组合问题
例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．
考点 组合的应用
题点 无限制条件的组合问题
答案 (1)45 (2)21 (3)90
解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计算原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝90(种)．
反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
1．给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
考点 组合的概念
题点 组合的判断
答案 B
解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.
2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( )
A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q?M
C．M?Q D．M∩Q＝{1,4}
考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算
答案 D
解析 由C知n＝0,1,2,3,4，因为C＝1，C＝4，C＝＝6，C＝C＝4，C＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．
3．若C＝C，则n等于( )
A．3 B．5
C．3或5 D．15
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
答案 C
解析 由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )
A．15种 B．30种
C．45种 D．90种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 C
解析 分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝45(种)选法．
5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．
考点 组合的概念
题点 组合的判断
答案 10 20
解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．
1．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．
2．关于组合数的计算
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)组合数的两个性质：
性质1：C＝C；
性质2：C＝C＋C.
一、选择题
1．以下四个问题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
考点 组合的概念
题点 组合的判断
答案 C
解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
2.等于( )
A. B．101 C. D．6
考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算
答案 D
解析 ＝＝＝A＝6.
3．下列等式不正确的是( )
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C＋C D．C＝C
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
答案 D
解析 A是组合数公式；B，C是组合数性质；C＝，C＝，两者不相等，故D错误．
4．若A＝6C，则n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
答案 B
解析 由题意知n(n－1)(n－2)
＝6·，
化简得＝1，所以n＝7.
5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
考点 组合的应用
题点 无限制条件的组合问题
答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.
6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．10种 C．12种 D．9种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 C
解析 第一步，为甲地选1名女教师，有C＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.
7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )
A．115 B．90 C．210 D．385
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 A
解析 依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有CC＝90(种)；三个黑球，有CC＝24(种)；四个黑球，有C＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.
8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )
A．15 B．7 C．6 D．0
考点 组合数性质
题点 利用组合数的性质进行计算与证明
答案 C
解析 因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C可能为C，C，C，C，C，C，C，C， C，C，其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以x2＋Cy2＝1能表示的不同椭圆有6个．
二、填空题
9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
考点 组合的概念
题点 组合的判断
答案 1∶2
解析 ∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.
10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 60
解析 根据题意，得所有可能的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．
11．不等式C－n<5的解集为________．
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
答案 {2,3,4}
解析 由C－n<5，得－n<5，
即n2－3n－10<0，
解得－2由题意知n≥2，且n∈N＋，
则n＝2,3,4，
故原不等式的解集为{2,3,4}．
三、解答题
12．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
解 由已知得2C＝C＋C，
所以2×
＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法．
四、探究与拓展
14．以下三个式子：①C＝；②A＝nA；③C÷C＝.其中正确的个数是________．
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
答案 3
解析 ①式显然成立；
②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故②式成立；
③式中C÷C＝＝＝，故③式成立．
15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．
第2课时 组合的应用
学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．
知识点 组合应用题的解法
1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．
2．有限制条件的组合应用题的解法
常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.
类型一 有限制条件的组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)C－C＝825(种)
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生；只有1名女生；没有女生，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种 C．56种 D．22种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 A
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．
类型二 与几何有关的组合应用题
例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
解 (1)方法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二 可作出三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 A
解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.
类型三 分组、分配问题
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为＝＝15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.
反思与感悟 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.
跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)甲2本，乙2本，丙2本；
(2)甲1本，乙2本，丙3本；
(3)甲4本，乙、丙每人1本；
(4)每人2本；
(5)一人1本，一人2本，一人3本；
(6)一人4本，其余两人每人1本．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：
(1)共有CCC＝90(种)不同的分配方法；
(2)共有CCC＝60(种)不同的分配方法；
(3)共有CCC＝30(种)不同的分配方法．
(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A即可．因此，(4)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法；
(5)共有CCC×A＝360(种)不同的分配方法；
(6)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法．
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，
求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．
先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，
如||00||0000|，有C种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．
故共有C·(C＋C)＝30(种)．
反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 B
解析 由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．
第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法．
第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法．
因此，满足题意的赠送方法共有C＋C＝4＋6＝10(种).
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )
A．26种 B．84种
C．35种 D．21种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 C
解析 从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．
2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是( )
A．5 040 B．36
C．18 D．20
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 D
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)．
3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 D
解析 从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225.
4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 140
解析 安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C种方法．故不同的安排方案共有CC＝×4＝140(种)．
5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 32
解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C－3＝32.
1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：
(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．
2．有限制条件的组合应用题：
(1)“含”与“不含”问题：
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．
一、选择题
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )
A．30种 B．33种
C．37种 D．40种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 D
解析 从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有CC＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．24 B．14
C．28 D．48
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 B
解析 方法一 分两类完成：
第1类，选派1名女生、3名男生，有C·C种选派方案；
第2类，选派2名女生、2名男生，有C·C种选派方案．
故共有C·C＋C·C＝14(种)不同的选派方案．
方法二 6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C，所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14(种)．
3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( )
A．CC＋CC B．(C＋C)(C＋C)
C．C－9 D．C－C
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 A
解析 可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC，故选A.
4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，则不同的组合方法有( )
A．CC种 B．CA种
C．CACA种 D．AA种
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 B
解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C种选法，再从6名女选手中任意选取2名与选出的男选手打比赛，有CA，即A种．所以共有CA种．
5．将标号为A，B，C，D，E，F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A，B的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 B
解析 由题意知，不同的放法共有CC＝3×＝18(种)．
6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )
A．16 B．21
C．24 D．90
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 B
解析 分2类：
第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C＝6(种)选取方法．
第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C＝15(种)选取方法．
由分类加法计数原理得，共有6＋15＝21(种)选取方法．
7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC B．CAA
C. D．CCCA
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 A
解析 首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共C·C·C种．故选A.
8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法种数为( )
A．30 B．21 C．10 D．15
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 D
解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法．
二、填空题
9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有________种．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 10
解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有CC＝9(种)选法；
②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C＝1(种)选法．
共有选法9＋1＝10(种)．
10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种．
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 12
解析 先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．
11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 60
解析 一、二、三等奖，三个人获得，有A＝24(种)．
一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有CA＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．
三、解答题
12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C×C×C＝64(种)，
若2张同色，则有C×C×C×C＝144(种)，
若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192(种)，
剩余2张同色，则有C×C×C＝72(种)，
所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．
13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 可以分三类．
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
四、探究与拓展
14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 120
解析 先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C＝120(种)方法．
15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．
所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法CCA＝576(种)．
§4 简单计数问题
学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．
知识点一 两个计数原理
1．分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．
2．分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.
知识点二 排列
1．排列
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．
2．排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A
排列数公式
乘积式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
A＝(n，m∈N＋，m≤n)
排列数的性质
A＝n！；A＝1,0！＝1
知识点三 组合
1．组合
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(2)组合数公式
组合数公式
乘积形式
C＝＝
阶乘形式
C＝
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝1
特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法
一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．
2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略
(1)特殊元素优先安排的策略．
(2)正难则反，等价转化的策略．
(3)相邻问题捆绑处理的策略．
(4)不相邻问题插空处理的策略．
(5)定序问题除法处理的策略．
(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．
(7)平均分组问题，除法处理的策略．
(8)构造模型的策略.
类型一 两个计数原理的应用
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．
反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 D
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 264
解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．
反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．
其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法．
跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )
A．11种 B．12种 C．20种 D．21种
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 D
解析 根据题意，设5个开关依次为1,2,3,4,5，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，
对于开关1,2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，
对于开关3,4,5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.
类型二 有限制条件的排列问题
例3 3个女生和5个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？
考点 排列的应用
题点 有限制条件的排列问题
解 (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法，再扣除女生排在首位时被扣去一次，再扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法．
因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法．
方法二 3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A·A种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法．
(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有＝20 160(种)不同的排法．
反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
跟踪训练3 为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
A．720 B．768
C．810 D．816
考点 排列的应用
题点 有限制条件的排列问题
答案 B
解析 根据题意，知在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A＝840(种)情况，
其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A＝24(种)，
则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；
其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有CAA＝48(种)，
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．
故选B.
类型三 排列与组合的综合应用
例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 分三类：
第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种．
第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
反思与感悟 解答排列、组合综合问题的思路及注意点
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
跟踪训练4 某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 36
解析 先从4名调研员中选2名去同一所学校有C种方案，然后与另外两名调研员进行全排列对应三所学校，有A种方案，故共有CA＝36(种)分配方案.
1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本 B．9本
C．12本 D．18本
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．
2．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )
A．CC B．CC＋CC
C．C－CC D．C－C
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 B
解析 根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有CC种，“有3件次品”的抽取方法有CC种，则共有CC＋CC种不同的抽取方法，故选B.
3．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种 B．108种 C．210种 D．72种
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 B
解析 从4男3女志愿者中选1女2男有CC＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．
4．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 30
解析 将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A＝30(种)．
5．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 96
解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法．丙传第一棒，共有C·A种方法．由分类加法计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96(种)方法．
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．
2．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
3．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．
4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.
一、选择题
1．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一．依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型．若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有( )
A．12种 B．6种 C．10种 D．9种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 由题意，知他的父母的血型都是A，B，O三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种)．
2．若C＝C，则的值为( )
A．1 B．20 C．35 D．7
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 C
解析 若C＝C，则n＝3＋4＝7，可得n＝7，
所以＝＝＝35.
3．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A．120 B．204 C．168 D．216
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 B
解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，
当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，
当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，
根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.
4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72种 B．54种 C．48种 D．8种
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 C
解析 用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A·A·A种，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步乘法计数原理可知共有A·(A)3＝48(种)．
5．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数的个数为( )
A．96 B．78
C．72 D．64
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 B
解析 比20 000大含两层含义：一是万位不是1，二是5个数字全用上，故问题等价于“由1,2,3,4,5这五个数字组成万位不是1，百位不是3的无重复数字的五位数的个数”，万位是3时，有A个，万位不是3时，有3×3×A个，所以共有A＋3×3×A＝78(个)，故选B.
6．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A．4 320种 B．2 880种 C．1 440种 D．720种
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 A
解析 第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)涂色方法．
7．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有( )
A．56种 B．28种
C．21种 D．14种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 D
解析 分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有C种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有C种，再取退烧药有C种，共有CC种方案；取a4，a5时，再取退烧药有C种方案．故共有C＋CC＋C＝14(种)不同的实验方案．
8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 C
解析 根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C·C·A＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C·C·A＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C·C·A·A＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.
二、填空题
9．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有________种．
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 4
解析 设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)．若AC选甲学校，则BD选乙学校，若AC选乙学校，则BD选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若AD选乙学校，则BC选甲学校．故共有4种方法．
10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 126
解析 按从事司机工作的人数进行分类：
①有1人从事司机工作：CCA＝108(种)；
②有2人从事司机工作：C·A＝18(种)．
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
答案 12
解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C－3＝12(个)四面体．
12．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 8
解析 首先排两个奇数1,3，有A种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.
三、解答题
13．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
解 (1)有A＝120(种)不同的方法．
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有AAA＝24(种)不同的方法．
(3)按人数分配方式分类：
①3,1,1，有A＝60(种)方法；
②2,2,1，有A＝90(种)方法．
故共有60＋90＝150(种)分配方法．
四、探究与拓展
14．如图，某市有7条南北向街道，5条东西向街道．
(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点走到B点，最短路线的走法有多少种？
考点 组合的应用
题点 与几何有关的组合问题
解 (1)在7条纵线中任选2条，在5条横线中任选2条，这样的4条线可组成1个矩形，故图中共有矩形CC＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，无论怎么走，从A到B最短路线的走法一定包括10段，其中6段东西方向，另4段南北方向．每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝210(种)走法．
15．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 本题分两种情况讨论．
(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有CAA＝24(种)不同的情况．
(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有CCC＝12(种)不同的情况．
综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．
§5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点 二项式定理及其相关概念
思考1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．
答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
思考2 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
答案 能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn (n∈N＋)．
梳理
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项展开式
等号右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式
二项式系数
各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数
二项式通项
式中Can－rbr叫作二项展开式的第r＋1项，又叫作二项式通项
在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.
1．(a＋b)n展开式中共有n项．( × )
2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( × )
3．Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．( × )
4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )
类型一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)4的二项展开式为________．
考点 二项式定理
题点 运用二项式定理求展开式
答案 81x2＋108x＋54＋＋
解析 方法一 4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
解 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
引申探究
若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
答案 44
解析 ∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
反思与感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
解 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
类型二 二项展开式通项的应用
例2 已知二项式10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求展开式第4项的系数；
(3)求第4项．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
解 10的展开式的通项是
Tr＋1＝C(3)10－rr＝C310－rr·(r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760.
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
跟踪训练2 已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
解 (1)因为T3＝C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n∈N＋，故n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rC，所以＝3，r＝1，
所以第二项为含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
例3 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
解 通项公式为
Tr＋1＝C(－3)r＝C(－3)r.
(1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即r＝5－t.∵r∈N，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 1
解析 展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，代入得x3的系数，根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1.
(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则n的二项展开式的常数项是________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 160
解析 由题意得n＝6，∴Tr＋1＝2rCx6－2r，令6－2r＝0得r＝3，∴常数项为C23＝160.
1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 B
解析 因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于( )
A．1 B．1
C．(－1)n D．3n
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
答案 C
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
3．已知n的展开式中，常数项为15，则n的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 D
解析 展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)n－r·(－1)r·r＝(－1)rCx2n－3r.
令2n－3r＝0，得n＝r(n，r∈N＋)，
若r＝2，则n＝3不符合题意，若r＝4，则n＝6，
此时(－1)4·C＝15，所以n＝6.
4．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 C
解析 24的展开式的通项为Tr＋1＝C·()24－rr＝C，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
5．求二项式(－)9展开式中的有理项．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
解 Tr＋1＝C·＝(－1)rC·，令∈Z(0≤r≤9)，得r＝3或r＝9，所以当r＝3时，＝4，
T4＝(－1)3Cx4＝－84x4，
当r＝9时，＝3，
T10＝(－1)9Cx3＝－x3.
综上，展开式中的有理项为－84x4与－x3.
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.
一、选择题
1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
答案 A
解析 S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A.
2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( )
A．－20i B．15i C．20 D．－15
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式中的特定项
答案 D
解析 (1＋i)6展开式中的第3项为Ci2＝－15.
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840 B．840 C．210 D．－210
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 B
解析 在通项公式Tr＋1＝C(－y)rx10－r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.
4．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 B
解析 Tr＋1＝C()n－rr＝2rC.
令＝0，得n＝3r.
根据题意有2rC＝60，验证知r＝2，故n＝6.
5．若(1＋3x)n(n∈N＋)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27 C．36 D．108
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 D
解析 Tr＋1＝C(3x)r，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C33＝108.
6．在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 C
解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C·，C·2，由其成等差数列，可得2C·＝1＋C·2，即n＝1＋，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的通项Tr＋1＝Cr.若为有理项，则有4－∈Z，所以r可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.
7．设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 B
解析 依据分段函数的解析式，
得f(f(x))＝f(－)＝4，
∴Tr＋1＝C(－1)rxr－2.
令r－2＝0，则r＝2，故常数项为C(－1)2＝6.
二、填空题
8.7的展开式中倒数第三项为________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案
解析 由于n＝7，可知展开式中共有8项，
∴倒数第三项即为第六项，
∴T6＝C(2x)2·5＝C·22＝.
9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N＋)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 11
解析 a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1，
∴＝＝，即＝3，
解得n＝11.
10．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m的值为________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 2
解析 由x10＝[m－(m－x)]10，[m－(m－x)]10的二项展开式的第9项为Cm2(－1)8·(m－x)8，
∴a8＝Cm2(－1)8＝180，则m＝±2.
又m>0，∴m＝2.
11．使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 5
解析 展开式的通项公式Tr＋1＝C(3x)n－rr，
∴Tr＋1＝3n－rC，r＝0,1,2，…，n.
令n－r＝0，得n＝r，故最小正整数n＝5.
三、解答题
12．若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
解 ∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rC，
令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2；
令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4.
由B＝4A可得a2＝4，又a>0，
∴a＝2.
13．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
解 已知二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·r＝(－1)rn－rC.
(1)因为第9项为常数项，即当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)令2×10－r＝5，得r＝(20－5)＝6.
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－r，即为整数，只需r为偶数，由于r＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
四、探究与拓展
14．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai) (i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 3
解析 由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．
即a0＝1，a1＝3，a2＝4.
由n的展开式的通项公式知Tr＋1＝Cr(r＝0,1,2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3.
15．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中含x项的系数是19(m，n∈N＋)．
(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；
(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
解 (1)由题设知m＋n＝19，所以m＝19－n，
含x2项的系数为C＋C＝C＋C
＝＋
＝n2－19n＋171＝2＋.
因为n∈N＋，所以当n＝9或n＝10时，x2项的系数的最小值为2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C＋C＝C＋C＝156.
5.2 二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．
知识点 二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
思考1 同一行中，系数有什么规律？
答案 两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等．
思考2 相邻两行，系数有什么规律？
答案 在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
梳理 “杨辉三角”蕴含的规律
(1)在同一行中，每行两端都是1.
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C.
(3)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即C＝C.
特别提醒：
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质．
(1)C＝C.
(2)C＝C＋C.
2．从二项式系数表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
1．二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．( × )
2．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.( × )
3．(a－b)n的展开式中，当n为偶数时，二项展开式中中间一项系数最大．( × )
4．(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性，所以C＝C.( × )
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 (1)如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似杨辉三角．
则第10行的第2个数是________．第n行的第2个数是________．
(2)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 (1)46 (2)34
解析 (1)由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.
(2)设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，
则C∶C＝2∶3，
所以3C＝2C，
即＝，
得＝，所以n＝34.
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146
C．164 D．461
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 C
解析 由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C，所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)
＝C＋C－1＝164.
类型二 二项式系数和问题
例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
引申探究
在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解 (1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C·(3x2)2＝90x6，T4＝C·(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·，
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
即∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4，
∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝405.
反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项．
跟踪训练3 写出(x－y)11的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)项的系数绝对值最大的项；
(3)项的系数最大的项和系数最小的项；
(4)二项式系数的和；
(5)各项系数的和．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(2)(x－y)11展开式的通项为
Tr＋1＝Cx11－r(－y)r＝C(－1)rx11－ryr，
∴项的系数的绝对值为|C·(－1)r|＝C，
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，
又∵第6项系数为负，第7项系数为正，
故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.
(5)令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 B
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项
答案 C
解析 2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C.
3．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
考点 二项式系数的性质
题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.
4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －15
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
又Tr＋1＝C(－3)4－r(2x)r，
∴当r＝4时，x4的系数a4＝16.②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.
5．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案
解析 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为.
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0，1,2，…，n}.
一、选择题
1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 C
解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
2．若n(n∈N＋)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．210 B．252
C．462 D．10
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 A
解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.
3．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析 由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tr＋1＝C()5－rr＝Car中，令15－5r＝0，得r＝3.
所以Ca3＝80，解得a＝2.
4．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂的系数之和是( )
A．2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 D
解析 (x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，
令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②
＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024.
5．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为( )
A．10 B．45
C．－9 D．－45
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
答案 B
解析 x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45.
6．设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 B
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－r·r＝(－1)r54－rC，
令4－＝1，得r＝2，
所以展开式中x的系数为(－1)2×52C＝150.
7．已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 B
解析 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，
得，a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)
＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数的性质可得，
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
8．下列关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1 024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
考点 二项式系数的性质
题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6项的系数－C最小，故D正确．
二、填空题
9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．
考点 二项式系数的性质
题点 利用二项式系数的性质进行计算
答案 6
解析 (1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项即第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
10．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 462
解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.
11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 7
解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
三、解答题
12．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，
可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②
与①式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.
13．已知n展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求m的取值情况．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．
则化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
四、探究与拓展
14．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.
15．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.
(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.
(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k
＝(－1)k·C·210－k·x10－2k.
∴得
即
∴≤k≤，k∈N，∴k＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项
T4＝(－1)3C·27·x4＝－15 360x4.
习题课 二项式定理
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
1．二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数
C(r＝0,1，…，n)
二项式通项
Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1，…，n)
二项式定理的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：C＝C.
(2)性质：C＝C＋C.
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即＝最大．
(4)二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法.
类型一 二项式定理的灵活应用
例1 (1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 (1)B (2)－1
解析 (1)方法一 (1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)m，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
方法二 (1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得a＝－1.
反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
跟踪训练1 (1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
A．－40 B．－20 C．20 D．40
(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 (1)D (2)120
解析 (1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和．
5的展开式的通项为
Tr＋1＝(－1)rC25－rx5－2r，
令5－2r＝1，得r＝2，
∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80，
令5－2r＝－1，得r＝3，
∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40，
∴5的展开式中常数项为80－40＝40.
(2)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
例2 5的展开式中的常数项是________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案
解析 方法一 原式＝5，
∴展开式的通项为(k1＝0,1,2，…，5)．
当k1＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项公式为
(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或
∴常数项为4＋CC2＋CC×()3
＝4＋＋20＝.
方法二 原式＝5＝·[(x＋)2]5
＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
∴所求的常数项为＝.
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
跟踪训练2 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 30
解析 方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一 B．二 C．三 D．四
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 A
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N＋)，
所以第810天相当于第1天，故为星期一．
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 017＋a能被13整除，则a＝________.
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 1
解析 ∵512 017＋a＝(52－1)2 017＋a＝C522 017－C522 016＋C522 015－…＋C521－1＋a，
能被13整除，0≤a<13.
故－1＋a能被13整除，故a＝1.
类型二 二项式系数的综合应用
例4 已知n.
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 (1)由已知得2C＝C＋C，
即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，
∵T4＝C4(2x)3＝x3，T5＝C3(2x)4＝70x4，
∴第四项的系数是，第五项的系数是70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C7×27＝3 432.
(2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0.
得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
由
解得9.4≤k≤10.4.
∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
即T11＝12·C·410·x10＝16 896x10.
反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题要更加细心．
跟踪训练4 已知n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．
依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120，
化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，
故所求x的值为1或.
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 C
解析 因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.
2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5、6项 D．第6、7项
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求二项式系数最大(小)的项
答案 A
解析 ∵C＝C，∴n＝3＋7＝10，
∴展开式中系数最大的项是第6项．
3．已知x>0，则(1＋x)1010的展开式中的常数项为( )
A．1 B．(C)2
C．C D．C
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 D
解析 (1＋x)1010＝10＝10＝20.设其展开式的通项为Tr＋1，则Tr＋1＝Cx10－r，当r＝10时，为常数项．故选D.
4．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0 B．2 C．7 D．8
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 C
解析 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －160x
解析 当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，
由题意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.
∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.
1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．
一、选择题
1．二项式12的展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 C
解析 二项展开式中的通项公式为Tr＋1＝C·x12－r·r＝C·2r·，令12－r＝0，得r＝8.
∴常数项为第9项．
2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 D
解析 因为(1＋x)8的通项为Cxr，(1＋y)4的通项为Cyt，
故(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxryt.
令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.
3．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为( )
A．15 B．10 C．8 D．5
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 D
解析 由于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于( )
A．2 B.
C．1 D.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 C
解析 二项式7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r·r＝C27－rarx7－2r，
令7－2r＝－3，得r＝5.
故展开式中的系数是C22a5，即C22a5＝84，解得a＝1.
5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项
答案 B
解析 ∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，
∴a＝C.同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C，
∴13·＝7·，∴m＝6.
6．二项式6的展开式中不含x3项的系数之和为( )
A．20 B．24 C．30 D．36
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 A
解析 由二项式的展开式的通项公式Tr＋1＝C·(－1)rx12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3项的系数为C·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，故不含x3项的系数之和为20.
7．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为( )
A．0 B．AB
C．A2－B2 D．A2＋B2
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析 ∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.
8．9192被100除所得的余数为( )
A．1 B．81 C．－81 D．992
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 B
解析 利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．
方法一 (100－9)92＝C10092－C10091×9＋C·10090×92－…－C100×991＋C992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
由992＝(10－1)92＝C1092－…＋C102－C10＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
方法二 (90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
二、填空题
9．若6的二项展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为________．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
答案 x3或－x3
解析 6二项展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)6－rr＝Ca－rx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，
∴Ca－4＝，解得a＝±2，
当a＝2时，二项式系数最大的项为C(x2)33
＝x3.
当a＝－2时，二项式系数最大的项为C(x2)33＝－x3.
10.3的展开式中常数项为________．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 －20
解析 3＝6展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)rx6－2r.令6－2r＝0，解得r＝3.故展开式中的常数项为－C＝－20.
11．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 1.34
解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
12．已知n的展开式中含x的项为第6项，设(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a2＋…＋a2n＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 255
解析 因为n的展开式的通项是Tr＋1＝C(－1)r·x2n－3r(r＝0,1,2，…，n)，因为含x的项为第6项，所以当r＝5时，2n－3r＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255.
三、解答题
13．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 (1)二项式n的展开式中，前三项的系数分别为1，，.
根据前三项的系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)．
故二项式n的展开式的通项为Tr＋1＝C·2－r·x4－r.令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式中的常数项为T5＝C·4＝.
(2)设第k＋1项的系数最大，
则由求得2≤k≤3.
因为k∈Z，所以k＝2或k＝3，
故系数最大的项为T3＝7x2或T4＝7x.
四、探究与拓展
14．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案 －3或1
解析 在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，
即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9，
令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)
＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3.
15．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
解 (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tr＋1＝Cmrx，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
∴含x2项的系数为C24－C22＝1 008.
滚动训练一(§1～§4)
一、选择题
1．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 D
解析 因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n×(n－1)×…×6×5×4.
2．某班级有一个8人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余5人座位不变，则不同的调整方案的种数为( )
A．56 B．112
C．336 D．168
考点 排列的应用
题点 排列中的定序问题
答案 B
解析 从8人中任选3人有C种，3人位置全调有2种调法，所以不同的调整方案有2C＝112(种)．
3．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法种数为( )
A．24 B．30
C．36 D．42
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 C
解析 把甲、乙两名员工看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有C＝6(种)方法．再把这3部分人分到3个不同的部门，有A＝6(种)方法．根据分步乘法计数原理可知，不同分法的种数为6×6＝36.
4．某市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )
A．4 B．8
C．6 D．12
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 C
解析 利用间接法，任选中间5个中的2个，再减去相邻的4个，故有C－4＝6(种)，故选C.
5．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 C
解析 根据题意，分3步进行分析：
①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；
②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A＝2(种)情况；
③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有A＝24(种)情况．
则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)．
故选C.
6．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个
C．20个 D．40个
考点 排列的应用
题点 排列与组合的综合应用
答案 D
解析 当十位数是3时，“伞数”有A＝2(个)；
当十位数是4时，“伞数”有A＝6(个)；
当十位数是5时，“伞数”有A＝12(个)；
当十位数是6时，“伞数”有A＝20(个)，
所以“伞数”共有40个．
7．在某次针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有( )
A．180种 B．220种
C．260种 D．320种
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 C
解析 若3人中有2名国内记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是CCA＝80，
若3人中有1名国内记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是CCA＝180，
故所有的不同的提问方式的种数是80＋180＝260，故选C.
8．现有男、女生共8人，如果从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生的人数分别是( )
A．2,6 B．3,5
C．5,3 D．6,2
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 B
解析 设男生有x人，则女生有(8－x)人．
由题意知，CCA＝90，
∴x(x－1)(8－x)＝30＝2×3×5，
∴x＝3，故有男生3人，女生5人．
二、填空题
9．已知A＝2C＝272(m，n∈N＋)，则m＋n＝________.
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
答案 19
解析 ∵C＝，∴A＝2，∴A＝2，∴m＝2.
又A＝272，∴n(n－1)＝17×16，解得n＝17，∴m＋n＝19.
10．如图，从A→C有________种不同的走法．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 6
解析 A到C分两类，第一类，A→B→C，分两步，第一步，A→B有2种走法，第二步，B→C有2种走法，故A→B→C有4种走法，第二类：A→C有2种走法，故A→C有4＋2＝6(种)走法，故答案为6.
11．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 36
解析 先将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法，而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有AA－2A＝36(种)．
12．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________．
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 1 560
解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分配，则不同的分配方案有＝20(种)．
若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有×＝45(种)．
故所有分组方法共有20＋45＝65(种)．
再把4个组的人分给4个分厂，则不同的分配方案有65A＝1 560(种)．
三、解答题
13．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)若每盒至多一球，则有多少种放法？
(3)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
(4)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 (1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．
(2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法．
(3)先取四个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有A种放法，所以共有CA＝144(种)放法．
(4)一个球的编号与盒子的编号相同的选法有C种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的放法有2种，故共有C×2＝8(种)放法．
四、探究与拓展
14．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当3,4固定在图中位置时，所填写空格的方法有( )
3
4
A.6种 B．12种
C．18种 D．24种
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 A
解析 由题意可得数字1,2,9的位置也是固定的，如图所示，5,6,7,8四个数字在A，B，C，D四个位置上，A，B两个位置的填法有C种，C，D两个位置则只有C种填法.
1
3
C
2
4
D
A
B
9
由分步乘法计数原理知，不同的填法及总数共有C·C＝6(种)．
15．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，
①若个位数为0，则共有A＝12(个)；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)．
故共有30个符合题意的三位数．
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位上的数字为0，则共有A＝12(个)；
②若十位上的数字为1，则共有A＝6(个)；
③若十位上的数字为2，则共有A＝2(个)．
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有AA＝12(个)；
②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有AAA＝8(个)；
③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有AAA＝8(个)．故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．
滚动训练二(§1～§5)
一、选择题
1．设二项式n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，则n的值为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析 由题意得a＝4n，b＝2n，∵a＋2b＝80，
∴4n＋2×2n－80＝0，
即(2n)2＋2×2n－80＝0，解得n＝3.
2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种
C．300种 D．345种
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 D
解析 由题意知共有CCC＋CCC＝345(种)选法．
3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为( )
A．54 B．60 C．66 D．72
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 B
解析 记3位女性为a，b，c，其丈夫依次为A，B，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：第一类，男性在两端(如BAabcC)，有2A种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc)，有2AA种坐法，故共有A(2A＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一类，这两人在一端(如abBACc)；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有2A(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．
4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为( )
A．CCA B.
C．CCC D．以上都不对
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
答案 C
解析 分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C种方法；第三步，剩余的3名同学到化学学习小组，有C种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有CCC种．
5.(1＋x)4的展开式中，含x2的项的系数为( )
A．10 B．6 C．4 D．12
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 A
解析 根据乘法公式，得因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项．(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr(r＝0,1，…，4)，故(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2的项的系数为10.
6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( )
A．10个 B．16个 C．20个 D．32个
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 D
解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有CCCCC＝32(个)．
7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )
A．2 680种 B．4 320种
C．4 920种 D．5 140种
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5AA(种)，故所求摆放方法有A－5AA＝4 320(种)．
8．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案 A
解析 ∵(ax＋1)7的二项展开式的通项为Tk＋1＝C(ax)7－k，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝.
二、填空题
9．不等式A－n<7的解集为________．
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 {3,4}
解析 由不等式A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n2－4n－5<0，解得－110．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 128
解析 由已知条件可得a5＝C·(－m)3＝－56m3＝56，∴m＝－1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝0，②
由①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝128.
11．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －1
解析 (1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，则2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
12．将A，B，C，D，E，F 6个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 480
解析 按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C在左边第1个位置时，有A种排法，当C在左边第2个位置时有AA种排法，当C在左边第3个位置时，有AA＋AA(种)排法．所以不同的排法共有2(A＋AA＋AA＋AA)＝480(种)．
三、解答题
13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各1人，有种方法；②一组1人，另两组各2人，有种方法．再把三组学生分配到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A种方法．故不同的选派方法共有A＝150(种)．
四、探究与拓展
14．若n∈N＋，n<100，且n的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n值之和是________．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
答案 950
解析 n的展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)n－r·r＝Cx3n－5r，令3n－5r＝0，得n＝r.当r＝3,6，…，57时，n＝5,10，…，95，故所有满足条件的n值之和是5＋10＋…＋95＝＝950.
15．已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N＋)，且a2＝60，求：
(1)n的值；
(2)－＋－＋…＋(－1)n的值．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 (1)因为T3＝C(－2x)2＝a2x2，
所以a2＝C(－2)2＝60，
化简可得n(n－1)＝30，且n∈N＋，
解得n＝6.
(2)Tr＋1＝C(－2x)r＝arxr，所以ar＝C(－2)r，
所以(－1)r＝C，
－＋－＋…＋(－1)n
＝C＋C＋…＋C＝26－1＝63.
章末复习
学习目标 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会利用两种原理解决一些实际问题.2.理解排列数和组合数公式的推导过程，掌握排列组合在实际问题中的应用.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质．
一、计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
二、排列、组合
排列数与组合数公式及性质
排列与排列数
组合与组合数
公式
排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
组合数公式C＝＝＝
性质
当m＝n时，A为全排列；A＝n！；0！＝1
C＝C＝1；
C＝C；
C＋C＝C
备注
n，m∈N＋，且m≤n
三、二项式定理
1．二项式定理的内容：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn (n∈N＋)．
2．通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，r∈{0,1,2，…，n}．
3．二项式系数的性质：
(1)与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
(2)若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大．
(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用
例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 方法一 设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，
A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，
A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，
A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，
所以共有CC＋CCC＋CCC＋ACC＋CCC＋CCC＝185(种)．
方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)，
5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)，
5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)，
所以共有75＋100＋10＝185(种)．
方法三 4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)，
4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)，
4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)，
所以共有35＋120＋30＝185(种)．
反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．
跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，那么这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 60
解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．
分三类：①没有数字1和3时，有A个；
②只有1和3中的一个时，有2A个；
③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C·C个．
所以满足条件的三位数共有
A＋2A＋C·C＝60(个)．
例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1A．78 B．76 C．83 D．84
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 C
解析 若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决．
集合S的含有三个元素的子集的个数为C＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.
反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．
跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 30
解析 从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，
同其他两个元素在三个位置上排列有CA＝36(种)方案，其中有不符合条件的，
即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A种方法，
∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．
类型二 排列与组合的综合应用
例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
考点 排列组合综合问题
题点 分组分配问题
解 (1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A＝24(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．
(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132(种)排列．
反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．
跟踪训练3 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比如：“102”“546”为驼峰数，由数字1,2,3,4,5这5个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
答案 30
解析 三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位上的有A个，3在十位上的有A个，所以所有的三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.
类型三 二项式定理及其应用
例4 已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项；
(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 (1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10(负值舍去)，
通项为Tr＋1＝C()10－rr
＝(－2)rC，
当5－为整数时，r可取0,6，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则
解得
又因为r∈{1,2,3，…，9}，
所以r＝7，当r＝7时，T8＝－15 360，
又因为当r＝0时，T1＝x5，
当r＝10时，T11＝(－2)10＝1 024，
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C
＝
＝
＝＝.
反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．
(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．
(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．
(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．
跟踪训练4 已知二项式n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍．
(1)求n；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中所有有理项．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 (1)令x＝1得二项式n展开式中各项系数之和为(5－1)n＝4n，各项二项式系数之和为2n，
由题意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.
(2)通项Tr＋1＝C(5x)4－rr
＝(－1)rC54－r·，
展开式中二项式系数最大的项是第3项：
T3＝(－1)2C52x＝150x.
(3)由(2)得4－r∈Z(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4，
所以展开式中所有有理项为
T1＝(－1)0C54x4＝625x4，
T3＝(－1)2C52x＝150x，
T5＝(－1)4C50x－2＝x－2.
例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
解 (1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展开式中x2的系数，
∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C(－2)4＋C(－1)3·C(－2)5＝800.
(2)令x＝1，代入已知式可得，
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把这两个等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
跟踪训练5 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案 5
解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( )
A．(34，34) B．(43，34)
C．(34，43) D．(A，A)
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 C
解析 由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果．故选C.
2．5名大人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )
A．A·A种 B．A·A种
C．A·A种 D．A－4A种
考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题
答案 A
解析 先排大人，有A种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A种排法，由分步乘法计数原理可知，有A·A种不同的排法，故选A.
3．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( )
A．72 B．108 C．180 D．216
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 C
解析 根据题意，分析可得，必有2人参加同一社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A＝24(种)情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C·A＝36(种)情况，则除甲外的4人有24＋36＝60(种)情况，故不同的参加方法的种数为3×60＝180，故选C.
4．(x－2y)6的展开式中，x4y2的系数为( )
A．15 B．－15 C．60 D．－60
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 C
解析 (x－2y)6展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－r·(－2y)r，令r＝2，得T3＝C·x4·(－2y)2＝60x4y2，
所以x4y2的系数为60，故选C.
5．若n的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为________．
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －448
解析 由题意得
所以n＝7，a＝－1，
所以7展开式的通项为Tr＋1
＝C(2)7－rr＝C27－r(－1)r，
令＝2，得r＝1.
所以x2的系数为C26(－1)1＝－448.
1．排列与组合
(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．
(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：
①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．
②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．
2．二项式定理
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．
(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C，而不是C，这是一个极易错点．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．
一、选择题
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32(种)，故选D.
2．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
答案 C
解析 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
3．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则出场方案的种数是( )
A．6A B．3A C．2A D．AAA
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 D
解析 先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起，看做一个元素和另外的3名男歌手进行全排列，故有AAA种不同的出场方案．
4．在6的展开式中，含x7的项的系数是( )
A．180 B．160 C．240 D．60
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 C
解析 6的展开式的通项为Tr＋1
＝C(2x2)6－rr＝(－1)r26－rC，
令12－r＝7，得r＝2，即含x7项的系数为(－1)224C＝240.
5．已知8的展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2.令x＝1，得展开式中各项系数的和为1或38.
6．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第6项 B．第8项 C．第9项 D．第7项
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
答案 B
解析 依据二项式系数与项的系数的关系来解决．展开式中共有14项，中间两项(第7,8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足奇数项相等，偶数项互为相反数，所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选B.
7．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．216种 B．180种
C．288种 D．144种
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 C
解析 当B，C相邻，且与D不相邻时，有AAA＝144(种)方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有AA＝144(种)方法．故共有288种编排方法．
8．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级中且每班安排2名，则不同的安排方法种数为( )
A．AC B.AC
C．AA D．2A
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
答案 B
解析 将4人平均分成两组有C种方法，将这两组分配到6个班级中的2个班有A种方法．所以不同的安排方法有CA种．
二、填空题
9．设二项式6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 －3
解析 因为二项式6的展开式中x2的系数为A＝Ca2＝15a2；
常数项为B＝－Ca3＝－20a3.
因为B＝4A，所以－20a3＝4×15a2，所以a＝－3.
10．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法种数为________．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 80
解析 先抽派4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽派1人，故有CCCCC＝80(种)抽派方法．
11．高三(三)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题
答案 288
解析 先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有A种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排．如图，若曲艺节目排在5号(或1号)位置，则有4AA＝16(种)排法；若曲艺节目排在2号(或4号)位置，则有4AA＝16(种)排法；若曲艺节目排在3号位置，则有2×2AA＝16(种)排法．故共有不同排法A×(16×3)＝288(种).
1
2
3
4
5
三、解答题
12．现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？
考点 排列组合综合问题
题点 排列与组合的综合应用
解 第一类，把甲、乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，有CA＝18(种)，
第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA＝36(种)，
根据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．
13．已知n(n∈N＋)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中含a－1项的二项式系数．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 5的展开式的通项为
Tr＋1＝C(4)5－rr
＝C·(－1)r·45－r·，
令10－5r＝0，得r＝2，
此时得常数项为T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27.
令a＝1，得n的展开式的各项系数之和为2n，
由题意知2n＝27，所以n＝7，
所以7的展开式的通项为
Tr＋1＝C7－r·(－)r
＝C·(－1)r·37－r·.
令＝－1，得r＝3，
所以n的展开式中含a－1项的二项式系数为C＝35. 四、探究与拓展
14.n展开式中的第7项与倒数第7项的系数比是1∶6，则展开式中的第7项为________．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
答案
解析 第7项为T7＝C()n－66，
倒数第7项为Tn－5＝C()6n－6，
由＝，得n＝9，
故T7＝C()9－66＝C·2·＝.
15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个四位偶数？
(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？
考点 排列的应用
题点 数字的排列问题
解 (1)用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A种情况，
但其中包含0在首位的有A种情况，
依题意可得，有A－A＝300(个)．
(2)根据题意，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，
0在末尾时，有A种情况，
0不在末尾时，有AAA种情况，
由分类加法计数原理，得共有A＋AAA＝156(个)．
(3)千位是1的四位数有A＝60(个)，
千位是2，百位是0或1的四位数有2A＝24(个)，
∴第85项是2 301.
模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 A
解析 由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.
2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．36 B．35 C．34 D．33
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA＝36，
但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33.
3．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 C
解析 记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，则P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ＜2)＝0.6，则P(0＜ξ＜1)等于( )
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 D
解析 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ＜2)＝0.6，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.4，故P(0＜ξ＜1)＝P(0＜ξ＜2)＝(1－0.4－0.4)＝0.1.
5．为考察喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：
患抑郁症
未患抑郁症
总计
喜欢黑色
15
32
47
不喜欢黑色
14
30
44
总计
29
62
91
由χ2＝，
得χ2＝≈0.000 097 895，
则有多大把握认为喜欢黑色与患抑郁症有关系( )
A．99% B．95%
C．90% D．不能认为二者有关系
考点 独立性检验及基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 D
解析 由于χ2>3.841时，有95%的把握说明两个变量有关系，而0.000 097 895远远地小于3.841，所以不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系．故选D.
6．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水，则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是( )
A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 A
解析 设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是P，根据条件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P＝0.85，解得P＝0.25.
7．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为y＝0.8x＋a，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力约为( )
A．9.5 B．9.8 C．9.2 D．10
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 A
解析 ∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本点的中心为(7,5.5)，
代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a，∴a＝－0.1，
∴y＝0.8x－0.1，
当x＝12时，y＝0.8×12－0.1＝9.5，故选A.
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有( )
A．40种 B．30种 C．20种 D．60种
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 C
解析 分类解决．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排，有A＝12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有A＝6(种)方法；甲排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有A＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知，共有12＋6＋2＝20(种)方法．
9．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 B
解析 1－P( )＝1－P()·P()·P()
＝1－0.1×0.2×0.3
＝1－0.006＝0.994.
10．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则自然数n的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 B
解析 令x＝0，得a0＝n；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，
由已知得a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，an＝1，
所以2n＋1＝32，n＝4.
11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行．要使4引擎飞机更安全，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 用独立重复试验的概率公式求概率
答案 B
解析 4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4，2引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.
12．若在二项式n的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
考点 排列与组合的应用
题点 排列、组合在古典概型中的应用
答案 D
解析 注意到二项式n的展开式的通项是Tr＋1＝C·()n－r·r＝C·2－r·.依题意有C＋C·2－2＝2C·2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，解得n＝8.∴二项式8的展开式的通项是Tr＋1＝C·2－r·，展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则EX＝________，DX＝________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
解析 由题意得，X～B，
所以EX＝，DX＝.
14．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________．
答案 6
解析 Tr＋1＝C(x)4－r(－y)r＝C···(－1)r.
由已知4－＝3,2＋＝3，∴r＝2.
∴x3y3的系数为C(－1)2＝6.
15．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y＝bx＋a.已知i＝225，i＝1 600，b＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________ cm.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 166
解析 由题意可知＝22.5，＝160，
∴160＝4×22.5＋a，
解得a＝70，∴y＝4x＋70，
∴当x＝24时，y＝4×24＋70＝166.
16．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种．(填数字)
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 56
解析 分析题意可知，最终剩余的亮着的灯共有9盏，且两端的必须亮着，所以可用插空的方法，共有8个空可选，所以应为C＝56(种)．
三、简答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－rr＝5－rC，
令20－5r＝0，得r＝4，
故常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，
由题意知2n＝16，得n＝4，
由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，
故有Ca4＝54，解得a＝±.
18．(12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．
(1)A，B必须被选出；
(2)至少有2名女生被选出；
(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．
考点 排列与组合的应用
题点 排列组合的综合应用
解 (1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.
(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．可知所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.
(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C·C·A＝25 200.
19．(12分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2011年至2015年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2011年编号为1,2012年编号为2，…，2015年编号为5)
(1)以PM2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．
参考公式：b＝，a＝－b.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由散点图可得，变量xi，yi组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，则＝3，＝19，所以b＝＝3.1.
a＝－b＝19－3.1×3＝9.7.
所以所求线性回归方程为y＝3.1x＋9.7.
(2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16，因为x∈N，所以x＝9.
故可预测到2019年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．
20．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的均值Eξ.
考点 常见的几种均值
题点 二项分布的均值
解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率为P(B)，则P(A)＋P(B) ＝1.
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
∴P(B)＝3＋3＝，
∴P(A)＝1－＝.
方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋，∴P(A)＝C3＋C3＝.
(2)由题意，ξ～B，
∴P(ξ＝3)＝C31＝，
∴Eξ＝4×＝3.
21．(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性
女性
总计
反感
10
不反感
8
总计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2＝.
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.010
0.005
k
2.706
3.841
6.635
7.879
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
解 (1)
男性
女性
总计
反感
10
6
16
不反感
6
8
14
总计
16
14
30
由已知数据得χ2＝≈1.158＜2.706.
所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．
(2)X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值为EX＝0×＋1×＋2×＝.
22．(12分)设袋子中装有a个红球、b个黄球、c个蓝球，且规定：取出1个红球得1分，取出1个黄球得2分，取出1个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中依次任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)根据题意，得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)根据题意，知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝2·＋2·＋2·＝，
化简
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b( )
A．可以小于0 B．大于0
C．能等于0 D．只能小于0
考点 线性回归分析
题点 回归直线的概念
答案 A
解析 ∵当b＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但b可以大于0也可以小于0.
2．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 D
解析 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．
3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A.线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
考点 回归分析
题点 建立回归模型的基本步骤
答案 A
解析 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
4．有5组(x，y)的统计数据：(1,2)，(2,4)，(4,5)，(3,10)，(10,12)，要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是( )
A．(1,2) B．(4,5)
C．(3,10) D．(10,12)
考点 线性回归分析
题点 回归直线的概念
答案 C
解析 在坐标系中画出这5个点，除(3,10)之外，其余各点都在一条直线附近．
5．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 D
解析 只有χ2≥6.635时才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有99%的人无关．
6．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 D
解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.
7．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：
零件数x(个)
10
20
30
加工时间y(分钟)
21
30
39
现已求得上表数据的回归方程y＝bx＋a中的b为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )
A．84分钟 B．94分钟
C．102分钟 D．112分钟
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 C
解析 由已知可得＝20，＝30，
又b＝0.9，∴a＝－b＝30－0.9×20＝12.
∴回归方程为y＝0.9x＋12.
∴当x＝100时，y＝0.9×100＋12＝102.
故选C.
8．对于线性回归方程y＝bx＋a及相关系数r，下列说法中正确的有( )
①若r>0，则b>0，说明y与x正相关；
②若r<0，则b>0，说明y与x负相关；
③r的正负与b的正负没有关系；
④r＝0说明x与y是函数关系．
A．① B．①④
C．②④ D．③④
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 A
解析 根据r与b的计算公式可知①正确，②③不正确；
r＝0时两个变量不相关，④不正确．
9．有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为( )
A．8 B．9 C．8,9 D．6,8
考点 分类变量与列联表
题点 求列联表中的数据
答案 C
解析 根据公式，得K2的观测值
k＝
＝>3.841，根据a>5且15－a>5，
a∈Z，求得当a＝8,9时满足题意．
10．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；
④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 线性回归分析
题点 回归直线的概念
答案 D
解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，根据线性回归方程的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，
∴①不对，②正确；
将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，
∴③正确，④正确．故选D.
11．某大学体育部为了解新生的身高与地域是否有关，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
不低于170 cm
低于170 cm
总计
北方学生
60
20
80
南方学生
10
10
20
总计
70
30
100
则下列说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“学生的身高是否超过170 cm与地域有关”
B．没有90%的把握认为“学生的身高是否超过170 cm与地域有关”
C．有97.5%的把握认为“学生的身高是否超过170 cm与地域有关”
D．没有95%的把握认为“学生的身高是否超过170 cm与地域有关”
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 A
解析 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝≈4.762，
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“学生的身高是否超过170 cm与地域有关”．故选A.
12．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 D
解析 结合各列联表中数据，得
χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
则χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温度数，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数(杯)
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量大约为________杯．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 70
解析 根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40，
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60，
∴线性回归方程为y＝－2x＋60，
当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
14．当且仅当r满足________时，数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在一条直线上．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 |r|＝1
解析 当数据点(xi，yi)在一条直线上时，y只受x的影响，即数据点完全线性相关，此时|r|＝1.
15．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．
①在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%.
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 ①
解析 查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.95%仅是指“血清与预防感冒有关”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能．故答案为①.
16．某工厂为了新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单位x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为y＝－4x＋a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案
解析 由表中数据，得＝6.5，＝80，由点(，)在线性回归方程y＝－4x＋a上，得a＝106，即线性回归方程为y＝－4x＋106，经过计算只有点(9,68)和(5,84)在直线的左下方，故所求概率为＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
上网时间(分)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
人数
5
25
30
25
15
表2：女生上网时间与频数分布表
上网时间(分)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
人数
10
20
40
20
10
(1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
总计
男生
女生
总计
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.
P(χ2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(χ2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
解 (1)设上网时间不少于60分钟的人数为x，
依题意有＝，解得x＝225，
所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225.
(2)填2×2列联表如下：
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
总计
男生
60
40
100
女生
70
30
100
总计
130
70
200
由表中数据可得到χ2＝≈2.20<2.706，
故没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”．
18．(12分)某地随着经济的发展居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y (千亿元)
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 010，z＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的线性回归方程；
(3)用所求线性回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款可达多少？
(附：对于线性回归方程y＝bx＋a，
其中b＝，a＝－b)
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解 (1)＝3，＝2.2，izi＝45，＝55，
b＝＝1.2，a＝－b ＝2.2－1.2×3＝－1.4，
∴z＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 010，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 010)－1.4，即y＝1.2x－2 408.4.
(3)∵y＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，
∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
19．(12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验在分类变量中的应用
解 设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
x
女生
总计
x
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841，
由χ2＝＝x>3.841，
解得x>10.24，
∵，为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
20．(12分)为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
x
1
2
3
4
5
y
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2
(1)求y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)
参考公式：b＝＝，
a＝－b.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由题知＝3，＝5，iyi＝62.7，＝55，
b＝＝＝－1.23，
a＝－b＝5－(－1.23)×3＝8.69，
所以y关于x的线性回归方程为y＝－1.23x＋8.69.
(2)年利润z＝x(－1.23x＋8.69)－2x＝－1.23x2＋6.69x
＝－1.232＋1.23×2，
即当x＝≈2.72时，年利润z最大．
21．(12分)为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(xi－)·(yi－)
(ui－)2
(ui－)·(yi－)
15.25
3.63
0.269
2085.5
－230.3
0.787
7.049
表中ui＝，＝i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程；(回归系数的结果精确到0.01)
(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
(附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn))，其回归直线v＝α＋βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β .
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
解 (1)由散点图判断，y＝c＋适宜作为每册成本费y与印刷册数x的回归方程．
(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于d＝＝≈8.96.
∴c＝－d·＝3.63－8.96×0.269≈1.22，
∴y关于u的线性回归方程为y＝1.22＋8.96u，
从而y关于x的回归方程为y＝1.22＋，
(3)假设印刷x千册，由题意，得10x－·x≥78.840.
即8.78x≥87.8，∴x≥10，∴至少印刷10千册．
22．(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．并根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
10
55
总计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值EX和方差DX.
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，
所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知X～B，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
EX＝np＝3×＝，
DX＝np(1－p)＝3××＝.
§1 回归分析
1．1 回归分析
学习目标 1.了解回归分析的思想，了解线性回归方程中公式的推导.2.掌握建立线性回归模型的步骤．
知识点 线性回归方程
思考 (1)什么叫回归分析？
(2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
答案 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．
(2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．
梳理 (1)平均值的符号表示
假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在统计上，用表示一组数据x1，x2，…，xn的平均值，即＝＝i；用表示一组数据y1，y2，…，yn的平均值，即＝＝i.
(2)参数a，b的求法
b＝＝＝，a＝－b.
1．现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．( × )
2．散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．( × )
3．回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．( √ )
类型一 概念的理解和判断
例1 有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程y＝bx＋a可以估计观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 C
解析 ①反映的正是最小二乘法思想，正确；②反映的是画散点图的作用，正确；③反映的是回归方程y＝bx＋a的作用，正确；④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．
跟踪训练1 下列变量关系是相关关系的是( )
①学生的学习时间与学习成绩之间的关系；
②某家庭的收入与支出之间的关系；
③学生的身高与视力之间的关系；
④球的体积与半径之间的关系．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 A
解析 对①，学习时间影响学生的学习成绩，但是学生学习的刻苦程度、学生的学习方法、教师的授课水平等其他因素也影响学生的成绩，因此学生的学习时间与学习成绩之间具有相关关系；对②，家庭收入影响支出，但支出除受收入影响外，还受其他因素影响，故它们是相关关系；对③，身高与视力之间互不影响，没有任何关系；对④，球的体积由半径决定，是一种确定性关系，故它们是函数关系．
类型二 回归分析
例2 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解 (1)如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤
①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．
②计算：，，，，iyi.
③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值．
④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
年龄x/岁
4
5
6
7
8
9
10
身高y/cm
100
106
112
116
121
124
130
求y对x的线性回归方程．(保留两位小数)
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解 制表
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
4
5
6
7
8
9
10
yi
100
106
112
116
121
124
130
xiyi
400
530
672
812
968
1 116
1 300
＝7，＝，＝371，iyi＝5 798
b＝＝≈4.82，
a＝－b＝－4.82×7≈81.83.
所以线性回归方程为y＝81.83＋4.82x.
例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系：
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
考点 线性回归分析
题点 回归直线方程的应用
解 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
(2)因为＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5，
＝×(56＋41＋28＋11)＝34.
iyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.
＝352＋402＋452＋502＝7 350.
所以b＝＝＝≈－3.
a＝－b＝34－(－3)×42.5＝161.5.
所以线性回归方程为y＝161.5－3x.
(3)依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30)
＝－3x2＋251.5x－4 845
＝－32＋－4 845.
所以当x＝≈42时，P有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．
反思与感悟 该类题属于线性回归问题，解答本类题目的关键是首先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求线性回归方程的公式求解线性回归方程，在此基础上，借助线性回归方程对实际问题进行分析．
跟踪训练3 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产缺损零件数y(件)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出线性回归方程；
(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？
考点 线性回归分析
题点 回归直线方程的应用
解 (1)根据表中的数据画出散点图如图．
(2)设线性回归方程为：y＝bx＋a，并列表如下：
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
xiyi
176
126
96
40
＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438，
所以b＝≈0.73，
a＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以y＝0.73x－0.875.
(3)令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15，
故机器的运转速度应控制在15转/秒内.
1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( )
A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200
C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 A
解析 因为y与x负相关，所以排除B，D，
又因为C项中x>0时，y<0不合题意，所以C错．
2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 B
解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型．
3．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.(2,3) B．(1.5,4)
C．(2.5,4) D．(2.5,5)
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
答案 C
解析 回归直线必过样本点中心(，)，即(2.5,4)．
4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 1.818 2
解析 由题意知，b＝≈－1.818 2，
a＝71－(－1.818 2)×≈77.36，
∴y关与x的线性回归方程为
y＝－1.818 2x＋77.36，
即销量每增加1千箱，单位成本下降1.818 2元．
5．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
(1)分别计算：，，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x＋x＋x＋x；
(2)已知变量x与y线性相关，求出线性回归方程．
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解 (1)＝＝1.5，＝＝4，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，
x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14.
(2)b＝＝2，
a＝－b ＝4－2×1.5＝1，
故线性回归方程为y＝2x＋1.
回归分析的步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量；
(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)；
(4)按一定规则估计回归方程中的参数．
一、选择题
1．对变量x，y由观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v由观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 C
解析 由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；
由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．
2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )
A．年龄为37岁的人体内脂肪含量为20.90%
B．年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01%
C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%
D．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为31.5%
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 C
解析 当x＝37时，y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，
由此估计，年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%.
3．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )
A．x与y负相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 A
解析 由正相关和负相关的定义知A正确．
4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：
x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.7x＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为( )
A．8.0万盒 B．8.1万盒 C．8.9万盒 D．8.6万盒
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 B
解析 回归直线一定过样本点中心．由已知数据可得＝3，＝6，代入回归方程，可得a＝－0.7＝3.9，即线性回归方程为y＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，得y＝8.1，所以6月份产量约为8.1万盒，故选B.
5．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是( )
①劳动生产率为1 000元时，工资为730元；
②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；
③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；
④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元．
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 C
解析 代入方程计算可判断①②④正确．
6．某化工厂为预测某产品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y与x的线性回归方程是( )
A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x
C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
答案 A
解析 由题中数据，得＝6.5，＝28.5，
∴b＝＝＝≈2.62，
a＝－b≈28.5－2.62×6.5＝11.47，
∴y对x的线性回归方程是 y＝2.62x＋11.47，故选A.
7．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( )
A．l1与l2一定重合
B．l1与l2一定平行
C．l1与l2相交于点(，)
D．无法判断l1和l2是否相交
考点 回归直线方程
题点 样本点中心的应用
答案 C
解析 因为两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是，对变量y的观测数据的平均值都是，所以两组数据的样本点中心是(，)，因为回归直线经过样本点的中心，所以l1和l2都过(，)．
二、填空题
8．某校小卖部为了了解奶茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的奶茶杯数与当天的气温，得到下表中的数据，并根据该样本数据用最小二乘法建立了线性回归方程y＝－2x＋60，则样本数据中污损的数据y0应为________.
气温x(℃)
－1
13
10
18
杯数y
y0
34
38
24
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 64
解析 由表中数据易知＝10，代入y＝－2x＋60中，
得y＝40.由＝40，得y0＝64.
9．调查某移动公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表所示.
推销员编号
1
2
3
工作年限x(年)
3
5
10
年推销金额y(万元)
2
3
4
由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b＝.
若该公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额约为________万元．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 3
解析 ＝6，＝3，将(6,3)代入y＝bx＋a，
得a＝，
∴y＝x＋，当x＝6时，y＝3.
10．某人对一地区人均工资x(千元)与该地区人均消费y(千元)进行统计调查，发现y与x有相关关系，并得到线性回归方程y＝0.66x＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，则估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(精确到0.1%)
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 82.9%
解析 当y＝7.675时，x≈9.262，
所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈82.9%.
11．某数学老师身高为176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 183.5
解析 记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5，用变量x表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y，则有
x
1
2
3
4
y
173
170
176
182
计算知＝2.5，＝175.25.由回归系数公式得b＝3.3，
a＝－b＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为y＝3.3x＋167，当x＝5时，y＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为183.5 cm.
三、解答题
12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：b＝，a＝－b.
考点 线性回归方程
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由题意，n＝10，i＝80，i＝20，
∴＝＝8，＝＝2.
又－102＝720－10×82＝80，
iyi－10 ＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝＝＝0.3，
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y＝0.3 x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，
故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
13．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；
(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t＝10)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b.
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解 (1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
此时n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，
lty＝iyi－n ＝120－5×3×7.2＝12，
从而b＝＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝10代入回归方程，可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y＝1.2×10＋3.6＝15.6(千亿元)．
四、探究与拓展
14．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aC．ba′ D．b考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 C
解析 b′＝2，a′＝－2，
由公式b＝求得
b＝，a＝－b＝－×＝－，
∴ba′.故选C.
1．2 相关系数
1．3 可线性化的回归分析
学习目标 1.了解线性相关系数r的求解公式，并会初步应用.2.了解非线性相关与线性相关的转化.3.会用回归分析解决一些简单实际问题．
知识点一 相关系数
1．相关系数r的计算
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝＝
＝.
2．相关系数r的性质
(1)r的取值范围为[－1,1]．
(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高．
(3)|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．
3．相关性的分类
(1)当r>0时，两个变量正相关．
(2)当r<0时，两个变量负相关．
(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．
知识点二 可线性化的回归分析
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
幂函数曲线y＝axb
c＝ln a
v＝ln x
u＝ln y
u＝c＋bv
指数曲线y＝aebx
c＝ln a
u＝ln y
u＝c＋bx
倒指数曲线y＝a
c＝ln a
v＝
u＝ln y
u＝c＋bv
对数曲线y＝a＋bln x
v＝ln x
u＝y
u＝a＋bv
1．回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．( √ )
2．若r＝0，则说明两变量是函数关系．( × )
3．样本相关系数的范围是r∈(－∞，＋∞)．( × )
类型一 线性相关系数及其应用
例1 下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码17分别对应年份2012－2018.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝－b.
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55.
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103，
a＝－b ≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
反思与感悟 (1)散点图只能直观判断两变量是否具有相关关系．
(2)相关系数能精确刻画两变量线性相关关系的强弱．
跟踪训练1 变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的相关系数r的最接近的值为( )
A．1 B．－0.5
C．0 D．0.5
考点
题点
答案 C
解析 从散点图中，我们可以看出，x与y没有线性相关关系，因而r的值接近于0.
类型二 可线性化的回归分析
例2 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－·(yi－))
(wi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)当年宣传费x＝49时，年销售量的预报值是多少？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β .
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于d＝＝＝68，
c＝－d＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.
(3)由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6.
引申探究
本例中，若这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，则年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
解 根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
反思与感悟 由样本数据先作散点图，根据散点图的分布规律选择合适的函数模型．如果发现具有线性相关头系，可由公式或计算器的统计功能，求得线性回归方程的两个参数．如果发现是指数型函数或二次函数，可以通过一些代数变换，转化为线性回归模型．
跟踪训练2 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
求y关于x的回归方程．
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
解 由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设y＝，令t＝，则y＝kt，原数据变为：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
i
ti
yi
tiyi
t
1
4
16
64
16
2
2
12
24
4
3
1
5
5
1
4
0.5
2
1
0.25
5
0.25
1
0.25
0.062 5
∑
7.75
36
94.25
21.312 5
Q1
所以＝1.55，＝7.2.
所以b＝≈4.134 4，
a＝－b≈0.8.
所以y＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.8.
1．给定y与x是一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则( )
A．y与x的线性相关性很强
B．y与x线性不相关
C．y与x正线性相关
D．y与x负线性相关
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 D
解析 因为|r|＝|－0.690|<0.75，
所以y与x的线性相关性一般，
又因为r＝－0.690<0，
所以y与x负线性相关．
2．某种细胞在培养正常的情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中的数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于( )
A．200 B．220
C．240 D．260
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 A
解析 由表可得时刻t(单位：分)与细胞数n满足回归方程n＝，由此可知n＝1 000时，t接近200.
3．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 D
解析 ∵相关系数|r|≤1，∴D错误．
4．由两个变量x与y的散点图可看出样本点分布在一条曲线y＝x2的附近，若要将其线性化，则只需要设________即可．
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 t＝x2
解析 设t＝x2，则y＝t为线性回归方程．
5．一唱片公司研究预支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10千张，得到如下的资料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5，iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 0.3
解析 根据公式得相关系数
r＝
＝＝0.3，
所以|r|＝0.3.
1．散点图的优点是直观．但是有时不能准确判断，尤其数据较多时，不易作出散点图．这时可根据线性相关系数r来判断．
2．对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决.
一、选择题
1．若两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归方程为y＝bx＋a，那么( )
A．b·r>0 B．b·r<0
C．a·r>0 D．a·r<0
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 A
解析 对于回归方程y＝bx＋a，当b>0时，x和y正相关，则r>0；
当b<0时，x和y负相关，则r<0.
综上所述，b·r>0.
2．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法：
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 D
解析 根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：
当r为正数时，表示变量x，y正相关；
当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；
|r|越接近于1，相关程度越强；
|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．
3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 D
解析 由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性更强，故选D.
4．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为关于t的线性回归方程，则需作变换t等于( )
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不对
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 C
解析 y关于t的线性回归方程，实际上就是y关于t的一次函数，
因为y＝a2＋(a≠0)，
故选C.
5．对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )
A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 A
解析 对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝ln y，c＝ln a代入，不难得出u＝c＋bx.
6．某奶茶店为了了解奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的奶茶的杯数与气温的对照表：
气温x(℃)
26
19
14
10
4
－1
杯数y
201
242
339
383
505
640
经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么，对于气温x(℃)与奶茶销售量y(杯)这两个变量，下列判断正确的是( )
A．呈正相关，其回归直线经过点(12,385)
B．呈负相关，其回归直线经过点(12,385)
C．呈正相关，其回归直线经过点(12,386)
D．呈负相关，其回归直线经过点(12,386)
考点 线性回归直线方程
题点 样本点中心的应用
答案 B
解析 画出散点图(图略)可知成负相关，
又根据表中数据可得＝＝12，
＝＝385，
故选B.
7．有一组数据如下表：
X
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
Y
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备从以下函数中选择一个能够近似地表示这组数据满足的规律，其中拟合最好的是( )
A．y＝－2x－2 B．y＝log2x
C．y＝2x－1＋1 D．y＝x2－
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 D
解析 把X看作自变量，Y看作其函数值，从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快．
A选项中一次函数是以一个恒定的幅度变化，其图像是直线，不符合本题的变化规律．
B选项为对数型函数，随着X的增大Y的递增速度不断变慢，不符合本题的变化规律．
C选项为指数型函数，随着X的增大Y的递增速度不断变快，但增长速度超出题目中Y的增长速度，不符合本题的变化规律．
D选项是二次函数，对比数据知，其最接近这组数据的变化趋势．故选D.
8.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图，以下说法正确的是( )
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．由直线l可知，r一定小于0
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 D
解析 因为r的符号与线性回归方程y＝a＋bx斜率符号相同，故r一定小于0.
二、填空题
9．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 1
解析 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在一条直线上时，相关系数为1.
10．若已知(yi－)2是(xi－)2的4倍，(xi－)(yi－)是(xi－)2的1.5倍，则相关系数r的值为________．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案
解析 由r＝，得r＝.
11．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令z＝ln y，求得线性回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
答案 y＝e0.25x－2.58
解析 因为z＝0.25x－2.58，z＝ln y，
所以y＝e0.25x－2.58.
三、解答题
12．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(数据：＝3.16×10－12，
＝45.7，
＝－11.5，
(Ii－)2＝1.56×10－11，
(Wi－)2＝0.51，
(Ii－)(Di－)＝6.88×10－11，
(Wi－)(Di－)＝5.1，
其中Wi＝lg Ii，＝i)
根据给出的数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D＝a＋blg I；
附：对于一组数据(μ1，υ1)，(μ2，υ2)，…，(μn，υn)，其回归直线υ＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β.
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
解 令Wi＝lg Ii，先建立D关于W的线性回归方程，
由于b＝＝＝10，
∴a＝－b＝160.7，
∴D关于W的线性回归方程为D＝10W＋160.7，
∴D关于I的回归方程为D＝10lg I＋160.7.
四、探究与拓展
13．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 一、三
解析 因为r>0时，b>0，
所以大多数的点都落在第一、三象限．
14．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(万册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
令μ＝，检验每册书的成本费y与μ之间是否具有线性相关关系，若有，求出y对μ的回归方程．
(参考数据：＝1.413 014，＝171.803，iyi＝15.208 78)
考点 非线性回归分析
题点 非线性回归分析
解 设μ＝，则y与μ的数据关系如下表所示：
μ
1
0.5
0.33
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
由上表可以得到＝×(1＋0.5＋…＋0.005)＝0.224 8，
＝×(10.15＋5.52＋…＋1.15)＝3.14，
则r＝≈0.999 8.
由于r的值非常接近于1，这表明两个变量的线性相关关系很强，从而求y与μ的回归方程有意义．
又b＝≈8.98，
则a＝－b＝3.14－8.98×0.224 8≈1.12，
所以y关于μ的回归方程为y＝1.12＋8.98μ.
§2 独立性检验
学习目标 1.理解2×2列联表，并会依据列联表判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想．
知识点一 2×2列联表
思考 某教育行政部门大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：
体育
文娱
总计
男生
210
230
440
女生
60
290
350
总计
270
520
790
如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？
答案 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断．
梳理 设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格.
A
B
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取 A1，且变量B取 B1时的数据，b表示变量A取 A1，且变量B取 B2时的数据；c表示变量A取 A2，且变量B取 B1时的数据；d表示变量A取 A2，且变量B取 B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．
知识点二 统计量
χ2＝.
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)
知识点三 独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
1．列联表中的数据是两个分类变量的频数．( √ )
2．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( × )
3．χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．( √ )
类型一 2×2列联表及其应用
例1 (1)两个变量X，Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
若两个变量X，Y独立，则下列结论：
①ad≈bc；
②≈；
③≈；
④≈；
⑤≈0.
共中正确的序号是________．
(2)甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
成绩
班级
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
用频率估计的方法可判断成绩与班级________关．(填“有”或“无”)
考点 定性分析的两类方法
题点 利用列联表定性分析
答案 (1)①②⑤ (2)无
解析 (1)因为变量X，Y独立，
所以≈×，
化简得ad≈bc，故①⑤正确；②式化简得ad≈bc，
故②正确．
(2)根据2×2列联表得频率表如下：
成绩
班级
优秀
不优秀
总计
甲班
乙班
总计
1
由于×＝，而＝；
×＝，而＝；
×＝，而＝；
×＝，而＝.
这些频率之间相差不大，可以认为成绩是否优秀与班级没有关系．
反思与感悟 (1)2×2列联表X，Y对应的数据是从总体中抽取样本的统计数据，所以即使X，Y独立，ad－bc一般也不恰好等于零．
(2)2×2列联表中，|ad－bc|越小，说明“X，Y独立”正确的可能性越大；
|ad－bc|越大，说明“X，Y有关联”(即X，Y不独立)正确的可能性越大．
跟踪训练1 在列联表中，相差越大，两个变量之间的关系越强的两个比值是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
考点 定性分析的两类方法
题点 利用列联表定性分析
答案 A
解析 和 相差越大，说明ad与bc相差越大，两个变量之间的关系越强．
类型二 利用χ2公式判断两变量的关系
例2 为研究时下的“韩剧热”，对某班45位同学的爸爸、妈妈进行了问卷调查，结果如下表所示.
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
妈妈
31
13
44
爸爸
15
21
36
总计
46
34
80
试问：是否有99%以上的把握认为“喜欢韩剧和性别有关系”？
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
解 由表中的数据，得
χ2＝≈6.715.
因为6.715>6.635，
所以有99%以上的把握认为喜欢韩剧和性别有关系．
反思与感悟 解独立性检验问题的基本步骤
跟踪训练2 某研究小组调查了在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人．女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船．
(1)根据以上数据建立2×2列联表；
(2)判断晕船是否与性别有关系．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
解 (1)2×2列联表如下：
晕船情况
性别
晕船
不晕船
总计
女
10
24
34
男
12
25
37
总计
22
49
71
(2)χ2＝≈0.08.
因为0.08<2.706，
所以我们没有理由说晕船与性别有关．
类型三 独立性检验的综合应用
例3 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
附：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
χ2＝.
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，
由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，
则旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62，
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66，
则事件A的概率估计值为P(A)＝P(B)P(C)
＝0.62×0.66＝0.409 2，
∴A发生的概率为0.409 2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则χ2＝≈15.705，
由15.705>6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
反思与感悟 两个分类变量相关关系的判断
(1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大．
(2)观测值法：通过2×2列联表，先计算χ2，然后借助χ2的含义判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度．
跟踪训练3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
6
女生
10
总计
48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
22
6
28
女生
10
10
20
总计
32
16
48
(2)由χ2＝≈4.286.
因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．
(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.
其概率分别为
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值为EX＝0＋＋＝1.
1．已知变量X和Y的列联表如下，则( )
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
考点 定性分析的两类方法
题点 利用列联表定性分析
答案 C
解析 χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)，若(ad－bc)2越大，则χ2越大，说明X与Y的关系越强．
2．如果有95%的把握说事件A与B有关系，那么具体计算出的数据( )
A．χ2>3.841 B．χ2<3.841
C．χ2>6.635 D．χ2<6.635
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 A
解析 把χ2的值与临界值比，从而确定A与B有关的可信程度．
当χ2>6.635时，有99%的把握认为A与B有关系；
当χ2>3.841时，有95%的把握认为A与B有关系；
当χ2>2.706时，有90%的握认为A与B有关系；
当χ2≤2.706时，就没有充分的证据认为A与B有关系．故选A.
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的思想
答案 D
解析 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．
4．为了判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 0.05
解析 由χ2公式计算得χ2≈4.844>3.841，
故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为0.05.
5．某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
解 (1)2×2列联表如下所示：
赞同
不赞同
总计
老教师
10
10
20
青年教师
24
6
30
总计
34
16
50
(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”．
由公式，得χ2＝≈4.963<6.635，
所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．
1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则拒绝假设，认为两个事件有关．
2．独立性检验的步骤
①画列联表．
②计算χ2.
③将得到的χ2值和临界值比较，下结论．
一、选择题
1．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
68
x2
7
25
32
总计
54
b
100
则表中a，b的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．47,46 D．54,52
考点 分类变量与列联表
题点 求列联表中的数据
答案 C
解析 a＝68－21＝47，b＝21＋25＝46.
2．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( )
A．独立性检验依据小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定正确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两个分类变量是否相关的唯一方法
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的思想
答案 B
解析 独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，也可能无关，故选B.
3．下面关于χ2的说法正确的是( )
A．χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B．χ2的值越大，两个事件的相关性就越大
C．χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关
D．χ2＝
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立检验的思想
答案 B
解析 χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关．选项D中公式错误，分子上少了平方．故选B.
4．利用独立性检验来考察两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度．如果χ2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( )
P(χ2
≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.25% B．75%
C．2.5% D．97.5%
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 D
解析 由表中数据可知，当χ2≥5.024，P(χ2≥k)＝2.5%，可知有把握认为“X与Y有关系”的百分比为97.5%.故选D.
5．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法中：
①若统计量χ2>6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；②若从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病；③若从统计中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误．
正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的思想
答案 B
解析 统计量χ2仅仅说明一个统计推断，并不能说明个别案例或某些情况，从而③正确，故选B.
6．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则统计量χ2值约为( )
A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004
考点 分类变量与列联表
题点 求观测值
答案 A
解析 根据列联表中的数据，可得统计量χ2的观测值k＝≈0.600.故选A.
7．假设有两个变量x和y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y
x
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明x与y有关的可能性最大的一组是( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
考点 分类变量与列联表
题点 求列联表中的数据
答案 D
解析 对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱．而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于选项A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2.对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7.显然7>2，故选D.
二、填空题
8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________．(填“有关的”或“无关的”)
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 有关的
解析 χ2＝27.63>6.635，有99%以上的把握认为这两个量是有关的．
9．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：
知道想学专业
不知道想学专业
总计
男生
63
117
180
女生
42
82
124
总计
105
199
304
根据表中数据，则下列说法正确的是________．
①性别与知道想学专业有关；
②性别与知道想学专业无关；
③女生比男生更易知道所学专业．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 ②
解析 χ2＝≈0.041，
因为值非常小，所以性别与知道想学专业无关．
10．有两个变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y
x
y1
y2
总计
x1
a
20－a
20
x2
15－a
30＋a
45
总计
15
50
65
则正整数a的最小值为________时，有90%以上的把握认为“x与y之间有关系”．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 1
解析 由题意χ2＝＝>2.706，
易得a＝1满足题意．
11．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
不喜欢西班牙队
喜欢西班牙队
总计
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
总计
a
b
100
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 95%
解析 设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A，
由已知得P(A)＝＝，
所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.
χ2＝＝≈4.167>3.841.
故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
三、解答题
12．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
临界值表：
P(χ2≥k)
0.05
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)由公式χ2＝，得χ2≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为.
四、探究与拓展
13．2017年世界第一届轮滑运动会(the first edtion of Roller Games)在南京举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者分别有10人和6人喜爱轮滑，其余不喜爱．得到2×2列联表如下.
喜爱轮滑
不喜爱轮滑
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
(1)根据2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱轮滑有关？
(2)从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱轮滑的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
解 (1)假设：是否喜爱轮滑与性别无关．由已知数据可求得
χ2＝≈1.157 5<2.706.
因此不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为喜爱轮滑与性别有关．
(2)喜爱轮滑的人数ξ的可能取值为0,1,2，
则P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以喜爱轮滑的人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以喜爱轮滑的人数ξ的均值为Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
滚动训练五(§1～§2)
一、选择题
1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 D
解析 “喜鹊叫喜，乌鸦叫丧”是一种迷信说法，它们之间无任何关系，故选D.
2．对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是( )
①模型Ⅰ的相关系数r为－0.98；②模型Ⅱ的相关关系r为0.80；③模型Ⅲ的相关系数r为－0.50；④模型Ⅳ的相关系数r为0.25.
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 A
解析 相关系数的绝对值越大，其相关性越强，模型Ⅰ相关系数为－0.98，其绝对值最大，相关性也最强，因此，模型Ⅰ的拟合效果最好，故选A.
3．某机构调查中学生的近视情况，了解到某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )
A．平均数 B．方差
C．回归分析 D．独立性检验
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的思想
答案 D
4．已知变量x与y具有相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据求得的回归方程可能是( )
A．y＝－1.314x＋1.520
B．y＝1.314x＋1.520
C．y＝－1.314x－1.520
D．y＝1.314x－1.520
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
答案 B
解析 由样本数据散点图可知，回归方程中a>0，b>0，故选B.
5．下列说法中，错误的个数是( )
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②回归方程y＝3－7x，变量x增加1个单位时，y平均增加7个单位；
③在一个2×2列联表中，若χ2＝13.079，则有99.9%以上的把握认为两个变量之间有关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 B
解析 数据的方差与加了什么样的常数无关，故①正确；对于回归方程y＝3－7x，变量x增加1个单位时，y平均减少了7个单位，故②错误；若χ2＝13.079>10.828，则有99.9%以上的把握认为这两个变量之间有关系，故③正确．
6．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现χ2＝6.023，则市政府认为市民收入增减与旅游愿望有关系的可信度是
附：临界值表：
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
( )
A．90% B．95% C．97.5% D．99.5%
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 C
解析 由临界值表得P(χ2≥5.024)≈0.025，而6.023>5.024，所以认为市民收入增减与旅游愿望有关系的可信度为97.5%.
7．高三某班学生每周用于数学学习的时间x(单位：小时)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
根据上表可得回归方程的系数b≈3.53.若某学生每周用于数学学习的时间为18小时，则可预测该学生的数学成绩(结果保留整数)是( )
A．71分 B．80分 C．74分 D．77分
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 D
解析 学生每周用于数学学习的时间的平均值
＝＝17.4，数学成绩的平均值
＝＝74.9，
所以a＝－b＝74.9－3.53×17.4＝13.478.
当x＝18时，y＝3.53×18＋13.478＝77.018≈77，所以预测该学生的数学成绩为77分．
8．某市通过随机询问100位市民能否做到“光盘”，得到如下的2×2的列联表：
不能做到“光盘”
能做到“光盘”
总计
男
45
10
55
女
30
15
45
总计
75
25
100
下列说法正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%的把握认为“该市居民能做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%的把握认为“该市居民能做到‘光盘’与性别无关”
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 C
解析 由题设知，χ2＝≈3.030>2.706，∴有90%的把握认为“该市居民能做到‘光盘’与性别有关”．
二、填空题
9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
答案 68
解析 由表知＝30，设模糊不清的数据为m，则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因为＝0.67＋54.9，即＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.
10．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场以降低生产成本，某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(千箱)与单位成本(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481，b＝≈－1.818 2，a＝71－(－1.818 2)×≈77.36，则销量每增加1千箱，单位成本下降________元．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 1.818 2
解析 由已知得y＝－1.818 2x＋77.36，销售量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．
11．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结构如下表：
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
总计
吸烟
20
20
40
不吸烟
5
55
60
总计
25
75
100
根据列联表数据，求得χ2＝________(保留3位有效数字)，根据下表，在犯错误的概率不超过________的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关．
附：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 22.2 0.001
解析 χ2＝≈22.2＞10.828.
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关．
三、解答题
12．某地区2011年至2017年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b＝＝＝0.5，
a＝－b＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
四、探究与拓展
13．如果将x作为自变量，y作为因变量，得回归系数b；将y作为自变量，x作为因变量，得回归系数b′，则相关系数r与b，b′的关系是________．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 |r|＝
解析 当x作自变量时，得b＝；
当y作自变量时，得b′＝.
又r＝，
从而bb′＝r2.
14．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件尺寸x
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为y＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸为1.03±0.01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
乙
总计
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程的综合应用
解 ＝1.03，＝，由y＝－91＋100x知，＝－91＋100×1.03，所以a＝11，由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
24
6
30
乙
12
18
30
总计
36
24
60
所以χ2＝
＝＝10，
因为χ2＝10＞6.635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．
章末复习
学习目标 1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预报.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．
一、线性回归分析
1．线性回归方程
在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝＝，a＝－b.其中＝xi，＝yi.
2．相关系数
(1)相关系数r的计算公式
r＝ .
(2)相关系数r的取值范围是[－1,1]，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．
(3)当r>0时，b>0，称两个变量正相关；
当r<0时，b<0，称两个变量负相关；
当r＝0时，称两个变量线性不相关．
二、独立性检验
1．2×2列联表
设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格
A
B
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取 A1，且变量B取 B1时的数据，b表示变量A取 A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取 A2，且变量B取 B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．
2．统计量
χ2＝.
3．独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.
类型一 回归分析
例1 如图所示的是某企业2011年至2017年污水净化量(单位：吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业污水净化量．
附注：参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－)2＝18.
参考公式：相关系数r＝，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由题意，＝4，(ti－)(yi－)＝21，
∴r＝＝≈0.936.
∵0.936>0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系．
(2)由题意，＝54，b＝＝＝，
a＝－b＝54－×4＝51，
∴y关于t的回归方程为y＝t＋51.
当t＝9时，y＝×9＋51＝57.75，预测2019年该企业污水净化量约为57.75吨．
反思与感悟 解决回归分析问题的一般步骤
(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．
(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．
(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．
跟踪训练1 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差x(℃)与因患感冒而就诊的人数y，得到如下资料：
日期
昼夜温差x(℃)
就诊人数y(个)
1月10日
10
22
2月10日
11
25
3月10日
13
29
4月10日
12
26
5月10日
8
16
6月10日
6
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
(参考公式：b＝＝，a＝－b)
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据，共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P(A)＝＝.
(2)由数据求得＝11，＝24，由公式求得b＝，
∴a＝－b＝－，
∴y关于x的线性回归方程为y＝x－.
(3)当x＝10时，y＝，<2；
当x＝6时，y＝，<2.
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
类型二 独立性检验
例2 奥运会期间，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：
是否愿意提供志愿者服务
性别
愿意
不愿意
男生
20
10
女生
10
20
(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
(2)你能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验统计量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)由题意，可知男生抽取6×＝4(人)．
(2)χ2＝≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
反思与感悟 独立性检验问题的求解策略
通过公式χ2＝
先计算χ2的值，再与临界值表作比较，最后得出结论．
跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成下列2×2列联表；
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验在分类变量中的应用
解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
(2)2×2列联表如表所示：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(3)χ2＝＝10>6.635，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
1．下列相关系数r对应的变量间的线性相关程度最强的是( )
A．r＝0.90 B．r＝0.5
C．r＝－0.93 D．r＝0
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 C
2．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
临界值：
P(χ2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
由以上数据，计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 D
解析 根据临界值表，10.828>9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
3．某化妆品公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
2
3
5
6
销售利润y(万元)
5
7
9
11
由表中数据，得线性回归方程l：y＝bx＋a，则下列结论正确的是( )
A．b＜0 B．a＜0
C．直线l过点(4,8) D．直线l过点(2,5)
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
答案 C
解析 由表计算可得＝4，＝8，b＝1.4＞0，a＝－b＝8－1.4×4＝2.4＞0，所以排除A，B；因为y＝1.4x＋2.4，所以1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2,5)不在直线l上，所以排除D；因为＝4，＝8，所以回归直线l过样本点的中心(4,8)，故选C.
4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染
未感染
总计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
总计
30
70
100
附表：
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
参照附表，在犯错误的概率不超过________(填百分比)的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 5%
解析 χ2＝≈4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．
5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 y＝x＋14 24
解析 首先把两组值代入线性回归方程，得
解得
所以线性回归方程是y＝x＋14.
令x＋14＝38，可得x＝24，即当x＝24时，y的估计值是38.
1．建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确变量．
(2)画出散点图，观察它们之间的关系．
(3)由经验确定回归方程的类型．
(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．
2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法.
一、选择题
1．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
则该商品销售额与平均气温有( )
A．确定性关系 B．正相关关系
C．负相关关系 D．函数关系
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 C
解析 根据春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据知，y随x的减小而增大，是负相关关系，故选C.
2．如果χ2的观测值为8.654，可以认为“x与y无关”的可信度为( )
A．99.5% B．0.5%
C．99% D．1%
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 B
解析 ∵8.654＞7.879，∴x与y无关的可信度为0.5%.
3．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a－5.4
－0.5
0.5
b－0.6
得到的线性回归方程为y＝bx＋a.若样本点的中心为(5,0.9)，则当x每增加1个单位时，y就( )
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 B
解析 依题意得，＝0.9，
故a＋b＝6.5，①
又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b＋a，②
联立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，则y＝－1.4x＋7.9，
可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．
4．经过对统计量χ2的研究，得到了若干个临界值，当χ2<2.706时，我们认为事件A与B( )
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下有关系
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下有关系
C．没有充分理由认为A与B有关系
D．不能确定
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 C
解析 因为χ2<2.706，而犯错误的概率大于10%，
所以没有充分理由认为A与B有关系．
5．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66% B．67%
C．79% D．84%
考点 线性回归分析
题点 回归直线方程的应用
答案 D
解析 因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%＝84%.
6．为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患疾病A
不患疾病A
总计
男
20
5
25
女
10
15
25
总计
30
20
50
则认为疾病A与性别有关的把握约为( )
临界值表：
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.95% B．99%
C．99.5% D．99.9%
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 C
解析 由公式得χ2＝≈8.333＞7.879，故有(1－0.005)×100%＝99.5%的把握认为疾病A与性别有关．
7．下列说法：
①设有一个线性回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
②回归方程y＝bx＋a必过(，)；
③在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．
其中错误的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，①错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y＝bx＋a必过点(，)，②正确；因为χ2>6.635，故有99%的把握确认这两个变量有关系，③正确．故选B.
8．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8，3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．若r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 C
解析 对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X呈正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U呈负相关，即r2<0，所以有r2<0二、填空题
9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根据收集到的数据可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，由最小二乘法求得线性回归方程为y＝0.67x＋54.9，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值为________．
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
答案 375
解析 由题意，得＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝30，且回归直线y＝0.67x＋54.9恒过点(，)，则＝0.67×30＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝375.
10．某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人)：
月收入2 000元以下
月收入2 000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由2×2列联表计算可知，我们有________以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 97.5%
解析 由表中的数据可得χ2＝≈6.109，
由于6.109>5.024，
所以我们有97.5%以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．
11．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/吨)的线性回归方程为y＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1 000吨钢中，约有________吨钢是废品．(结果保留两位小数)
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 16.68
解析 因为176.5＝105.492＋42.569x，解得x≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1 000吨钢中，约有1 000×1.668%＝16.68(吨)是废品．
三、解答题
12．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x (℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
∴P()＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，iyi＝977，＝434，
∴b＝＝
＝2.5，
a＝－b＝27－2.5×12＝－3，
∴y＝2.5x－3.
(3)由(2)知：当x＝10时，y＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，y＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
四、探究与拓展
13．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 8
解析 只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
14．某校高一年级理科有8个班，在一次数学考试中成绩情况分析如下：
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
大于145分人数
6
6
7
3
5
3
3
7
不大于145分人数
39
39
38
42
40
42
42
38
附：xiyi＝171，x＝204.
(1)求145分以上成绩人数y对班级序号x的线性回归方程；(精确到0.000 1)
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7班与8班的成绩是否优秀(大于145分)与班级有关系．
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
解 (1)＝4.5，＝5，xiyi＝171，x＝204，
b＝＝
＝－≈－0.214 3，
a＝－b＝5－(－0.214 3)×4.5≈5.964 4，
∴线性回归方程为y＝－0.214 3x＋5.964 4.
(2)χ2＝＝1.8，
∵1.8<6.635，∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7班与8班的成绩是否优秀(大于145分)与班级有关系．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率
题点 直接利用公式求条件概率
答案 C
解析 ∵P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )
A. B. C. D.
考点 排列与组合的应用
题点 排列、组合在概率中的应用
答案 D
解析 设事件A为“无人中奖”，即P(A)＝＝，
则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，
由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝＝0.75.
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为( )
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 A
解析 由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
5．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 D
解析 由正态曲线的对称性知P(X<1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(0＝P(X<1)－P(X>2)＝－p.
6．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
则均值EX与方差DX分别为( )
A．1.4,0.2 B．0.44,1.4
C．1.4,0.44 D．0.44,0.2
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
答案 C
解析 由离散型随机变量的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1，∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差DX＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是( )
A．P(X≤1) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 P(X＝1)＝.
8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
9．设随机变量X服从二项分布B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是( )
A. B. C. D.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，
∴方程x2＋4x＋X＝0存在实根，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，
∵随机变量X服从二项分布B，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝，故选D.
10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )
A．0.93
B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12
D．C×0.13×0.92
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 C
解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12.
11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝，故选B.
12.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B.
C. D.
考点
题点
答案 C
解析 青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；
第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝.
所以跳三次之后停止在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量ξ～B(n，p)，若Eξ＝4，η＝2ξ＋3，Dη＝3.2，则P(ξ＝2)＝________.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布的分布列求概率
答案 0.051 2
解析 由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，
∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝0.051 2.
14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，则3个水龙头同时被打开的概率为________．
考点 独立重复试验的计算
题点 用独立重复试验的概率公式求概率
答案 0.008 1
解析 对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能的结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1.
15．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是，则μ＝______.
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 2
解析 由向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a·b>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P(ξ>2)＝.
根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.
16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值EX＝________.
考点 常见的几种均值
题点 相互独立事件的均值
答案 1.89
解析 由题意知，X的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01，由此可得均值EX＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)A，B，C三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A胜B的概率为0.4，B胜C的概率为0.5，C胜A的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮，A与B；第二轮，第一轮的胜者与C；第三轮，第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮，第三轮的胜者与第二轮的败者．
(1)求B连胜四轮的概率；
(2)求C连胜三轮的概率．
考点
题点
解 (1)要B连胜四轮，则以下这些相互独立事件需发生：
第一轮B胜A，第二轮B胜C，第三轮B胜A，第四轮B胜C.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
故B连胜四轮的概率为0.09.
(2)C连胜三轮应分两种情况：
①第一轮A胜B，第二轮C胜A，第三轮C胜B，第四轮C胜A，
所以C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072；
②第一轮B胜A，第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，
所以C连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.
①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.
故C连胜三轮的概率为0.162.
18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
考点 均值与方差的综合应用
题点 离散型随机变量的分布列及均值
解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝2××1＝，
ξ的分布列为
ξ
1
3
4
6
P
(2)Eξ＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及均值EX.
考点 均值与方差的综合应用
题点 离散型随机变量的分布列及均值
解 (1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，
则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＝.
20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解 (1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．
考点 均值与方差的应用
题点 离散型随机变量的分布列及均值
解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
EX＝200×＋300×＋400×＝350.
22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n＋m)道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．
(1)求X＝n＋2的概率；
(2)设m＝n，求X的分布列和均值．
解 以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.
(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·
＝.
(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.
P(X＝n)＝P(12)＝·＝，
P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(1A2)＝·＋·＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.
从而X的分布列为
X
n
n＋1
n＋2
P
所以EX＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.
§1 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列．
知识点一 离散型随机变量
思考1 以上两个现象有何特点？
①掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数．
答案 各现象的结果都可以用数表示．
思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
答案 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
梳理 (1)随机变量
将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．
(2)离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．
知识点二 离散型随机变量的分布列
思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
答案 x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
X
1
2
3
4
5
6
P
梳理 (1)离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成表为
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量的性质
①pi>0；②p1＋p2＋…＝1.
1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( √ )
2．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( × )
3．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × )
4．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( × )
5．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √ )
类型一 离散型随机变量的概念
例1 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
考点 离散型随机变量的可能取值
题点 离散型随机变量的结果
解 (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．
引申探究
若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
解 设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X>4?X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练1 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 离散型随机变量的概念
答案 B
解析 由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．
类型二 离散型随机变量分布列的性质
例2 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
解 (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练2 (1)袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝则X的分布列为________．
(2)若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 (1)
X
0
1
P
(2)
解析 (1)显然，P(X＝0)＝＝，
所以P(X＝1)＝1－＝，
所以X的分布列是
X
0
1
P
(2)由随机变量分布列的性质可知：
整理得解得c＝.
类型三 求离散型随机变量的分布列
例3 设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 两个相关的随机变量分布列的求法
解 由条件中的分布列得：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
(1)2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列为
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η＝aξ＋b也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则η＝f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f(ξ)也为离散型随机变量．
(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．
跟踪训练3 已知随机变量X的分布列为
X
1
2
…
n
…
P
…
…
求随机变量Y＝sin的分布列．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 两个相关的随机变量分布列的求法
解 由Y＝sin，
得Y＝
P(Y＝－1)＝P(X＝3)＋P(X＝7)＋P(X＝11)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝0)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝5)＋P(X＝9)＋…＝＋＋＋…＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
－1
0
1
P
例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中原有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
解 (1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝，
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．
跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只．
(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X＝100)＝＝，
P(X＝80)＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝.
所以X的分布列为
X
100
80
60
40
P
1．给出下列随机变量：
①某机场候机室中一天的旅客数量为X；
②某人投篮10次投中的次数X；
③某水文站观测到一天中长江的水位为X；
④某立交桥一天内经过的车辆数为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 离散型随机变量的概念
答案 B
解析 ③中，某水文站观测到一天中长江的水位X的取值不可列出，所以③不是离散型随机变量．
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A. B. C. D.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 C
解析 易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误．
4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案
解析 设试验成功的概率为p，
则p＋＝1，∴p＝，
∴P(ξ＝1)＝.
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
一、选择题
1．下列变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．某教学资源网1小时内被点击的次数
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数Y
C．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1
D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 离散型随机变量的概念
答案 C
2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，x∈N
B．－5≤X≤0，x∈Z
C．－1≤X≤6，x∈N
D．－5≤X≤5，x∈Z
考点 离散型随机变量的可能取值
题点 离散型随机变量的取值
答案 D
解析 两次掷出点数均可取1～6所有整数，
所以X∈[－5,5]，x∈Z.
3．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 由分布列的性质求参数
答案 C
解析 由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故14．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2，3,4)，其中a是常数，则P的值为( )
A. B. C. D.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 D
解析 ∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝a＝1，
∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.
5．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 A
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B. C. D.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 由分布列的性质求概率
答案 A
解析 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
7．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( )
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 由分布列的性质求参数
答案 B
解析 设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
故a＝.由解得－≤d≤.
二、填空题
8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案
解析 设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
∴P＝P(ξ＝1)＝.
9．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则m的值为________．
答案
解析 m＝P(X＝10)＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝9)]＝1－＝1－＝9＝.
10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X<2)＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案
解析 P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)
＝＋＝.
11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
答案
X
1
2
3
P
解析 由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P
三、解答题
12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P
13.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获利分别为6 万元、2 万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.求X的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 依题意得，X的所有可能取值为6,2,1，－2.
X＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件，
所以P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
所以X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
四、探究与拓展
14．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列为________．
考点
题点
答案
X
－1
0
1
P
解析 设黄球的个数为n，则绿球个数为2n，红球个数为4n，球的总数为7n.X＝1,0，－1.
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝.
15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条．当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 (1)若2条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8C对相交棱，∴P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1或，其中距离为的共有6对，
∴P(ξ＝)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
§2 超几何分布
学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．
知识点 超几何分布
已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数．
思考1 X可能取哪些值？
答案 0,1,2,3.
思考2 “X＝2”表示的试验结果是什么？P(X＝2)的值呢？
答案 任选3人中恰有2人为男生，P(X＝2)＝.
思考3 如何求P(X＝k)(k＝0,1,2,3)?
答案 P(X＝k)＝.
梳理 超几何分步
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．
1．超几何分布就是一种概率分布模型．( √ )
2．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则所拿黑球个数X就服从超几何分布．( √ )
3．超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．( √ )
类型一 超几何分布
例1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 依题意随机变量X服从超几何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
引申探究
如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，如何求解？
解 由题意得：P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
反思与感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n－k≤N－M.
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
跟踪训练1 10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 X的可能取值为0,1,2,3.
由题意知X服从超几何分布，
所以P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
类型二 转换随机变量以服从超几何分布
例2 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
2
6
10
P
反思与感悟 超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2 在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道试题进行测试，至少答对2道试题才算及格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 X＝1,2,3，P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
该考生及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
类型三 超几何分布的应用
例3 50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n张，为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？
考点 超几何分布
题点 超几何分布的应用
解 设随机变量X表示“抽出中奖彩票的张数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P(X≥1)＝＋>0.5，又n∈N＋，且n≤50，解得n≥15.
所以n至少为15.
反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．
跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？
考点 超几何分布
题点 超几何分布的应用
解 从50箱产品中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为
P(X≤1)＝＋＝.
所以该批产品被接收的概率为.
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X
B．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的已摸次数
考点 超几何分布
题点 超几何分布的理解
答案 B
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
考点 超几何分布
题点 超几何分布的理解
答案 A
解析 根据超几何分布的概念可知，A正确．
3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A. B.
C. D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
5．从某省立医院的3名医生、2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X＝k)，从而列出随机变量X的分布列．
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
2．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则事件{X＝k}中含有的基本事件个数为( )
A．CC B．CC
C．CC D．CC
考点 超几何分布
题点 超几何分布的概念
答案 B
解析 事件{X＝k}表示从含M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有k件次品，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件．
3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A. B. C. D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.
4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于( )
A．1 B．2或8 C．2 D．8
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 由题意知，＝，
解得a＝2或8.
5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为( )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 “X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
7．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)等于( )
A. B.
C. D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 A
解析 由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝.
二、填空题
8．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P(ξ＝4)＝________.
考点
题点
答案
解析 P(ξ＝4)＝＝.
9．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 易知P(X＝1)＝＝.
10．已知10个元件中只有3个是A种型号，5个人购买这种元件，每人只买1个，至少有1人买到A种型号元件的概率是________．
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 这是一个超几何分布，相当于有10件产品，其中有3件不合格品，从中抽取5件，求至少有1件不合格品的概率．易得所求概率为1－＝.
11．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．
三、解答题
12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2)他能及格的概率．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
13．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495)，[495,500)，…，[510,515)，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品的数量，求Y的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品的数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.
(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，
故P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
四、探究与拓展
14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设10个球中有白球m个，
则＝1－，解得m＝5或m＝14(舍去)．
所以P(X＝2)＝＝.
15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
因此，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
§3 条件概率与独立事件
学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)．
答案 P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．
答案 P(A|B)＝.
梳理 条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.
知识点二 独立事件
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案 不影响．
思考2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
答案 P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3 P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
答案 P(AB)＝P(A)·P(B)．
梳理 独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．( × )
2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．( √ )
3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( √ )
类型一 条件概率
例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
引申探究
将本例(3)改为“在第1次抽到语言类节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率，应如何求解”．
解 设第1次抽到语言类节目为事件C，
则P(C)＝＝＝，
P(CB)＝＝＝.
方法一 P(B|C)＝＝＝.
方法二 P(B|C)＝＝＝.
反思与感悟 条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.特别地，当B?A时，P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
跟踪训练1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率是，设下雨为事件A，刮风为事件B.求：
(1)P(A|B)；
(2)P(B|A)．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
(1)P(A|B)＝＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
类型二 事件的独立性的判断
例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 ①②③
解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
类型三 求相互独立事件的概率
例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
解 用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解 恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()·P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解 事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
跟踪训练3 某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是( )
A．0.612 B．0.765
C．0.329 D．0.68
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 C
解析 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，
则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85，
故P(BC＋AC＋AB)
＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.
1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 B
解析 因为P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案 B
解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，
因为事件相互独立，
所以P(A)＝×＋×＝.
3．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 D
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．
4．任意向(0,1)区间内投掷一个点，用x表示该点的坐标，事件A＝{x|0考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 0.5
解析 设m(A)和m(AB)分别表示事件A和AB的长度，
A∩B＝{x|0.25则P(B|A)＝＝＝0.5.
5．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________．
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案
解析 设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立．
所以两人都未解决的概率为P( )＝×＝.
问题得到解决的概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝.
1．计算条件概率时应注意：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约．(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立．
②两事件独立，则不一定互斥(或对立)．
③两事件互斥(或对立)，则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上
一、选择题
1．抛掷一颗骰子，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是( )
A．相互互斥事件
B．相互独立事件
C．既相互互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 B
解析 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．
2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2 B．0.33
C．0.5 D．0.6
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，
则P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 C
解析 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，
则n(A)＝A，
n(AB)＝A，
所以P(B|A)＝＝.
4．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A. B. C. D．1
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 C
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
根据题意，知事件A和B相互独立，
且P(A)＝，P(B)＝.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
则C＝A∪B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A∪B)
＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 C
解析 满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
6．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 D
解析 由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
7.如图所示，在边长为1的正方形OEFG内任取一点M，用A表示事件“点M恰好取自由曲线y＝与直线x＝1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点M恰好取自阴影部分内”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 根据题意，正方形OEFG的面积为1×1＝1，而曲线y＝与直线x＝1及x轴所围成的曲边梯形的面积为dx＝，∴P(A)＝＝.又阴影部分的面积为(－x)dx＝，∴P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 D
解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P1＝；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P2＝×＝.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝＋×＝.
二、填空题
9．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案
解析 从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
10．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案
解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
11．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 0.128
解析 由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
三、解答题
12．坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)＝A＝20.
又n(A)＝A×A＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝3×2＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.
13．某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，则分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
(2)设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥．
P(A1)＝××＝，
P(A2)＝××××＝，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝，
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
(2)由题意得X的所有可能取值为0,5,15,35，
P(X＝0)＝＋P(A)＝，
P(X＝5)＝×＝，
P(X＝15)＝×××＝，
P(X＝35)＝××××＝.
所以X的分布列为
X
0
5
15
35
P
四、探究与拓展
14．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
答案
解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(1)求p的值；
(2)设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2＋(1－p)2＝，解得p＝或p＝.
又因为p>，所以p＝.
(2)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6.
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝1－－＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
2
4
6
P
§4 二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数．
思考1 若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？
答案 有2种结果：投中(成功)与未投中(失败)．
思考2 X＝2表示何意义？求P(X＝2)．
答案 X＝2表示3次投篮中有2次投中，有C种情况，每种情况发生的可能性为0.82×0.2，所以P(X＝2)＝C×0.82×0.2.
梳理 二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”．
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.
(3)各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
1．在连续抛掷三次骰子的试验中，每一次试验可能出现的结果有6种．( √ )
2．在连续抛掷三次硬币的试验中，每一次试验可能出现的结果有2种．( √ )
3．若X～B(n，p)，则X的取值有n＋1个．( √ )
类型一 利用二项分布求概率
例1 在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：
(1)全部活到70岁的概率；
(2)有2个活到70岁的概率；
(3)有1个活到70岁的概率．
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
解 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1，2,3)．
(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；
即全部活到70岁的概率为0.216.
(2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.
即有2个活到70岁的概率为0.432.
(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.
即有1个活到70岁的概率为0.288.
反思与感悟 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的．(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的．(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变．(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
跟踪训练1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
解 (1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)
＝C2·C3＋C3·C3
＝＋＝.
类型二 求二项分布的分布列
例2 现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 (1)设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0×2×＝，
P(X＝1)＝C×1×1×＋C0×2×＝，
P(X＝2)＝C×2×0×＋C1×1×＝，
P(X＝3)＝C×2×0·＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
反思与感悟 求二项分布的分布列的一般步骤
(1)判断所述问题是否是相互独立试验．
(2)建立二项分布模型．
(3)求出相应概率．
(4)写出分布列．
跟踪训练2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C30＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C03＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
类型三 二项分布的综合应用
例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 (1)由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C×2×3＝；
P(ξ＝3)＝C×3×2＝；
P(ξ＝4)＝C×4×＝；
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4，
即P(η＝0)＝0×＝；
P(η＝1)＝×＝；
P(η＝2)＝2×＝；
P(η＝3)＝3×＝；
P(η＝4)＝4×＝；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5＝.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，∴不等式化为p(1－p)>，
解得又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝.由＝，得n＝6.
1．下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是( )
A．某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对在职人员进行年度考核，2017年度考核中每人考核优秀的概率是0.15.设该单位在这一年里，个人年度考核是否优秀是相互独立的，考核优秀的人数为X
B．位于某汽车站附近的一个加油站，在每次汽车出站后，该汽车到这个加油站加油的概率是0.7，节日期间每天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，其加油的汽车数为X
C．某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需的射击次数为X
D．据某电视台报道，上周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒，网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数X
考点 二项分布的概念
题点 判别二项分布
答案 C
解析 对A，每人考核优秀的概率都是0.15，每人被考核优秀是相互独立的，故X服从二项分布；对B，每辆汽车到这个加油站加油的概率是0.7，每辆汽车到这个加油站加油是相互独立的，故X服从二项分布；对C，若第k次击中目标，则X＝k，也就是说明k－1次都没有击中，显然，击中与击不中的概率是不一样的，故X不服从二项分布；对D，每次下载都被病毒感染，即概率为1，显然X服从二项分布．
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B.
C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 B
解析 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为
C2×＝.
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 A
解析 由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，
又p≤1，故0.4≤p≤1，故选A.
4．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
答案
解析 因为X～B(2，p)，
所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
所以1－(1－p)2＝，
结合0≤p≤1，解得p＝.
5．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，
且P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第r＋1项Tr＋1＝C(1－p)n－rpr，可见P(X＝r)＝Cpr(1－p)n－r就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第r＋1项.
一、选择题
1．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 A
2．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A. B. C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 B
解析 记“恰有1次获得通过”为事件A，
则P(A)＝C·2＝.
3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是( )
A. B. C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 B
解析 设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1－x，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－＝，有(1－x)4＝，解得x＝或x＝(舍去)．
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. B. C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 A
解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C2×＝3×××＝，故选A.
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.5 B．C×5
C．C×3 D．C×C×5
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 B
解析 如图，由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P＝C×2×3＝C×5.
故选B.
6．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A. B. C. D.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 C
解析 易知P(ξ＝0)＝C(1－p)2＝1－，∴p＝，则P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)1＝＋＝.
7．已知X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3
C．2或3 D．4
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
答案 B
解析 P(X＝k)＝Ck·6－k＝C6，
当k＝3时，C6最大．
8．有一批数量很大的产品，其中次品率是20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过9，那么抽查次数为9的概率为( )
A．0.89 B．0.88×0.2
C．0.88 D．0.28×0.8
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 C
解析 抽查次数为9说明前8次都没有抽到次品，即前8次抽到的都是合格品，第9次不论抽到的是合格品还是次品，抽样结束了．
而每次抽到合格品的概率都等于0.8，
故抽查次数为9的概率为0.88.
二、填空题
9．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 0.048 6
解析 P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
10．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则P(X≥2)＝________.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案
解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为，
从中取3次(做3次试验)，X为取得次品(成功)的次数，
则X～B，
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×2×＋C3＝.
11．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案
解析 由已知可求得通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，为负数的概率为.
∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
三、解答题
12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
解 设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1·2·1·2)
＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)
＝1－22＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
所求概率为
P＝C·C＝×＝＝.
13．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 (1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A，B相互独立．
故P(AB＋ )
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B.
则P(ξ＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
即P(ξ＝0)＝C4＝；
P(ξ＝1)＝C4＝；
P(ξ＝2)＝C4＝；
P(ξ＝3)＝C4＝；
P(ξ＝4)＝C4＝.
故随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
四、探究与拓展
14．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C×2×5
B．C×2×2
C．C×2×5
D．C×2×5
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 D
解析 由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选D.
15．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X＝ξη，求随机变量X的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)．
(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为
P(A1)＝C13＝.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C0×4
＋C4×0＝＋＝，
P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C1×3＋C3×1＝＋＝，
P(X＝4)＝P(A2)＝C22＝.
所以随机变量X的分布列是
X
0
3
4
P
§5 离散型随机变量的均值与方差
第1课时 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
答案 X＝5,6,7.
思考2 X取上述值时，对应的概率分别是多少？
答案 P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝.
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？
答案 ＝5×＋6×＋7×.
梳理 随机变量X的均值
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，
则X的均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr.
(2)均值的意义
均值刻画的是随机变量X取值的“中心位置”．
知识点二 两种特殊随机变量的均值
1．当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其均值为np.
2．当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝n.
1．随机变量X的均值EX是个变量，其随X的变化而变化．( × )
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．( × )
3．均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．( √ )
类型一 离散型随机变量的均值
例1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的分布列和均值；
(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
解 (1)X的可能取值为－300，－100,100,300.
P(X＝－300)＝0.23＝0.008，
P(X＝－100)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝100)＝C×0.82×0.21＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的分布列为
X
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
所以EX＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)．
(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)
＝P(X＝100)＋P(X＝300)＝0.384＋0.512＝0.896.
反思与感悟 (1)求随机变量X的均值的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
②求出X取每个值的概率P(X＝k)；
③写出X的分布列；
④利用均值的定义求EX.
(2)注意运用随机变量均值的性质．
跟踪训练1 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A. B.
C. D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则Eη＝12Eξ＋7，
即Eη＝12＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
例2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，∴EX＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
反思与感悟 如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝n，以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了烦琐的计算过程．
跟踪训练2 在5件产品中含有2件次品，从这5件产品中选出3件所含的次品数设为X，则X的均值为________．
考点 常见的几种均值
题点 超几何分布的均值
答案
解析 方法一 X可能取的值是0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 由题意，N＝5，M＝2，n＝3，
故EX＝＝＝.
类型二 均值的实际应用
例3 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解 (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝.
P(X＝3)＝××＝，
∴顾客中奖的均值
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．
反思与感悟 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
跟踪训练3 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量的相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
4080≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，则应安装发电机多少台？
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解 (1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7.
p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
P＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，EY＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以，EY＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，EY＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值EX等于( )
A. B．2
C. D．3
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 EX＝1×＋2×＋3×＝.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B.
C．1 D．－1
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得EX＝1×＋(－1)×＝0.
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则Eξ的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则Eξ＝p＋1≤.故选B.
4．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且Eξ＝3，则P(ξ＝1)的值是( )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 C
解析 因为ξ～B(n,0.6)，所以Eξ＝n×0.6，
故有0.6n＝3，解得n＝5.
则P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1,2,3,4)个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a的值．
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合
解 (1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×
＝.
(2)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
1．求随机变量的均值的步骤
(1)写出随机变量所有可能的取值．
(2)计算随机变量取每一个值时对应的概率．
(3)写出分布列，求出均值．
2．离散型随机变量均值的性质
(1)E(cX)＝cEX(c为常数)．
(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．
(3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数).
一、选择题
1．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为( )
A．20 B．10 C．5 D．15
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 废品率为，所以EX＝150×＝10.
2．已知ξ～B，η～B，且Eξ＝15，则Eη等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的圴值
答案 B
解析 因为Eξ＝n＝15，所以n＝30，
所以η～B，所以Eη＝30×＝10.
3．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，EX＝3，则a＋b等于( )
A．10 B．5
C. D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 易知EX＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
4．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则Eη等于( )
A. B. C. D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×＋5＝.
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A. B.
C. D.
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 由题意得，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴EX＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．
6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20 B．30 C．25 D．40
考点 离散型随机变量均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 C
解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，
所以X～B，故EX＝80×＝25.
7．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX等于( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15
＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
8．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( )
A．1人 B．2人
C．3人 D．4人
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 C
解析 5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6，故晋级下一轮的大约有3人．
二、填空题
9．已知某一随机变量X的分布列如下表：
X
3
b
8
P
0.2
0.5
a
且EX＝6，则a＝________，b＝________.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 0.3 6
解析 由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由EX＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.
10．设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则EX＝________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 100
解析 由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，∴EX＝300×＝100.
11．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
考点 常见的几种均值
题点 相互独立事件的均值
答案
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
三、解答题
12．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
考点 常见的几种均值
题点 相互独立事件的均值
解 X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
所以EX＝1×＋2×＋3×＝.
13．在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为
X
0
5
25
100
P
所以EX＝0×＋5×＋25×＋100×
＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元．
四、探究与拓展
14．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点，5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则EX＝________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 3
解析 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，
∴Ez＝3，又x＋y＋z＝6，∴X＝x＋y＝6－z，
∴EX＝E(6－z)＝6－Ez＝6－3＝3.
15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解 (1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以EX1＝0×＋2×＋4×＝，
EX2＝0×＋3×＋6×＝.
因为EX1>EX2，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
第2课时 离散型随机变量的方差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
知识点 离散型随机变量的方差
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
思考1 试求EX，EY.
答案 EX＝0×＋1×＋2×＝，
EY＝0×＋1×＋2×＝.
思考2 能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？
答案 不能，因为EX＝EY.
思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
答案 方差．
梳理 (1)离散型随机变量的方差的含义
设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为DX.
(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值就越集中在其均值周围．
(3)参数为n，p的二项分布的方差
当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．
1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × )
2．若a是常数，则Da＝0.( √ )
3．离散型随机变量X的方差与样本数据的方差概念相同．( × )
4．DX的单位是随机变量X单位的平方．( √ )
类型一 求离散型随机变量的方差
例1 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
考点 离散型随变量方差、标准方案的概念与计算
题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算
解 (1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一 由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差DX＝2×＋2×＋2×＝.
方法二 由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
X2的均值EX2＝0×＋1×＝，
所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.
跟踪训练1 已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY.
考点 离散型随变量方差、标准方案的概念与计算
题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算
解 (1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
(2)∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536.
例2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．
考点 三种常见分布的方差
题点 超几何分布的方差
解 X可能的取值为0,1,2,3,4，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
反思与感悟 (1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤
①理解X的意义，写出X可能取的全部值．
②求X取每个值的概率．
③写X的分布列．
④求EX，DX.
(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
考点 均值与方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
解 X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
DX＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
类型二 方差的实际应用
例3 某投资公司经过考察准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和.
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
考点 均值与方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
解 若按项目一投资，设获利X1万元，
则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴EX1＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×
＝35 000，
若按项目二投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
∴EX2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴EX1＝EX2，DX1＜DX2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断．
跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平．
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
解 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为
Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为Eξ＝Eη，Dξ>Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．
1．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列式子：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算
答案 C
解析 由分布列可知，EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；DX＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
答案 B
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则Dξ等于( )
A. B. C. D．5
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案 A
解析 抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝×＝，
则易知满足ξ～B，∴n＝10，p＝，
则Dξ＝np(1－p)＝10××＝.
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
考点 离散型随机变量方差的性质
题点 方差性质的应用
答案
解析 由题意知解得
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
Eξ＝0×＋1×＋3×＝1.
Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量.
一、选择题
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差Dξ等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
考点 三种常用分布的方差
题点 两点分布的方差
答案 D
解析 随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－m
m
所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
2．若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则n，p的值分别为( )
A．12， B．12，
C．6， D．6，
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案 A
解析 由题意，得
解得
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，则Dξ的值为( )
A. B．8 C．12 D．16
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案 B
解析 由题意可知ξ～B，
所以n＝Eξ＝24，所以n＝36.
所以Dξ＝n××＝×36＝8.
4．若数据x1，x2，…，xn的平均数为6，标准差为2，则数据2x1－6,2x2－6，…，2xn－6的平均数与方差分别为( )
A．6,8 B．12,8
C．6,16 D．12,16
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
答案 C
5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P(X1＝xi)
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P(X2＝xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
答案 A
解析 EX1＝EX2＝1.1，DX1＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，DX2＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴DX16．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P
a
若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于( )
A. B．2
C．1 D．0
考点 离散型随机变量方差的性质
题点 方差性质的应用
答案 D
解析 由题意得a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0.
7．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的方差为( )
A．6 B．9
C．3 D．4
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案 A
解析 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B，则X的方差DX＝3××＝，所以Y的方差DY＝32·DX＝9×＝6.
8．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则EY，DY分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案 B
解析 因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.
因此，求得EY＝8－EX＝8－10×0.6＝2，
DY＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.
二、填空题
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ＝________.
考点 离散型随机变量方差的性质
题点 方差性质的应用
答案
解析 由题意得
解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝.
10．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则Dη＝________.
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
答案
解析 由随机变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，得P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－C×(1－p)2＝，易得p＝.由η～B(4，p)，得随机变量η的方差Dη＝4××＝.
11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则DX＝________.
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
答案 3.36
解析 由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝，
则EX＝6×＋9×＋12×＝7.8，
DX＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.
三、解答题
12．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
因此，EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
DX＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.
13．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
解 EξA＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
EξB＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
DξA＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
DξB＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由此可见，EξA＝EξB，DξA故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．
四、探究与拓展
14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为________．
考点 均值、方差的综合应用
题点 求随机变量的均值与方差
答案 9.8
解析 由已知条件和概率的加法公式知，
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)
＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)
＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
15．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，用X表示当天的利润，求X的分布列、均值及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值、方差在实际中的应用
解 (1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80；
当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.
故y关于n的函数解析式为
y＝
(2)①X可取60,70,80，
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
所以X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：当一天购进17枝时，当天的利润Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的均值EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX*§6 正态分布
学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点 正态分布
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：
f(x)＝·exp，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.
1．正态密度曲线图像对称轴为x＝0.( × )
2．正态分布对应的函数在区间(－∞，μ)和区间(μ，＋∞)上为增函数．( × )
3．正态总体N(3,4)的方差为4.( √ )
类型一 正态曲线的图像的应用
例1 如图所示是一个正态分布的图像，试根据该图像写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.由＝，解得σ＝.
于是该正态分布密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
反思与感悟 利用图像求正态分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
跟踪训练1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的分布密度函数的解析式．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值与方差
解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以其图像关于y轴对称，即μ＝0.
由＝，得σ＝4，
故该正态分布的分布密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
类型二 利用正态分布的对称性求概率
例2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
解 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954－0.683)＝0.135 5.
(3)P(X>5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X解 因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 (1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，则该班同学成绩在90分以上的有多少人？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.3%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.15%，设该班有x人，则x·34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%，即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的分布密度函数图像如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 A
解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线：当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
2．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不确定
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 A
解析 根据正态曲线的特点，图像关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
3．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 C
解析 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )
A．997人 B．972人 C．954人 D．683人
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(605．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
解 (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
(2)P(－41．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(Xμ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.
一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ≤4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.4%)
A．4.6% B．13.55%
C．27.1% D．31.7%
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 B
解析 由正态分布的概率公式，知P(－3<ξ≤3)＝0.683，P(－6<ξ≤6)＝0.954，
故P(3<ξ≤6)＝＝＝0.135 5＝13.55%，故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954)
A．2 385 B．2 710 C．4 770 D．3 415
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 D
解析 由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.683，
∴P(0≤X≤1)＝×0.683＝0.341 5，故S≈0.341 5.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 5＝3 415，故选D.
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 C
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.
7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 ∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.683,0.954,0.997.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.683≈41,60×0.954≈57,60×0.997≈60.
8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1 498名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 A
解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X≥108)＝[1－P(88二、填空题
9．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4)，∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.
10．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.2
解析 概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0,2]内的概率为________．
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.477
解析 正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，
∵f(x)的最大值为f(μ)＝＝，∴σ＝1，
∴P(0三、解答题
12．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64＜X≤72)．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P(72结合P(μ－σ(2)因为P(μ－2σ＝0.954.
又因为P(X≤64)＝P(X>96)，
所以P(X≤64)＝×(1－0.954)
＝×0.046＝0.023.
所以P(X>64)＝0.977.
又P(X≤72)＝[1－P(72＝×(1－0.683)＝0.158 5，
所以P(X>72)＝0.841 5，
P(64＝P(X>64)－P(X>72)
＝0.135 5.
13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
四、探究与拓展
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 683
解析 依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.515．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求EX.
(附：≈12.2)
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.683，依题意知X～B(100,0.683)，
所以EX＝100×0.683＝68.3.
滚动训练三(§1～§4)
一、选择题
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则随机变量可以是( )
A．第一次出现的点的种数
B．第二次出现的点的种数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 随机变量的概念
答案 C
2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 B
解析 记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
3．若ξ～B，则P(ξ≥2)等于( )
A. B.
C. D.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 C
解析 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－C0×10－C1×9
＝1－－＝.
4．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P(X＝i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于( )
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案 B
解析 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x＋0.05＋0.1＋0.0y＝0.4，
即10x＋y＝25，
由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5.
故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
5．某人进行射击训练，射击1次中靶的概率为.若射击直到中靶为止，则射击3次的概率为( )
A.3 B.2×
C.2× D.3
考点 同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 C
解析 由题意得，射击3次说明前2次未中，第3次击中，所以射击3次的概率为2×.
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )
A．0.998 B．0.046
C．0.002 D．0.954
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 D
解析 三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知
至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝1－0.046＝0.954.
7．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 C
解析 由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝＝，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C2×1＝.
8．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是，则k的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．3或4
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 D
解析 设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由已知，得P(X＝k)＝，即C×k×5－k＝，解得k＝3或k＝4.
二、填空题
9．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元；则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
答案
解析 ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝＝，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝＝.
10．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率为________．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
答案 1－(1－p)m
解析 由题意知，设电子元件损坏的个数为X，
则X～B(m，p)，则这个仪表不能工作的概率
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)m＝1－(1－p)m.
11.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 (1) (2)
解析 (1)由几何概型概率计算公式可得
P(A)＝＝.
(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝＝＝.由条件概率的计算公式可得P(B|A)＝＝＝.
12．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N＋)，则S4＝2的概率为________．
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案
解析 S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
三、解答题
13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．记X为第二天开始时该商品的件数，求X的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P
四、探究与拓展
14．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，
记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，
记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C×3＝.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C×2××＝.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C×2×2×＝.
(2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.
因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
故按比赛规则甲获胜的概率为.
15．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
∵P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
滚动训练四(§1～§5)
一、选择题
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 随机变量的概念
答案 C
解析 A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
2．设随机变量ξ服从正态分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξA．4 B．3
C．2 D．1
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 B
解析 由P(ξ>c＋2)＝P(ξ3．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.7%)
A．95.4% B．99.7%
C．4.6% D．0.3%
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 B
解析 由X～N知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.5P＝0.997.
4．设X为随机变量且X～B(9，p)，若随机变量X的均值EX＝3，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 D
解析 ∵X～B(9，p)，EX＝3，∴9p＝3，∴p＝，
∴P(X＝2)＝C×2×7＝.
5．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 因为师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为
P＝1－C2C2＝.故选A.
6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 C
解析 设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，P(B|A)＝，而P(A)＝＝，
AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，则P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝×＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于( )
A．6 B．9
C．3 D．4
考点 离散型随机变量方差的性质
题点 方差性质的应用
答案 A
解析 EX＝1×＋2×＋3×＝2.
所以DX＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
所以D(3X＋5)＝9DX＝9×＝6.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则ξ的均值Eξ为( )
A. B.
C. D.
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
答案 D
解析 ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号，
∴ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者．则乙连胜四局的概率为________．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案
解析 P(A|B)＝＝＝.
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
解析 因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又Eξ＝6(1－p)＝2，解得p＝.
三、解答题
12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p，且各次投篮互不影响．
(1)若投篮1次的得分记为X，求方差DX的最大值；
(2)当(1)中DX取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
解 (1)依题意，得X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
∴EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，
DX＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝－2＋，∴当p＝时，DX取得最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.记投篮5次的得分为Y，则Y～B，那么P(Y＝4)＝C×4×＝，
则甲运动员投篮5次得4分的概率为.
13．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；
(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和均值．
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
解 (1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝.
X的分布列为
X
2
3
4
5
P
因此，EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
四、探究与拓展
14．如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8，则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于( )
A．0.752 B．0.988
C．0.168 D．0.832
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 A
解析 P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752.
15．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解 (1)X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C×1×2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＝，
P(X＝100)＝C×3×0＝，
P(X＝－200)＝C×0×3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的均值为
EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
章末复习
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题．
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(x＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成下表
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量X的取值．
(2)准确求出X取每一个值时的概率．
(3)列成表格的形式．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0，i＝1,2，….
(2)p1＋p2＋…＝1.
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝.
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr叫作这个离散型随机变量X的均值．E(X－EX)2是(X－EX)2的均值，并称之为随机变量X的方差，记为DX.
2．意义：均值刻画的是X取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
四、超几何分布与二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．
那么P(X＝k)＝(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX＝n.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次独立重复试验中成功的次数，
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
称为X服从参数为n，p的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的分布密度函数为
f(x)＝exp{－}，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ类型一 条件概率的求法
例1 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种，从而P(M)＝.
记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，
∴当先后两次出现的点数中有5时，
若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，则b＝5,6，从而P(MN)＝.
∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P(N|M)＝＝.
反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率的性质的简单应用
解 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率
P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)由(1)得P(AC)＝，又因为P(C)＝，
所以P(A|C)＝＝＝.
类型二 相互独立事件的概率与二项分布
例2 天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 (1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.
由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为
P＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方差DX＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
①“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
③公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．
(2)二项分布的判定
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
跟踪训练2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
(1)求油灌被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为
P＝C××4＋5，
所以所求的概率为
1－P＝1－＝.
(2)当ξ＝4时，记事件为A，
则P(A)＝C××2×＝，
当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.
则P(B)＝C××3＋4＝，
所以所求概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
类型三 离散型随机变量的均值与方差
例3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)设顾客所获的奖励额为X，
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意得X的所有可能取值为20,60，
P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，
即X的分布列为
X
20
60
P
所以这位顾客所获奖励额的均值为EX＝20×＋60×＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．
如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，
记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的均值EX1＝20×＋60×＋100×＝60.
X1的方差DX1＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的均值EX2＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差DX2＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.
反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)由分布列和均值的定义求出EX；
(5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的均值EX1＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的均值；
(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？请说明理由．
注：①产品的“性价比”＝；
②“性价比”高的产品更具有可购买性．
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)∵EX1＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又由X1的分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.
由解得
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
∴EX2＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
甲厂产品的等级系数的均值为6，价格为6元/件，
其性价比为＝1，
乙厂产品的等级系数的均值为4.8，价格为4元/件，
其性价比为＝1.2>1.
∴乙厂的产品更具有可购买性．
类型四 正态分布的应用
例4 为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为
重量kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合计
包数
1
1
3
5
6
19
34
18
3
4
2
1
2
1
100
经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判．
①P(μ－σ②P(μ －2σ③P(μ－3σ若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级；
(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值EY.
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
解 (1)由题意得
P(μ－σ0.683，
P(μ－2σP(μ－3σ所以该生产设备为丙级．
(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P＝＝，
由题意知Y服从二项分布，即Y～B，
所以EY＝5×＝0.3.
反思与感悟 正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
跟踪训练4 某市去年高考考生成绩X服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550分～600分的人数．
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 ∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，
∴P＝(550＝[P(500－2×50＝(0.954－0.683)＝0.135 5.
故考生成绩在550分～600分的人数约为
25 000×0.135 5≈3 388.
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 D
解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A)＝＝＝.故选D.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝，故选B.
3．某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为( )
A．10 B．9
C．8 D．7
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 ∵数学成绩ξ服从正态分布N(110,102)，
且P(100≤ξ≤110)＝0.34，
∴P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝×(1－0.34×2)＝0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m·k，k＝1,2,3，则m的值为________．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求参数
答案
解析 因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
即m＝1，
所以m＝.
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值EX＝________.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
答案
解析 随机变量X的可能取值是0,1,2,3.
由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝，于是P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－－＝，所以均值EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.
一、选择题
1．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则a的值为( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5 B．6 C．7 D．8
考点 离散型随机变量的可能取值
题点 离散型随机变量的结果
答案 C
解析 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且EX＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：
年降水量X
X<100
100≤X<200
200≤X<300
X≥300
工期延误天数Y
0
5
15
30
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.2
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 B
解析 设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P(B|A)＝＝＝0.5，故选B.
3．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 D
解析 该生各项均合格的概率为××＝.
4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＝1或2 B．a＝±1或2
C．a＝2 D．a＝
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 B
解析 ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B.
5．(2017·福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 A
解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋C0.63＝0.648.
6．命题r：随机变量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ≤4)＝0.6.命题q：随机变量η～B(n，p)，且Eη＝200，Dη＝100，则p＝0.5.则( )
A．r正确，q错误
B．r错误，q正确
C．r错误，q也错误
D．r正确，q也正确
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
答案 D
解析 因为随机变量ξ～N(3，σ2)，所以正态曲线关于x＝3对称，又P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正确的；随机变量η～B(n，p)，且Eη＝np＝200，Dη＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正确的．故选D.
7．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列( )
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
考点 离散型随机变量均值的概率与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)，故选A.
8．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为( )
A. B.
C. D.
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
答案 B
解析 由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的学生人数为0.006×10×50＝3，
∴ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案
解析 出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30(种)，
出现一个5点，共有n(AB)＝5×2＝10(种)，
所以P(B|A)＝＝.
10．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案
解析 方法一 甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.
方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.
11．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利________元．
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 37
解析 设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故EX＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．
12．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种，则每穴至少种________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0)
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 3
解析 记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
根据题意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02.
两边同时取以10为底的对数，得
nlg 0.2所以n>＝≈2.43.
因为n∈N＋，
所以n的最小正整数值为3.
三、解答题
13．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)用X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率P＝＝.
(2)X的所有可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而EX＝1×＋2×＋3×＝.
四、探究与拓展
14．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
解 (1)由题意得，X的所有可能取值为0,500,1 000，则P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1 000)＝××＝，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的均值EX＝500×＋1 000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，
则Eξ＝3×＝，
抽奖所获奖金Y的均值
EY＝E(400ξ)＝400Eξ＝480<520，
故选择方案甲较划算．
15．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)且发生的概率均为.
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
解 若按方案一执行，设收益为X万元，则其分布列为
X
4
－2
P
EX＝4×＋(－2)×＝1(万元)．
若按方案二执行，设收益为Y万元，则其分布列为
Y
2
0
－1
P
EY＝2×＋0×＋(－1)×＝1(万元)．
若按方案三执行，
收益Z＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)．
因此EX＝EY>Z，
又DX＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9，
DY＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×＝.
由以上知DX>DY，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．
所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
