第2章概率学案+滚动训练+章末检测

章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若随机变量X服从两点分布，且(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
答案　0.8
解析　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，
所以P(Y＝－2)＝0.8.
2．袋中有红、黄、蓝三色球各一个，每次从中任取一个，有放回地取三次，则颜色不全相同的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　
解析　若颜色全部相同，包括全红、全黄、全蓝三种，概率为3×3＝，故不全相同的概率为1－＝.
3．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n.若P(1≤X≤3)＝，则n的值为________．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　15
解析　P(1≤X≤3)＝＝，∴n＝15.
4．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，η＝2ξ＋3，V(η)＝3.2，则P(ξ＝2)＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布的分布列求概率
答案　
解析　由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，
∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝.
5．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇到红灯次数的均值是________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　1.5
解析　∵途中遇到红灯次数服从二项分布B(3,0.5)，
∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
6．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　记“甲投球1次命中”为事件A，“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
7．从6名男生、5名女生中任选5人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于2人的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　易知所求概率为＝.
8．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次．则三人中只有1人及格的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　
解析　利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式，可得所求概率为××＋××＋××＝.
9．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，某公司新进了四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要工人照看的概率为________．
答案　0.972 8
解析　“一小时内至多有2台印刷机需要工人照看”的事件有0,1,2台需要照看三种可能．因此，所求概率为C·0.20·0.84＋C·0.21·0.83＋C·0.22·0.82
＝0.972 8.
10．口袋中有5个球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码，则E(X)＝_____________________________________________.
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
答案　4.5
解析　由题意可知随机变量X的可能取值为3,4,5.
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝.
∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
11．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，V(X2)＝，则σ(X3)的值是________．
答案　
解析　因为X1～B(n,0.2)，
所以E(X1)＝0.2n＝2，
所以n＝10.
又X2～B(6，p)，
所以V(X2)＝6p(1－p)＝，
所以p＝.
又X3～B(n，p)，所以X3～B，
所以σ(X3)＝＝＝.
12．设X是一个离散型随机变量，其概率分布如表所示：
X
－1
0
1
P

1－2q
q2
则E(X)＝________.
考点　
题点　
答案　1－
解析　因为随机变量的概率非负，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，
所以
解得q＝1－.
于是，X的概率分布如表所示：
X
－1
0
1
P

－1
－
所以E(X)＝(－1)×＋0×(－1)＋1×
＝1－.
13.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；
第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
14．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论________．(填序号)
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
①甲的产品质量比乙的产品质量好一些；
②乙的产品质量比甲的质量好一些；
③两人的产品质量一样好；
④无法判断谁的质量好一些．
考点　
题点　
答案　②
解析　∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.
∴E(X甲)>E(X乙)，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
16．(14分)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的概率分布和均值．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值与其他知识点的综合
解　(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
随机变量X的概率分布如表所示：
X
0
1
2
3
4
P





因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
17．(14分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的概率分布及均值E(X)．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
解　(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，
则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
∴X的概率分布如表所示：
X
0
1
2
P



∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
18．(16分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如表所示：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　(1)由概率分布的性质，得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
19．(16分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布和均值．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的概率分布为
X
200
300
400
P



故E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
20．(16分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案．
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．根据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为；
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．
解　若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其概率分布为
ξ
4
－2
P


ξ的均值E(ξ)＝4×＋(－2)×＝1.
若按方案二执行，设收益为η万元，则其概率分布为
η
2
0
－1
P



η的均值E(η)＝2×＋0×＋(－1)×＝1.
若按方案三执行，收益y＝10×3%＝0.3，
因此E(ξ)＝E(η)>y.
又V(ξ)＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9，
V(η)＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×＝.
由以上可知V(ξ)>V(η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥．
所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．

2．1　随机变量及其概率分布
学习目标　1.了解随机变量的含义.2.理解随机变量X的概率分布，掌握两点分布.3.会求简单的分布．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　随机变量
思考1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
答案　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
思考2　在一块地里种10棵树苗，成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？
答案　X＝0,1,2,3，…，10.
梳理　(1)随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
(2)随机变量的表示方法
①随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
②随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示．
知识点二　随机变量的概率分布
思考　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？当X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
答案　(1)X＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
(2)X与P的对应关系如下.
X
1
2
3
4
5
6
P






梳理　(1)随机变量X的概率分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示.
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)0－1分布(或两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．
1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)
2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　随机变量的概念
例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
考点　随机变量的概念
题点　随机变量的概念
解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．
反思与感悟　随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1　判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数；
(2)某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
考点　随机变量的概念
题点　随机变量的概念
解　(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm，为定值，因此不是随机变量．
类型二　随机变量的可能取值
例2　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的取值
解　(1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
引申探究
在本例(1)的条件下，若规定取出一个红球赢2元，而取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
解　ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练2　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的结果
解　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
类型三　随机变量的概率分布
命题角度1　分布列性质的应用
例3　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
考点　随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
反思与感悟　利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练3　(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的概率分布表.
X
－1
0
1
P



试说明该同学的计算结果是否正确．
(2)设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下表：
ξ
－1
0
1
P

1－2q
q2
①求q的值；
②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
考点　随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
解　(1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．
(2)①由概率分布的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－.
②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2＝－.
命题角度2　求概率分布
例4　一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的概率分布．
考点　随机变量的概率分布
题点　求随机变量的概率分布
解　随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P(X＝3)＝＝.
因此，X的概率分布如下表：
X
1
2
3
P



引申探究
若将本例条件中5个球改为6个球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变量X的概率分布．
解　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C：事件“X＝3”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC，
从而有P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
3
4
5
6
P




反思与感悟　求随机变量的概率分布的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
(3)按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证．
跟踪训练4　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的概率分布．
考点　随机变量的概率分布
题点　求随机变量的概率分布
解　X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
5
P





1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填序号)
考点　随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　①②③④
解析　根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
2．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p


p
则p的值为________．
考点　随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　
解析　∵p＋＋＋p＝1，
∴p＝.
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验的结果是________．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的结果
答案　一枚3点，一枚2点或一枚1点，一枚4点
解析　点数之和为5，一枚3点，一枚2点或一枚1点，一枚4点．
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X的可能取值有________个．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的取值
答案　17
解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的结果
解　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
1．随机变量的三个特征
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题
(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
(2)在处理随机变量的概率分布时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
(3)求出概率分布后注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确.
一、填空题
1．抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数记为(x，y)，且设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验的结果是______________________．
答案　(1,3)，(3,1)，(2,2)
解析　抛掷一枚骰子，可能是出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以X＝4表示的随机试验的结果是一枚是1点、另一枚是3点或者两枚都是2点，即(1,3)，(3,1)，(2,2)．
2．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　ξ服从两点分布，即P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝1.
又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)，
∴P(ξ＝1)＝.
3．设随机变量X的可能取值为1,2,3，…，n，且取每个值的概率均相同，若P(X＜3)＝0.2，则整数n的值为________________________________________．
考点　
题点　
答案　10
解析　∵P(X＝i)＝，
∴P(X＜3)＝＝0.2，
∴n＝10.
4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________，P(6＜ξ≤14)＝________.
考点　
题点　
答案　　
解析　∵P(ξ＝i)＝，
∴P(ξ＞8)＝×8＝，
P(6＜ξ≤14)＝×8＝.
5．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的结果
答案　21
解析　ξ＝8表示在3个篮球中，一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．
6．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能取值有________个．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的取值
答案　24
解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
考点　随机变量的可能取值
题点　随机变量的取值
答案　－300，－100,100,300
解析　∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
8．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
考点　随机变量概率分布的性质及应用
题点　由概率分布的性质求概率
答案　
解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
9．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
考点　随机变量概率分布的性质及应用
题点　由概率分布的性质求概率
答案　
解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．
∴概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P



∴P＝P(ξ＝1)＝.
10．由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是________．
考点　随机变量概率分布的性质及应用
题点　由概率分布的性质求概率
答案　0.6
解析　由随机变量概率分布的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
11．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X<2)＝________.
考点　随机变量的性质及应用
题点　排列组合在分布列中的应用
答案　
解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
二、解答题
12．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的概率分布．
考点　随机变量的概率分布
题点　求随机变量的概率分布
解　X服从两点分布，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＋＝.
∴X的概率分布如下表：
X
0
1
P


13.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的概率分布．
考点　随机变量的概率分布
题点　求随机变量的概率分布
解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
4
5
6
P






三、探究与拓展
14．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X的概率分布为________．
答案　
X
－1
0
1
P



解析　设黄球的个数为n，则绿球个数为2n，红球个数为4n，球的总数为7n.X＝1,0，－1.
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝.
15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X的概率分布，并求出P(5≤X≤25)的值．
考点　随机变量的概率分布
题点　求随机变量的概率分布
解　(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝.
(2)X的可能取值为0,10,20,50,60.
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
10
20
50
60
P





所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)
＝＋＝.
2.2　超几何分布
学习目标　1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题．
知识点　超几何分布
思考　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)X的所有可能值是什么？
(2)X的概率分布是什么？
答案　(1)0,1,2.
(2)P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
∴X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



梳理　超几何分布
(1)概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．
(2)记法：X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．
(3)含义：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含义：
特别提醒：(1)超几何分布的模型特点
①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分．
②超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”．
(2)超几何分布的特征
①超几何分布的抽取是不放回的．
②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比．
1．超几何分布就是一种概率分布模型．(　√　)
2．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则所拿黑球个数X就服从超几何分布．(　√　)
3．超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．(　√　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　超几何分布求概率
例1　从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．
考点　
题点　
解　设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5.由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为
P(X＝2)＝≈0.385，
即恰好得7分的概率约为0.385.
反思与感悟　解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．
跟踪训练1　在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数)
考点　
题点　
解　设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中奖的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋
＝
＝
≈0.19.
类型二　超几何分布求概率分布
例2　一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的概率分布
解　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.
(2)由题意知，X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




引申探究
在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布．
解　由题意可知η＝0,1，服从两点分布．
又P(η＝1)＝＝，所以η的概率分布如下表：
η
0
1
P


反思与感悟　超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝r)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，r的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2　从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的概率分布及P(X<2)．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的概率分布
解　由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
类型三　超几何分布的综合应用
例3　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的概率分布；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的概率分布
解　(1)由于从10件产品中任取3件的基本事件总数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件个数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3两两互斥，且A＝A1＋A2＋A3，
又因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
反思与感悟　识别超几何分布的三大标准
(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，N－M件乙类(或正品)．
(2)从N件物品中行取n(n≤N)件物品必须采用不放回抽样．
(3)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．
跟踪训练3　袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
考点　
题点　
解　(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意知，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
5
P




(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得P(X＝1)＝＝＝.
2．由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则P(X＝3)＝________.
答案　
解析　由题意知，X～H(6,5,12)，P(X＝3)＝＝.
3．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)
＝＋＋＝.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
5．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P(ξ＝4)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　P(ξ＝4)＝＝.
1．超几何分布的判断
判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的分布列的求法
(1)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率P(X＝r)，从而列出X的概率分布．
(2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．
一、填空题
1．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内各取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝1)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　P(X＝1)＝＝.
2．在12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　3
解析　由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C，可以看出从5名“三好生”中选取了3名．
3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么恰有2个是好的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)，
所以P(X＝2)＝.
4．袋中装有3个红球，2个白球，某人一次从中摸出两个小球，则摸出的两个小球颜色相同的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　P＝＋＝＋＝.
5．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.
6．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X＝r)＝，则r＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　4
解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P(X＝4)＝，∴r＝4.
7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．
8．一批产品共100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取7件，记取得次品的件数为ξ，可知ξ～H(7,5,100)，则H(3；7,5,100)＝________.(用式子表示)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　由超几何分布的定义，可得H(3；7,5,100)＝.
9．已知10个元件中只有3个是A种型号，5个人购买这种元件，每人只买1个，至少有1人买到A种型号元件的概率是________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　这是一个超几何分布，相当于有10件产品，其中有3件不合格品，从中抽取5件，求至少有1件不合格品的概率．易得所求概率为1－＝.
10．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　易知P(X＝1)＝＝.
11．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为________．(用式子表示)
答案　
解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
二、解答题
12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的概率分布；
(2)他能及格的概率．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的概率分布
解　(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
13．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和，求X的概率分布．
解　X的可能取值有：3,4,5,6.
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝＝；
P(X＝5)＝＝＝；P(X＝6)＝＝＝.
故所求X的概率分布为
X
3
4
5
6
P




三、探究与拓展
14．10张奖劵中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是________．
答案　
解析　设随机变量X为中奖人数，X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.
15．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n(2≤n≤5，且n≠3)个，其余的球为红球．
(1)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
(2)在(1)的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的概率分布．
考点　
题点　
解　(1)设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
P(B)＝＝＝，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3(舍去)或n＝4.
所以，红球的个数为3.
(2)ξ的取值为2,3,4,5,6，
且P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的概率分布如下表：
ξ
2
3
4
5
6
P





2.3　独立性
2．3.1　条件概率
学习目标　1.了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1　试求P(A)，P(B)，P(AB)．
答案　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3　P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．
答案　P(A|B)＝.
梳理　(1)条件概率的概念
一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．
(2)条件概率的计算公式
①一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝.
②利用条件概率，有P(AB)＝P(A|B)P(B)．
知识点二　条件概率的性质
1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
2．如果B和C是两个互斥的事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　×　)
2．P(B|A)与P(A|B)不同．(　√　)
3．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　√　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求条件概率
命题角度1　利用定义求条件概率
例1　某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮三级以上的风又下雨的概率是，设A为下雨，B为刮三级以上的风．
求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)．
解　由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则有
(1)P(A|B)＝＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
反思与感悟　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型．
(2)计算P(A)，P(AB)．
(3)代入公式求P(B|A)＝.
跟踪训练1　从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，记事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
命题角度2　缩小基本事件范围求条件概率
例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
引申探究
1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解　甲抽到的数大于4的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
跟踪训练2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.根据分步计数原理得n(A)＝AA＝20，
n(AB)＝A＝12.
所以P(B|A)＝＝＝.
类型二　条件概率的性质及应用
例3　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为AR∪BR，
又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，
得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
反思与感悟　当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
跟踪训练3　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　记事件A＝“最后从2号箱中取出的球是红球”，
事件B＝“从1号箱中取出的球是红球”，
则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
从而P(A)＝P(AB)＋P(A)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　P(B|A)＝＝＝.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　条件概率变形公式的应用
答案　0.665
解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，从这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
答案　0.72
解析　设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
又P(A)＝0.9，P(B|A)＝，
得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.
5．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
答案　
解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝.
1．P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．
2．若事件A，C互斥，则P(A∪C|B)＝P(A|B)＋P(C|B).
一、填空题
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　条件概率变形公式的应用
答案　
解析　P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.
2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝__________________________________________________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　出现点数互不相同的基本事件数为6×5＝30，出现一个5点的事件个数为5×2＝10，所以P(B|A)＝＝.
3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
答案　
解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，
则n(A)＝A，
n(AB)＝A，
所以P(B|A)＝＝.
4．在某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，则P(B|A)＝＝＝，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.
5．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝，B＝，则P(B|A)＝________________________________________________________________________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　P(A)＝＝.∵A∩B＝，
∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，P(A)＝，P(AB)＝×＝，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)＝.
7．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　缩小基本事件范围求条件概率
答案　
解析　红色骰子的点数为4或6共有12个基本事件，其中两颗骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5，6×6共4个基本事件．
所以所求概率为＝.
8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
9．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
答案　
解析　令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．
由题意知n(A)＝C＝84，
n(AB)＝C＝6，
所以P(B|A)＝＝＝.
10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“三个人去的景点不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　由题意知，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝.
∴P(A|B)＝＝＝.
11．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
考点　
题点　
答案　0.5
解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.
二、解答题
12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
13．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)＝A＝20.
又n(A)＝A×A＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝3×2＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝＝＝.
三、探究与拓展
14．先后掷两次骰子(骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件，
∴事件A发生的概率为P(A)＝＝.而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
15．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，所以P(A|B1)＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝.
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
2．3.2　事件的独立性
学习目标　1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　事件的独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，事件B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案　不影响．
思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
答案　P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3　P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
答案　P(AB)＝P(A)P(B)．
梳理　事件独立的定义
一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．
知识点二　事件独立的性质
思考1　若A，B独立，P(AB)与P(A)P(B)相等吗？
答案　相等．因为P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)．
思考2　若A，B独立，那么A与，与B，与相互独立吗？
答案　独立．
梳理　事件独立的性质及P(AB)的计算公式

性质
(1)若A，B独立，且P(A)＞0，则B，A也独立，即A与B相互独立
(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)
概率计算公式
(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)
结论
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
2．必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)
4．“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　事件独立性的判断
例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，
从而事件A与B是相互独立的．
类型二　求相互独立事件的概率
例2　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个独立事件同时发生的概率
解　用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(  )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解　恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
2．若一列火车正点到达计10分，用X表示三列火车的总得分，求P(X≤20)．
解　事件“X≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(X≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件.
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋.
跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个独立事件同时发生的概率
解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
类型三　相互独立事件的综合应用
例3　在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的概率分布．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与概率分布
解　(1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手”，事件B表示“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A与B相互独立，
所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝.
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝＝，
因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P()＝××＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




反思与感悟　概率问题中的数学思想
(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
解　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则
P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
所以甲考试合格的概率为，乙考试合格的概率为.
(2)方法一　因为事件A，B相互独立，
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P( )＝P()P()＝×＝.
则1－P( )＝1－＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法二　因为事件A，B相互独立，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)
＝P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

1．甲、乙两水文站同时做水文预报，若甲站、乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为________．
考点　相互独立事件的定义
题点　独立事件与互斥事件的区别
答案　0.56
解析　P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_________________________________________________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个独立事件同时发生的概率
答案　
解析　设事件A为“甲站预报准确”，事件B为“乙站预报准确”，P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲P乙＝.
3．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
答案　
解析　设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B为“从乙袋中任取一个球，取得白球”．
由题意得P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝，
∵事件A与B相互独立，
∴事件与相互独立．
∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P[(A∩B)∪(∩)]＝P(A∩B)＋P(∩)
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个独立事件同时发生的概率
答案　
解析　由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，，则在这段道路上三处都不停车的概率P＝××＝.
5．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是________．
答案　p1(1－p2)＋p2(1－p1)
解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即AB＝?
概率公式
A与B相互独立等价于P(AB)
＝P(A)P(B)
若A与B互斥，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立
2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.
一、填空题
1．某自助银行设有两台ATM机．在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，，则该客户此刻到达需要等待的概率为________．
答案　
解析　该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P＝×＝.
2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．
据题意可知，P(A)＝＝，P(B)＝＝，
故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
3．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　一道数学难题恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为××＝；②B解出，A，C解不出，概率为××＝；③C解出，A，B解不出，概率为××＝.所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.
4．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)＝________.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)·P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P()＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
5．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2,0.3，则在一小时内有机床需要维修的概率是________．
答案　0.496
解析　所求概率为1－(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.496.
6．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　
解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，
所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
7．投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立与互斥事件的综合应用
答案　
解析　依题意得P(A)＝，P(B)＝，事件A，B中至少有一件发生的概率为1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝1－＝.
8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　
解析　甲队获冠军有两种情形：
甲第1局就赢；甲第1局输，第2局赢，
分别记为A1，A2事件．
则甲队获得冠军为A1∪A2，
则P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝.
9．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　
解析　分别记汽车在甲，乙，丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次为事件BC＋AC＋AB发生，故概率为××＋××＋××＝.
10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.
11．现从一批应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生各项均合格的概率为________．(假设各项标准互不影响)
考点　
题点　
答案　
解析　设事件A为“体型合格”，事件B为“视力合格”，事件C为“其他几项标准合格”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∴P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝.
二、解答题
12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立与互斥事件的综合应用
解　设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.
(1)第3次拨号才接通电话可表示为1 2A3，
于是所求概率为P(12A3)＝××＝.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋1A2＋12A3，
于是所求概率为P(A1∪1A2∪12A3)
＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝＋×＋××＝.
13．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标互相之间没有影响，每人每次射击是否击中目标互相之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率．
考点　
题点　
解　(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，
则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，
且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝3×＋×3＝.
三、探究与拓展
14．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.
答案　0.2　0.25　0.5
15．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的概率分布．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与概率分布
解　记事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A4)＝.
(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)
＝××＝.
(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)＝P(1∪A12∪A1A23)
＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)
＝＋×＋××＝.
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝P(1)＝，
P(X＝2)＝P(A12)＝×＝，
P(X＝3)＝P(A1A23)＝××＝，
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝××＝，
所以X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
P




2.4　二项分布
学习目标　1.了解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一　独立重复试验
思考1　要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？
答案　条件相同．
思考2　试验结果有哪些？
答案　正面向上或反面向上．
思考3　各次试验的结果有无影响？
答案　无，即各次试验相互独立．
梳理　n次独立重复试验的特点
(1)由n次试验构成．
(2)每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与.
(3)每次试验中P(A)＝p＞0.
特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．
知识点二　二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件．
思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)．
答案　B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)，
因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A12 3，1A23，1 2A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22＝0.096.
思考2　试求P(B2)和P(B3)．
答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，
P(B3)＝0.83＝0.512.
梳理　一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q.
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，
其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(　√　)
2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)
3．在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)
4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求独立重复试验的概率
例1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
解　(1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，
则P(A2)＝C×2＝，
P(B2)＝C×1×＝，
由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.
引申探究
若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．
解　记“甲击中1次”为事件A4，记“乙击中1次”为事件B4，
则P(A4)＝C××＝，
P(B4)＝C××＝.
所以甲、乙各击中1次的概率为
P(A4B4)＝×＝.
反思与感悟　独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1　9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子．
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P1，另记有坑需要补种的概率为P2，求P1＋P2的值．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
解　(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为
3＝，
所以甲坑不需要补种的概率为1－＝.
(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为
P1＝C××2＝.
由于3个坑都不需补种的概率为3，
则有坑需要补种的概率为P2＝1－3＝，
所以P1＋P2＝＋＝.
类型二　二项分布
例2　学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的概率分布
解　(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



反思与感悟　(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　由题意可知X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




类型三　二项分布的综合应用
例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　(1)由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C×2×3＝；
P(ξ＝3)＝C×3×2＝；
P(ξ＝4)＝C×4×＝；
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
4
5
P






(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4.
即P(η＝0)＝0×＝；
P(η＝1)＝×＝；
P(η＝2)＝2×＝；
P(η＝3)＝3×＝；
P(η＝4)＝4×＝；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的概率分布如下表：
η
0
1
2
3
4
5
P






(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－5＝.
反思与感悟　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用加法或乘法公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练3　某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
(1)在第一次灯泡更换工作中，求不需更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
(2)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
(3)当p1＝0.8，p2＝0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率．(结果保留两位有效数字)
解　(1)在第一次更换灯泡工作中，不需更换灯泡的概率为p，需要更换2只灯泡的概率为Cp(1－p1)2.
(2)对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为(1－p1)2，在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1－p2)．
故所求的概率为p＝(1－p1)2＋p1(1－p2)．
(3)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况．
换5只的概率为p5(其中p为(2)中所求，下同)；
换4只的概率为Cp4(1－p)．
故至少换4只灯泡的概率为p3＝p5＋Cp4(1－p)．
又当p1＝0.8，p2＝0.3时，p＝0.22＋0.8×0.7＝0.6.
故p3＝0.65＋C0.64×(1－0.6)≈0.34，
即至少需要更换4只灯泡的概率约为0.34.
1．一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　
解析　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C2×＝.
2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　[0.4,1)
解析　由题意知，Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4.
3．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　两次击中目标的概率为P1＝C×2×＝，三次击中目标的概率为P2＝3＝，所以至少有两次击中目标的概率为P＝P1＋P2＝.
4．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　
解析　因为X～B(2，p)，
所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
所以1－(1－p)2＝，
结合05．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的概率分布
解　由题意知ξ～B，
则P(ξ＝0)＝C03＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
P




1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生．
2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式.
一、填空题
1．每次试验的成功率为p(0答案　p3(1－p)7
2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　如图，由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P＝C×2×3＝.
3．在投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　0.648
解析　根据独立重复试验概率公式，得该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.
4．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　
解析　P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝C·6＋C·6＋C·6＋C·6＝.
5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　4
解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4.
6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第3次取球之后停止的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　由题意知，前2次取出的球均为黑球，第3次取得的为白球，故其概率为2×＝.
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．
答案　
解析　甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，
所以P＝C2·＝，
所以比赛以甲三胜一负而结束的概率为.
8．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　
解析　因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又因为Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
9．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　
解析　依题意得所求的概率为C6＋C6＋C6＝.
10．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________.
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．
则P(X＝5)＝C2×2×＝.
11．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率P＝2＋××＋××＝.
二、解答题
12．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)若引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
解　(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，
故该事件的概率为C××4＋5，
故所求的概率为1－＝.
(2)当ξ＝4时，记为事件A，
则P(A)＝C××2×＝.
当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B，
则P(B)＝C××3＋4＝，
故所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
13．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的概率分布
解　(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，
且事件A，B相互独立．
故P(AB＋)
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B.
则P(ξ＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
故随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
4
P





三、探究与拓展
14．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　依题意得质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率为C23＝.
15．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物．
(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X＝ξη，求随机变量X的概率分布．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
解　依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)．
(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为
P(A1)＝C13＝.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C0×4
＋C4×0＝＋＝，
P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C1×3＋C3×1＝＋＝，
P(X＝4)＝P(A2)＝C22＝＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
0
3
4
P



2.5　随机变量的均值和方差
2．5.1　离散型随机变量的均值
学习目标　1.了解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一　离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
答案　X＝5,6,7.
思考2　当X取上述值时，对应的概率分别是多少？
答案　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝.
思考3　如何求每个西瓜的平均重量？
答案　＝5×＋6×＋7×＝.
梳理　离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)数学期望：E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(2)性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
知识点二　两点分布、超几何分布、二项分布的均值
1．两点分布：若X～0－1分布，则E(X)＝p.
2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝.
3．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(　×　)
3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　离散型随机变量的均值
命题角度1　利用定义求随机变量的均值
例1　袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
解　X的所有可能取值为5,6,7,8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝＝；
X＝6时，表示取出2个红球2个白球，
此时P(X＝6)＝＝；
X＝7时，表示取出3个红球1个白球，
此时P(X＝7)＝＝；
X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝＝.
所以X的概率分布为
X
5
6
7
8
P




所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思与感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的概率分布．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1　某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；
(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
解　(1)X的可能取值为－300，－100,100,300.
P(X＝－300)＝0.23＝0.008，
P(X＝－100)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝100)＝C×0.82×0.21＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的概率分布如下表：
X
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
所以E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)．
(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)
＝P(X＝100)＋P(X＝300)＝0.384＋0.512＝0.896.
命题角度2　二项分布与两点分布的均值)
例2　某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮，命中次数Y的均值．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布、两点分布的均值
解　(1)投篮1次，命中次数X的概率分布如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，
E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
引申探究
在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2.求E(η)．
解　E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17.
反思与感悟　(1)常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
①两点分布E(X)＝p；
②二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．
(2)两点分布与二项分布辨析
①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
②不同点：
a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
命题角度3　超几何分布的均值
例3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的均值E(X)．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
解　∵p＝，∴＝，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．
方法一　白球的个数X可取0,1,2.
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
方法二　取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝＝＝.
反思与感悟　(1)超几何分布模型
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
(2)超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.
跟踪训练3　设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X)．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
解　方法一　P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意可知，X服从N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布，
∴E(X)＝＝＝.
类型二　均值的应用
例4　甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．
考点　
题点　
解　(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(1B3)＝P(1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)
＝.
反思与感悟　解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
跟踪训练4　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和均值．
考点　
考点　
解　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)
＝×＋×＝.
故所求概率为
P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




故X的均值为E(X)＝3×＝.
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　1.18
解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的概率分布如下表：
X
1.2
1.18
1.17
P



则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
2．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
P
－p
p

则E(ξ)的最大值为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　
解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，
则E(ξ)＝p＋1≤.
3．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　0.4
解析　E(X)＝np＝40p＝16，得p＝0.4.
4．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．
答案　90
解析　设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B(20,0.9)，Y＝5X.
由二项分布的均值公式得E(X)＝20×0.9＝18.
由随机变量均值的线性性质得E(Y)＝E(5X)＝5×18＝90.
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的概率分布、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值性质的应用
解　(1)ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
4
P





ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
1．求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定离散型随机变量X的取值．
(2)写出概率分布，并检查概率分布的正确与否．
(3)根据公式写出均值．
2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.
一、填空题
1．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　10
解析　废品率为，所以E(X)＝150×＝10.
2．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　0.076 8
解析　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，
故有0.6n＝3，解得n＝5.
则P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝0.076 8.
3．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　
解析　由题意知，X＝2,3，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
则X的概率分布如下表：
X
2
3
P


所以E(X)＝2×＋3×＝.
4．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的概率分布如下表，则m的值为________.
X
1
2
3
4
P

m
n

考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值性质的应用
答案　
解析　由Y＝12X＋7，得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而得E(X)＝，∴E(X)＝1×＋2m＋3n＋4×＝，即2m＋3n＝，m＋n＝1－－＝，解得m＝.
5．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　25
解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.
6．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　
解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
7．抛掷3颗骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数的均值是________．
答案　38
解析　每次试验成功的概率为1－3＝，
成功次数ξ～B，
所以E(ξ)＝54×＝38.
8．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　78
解析　平均成绩为×75＋×80＝78.
9．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均________分．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
答案　1.5
解析　用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，
X服从超几何分布，于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.
10．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　两点分布的均值
答案　0.7
解析　离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
P
0.3
0.7
则E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.
11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　
解析　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.
随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×2＋2××2＝，
P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝，
因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
二、解答题
12．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的概率分布及均值．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
解　X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的概率分布如下表：
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
13．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的概率分布；
(2)随机变量ξ的均值．
解　方法一　(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝4＝.
从而ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
P





(2)由(1)得ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二　(1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．
故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4.ξ的概率分布如方法一．
(2)E(ξ)＝4×＝.
三、探究与拓展
14．某商场举行抽奖促销活动，抽奖的规则：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1个红球可获得资金10元；摸出2个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸1次，乙摸2次．令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，则X的均值是________．
考点　
题点　
答案　3.3
解析　X的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝10)＝×2＋×＝，
P(X＝20)＝×＝，
P(X＝50)＝×＝，
P(X＝60)＝＝.
所以E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝3.3.
15．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的概率分布和均值．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
解　(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
P




随机变量X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
2.5.2　离散型随机变量的方差与标准差
学习目标　1.了解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：
X
0
1
2
P



Y
0
1
2
P



思考1　试求E(X)，E(Y)．
答案　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？
答案　不能，因为E(X)＝E(Y)．
思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
答案　方差．
梳理　(1)离散型随机变量的方差和标准差
设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①方差：V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.
变形公式：V(X)＝pi－μ2.
②标准差：σ＝.
③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．
(2)方差的性质：V(aX＋b)＝a2V(X)．
知识点二　两点分布、超几何分布与二项分布的方差
1．两点分布：若X～0－1分布，则V(X)＝p(1－p)．
2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则V(X)＝.
3．二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．
1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　×　)
2．若a是常数，则V(a)＝0.(　√　)
3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．(　√　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求随机变量的方差
例1　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
考点　
题点　
解　X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的概率分布为
X
1
2
3
4
5
P





由定义知，E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
V(X)＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
反思与感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的概率分布．
(4)由均值的定义求E(X)．
(5)由方差的定义求V(X)．
跟踪训练1　甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的均值和方差．
考点　
题点　
解　(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
∴P(A＋B)＝1－P()＝1－(1－P1)·(1－P2)
＝P1＋P2－P1P2＝0.92，
∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
∴X的概率分布为
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4，
V(X)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48
＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4.
类型二　两点分布与二项分布的方差
例2　某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
考点　三种常用分布的方差
题点　两点分布与二项分布的方差
解　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以V(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，
所以V(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
反思与感悟　解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．
跟踪训练2　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物，某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p.设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的概率分布；
(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解　由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，
P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，V(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
所以P(ξ＝k)＝C·k6－k，k＝0,1，…，6.
故ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P







(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝.
所以需要补种沙柳的概率为.
1．已知随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
P



则下列式子：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确式子的序号为________．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　①③
解析　由概率分布可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；V(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V(ξ)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　
解析　由题意知，ξ～B，V(ξ)＝10××＝.
3．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
答案　　
解析　由题意知，解得
4．已知随机变量X～B(100,0.2)，那么V(4X＋3)的值为________．
考点　
题点　
答案　256
解析　由X～B(100,0.2)知，n＝100，p＝0.2，
由公式得V(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，
因此V(4X＋3)＝42V(X)＝16×16＝256.
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和V(ξ)．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
3
P



E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
V(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．
2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的概率分布；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X).
一、填空题
1．设随机变量X服从二项分布B，则V(X)＝______.
答案　
解析　V(X)＝4××＝.
2．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，V(ξ)＝3，则n，p的值分别为________．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　12，
解析　由题意，得
解得
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为________．
考点　均值、方差
题点　求随机变量的均值与方差
答案　0,1
解析　由题意知，随机变量X的概率分布为
X
－1
1
P


∴E(X)＝(－1)×＋1×＝0，
V(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.
4．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则V(ξ)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　0.196
解析　∵ξ～B(10,0.02)，
∴V(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
5．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差V(X)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故X的概率分布为
X
0
1
P


故V(X)＝×＝.
6．已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
m
n
P

a
若E(ξ)＝2，则V(ξ)的最小值为________．
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差、标准差的计算
答案　0
解析　由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又V(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，V(ξ)取最小值0.
7．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差、标准差的计算
答案　
解析　依题意，X的概率分布为
X
1
2
3
4
5
6
P






故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
V(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
8．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为________．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　60,96
解析　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题意知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，V(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，
V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.
9．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取次品件数记为X，则V(X)的值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意知，次品件数X服从二项分布，即X～B，故V(X)＝np(1－p)＝4××＝.
10．已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
m
n
P

a
若E(ξ)＝2，则V(ξ)的最小值为________．
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　0
解析　由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.
又V(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，
所以当n＝2时，V(ξ)取最小值为0.
11．从一批含有13只正品、2只次品的产品中有放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则V(5X＋1)＝________.
答案　
解析　因为X～B，E(X)＝3×＝，
所以V(X)＝3××＝，
所以V(5X＋1)＝25V(X)＝.
二、解答题
12．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的概率分布、均值和方差．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
解　由题意可知，X的所有可能取值为5,4,3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的概率分布为
X
5
4
3
P



故E(X)＝5×＋4×＋3×＝4，
V(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×
＝.
13．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和4个黑球，随机从中取出2个球．设X为取出的黑球个数，求X的概率分布和标准差．
考点　
题点　
解　由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
所以X的标准差为
＝＝.
三、探究与拓展
14．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则V(X)＝________.
考点　
题点　
答案　3.36
解析　由题意得随机变量X的可能取值为6,9,12.
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝，
则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
V(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.
15．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2个球所得分数之和，求ξ的概率分布；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
解　(1)由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6，
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
所以ξ的概率分布为
ξ
2
3
4
5
6
P





(2)由题意知，η的概率分布为
η
1
2
3
P



所以E(η)＝＋＋＝，
V(η)＝2·＋2·＋
2·＝.
从而可得解得a＝3c，
b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
习题课　离散型随机变量的均值
学习目标　1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
1．对均值的再认识
(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．
(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值．
(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．
2．均值的性质
X是随机变量，若随机变量η＝aX＋b(a，b∈R)，
则E(η)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　放回与不放回问题的均值
例1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
解　(1)方法一　P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的概率分布如下表：

X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知，P(X＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(X)＝＝＝.
(2)由题意知1次取到次品的概率为＝，
随机变量Y服从二项分布Y～B，
∴E(Y)＝3×＝.
反思与感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练1　甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设X表示摸出红球的总次数，求X的概率分布和均值．
考点　
题点　
解　(1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋×C××＝，
P(X＝2)＝×C××＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
类型二　与排列、组合有关的分布列的均值
例2　如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
则P(V＝0)＝，P＝＝，
P＝＝，P＝＝，
P＝＝.
因此V的概率分布如下表：

V
0




P





E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×
＝.
反思与感悟　解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到．
跟踪训练2　某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答．
(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
(2)求某选手抽到体育类题目的次数X的均值．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
解　从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为CCC.
(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为CCC，
所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为＝.
(2)由题意可知X的取值可能为0,1,2.
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
类型三　与互斥、独立事件有关的分布列的均值
例3　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响．假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格为事件B1，B2，
则P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2)
＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质可知，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.
所以其概率分布如下表：
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
反思与感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练3　甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．
考点　常见的几种均值
题点　独立重复事件的均值
解　由题意，X的所有可能值是3,4,5.
则P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝，
P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝.
所以X的概率分布如下表：
X
3
4
5
P



所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
类型四　均值的实际应用
例4　某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布和均值．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的概率分布为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
反思与感悟　解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
跟踪训练4　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的概率分布；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的概率分布为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　np
解析　用电单位X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝________.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　1.75
解析　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15
＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
3．已知随机变量ξ的概率分布为
ξ
－1
0
1
P


m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值性质的应用
答案　2
解析　由概率分布的性质，得＋＋m＝1，即m＝，
所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，
即－a＋3＝，得a＝2.
4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)＝________.
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
答案　
解析　概率分布如下表所示：
ξ
0
1
2
P



所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围是________．
答案　
解析　由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈.
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
一、填空题
1．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　10
解析　E(X)＝n＝15，∴n＝30，
∴E(Y)＝30×＝10.
2．一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目X的均值为________．
考点　常见的几种均值
题点　独立重复事件的均值
答案　2.376
解析　X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064，所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.
答案　100
解析　由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.
4．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支签，设X为这3支签中号码最大的一个，则X的均值为________．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
答案　5.25
解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由均值的定义可求得E(X)＝5.25.
5．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
则甲、乙生产产品中次品数的均值分别为________．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　0.6,0.7
解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)＝________.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　1.48
解析　ξ的概率分布如下表：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
答案　
解析　P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
8．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为8∶1∶1，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是________元．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　1.56
解析　设收寄信件的价格为X，则X的概率分布为
X
1.2
2.4
3.6
P
0.8
0.1
0.1
E(X)＝1.2×0.8＋2.4×0.1＋3.6×0.1＝1.56，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为1.56元．
9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，则该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，那么公司应要求投保人交的保险金为________元．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　(0.1＋p)a
解析　设要求投保人交x元，公司的收益额为随机变量ξ，则P(ξ＝x)＝1－p，P(ξ＝x－a)＝p，
∴E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，∴x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.
10．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(ξ)＝________.(结果用最简分数表示)
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
答案　
解析　由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2，
因此P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
11．已知卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元．若该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的均值是________．(1年按365天计算，结果保留两位有效数字)
考点　
题点　
答案　61
解析　设该个体户每天的获利是随机变量X，则X可能的取值为100，－10，其中P(X＝－10)＝，P(X＝100)＝，所以E(X)＝100×＋(－10)×≈61.
二、解答题
12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的7个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布和均值．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
解　(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的概率分布是
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布和均值．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
解　(1)由已知事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4，则P(A)＝＝.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
则X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



所以E(X)＝＋＝1.
三、探究与拓展
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)为________．
考点　
题点　
答案　
解析　依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6，
设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.
若第一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在第一轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.
15．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布及均值E(ξ)．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　(1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能的取值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的概率分布如下表：
ξ
0
2
4
6
8
P





∴E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
习题课　离散型随机变量的方差与标准差
学习目标　1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用．
1．方差、标准差的定义及方差的性质
(1)方差及标准差的定义：
设离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①方差V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(其中μ＝E(X))
②标准差为σ＝.
(2)方差的性质：V(aX＋b)＝a2V(X)．
2．两个常见分布的方差
(1)两点分布：若X～0－1分布，则V(X)＝p(1－p)；
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　二项分布的方差问题
例1　一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间η的均值与方差．
考点　
题点　
解　(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B，故E(ξ)＝6×＝2，
V(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，
故E(η)＝30E(ξ)＝60，V(η)＝900V(ξ)＝1 200.
反思与感悟　解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若它服从两点分布，则方差为p(1－p)；若它服从二项发布，则方差为np(1－p)．
跟踪训练1　在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差．
考点　
题点　
解　用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2.
因为E(ξ)＝10×0.8＝8，V(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，
所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26，
V(η)＝V(3ξ＋2)＝32×V(ξ)＝9×1.6＝14.4.
类型二　均值、方差在决策中的应用
例2　某投资公司经过考察准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
考点　
题点　
解　若按项目一投资，设获利X1万元，
则X1的概率分布如下表：
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
若按项目二投资，设获利X2万元，
则X2的概率分布如下表：
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)＜V(X2)，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
反思与感悟　离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．
跟踪训练2　已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为ξ，乙射中的环数为η.
(1)求ξ，η的概率分布；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
考点　
题点　
解　(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ，η的概率分布分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的概率分布，可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵V(ξ)∴甲的射击技术好.
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差V(ξ)＝________.
考点　
题点　
答案　m(1－m)
解析　随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
P
1－m
m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
V(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
2．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，V(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.
答案　0.4　0.1　0.5
解析　由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．
考点　
题点　
答案　2,2.4
解析　由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.
因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
4．已知随机变量ξ的概率分布为若E(ξ)＝，则V(ξ)的值为________．
ξ
0
1
x
P


p
考点　
题点　
答案　
解析　由概率分布的性质，得＋＋p＝1，解得p＝.
∵E(ξ)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2.
∴V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＝.
5．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
答案　　5
解析　由独立重复试验的方差公式可以得到
V(ξ)＝np(1－p)≤n2＝，
等号在p＝1－p＝时成立，
所以V(ξ)max＝100××＝25，σmax＝＝5.
1．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．
2．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．
3．作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策．
一、填空题
1．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.
答案　
解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以V(ξ)＝＋×0＋×1＝.
2．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则＝________.
考点　
题点　
答案　(1－p)2
解析　由题意知，V(X)＝np(1－p)，E(X)＝np，
则＝＝(1－p)2.
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则V(2ξ＋3)＝________.
考点　
题点　
答案　32
解析　由题意可知，ξ～B，
∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又V(ξ)＝n××＝×36＝8，
∴V(2ξ＋3)＝22V(ξ)＝32.
4．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________．
考点　
题点　
答案　24
解析　由题意，可得X的所有可能取值为190,150,110，
且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，
P(X＝110)＝＝，
则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，
标准差＝＝24.
5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派________运动员参加较好．(填甲、乙)
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
答案　甲
解析　E(X1)＝E(X2)＝1.1，V(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，V(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴V(X1)6．某省甲、乙两所大学的学生组队参加辩论赛，甲大学推荐3名男生、2名女生，乙大学推荐3名男生、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，训练后队员的水平相当，所以从参加集训的男、女生中各随机抽取3人组成代表队．某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，则X的方差为________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意，得X的所有可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，则X的方差为V(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
7．已知X＝3Y＋，且＝，则＝_______________________________.
考点　
题点　
答案　
解析　由标准差的性质，可得＝＝.
8．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示，其中a,2b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则V(ξ)＝________.
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
考点　
题点　
答案　
解析　由题意，得a＋b＋c＝1，E(ξ)＝c－a＝，a＋c＝4b，因此a＝，b＝，c＝，所以V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
9．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
－p
p

则E(ξ)的最大值为________，V(ξ)的最大值为________．
答案　　1
解析　由概率分布的性质得
所以0≤p≤.
所以E(ξ)＝p＋1，当p＝时，E(ξ)的最大值为.
V(ξ)＝－p2－p＋1＝－2＋，
p＝0时，V(ξ)的最大值为1.
10．事件在一次试验中发生的次数X的方差V(X)的最大值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　X的概率分布为
X
0
1
P
1－p
p
所以V(X)＝p(1－p)＝－2＋≤.
所以V(X)的最大值为.
11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1答案　3
解析　由已知得 
即
解得或
又x1二、解答题
12．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数ξ，η的概率分布分别如下：
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
考点　
题点　
解　甲保护区违规次数ξ的均值和方差分别为
E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
V(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
V(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，V(ξ)＞V(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．
13．在上海世界博览会开展期间，计划选派部分高二学生参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且答对一题得1分，答错1题扣1分，至少得2分才能入选成为宣传员．甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响．用随机变量X表示能够成为宣传员的人数，求X的均值与方差．
考点　
题点　
解　每位同学通过测试需得2分或4分，即答对3道或4道试题．所以通过测试的概率
P＝C3×＋4＝.
因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件．
∵每个人成为宣传员的概率为，
∴X～B，
∴E(X)＝3×＝，V(X)＝3××＝.
三、探究与拓展
14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为________．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　9.8
解析　由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的概率分布为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
V(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
15．记A，B两个投资项目的利润率分别为x1和x2.根据市场分析，可知x1和x2的概率分布分别为
x1
5%
10%
P
0.8
0.2
x2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润(单元：万元)，求y1和y2的方差V(y1)，V(y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
考点　
题点　
解　(1)由题意可知，y1和y2的概率分布分别为
y1
5
10
P
0.8
0.2
y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
∴V(y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
E(y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
∴V(y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝V＋V
＝2V(y1)＋2V(y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
当x＝＝75时，f(x)取到最小值，最小值为3.
滚动训练三(2.1～2.5)
一、填空题
1．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
2．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　　
解析　ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝＝，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝＝.
3．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　0.954
解析　三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知
至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝1－0.046＝0.954.
4．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率为________．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　1－(1－p)m
解析　由题意知，设电子元件损坏的个数为X，
则X～B(m，p)，则这个仪表不能工作的概率
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)m＝1－(1－p)m.
5．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，则师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为________．
答案　
解析　因为师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为
P＝1－C2C2＝.
6．已知随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则V(3X＋5)＝________.
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　6
解析　因为E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
所以V(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
所以V(3X＋5)＝9V(X)＝9×＝6.
7．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　0.048 6
解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　
解析　因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
9．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现有福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：(1)该福利彩票中奖率为50%；(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.为了能够筹得资金资助福利事业，则p的取值范围为________．
答案　
解析　设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5,0，－45，－145，则ξ的概率分布为
ξ
5
0
－45
－145
P
50%
50%－2%－p
2%
p
所以ξ的均值为E(ξ)＝5×50%＋0×(50%－2%－p)＋(－45)×2%＋(－145)×p＝2.5－0.9－145p＝1.6－145p，所以当1.6－145p>0，即010．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则V(η)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　
解析　由随机变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，得P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－C×(1－p)2＝，易得p＝.由η～B(4，p)，得随机变量η的方差V(η)＝4××＝.
11．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是，则k的值为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　3或4
解析　设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由已知，得P(X＝k)＝，即C×k×5－k＝，解得k＝3或k＝4.
二、解答题
12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p，且各次投篮互不影响．
(1)若投篮1次的得分记为X，求方差V(X)的最大值；
(2)当(1)中V(X)取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　(1)由题意，得X的概率分布为
X
0
1
P
1－p
p
∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
V(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝－2＋，∴当p＝时，V(X)取得最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.记投篮5次的得分为Y，则Y～B，那么P(Y＝4)＝C×4×＝，
则甲运动员投篮5次得4分的概率为.
13．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，
记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，
记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C×3＝.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C×2××＝.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C×2×2×＝.
(2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.
因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
故按比赛规则甲获胜的概率为.
三、探究与拓展
14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P
？
！
？
请小牛同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
答案　2
解析　设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，
则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
15．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者服务活动．
(1)所选3人中女生人数为X，求X的概率分布及方差；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解　(1)X的可能取值为0,1,2.
由题意得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，男生甲被选中的种数为C＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C＝4，
所以P(C)＝＝＝，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
章末复习
学习目标　1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．
1．事件概率的求法
(1)条件概率的求法
①利用定义分别求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B)＝.
②借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A|B)＝.
(2)相互独立事件的概率
若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为
Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n，q＝1－p.
2．随机变量的概率分布
(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤
①明确随机变量X取哪些值；
②计算随机变量X取每一个值时的概率；
③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．
(2)两种常见的分布列
①超几何分布
若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．
②二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
3．离散型随机变量的均值与方差
(1)若离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，令μ＝E(X)，
则V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
(2)当X～H(n，M，N)时，
E(X)＝，V(X)＝.
(3)当X～B(n，p)时，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　条件概率的求法
例1　口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　记事件A：第一次取出的球是红球；事件B：第二次取出的球是红球．
(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个，
所以P(A)＝＝.
(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，所以P(AB)＝＝.
(3)利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝＝＝.
反思与感悟　条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1　设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种，从而P(M)＝.
记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，
∴当先后两次出现的点数中有5时，
若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，则b＝5,6，而b＝5，c＝5只能算1种情况，从而P(MN)＝.
∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P(N|M)＝＝.
类型二　互斥、对立、独立事件的概率
例2　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和均值．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥、对立、独立事件的概率问题
解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P( F)＝×＝＝，
P(X＝120)＝P(E )＝×＝，
P(X＝220)＝P(E F)＝×＝＝，
故所求的概率分布如表所示：
X
0
100
120
220
P




E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140.
反思与感悟　在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式
(1)P(A)＝1－P()．
(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
跟踪训练2　A，B，C三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A胜B的概率为0.4，B胜C的概率为0.5，C胜A的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮，A与B；第二轮，第一轮的胜者与C；第三轮，第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮，第三轮的胜者与第二轮的败者．
(1)求B连胜四轮的概率；
(2)求C连胜三轮的概率．
解　(1)要B连胜四轮，则以下这些相互独立事件需发生；
第一轮B胜A，第二轮B胜C，第三轮B胜A，第四轮B胜C.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
故B连胜四轮的概率为0.09.
(2)C连胜三轮应分两种情况：
①第一轮A胜B，第二轮C胜A，第三轮C胜B，第四轮C胜A，
所以C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072；
②第一轮B胜A，第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，
所以C连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.
①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.
故C连胜三轮的概率为0.162.
类型三　离散型随机变量的概率分布、均值和方差
例3　一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的概率分布；
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，V(ξ)．
考点　均值与方差的应用
题点　均值与方差的综合应用
解　(1)由已知得，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，
P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，P(η0＝3)＝，
所以P(η＝2)＝×＝，
P(η＝3)＝2××＝，
P(η＝4)＝2××＋×＝，
P(η＝5)＝2××＝，
P(η＝6)＝×＝.
故η的概率分布为
η
2
3
4
5
6
P





(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝.
因为随机变量ξ～B，
所以E(ξ)＝np＝10×＝，
V(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
反思与感悟　求离散型随机变量的均值与方差的步骤
跟踪训练3　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的概率分布及均值．
考点　均值与方差的应用
题点　概率分布及均值
解　(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是，，.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性，得
P(X＝0)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
类型四　概率的实际应用
例4　某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
考点　分类讨论思想
题点　分类讨论思想
解　(1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)．
三个问题一对两错，包括两种情况：
①前两个问题一对一错，第三个问题错，
得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)．
三个问题两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题对，第三个问题错，
得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题对，前两个问题一对一错，
得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128，
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6＝0.192，
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.
所以ξ的概率分布为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以E(ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984.
反思与感悟　解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．
跟踪训练4　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的概率分布及均值；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
考点　均值与方差的应用
题点　均值与方差的综合应用
解　(1)设顾客所获的奖励额为X，
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意得X的所有可能取值为20,60，
P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，
即X的概率分布为
X
20
60
P


所以这位顾客所获奖励额的均值为E(X)＝20×＋60×＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．
如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，
记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的概率分布为
X1
20
60
100
P



X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60.
X1的方差V(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为
X2
40
60
80
P



X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差V(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为________．
考点　条件概率
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P(B|A)＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　由题意得P(A)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
3．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值E(X)＝________.
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
答案　1.89
解析　由题意知，X的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01，由此可得均值E(X)＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89.
4．设X为随机变量，X～B，若X的方差为V(X)＝，则P(X＝2)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　
解析　由V(X)＝×n＝，得n＝6.
∴P(X＝2)＝C×2×4＝.
5．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点，5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　3
解析　将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，
∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，∴X＝x＋y＝6－z，
∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.
一、填空题
1．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　设事件A在1次试验中发生的概率为p，由题意知，1－(1－p)4＝，∴(1－p)4＝，故p＝.
2．甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　0.8
解析　P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝ 1－0.2＝0.8.
3．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　99.4%
解析　1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.1×0.2×0.3
＝1－0.006＝0.994.
4．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，则比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，则比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案　
解析　方法一　甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.
方法二　因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.
5．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ(元)，则E(ξ)＝________.
考点　常见的几种均值
题点　独立重复事件的均值
答案　1 850
解析　根据题意知，ξ的可能取值为2 450,1 450,450，－550，
且P(ξ＝2 450)＝3＝，
P(ξ＝1 450)＝C12＝，
P(ξ＝450)＝C21＝，
P(ξ＝－550)＝C3＝，
∴E(ξ)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850.
6．变量X的概率分布如表所示，其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则V(X)＝________.
X
－1
0
1
P
a
b
c
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　方差与标准差的计算
答案　
解析　由a，b，c成等差数列知，a＋c＝2b，由概率分布的性质知，a＋b＋c＝1，又E(X)＝－a＋c＝，∴a＝，b＝，c＝.∴V(X)＝2×＋2×＋2×＝.
7．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
8．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　
解析　甲以4比2获胜，则需打六局比赛且甲第六局胜，前五局胜三局，故其概率为C3×2×＝.
9．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利________元．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　37
解析　设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，X的概率分布为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．
10．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
11．某人抛掷一枚硬币，出现正面、反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为______________．
考点　
题点　
答案　
解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
二、解答题
12．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的概率分布；
(2)求ξ的均值．
考点　均值与方差的综合应用
题点　离散型随机变量的分布列及均值
解　(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝2××1＝，
ξ的概率分布为
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
13．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，
求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球的个数ξ的概率分布和均值．
考点　常见的几种均值
题点　二项分布的均值
解　设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”．
(1)P(A)＝＝.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，
所以P()＝＝.
(3)设事件D为“取一次球，取到白球”，
则P(D)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，
则ξ～B.
所以P(ξ＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
E(ξ)＝3×＝.
三、探究与拓展
14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c.已知他投篮一次得分的均值为1，则＋的最小值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意得3a＋2b＝1，所以＋＝(3a＋2b)·＝＋＋≥＋2＝.
15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的均值E(ξ)．
考点　常见的几种均值
题点　二项分布的均值
解　(1)方法一　记小球落入B袋中的概率为P(B)，
则P(A)＋P(B) ＝1.
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
∴P(B)＝3＋3＝，
∴P(A)＝1－＝.
方法二　由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋，∴P(A)＝C3＋C3＝.
(2)由题意，ξ～B，
∴P(ξ＝3)＝C31＝，
∴E(ξ)＝4×＝3.