第三章数学归纳法与贝努利不等式学案

3.1　数学归纳法原理
3.1.1　数学归纳法原理
1.理解归纳法和数学归纳法原理.
2.会用数学归纳法证明有关问题.
自学导引
1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.
2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n取初始值n0时命题成立；
(2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.
基础自测
1.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
解析　f(n)＝＋＋＋…＋
f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D.
答案　D
2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)
A.2k＋1 B.
C.2(2k＋1) D.
解析　n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).
n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).
∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C.
答案　C
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.
解析　a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2.
答案　an＝n2
知识点1　利用数学归纳法证明等式
【例1】 通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明.
－1＋3＝________；－1＋3－5＝________；
－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________.
解　上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，
由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即
－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk
当n＝k＋1时，
－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1)
＝(－1)k＋1(k＋1).
即n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立.
●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
1.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.
【例2】 证明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝.
∴当n＝1时，等式成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时，等式成立，即
＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋
＝＝1－＝右边.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.
解　不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”.
正确的证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立.
(2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，就是
＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋
＝1－＋＝1－＝1－＝右边.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.
●反思感悟：在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.
2.用数学归纳法证明：
…＝ (n≥2).
证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝，等式成立.
(2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，
即…＝
则当n＝k＋1时，
…
＝＝·＝，
即n＝k＋1时，等式成立.
由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立.
知识点2　用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋<2－ (n≥2).
证明　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.
(2)假设n＝k (k∈N*，k≥2)时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2－，
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋
<2－＋
<2－＋＝2－＋－
＝2－，命题成立.
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立.
●反思感悟：(1)由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.
3.求证：1＋＋＋…＋≥ (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，
∴左边≥右边，即命题成立.
(2)假设当n＝k时，命题成立，
即1＋＋＋…＋≥.
那么当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋≥＋
＝＋≥＋
＝＝＝＝.
由(1)(2)知原不等式在n∈N*时均成立.
课堂小结
1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.
2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：
(1)当n＝k＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.
(2)由n＝k推证n＝k＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n＝k时的结论作为条件应用上.
随堂演练
1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证(　　)
A.n＝1成立 B.n＝2成立
C.n＝3成立 D.n＝4成立
解析　因为多边形边数最少的是三角形，故应选C.
答案　C
2.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析　f(n)＝1＋＋＋…＋.
f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋，应选D.
答案　D
3.已知a1＝，an＋1＝，n∈N*，求证：an<2.
证明　(1)n＝1时，∵a1＝，∴a1<2.
(2)设n＝k (k≥1)时，ak<2，
当n＝k＋1时，ak＋1＝<＝2.
故n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)知，n∈N*时，an<2都成立.
基础达标
1.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝(　　)
A.1 B.1或2
C.1，2，3 D.1，2，3，4
解析　经验证当n＝1，2，3时均正确，但当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝38，故选C.
答案　C
2.一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立则(　　)
A.该命题对于n>2的自然数n都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取什么值无关
D.以上答案都不对
解析　由题意n＝2时成立可推得n＝4，6，8…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.
答案　B
3.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k (k∈N*且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有(　　)
A.当n＝4时该命题成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝6时该命题不成立
答案　C
4.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是________.
解析　＋a2＝2(2×2－1)a2，a2＝，
＋＋a3＝3(2×3－1)a3，a3＝，
＋＋＋a4＝4(2×4－1)a4，a4＝，
猜想an＝.
答案　an＝
5.观察下列等式
1＝1，
3＋5＝8，
7＋9＋11＝27，
13＋15＋17＋19＝64，
…，
请猜想第n个等式是________________________.
答案　(n2－n＋1)＋(n2－n＋3)＋…＋[n2－n＋(2n－1)]＝n3
6.求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥2，k∈N*)时命题成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋
>＋
>＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
综合提高
7.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　)
A.1 B.1＋a
C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3
解析　当n＝1时，an＋1＝a2，
∴左边应为1＋a＋a2，故选C.
答案　C
8.已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是(　　)
A.若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
B.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)C.若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)D.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
答案　D
9.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.
答案　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
10.用数学归纳法证明：设f(m)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋且n≥2)，第一步要证的等式是________.
答案　2＋f(1)＝2f(2)
11.求证：＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立.
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
即当n＝k＋1时，等式成立.
根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
12.用数学归纳法证明：当n∈N*时，
(1＋2＋3＋…＋n)≥n2.
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，左边≥右边，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥1，k∈N*)时不等式成立，
即(1＋2＋3＋…＋k)≥k2，
则当n＝k＋1时，
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·

＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＋1
≥k2＋·＋(k＋1)＋1
＝k2＋＋1＋(k＋1)，
∵当k≥2时，1＋＋＋…＋≥1＋＝，
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×
＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)知，当n∈N*时，不等式成立.
3.1.2　数学归纳法应用举例
1.进一步理解数学归纳法原理.
2.会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题.
知识点1　用数学归纳法证明整除性问题
【例1】 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除.
证明　(1)当m＝1时，
a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)
＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除.
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2
＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
显然，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除.
∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除.
即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除.
由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除.
●反思感悟：本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难.这时，可转向用数学归纳法证明.
1.用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1 (n∈N*)能被x2＋3x＋3整除.
证明　(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，
显然命题成立.
(2)假设n＝k (k≥1)时，命题成立，
即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，
则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3).
由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，
即n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)可知原命题成立.
知识点2　探索问题
【例2】 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.
解　取n＝1，＋＋＝，
令>?a<26，而a∈N*，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明：
＋＋…＋>.
(1)n＝1时，已证结论正确.
(2)假设n＝k (k∈N*)时，
＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＋＋＋
＝＋
>＋.
∵＋＝>，
∴＋－>0.
∴＋＋…＋>.
即n＝k＋1时，结论也成立.
由(1)(2)可知，对一切n∈N*，都有
＋＋…＋>.故a的最大值为25.
●反思感悟：探索性问题一般从考查特例入手，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明，体现了从特殊到一般的数学思想.
2.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
解　f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360
猜想：能整除f(n)的最大整数是36.
证明如下：
用数学归纳法.
(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除.
(2)假设n＝k (k≥1)时，f(k)能被36整除，
即(2k＋7)·3k＋9能被36整除.
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数.
∴18(3k－1－1)能被36整除.
∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除.
由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除.
知识点3　用数学归纳法证明几何问题
【例3】 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分.
证明　(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，
而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立.
(2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，
则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，
这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，
每一段都将原来所在的平面一分为二，
故增加了2k个平面块，
共有：(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分.
∴对n＝k＋1也成立.
由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分.
●反思感悟：如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第(k＋1)个圆与其他k个圆的交点个数问题，通常要结合图形分析.
3.证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3) (n≥4).
证明　(1)n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，
四边形有两条对角线，命题成立.
(2)假设n＝k (k≥4)时命题成立，
即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3).
当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为：
(k＋1－3)＋1＝k－1，
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3].
故n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)可知，对n≥4，n∈N*公式成立.
课堂小结
1.用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析.
2.运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错.
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.
随堂演练
1.求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.
证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
设n＝k (k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，知上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)知，对n∈N*，命题成立.
2.设x1、x2是方程x2－2ax＋b＝0 (a，b∈Z)的两个根，求证：x＋x (n∈N)是偶数.
证明　(1)当n＝1时，由韦达定理知x1＋x2＝2a，
而a∈Z，所以2a为偶数，命题成立.
(2)假设n＝k时命题成立，即x1＋x2，…，x＋x，x＋x为偶数，
那么x＋x＝(x＋x)(x1＋x2)－x1x2(x＋x).
假设x＋x，x＋x是偶数，所以，x＋x为偶数，即n＝k＋1时命题成立.
由(1)和(2)知，对n∈N命题均成立.
基础达标
1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为(　　)
A.f(n＋1)－f(n)＝n＋1　　　B.f(n＋1)－f(n)＝n
C.f(n＋1)－f(n)＝2n D.f(n＋1)－f(n)＝1
答案　A
2.n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.n B.n＋1
C.n(n－1) D.n(n＋1)
答案　A
3.设f(n)＝＋＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.
C.＋ D.＋－
答案　D
4.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k≥4)，那么由k到k＋1时，对角线条数增加了________条.
解析　∵f(k)＝k(k－3)，f(k＋1)＝(k＋1)(k－2)，f(k＋1)－f(k)＝k－1.
答案　k－1
5.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n－1是31的整数倍时，当n＝1时，左式等于________.
答案　1＋2＋22＋23＋24
6.已知Sn＝1＋＋＋＋…＋(n>1，n∈N*).
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥2)时不等式成立，即
S2k＝1＋＋＋＋…＋>1＋，
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋…＋>1＋＋
＝1＋＋＝1＋.
故当n＝k＋1时不等式也成立，
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，n≥2，
不等式S2n>1＋都成立.
综合提高
7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成(　　)
A.假设当n＝k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除
B.假设当n＝2k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除
C.假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除
D.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除
解析　由数学归纳的证明思想判断，应选D.
答案　D
8.用数学归纳法证明“A.是正确的
B.归纳假设写法不正确
C.从k到k＋1推理不严密
D.从k到k＋1推理过程未使用归纳假设
答案　D
9.设数列前n项和为Sn，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，并由此猜想出Sn＝________.
答案　　　　　
10.已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，用数学归纳法证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________.
答案　2k
11.平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝个部分.
证明　(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，
而f(1)＝＝2，∴命题成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝个部分.
则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k＋1个平面部分.
∵f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
＝＋k＋1
＝＝
∴当n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)可知，当n∈N*时，命题成立.
12.已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
解　(1)Y6＝{1，2，3，4，5，6}，S6中的元素(a，b)满足：
若a＝1，则b＝1，2，3，4，5，6；若a＝2，则b＝1，2，4，6；
若a＝3，则b＝1，3，6.所以f(6)＝13.
(2)当n≥6时，
f(n)＝(t∈N*).
下面用数学归纳法证明：
①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；
②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立.
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立.
3.2　用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
3.2.1　用数学归纳法证明不等式
3.2.2　用数学归纳法证明贝努利不等式
1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.
2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.
3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
自学导引
1.贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.
2.设α为有理数，x>－1，如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx，当且仅当x＝0时等号成立.
基础自测
1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自然数m的最小值为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.12
解析　显然n＝1时，左边最大为<，
∴m的最小值为8，选A.
答案　A
2.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)
A.n∈N＋ B.n≥4
C.n>4 D.n＝1或n>4
解析　n＝4，24＝42＝16，n＝1时，2>1，
n＝5，25＝32，52＝25，
∴当n>4时，2n>n2成立，故选D.
答案　D
3.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则T与0的关系是________.
解析　∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，
即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0，
∵abc>0，上述不等式两边同时除以2abc，
得T＝＋＋<0.
答案　T<0
知识点1　用数学归纳法证明绝对值不等式
【例1】 设x1，x2，…，xn为实数，证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.
证明　(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，
∴n＝2时命题成立.
(2)设命题n＝k (k≥2)时成立，即
|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，
于是，当n＝k＋1时，
|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|
≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|
≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.
即当n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立.
1.证明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N＋).
证明　(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时，命题成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|.
当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|
＝|sin kθcos θ＋cos kθ·sin θ|
≤|sin kθcos θ|＋|cos kθ·sin θ|
≤|sin kθ|＋|sin θ|
≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.
即当n＝k＋1时不等式成立.
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.
知识点2　用数学归纳法证明平均值不等式
【例2】 设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.
证明　不妨设an≥an－1≥…≥a1>0，
若a1＝an，则a1＝a2＝…＝an，
此时原不等式中等号成立.
设an>a1 (n≥2).
(1)n＝2时，由基本不等式>，
所以命题对n＝2成立.
(2)设n＝k时，不等式成立，
即≥.
记Ak＝，所以有：(Ak)k≥a1a2…ak.
当n＝k＋1时，
因为ak＋1>a1，ak＋1≥a2，ak＋1≥a3，…，ak＋1≥ak，
所以ak＋1－Ak＝
＝>0，
则有ak＋1>Ak.
根据二项式定理及归纳假设得：
＝
＝
＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)k＋…＋
>(Ak)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak)
＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1
＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1.
即>.
由(1)(2)知，对任意的n∈N*命题都成立.
●反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设n＝k时命题成立，证n＝k＋1时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现n＝k＋1时命题所需要的形式.
2.证明：如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n.
证明　(1)当n＝1时，a1＝1，命题成立.
(2)假设当n＝k时，命题成立.
即若k个正数的乘积a1a2…ak＝1，
则a1＋a2＋…＋ak≥k.
当n＝k＋1时，已知k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1满足条件a1a2…ak＋1＝1.
若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1都相等，则它们都是1，其和为k＋1，命题得证.
若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1不全相等，则其中必有大于1的数也有小于1的数(否则与a1a2…ak＋1＝1矛盾).不妨设a1>1，a2<1.
为利用归纳假设，我们把乘积a1a2看作一个数，这样就得到k个正数a1a2，a3，…，ak，ak＋1的乘积是1，由归纳假设可以得到
a1a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1≥k
∴a3＋a4＋…＋ak＋ak＋1≥k－a1a2
∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－(k＋1)
≥a1＋a2＋k－a1a2－k－1
＝a1＋a2－a1a2－1＝－(a1－1)(a2－1)
∵a1>1，a2<1，∴－(a1－1)(a2－1)>0
∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－k－1>0，
即a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1>k＋1，
∴当n＝k＋1时命题成立
由(1)(2)可知，对一切正整数n，如果n个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n成立.
知识点3　用数学归纳法证明柯西不等式
【例3】 证明：|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤ ·.　
证明　(1)当n＝2时，
因为|a1b1＋a2b2|2－(a＋a)(b＋b)
＝(a1b1＋a2b2)2－(a＋a)(b＋b)
＝ab＋2a1b1a2b2＋ab－(ab＋ab＋ab＋ab)
＝－(ab－2a1b1a2b2＋ab)
＝－(a1b2－a2b1)2≤0.
所以|a1b1＋a2b2|2≤(a＋a)(b＋b).
即|a1b1＋a2b2|≤·.
也即n＝2时，柯西不等式成立.
(2)设n＝k (k≥2)时，
|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|
≤·.
则当n＝k＋1时，由三角不等式及归纳假设，
得：|a1b1＋a2b2＋…＋ak＋1bk＋1|
≤|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|＋|ak＋1bk＋1|
≤·＋|ak＋1bk＋1|
≤·

＝·.
由(1)(2)知柯西不等式得证.
●反思感悟：用数学归纳法证明不等式，难点不在于数学归纳法的原理，而在于如何变形.放缩以便于用上假设，再经过变形运算使命题得证.
3.已知a，b为正数，求证：当n为正整数时，≥.
证明　(1)当n＝1时，＝，命题成立.
(2)设n＝k (k≥1)时，命题成立，
即≥，
当n＝k＋1时，＝·
≤·，要证≤，
只须证·≤即可，
由－
＝
＝＝
＝≥0.
∴·≤.
即n＝k＋1时，命题成立.
由(1)，(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立.
知识点4　用数学归纳法证明贝努利不等式
【例4】 设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，
则(1＋x)n>1＋nx.
证明　(1)当n＝2时，由x≠0，知
(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，
因此n＝2时命题成立.
(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，
即(1＋x)k>1＋kx，则当n＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)
＝1＋x＋kx＋kx2
>1＋(k＋1)x.
即n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)，(2)及数学归纳法知原命题成立.
●反思感悟：(1)在证明过程中适当放缩或采用多种方法去尝试.
(2)要注意记忆这种形式.
4.设x>－1，x≠0，证明：>1－，对一切不小于2的正整数n都成立.
证明　∵x>－1，
(1)当x>0时，0<<1，－1<－<0.
(2)当－1|x|，
∵<0，∴－>－x>0>－1，
因此，当x>－1，x≠0时，－>－1，且－≠0，
由贝努利不等式得：＝
>1＋n＝1－.
课堂小结
数学归纳法能证明与正整数n有关的不等式，但并不是所有与正整数n有关的不等式都能用数学归纳法证明.证明不等式的难点在于对命题的变形.在推证n＝k＋1命题成立时，往往利用放缩法通过增加一些项(或舍去一些项)或利用二项式定理后舍去一些项达到满足n＝k＋1时所需要的形式.有时也会利用比较法证明n＝k＋1时命题成立.
随堂演练
1.若an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，求证：证明　(1)当n＝1时，a1＝，<<成立，即1<<2成立，所以当n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k (k≥1)时，对n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋
>＋
>＋(k＋1)＝，
又ak＋1＝ak＋
<＋
＝＋
<＋ ＝，
∴对n＝k＋1，<
ak＋1<成立.
由(1)，(2)知，对一切自然数n∈N*不等式恒成立.
2.设n为大于1的正整数，求证：
…>.
证明　(1)当n＝2时，左边＝＝ ＝ ，
右边＝＝ ＝ ，
所以左边>右边，故命题对n＝2成立.
(2)设命题对n＝k (k≥2)成立，也就是：
…>.
当n＝k＋1时，
…
>·＝
>＝＝.
∴当n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)、(2)知命题对任何不小于2的正整数n都成立.
基础达标
1.利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为(　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
答案　C
2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
解析　1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案　B
3.已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A.2n B.n2
C.22(n－1) D.nn
答案　D
4.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要证明的不等式是____________________.
答案　n＝2时，左边＝1＋＋＝<2＝右边
5.用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2 (n∈N*)时，第一步应验证________________________.
答案　n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝4
6.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，
即n＝2时命题成立.
(2)设n＝k (k≥2)时，命题成立，
即＋＋＋…＋>1，
当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋
>1＋(2k＋1)·－＝1＋.
∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，
∴(2，＋∞)为t的增区间，
∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1，
∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，当n>1时，n∈N*命题都成立.
综合提高
7.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)
A.增加了
B.增加了＋
C.增加了＋但减少了
D.以上各种情况均不对
解析　由n＝k到n＝k＋1，左边多了＋，但却少了.故选C.
答案　C
8.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)
A.2k－1 B.2k－1
C.2k D.2k＋1
解析　由n＝k到n＝k＋1，应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k项.故选C.
答案　C
9.用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n应为________.
答案　1
10.用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于________.
答案　＋＋
11.用数学归纳法证明：
＋＋…＋< (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝<1＝右边，不等式成立.
当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝.
由＋1<2，得<，
即n＝2时，不等式也成立.
(2)假设n＝k (k≥2)时，不等式成立，
即＋＋…＋<.
当n＝k＋1时，两边同加，得
＋＋…＋
<＋
只须证＋<即可.
由于－>
?>
?>＋
?(－1)>.
由于k≥2，上式显然成立.
即n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)、(2)知，不等式对n∈N*都成立.
12.已知等差数列{an}，等比数列{bn}，若a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，且对所有的自然数n恒有an>0，求证：当n>2时，an证明　∵a1≠a2且an>0，故{an}是递增数列，
{an}公差d＝a2－a1，{bn}公比q＝＝.
当n>2时，an(1)当n＝3时，b3－a3＝b1q2－(a1＋2d)
＝－(2a2－a1)＝>0.
故原不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥3)时，不等式成立，即ak则bk＋1－ak＋1＝bk·q－(ak＋d)
＝bk－(ak＋a2－a1)>ak－ak－(a2－a1)
＝>0.即bk＋1>ak＋1.
即n＝k＋1时，命题也成立，
由(1)(2)可知，当n>2时，an本章复习课
1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.
2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.
知识结构
—
知识梳理
1.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k (k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.
3.运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错.
(2)没有利用归纳假设.
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.
典例剖析
知识点1　归纳、猜想、证明问题
【例1】 已知x＋＝2cos θ，
(1)计算x2＋及x3＋的值；
(2)归纳出xn＋ (n∈N*)的值，再用数学归纳法证明.
解　(1)x2＋＝－2
＝22cos2θ－2＝2(2cos2θ－1)＝2cos 2θ
x3＋＝－3，
＝8cos3θ－3×2cos θ＝2cos 3θ.
(2)由(1)猜想xn＋＝2cos nθ (n∈N*)
证明：①当n＝1，2时，由(1)已证
②假设n＝k及n＝k－1时，命题成立，
即xk＋＝2cos kθ，
xk－1＋＝2cos(k－1)θ (k≥2，k∈N*)
则n＝k＋1时，xk＋1＋
＝－
＝4cos kθcos θ－2cos(k－1)θ
＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ
＝2cos(k＋1)θ
∴当n＝k＋1时，命题也成立，由①、②知，对一切n∈N*都有xn＋＝2cos nθ.
知识点2　探索性问题
【例2】 是否存在常数a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？并证明你的结论.
解　假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
＝(an2＋bn＋c)中，
令n＝1，得4＝(a＋b＋c) ①
令n＝2，得22＝(4a＋2b＋c) ②
令n＝3，得70＝9a＋3b＋c ③
由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，
于是，对于n＝1，2，3，都有
1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
＝(3n2＋11n＋10) (*)成立.
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.
假设n＝k时，(*)成立，
即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，
那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，
由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立.
综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切
n∈N*都成立.
知识点3　与数列通项有关的归纳、猜想、证明
【例3】 设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；
(2)当a1>3时，证明对所有n≥1有
①an≥n＋2；
②＋＋…＋≤.
(1)解　由a1＝2，an＋1＝a－nan＋1得：
a2＝a－a1＋1＝3，a3＝a－2a2＋1＝4
a4＝a－3a3＋1＝5
由此可推测数列{an}的一个通项公式是an＝n＋1.
(2)证明　①当n＝1时，a1>3＝1＋2，不等式成立.
假设n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2
当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1
≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3
即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立.
∴an≥n＋2对于n∈N*都成立.
②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知
当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1
＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1
≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1
ak＋1≥2(ak－1＋1)，即≥2
∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)，≤·(k≥2)
＋＋…＋
≤
＝≤≤.
知识点4　用数学归纳法证明三角等式
【例4】 用数学归纳法证明
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n (n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，左边＝tan α·＝
右边＝－2＝－2＝，等式成立.
(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N*)等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα
＝－k
则当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α(*)
由tan α＝tan[(k＋1)α－kα]＝
得tan kαtan(k＋1)α＝－1.
代入(*)式，得
右边＝－k＋－1
＝－(k＋1)，
即tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α＝－(k＋1).
这就是说，当n＝k＋1时等式成立.
根据(1)(2)可知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立
基础达标
1.如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A.P(n)对所有的正整数n成立
B.P(n)对所有的正偶整数n成立
C.P(n)对所有正奇整数n成立
D.P(n)对所有比1大的自然数n成立
答案　B
2.利用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)
A.增加了一项
B.增加了两项和
C.增加了一项，并减少了
D.增加了两项和，并减少了
答案　D
3.用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是(　　)
A. B.＋cos α
C.＋cos α＋cos 3α D.cos α
答案　B
4.平面上有n条直线，其中任意三条不平行，任意两条不共线，则这n条直线把平面分成________个部分.
答案　＋1
5.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
答案　＋＋…＋
6.n∈N，求证：4·6n＋5n＋1－9能被20整除.
证明　(1)当n＝1时，4·6n＋5n＋1－9＝40，能被20整除，即n＝1时命题成立.
(2)设n＝k时命题成立，即4·6k＋5k＋1－9能被20整除.
设4·6k＋5k＋1－9＝20m(m为整数).
∴－9＝20m－4·6k－5k＋1.
∴4·6k＋1＋5k＋2－9
＝4·6k＋1＋5k＋2＋20m－4·6k－5k＋1
＝20(6k＋5k＋m)，
∴4·6k＋1＋5k＋2－9能被20整除.
∴当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)、(2)，知对n∈N，命题成立.
综合提高
7.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生用数学归纳法证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即则当n＝k＋1时，左边＝＝<＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证明中(　　)
A.过程全部正确
B.n＝1时验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
8.设平面内有几条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(x)，则f(x＋1)与f(k)的关系为(　　)
A.f(k＋1)＝f(k)＋k－1
B.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
C.f(k＋1)＝f(k)＋k
D.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
答案　C
9.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假设n＝k时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，应添加的辅助项为________.
答案　11×122k＋1－11×122k＋1
10.用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：
(1)n＝1时，1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3).
∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数的积，
∴能被6整除，故n＝k＋1时命题成立.
综合(1)、(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.
这种证明情况________.
答案　未用上归纳假设，不是数学归纳法
11.求证：cos x＋cos 3x＋…＋cos(2n－1)x＝ (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝cos x，右边＝＝cos x，等式成立.
(2)假设n＝k (k≥1)时，
cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＝成立.
当n＝k＋1时，
cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＋cos(2k＋1)x
＝＋cos(2k＋1)x
＝(sin 2kx＋2sin xcos(2k＋1)x)
＝(sin 2kx＋sin(2k＋2)x－sin 2kx)＝，
∴对n＝k＋1时，等式成立.
由(1)，(2)知，对一切自然数n∈N*，等式均成立.
12.已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn(1)解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减；
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞).
当x>0时，f(x)令x＝，得1＋(2)解　＝1·＝1＋1＝2；
＝·＝2·2＝(2＋1)2＝32；
＝·＝32·3＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n. ②
下面用数学归纳法证明②.
(ⅰ)当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立.
(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，②成立，即＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)ak＋1，由归纳假设可得
＝·
＝(k＋1)k(k＋1)＝(k＋2)k＋1.
所以当n＝k＋1时，②也成立.
根据(ⅰ)(ⅱ)，可知②对一切正整数n都成立.
(3)证明　由cn的定义，②，均值不等式(推广)，bn的定义及①得
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(a1)＋(a1a2)＋(a1a2a3)＋…＋(a1a2…an)
＝＋＋＋…＋
≤＋＋＋…＋
＝b1＋b2
＋…＋bn·
＝b1＋b2＋…＋bn
<＋＋…＋＝a1＋a2＋…
＋an即Tn