高中数学重难点专题突破
专题三 三视图问题解题策略
【高考地位】
在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题. 在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题. 因此，牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.
【知识要点】
一、三视图相关问题
1、画物体的三视图时,要符合如下原则：长对正,高平齐,宽相等.
2、要求：能看见的轮廓线和棱用实线，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
3、位置：俯视图安排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图的正右方.
一、三视图的还原
【典例分析】
类型一 三视图的识别与还原问题
【例1】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
A B C D
【例2】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )
A． B． C． D．
类型二 以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题
【例3】设某几何体的三视图如左下图(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为 .
【例4】如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A．6 B．6 C．4 D．4
【例5】已知一个四棱锥的三视图及有关数据如下左图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例6】如上中图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例7】设某几何体的三视图如上右图(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为 .
【课后练习】
选择题
1．如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )
A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )
3．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
4．如左下图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )
A． B． C． D．
5．如右上图是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
6．如左下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8．已知点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上．以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是( )
二、填空题
9．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．
10．棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如左下图所示,那么该几何体的体积是
某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为 .
12．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 .
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
9、 . 10、 . 11、 . 12、 .
专题三 三视图问题解题策略参考答案
【例1】【答案】C
【解析】过点A、E、C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图，则该几何体的左视图为C，所以C选项是正确的。
【例2】【答案】A
【解析】正视图个侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个园，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线，故选A。
【例3】【答案】4
【解析】正视图上的最长线段为AB, AB上的E点竖直向上移动得到定点G.
侧视图上的最宽线段是CD,CD上的C点竖直向上移动得到定点H.分别画虚线，
虚线的交点为俯视图上的F点。即将F点竖直向上移动2个单位。
这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于×2×4×3＝4
【例4】【答案】B
【解析】由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示．其中面ABC⊥面BCD，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取BC的中点M，连接AM，DM，则DM⊥面ABC，在等腰△BCD
中，BD＝DC＝2，BC＝DM＝4，所以在Rt△AMD中，AD＝＝＝6，又在Rt△ABC中，AC＝4<6，故该多面体的各条棱中，最长棱为AD，长度为6，故选B.
【例5】【答案】C
【解析】由题意得四棱锥的高为，底面积为4，所以体积为：【例6】【答案】D
另解：将多面体补全为一个直三棱锥，可根据球的性质找到球心，并计算出球的半径为，所以球的表面积是。
【例6】【答案】
【解析】在长方体中还原出该多面体如图所示,该多面体为是一个长方体切去两个三棱锥.
【答案】B
【解析】正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形(长为3的边横放),其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形(长为5的边横放),其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②;俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形(长为3的边横放),其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③,故选B.
2．【答案】A
【解析】B的侧视图不对，C的俯视图不对，D的正视图不对，排除B、C、D，A正确．
3．【答案】C
【解析】由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C.
4．【答案】A
【解析】在正方体中还原出该四面体如图CA1EC1所示,可求得该四面体的表面积为8+82+46.
5．【答案】A
【解析】本题很难直接看出棱锥的底面积与高，但通过观察可看出此棱锥可能由正方体（棱长为2）通过切割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕．进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形，宽，长，因为平面，所以平面平面，过作的垂线，则有平面，即高，所以棱锥的体积为．
6．【答案】B
【解析】在正方体中还原出该多面体如图所示,该多面体为四棱锥.
7．【答案】C
【解析】在正方体中还原出该多面体如图所示,可得该多面体的表面积为正方体表面积的一半加上一个边长为的正六边形的面积.
8．【答案】C
【解析】当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M、N、Q、P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.故选C.
9．【答案】①②③
【解析】如图1所示，直三棱柱ABE -A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC -A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD -A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图四边形ABCD是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
10．【答案】4
【解析】由三视图可知,该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1
被平面AEC1F所截得到的下半部分几何体(E,F分别是BB1与DD1的中点),
如图所示,故该几何体的体积为V=×2×2×2=4.
11．【答案】
【解析】在长方体中还原出该多面体如图所示,该多面体为是一个直三棱柱切去一个三棱锥.
12．【答案】
【解析】在正方体中还原出该多面体如图所示.
课件24张PPT。三视图问题解题策略主讲与设计：李君布置视图位置: 正视图 侧视图
俯视图
原则: 长对正,高平齐,宽相等.
要求：能看见的轮廓线和棱用实线，
不能看见的轮廓线和棱用虚线
表示。宽 侧视图高高宽 ★三视图相关知识点★三视图还原方法1、简单的三视图直接还原。2、复杂的三视图在正方体或者长方体内还原。三线交汇得顶点认清垂直与平行关系正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( ) A B C D 【例题1】C“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )【例题2】 A．a , b B．a , c C．c , b D．b , d A设某几何体的三视图如左下图(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为 m3．【例题3】222331正视图侧视图俯视图4如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )【例题4】A．6 B．6 C．4 D．4B如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )【例题4】A．6 B．6 C．4 D．4B如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )【例题4】A．6 B．6 C．4 D．4B如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )【例题4】A．6 B．6 C．4 D．4B最长的棱是AMM已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )【例题5】A． B． C． D．C已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )【例题5】A． B． C． D．C已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )【例题5】A． B． C． D．C已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )【例题5】A． B． C． D．C如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )【例题6】A． B． C． D．D设某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ．【例题7】★三视图还原方法1、简单的三视图直接还原。2、复杂的三视图在正方体或者长方体内还原。三线交汇得顶点认清垂直与平行关系多项式的展开式及展开式
中的特定项主讲与设计：李君多项式乘以多项式法则复习回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再合并同类项. 的展开式有多少项？应用原理12312313 在下列三个盒子中各取一球，有多少种不同的取法？的展开式原理应用bcabcabca……bcan 有n个盒子，每个盒子都中装有3个不同的球，在每个盒子中各取一球，怎么取？的展开式同理推导bcan 有n个盒子，每个盒子都中装有4个不同的球，在每个盒子中各取一球，怎么取？dbcadbcad……的展开式中的常数项为 .典例分析1答案解析注意事项 在展开的过程中能得到常数有情况有三种，要考虑全面；
要先观察多项式是否可以化简，往往化简后再计算要容易很多。如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )【例题6】A． B． C． D．
