高中数学重难点专题突破
专题一 数列求和
【高考地位】
数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等/数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。
【典例分析】
方法一 公式法求和
1、等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
【例1】(1)1+4+7+10+ …+(3n+4)+(3n+7)等于( )
(2)等比数列1，21，22，23，…，263 的所有项的和是( )
A. 264 B.263－1 C.264＋1 D.264－1
(3)数列 a, a2, a3, … , an的前n项和为( )
A. / B. 0 C. n D.以上都不对
(4)等比数列{an}的前n项和Sn=2?3n+a，则a等于( )
A. －2 B.1 C.0 D. 3
方法二 分组法与并项法求和
【例2】若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,求数列{an}的前n项和.
【例3】求和：
【例4】若an=n(n+1), ，求Tn.
/方法三 裂项相/消法求和
【例5】已知：数列，求{an}的前n项和。
【例6】求数列前n项和.
【例7】求数列前n项和.
方法四 错位相减法求和
【例8】求数列前n项和.
【课后练习】
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1 B． C． D．
2．数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝( )
A．－495 B．765 C．1080 D．3105
3．＋＋＋…＋等于( )
A． B． C． D．
4．数列{an}的通项公式为an＝，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于( )
A．6 B．7 C．48 D．49
5．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝( )
A．(2n－1)2 B. C．4n－1 D.
6．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24 B．48 C．66 D．132
7．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
A. B．6 C．10 D．11
8．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
9．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．0 B．100 C．－100 D．10200
10．已知数列2015,2016,1，－2015，－2016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项和S2016等于 ( )
A．2008 B．2010 C．1 D．0
11．已知在数列{an}中，a1＝1，nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，则a2016＝( )
A. B. C. D.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，下列关于an及Sn的叙述中正确的是( )
A．an与Sn都有最大值 B．an与Sn都没有最大值
C．an与Sn都有最小值 D．an与Sn都没有最小值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
14．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝______.
15．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn为________．
16．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝________.
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13、 14、 .
15、 16、 .
填空题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
17．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．已知公差不为零的等差数列{an}，满足a1＋a3＋a5＝9，且a1，a4，a16成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
专题一 数列求和参考答案
1、答案 B
解析 因an＝－，∴S5＝1－＋－＋…＋－＝.
2、答案 B
解析 由a1＝－60，an＋1＝an＋3可得an＝3n－63，
则a21＝0，|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20＝765，故选B.
3、答案 B
解析 解法一：令Sn＝＋＋＋…＋，①
则Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②，得
Sn＝＋＋＋…＋－＝－.
∴Sn＝.
故选B.
解法二：取n＝1时，＝，代入各选项验证可知选B.
4、答案 C
解析 将通项公式变形得：
an＝＝＝－，
则Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
由Sn＝6，则有－1＝6，∴n＝48.
5、答案 D
解析 记Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
当n＝1时也满足，所以{a}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以a＋a＋…＋a＝＝，故选D.
6、答案 D
解析 设{an}公差为d，∵a9＝a12＋6，∴a1＋8d＝(a1＋11d)＋6，
∴a1＋5d＝12，即a6＝12.
∴数列{an}的前11项和S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋(a5＋a7)＋a6＝11a6＝132.
7、答案 B
解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，
即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，
S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.
8、答案 D
解析 当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，
∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，
∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)
＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝＝30×61＝1830.
9、答案 B
解析 由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.
10、答案 D
解析 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1，
故数列的前8项依次为2015,2016,1，－2015，－2016，－1,2015,2016.
由此可知数列为周期数列，且周期为6，S6＝0.∵2016＝6×336，∴S2016＝0.
11、答案 B
解析 ∵nan＝a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，
∴(n－1)an－1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－2)an－2(n≥3)．
两式相减，得nan－(n－1)an－1＝(n－1)an－1(n≥3)，
即nan＝2(n－1)an－1，∴＝2×(n≥3)．
易知a2＝，故a2016＝a1×××…×＝22014×××…×＝＝.
12、答案 C
解析 解法一：因为an＝，所以当n＝1,2,3,4,5时，an<0；
当n≥6时，an>0.故Sn有最小值，且为S5，没有最大值．
由an＝知，当n＝1,2,3,4,5时，an<0，
且此时数列单调递减，当n≥6时，an>0，且此时数列单调递减，
所以an的最小值为a5，最大值为a6.
解法二：画出函数y＝的图象，
点(n，an)为函数y＝图象上的一群孤立点，
为函数图象的对称中心，故S5最小，a5最小，a6最大．
13、答案 6
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝6，a3＋a5＝0，
∴6＋2d＋6＋4d＝0，∴d＝－2，∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.
14、答案 50
解析 因为{an}为等比数列，
所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5.
于是ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2a3…a20)．
而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，
因此ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln e50＝50.
15、答案 3n－1
解析 ∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，
∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，∴Sn＝＝3n－1.
16、答案 －
解析 a2＝－＝－＝－，a3＝－＝－＝－2，a4＝－＝－＝1，
因此a4＝a1，依次下去，得到an＋3＝an，因此数列{an}是以3为周期的周期数列，
∵2014＝3×671＋1，∴S2014＝671×(a1＋a2＋a3)＋a1＝671×＋1＝－.
17、解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2.
所以Tn＝3n·2n＋2.
18、解 (1)∵a1＋a3＋a5＝9，∴3a3＝9，∴a3＝3.
∵a1，a4，a16成等比数列，∴a＝a1a16.
∴(3＋d)2＝(3－2d)(3＋13d)．
∵d≠0，∴d＝1，∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)＝n.
(2)由(1)得bn＝＝
＝
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝－.
课件20张PPT。数列求和策略一等差等比数列求和与分组求和法等差数列前n项和公式等比数列前n项和公式 基础知识回顾等差数列求和 注意问题:解析 ? 题组一 公式的直接运用1.1+4+7+10+ …+(3n+4)+(3n+7)等于（ ）公式中的n表示数列的项数。C等比数列求和注意问题:解析 2.等比数列1，21，22，23，…，263 的所有项的和是（ ）
A. 264 B.263－1 C.264＋1 D.264－1 公式中的n表示数列的项数。D ? 题组一 公式的直接运用等比数列求和在利用等比数列求和公式时要注意q的取值。注意问题:解析 3.数列 a, a2, a3, … , an的前n项和为（ ）
A. B. 0 C. n D.以上都不对D ? 题组一 公式的直接运用等比数列求和当 时，等比数列的求和公式的形式是：注意问题:解析 4.等比数列{an}的前n项和Sn=2?3n+a，则a等于（ ）
A. －2 B.1 C.0 D. 3 A ? 题组一 公式的直接运用等差数列求和注意问题:5.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn：(1)a1=5, an=95,n=20;(2)a1=100, d=－2,n=50.等差数列求和有两个公式，要根据条件选择适当的公式来解题。解析 答案（1）（2）S10=1000S50=2550 ? 题组二 公式的灵活运用裂项相消法的规律注意问题:解析6.根据下列各题中的条件，求相应的等比数列{an}的Sn：答案（1）S6=189（2） ? 题组二 公式的灵活运用等比数列求和有两个公式，要根据条件选择适当的公式来解题。等差数列求和注意问题:解析7.等差数列{an}的前m项的和为3，前2m项的和为10，则它的前3m项的和为（ ）
A.13 B.17 C.21 D.26C ? 题组三 公式与性质的综合运用等比数列求和注意问题:解析 8. 等比数列{an}的前n项的和为Sn，已知S4=3，S8=12，则S16= .120 ? 题组三 公式与性质的综合运用等差数列求和注意问题:解析 9.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27,则S9= .99在等差数列{a}n中:若
则 ，
若 ，则
? 题组三 公式与性质的综合运用等差数列求和等差数列中对称位置上的两项和相等，都等于第一项与最后一项的和。注意问题:解析 10.一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n项和为 . ? 题组三 公式与性质的综合运用321公式的直接应用
注意：数列的项数公式的灵活运用
注意：公式的选择
公式与性质的综合运用
注意：等差、等比的性质的运用
分组求和注意问题:解析例1、若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,求数列{an}的前n项和. 把数列{an}分成一个等差数列与一个等比数列，分别求和。答案分组求和注意问题:解析 例2、求和： 在利用等比数列求和公式时，一定要对公比是否等于±1进行分类讨论。答案 并项求和解析 例3、若an=n(n+1), ，求 . 注意问题:把相邻的两项合为一组求和，然后再整体求和，要对n的奇、偶进行分类讨论。答案 1、若数列{an}的通项公式为 ,求数列{an}的前n项和. 实战练习解析 答案 实战练习2、求和： 解析 答案 分组求和法并项求和法 小 结 将一个数列分成若干个等差数列或等比数列，分别求和后再合并化简。 把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的数列，此时数列中的项可能正、负交替，或成周期性。再 见课件14张PPT。裂项相消法与错位相减法数列求和策略二裂项相消法求和通过分母有理化对通项公式裂项，相消时前后各剩下一项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和例1.已知：数列 ，求 的前
n项和。裂项相消法求和?裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下一项。 注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和裂项相消法求和?裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下两项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和例3裂项相消法求和？无法抵消中间项，
不能裂项相消.裂项相消法的规律裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下一项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和 已知：等差数列 ，公差为d，求
的前n项和。裂项相消法的规律裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下两项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和 已知：等差数列 ，公差为d，求
的前n项和。裂项相消法的规律裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下三项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和 已知：等差数列 ，公差为d，求
的前n项和。裂项相消法的规律裂项时需要在前面乘以 ，使得左右两边相等。相消时前后各剩下一项。注意问题:解析 由数列通项公式得前n项和 已知：等差数列 ，公差为d，求
的前n项和。已知：等差数列
，
公差为d基本原理 数列的通项形式是： 即：等差数列与等比数列的乘积，其中a是等差数列的公差，q是等比数列的公比。(1)-(2)得：注意问题:错位相减后得到n+1项，除去第一项与最后一项，剩下的n-1项是等比数列。典例分析注意问题:解析 例4、求数列： 的前n项和. 答案 通过改变指数来得到同类项，再合并同类项得到最简形式。实战练习解析 注意问题:通过改变指数来得到同类项，再合并同类项得到最简形式。设 ，求数列 的前n项和.答案 第一步第二步第三步第四步第五步判断通项是否满足 ，其中{bn}是等差数列，
{cn}是等比数列.写出求和的展开式 . 在第二步的基础上,等式左右两边同时乘以等边数列的公比q. 把第二步和第三步的两式相减，对中间的n-1项等比数列求和，化简. 把 的系数 除过去，再整理、化简，得到最简结果. 错位相减法的步骤
