高中数学重难点专题突破
专题二 球的外接与内切
【高考地位】
球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．
【知识要点】
一、外接球的问题：
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
（一）由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）。这类四面体共2个，对棱的长度分别为长方体面对角线的。
②四个面都是直角三角形（如图二）。这类四面体共24个，它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，
③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）。这类四面体共8个，两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高
④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）。这类四面体共16个，它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线。
图一 图二 图三 图四
（三）由性质确定球心
利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
（一）内切球的性质
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
（二）棱锥的内切球（分割法）
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
【典例分析】
【例1】一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面图形有可能是下列中的 .
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【例2】如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，则两球半径之和是 .
【例3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离是 ．
【例4】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切(如图).则这个正三棱锥的表面积为 ，这个正三棱锥内切球的表面积是 .
【例5】在三棱锥A－BCD，AB＝CD=AD＝1 ，BD＝，BD⊥CD，面ABD⊥面BCD,求该三棱锥外接球的体积．
【例6】四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为_______.
【例7】在三棱锥S－ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的平面角的余弦值是，若点S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是 ．
【例8】 把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )
A．l0cm B．10 cm
C．10cm D．30cm
【课后练习】
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
2．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C. D．
3．已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
4．矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )
A． B． C． D．
5．设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
6．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )
A． B． C．4 D．
7．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B． C．6π D．
8．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
9．已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
10．已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,, 若四面体P－ABC的体积为,则该球的体积为( )
B．
C． D．
11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为( )
A． B.
C. D.
12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是(,则这个三棱柱的体积为 .
14．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 ．
15．正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最大值为 .
16．表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为 ．
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13、 14、 .
15、 16、 .
专题二 球的外接与内切参考答案
【例1】【答案】(1)(2)(3)(5)(6)
【例2】【答案】
【例3】【答案】．
【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，如右上图，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．
【例4】【答案】，
【解析】底面正三角形中心到一边的距离为,
则正棱锥侧面的斜高为.∴S侧＝.
∴S表＝S侧＋S底＝.
(2)设正三棱锥P-ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，
而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP-ABC＝VO-PAB ＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝ S表·r＝.
又∵VP-ABC＝， ∴，
得 ∴S内切球＝.
【例5】【答案】
【例6】【答案】
【例7】【答案】
【例8】【答案】B
【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O，过O作BP的
垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为20，所以
AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，
在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故选B.
1．【答案】B
【解析】正三棱锥的内切球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．
2．【答案】D
【解析】因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D.
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】由题意分析可知，四面体的外接球的球心落在的中点，此时满足 ,.
5．【答案】B
【答案】D
【解析】如图7所示，过点作底面的垂线，垂足为，设为外接球的球心，连接因
故,又△为直角三角形，
7．【答案】B
【解析】易知AC＝10.设底面△ABC的内切圆的半径为r，则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，
因为2r＝4>3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝.此时球的体积V＝πR3＝.故选B.
8．【答案】B
9．【答案】D
【解析】如右上图，在中，由正弦定理,即,所以,,所以,，由得球心到平面的距离为,由于为直角三角形,设斜边中点为,则面,在中,球的半径,所以球的表面积,选D.
10．【答案】A
11．【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个如左下图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=(4-R)2+(3)2，解得：R=，故选C.
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，
∴圆锥的底面半径为，高为，∴．
15．【答案】
【解析】如图，截面图为长方形和其外接圆.球心为的中点，则设正四棱柱的侧棱长为,底面边长为，则 ,则正四棱柱的侧面积:
故侧面积有最大值，为，当且仅当时等号成立.
16．【答案】27
【解析】因为表面积为的球，所以球的半径为，设的中心为D，则，所以，则，棱锥S-ABC的底面积为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面平面，所以S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，所以．
课件19张PPT。球的外接与内切DBCAD1B1A1C 1O
CAA1C 1O对
角
面长方体的外接球. CPBAPCBA 补体
法1三条侧棱两两垂直时补成长方体.CDBA. ABCD 补体
法三棱锥的对棱相等补成长方体.2CBAD 补体
法3正四面体补成正方体.补体
法四个面都是直角三角形的三棱锥补成长方体.4补体
法三个面都是直角三角形的三棱锥补成长方体.5重点利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心的位置。直三棱柱AA1B1C1BC重点利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心的位置。三棱锥
有一条侧棱垂直底面的OAPBC重点利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心的位置。任意三棱锥APBCO
分
割多面体的内切球多面体的体积为V，表面积为S则内切球的半径为一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的可能图形为下图中的 . (1) (2) (3) (4) (5) (6)【例题1】 (1) (2) (3) (5) (6)如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方
体内切．则两球半径之和是 .【例题2】解析答案rRθABCDO1O2把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离是 ．【例题3】解析答案正三棱锥的高为1，底面边长为 ，内有一个球与它的四个面都切(如图).则这个正三棱锥的表面积为 ，这个正三棱锥内切球的表面积是 .【例题4】解析答案在三棱锥A－BCD，AB＝CD=AD＝1 ，BD＝ ，BD⊥CD，面ABD ⊥ 面BCD,求该三棱锥外接球的体积． 解析O答案111【例题5】解析四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为_______.ACDBM答案O【例题6】在三棱锥S－ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝ ，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的平面角的余弦值是 ，若点S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是_____．例题7解析M答案B例题8解析答案B
