2018-2019学年人教B版必修二 立体几何初步 单元测试

2018-2019学年人教B版必修二 立体几何初步 单元测试
1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a⊥b,且a与b相交
B.a⊥b,且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
解析：因为b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c?α,所以a⊥c.
因为b∥c,所以a⊥b.
当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.
答案：C
2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是(　　)
A.8
B.7
C.6
D.5
解析：易知PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.
答案：A
3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:
①?l⊥α;②?b⊥α;
③?b⊥α;④?a⊥α.
其中正确的命题是(　　)
A.①② B.②③
C.③④ D.②
解析：①中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b?α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.
答案：D
4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:
①若a∥b,b?α,则a∥α;
②若a∥α,b?α,则a∥b;
③若a∥α,b∥α,则a∥b;
④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
5在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是(　　)
A.SD⊥平面EFG
B.SG⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF
D.GD⊥平面SEF
解析：折起后SG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,
所以SG⊥平面EFG.
答案：B
6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是(　　)
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案：D
7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是　　　　　.?
解析：对于命题①,取BC的中点E.
连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,
所以BC⊥AD.
对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.
所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,
所以BC⊥AD.
答案：①④
8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　.?
解析：因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,
所以QD⊥平面PAQ.
所以AQ⊥QD,
即Q在以AD为直径的圆上,
当圆与BC相切时,点Q只有一个,
故BC=2AB=2.
答案：2
9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　　　　.?
解析：正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.
答案：36
10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
(1)证明因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.
又因为PD∩DC=D,PD?平面PCD,
DC?平面PCD,所以BC⊥平面PCD.
因为PC?平面PCD,所以PC⊥BC.
(2)解连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.
因为PD⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,
所以PD⊥DC.又PD=DC=1,
所以PC=.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,
由V=S△PBC·h=·h=,得h=.
因此,点A到平面PBC的距离为.
★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.
求证:(1)CN∥平面AMB1;
(2)B1M⊥平面AMG.
证明(1)设AB1的中点为P,连接NP,MP.
因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,
所以CM∥NP,且CM=NP.
所以四边形CNPM是平行四边形.
所以CN∥MP.
因为CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
所以CN∥平面AMB1.
(2)因为CC1⊥平面ABC,
所以CC1⊥AG.
由△ABC是正三角形得AG⊥BC,
又因为BC∩CC1=C,
所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.
因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.
设AC=2a,则CC1=2a.
在Rt△MCA中,AM=a.
同理,B1M=a.
因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.
所以BB1⊥AB.
所以AB1==2a.
所以AM2+B1M2=A.
所以B1M⊥AM.
又因为AG∩AM=A,AG?平面AMG,AM?平面AMG,
所以B1M⊥平面AMG.