2017-2018学年苏教版必修2 第二章平面解析几何初步 单元测试

本章测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.间点M(1,2,3)关于点N(4,5,6)的对称点P是( )
A.(7,9,11) B.(-2,-1,0) C.() D.(7,8,9)
解析：点N即为点M和点P的中点.利用空间中两点的中点坐标公式求解.
答案：D
2.曲线|x-3|+|y-4|=1所围成的图形的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.
解析：曲线围成一个以(3，4)为中心的、边长为的正方形.
答案：B
3.直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0互相垂直,则实数a的值为 ( )
A.2 B.-3或1 C.2或0 D.1或0
解析：当a=0时，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，此时它们垂直；当a≠0时，利用它们的斜率之积为-1可求得a=2.
答案：C
4.直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点关于y轴对称,则k为( )
A.-1 B.0 C.1 D.任何实数
解析：因为两点关于y轴对称，所以直线为水平直线，进而直线斜率k=0.
答案：B
5.不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：原直线方程可变形为a(x+2y)+(3x-y+7)=0，令x+2y=0，3x-y+7=0，则得x=-2，y=1，即直线恒过定点(-2，1)，而它在第二象限.
答案：B
6.圆(x-1)2+(y-3)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y+3)2=1 B.(x-3)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.(x+3)2+(y+1)2=1
解析：注意圆心(1，3)关于直线y=x对称点的坐标为(3，1).
答案：B
7.设直线2x-y-=0与y轴的交点为P,点P把圆C:(x+1)2+y2=25的通过该点的直径分为两段,则这两段的长度分别为( )
A.7或3 B.1或9 C.2或3 D.1或4
解析：易求得P(0，)，PC=2，故两段分别为5±2.
答案：A
8.直线y=绕原点按逆时针方向旋转后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是( )
A.直线过圆心 B.直线与圆相交,但不过圆心
C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点
解析：易知原直线的倾斜角为30°,按逆时针方向旋转后直线的倾斜角为60°，于是直线方程为y=，可求得圆心(2，0)到直线的距离为，它恰好等于圆的半径.
答案：C
9.设A、B是x轴上的点,点P的横坐标为2,且PA=PB,若直线PA的方程是x-y+1=0,则直线PB的方程是 ( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.x-2y+4=0 D.2x+y-7=0
解析：我们设法来求出B点坐标,易得A(-1，0).又点P横坐标为2,PA=PB，利用对称性可得点A和B关于x轴上的点(2,0)对称,于是得到B的坐标为(5，0).
答案：A
10.已知三点A、B、C共线,且A(3,-6,4)、B(-5,2,3)、C(16,x,y)?,则x的值为( )
A.19 B.8 C.-8 D.-19
解析：利用空间中三点共线的条件得，x=-19.
答案：D
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
11.过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是__________.
解析：易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0得到圆心为O(1,1),再求出AO长度即为圆的半径.
答案：(x-1)2+(y-1)2=4
12.点M(1,-2,3)关于点P(-2,2,-3)的对称点M′的坐标为__________.
解析：P为MM′的中点，利用中点坐标公式可求得M′(-5，6，-9).
答案：(-5，6，-9)
13.在空间直角坐标系中,方程x2=4的几何意义为__________.
解析：x2=4等价于面x=-2或面x=2,它们分别代表两个垂直于x轴的平面.
答案：两个平行平面x=-2与x=2
14.已知实数x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则(x-1)2+(y+1)2的最小值为__________,最大值为__________.
解析：先将方程化为标准式,即(x-1)2+(y+2)2=52,则得其圆心(1，-2)，半径为5，(x-1)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点到点(1，-1)的距离的平方.由于点(1，-1)到圆心距离为1，于是点(1，-1)到圆上点的距离的最小、最大值分别为4、6，故所求的最小与最大值分别为16、36.
答案：16 36
15.设a+b=2,则直线系ax+by=1恒过定点的坐标为____________________.
解析：分离参变量.将b=a-2代入直线系方程并分离变量a得a(x-y)+2y-1=0,所以其恒过的定点应满足x-y=0,2y-1=0,解得x=y=,所以其恒过点(,).本题也可采用取两组满足a+b=2的a、b值得到两个直线方程后，联立求得交点坐标即为所求.
答案：(,)
16.已知圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线l:x+y-9=0,过直线上一点A作△ABC,使得∠BAC=45°,边AB过圆心M,且B、C在圆M上,则点A的横坐标的取值范围是____________________.
解析：设A(a,9-a)，则M到边AC的距离d=AM·sin45°.
因为直线AC与圆有公共点，所以d≤r=，故，得a2-9a+18≤0，解得3≤a≤6，即为点A的横坐标的取值范围.
答案：3≤a≤6
三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小满分题12分)
已知△ABC的三顶点A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明它是一个直角三角形,并计算它的面积.
解析：利用空间中两点距离公式得到三角形各边的长度,利用勾股定理判断其为一直角三角形并判断直角边,利用公式得到面积.
答案：由AB2=(1+1)2+(-2+1)2+(-3+1)2=9，BC2=12+12+(-1+5)2=18，AC2=12+22+(-3+5)2=9，得AB2+AC2=BC2，故△ABC为直角三角形，
且角A为直角，面积为AB×AC=.
18.(本小题满分14分)
已知直线l：y=k(x-2)+4与曲线C:y=1+有两个不同的交点,求实数k的取值范围.
解析：直线l:y=k(x-2)+4过定点(2,4)，曲线C:y=表示的是半圆.C:y=化简可得x2+(y-1)2=4(y≥1)，利用数形结合求解问题.先画出示意图,可看到两条边际直线分别为过点(2,4)的半圆的切线和连结此点和半圆最左边点(-2,1)的直线.切线方程可通过联立圆和直线的方程后通过判别式法得到,而另一条直线的斜率可直接依公式得到.
答案：联立方程l:y=k(x-2)+4和方程C:y=,消元得到一个一元二次方程后求出判别式等于0的k值，排除不合理值后得到图中切线的斜率为,另一条直线的斜率可直接用公式得到为,所以实数k的取值范围就是.
19.(本小题满分14分)(1)求经过点(-1,2),且经过两直线5x-2y-3=0与直线3x+2y+5=0交点的直线方程；
(2)直线2x+y-4=0与坐 标轴相交于A、B两点,求以线段AB为直径的圆的方程.
解析：(1)可先求出两直线的交点，再利用直线的两点式得到直线方程.亦可利用直线系方程.
(2)先求出直线与坐标轴的交点A、B，再求线段AB的中点及线段AB的长度.
答案：(1)联立两直线方程5x-2y-3=0和3x+2y+5=0得到两直线的交点为(),又其过点(-1，2),可利用直线的两点式得到其方程为11x+2y+7=0.
(2)直线化为截距式即为,所以其与坐标轴的交点分别为(2,0),(0,4),设其分别为点A、B,易得两点的中点坐标也就是圆心坐标为(1,2),再求出AO长度即为半径的长度.于是圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
20.(本小题满分14分)如图所示，圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2，0)、R(0，1)，已知圆C在点P的切线斜率为1，试求圆C的方程.
解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
则k、2为方程x2+Dx+F=0的两根，
∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.
又因圆过点R(0，1)，故1+E+F=0,∴E=-2k-1.
∴圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圆心C的坐标为().
∵圆在点P的切线斜率为1，∴kCP=-1=.
解得k=-3.
∴所求圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.
21.(本小题满分16分)求与圆O′：x2+y2-4x=0相切且与y轴相切的圆的圆心轨迹方程.
解：如图，圆O′：(x-2)2+y2=4，其圆心O′的坐标为(2，0)，半径为2.
设动圆圆心P的坐标为(x,y).
若动圆P与圆O′外切且与y轴相切，
则,
所以y2=4x+4|x|
即
若动圆P与圆O′内切且与y轴相切，则y=0(x>0,且x≠2).
综上，得所求圆的圆心轨迹方程为y2=8x(x>0)或y=0(x≠0,且x≠2)(如图所示).