2018-2019学年苏教版必修1 指数函数、对数函数和幂函数 单元测试

阶段质量检测（三） 指数函数、对数函数和幂函数
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．已知幂函数f(x)的图象过点A，则幂函数的解析式为________．
解析：设f(x)＝xα，则9＝α，解得α＝－2，
故f(x)＝x－2.
答案：f(x)＝x－2
2．函数f(x)＝log2(3－x)＋的定义域为________．
解析：要使函数f(x)有意义，则
解得即－1≤x＜3.
答案：[－1,3)
3．函数f(x)＝loga(2x－1)＋1(a＞0且a≠1)恒过定点________．
解析：令2x－1＝1，解得x＝1，则f(x)恒过定点(1,1)．
答案：(1,1)
4．已知f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f(－2)＝.
答案：
5．函数f(x)＝x－1，x∈[－1,1]的值域为________．
解析：由指数函数的性质知y＝x在[－1,1]上是减函数，则f(x)∈.
答案：
6．计算4＋2lg 4＋lg＋log916·log881＝________.
解析：原式＝＋lg 16·＋·
＝＋1＋＝.
答案：
7．若m∈(1,2)，a＝0.3m，b＝log0.3m，c＝m0.3，用“＞”将a，b，c可排列为________．
解析：因为m∈(1,2)，所以0＜0.3m＜0.3，
log0.3m＜0，m0.3＞1，故c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
8．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，若f(lg x)＞f(1)，则实数x的取值范围是________．
解析：由f(x)在R上是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(|lg x|)＞f(1)，
即|lg x|＞1，解得x＞10或0＜x＜.
答案：∪(10，＋∞)
9．用列举法表示集合A＝{x|－1＜log2x＜2，x∈Z}，其表示结果为________．
解析：由－1＜log2x＜2，得log2＜log2x＜log2 4.
即＜x＜4，又x∈Z，故x＝1,2,3.
答案：{1,2,3}
10．已知函数f(x)＝a－是奇函数，则实数a的值为________．
解析：由f(x)是奇函数，得f(0)＝a－＝0，解得a＝1，经检验适合．
答案：1
11．已知函数f(x)＝kx3＋－2(k∈R)，且f(lg 5)＝1，则f＝________.
解析：设g(x)＝kx3＋，则g(x)是奇函数．
且f(x)＝g(x)－2，
∴f(lg 5)＝g(lg 5)－2＝1.
∴g(lg 5)＝3.
∴f＝g－2＝g(－lg 5)－2＝－g(lg 5)－2＝－3－2＝－5.
答案：－5
12．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.
解析：∵f(1)＜0，f(2)＞0，
∴f(x)在[1,2]上有零点，又f(x)是增函数，
∴x0∈[1,2]，∴a＝1，b＝2，∴a＋b＝3.
答案：3
13．下列命题：
(1)函数y＝是奇函数；
(2)函数y＝2－|x＋3|在(－∞，－3)上是增函数；
(3)将函数y＝log2(x－2)的图象向左平移3个单位可得到y＝log2(x＋1)的图象；
(4)若1.4a＝1.5b＜1，则a＜b＜0.
则上述正确命题的序号是________．(将正确命题的序号都填上)
解析：y＝f(x)＝，可化简为f(x)＝x，x≠±，
由奇函数的定义知(1)正确；
画出函数y＝2－|x＋3|的图象如图①.
知函数在(－∞，－3)上是增函数，(2)正确，(3)正确．
(4)在同一坐标系中作出y＝1.4x和y＝1.5x的图象如图②.
由图象知a＜b＜0，正确．
答案：(1)(2)(3)(4)
14．已知函数f(x)＝若a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则(ab＋1)c的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
∵f(a)＝f(b)，∴|log4a|＝|log4b|.
∴ab＝1，且4＜c＜6，
∴(ab＋1)c＝2c，又c∈(4,6)，
∴16＜2c＜64.
答案：(16,64)
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设全集U＝R，函数f(x)＝＋lg(a＋3－x)的定义域为集合A，集合B＝.
(1)若a＝－3，求A∩B，A∪B；
(2)若A??UB，求实数a的取值范围．
解：(1)要使函数f(x)有意义，
则需则a≤x＜a＋3，
当a＝－3时，A＝[－3,0)，
由≤2x≤8，得－2≤x≤3，故B＝[－2,3]，
故A∩B＝[－2,0)，A∪B＝[－3,3]．
(2)由(1)得A＝[a，a＋3)，
由B＝[－2,3]得?UB＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
因为A??UB，所以a＋3＜－2或a＞3，
即a＜－5或a＞3.
故a的取值范围为(－∞，－5)∪(3，＋∞)．
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若实数a满足：f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．
令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.
令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．
当t∈[1,2]时，h(t)是减函数，当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．
∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.
(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，
∴a≤f(x)min恒成立．
由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.
故a的取值范围为(－∞，－10]．
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝，
(1)证明函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
解：(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x1＝＝，
∵x10.
又2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)f(x)＝＝1－，
∵2x＋1>1，∴0<<2，
即－2<－<0，∴－1<1－<1.
∴f(x)的值域为(－1,1)．
(3)函数g(x)为偶函数，证明如下：
由题意知g(x)＝＝·x，
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，∴函数g(x)为偶函数．
18．(本小题满分16分)某上市股票在30天内每股的交易价格p(元)与时间t(天)组成有序数对(t，p)，点(t，p)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
q(万股)
26
20
14
8
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)若t与q满足一次函数关系，根据表中数据确定日交易量q(万股)与时间t(天)的函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？
解：(1)当0≤t＜20时，设p＝at＋b，由图象可知过点(0,2)，(20,6)，代入得
解得即p＝t＋2，
同理可得当20≤t≤30时，p＝－t＋8，
综上可得p＝
(2)由题意设q＝kt＋m，过点(4,26)，(10,20)，可得解得即q＝－t＋30，
(3)由题意可得
y＝p·q＝
＝
当0＜t＜20时，t＝10时，ymax＝80万元，
当20≤t≤30时，t＝20时，ymax＝60万元，
综上可得第10日的交易额最大为80万元．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x.
(1)当x∈[－1,1]时，求函数y＝(f(x))2－2af(x)＋3的最小值g(a)；
(2)若a∈[－4,4]时，在(1)的条件下，求g(a)的值域．
解：(1)设t＝f(x)，则t∈，
则y＝h(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
其对称轴为t＝a，
①若a＜，则g(a)＝h＝－a，
②若≤a≤3，则g(a)＝h(a)＝3－a2，
③若a＞3，则g(a)＝h(3)＝12－6a，
综上g(a)＝
(2)画出g(a)在[－4,4]上图象(略)可知g(a)min＝g(4)＝－12，g(a)max＝g(－4)＝，故值域为.
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝|3x－1|，a∈，若函数g(x)＝f(x)－a有两个不同的零点x1，x2(x1＜x2)，函数h(x)＝f(x)－有两个不同的零点x3，x4(x3＜x4)．
(1)若a＝，求x1的值；
(2)求x2－x1＋x4－x3的最小值．
解：(1)当a＝时，令g(x)＝|3x－1|－＝0，
即3x＝或，∵x1＜x2，∴x1＝－1.
(2)∵g(x)＝|3x－1|－a＝0，∴3x＝1±a.
∵x1＜x2，∴x1＝log3(1－a)，x2＝log3(1＋a)，
∵h(x)＝|3x－1|－＝0，
∴3x＝1±，∵x3＜x4，
∴x3＝log3，x4＝log3，
∴x2－x1＋x4－x3＝log3
＝log3＝log3，
∵y＝log3在a∈上单调递增，
所以当a＝时，x2－x1＋x4－x3的最小值为1.