上海市行知中学2018-2019学年高二下学期数学期中考试卷
文档属性
| 名称 | 上海市行知中学2018-2019学年高二下学期数学期中考试卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 575.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-25 09:11:28 | ||
图片预览
文档简介
2018-2019学年行知中学高二下期中数学试卷
一. 填空题
1. 方程组的增广矩阵是
2. 已知向量，，若∥，则实数
3. 双曲线的渐近线方程为
4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为
5. 已知球的体积为，则该球主视图的面积为
6. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于
7. 、、是从点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线与平面所成角的余弦值是
8. 若取地球的半径为6371千米，球面上两点位于东经，北纬，位于东经，北纬，则、两点的球面距离为 千米（结果精确到1千米）
9. 已知复数（）的模为，则的取值范围是
10. 有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为
11. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可以用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于
12. 设，圆（）与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列满足：，，要使数列成等比数列，则常数
二. 选择题
13. 过点且与直线的法向量垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. 、为不共线的向量，且，则以下四个向量中模最小的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在正四棱柱中，、分别是、的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A. 与垂直 B. 与垂直
C. 与异面 D. 与异面
16. 四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面
，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形
内的轨迹是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17. 在三棱锥中，已知、、两两垂直，，，三棱锥的体积为20，是的中点，求异面直线、所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. 如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）若，是的中点，点在线段上，
求的最小值.
19. 设抛物线（）的焦点为，经过的直线与抛物线交于、两点.
（1）若直线的方向向量为，当焦点为时，求△的面积；
（2）若是抛物线准线上的点，求证：直线、、的斜率成等差数列.
20. 在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且.
（1）当、在何位置时，？
（2）是否存在点、，使面？
（3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值？并求此时二面角的大小.
21. 已知数列满足：（其中常数，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，若（，），求；
（3）设为数列的前项和，若对任意，是否存在，使得不等式
成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 80 7. 8. 673
9. 10. 11. 12. 2或4
二. 选择题
13. B 14. A 15. D 16. B
三. 解答题
17. 解：（本题满分14分）
∵ ，所以.
取PC的中点为D，连结AD，DQ，则为异面直线PB，AQ所成的角，
，，因为，
所以，所以
∴ 异面直线PB、AQ所成的角为.
18. 解：（本题满分14分）
（1）圆柱的底面半径，高，圆柱的侧面积（平方单位）．
圆柱的体积（立方单位）
（2）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上．
∵ ，，，，
∴ ，∴ 的最小值等于．
19. 解：（本题满分14分）
（1），，直线，由消去x得：
∴ ，，.
（2）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为．点A、B、M的坐标为
、、．设直线AB：，代入抛物线得，
∴ ，又，，
因而，
因而
而，故．
20. 解：（本题满分16分）
（1）以A为原点，以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设BE=x，则有：
因此，无论E、F在何位置均有.
（2）
若A1C⊥面C1EF，则得矛盾，故不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF；
（3）
当时，三棱锥C1—CEF的体积最大，
这时，E、F分别为BC、CD的中点.
连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF
∴ 是二面角的平面角
∴ 所求二面角大小为.
21. 解：（本题满分18分）
（1）当n＝1时，a1＝3．
当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ②
①－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．
a1＝3也适合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)．
（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．
所以当时，；当时，不存在；
当时，；当时，不存在.
（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1． 当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn．
假设对任意n∈N*，存在，使得不等式成立
但是当时，
当时，。矛盾。假设不成立
所以对任意n∈N*，不存在，使得不等式成立
一. 填空题
1. 方程组的增广矩阵是
2. 已知向量，，若∥，则实数
3. 双曲线的渐近线方程为
4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为
5. 已知球的体积为，则该球主视图的面积为
6. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于
7. 、、是从点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线与平面所成角的余弦值是
8. 若取地球的半径为6371千米，球面上两点位于东经，北纬，位于东经，北纬，则、两点的球面距离为 千米（结果精确到1千米）
9. 已知复数（）的模为，则的取值范围是
10. 有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为
11. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可以用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于
12. 设，圆（）与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列满足：，，要使数列成等比数列，则常数
二. 选择题
13. 过点且与直线的法向量垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. 、为不共线的向量，且，则以下四个向量中模最小的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在正四棱柱中，、分别是、的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A. 与垂直 B. 与垂直
C. 与异面 D. 与异面
16. 四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面
，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形
内的轨迹是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17. 在三棱锥中，已知、、两两垂直，，，三棱锥的体积为20，是的中点，求异面直线、所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. 如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）若，是的中点，点在线段上，
求的最小值.
19. 设抛物线（）的焦点为，经过的直线与抛物线交于、两点.
（1）若直线的方向向量为，当焦点为时，求△的面积；
（2）若是抛物线准线上的点，求证：直线、、的斜率成等差数列.
20. 在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且.
（1）当、在何位置时，？
（2）是否存在点、，使面？
（3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值？并求此时二面角的大小.
21. 已知数列满足：（其中常数，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，若（，），求；
（3）设为数列的前项和，若对任意，是否存在，使得不等式
成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 80 7. 8. 673
9. 10. 11. 12. 2或4
二. 选择题
13. B 14. A 15. D 16. B
三. 解答题
17. 解：（本题满分14分）
∵ ，所以.
取PC的中点为D，连结AD，DQ，则为异面直线PB，AQ所成的角，
，，因为，
所以，所以
∴ 异面直线PB、AQ所成的角为.
18. 解：（本题满分14分）
（1）圆柱的底面半径，高，圆柱的侧面积（平方单位）．
圆柱的体积（立方单位）
（2）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上．
∵ ，，，，
∴ ，∴ 的最小值等于．
19. 解：（本题满分14分）
（1），，直线，由消去x得：
∴ ，，.
（2）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为．点A、B、M的坐标为
、、．设直线AB：，代入抛物线得，
∴ ，又，，
因而，
因而
而，故．
20. 解：（本题满分16分）
（1）以A为原点，以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设BE=x，则有：
因此，无论E、F在何位置均有.
（2）
若A1C⊥面C1EF，则得矛盾，故不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF；
（3）
当时，三棱锥C1—CEF的体积最大，
这时，E、F分别为BC、CD的中点.
连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF
∴ 是二面角的平面角
∴ 所求二面角大小为.
21. 解：（本题满分18分）
（1）当n＝1时，a1＝3．
当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ②
①－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．
a1＝3也适合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)．
（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．
所以当时，；当时，不存在；
当时，；当时，不存在.
（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1． 当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn．
假设对任意n∈N*，存在，使得不等式成立
但是当时，
当时，。矛盾。假设不成立
所以对任意n∈N*，不存在，使得不等式成立
同课章节目录