人教版八年级数学上册第十三章轴对称13.3.2 等边三角形课件（2课时共67张）
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| 名称 | 人教版八年级数学上册第十三章轴对称13.3.2 等边三角形课件（2课时共67张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 8.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-25 10:29:15 | ||
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文档简介
课件67张PPT。13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形第一课时第二课时第一课时等边三角形的性质和判定 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.2.探索等边三角形的性质和判定．3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？等边三角形的性质等腰三角形等边三角形一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 归纳总结等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C=60°问题1：结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一一条对称轴三条对称轴问题2：每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60o两条边相等三条边都相等 归纳总结例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.等边三角形的性质应用方法总结：
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.1.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法总结：
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.2.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不
是是是是是（4）（3）不一定
是例3 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.等边三角形的判定的应用 证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形． 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ AD=AE,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.例4 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．方法总结：
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．4. 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．?（2018?湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=______ ．30°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个D1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150° B3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.12B5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.∵ A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°∴ △COA ≌△DOB(SAS).∴ ∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵ ∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.图①(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形． 图②等边
三角形定义底=腰性质边三边相等角三个角都等于60 °轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定三边都相等三角都相等有一个角是60°的等腰三角形 第二课时直角三角形的性质2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算. 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB含30°角的直角三角形的性质问题1：将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？问题2：性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD= AB.证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．∴BC = AB． ∴BC = BD． 方法一： 方法点拨 倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……倍长法 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = AB． 方法二： 方法点拨 在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.截半法含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，应用格式：∴ BC = AB． 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值1. △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD= .4.8cmA2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.EC 含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1? 4.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，ACBD15 °15 °20))∴CD= AC= ×20=10.例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．5.Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？ 证明：∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC. 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 有多长？利用直角三角形的性质解决实际问题解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，∴BC= AB, DE= AD.∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).又AD= AB,∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.（2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2．21.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元BB3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .54.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，
AB+BC=12cm，则AB=______cm.81.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，∴AC= AE= BE=2.5．2.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE. 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,
求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.使用要点含30°角的直角三角形的性质①分清30 °的角所在的直角边.
②作辅助线，构造直角三角形.注意前提条件：直角三角形中证题方法倍长法截半法1 . 从课后习题中选取；
2 . 完成练习册本课时的习题。
13.3.2 等边三角形第一课时第二课时第一课时等边三角形的性质和判定 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.2.探索等边三角形的性质和判定．3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？等边三角形的性质等腰三角形等边三角形一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 归纳总结等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C=60°问题1：结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一一条对称轴三条对称轴问题2：每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60o两条边相等三条边都相等 归纳总结例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.等边三角形的性质应用方法总结：
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.1.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法总结：
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.2.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不
是是是是是（4）（3）不一定
是例3 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.等边三角形的判定的应用 证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形． 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ AD=AE,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.例4 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．方法总结：
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．4. 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．?（2018?湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=______ ．30°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个D1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150° B3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.12B5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.∵ A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°∴ △COA ≌△DOB(SAS).∴ ∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵ ∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.图①(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形． 图②等边
三角形定义底=腰性质边三边相等角三个角都等于60 °轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定三边都相等三角都相等有一个角是60°的等腰三角形 第二课时直角三角形的性质2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算. 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB含30°角的直角三角形的性质问题1：将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？问题2：性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD= AB.证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．∴BC = AB． ∴BC = BD． 方法一： 方法点拨 倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……倍长法 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = AB． 方法二： 方法点拨 在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.截半法含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，应用格式：∴ BC = AB． 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值1. △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD= .4.8cmA2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.EC 含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1? 4.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，ACBD15 °15 °20))∴CD= AC= ×20=10.例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．5.Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？ 证明：∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC. 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 有多长？利用直角三角形的性质解决实际问题解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，∴BC= AB, DE= AD.∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).又AD= AB,∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.（2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2．21.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元BB3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .54.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，
AB+BC=12cm，则AB=______cm.81.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，∴AC= AE= BE=2.5．2.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE. 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,
求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.使用要点含30°角的直角三角形的性质①分清30 °的角所在的直角边.
②作辅助线，构造直角三角形.注意前提条件：直角三角形中证题方法倍长法截半法1 . 从课后习题中选取；
2 . 完成练习册本课时的习题。