人教版八年级数学上册第十四章14.2.1 平方差公式课件（32张）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十四章14.2.1 平方差公式课件（32张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 931.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-25 13:06:58 | ||
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文档简介
课件32张PPT。14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式 人教版 数学 八年级 上册 某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.观察与思考1. 掌握平方差公式的推导及应用.2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn平方差公式面积变了吗？相等吗？①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？x2 – 12m2–22(2m)2 – 12(5y)2 – z2 这些计算结果有什么特点？(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b22.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2适当交换合理加括号平方差公式
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。(a+b)(a– b)=a2– b2.温馨提示(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–12 0.3x1( 0.3x)2–12(a–b)(a+b)口答下列各题：
(l)(–a+b)(a+b)=_________.
(2)(a–b)(b+a)= __________.
(3)(–a–b)(–a+b)= ________.
(4)(a–b)(–a–b)= _________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y).(2) 原式= (–x)2 – (2y)2= x2 – 4y2.解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；利用平方差公式计算易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.1. 利用平方差公式计算：
(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；
(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .利用平方差公式简便运算(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1) = 502–12=2500 – 1=2499； (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)= 9x2–16–6x2–5x+6= 3x2–5x–10.2. 计算:例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，利用平方差公式进行化简求值3. 先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1)
=9–x2+2x2–2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22 =7+4=11例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．利用平方差公式进行证明 对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2
=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]
=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．利用平方差公式解决实际问题 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．5. 如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( A )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b21. (2018?金华)化简(x–1)(x+1)的结果是 ．2. (2018?吉林)某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
=a2+2ab–a2–b2(第二步)
=2ab–b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
(2)写出此题正确的解答过程． 原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．x2–1二去括号时没有变号1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)C2. 计算(2x+1)(2x–1)等于( )
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 A3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10(1)(a+3b)(a– 3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2 ；=(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4. 利用平方差公式计算：5. 计算： 20152 – 2014×2016.解：
20152 – 2014×2016= 20152 – (2015–1)(2015+1)= 20152– (20152–12 )= 20152– 20152+12 =16. 利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8. 先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1–xn+1–632n＋1–2 x100–1 平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b22.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.1 . 从课后习题中选取；
2 . 完成练习册本课时的习题.
14.2.1 平方差公式 人教版 数学 八年级 上册 某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.观察与思考1. 掌握平方差公式的推导及应用.2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn平方差公式面积变了吗？相等吗？①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？x2 – 12m2–22(2m)2 – 12(5y)2 – z2 这些计算结果有什么特点？(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b22.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2适当交换合理加括号平方差公式
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。(a+b)(a– b)=a2– b2.温馨提示(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–12 0.3x1( 0.3x)2–12(a–b)(a+b)口答下列各题：
(l)(–a+b)(a+b)=_________.
(2)(a–b)(b+a)= __________.
(3)(–a–b)(–a+b)= ________.
(4)(a–b)(–a–b)= _________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y).(2) 原式= (–x)2 – (2y)2= x2 – 4y2.解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；利用平方差公式计算易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.1. 利用平方差公式计算：
(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；
(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .利用平方差公式简便运算(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1) = 502–12=2500 – 1=2499； (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)= 9x2–16–6x2–5x+6= 3x2–5x–10.2. 计算:例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，利用平方差公式进行化简求值3. 先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1)
=9–x2+2x2–2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22 =7+4=11例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．利用平方差公式进行证明 对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2
=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]
=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．利用平方差公式解决实际问题 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．5. 如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( A )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b21. (2018?金华)化简(x–1)(x+1)的结果是 ．2. (2018?吉林)某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
=a2+2ab–a2–b2(第二步)
=2ab–b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
(2)写出此题正确的解答过程． 原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．x2–1二去括号时没有变号1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)C2. 计算(2x+1)(2x–1)等于( )
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 A3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10(1)(a+3b)(a– 3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2 ；=(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4. 利用平方差公式计算：5. 计算： 20152 – 2014×2016.解：
20152 – 2014×2016= 20152 – (2015–1)(2015+1)= 20152– (20152–12 )= 20152– 20152+12 =16. 利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8. 先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1–xn+1–632n＋1–2 x100–1 平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b22.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.1 . 从课后习题中选取；
2 . 完成练习册本课时的习题.