人教版新课标A版选修2-3数学期末测试题（含详解答案）

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选修2-3数学期末测试题

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题、每小题5分、共60分）
1．如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（　　）

A．6，8 B．6，6 C．5，2 D．6，2
2．若＝，则m等于（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．设有一个回归方程＝﹣6.5x+6，变量x每增加一个单位时，变量平均（　　）
A．增加6.5个单位 B．增加6个单位
C．减少6.5个单位 D．减少6个单位
4．为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计
男生 10 20 30
女生 20 10 30
总计 30 30 60
经过计算，K2≈6.667，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　）
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．有99.5%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
B．有99.2%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
C．有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系
5．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）
A．24 B．27 C．30 D．36
6．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N（1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间 （3，5）的概率为
（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）（　　）
A．0.3174 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0456
7．已知（x+1）n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
8．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A．0 B．1
C．2 D．无法确定，与a，b有关
10．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．下列关于回归分析的说法中错误的有（　　）个
（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．
（2）回归直线一定过样本中心（，）．
（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
（4）甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（1﹣x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题、每题5分、共20分）
13．已知具有线性相关关系的两个量x，y之间的一组数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 2.2 4.3 4.5 m 6.7
且回归直线方程是＝0.95x+2.6，则m的值为　 　．
14．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝　 　．
15．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是　 　．
16．已知（x2﹣2）6＝a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a3+a4等于　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共7小题、17、18、每题8分19、20、21、每题10分22、23每题12分）
17．现有5名男生和3名女生站成一排照相，
（Ⅰ）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？
（Ⅱ）3名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅲ）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅳ）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？
18．在（+）n的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
20．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如表所示：
中学编号 1 2 3 4 5 6 7 8
原料采购加工标准评分x 100 95 93 83 82 75 70 66
卫生标准评分y 87 84 83 82 81 79 77 75
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）
（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率．
参考公式：＝，＝﹣；
参考数据：xiyi＝54112，xi2＝56168．

21．为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70，95]．已知评估综合得分与产品等级如表：
综合得分m 等级
m≥85 一级品
75≤m＜85 二级品
70≤m＜75 三级品
根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）．
综合得分 频数
[75，80） 10
[80，85） 30
[85，90） 40
[90，95] 20
合计 100
（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；
（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．

22．2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．
（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E（X）．．
P（K2≥k） 0.25 0.10 0.05
k 1.323 2.706 3.841
23．某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛．在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀．
（Ⅰ）从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；
（Ⅱ）从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X，求X的分布列和数学期望．










































参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（　　）

A．6，8 B．6，6 C．5，2 D．6，2
【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有
【分析】根据分步和分类计数原理可得．
【解答】解：根据分步计数原理，从甲地经乙地到丙地的方法有3×2＝6种，
从甲地直接到到丙地的走法有2种，故从甲地到丙地的走法种数2+6＝8种，
故选：A．
2．若＝，则m等于（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】D4：排列及排列数公式．菁优网版权所有
【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．
【解答】解：∵＝，∴m（m﹣1）（m﹣2）＝8×，m≥3．
化为：m﹣2＝4，解得m＝6．
故选：C．
3．设有一个回归方程＝﹣6.5x+6，变量x每增加一个单位时，变量平均（　　）
A．增加6.5个单位 B．增加6个单位
C．减少6.5个单位 D．减少6个单位
【考点】BP：回归分析．菁优网版权所有
【分析】利用回归方程中 的值确定自变量与函数值之间的关系即可．
【解答】解：由题中所给的回归方程可知：，
则变量x每增加一个单位时，变量 平均减少6.5个单位．
故选：C．
4．为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计
男生 10 20 30
女生 20 10 30
总计 30 30 60
经过计算，K2≈6.667，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　）
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．有99.5%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
B．有99.2%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
C．有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【分析】计算K2，结合临界值表可得．
【解答】解：K2＝＝≈6.666＞6.635，
故有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系．
故选：C．
5．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）
A．24 B．27 C．30 D．36
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【分析】根据题意，可分两类，有0时，和无0时，根据分类计数原理可得．
【解答】解：第一类，从从0，2，4中选一个数字，选为0，则0只能排在十位，故有A32＝6，
第二类，从从0，2，4中选一个数字，不选0，先排个位，再排其它，故有C32C21C21A22＝24，
故有6+24＝30个，
故选：C．
．
6．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N（1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间 （3，5）的概率为
（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）（　　）
A．0.3174 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0456
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【分析】由已知可得μ＝1，σ＝2，再由P（3＜X＜5）＝P（μ+σ＜X＜μ﹣σ）求解．
【解答】解：由已知，得μ＝1，σ＝2，
P（3＜X＜5）＝P（μ+σ＜X＜μ﹣σ）＝．
故选：C．
7．已知（x+1）n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】由题意知（x+1）n的展开式的各项系数和为32，求得n＝5，再根据二项展开式的通项，即可求解．
【解答】解：由题意知（x+1）n的展开式的各项系数和为32，即2n＝32，解得n＝5，
则二项式（x+1）n＝（x+1）5的展开式中x4的项为?x4＝5x4，
所以x4的系数为5，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二项式定理的系数和，及展开式的项的系数的求解，其中解答中熟记二项式的系数和的解法，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CM：条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【分析】第二次摸到红球时，第一次是从2个白球和一个红球中摸到红球．
【解答】解：在第二次摸到红球的条件下，第一次从3个球中摸到红球的概率为．
故选：B．
9．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A．0 B．1
C．2 D．无法确定，与a，b有关
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【分析】由随机变量ξ的分布列及数学期限望得到：a+2b+3c＝2，且a+b+c＝1，从而2a+b＝1，由此能求出E（aξ+b）．
【解答】解：∵E（ξ）＝2，
∴由随机变量ξ的分布列得到：a+2b+3c＝2，
又a+b+c＝1，
解得a＝c，∴2a+b＝1，
∴E（aξ+b）＝aE（ξ）+b＝2a+b＝1．
故选：B．
10．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．
【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，
则他第2球投进的概率为：
p＝＝．
故选：B．
11．下列关于回归分析的说法中错误的有（　　）个
（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．
（2）回归直线一定过样本中心（，）．
（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
（4）甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】BP：回归分析．菁优网版权所有
【分析】根据“线性回归方程一定过样本中心点，
在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，
相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强“，
对选项中的命题判断真假即可．
【解答】解：对于（1），残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，∴（1）错误；
对于（2），回归直线一定过样本中心（，），正确；
对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确；
对于（4），甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，∴（4）错误；
综上，错误的命题是（1）、（4）共2个．
故选：C．
12．（1﹣x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】把（1﹣x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．
【解答】解：（1﹣x）4（1+x）5＝（1﹣4x+6x2﹣4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），
故展开式中x3的系数为10﹣40+30﹣4＝﹣4，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．已知具有线性相关关系的两个量x，y之间的一组数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 2.2 4.3 4.5 m 6.7
且回归直线方程是＝0.95x+2.6，则m的值为　4.8　．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程即可求得m值．
【解答】解：由图表可知，，，
则样本中心点的坐标为（2，），
把（2，）代入＝0.95x+2.6，得，
则m＝4.8．
故答案为：4.8．
14．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝　　．
【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【分析】利用二项分布和n次独立重复试验的模型直接求解．
【解答】解：∵随机变量X～B（5，），
∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）
＝+＝．
故答案为：．
15．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是　　．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CK：超几何分布．菁优网版权所有
【分析】设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10），利用公式Eξ＝，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．
【解答】解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）
∴Eξ＝
故答案为：
16．已知（x2﹣2）6＝a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a3+a4等于　240　．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】即求x3和x4的系数，；利用通项公式可得．
【解答】解：a3和a4就是展开式中x3和x4的系数，
∵Tr+1＝C（x2）6﹣r?（﹣2）r＝（﹣2）rCx12﹣2r，
令 12﹣2r＝3，解得r＝（舍去），∴a3＝0，
令12﹣2r＝4，解得r＝4，∴a4＝（﹣2）4C＝240，
故答案为：240．
三．解答题（共7小题）
17．现有5名男生和3名女生站成一排照相，
（Ⅰ）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？
（Ⅱ）3名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅲ）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅳ）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）根据题意，用捆绑法分2步分析：①，3名女生看成一个整体，②，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；
（Ⅲ）根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，②，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅳ）根据题意，分2种情况讨论：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，②，A、B、C三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，分2步分析：
①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33＝6种情况，
②，将这个整体与5名男生全排列，有A66＝720种情况，
则3名女生排在一起的排法有6×720＝4320种；
（Ⅱ）根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，
由于3名女生次序一定，则其排法有＝6720种排法；
（Ⅲ）根据题意，分2步分析：
①，将5名男生全排列，有A55＝120种情况，
②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43＝24种情况，
则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24＝2880种；
（Ⅳ）根据题意，分2种情况分析：
①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22＝2种排法，
将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66＝720种情况，
则此时有2×720＝1440种排法；
②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55＝120种情况，
将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有120×A66×A62＝7200种，
则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+7200＝8640种排法．
18．在（+）n的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n的值；
（Ⅱ）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求出r的值，即可求得含x﹣2的项的系数．
【解答】解：（Ⅰ）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，?，?，
∴2??＝+?，即 n2﹣9n+8＝0，∴n＝1（舍去），或 n＝8．
（Ⅱ）因为n＝8，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即T5＝??＝x．
（Ⅲ）∵二项展开式的通项公式：Tr+1＝??，
令4﹣r＝﹣2，求得r＝8，可得所以含x的项的系数为?＝．
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CM：条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
20．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如表所示：
中学编号 1 2 3 4 5 6 7 8
原料采购加工标准评分x 100 95 93 83 82 75 70 66
卫生标准评分y 87 84 83 82 81 79 77 75
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）
（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率．
参考公式：＝，＝﹣；
参考数据：xiyi＝54112，xi2＝56168．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）用列举法写出基本事件数，即可计算所求的概率值．
【解答】解：（1）由题意，计算平均数得：＝×（100+95+93+83+82+75+70+66）＝83，
＝×（87+84+83+82+81+79+77+75）＝81，
则＝＝≈0.3，
＝﹣＝81﹣0.3×83＝56.1；
故所求的线性回归方程为：＝0.3x+56.1；
（2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：
12，13，14，15，16，17，18，23，24，25，26，27，28，
34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67，68，78；
其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：
12，13，14，15，23，24，25，34，35，45；
所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为P＝＝．
21．为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70，95]．已知评估综合得分与产品等级如表：
综合得分m 等级
m≥85 一级品
75≤m＜85 二级品
70≤m＜75 三级品
根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）．
综合得分 频数
[75，80） 10
[80，85） 30
[85，90） 40
[90，95] 20
合计 100
（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；
（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A由图可得 P（A）＝（0.02+0.03）×5＝0.25
（Ⅱ）根据独立重复试验的概率公式以及二项分布可得．
（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分．
【解答】解：（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A
由图可得 P（A）＝（0.02+0.03）×5＝0.25………………………．（3分）
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3………………………．（8分）
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
…………………………（9分）
方法一：……………………..（10分）
方法二：X服从二项分布X～B（3，0.25）所以E（X）＝np＝3×0.25＝0.75
（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案）
（1）可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05．所以可以认为甲型产品的质量更好；
（2）可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7．所以可以认为乙型产品的质量更好；………………………………（13分）

22．2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．
（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E（X）．．
P（K2≥k） 0.25 0.10 0.05
k 1.323 2.706 3.841
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【分析】（1）根据题目所给信息，列出2×2列联表，计算K2，查表判断即可，
（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m人，女同学有n人，则X＝m+n，确定X的所有取值为1，2，3，4，5．根据计数原理计算出每个X所对应的概率，列出分布列计算期望即可．
【解答】解：（1）根据所给的条件得，
男 女 合计
喜欢物理 64 36 100
不喜欢物理 56 44 100
合计 120 80 200
K2＝＝＞1.323，
所以有75%的把握认为喜欢物理和性别有关．
（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m人，女同学有n人，则X＝m+n，
由题意可知，X的所以可能取值为1，2，3，4，5．
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝+＝，
P（X＝3）＝++＝，
P（X＝4）＝+＝，
p（X＝5）＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
所以E（X）＝1×+2×+3×+4×+5×＝，
23．某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛．在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀．
（Ⅰ）从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；
（Ⅱ）从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X，求X的分布列和数学期望．

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【分析】（I）根据相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式计算．
（II）计算X的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望．
【解答】（Ⅰ） 解：由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀．
记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A．
则，
（Ⅱ） 解：X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
X的数学期望 ．












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