新城中学2018-2019学年度第二学期第二次考试
高二数学试题(理科A卷)
一.选择题
1.已知双曲线C: 的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.a> B.a≥ C.a< D.a≤
3.设f ′(x)是函数f(x)的导函数,= f ′(x)的图象如图所示,则y= f(x)的图象最有可能的是 ( )
4.已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中正确的个数为
①若,则; ②若,则;
③若,则; ④若则.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知i是虚数单位,的共轭复数,,则z的虚部为( )
A. 1 B. -1 C.i D. -i
7.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时的假设为( )
A.三个内角中至多有一个不大于60° B.三个内角中至少有两个不大于60°
C. 三个内角都不大于60° D.三个内角都大于60°
8.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.6个 B.9个 C.18个 D.36个
9.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教,每校至少安排一人,其中甲、乙不能安排在同一学校,则不同的安排方法种数为( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
10.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排列种数为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线C:=4x,过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点(点A在第一象限),且交抛物线C的准线于点E.若=2,则直线l的斜率为
A.3 B.2 C. D.1
12.设 则 ( )
D.不存在
二.填空题
13.已知,且复数是纯虚数,则a= .
14.设抛物线的焦点为F,准线为l,点M在C上,点N在l上,且,若,则的值为________.
15.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色.现在有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)
16.已知等比数列是函数的两个极值点,则
三.解答题
17.用0,1,2,3,4,5这六个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数.
(2)能组成多少个比1325大的四位数.
18.已知函数.
(1)讨论f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)若对恒成立,求正整数a的最小值.
19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB, , .
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
已知数列
(1)计算S1,S2,S3,S4;
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
21.已知椭圆:的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.
22.如图,点P是菱形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,,,PA=AB=2BF=2DE.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PCE;
(Ⅱ)求二面角B-PC-F的余弦值.
试卷答案
1-5.CBCDB 6-10:ADCCA 11-12:BC
13.-2 14.3 15.72; 16.-2
17.解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:
第一类:0在个位时,有个.
第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个,有种可能,十位和百位从余下的数字中选取有种可能,于是有个.
第三类,4在个位时,同第二类,也有个.
由分类加法计数原理可知,四位偶数共有:个.
()符合要求的比1325大的四位数可分为三类:
第一类:形如,,,,这样的数共个.
第二类:形如,,共有个.
第三类:形如,,共个.
由分类加法计数原理可知,比1325大的四位数共有个.
18.(1),
当时,在上单调递增.
当或时,,在单调递减.
当且时,令,得;
令,得.
∴在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵对恒成立.
∴,解得或,
则正整数的最小值为.
下面证明当时,对恒成立,过程如下:
当时,
令,得;令,得.
故,从而对恒成立.
故整数的最小值为5.
19
(Ⅰ)取的中点,连接。因为,所以。
由于,,故为等边三角形,所以。
因为,所以平面,又平面,故。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知。
又平面平面,交线为,所以平面,故两两互相垂直。
以为坐标原点,的方向为轴的正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题设知,
则,
设是平面的法向量,则,即。
可取,故,所以与平面所成角的正弦值为。
20.【解答】解:(1)
(2)
证明:①当n=1时,,结论成立
②假设当n=k时成立,结论成立,即
当n=k+1时,
=
∴当n=k+1时结论成立
∴对于任意的k∈N+结论都成立
21.
(1)由已知可得解得,,
所求椭圆方程为.
(2)由得,
则,解得或.
设,,
则,,
设存在点,则,,
所以.
要使为定值,只需与参数无关,
故,解得,
当时,.
综上所述,存在点,使得为定值,且定值为0.
22.(Ⅰ)证明:取中点,连交于,连,.
在菱形中,,
∵平面,平面,∴,
又,,平面,∴平面,
∵,分别是,的中点,∴,,
又,,∴,,
∴四边形是平行四边形,则,∴平面,
又平面,∴平面平面.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得平面,则,,两两垂直,以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,,,,
,,,
设是平面的一个法向量,则即
取,得,,∴,
设是平面的一个法向量,
同理得,.
∴,
∴二面角的余弦值为.