人教版八年级上册数学15.3 分式方程课件（两课时56张ppt）

15.3 分式方程
第一课时
第二课时
第一课时
分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，
根据题意，得
导入新知

这样的方程与以前学过的方程一样吗 ？
1.了解分式方程的概念．
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．
素养目标



3.了解解分式方程根需要进行检验的原因．




为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ．
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分式方程的概念
探究新知


知识点 1
问题1：
　 方程 　　　　　　　　　　　
与上面的方程有什么共同特征？
追问1：
分母中都含有未知数．
分式方程的概念：
　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的特征：分母中含有未知数.
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
探究新知

你能再写出几个分式方程吗？　　
追问2：
1.　下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）．





（2）（3）
（1）
巩固练习


总结：
　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．
你能试着解分式方程 吗？
解分式方程
探究新知


知识点 2
问题2：
这些解法有什么共同特点？
问题3：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
探究新知


想一想
（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
探究新知


归纳总结
例　解分式方程
即
解得
则得到，
方程两边同乘各分母的最简公分母
探究新知









你得到的解 是分式方程
的解吗？　　　
检验：把v=6代入分式方程得：

左边=

右边=

左边=右边，所以v=6是原方程的解.
探究新知

追问：

解分式方程：



　　　　 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
探究新知

问题4：
你得到的解 是分式方程
的解吗？该如何验证呢？　　
追问1：
上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 的解 是分式方程
的解，而整式方程x-5=10
的解 　
却不是分式方程　
的解？
探究新知

追问2：
原因：
　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．





检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
探究新知

显然，第2种方法比较简便！



回顾解分式方程 与
的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
探究新知

问题5：
基本思路：将分式方程化为整式方程.
一般步骤：
（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
2.指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
①
②
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；
巩固练习



例1　解下列方程：
解分式方程
解：方程的两边同乘以x(x–2)，
得2x=3x–6
解得：x=6
检验：当x=6时，x（x–2）≠0.
所以，原方程的解是x=6.
探究新知






素养考点 1
3.解下列方程：
解：方程的两边同乘以2x(x+3)，
得(x+3)=4x
解得：x= 1
检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.
所以，原方程的解是x=1.
巩固练习

例2 解方程　
解：方程两边同乘
得 =3.
化简，得 =3.
解得 =1.
检验：当 =1时， =0， =1不是原分式方程的
解，所以原分式方程无解.
解含有整式项的分式方程
探究新知






素养考点 2
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4.写出原方程的解.
解分式方程的思路：
分式方程
整式方程
去分母

一化二解三检验
探究新知

解分式方程的一般步骤：
探究新知


归纳总结
分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式方程的解
x=a不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验

4.解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. 2(x–8)+5x=16(x–7)
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为 ，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
A
巩固练习


易错易混点拨：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.
探究新知

方法点拨




连接中考
1.（2018?成都）分式方程 =1的解是（　　）
A．x=1 B．x=–1 C．x=3 D．x=–3
A
2.（2018?株洲）关于x的分式方程 解为x=4，则常数a的值为（　 ）
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
D
巩固练习

1.（2018?张家界）若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值为（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
B





基础巩固题
课堂检测

2.（2018?哈尔滨）方程的解为（　　）
A．x=–1 B．x=0
C．x= D．x=1
D
课堂检测






基础巩固题
已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，
整理，得x2+（k–2）x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.





能力提升题
课堂检测

解方程:





拓广探索题
课堂检测

解：方程可化为：
课堂检测

得
解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
课堂小结

解分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式方程的解
x=a不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验

解分式方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
第二课时
列分式方程解应用题
1.解分式方程的一般步骤.
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？
导入新知

素养目标

1.能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.
2.会解含有字母系数的分式方程.


3.知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分析题意设元
列分式方程解应用题的步骤
探究新知


知识点 1
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得：
经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
由x＝18,得x–6=12
解得
探究新知

列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
探究新知


归纳总结
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
分析:
甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .
利用分式方程解答工程问题
探究新知






素养考点 1
解:
设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
探究新知

1. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
巩固练习

解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工

1.5x件产品，依题意得 ，

解得：x=40.

经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.

答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
巩固练习

提速前列车行驶s km所用的时间为 h，提速后列车的平均速度为
km/h，提速后列车运行 km，所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
x
x+v

s+50
=

s
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，先考虑下面的填空：
s+50


x+v
s+50
利用分式方程解答行程问题
探究新知






素养考点 2
x+v
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
去括号，得sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得 50x=xv.
解得
检验：由于v，s都是正数， 时，x（x+v）≠0，
是原分式方程的解.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
探究新知

2.八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．
解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，
方程两边同乘2x，得 2s –s =2tx.
解得 x = ．　　
巩固练习

检验：由于s，t 都是正数， x = 时，2x≠0，
所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意.
答：学生骑车的速度是 km/h．　　
解：方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3
整理得:(k+1)x=4k ,因为方程无解,则x=3或x = –3
当x=3时,(k+1) ·3=4k,k=3,
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或 时,原分式方程无解.
例3 关于x的方程 无解,求k的值.
利用分式方程的根求字母的值或取值范围
探究新知






素养考点 3
3.如果关于x的方程 无解,则m的值等于（ ）

A. –3 B. –2 C. –1 D. 3
B
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
∴m = –2.
巩固练习





连接中考
（2018?昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
A
巩固练习

1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）;
属于一元分式方程的有（ ）.
① ②

③ ④ x2 +2x–1=0
① ③
①





基础巩固题
课堂检测

2.解方程：
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴原方程无解.
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
解：方程两边都乘以最简公分母
课堂检测






基础巩固题
（2018?广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？





能力提升题
课堂检测

解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根
据题意得：，
解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，
∴x–9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200–a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200–a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片．
课堂检测

某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)若甲工程队单独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?





拓广探索题
课堂检测

解:(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程.
由题意得:20( )=1
整理得x2–10x–600=0，解得x1=30,x2= –20.
经检验:x1=30,x2=–20都是分式方程的解,
但x2=–20不符合题意舍去.
x+30=60.
答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.
课堂检测

(2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20– )天,可以完成此项
工程.
(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20– )≤64
解得a≥36
答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.
课堂检测



步骤

1.审；2.设；3.列；
4.解；5.验； 6.答.
应用


工程问题：工作量=工作效率×工作时间
行程问题：路程=速度×时间
列分式方程解应用题
课堂小结

1 . 从课后习题中选取；
2 . 完成练习册本课时的习题。
课后作业