数学同步练习人教A版选修4-4综合测试卷

1．1　平面直角坐标系与曲线方程
1．2　平面直角坐标轴中的伸缩变换
1．平面直角坐标系与点的坐标
在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．
2．平面直角坐标系中曲线与方程的关系
曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
3．平面直角坐标轴中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0．(　　)
(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．(　　)
(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是圆．(　　)
(4)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形变为椭圆．(　　)
(5)在伸缩变换下，直线依然是直线．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3) ×　(4)√　(5)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是(　　)
A．(9，－1) B．(－3，1)
C．(1，3) D．(2，2)
答案　C
(2)方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
答案　D
(3)将一个圆作伸缩变换后所得的图形不可能是(　　)
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
答案　D
解析　由伸缩变换的意义可得，A，B，C均有可能，D不可能．
探究　　利用平面直角坐标系确定位置
　 　　　　　　　　　　　　　　　
　　　
例1　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
解　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)． ①
又|PB|－|PA|＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)． ②
联立①②，解得P点坐标为(8，5)．
∴kPA＝＝．
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°．
1．解决本例的关键是如何建系，将几何位置量化，然后根据直线与双曲线的方程求解．
2．建立坐标系的几个基本原则：(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；(2)对称中心一般放在原点；(3)对称轴一般作为坐标轴．
3．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
【跟踪训练1】　已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km．
(1)问农艺园的最大面积能达到多少？
(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？
解　(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，
由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)．
以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，
此时，面积S＝2(km2)．
(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆＋＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y＝(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图．
因此，由?13x2＋8x－32＝0，
那么弦长＝|x1－x2|
＝×＝，
故暂不加固的部分长 km．
探究　　平面直角坐标系中曲线方程的确定
　　　
例2　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；
(2)在边长为2的正三角形ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．
解　(1)由已知设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则2a＝12，知a＝6．又离心率e＝＝，故c＝3．
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1，0)，C(1，0)，则A(0，)．
∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
∴x2＋(y－)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，
化简得x2＋(x＋)2＝4．
又∵P在△ABC内，∴y>0．
∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋)2＝4(y>0)．
其曲线如图所示为以(0，－)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧．
求动点轨迹方程常用的方法
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；
③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；
④化简方程f(x，y)＝0；
⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略．
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．
(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．
【跟踪训练2】　如图，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120°，·＝2．
(1)求圆C的方程；
(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．
解　
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得，△CQM为正三角形．
∴·＝r2·cos60°＝2，
∴圆C的半径为2．
又圆心为(0，0)，
∴圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)由(1)知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，)，
∴2a＝|QN|＋|QM|＝2＋2，
∴a＝＋1，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆方程为＋＝1．
探究　　平面直角坐标轴中的伸缩变换
　　　
例3　在下列平面直角坐标系中，分别作出＋＝1的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的．
解　(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则＋＝1的图形如图①．
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的图形如图②．
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的图形如图③．
在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题(2)中也可以看作的伸缩变换，本题(3)中也可以看作的伸缩变换．
【跟踪训练3】　本例中，＋＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：
(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．
解　(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的图形如图①．
(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的图形如图②．

　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　)
A．(0，0) B．， C．(1，5) D．(4，4)
答案　D
解析　将答案代入验证知D正确．
2．直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是(　　)
A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1
C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1
答案　C
解析　由题知C正确．
3．已知一椭圆的方程为＋＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭圆的形状为(　　)
答案　B
解析　如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度变为原来的，则对应的图形为B．
4．椭圆伸缩后可能是________；双曲线伸缩后为________；抛物线伸缩后为________．
答案　椭圆或圆　双曲线　抛物线
5．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．求动点M的轨迹C的方程．
解　如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，
d＝2|MN|，
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
∴动点M的轨迹C的方程为＋＝1．
A级：基础巩固练
　 　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案　C
解析　因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C．
2．方程x2＋xy＝0表示的曲线是(　　)
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
答案　C
解析　x2＋xy＝x(x＋y)＝0，即x＝0或x＋y＝0．
故方程x2＋xy＝0表示两条直线．
3．一个正方形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形可能是(　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．正方形、菱形或矩形
答案　D
解析　正方形在平面直角坐标轴中进行伸缩变换后，图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的．若顶点在坐标轴上，则是菱形或正方形；若顶点在象限内，则是矩形或正方形．
4．在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆＋＝1进行伸缩变换后的图形是(　　)
答案　B
解析　在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆＋＝1的图形变为B．
5．平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是(　　)
A． B． C．2 D．3
答案　A
解析　
以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分．2c＝4，c＝2，2a＝3，∴a＝，
∴b2＝c2－a2＝4－＝．
∴点P的轨迹方程为－＝1x≥．
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是．
6．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinB－sinC＝sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1(x<－3)
C．－＝1 D．－＝1(x<－3)
答案　B
解析　由题意知，B(－6，0)，C(6，0)，
由sinB－sinC＝sinA，得b－c＝a＝6，
即|AC|－|AB|＝6．
所以点A的轨迹是以B(－6，0)，C(6，0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0．其方程为－＝1(x<－3)．
二、填空题
7．在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________．
答案　椭圆
解析　如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆．
8．已知点A(－2，0)，B(－3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2＋1，则点P的轨迹方程是________．
答案　y2＋5x＋5＝0
解析　由题意得＝(－2－x，－y)，
＝(－3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1，
即y2＋5x＋5＝0．
9．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________________．
答案　y2＝x－
解析　过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－x－2＋y2＝1，化简得y2＝x－．
三、解答题
10．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间．
解　
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20．
求得|MN|＝2＝20(km)．
所以＝1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h．
11．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线－＝1的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的．
解　(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线－＝1的图形如图所示．
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如图所示．
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如图所示．
B级：能力提升练
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M0，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
解　(1)设曲线方程为y＝ax2＋，
∵点D(8，0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋．
(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知

得4y2－7y－36＝0．
y＝4或y＝－(舍去)，∴y＝4，
得x＝6或x＝－6(舍去)．
∴C点的坐标为(6，4)，
∴|AC|＝2，|BC|＝4．
所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．

2．1　极坐标系的概念
2．2　点的极坐标与直角坐标的互化
一、极坐标系的概念
1．极坐标系的概念
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．
2．极坐标的概念
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．
为研究方便，当ρ＜0时，点M(ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|＝|ρ|，这样点M的坐标就是(ρ，θ)．
3．点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
二、点的极坐标和直角坐标的互化
1．互化的前提条件
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．
2．互化公式
设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式

ρ2＝x2＋y2
tanθ＝(x≠0)
在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当ρ∈R，θ∈R时，平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的．(　　)
(2)在极坐标系中A1，，B1，是同一点．(　　)
(3)点2，与点2，关于极轴对称．(　　)
(4)点2，化成直角坐标为(，)．(　　)
答案　(1)×　平面上的点的极坐标有无数个．如2，与2，表示同一点．
(2)√
(3)×　点2，与点2，关于极点对称．
(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)点M的直角坐标为0，，则点M的极坐标可以为(　　)
A．，0 B．0，
C．， D．，－
答案　C
解析　∵ρ＝＝，且θ＝，∴点M的极坐标可以为，．
(2)在极坐标系中与点P2，表示同一点的是(　　)
A．－2， B．2，－
C．－2， D．－2，－
答案　C
解析　在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确．
(3)已知A，B两点的极坐标分别为6，和8，，则线段AB的中点的直角坐标为(　　)
答案　－，－
解析　把A，B两点的极坐标化为直角坐标分别是(3，3)，(－4，－4)．由直角坐标系的中点坐标公式得，线段AB的中点的直角坐标为－，－．
(4)若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点A的极坐标是4，，则它的直角坐标为________．
答案　(2，－2)
解析　因为x＝ρcosθ＝4cos＝2，y＝ρsinθ＝4sin＝－2，所以它的直角坐标为(2，－2)．
(5)在极坐标系中A2，，B6，－，则OA，OB的夹角为________．
答案　
解析　OA与OB的夹角∠AOB＝－－＝．
探究　　极坐标的概念
　 　　　　　　　　　　　　　　　
　　　
例1　(1)已知点A的极坐标是6，，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的对称点A′的位置，并写出A′的极坐标：
①ρ＞0，－π＜θ≤π；②ρ＜0，0≤θ＜2π；③ρ＜0，－2π＜θ≤0；
(2)已知点Q(ρ，θ)，求点Q关于直线θ＝的对称点P的极坐标．
解　(1)如图所示，
|OA|＝|OA′|＝6，
∠xOA′＝，
∠xOA＝，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知：
①当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A′点的坐标为6，；
②当ρ＜0，0≤θ＜2π时，A′点的坐标为－6，；
③当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A′点的坐标为－6，－．
(2)由P，Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
　　　　1．点的极坐标的特点
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．由极坐标确定点的位置的步骤
(1)取定极点O；
(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；
(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；
(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．
【跟踪训练1】　(1)在极坐标系中，画出点A1，，B2，，C3，－；
(2)在极坐标系中，点A的极坐标是3，，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0，2π])．
解　(1)如图所示．
(2)作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是．
探究　　极坐标与直角坐标的互化
　　　
例2　(1)分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
①；②；③(π，π)．
(2)分别把下列点的直角坐标化为极坐标(规定ρ≥0，0≤θ<2π)：①(0，0)；②(－1，－1)；③(－2，2)．
解　(1)①∵x＝ρcosθ＝2cos＝，
y＝ρsinθ＝2sin＝1．
∴点的极坐标化为直角坐标为(，1)．
②∵x＝ρcosθ＝3cos＝0，y＝ρsinθ＝3sin＝3．
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，3)．
③∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，
∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)①由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以规定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)．
②∵ρ＝ ＝ ＝，tanθ＝＝1，θ∈[0，2π)．
∵点(－1，－1)在第三象限，∴θ＝．
∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为．
③∵ρ＝＝ ＝4，
tanθ＝＝－，θ∈[0，2π)．
∵点(－2，2)在第二象限，∴θ＝．
∴点的直角坐标(－2，2)化为极坐标为．
(1)将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
(2)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，当ρ≥0，θ∈[0，2π)时，除极点外点的极坐标是唯一的，此时由tanθ＝(x≠0)求角θ时有两解，所以要根据点所在的象限求出角θ，通常称为主值角；当ρ≥0，θ∈R时，点的极坐标是不唯一的，一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)．
【跟踪训练2】　(1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标(规定ρ>0，0≤θ<2π)．
解　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，
因此，点M的直角坐标是(－4，4)．
(2)ρ＝ ＝2，
tanθ＝＝－，
又因为点在第四象限，得θ＝．
因此，点P的极坐标为．
探究　　极坐标的应用
　　　
例3　在极坐标系中，如果点A，B的极坐标分别为A2，，B2，，且△ABC为等腰直角三角形，求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积．
解　解法一：(利用坐标转化)
对于点A2，，直角坐标为(，)，点B2，的直角坐标为(－，－)．
设点C的直角坐标为(x，y)，
由题意得AC⊥BC，
且|AC|＝|BC|，∴·＝0，
即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0，
∴(x－)(x＋)＋(y－)(y＋)＝0，
∴x2＋y2＝4．①
又|AC|2＝|BC|2，于是
(x－)2＋(y－)2＝(x＋)2＋(y＋)2，
即y＝－x，代入①得x2＝2，解得x＝±，
∴或
∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)．
∴ρ＝＝2，tanθ＝－1，θ＝或，
∴点C的极坐标为2，或2，．
S△ABC＝|AC||BC|＝|AC|2＝×8＝4．
解法二：设点C的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0，0≤θ＜2π)，
∵|AB|＝2|OA|＝4，∠C＝，|AC|＝|BC|，
∴|AC|＝|BC|＝2，
即
①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2，
代入①得cosθ－＝0，
∴θ－＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z，
又0≤θ＜2π，令k＝0，1，得θ＝或，
∴点C的极坐标为2，或2，，
S△ABC＝|AC||BC|＝|AC|2＝×8＝4．
1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．
2．坐标平面内两点间的距离公式
(1)如果已知点的直角坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，
那么|AB|＝；
(2)如果已知点的极坐标A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝．
【跟踪训练3】　在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为2，和(3，0)，O为极点．
(1)求|AB|；(2)求S△AOB．
解　解法一：|AB|＝
＝
＝
＝．
S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝×2×3×sin－0＝．
解法二：A，B的直角坐标为A(1，)，B(3，0)，
∴|AB|＝＝．
S△AOB＝×3×＝．
1．极坐标系的概念
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．点的极坐标
每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置，其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．
3．极坐标与直角坐标的互化
事实上，任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．
1．在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　与点M重合的点的极坐标可表示为5，＋2kπ(k∈Z)，故选D．
2．点P关于极轴对称的点的极坐标不可能是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　点P关于极轴对称的点的极坐标为2，－＋2kπ，k∈Z，故D不满足．
3．点M(1，θ)(θ∈[0，π])的轨迹是(　　)
A．射线 B．直线 C．圆 D．半圆
答案　D
解析　因为点M(1，θ)满足ρ＝|OM|＝1，θ∈[0，π]，所以点M的轨迹是以极点为圆心，半径为1的圆的上半部分，即半圆．
4．点A的极坐标是，则点A的直角坐标为(　　)
A．(－1，－) B．(－，－1)
C．(，1) D．(，－1)
答案　C
解析　点A的极坐标是－2，，即2，．所以x＝2cos＝，y＝2sin＝1，∴点A的直角坐标为(，1)．
5．直线l过点A，B，则直线l与极轴的夹角等于________．
答案　
解析　如图所示，先在图形中找到直线l与极轴的夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝．
所以∠ACO＝π－－＝．
A级：基础巩固练
　 　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．极坐标对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　由题意可得ρ＝1，θ＝，
∴x＝ρcosθ＝－，y＝ρsinθ＝，
故它的直角坐标为在第二象限，故选B．
2．已知点A，B的极坐标分别为和，则A和B之间的距离为(　　)
A． B．2 C．3 D．1
答案　A
解析　由已知得|OA|＝3，|OB|＝2，∠AOB＝，所以|AB|＝ ＝．
3．点P关于极点O对称的点的一个极坐标是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　与点P关于极点对称的点的极坐标可表示为(k∈Z)，故选B．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
答案　A
解析　因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
5．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　当ρ<0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．描点时，先找到角－的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点．直线θ＝，就是极角为的那些点的集合．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，但是选项中没有这样的坐标．
又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B．
6．在极坐标系中，已知△OAB的顶点A的极坐标为(，π)，AB边的中点D的极坐标为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B的直角坐标为(　　)
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(－3，－4) D．(3，－4)
答案　C
解析　设顶点B的直角坐标为(x0，y0)．把A，D两点的极坐标化为直角坐标，得A(－，0)，D(－2，－2)，则由中点坐标公式得＝－2，＝－2，解得x0＝－3，y0＝－4，故顶点B的直角坐标为(－3，－4)．
二、填空题
7．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．
答案　(ρ，0)
解析　点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2．
∴y＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．
8．已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
答案　或
解析　如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4．
9．已知点P在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P的极坐标为________．
答案　
解析　∵点P(x，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，
∴x＝－2，且y＝－2，
∴ρ＝＝2，
又tanθ＝＝1，且θ∈[0，2π)，
∴θ＝．
因此，点P的极坐标为．
三、解答题
10．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解　设M(r，0)，
因为A，
所以 ＝5．
即r2－8r＋7＝0．解得r＝1或r＝7．
所以M点的极坐标为(1，0)或(7，0)．
B级：能力提升练
1．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C2，－，D，求它们的直角坐标；
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－1，－)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解　(1)根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A，B－，，C(－，－)，D(2，－2)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tanθ＝得A，B，，C．
2．△ABC的顶点的极坐标为A，B，C．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解　∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，
∠COA＝－＝(O为极点)．
(1)|AB|＝＝＝2．
|BC|＝
＝2，
|AC|＝
＝4．
因为|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形．
(2)S△AOB＝|OA||OB|＝12，
S△BOC＝|OB||OC|sin∠BOC＝12，
S△COA＝|OC||OA|sin∠COA＝8．
所以S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝12－4．
2．3　直线和圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：
(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；
(2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．
那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程，曲线C叫做极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．
2．常见简单曲线的极坐标方程
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．
③将列出的关系式整理、化简．
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
(3)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)θ＝(ρ≥0)表示过极点的直线．(　　)
(2)θ＝(ρ∈R)与θ＝(ρ≥0)表示的曲线不同．(　　)
(3)7sinθ＋2cosθ＝0表示的图形为圆．(　　)
(4)在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标都适合方程．(　　)
答案　(1)×　θ＝(ρ≥0)表示从极点出发，倾斜角为的射线．
(2)√
(3)×　7sinθ＋2cosθ＝0转化为直角坐标方程为7ρsinθ＋2ρcosθ＝0，即2x＋7y＝0表示的不是圆而是直线．
(4)×　在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，只要这一点的极坐标中有一个适合曲线C的方程即可．
2．做一做
(1)在极坐标系中，过点(1，0)并且与极轴垂直的直线方程是(　　)
A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1
答案　C
解析　设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcosθ＝1，即为此直线的极坐标方程．
(2)极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是(　　)
A．3 B． C．1 D．
答案　D
解析　将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，可以用ρ分别乘方程两边得ρ2＝ρ·cosθ和ρ2＝ρ·sinθ，极坐标方程化直角坐标方程为x2＋y2＝x和x2＋y2＝y，它们的圆心分别是，，圆心距是．
(3)点________(“在”或“不在”)曲线ρ＝cos上．
答案　不在
解析　∵cos＝cos＝－≠－，
∴不在曲线ρ＝cos上．
(4)在极坐标系中，极点到直线ρcosθ＝2的距离为________．
答案　2
解析　由ρcosθ＝2得x＝2，所以原点到直线x＝2的距离为2，即极点到直线ρcosθ＝2的距离为2．
探究　　求曲线的极坐标方程
　　　
例1　设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程．
解　设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：
设P(ρ，θ)为轨迹上的一点，
则OP＝ρ，∠xOP＝θ．
在直角三角形ODP中，
OP＝OD·cosθ，
∵OP＝ρ，OD＝2r，
∴ρ＝2rcosθ(ρ≠0，ρ≠2r)．
这就是所求轨迹的方程．
(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系；
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点；
③列出ρ，θ的关系式；
④化简整理．
(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．
【跟踪训练1】　从极点O作圆C：ρ＝2acosθ的任意一条弦ON，求各弦的中点M的轨迹方程．
解　解法一：如图所示，圆C的圆心C(a，0)，半径r＝|OC|＝a，
因为M为弦ON的中点，连接CM．
所以CM⊥ON，
故M在以OC为直径的圆上，
所以动点M的轨迹方程是ρ＝acosθ，－≤θ≤．
解法二：设M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
因为N点在圆ρ＝2acosθ上，所以ρ1＝2acosθ1．①
因为M是ON的中点，所以
将它代入①式得2ρ＝2acosθ，
故M的轨迹方程是ρ＝acosθ，－≤θ≤．
探究　　直线的极坐标方程
　　　
例2　求从极点出发，倾斜角是的射线的极坐标方程．
　　
解　设M(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合
P＝，
将已知条件用极坐标表示，得
θ＝(ρ≥0)．
这就是所求的射线的极坐标方程．方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ无论取任何正值，θ的对应值都是．
求直线极坐标方程的步骤
(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标；
(2)写出动点满足的几何条件；
(3)把上述条件转化为ρ，θ的等式；
(4)化简整理．
【跟踪训练2】　求过A且垂直于极轴的直线的方程．
解　如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)，
∵A，
∴|OH|＝2cos＝．
在Rt△OMH中，
|OH|＝|OM|cosθ，
∴＝ρcosθ，即ρcosθ＝，
∴过A且垂直于极轴的直线方程为ρcosθ＝．
探究　　圆的极坐标方程
　　　
例3　在极坐标系中，求半径为r，圆心为Cr，的圆的极坐标方程．
解　由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接OM，AM，则OM⊥MA．
在Rt△OAM中，
|OM|＝|OA|cos∠AOM，
即ρ＝2rcos，∴ρ＝－2rsinθ，
经验证，点O(0，0)，A的坐标满足上式．
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsinθ．
　　　　(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法．
(2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ；若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
【跟踪训练3】　求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
解　在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos∠COP，
∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或，或等多种形式，其中，只有，的极坐标满足方程ρ＝θ．
2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．
3．我们在研究某些问题时，如果通过直角坐标系来讨论，繁琐且很不方便甚至会遇到很大的困难，而极坐标系的建立，为其提供了方便．建立曲线的极坐标方程的主要方法有：
(1)直接法：根据图形的特点，建立适当的极坐标系，利用条件直接建立极坐标方程．
(2)代入法：就是利用所求轨迹上动点(ρ，θ)来表示另一动点(ρ′，θ′)，而这另一个动点是在已知曲线上运动的，代入已知曲线方程，就能得到所求轨迹方程．
(3)三角形法：就是找出(或作出)一个直角三角形，利用边角关系，或找出一个斜三角形，借助正、余弦定理，从而得到所求轨迹的极坐标方程．
4．几种特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点且极轴到直线的角为α的直线的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．
(2)过点A(a，0)(a>0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ＝a．
(3)过点A(a>0)且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a．
5．图形的对称性
(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．
(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称．
(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．
　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρsinθ＝－2 B．ρcosθ＝－2
C．ρsinθ＝2 D．ρcosθ＝2
答案　A
解析　过点且与极轴平行的直线为y＝－2，即ρsinθ＝－2．
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
答案　C
解析　由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π．
其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
3．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝1 B．ρ＝cosθ
C．ρ＝2cosθ D．ρ＝2sinθ
答案　C
解析　经过极点O且半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cosθ，故选C．
4．过点A(5，0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρsin＝ B．ρcos＝
C．ρsin＝5 D．ρsin＝
答案　A
解析　因为直线θ＝，即直线y＝x，所以过点A(5，0)和直线θ＝垂直的直线方程为y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin＝．
5．在极坐标系中，若直线ρcosθ＝3交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝________．
答案　2
解析　∵ρcosθ＝3即x＝3．
ρ＝4cosθ即ρ2＝4ρcosθ，
即x2＋y2＝4x，∴(x－2)2＋y2＝4．
∴圆心(2，0)到直线x＝3的距离为1，
由勾股定理得|AB|＝2＝2．
A级：基础巩固练
　 　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为(　　)
A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0
答案　D
解析　直角坐标系中倾斜角为的直线对应极坐标系中θ＝和θ＝，ρ≥0两条射线．
2．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝对称的直线方程是(　　)
A．ρcosθ＝－2 B．ρsinθ＝2
C．ρsinθ＝－2 D．ρ＝2sinθ
答案　B
解析　因为ρcosθ＝2，即x＝2，关于θ＝对称的直线的直角坐标方程为y＝2，化为极坐标方程为ρsinθ＝2．故选B．
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A． B．
C．(1，0) D．(1，π)
答案　B
解析　因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋(y＋1)2＝1，圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标是．
4．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　　)
A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
答案　C
解析　在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，
所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
5．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为(　　)
A．ρ＝2cosθ B．ρ＝－2cosθ
C．ρ＝2sinθ D．ρ＝－2sinθ
答案　B
解析　如图所示，P(，π)，
在圆上任找一点M(ρ，θ)，
延长OP与圆交于点Q，
则∠OMQ＝90°，在Rt△OMQ中，
|OM|＝|OQ|·cos∠QOM，
所以ρ＝2cos(π－θ)，
即ρ＝－2cosθ．故选B．
6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于(　　)
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
答案　B
解析　由方程ρ＝4sin，
得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ，
即x2＋y2＝2y－2x．
配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4．
它表示圆心在(－，1)、半径为2、且过原点的圆．
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝对称．
故选B．
二、填空题
7．圆ρ＝2cosθ的半径是________．
答案　1
解析　∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，∴r＝1．
8．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
答案　1∶1
解析　∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，
∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1．
9．已知曲线C与曲线ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线C的极坐标方程是________．
答案　ρ＝10cos
解析　曲线ρ＝5cosθ－5sinθ＝10cos，它关于极轴对称的曲线为ρ＝10cos＝10cos．
三、解答题
10．在极坐标系中，O为极点，求过圆C：ρ＝6cos的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程．
解　易得圆心C的极坐标为，
设直线l上不同于点C的任意一点为P(ρ，θ)，
在Rt△OPC中，|OC|＝|OP|·cos∠COP，
则ρcos＝3，经检验点C的坐标适合上式，故直线l的极坐标方程为ρcos＝3．
B级：能力提升练
1．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0．
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6．所以圆C的半径为．
2．已知半径为R的定圆O′外有一定点O，|OO′|＝a(a>R)，P为定圆O′上的动点，以OP为边作正三角形OPQ(O，P，Q按逆时针方向排列)，求Q点的轨迹的极坐标方程．
解　如图所示，以定点O为极点，射线OO′为极轴正向建立极坐标系，则⊙O′的极坐标方程是ρ2－(2acosθ)ρ＋a2－R2＝0．
设Q(ρ，θ)，则有P，
又P在⊙O′上，
所以ρ2－ρ＋a2－R2＝0．
即所求Q点的轨迹方程为
ρ2－2aρcos＋a2－R2＝0．

2．4　曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
2．5　圆锥曲线统一的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
利用和
把曲线的两种方程进行相互转化．
2．圆锥曲线统一的极坐标方程
设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝．
①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．
②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．
③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线θ＝与ρ＝cosθ相切．(　　)
(2)圆x2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝1． (　　)
(3)圆ρ＝4sinθ的半径为4．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)极坐标方程ρ2cos2θ＝1所表示的曲线是(　　)
A．两条相交直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　D
解析　化为直角坐标方程为x2－y2＝1．
(2)极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是(　　)
A．3 B． C．1 D．
答案　D
解析　将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，可以用ρ分别乘方程两边得ρ2＝ρ·cosθ和ρ2＝ρ·sinθ，极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝x和x2＋y2＝y，它们的圆心分别是，，圆心距是．
(3)化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程是(　　)
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
答案　C
解析　由ρ2cosθ－ρ＝0?ρ(ρcosθ－1)＝0，得ρ＝0或ρcosθ－1＝0，即x2＋y2＝0或x＝1．
(4)ρ＝cosθ－2sinθ的直角坐标方程为________．
答案　2＋(y＋1)2＝
解析　ρ＝cosθ－2sinθ，即ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，
∴x2＋y2＝x－2y．
整理得2＋(y＋1)2＝．
探究　　直角坐标方程化为极坐标方程
　　　
例1　将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y＝x(x≤0); (2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)y2＝4x．
解　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
代入y＝x，得ρsinθ＝ρcosθ，
∴tanθ＝，∴θ＝或θ＝．
又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝，
∴射线y＝x(x≤0)的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．
(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，
即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，
∴ρ＝－2acosθ，
∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为
ρ＝－2acosθ，圆心为(－a，0)，
半径为r＝|a|．
(3)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，
得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．
化简，得ρsin2θ＝4cosθ．
1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0．例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5．事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．
2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．
【跟踪训练1】　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
答案　ρ＝2cosθ
解析　直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入整理得ρ＝2cosθ．
探究　　极坐标方程化为直角坐标方程
　　　
例2　化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．
(1)ρcosθ＝2；(2)ρ＝2cosθ；
(3)ρ2cos2θ＝2；(4)ρ＝．
解　根据点的极坐标化为直角坐标的公式：
ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y．
(1)∵ρcosθ＝2，∴x＝2，是过点(2，0)，垂直于x轴的直线．
(2)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，
∴x2＋y2－2x＝0，即 (x－1)2＋y2＝1．
故曲线是圆心在(1，0)，半径为1的圆．
(3)∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，
即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2．
故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线．
(4)∵ρ＝，∴ρ＝1＋ρcosθ，
∴＝1＋x，两边平方并整理，
得y2＝2x＋．
故曲线是顶点为－，0，焦点为F(0，0)，准线方程为x＝－1的抛物线．
1．将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．
2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．
【跟踪训练2】　在极坐标系中，点2，到直线ρsinθ＝2的距离等于________．
答案　1
解析　极坐标系中点2，对应的直角坐标为(，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y＝2．故所求距离为1．
探究　　曲线方程的综合应用
　　　
例3　在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值．
解　解法一：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，点M为(ρ0，θ)．
∵|OM|·|OP|＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝．
∵M在直线ρcosθ＝4上，
∴ρ0cosθ＝4，即cosθ＝4，
于是ρ＝3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程．
(2)由于点P的轨迹方程为ρ＝3cosθ＝2·cosθ，
所以点P的轨迹是圆心为，0，半径为的圆(去掉极点)．
又直线l：ρcosθ＝4过点(4，0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为1．
解法二：(1)直线l：ρcosθ＝4的直角坐标方程为x＝4，
设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4，y0)，
由∥得y0＝(x＞0)．
又|OM|·|OP|＝12，则|OM|2·|OP|2＝144，
∴(x2＋y2)16＋＝144，
整理得x2＋y2＝3x(x＞0)，
这就是点P的轨迹的直角坐标方程．
(2)由上述可知，点P的轨迹是圆心为，0，半径为的圆(去掉原点)．
又点R在直线l：x＝4上，由此可知RP的最小值为1．
建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．
【跟踪训练3】　在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
解　点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为
ρsinθ·cos－ρcosθ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0．
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1．
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
利用和把曲线的两种方程进行相互转化．根据题意选择适当的方程形式，给问题解决带来便利．
2．圆锥曲线统一的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程为ρ＝．其中e是圆锥曲线的离心率．
①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．
②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．
③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是(　　)
A．以点(－3，0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3，0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
答案　C
解析　由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，即x2＋y2－6x＝0，表示以(3，0)为圆心，半径为3的圆．
2．在极坐标系中，点A(1，π)到直线ρcosθ＝2的距离是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　点A(1，π)化为直角坐标为(－1，0)，直线ρcosθ＝2化为直角坐标方程为直线x＝2．因为点A(－1，0)到直线x＝2的距离为3，所以点A(1，π)到直线ρcosθ＝2的距离为3．
3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点4，作曲线C的切线，则切线长为(　　)
A．4 B． C．2 D．2
答案　C
解析　曲线C的方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点4，化为直角坐标为(2，2)，由切线、圆心到定点的距离及圆的半径构成直角三角形，由勾股定理得 ＝2．
4．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
答案　ρ＝4sinθ
解析　将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，
即ρ＝4sinθ．
5．过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是________．
答案　ρ＝4cosθ(ρ≠0)
解析　
解法一：如图所示，圆C的圆心为C(4，0)，半径为|OC|＝4，连接CM．
因为M为弦ON的中点，所以CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．
所以点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ(ρ≠0)．
解法二：设点M的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
因为点N在圆C上，所以ρ1＝8cosθ1．①
因为M是ON的中点，所以
将它代入①式得2ρ＝8cosθ，
故点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ(ρ≠0)．

A级：基础巩固练
　 　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．x2＋y2－4x＝0的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝2cosθ B．ρ＝2sinθ
C．ρ＝4cosθ D．ρ＝4sinθ
答案　C
解析　把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得ρ2－4ρcosθ＝0，所以ρ＝0或ρ＝4cosθ．
又极点也在ρ＝4cosθ上，故选C．
2．在极坐标系中，已知一个圆的方程为ρ＝12sin，则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρsinθ＝3 B．ρsinθ＝－3
C．ρcosθ＝－3 D．ρcosθ＝3
答案　C
解析　圆ρ＝12sin化为直角坐标方程为
x2＋y2＋6x－6y＝0，
其圆心为(－3，3)，
所以所求直线的直角坐标方程为x＝－3，
化为极坐标方程为ρcosθ＝－3．选C．
3．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为(　　)
A．2 B． 
C．  D．
答案　D
解析　由可知，点的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cosθ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)的距离为．
4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为(　　)
A．ρcosθ＝2 B．ρsinθ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
答案　A
解析　ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．
5．在极坐标系中，圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　将圆的极坐标方程ρ＝(cosθ＋sinθ)的两边都乘ρ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，则圆的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即2＋2＝1．故圆心的直角坐标为，化为极坐标是．
6．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
答案　B
解析　由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2．
二、填空题
7．在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．
答案　1
解析　由极坐标与直角坐标的互化公式可得，极坐标系中点对应的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6对应的直角坐标方程为x＋y＝6，由点到直线距离公式可得，所求距离为＝1．
8．在极坐标系中，定点A，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
答案　
解析　将ρcosθ＋ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0，1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B．
9．在极坐标系中，已知点P，点Q是圆ρ＝2cos上的动点，则|PQ|的最小值是________．
答案　2
解析　已知圆的圆心为C，半径为1，将点P，C的极坐标化为直角坐标为P(－1，)，C．
由圆的几何性质知，|PQ|的最小值应是|PC|减去圆的半径，即|PQ|min＝|PC|－1＝ －1＝3－1＝2．
三、解答题
10．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
(1)x2＋y2－2x＝0；
(2)ρ＝cosθ－2sinθ．
解　(1)∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcosθ＝0．
∴ρ＝2cosθ．
(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ．
即x2＋y2＝x－2y．
B级：能力提升练
1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解　将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0．
由题设知，圆心(1，0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a＝－8或a＝2．故a的值为－8或2．
2．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A，B两点，求线段|AB|的长．
解　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：
圆C：x2＋y2＝10x，
即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5，0)．
直线l：3x－4y－30＝0．
因为圆心C到直线l的距离d＝＝3．
所以|AB|＝2＝8．

1．柱坐标系
导疑1　柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
导思1　柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．
导疑2　在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？
导思2　ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面．
导果　(1)柱坐标系的概念
建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
(2)直角坐标与柱坐标的转化
空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
2．球坐标系
导疑1　在球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示什么图形？
导思1　在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面．
导疑2　在球坐标系中，方程r＝1表示空间中的什么曲面？
导思2　在球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．
导果　(1)球坐标系
建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ．这样点P的位置就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作，其中．
在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，称为高低角．
(2)空间直角坐标与球坐标的转化
空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．(　　)
(2)在柱坐标系中，方程θ＝θ0表示与yOz坐标面成θ0角的半平面．(　　)
(3)在球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面．(　　)
(4)在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面夹角为θ0．(　　)
答案　(1)√
(2)×　表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．
(3)√
(4)√
2．做一做
(1)已知一个点的球坐标为，则它的高低角为(　　)
A．－ B． C． D．
答案　A
解析　∵φ＝，∴它的高低角为－φ＝－．
(2)点P的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)
A．(1，0，0) B．(－1，－1，0)
C．(0，－1，0) D．(－1，0，0)
答案　D
解析　x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，
y＝rsinφsinθ＝1·sinsinπ＝0，
z＝rcosφ＝1·cos＝0，
∴它的直角坐标为(－1，0，0)．
(3)已知点M的直角坐标为(0，1，2)，则它的柱坐标为________．
答案　
解析　ρ＝＝＝1．
∵x＝0，y>0，∴θ＝．
∴点M的柱坐标为．
(4)已知N的柱坐标为，则它的直角坐标为________．
答案　(0，2，3)
解析　由变换公式得
x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2，
故点N的直角坐标为(0，2，3)．
　 　　　　　　　　　　　　　　　
探究　　柱坐标与直角坐标的互相转化
　　　
例1　(1)设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标；
(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．
解　(1)由变换公式
即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2．
tanθ＝＝，又x>0，y>0，点A在第一象限．
∴θ＝，∴点A的柱坐标为．
(2)由变换公式得：
x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8．
∴点P的直角坐标为(2，2，8)．
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ．
利用tanθ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标．
【跟踪训练1】　已知空间点M的直角坐标为(－1，－，3)，求它的柱坐标．
解　由公式得
∴ρ2＝(－1)2＋(－)2＝4．
∴ρ＝2．
∴cosθ＝－，sinθ＝－．
又∵θ∈[0，2π)，
∴θ＝．
即M的柱坐标为．
探究　　球坐标与直角坐标的互相转化
　　　
例2　(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．
解　(1)由变换公式得，
x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2．
y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2．
z＝rcosφ＝4cos＝－2．
故其直角坐标为(2，2，－2)．
(2)由坐标变换公式，可得
r＝＝ ＝4．
由rcosφ＝z＝－2，
得cosφ＝＝－，∵0≤φ≤π，∴φ＝．
又tanθ＝＝1，θ＝(M在第三象限)，
从而知M点的球坐标为．
　　　　由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．
【跟踪训练2】　已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．
解　本题主要考查将球坐标化为直角坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．
∵r＝5，φ＝，θ＝，
∴
即点M的直角坐标为．
探究　　柱坐标系、球坐标系的应用
　　　
例3　在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，B，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
解　如图所示，因为A，B，
可知∠AOO1＝∠O1OB＝，
∴∠O1AO＝∠O1BO＝．
又∠EOC＝，∠EOD＝，
∴∠COD＝－＝．
∴∠AO1B＝∠COD＝．
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，
∴O1B＝O1A＝R．
∵∠AO1B＝，∴AB＝R．
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝．
故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R．
　　　　我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．
【跟踪训练3】　用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，，θB，求出这两个截面间的距离．
解　由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝，
∴在△AOO1中，OO1＝4．
在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，
∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8．
即两个截面间的距离O1O2为8．

1．空间点坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ)．
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ．
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标．
　　　　　　　　　　　　　　
1．柱坐标P转换为直角坐标为(　　)
A．(5，8，8) B．(8，8，5)
C．(8，8，5) D．(4，8，5)
答案　B
解析　由公式得
即P点的直角坐标为(8，8，5)．
2．已知点M的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由公式得
∴ρ2＝32＋32＝18，∴ρ＝3．
∴cosθ＝，sinθ＝．
又∵θ∈[0，2π)，
∴θ＝．
∴M点的柱坐标为．
3．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　r＝ ＝，cosφ＝＝，
∵0≤φ≤π，∴φ＝，tanθ＝＝，
∵x>0，y>0，∴P在Oxy平面上的射影Q在第一象限且0≤θ<2π，∴θ＝，
∴球坐标为．
4．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
答案　(－2，2，2)　
解析　设点M的直角坐标为(x，y，z)
∵点M的球坐标为，
∴x＝4sincos＝－2，y＝4sinsin＝2，z＝4cos＝2，
∴点M的直角坐标为(－2，2，2)．
设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则
∴ρ2＝(－2)2＋22＝8，∴ρ＝2，
∴cosθ＝－，sinθ＝．
又∵0≤θ<2π，∴θ＝．
∴ρ＝2，θ＝，z＝2，
∴点M的柱坐标为．
5．在球坐标系中，方程φ＝表示空间的________．
答案　顶点在原点，轴截面顶角为，中心轴为z轴的圆锥面
解析　数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
A级：基础巩固练
　 　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　∵点M的直角坐标为(，1，－2)，设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴即
∴点M的柱坐标为．
2．在直角坐标系中，(2，2，2)关于z轴对称点的柱坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　(2，2，2)关于z轴对称点为(－2，－2，2)，
ρ＝＝2，
tanθ＝＝＝1，θ＝(在第三象限内)，
所以柱坐标为．选C．
3．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)
A．(－6，2，4) B．(6，2，4)
C．(－6，－2，4) D．(－6，2，－4)
答案　A
解析　由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4)．
4．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0，0，0)的对称点的柱坐标为(0<θ≤π)(　　)
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
答案　C
解析　由柱坐标系中ρ≥0，排除A，B；
P(ρ，θ，z)关于O(0，0，0)对称点坐标中，z变为－z，
θ变为π＋θ，故选C．
5．在柱坐标系中，方程ρ＝2表示空间中的(　　)
A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
D．以原点为球心，半径为2的球面
答案　C
解析　由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．
6．在空间球坐标系中，方程r＝20≤φ≤，0≤θ<2π表示(　　)
A．圆 B．半圆 C．球面 D．半球面
答案　D
解析　设动点M的球坐标为(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ<2π，动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．
二、填空题
7．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为________．
答案　2
解析　点P的直角坐标为(4，4，2)．∴它与原点的距离为＝2．
8．已知点M的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝________，tanθ＝________．
答案　　2
解析　tanφ＝＝，tanθ＝＝2．
9．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
答案　3　
解析　设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，
则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，∴PN⊥直线Oy．
∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
∴|OM|＝＝ ＝3．
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝＝ ＝．
三、解答题
10．求球坐标系中P，Q两点间的距离．
解　将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：
对于点P，x＝3sincos＝，y＝3sinsin＝，z＝3cos＝，
∴P点的直角坐标为，
对于点Q，x＝3sincos＝－，
y＝3sinsin＝，z＝3cos＝，
∴Q点的直角坐标为．
∴|PQ|＝ 
＝，即P，Q两点间的距离为．
11．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π．
12．如图所示，在柱坐标系中，长方体OABC－O1A1B1C1的两个顶点的坐标分别为A1(2，0，3)，C，求此长方体的外接球的表面积．
解　在柱坐标系中，由A1(2，0，3)，C，得
OA＝2，OO1＝3，OC＝4，
∴长方体的体对角线OB1＝＝，
∴长方体的外接球的半径为，
故该长方体的外接球的表面积S＝4π2＝29π．

知识系统整合
规律方法收藏
1．求曲线方程的几种方法
(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ，θ)的等式，我们称此为“直译”．
(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．
(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程．
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量．
2．极坐标的求法
(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
学科思想培优
一、平面直角坐标系中的伸缩变换
函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作把f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的(纵坐标不变)而得到的，函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看作f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式
在使用时要分清新旧坐标．
　　　
例1　在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
解　将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1．
化简，得2＋(y＋3)2＝．
该曲线是以为圆心，半径为的圆．
【跟踪训练1】　在平面直角坐标系中，求直线2x－6y＋1＝0经过伸缩变换后的图形．
解　由伸缩变换得①
将①代入2x－6y＋1＝0，得到经过变换后的图形的方程是2×2x′－6×y′＋1＝0，即4x′－2y′＋1＝0．
因此，经过伸缩变换后，直线2x－6y＋1＝0变成直线4x′－2y′＋1＝0．
二、极坐标的求法
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
　　　
例2　△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
　　
解　如图，令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ．于是由正弦定理，得＝，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ．
【跟踪训练2】　如图所示，在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解　在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
三、极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．
(2)互化公式为：


(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
　　　
例3　把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．
(1)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；
(2)ρ＝4；
(3)2ρcosθ－3ρsinθ＝5．
解　(1)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，
即x2＋y2＝9x＋9y，
又可化为2＋2＝，
是以为圆心，以为半径的圆．
(2)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16．
是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(3)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线．
【跟踪训练3】　在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为ρ＝2sin；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)直线l和曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．
解　(1)∵直线l过点M和极点，
∴直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
ρ＝2sin，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0．
(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，
∴直线l的直角坐标方程为y＝x．
曲线C的圆心坐标为(1，1)，半径r＝，圆心到直线l的距离为d＝，∴|AB|＝＋1．
四、柱坐标系与球坐标系
(1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标．
(2)球坐标：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q．Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐标．
　　　
例4　如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的柱坐标．
解　C点的ρ，θ分别为|OC|及∠COA．
B′点的ρ为|OB|＝＝＝3；
θ＝∠BOA，而tan∠BOA＝＝1．
所以∠BOA＝．
P点的ρ，θ分别为OE、∠AOE，|OE|＝|OB|＝，∠AOE＝∠AOB＝．
所以C点的柱坐标为；
B′点的柱坐标为；
P点的柱坐标为．
【跟踪训练4】　如图，长方体OABC－D′A′B′C′中OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点；OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．
解　r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，
而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，
tan∠OB′B＝＝1，
∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝．
∴点P的球坐标为．
本讲重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题．复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．
第一章　单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分110分，考试时间90分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
　 　　　　　　　　　　　　　　　
1．若以B点为原点，建立直角坐标系，A点坐标为(3，4)，则以点A为原点，建立直角坐标系，B点坐标为(　　)
A．(－3，－4) B．(－3，4)
C．(3，－4) D．(3，4)
答案　A
解析　当以B点为原点，点A在点B的右上方，而以点A为原点，则点B在点A的左下方，在第三象限，故其横纵坐标数值都为负，所以选A．
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有(　　)
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
答案　C
解析　当θ＝时，ρ＝2cosπ＝－2≠0，故点P不在曲线C上；当θ＝π时，ρ＝2cos2π＝2，故点Q在曲线C上．
3．极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线为(　　)
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
答案　D
解析　ρcos2θ＝0，即cos2θ＝0，得θ＝kπ±，k∈Z，它表示两条相交直线．
4．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是(a，π)(a是正数)，则圆C的极坐标方程是(　　)
A．ρ＝－2acosθ
B．ρ＝acosθ(0≤θ<π)
C．ρ＝－2asinθ
D．ρ＝asinθ(0≤θ<π)
答案　A
解析　如图所示，圆心C的极坐标为(a，π)，圆与极轴的反向延长线的交点为P(2a，π)．设M(ρ，θ)是圆上除点O，P以外的任意一点，连接OM和PM，则OM⊥PM．在Rt△OMP中，|OM|＝ρ，|OP|＝2a，∠POM＝π－θ，|OM|＝|OP|cos∠POM，即ρ＝2acos(π－θ)，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－2acosθ≤θ<．
5．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcosθ＝1对称的点的一个极坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　把点A的极坐标化为直角坐标是(0，2)，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程是x＝1．
在直角坐标系中，点A关于直线x＝1对称的点的坐标是(2，2)，化为极坐标是．
6．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝的图形是(　　)
答案　B
解析　ρ＝cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcosθ＝表示过点与极轴垂直的直线．
7．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
答案　A
解析　A中，由ρ＝，得ρcosθ＋ρsinθ＝1，
∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)；
B中，由ρ＝，得y＝1－x；
C中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)；
D中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得x2＋y2＝x＋y．
8．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　D
解析　直线ρsin＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x2＋y2＝16．则所得弦长为2＝4．
9．曲线θ＝与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为(　　)
A．1 B． C．3 D．6
答案　C
解析　极坐标方程θ＝，ρ＝6sinθ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C3，，∠AOC＝，
∴|AO|＝2×3×cos＝6×＝3．
10．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到直线C2：ρsin＝m的距离都等于2，则m的值为(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．0
答案　C
解析　曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，由题意知曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2．
第Ⅱ卷　(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)
11．直线xcosα＋ysinα＝0的极坐标方程为________．
答案　θ＝＋α
解析　ρcosθcosα＋ρsinθsinα＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝．
12．极坐标方程θ1＝(ρ≥0)，θ2＝(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是________．
答案　
解析　如图所示．
射线θ1＝(ρ≥0)，θ2＝(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形的面积是阴影扇形的面积，即×42×＝．
13．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．
答案　ρsin＝
解析　曲线C1：ρ＝2sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0，1)，半径为1；曲线C2：ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C2(1，0)，半径为1．易知线段AB的垂直平分线即两圆圆心所在直线C1C2，直线C1C2的直角坐标方程为x＋y－1＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋＝．
14．已知伸缩变换为曲线C在此变换下变为椭圆＋y′2＝1，则曲线C的方程是________．
答案　x2＋＝1
解析　∵
∴将其代入椭圆方程＋y′2＝1，
得＋2＝1，
即x2＋＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1．
三、解答题(本大题共4小题，满分40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)已知点C的极坐标为，求出以C为圆心，半径r＝2的圆的极坐标方程(写出解题过程)．
解　设M(ρ，θ)为圆上任意一点，
则∠MOC＝θ－或－θ，由余弦定理得
4＋ρ2－4ρcos＝4．
∴极坐标方程为ρ＝4cos．
16．(本小题满分10分)极坐标方程ρ＝－cosθ与ρcosθ＋＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解　ρ＝－cosθ可变为ρ2＝－ρcosθ，化为普通方程为
x2＋y2＝－x，
即2＋y2＝它表示圆心为，半径为的圆．
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，
∵圆心到直线的距离为
＝>，
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分10分)设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解　(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，即ρ1＝2cosθ1，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，
∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ．
将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ．
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示圆心在点，半径为的圆．
18．(本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0．
(1)求圆心C的极坐标；
(2)过极点O作圆C的切线，求切线的极坐标方程．
解　(1)圆C的极坐标方程可化为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，化为标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝2，故圆心的直角坐标为(2，2)，化为极坐标是．
(2)圆C的半径为，设切点分别为A，B，可得∠COA＝∠COB＝，所以切线的极坐标方程为θ＝－＝(ρ∈R)，θ＝＋＝(ρ∈R)．

1．参数方程
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数①，并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．
2．普通方程
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫做曲线的普通方程．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的参数t一定有实际意义．(　　)
(2)曲线的参数方程一定是唯一的．(　　)
(3)(－1，－2)在曲线(t≥0)上．(　　)
(4)若(2，a)在曲线(t∈R)上，则a＝4．(　　)
答案　(1)×　参数是联系变量x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
(2)×　同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如(t∈R)和(m∈R)都表示直线x＝2y＋1．
(3)×　曲线(t≥0)，∴∴(－1，－2)不在此曲线上．
(4)√
2．做一做
(1)已知曲线C的参数方程是(t为参数)，则点M(0，1)________(填“在”或“不在”)此曲线上．
答案　在
解析　把点M(0，1)的坐标代入参数方程得解得t＝0．
∴点M(0，1)在此曲线上．
(2)已知点M(2，－2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．
答案　1
解析　由t＋＝2知t＝1．
(3)满足条件的t的每一个值所确定的点M(x，y)在怎样的曲线上？上式能否称为该曲线的参数方程？
解　由得x＋y＝3．
所以点M在直线x＋y－3＝0上．
而直线x＋y－3＝0上任一点(x，y)可由t＝x－2得到y＝1－t，即
因此，该式为直线x＋y－3＝0的参数方程．
　 　　　　　　　　　　　　　　　
探究　　判断点与曲线的位置关系
　　　
例1　已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，－1)和M2(