课件13张PPT。二项式定理① 项：② 系数： 1③ 展开式： 推导 展开式
问题1分析猜想仿照上述过程,推导 的展开式.问题2①项：②系数：③展开式：分析 的展开过程，证明猜想.问题3n个(a+b)相乘分析④二项展开式的通项:③二项式系数:①项数：②次数：共有n＋1项 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .二项式定理的规律.问题41．项：是指二项展开式中的第几项这个整体.2．项的系数：是指二项展开式中“项”这个整体中，变量前的系数，包括正负号.3．二项式系数：是指二项展开式中“项”最前面的组合数．区分二项式定理中的基本概念.问题5第4项二项式系数第4项的系数例如 展开式第4项，第4项的二项式系数，第4项的系数如下：答案用二项式定理展开下列各式：典例分析1解析求(x+a)12的展开式中的第4项与倒数第4项.典例分析2答案解析答案解析化简：典例分析3 求 的展开式的中间项与常数项.典例分析4答案解析答案解析若 的展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．典例分析5已知 的展开式中x3的系数为9，则常数a的值
是_______.实战练习1答案解析1实战练习2答案解析A 二项式 的展开式中，不含a的项是第( )项.
A.7 B.8 C.9 D.6注意二项式定理中二项展开式的特征；区别二项式系数，项的系数；掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。123小 结选修2-3 第一章 §1.3.1二项式定理
班级 姓名
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
学习过程
一、课前准备
复习1：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，
的次数规律是 ，各项系数分别是 .
复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 二项式定理
问题1： 猜测 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知： （）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做的展开式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.
试试：写出 ，
⑴ 展开式共有 项，
⑵ 展开式的通项公式是 ；
⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .
反思：的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
※ 典型例题
例1、 用二项式定理展开下列各式：
⑴ ； ⑵
例2、求(x+a)12的展开式中的第4项与倒数第4项.
例3、化简：
例4、求的展开式的中间项与常数项.
例5、若 的展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
三、总结提升
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征；
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.
课后作业
一、基础训练题
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
3．(2x－)9的展开式中，常数项为( )
A．－672 B．672
C．－288 D．288
4．设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于( )2·1·c·n·j·y
A．x5 B．(x＋2)5
C．(x－1)5 D．(x＋1)5
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5．在(＋)n的展开式中，常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6
C．9 D．12
6．(2010·陕西理，4)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．1 D．2
7．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________(用数字作答)．
8．对于二项式(＋x3)n(n∈N＋)，四位同学作出四种判断：
甲：存在n∈N＋，展开式中有常数项；
乙：对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；
丙：对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项；
丁：存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．
其中判断正确的是________．
9．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
10．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
二、提高训练题
11．在n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )
A．3 B．5
C．8 D．10
12．在20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
13．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N*)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
选修2-3 第一章 §1.3.1二项式定理参考答案
1、[答案] B
2、[答案] D
[解析] ∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，
解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C.
3、[答案] B
[解析] Tr＋1＝C(2x)9－r(－)r＝(－1)r29－rC·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.21cnjy.com
∴常数项为23C＝8C＝672.
4、[答案] B
[解析] P＝C＋C(x＋1)＋C(x＋2)2＋…＋C(x＋1)5＝(x＋1＋1)5＝(x＋2)5.【来源：21·世纪·
5、[答案] B
[解析] Tr＋1＝C()n－r()r＝2rCx .
令＝0，则n＝3r.
∴2rC＝60，试验知r＝2，∴n＝6.
6、[答案] D
[解析] C·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，
由C·a＝10，得a＝2.
7、[答案] 2
[解析] C(x2)3·3＝x3＝x3，∴a＝2.
8、[答案] 甲丁
[解析] 由通项公式
Tr＋1＝C()n－r·(x3)r＝Cx4r－n
若r＝1，则n＝4，T2就是常数项，令r＝1，n＝3时，就存在x的一次项．
因此应填甲、丁．
9、解 T5＝C()n－424x－8＝16Cx，
T3＝C()n－222x－4＝4Cx.
由题意知，＝，解得n＝10.
Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，
令5－＝0，解得k＝2，
∴展开式中的常数项为C22＝180.
10、解 已知二项展开式的通项
Tk＋1＝C·＝(－1)kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
11、[答案] B
[解析] Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n的最小值为5.
12、[答案] A
[解析] Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r，
∵系数为有理数，
∴()r与2均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除，
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.
13、解 (1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为
C＋C＝C＋C＝＋
＝n2－19n＋171＝(n－)2＋，
∵n∈N*，∴当n＝9，或n＝10时，
x2的系数取最小值()2＋＝81.
当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，
此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.21教育网
