高中数学重难点专题突破
专题六 线性规划问题求解策略
【高考地位】
线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来，高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题.
【知识要点】
1.平面区域的确定方法是“直线定界,特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等,只需把区域画出来,结合图形通过计算解决．
2.线性目标函数中的z不是直线在y轴上的截距,把目标函数化为可知是直线在y轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
3.线性规划中常见目标函数的转化公式：
（1）截距型：与直线的截距相关联.若b>0,当的最值情况和z的一致；
若b<0,当的最值情况和z的相反；
（2）斜率型：/
（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；
（4）点线距离型：表示到直线的距离的倍.
【典例分析】
类型一、可行域问题
【例1】“”是“关于、的不等式组表示的平面区域为三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】已知区域，则圆与区域有公共点，则实数的取值范围是__________．
类型二、线性规划中的范围或最值问题
【例3】若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．
【例4】已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
【例5】已知实数满足，则的取值范围是_______．
【例6】已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
类型三、线性规划中的参数问题
【例7】变量满足约束条件，若的最大值为，则实数等于( )
A． B． C． D．
【例8】设，满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值为 ．
【例9】当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是_________．
类型四、最优解的个数问题
【例10】若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例11】，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
或 B．或 C．或 D．或
类型四、线性规划与其它知识知识交汇问题
【例12】已知变量x,y满足约束条件
??+2??≥1,
??-??≤1,
??-1≤0,
若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是( )
A．(-6,-2) B．(-3,2) C．
-
10
3
,-2
D．
-
10
3
,-3
【例13】关于的不等式组所确定的区域面积为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
类型五、线性规划应用题
【例14】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．
【课后练习】
选择题.
1．已知实数x，y满足：则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A． B．[0,5] C． D．
2．已知实数x，y满足约束条件则|y－x|的最大值是( )
A．2 B． C．4 D．3
3．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若z＝mx＋y在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z的最小值是( )
A．－1 B．1 C．0 D．0或±1
6．已知实数满足，则的最大值是( )
A． B．9 C．2 D．11
7．设在约束条件下，目标函数的最大值大于2，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解有无数个，则实数的取值集合是( )
A． B． C． D．
9．已知实数满足，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．设实数满足,则的取值范围为( )
A． B． C． D．
11．已知/满足约束条件/，若/的最大值为4，则/( )
A．3 B．2 C．-2 D．-3
12．设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为( )
A． B． C． D．4
13．已知由不等式确定的平面区域的面积为7，则的值( )
A． B． C． D．
14．设点（）是区域内的随机点，函数在区间[）上是增函数的概率为( )
A． B．/ C．/ D．/
15．若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则等于 ( )
A．1 B．2 C．1．5 D．3
16．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是( )
A． B． C． D．
17．当实数满足不等式时，恒有成立，则实数的取值集合是( )
A． B． C． D．
18．函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1，0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( )
A． B． C． D．
19．已知函数的图像过原点，且在原点处的切线的斜率是，则不等式组所确定的平面区域在圆内的面积为( )
A． B． C． D．/
20．已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是( )
A． B． C． D．
21．若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A． / B． C． D．
22．若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( )
A． B． /C． D．
23．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0
24．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11280元 B．12480元 C．10280元 D．11480元
25．设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是( )
A．[2，2] B．(2，3] C．(3，2] D．(0,2)∪(2，＋∞)
26．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．3 D．6
27．一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是( )
A．16 B．18 C．20 D．36
28．三个正数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知点表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．-1
30．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2 B．1 C. D.
二、填空题.
31．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为 ．
32．若不等式组/表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数/的取值范是 ．
33．若实数满足，设，则的最大值为
34．若变量/满足约束条件/，且/仅在点/处取得最大值，则实数/的取值范围为
专题六 线性规划问题求解策略参考答案
【例1】【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图的阴影部分所/示，而不等式
所表示的平面区域是位于直线上及其以下的部分，直线交轴于点，直线与直线相交于点，当直线在从原点沿着点方向运动或在点以上的区域运动时，不等式组所表示的平面区域为三角形．当直线经过坐标原点时，；当直线经过点时，则有；当直线经过点，则有．结合图形知实数的取值范围是，故“”是“关于、的不等式组表示的平面区域为三角形”的充分不必要条件，故选A．
【例2】【答案】
【解析】先在坐标系中作出区域，圆的圆心为，半径为，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件．当圆与相切时，则，由圆心位置可得；当圆与相切时，，所以．
【例3】【答案】[－2,2]
【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值
2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．
【例4】【答案】
【解析】目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝.
【例5】【答案】
【解析】，其中可视为与连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线与在第一象限相切时，取得最小值，解得：
，，而时，，所以．
【例6】【答案】15
【解析】因为 x2＋y2≤1，所以2x＋y－4＜0，
6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
令z＝10－3x－4y，
如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，所以直线OA的方程为y＝x.
联立得A(－，－)，
所以当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×(－)－4×(－)＝15.
【例7】【答案】C
【解析】本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数，若最大则动直线的纵截距最小，可观察到为最优解．，则有
，解得：．
【例8】【答案】．
【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴，即，∴，当且仅当等号成立．故的最大值为．
【例9】【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域（如图），设，则有，，则要对斜率的符号进行分类讨论，若，从图上可看出，不符题意；时，不符题意；若，无论为何值，最优解在顶点处取得，所以代入区域的顶点，
可得：，解得．
[:]
【例10】【答案】A
【解析】画出可行域，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是
【例11】【答案】D．
【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或/的斜率相等，∴或．
【例12】【答案】C
【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则
??(-3)>0,
??(1)>0,
-3<
??
2
<1,
??=
??
2
-4>0
?-
10
3
【例13】【答案】B
【解析】要求出的最值，则需要的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等式的
表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为，宽为，所以，即，作出双曲线，通过平移可得直线与相切时，取得最小值．即：，，解得，所以的最小值为．
【例14】【答案】27
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，
由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，
求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．
1．【答案】D
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.
2．【答案】D
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1,2)，B(4,1)，当直线z＝x－y过点A时zmin＝－1，过点B时zmax＝3，则－1≤x－y≤3，则|y－x|≤3.
3．【答案】
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0,1)，z＝·＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，显然当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，且zmax＝2.故选D.
4．【答案】C
【解析】由不等式2x＋y<6，得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，05．【答案】C
【解析】画出平面区域如图，可以判断出z的几何意义是直线mx＋y－z＝0
在y轴上的截距，只有直线mx＋y－z＝0与直线x－2y＝0重合时，才符合题意，
此时，相应z的最小值为0.
【答案】B
【解析】先画出二元一次不等式所表示的平面区域（如图），则要使最大，只需y要最大，x最小，由图像可知当经过定点时，z最大，最大值为9，选B
7．【答案】B
【解析】把目标函数转化为，表示是斜率为，截距为的平行直线系，当截距最大时，最大，当过点时，截距最大，解之得．
8．【答案】B
【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示．由得：．当时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，时，线段AC上的所有点都是最优解；当时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当时，线段BC上的所有点都是最优解．故选B．
/ //
9．【答案】D
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2.因为、，所以，所以由图可知或，所以或，即或，故选D.
10．【答案】C
【解析】令，作出可行域，可知可视为连线的斜率，，且为关于的增函数，
所以．
【答案】B
【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在y轴上的截距z减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在y轴上的截距z增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B。
【答案】A
【解析】作出x,y满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目前函数经过点取得最大值12，即，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故选A。
/ /
【答案】B
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域是等腰直角三角形且面积为8。由于直线恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为6，由于6< 7，由此可得k<0。由可得，依题意有，解得或（舍去），故选B.
14．【答案】
【解析】表示的区域的面积为．函数在区间[）上是增函数，则，∴概/率．
15．【答案】B．
【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直线
应过，从而故选B．
16．【答案】C
【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点．
【答案】B
【解析】画出可行域，直线恒过定点（0 , 2），则可行域恒在直线的下方，显然当时成立，当时，直线即为，其在x轴上的截距，综上，可得.
18．【答案】D
【解析】∵函数的图像关于点（1，0）对称，∴/的图象关于原点对称，即函数/为奇函数，由得/，
∴/，∴/，即/，
画出可行域如图，可得/=x+2y∈[0，12]．故选D．
19．【答案】B
【解析】由函数的图像过原点得：，又函数在原点处的切线的斜率是，，，其对应的平面区域如图所示，
不等式组所确定的平面区域在圆内的面积为：，故选B．
【答案】D
【解析】当时，对应的平面区域为阴影部分，由得，平移直线由图像可知当直线经过点C时，直线的截距最大，此时解得，即，代入得.当时，对应的平面区域为阴影部分ODE，平移直线，由图像可知当直线经过点E时，直线的截距最大，此时解得，即，代入得.目标函数的最大值的变化范围是，即[7,8]，选D.
//
21．【答案】B
【解析】画出不等式组的平面区域如题所示，由得，由得，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即
．故选B．
【答案】D
【解析】在直角坐标系中作出区域A，当a从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域为下图中的四边形AODE,所以其面积为，故选D。
/ /
23．【答案】D
【解析】作出不等式组
表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1、l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.
24．【答案】B
【解析】设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则目标函数z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，
C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且其
最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.
25．【答案】D
【解析】圆C不经过区域D有两种情况：①区域D在圆外；②区域D在圆内．由于不等式组中的一个不等式对应的直线y＝x正好经过圆的圆心，故利用圆的性质即可求解出r的取值范围．作出不等式组
表示的平面区域，得到如图所示的△MNP及其内部，其中M(1，1)，N(2,2)，P(1,3)，且MN⊥PN.∵圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)表示以C(－1，－1)为圆心，r为半径的圆．∴由图可得，当半径满足rCP时，圆C不经过区域D上的点．又∵CM＝＝2，CP＝＝2，∴当02时，圆C不经过区域D上的点．
/ /
26．【答案】C
【解析】由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.
27．【答案】C
【解析】平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC为对角线时，由中点坐标公式得AC的中点为，也是BD的中点，可知顶点D1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC为对角线时，得D2的坐标为(8,0)，当以AB为对角线时，得D3的坐标为(－2,8)，由此作出(x，y)所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z＝2x－5y经过点D1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.
/ /
28．【答案】A
【解析】∵，
设，则有，其可行域如图，其中A()，B()，∴［，］．
29．【答案】C
/
30．【答案】B
【解析】不等式所表示的可行域如图所示，设a＝x＋y，b＝x－y，
则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，
又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1.
31．【答案】
【解析】作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆．，所以外接圆圆心为中点，半径为，所以圆方程为．
32．【答案】/
【解析】不等式组所表示的区域是由直线和过定点的直线所围成的平面区域，如下图:
/
由图可知，要使阴影部分成锐角三角形，动直线与直线的交点必须位于
点和点之间，此时．
33．【答案】
【解析】，其中为可行域中的点与原点连
线斜率的倒数，作出可行域可知：，所以，从而可计算出．
34．【答案】/
【解析】由约束条件画出可行域如图所示，/表示的几何意义是:点与连线的斜率的取值范围.当时,通过图象旋转可知,不可能在处取到最大值,舍去；当/时,若
/,则必然存在/与可行域有交点,此时无斜率,可以理解为斜率趋向于正无穷,故无最大值；当/时,在点/处取到最大值,在/处取得最小值,符合题意
课件17张PPT。线性规划问题求解设计与主讲：李君1．求z=ax+by的最大、最小值，就是先求经过可行域内的点的平行直线
在y轴上截距的最大、最小值，再求出z的最大、最小值.2．求 的最大、最小值就是求可行域内的点P(x, y)到点(a,b)的距离平方的最大、最小值.3．求 的最大、最小值就是可行域内的点P(x, y)和与点(a,b)连线的斜率的最大、最小值.常见目标函数的几种形式【例题1】解析答案“m≥3”是“关于x、y的不等式组 表示的平面区域为三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A当0不等式表示的平面区域是三角形【例题3】解析答案若变量x，y满足 ，则2x＋y的取值范围为________．[－2,2]2x+y=my= -2x+m当直线y= -2x+m平移至C点时，
m取得最大值，mmax=2当直线y= -2x+m平移至A点时，
m取得最小值，mmin=-2【例题4】解析答案已知实数x，y满足 ，则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．D(2,2) 点(2,2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
【例题6】解析答案2x＋y－4=06－x－3y =0∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|
＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.15令z＝10－3x－4y∵ x2＋y2≤1, ∴2x＋y－4＜0, 6－x－3y＞0当直线 3x+4y+z-10＝0与圆x2＋y2=1相切时，
z取最值。【例题10】解析答案若x，y满足约束条件 目标函数z＝ax＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－4,2) B．(－4,1) C．(－∞,-4)?(2,+∞) D．(－∞,-4)?(1,+∞)Az＝ax＋2yax＋2y＝0某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【例题14】解析答案27设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，利润z＝5x＋3y，经验证,当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，
乙产品4吨时可获得最大利润27万元．作出可行域如图中阴影部分所示，