高中数学重难点专题突破
专题八 圆锥曲线客观题解题策略
【高考地位】
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，是高考的热点，而圆锥曲线的离心率问题，最值问题，定值问题与定点问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【典例分析】
类型一 最值与范围问题
方法1、圆锥曲线的定义转化法
【例1】已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 .
【例2】已知是椭/圆内的两个点，是椭圆上的动点，则的最大值是 ，最小值是 ．
【例3】抛物线/上一点/到直线/的距离与到点/的距离之差的最大值为( )
A./ B./ C./ D./
方法2、切线法
【例4】求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
方法3、参数法
【例5】在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________.
方法3、函数法
【例6】已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为___________．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
类型二 直线与圆锥曲线的位置关系
【例7】斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
【例8】如果直线与双曲线，只有一个公共点，则的值为 .
【例9】已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A． B． C． D．
【例10】若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求a的范围．
类型三 圆锥曲线的离心率问题
【例11】椭圆＋＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
【例12】已知双曲线/，/、/是实轴顶点，是右焦点，/是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以/为斜边的直角三角形，则双曲线离心率/的取值范围是( )
A． B． C． D．
类型四 圆锥曲线中的定值定点问题
【例13】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、， 、为切点，则直线经过定点( )
A． B． C． D．
【例14】已知椭圆C：上A(2,0)和B(0,1)两点，设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则四边形ABNM的面积为 .
类型五 圆锥曲线综合性问题
【例15】已知A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上的两动点，F为其焦点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|＝λ|AB|，则λ的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
【例16】已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【课后练习】
一、选择题.
1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于( )
A． B． C． D．4
2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )
A．k＞－ B．k＜ C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
3．已知椭圆：，点与的焦点不重合. 若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则( )出处：21教育名师】
A．6 B．9 C．12 D．18
4．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l一定过点( )
A．(－3,0) B．(3,0) C．(－1,3) D．(－2,0)
5．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，/过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直/线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．若椭圆/与直线/交于/两点，过原点与线段/的中点的直线的斜率为/，则/的值为( )
A． / B． / C．/ D．/
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
8．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A．
B．
C．
D．
9．过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为( )
A．－ B．－ C．－4 D．无法确定
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为( )
A．5 B．4 C． D．
11．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
12．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，即P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B．＋ C．6 D．7＋
13．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
14．双曲线的中心在坐标原点O，A、C分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于D，若双曲线离心率为2，则的余弦值为( )
A． B． C． D．
15．设直线l与抛/物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题.
16．过抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作与直线x＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．
17．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是 ．
18．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为 .
19．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
20．已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
21．抛物线的焦/点为，点为该抛物线上的动点，又已知点，则的取值范围是 .
专题八 圆锥曲线客观题解题策略参考答案
【例1】【答案】9
【解析】设双曲线右焦点为，则，
所以
【例2】【答案】
【解析】由已知得是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义得
因为所以
故的最小值和最大值分别为的.
【例3】【答案】D
【解析】作出抛物线/的图像如下图所示，则点F为抛物线的焦点，
直线x=-1为抛物线的准线，过点P作PD垂直于直线x=-1，
垂足为点A，由抛物线的定义可知PF=PA,
则点P到直线x=-1的距离与点Q(2,2)的距离之差等于PF-PQ,
当P,Q,F三点不共线时，由三角形三边之间的关系可知，PF-PQ当点P为射线FQ与抛物线的交点时，,
此时点P到直线x=-1的距离与到点Q(2,2)的距离取到最大值，故选D.
【例4】解:设与直线平行，且与椭圆相切的直线为
所以
所以
当时，代入(2)中，得切点坐标此时
当时，代入(2)中，得切点坐标此时
【例5】【答案】2
【解析】设点坐标为
则，当时，
【例6】【答案】－14
【解析】设/：，代入抛物线方程，得，
因为与抛物线相切，所以，解得，
所以：．由抛物线的方程，知，所以：．
设，由，得，所以，
所以．设，则，，
所以＋
＝＋
＝，
所以的最小值为－14．
【例7】【答案】
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，
由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1·x2＝，
则弦长|AB|＝＝4×≤.
【例8】【答案】±1或±
【解析】直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，故k的值为±1或±.
【例9】【答案】D
【解析】设有,
由椭圆方程可得，，
两式作差，整理得.
【例10】【答案】>
【解析】解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线对称的两点，
则AB的方程可设为。
解方程组：得AB中点C的坐标，
联立消去y得，
解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，
解方程组： ∵+≠0 ∴=－，
代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。
【例11】【答案】
【解析】设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ. 又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.
【例12】【答案】B
【解析】由已知是以/为斜边的直角三角形，则在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆与线段相交，直线的方程为，即，
所以且，整理得且，
解得且，所以，故选B．
【例13】【答案】A
【解析】设 则
即因此??、??在直线上，
直线AB方程为，又，
所以
即，直线AB经过定点，选A.
【例14】【答案】2
【解析】设，则
PA所在直线方程为取，得
PB所在直线方程为取，取
∴四边形ABNM面积为定值2.
【例15】【答案】A
【解析】过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BC∥AD，
所以|MN|＝(|BC|＋|AD|)，又因为|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，所以|MN|＝(|BF|＋|AF|)，
又|MN|＝λ|AB|，所以2λ|AB|＝|AF|＋|BF|，两边平方得4λ2|AB|2＝|AF|2＋|BF|2＋2|AF||BF|，
即4λ2＝.
在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos60°，
即|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|，所以4λ2＝，
由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|≥2|AF||BF|－|AF||BF|＝|AF||BF|，
故|AB|2≥|AF||BF|，所以4λ2＝≤＝4，
因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.
【例16】【答案】D
【解析】设点则设由
设 令则
令
【答案】C
【解析】选C.由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.
【答案】D
【解析】由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.
3．【答案】C
【解析】如图，的中点为，易得，因为在椭圆上，所以，所以，故选C.
4．【答案】A
【解析】设直线l的方程为x＝my＋b，联立直线和抛物线的方程得
整理得y2－2my－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－2b，y1＋y2＝2m，
故x1x2＝(my1＋b)·(my2＋b)＝m2y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝－2bm2＋2bm2＋b2＝b2.
因为k1k2＝＝＝，解得b＝－3，故l的横截距为定值－3，即l一定过点(－3,0)．
5．【答案】A
/
6．【答案】A
【解析】设，线段/的中点为，
把点的坐标代入椭圆/，
并相减可得，
由题意知，
代入上式可得，故选A.
7．【答案】C
【解析】由，故，∴.
法1【余弦定理】，
∴，∴，
∴，解得，∴，选C.
法2： ；，，，∴，，∴，排除A，B，D，选C.
8．【答案】A
【解析】由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，
易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.
由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.
∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，
且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.
在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－，
代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
＝(k2＋1)·x1x2－k(x1＋x2)＋＝－(k2＋1)－k·(－k)＋＝－.故选B.
【答案】B
【解析】根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，
故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，
联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，
＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
【答案】D
【解析】16x2＋25y2＝400可化为＋＝1，则椭圆的左焦点为F(－3,0)，
又抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－，所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．
设A(x，y)，则由|AK|＝|AF|得(x－3)2＋y2＝2[(x＋3)2＋y2]，即x2＋18x＋9＋y2＝0，
又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3.
12．【答案】C
【解析】解法一：设Q(x，y)，－1≤y≤1.
因为圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为T(0,6)，半径r＝，
则|QT|＝＝＝≤5，
当y＝－时取等号，所以|PQ|max＝5＋＝6.故选C.
解法二：设Q(cosθ，sinθ)，圆心为M，由已知得M(0,6)，
则|MQ|＝
＝
＝
＝≤5
，
故|PQ|max＝5＋＝6.
13．【答案】B
【解析】解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(－2,0)，A2(2,0)，
则有k1k2＝·＝＝＝－，因为－2≤k2≤－1，
所以k1>0且－2≤－≤－1，即1≤≤2，解得≤k1≤.故选B.
解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k2＝－1，则直线PA2的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程并整
理得7x2－16x＋4＝0，解得x1＝2，x2＝，从而可得点P的坐标为，
于是直线PA1的斜率k1＝＝.同理，令k2＝－2，可得k1＝.结合选项知，选项B正确．
14．【答案】C
【解析】由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），．
∴BF=c-a=a，BD 的方程为，即 bx-ay+ab=0，
DC的方程为，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由得 D ，又，
∴，，
三角形BDF中，由余弦定理得，
15．【答案】D
【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.
设
因为点M在圆上，
所以
又
.
16．【答案】(2,0)
【解析】抛物线的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0，
又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F(2,0)．
17．【答案】
【解析】由题意：，的最大值为，
的最小值为，当且仅当轴时，取得最小值，此时，
代入椭圆方程可得，，， ，故答案为.
18．【答案】
【解析】由双曲线的性质可知，，，∴，，
，故填：.
19．【答案】
【解析】双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，
kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝.
20．【答案】x＋2y－3＝0
【解析】法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，
两交点设为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝，
又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，
两交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则＋＝1，① ＋＝1，②
①－②得＋＝0，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0，所以k＝＝－.
所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
21．【答案】
【解析】由抛物线的定义可得，又，
，
当时，；当时，，
，当且仅当即时取等号，于是，
，，
综上所述的取值范围是.
课件17张PPT。圆锥曲线客观题解题策略设计与主讲：李君【例题1】解析答案已知点F是双曲线 的左焦点，定点 是双曲线右支上动点，则 的最小值为 . 9设双曲线右焦点为F',F'P
