高中数学重难点专题突破
专题四 二项式定理常见解题策略
【高考地位】
二项式定理有关问题/，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
【知识要点】
1、二项式定理的展开式：,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项.
注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；
二项式定理的通项：二项展开式中第r+l项
3、项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．
(2)增减性与最大值：
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值.
当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.
当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和：∵,令,则 ,
(4)二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,很小时,有.
(5)则设.有：
① ②
③ ④
⑤
【典例分析】
类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
【例1】(1)设是展开式的中间项,若在区间上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A．（－∞,5） B．（－∞,5] C．（5,＋∞） D．[5,＋∞）
(2)的展开式中的常数项为 .
(3)若的展开式中的常数项为,则的值为( )
A．6 B．20 C．8 D．24
类型二 二项式系数的性质与各项系数和
【例2】(1)设二项式n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则＝( )
A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3
【例3】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.
(1)求的二项式系数最大的项； (2)求的展开式系数绝对值最大的项..
类型三 二项式定理的应用
【例4】(1)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．
(2)已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(mod m),例如：5≡13(mod 4).若22015≡r(mod 7),则r可能等于( )
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
(3)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
【例5】求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．
【课后练习】
选择题
1．设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝( )
A．i B．－i C．－1－i D．1＋i
2．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9 B．10 C．－9 D．－10
3．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180 B．120 C．90 D．45
4．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
5．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
6．设an是(1－)n的展开式中x项的系数(n＝2,3,4，…)，若bn＝，则bn的最大值是( )
A. B. C. D.
7．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )
A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5
8．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x＋y＝1,xy<0,则x的取值范围是( )
A．(－∞,) B．[,＋∞) C．(－∞,－] D．(1,＋∞)
已知//,则从集合/(/
/)到集合/的映射个数是( )
A．6561 B．316 C．2187 D．210
10．已知,则（ ）
A．-16 B．-8 C．8 D．16
二、填空题
11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3＝________.
12．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________．
13．若展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．
14．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．
15．设a＝(sin x－1＋2cos2)dx，则(a－)6·(x2＋2)的展开式中常数项是________．
16．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11、 . 12、 . 13、 .
14、 . 15、 . 16、 .
专题四 二项式定理常见解题策略参考答案
【例1】(1)【答案】D
【解析】由题意可知,
由得在区间上恒成立,所以,故选D．
(2)【答案】
【解析】
(3)【答案】A
【解析】因为的展开式中的常数项所以
【例2】(1)【答案】C
【解析】由题意知an＝2n成等比数列,令x＝1则bn＝也成/等比数列,所以＝2n＋1.
(2)【答案】A
【解析】令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，
令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，
即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
【例3】
/
【例4】(1)【答案】10
【解析】在已知等式两边对x求导,得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x/＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4,令x＝1,得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.
(2)【答案】A
【解析】22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C7670＋…＋C7＋1).因此22015除以7的余数为4.经验证,只有2013除以7所得的余数为4.故选A.
(3)【答案】A
/
【例5】【证明】因为n∈N*,且n>2,所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．
(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1,
故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．
1．【答案】C
【解析】x＝＝－1＋i,Cx＋Cx/2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.
2．【答案】D
【解析】x3＋x10＝x3＋[(x＋1)－1]10，题中a9只是[(x＋1)－1]10的展开式中(x＋1)9的系数，
故a9＝C(－1)1＝－10.
3．【答案】A
【解析】由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n＝10，
Tr＋1＝Cr·()10－r＝C2rx，令＝0，得r＝2，故常数项是C22＝180.
4．【答案】C
【解析】在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，
故f(m，n)＝C·C.从而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝C·C＝60，f(1,2)＝C·C＝36，f(0,3)＝C＝4.
5．【答案】B
【解析】1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810
＋C889＋…＋C88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
6．【答案】D
【解析】由已知an＝C，所以bn＝＝＝＝，
由于y＝n＋在 (0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，且n＝2,3,4，…，
所以n＝4时，ymin＝4＋＝， 则bn＝取得最大值＝，故选D.
7．【答案】C
【解析】设第r＋1项系数最大，则有
即即解得
又∵r∈Z，∴r＝5，∴系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.
8．【答案】D
【解析】二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意,有,由此得,
解之得x>1,即x的取值范围为(1,＋∞)．
9．【答案】A
【解析】,所以,所以集合M中有0、1、4、6、、、、,从M到N的映射共有个．选A．
10．【答案】B
/
11．【答案】10
【解析】法一、由等式两边对应项系数相等,即?a3＝10.
法二、由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=
C
5
2
(-1)2=10.
12．【答案】56
【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kk＝Cx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.
13．【答案】－15
【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，因为展开式的各项系数绝对值之和为
C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋|(－3)nC|＝1024，所以(1＋3)n＝1024，
解得n＝5，令＝1，解得r＝1，
所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.
14．【答案】－210
【解析】(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－C(x2)(x－1)9＋C(x－1)10，
所以x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210.
15．【答案】－332
【解析】∵a＝(sin x－1＋2cos2)dx＝(－cos x＋sin x)|π0＝2，
∴(a－)6(x2＋2)＝(2－)6(x2＋2)，
∵(2－)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝C26－r(－1)rx3－r，
∴常数项为C2 (－1)5＋2C23(－1)3＝－332.
16．【答案】3
【解析】解法一：∵(1＋x)4＝x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋Cx0＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，
∴(a＋x)(1＋x)4的奇数次幂项的系数为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，∴a＝3.
解法二：设(a＋x)(1＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5.
令x＝1，得16(a＋1)＝b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5，①
令x＝－1，得0＝b0－b1＋b2－b3＋b4－b5，②
由①－②，得16(a＋1)＝2(b1＋b3＋b5)，
即8(a＋1)＝32，解得a＝3.
课件15张PPT。二项式定理常见
解题策略主讲与设计：李君④二项展开式的通项:③二项式系数:①项数：②次数：共有n＋1项 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .二项式定理知识点多项式乘以多项式法则回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再合并同类项. 的展开式有多少项？应用原理12312313 在下列三个盒子中各取一球，有多少种不同的取法？的展开式原理应用bcabcabca……bcan 有n个盒子，每个盒子都中装有3个不同的球，在每个盒子中各取一球，怎么取？的展开式同理推导bcan 有n个盒子，每个盒子都中装有4个不同的球，在每个盒子中各取一球，怎么取？dbcadbcad……典例1答案解析D在区间 上恒成立(2) 的展开式中的常数项为 .典例1答案解析典例2答案解析C(1)设二项式 ,n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则
A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n+1 D．1an＝2n令x＝1则bn＝(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且
(a0＋a2＋…＋a8)2 －(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3典例2答案解析A令x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.所以有(2＋m)9m9＝39，(1) 若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,则
a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．典例4答案解析10在已知等式两边对x求导,得
5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4,令x＝1,得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10. (2)已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(mod m),例如：5≡13(mod 4).若22015≡r(mod 7),则r可能等于( )
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016典例4答案解析A22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671
＝4(7671＋C6711 7670＋…＋C671670 7＋1).因此22015除以7的余数为4.
经验证,只有2013除以7所得的余数为4.典例4答案解析A(3)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．典例5证明：(2＋1)n＝2n＋Cn1·2n－1＋Cn2·2n－2…＋Cnn－1·2＋1
≥2n＋n·2n－1＋2n＋1
>2n＋n·2n－1
＝(n＋2)·2n－1故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．
