高中数学重难点专题突破
专题七 三角函数的图像与性质
【高考地位】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.
【知识要点】
【典例分析】
类型一 三角函数最值或值域问题
方法1、配方法
使用情景：函数表达式形如或类型
【例1】求函数的最大值与最小值.
【例2】设函数,若对于任意的实数x,都有,求实数a的范围．
方法1、化一法
使用情景：函数表达式形如类型
【例3】已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 ．
【例4】设当时，函数取得最大值，则__________．
【例5】已知函数f(x)＝cos，其中，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．
方法3 直线斜率法
使用情景：函数表达式是分式，且分子、分母中都含有sinx或cosx的类型
【例6】求函数的最值.
【例7】求函数在区间上的最小值.
类型二 求三角函数的单调区间
【例8】函数的单调递增区间是( )
A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
【例9】函数，其中/为实数，若对 恒成立，且/，则的单调递增区间是( )
A． B．/
C．/ D．/
类型三 求三角函数的周期或
【例10】设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为( )
A． B．2π C．4π D．π
【例11】已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
【例12】已知函数为的零点, 为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
A．11?????? ?? B．9???? ? C．7??????? ? D．5
类型四 三角函数的对称性问题
【例13】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【例14】函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B． 4 C． 6 D．8
类型五 的解析式及图像变换
【例15】已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式是( )
A． B．
C． D．
【例16】将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( )
A．y＝2sin2x B．y＝2cos2x C．y＝sin(2x－) D．y＝－cos 2x
【例17】为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
类型六 三角函数与其他知识综合性问题
【例18】若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
【例19】已知实数满足,则有( )
A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值 D．最小值1,无最大值
【例20】已知函数/，函数//(a>0)，若存在
/，使得/成立，则实数/的取值范围是________
【课后练习】
选择题.
1．为了得到函数的图像，可以将函数的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
2．已知函数图象的一条对称轴为,记函数的两个极值点分别为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A． B． C． D．
4．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则( )
A.，的最小值为 B. ，的最小值为
C.，的最小值为 D.，的最小值为
5．已知函数是上的偶函数，则的值为( )
A． B． C． D．
6．函数y＝ 的定义域为( )
A. B. (k∈Z) C. (k∈Z) D．R
7．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A. (k∈Z) B. (k∈Z)
C. (k∈Z) D. (k∈Z)
8．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π), 若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B. C. D.
9．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为( )
A． B． C． D．
10．已知函数，，且，.若的最小值为，则的值为( )
A． B． C．1 D．
11．若/，对任意实数/都有/，且/．则实数/的值等于( )
A．/ B．-3或1 C．/ D．-1或3
12．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则( )
A. B. C. D.
13．若函数/在/上单调递减,且/在/上的最大值为/,则/的值为( )
A．/ B．/ C．/ D．/
14．如果圆x2+y2=n2至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
15．若函数的图像关于直线,则的最大值为( )
A．2 B．或 C． D．
16．已知函数f(x)＝asinx－cosx关于直线x＝－对称，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为( )
A. B. C. D.
17．若函数f(x)＝2sin(－2
A．16 B．－16 C．32 D．－32
18．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2) C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
19．已知函数的最大值为，且，则( )
A． B． C．或 D．或
20．已知点在圆上,则函数的最小正周期和最小值分别为( )
A． B． C． D．
21．若对恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
22．下列不等式正确的是( )
A．sin1<2sin<3sin B．3sin<2sinC．sin1<3sin<2sin D．2sin二、填空题.
23．已知函数的一系列对应值如下表：
根据表格提供的数据，函数的解析式是 ；的对称中心是 .
24．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
25．已知函数直线是图像的任意两条对称轴，且的最小值为．则函数的单调增区间是
26．如图所示为函数的部分图像，其中两点之间的距离为，那么_________．
27．函数的最小正周期是 ，最小值是 ．
28．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝______.
29．已知x∈(0，π]，关于x的方程2 sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
30．已知函数f(x)＝sin，其中x∈.当α＝时，f(x)的值域是______；若f(x)的值域是，则a的取值范围是______．
31．已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值
为 ．
32．已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像/的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 =_____.
33．设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解,则 .
34．已知,,且在区间有最小值,无最大值,则 ．
35．已知函数图象的一条对称轴是，且当时，函数取得最大值，则 ．
36．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1；
③该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)
37．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ．
38．已知函数f(x)＝|cos x|sin x，给出下列五个说法：
①f()＝－；
②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；
③f(x)在区间[－，]上单调递增；
④函数f(x)的周期为π；
⑤f(x)的图象关于点(－，0)成中心对称．
其中正确说法的序号是________．
专题七 三角函数的图像与性质参考答案
【例1】【答案】10与6.
【解析】
令，
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值，当时取得最小值.
【例2】【答案】/
【解析】
设则
（1）,
（2）,
（3）,
综上所述：
解法二：
设
时不等式成立;
设
综上所述 ：
【例3】【答案】
【解析】，
当时，，故即函数的值域为。
【例4】【答案】[来
【解析】,其中，故当函数取得最大
值时，
【例5】【答案】
【解析】画出函数图象，由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f＝cos＝－且f＝cos π＝－1，
要使f(x)的值域是，只要≤m≤，
即m的取值范围是.
【例6】【答案】最大值为，最小值为.
【解析】设则，即为过点两点的斜率. 所以要求函数的最大值，只要求直线的斜率的最大值即可.
因为，所以在单位圆上.因为直线的方程为：，所以直线与单位圆相切时，斜率取得最值. 由，解得，所以的最大值为，最小值为.
【例7】【答案】
【解析】设，则即是过A,P两点的斜率，所以要求函数的最小值，只要求直线PA的斜率的最小值即可。
因为是抛物线上的动点。由图可知，当P落在坐标原点时，斜率为最小值，即函数的最小值为。
【例8】【答案】B.
【解析】令
【例9】【答案】A
【解析】若对恒成立，则等于函数的最大值或最小值，即，，则，，又，即令，此时，满足条件；令,解得
【例10】【答案】D
【解析】在区间上单调，，，即，
又，为的一条对称轴，且
，则为的一个对称中心，由于，所以与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则.选D.
【例11】【答案】
【解析】f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝.
【例12】【答案】B
【解析】因为为的零点，为函数图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以即，由此的最大值是9，故选B.
【例13】【答案】B
【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，
又g(x)的图象关于原点对称，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
【例14】【答案】D
【解析】图像法求解。的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为，则.
【例15】【答案】D
【解析】当A<0时，，周期,所以，当时，，解得：当时，，故选D.
【例16】【答案】A
/
【例17】解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，故ω＝，
且解得
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，当x＝8时f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简得sin≥，
即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
【例18】【答案】
【解析】因为函数在区间上单调递增
所以在区间上恒成立
因为,所以
所以
因为在区间上单调递增
所以
所以,即实数的取值范围是
【例19】【答案】B
【解析】由,可设 ,则=,故选B.
【例20】【答案】/
【解析】即两函数在上值域有公共部分，先求值域，
，故
1．【答案】B
【解析】观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变．所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响．所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：；原函数：
，可得向右平移了个单位．
2．【答案】B
【解析】对称轴为,故选B．
3．【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，
则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
4．【答案】A
【解析】由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移
个单位，故选A.
5．【答案】A
【解析】,
∵为偶函数，∴，又∵，∴，故选A.
6．【答案】C
【解析】∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
7．【答案】B
【解析】由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
【答案】D
【解析】∵f ＝－2，∴－2sin＝－2，sin＝1.
又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，得≤x≤.
9．【答案】B
【解析】先利用图像变换求出解析式：，
即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像．若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点，∴．
10．【答案】B
【解析】由题设,,则,即,故,故应选B．
11．【答案】B
/
12．【答案】D.
/
13．【答案】A
【解析】由题意得：,解得,选A．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，图象关于原点对称，所以圆只要覆盖的一个最值点即可，令，解得距原点最近的一个最大点，由题意得正整数的最小值为2
15．【答案】B
【解析】∵函数 的图象关于直线对称,∴时,函数取得最值,∴或∴ ,化简可得 ,解得,或,所以的最大值为或,故选B．
16．【答案】D
【解析】∵f(x)＝asinx－cosx，∴f(x)＝asinx－cosx＝sin(x－φ)，∵函数f(x)＝asinx－cosx关于直线x＝－对称，∴－－φ＝kπ＋，即φ＝－kπ－，k∈Z，故可取φ＝，故tanφ＝＝，a＝1，即f(x)＝2sin.∵f(x1)·f(x2)＝－4，故可令f(x1)＝－2，f(x2)＝2，∴x1－＝2k1π－，x2－＝2k2π＋，即x1＝－＋2k1π，x2＝＋2k2π，其中k1，k2∈Z，∴|x1＋x2|min＝，故选D.
17．【答案】C
【解析】令f(x)＝2sin＝0，得x＋＝kπ，即x＝6k－2(k∈Z)．又因为－218．【答案】A
【解析】由题意，得T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又φ>0，∴可取f(x)＝Asin.
当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．
下面只需判断2，－2,0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，
当k＝0时，x＝，≈0.52，≈1.48，当k＝－1时，x＝－，≈0.6，
∴f(2)＜f(－2)＜f(0)．
19．【答案】D
【解析】
，
所以可得：，
另一方面：，
整理可得：，解得：或．
当时，；
当时，；
∴的值为或．
【答案】B
/
21．【答案】B
【解析】令
要使对恒成立，只需
①当时，函数，由，得；
②当时，函数恒成立；
③当时，函数解得，与矛盾，舍去；
综上，实数m的取值范围是.
22．【答案】A
【解析】令f(x)＝xsin，x∈[1，＋∞)，则f′(x)＝sin－cos＝cos.又因为当x∈时，sinx0，tan>，所以f′(x)>0，即f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)23．【答案】 .
/
（2）令，得，所以函数的对称中心为．
24．【答案】，k∈Z
【解析】由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.
25．【答案】.
【解析】由题意得则由解得故的单调增区间是.
26．【答案】
【解析】如图可得，从而计算出，所以，进而，而，所以，此时，
而，解得，
所以．
27．【答案】
【解析】
，所以；.
28．【答案】5 ＋2kπ(k∈Z)
【解析】函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
29．【答案】(，2)
【解析】令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以30．【答案】
【解析】若－≤x≤，则－≤2x＋≤，此时－≤sin≤1，即f(x)的值域是.
若－≤x≤α，则－≤2x＋≤2α＋. 因为当2x＋＝－或2x＋＝时，
sin＝－，所以要使f(x)的值域是， 则≤2α＋≤，即≤2α≤π，
所以≤α≤，即α的取值范围是.
31．【答案】
【解析】因为，所以，
因此要使得满足条件的最小，
须取即
32．【答案】
/
33．【答案】
【解析】原方程可变为/,如图作出函数的图象,再作直线,从图象可知函数在上递增,上递/减,在上递增,只有当时,直线与函数的图象有三个交点,,,,所以．
34．【答案】
【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以．又,所以当时,；当时,,此时
在区间内有最大值,故．
35．【答案】
/
36．【答案】③④
/
37．【答案】
【解析】因为函数在区间上单调递增
所以在区间恒成立,
因为,所以在区间恒成立,所以
因为,所以，所以的取值范围是
38．【答案】①③
【解析】①f()＝f(671π＋)＝|cos(671π＋)|sin(671π＋)＝cos(－sin)＝－，正确．
②令x1＝－，x2＝，则|f(x1)|＝|f(x2)|，
但x1－x2＝－＝－，不满足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，不正确．
③f(x)＝∴f(x)在[－，]上单调递增，正确．
④f(x)的周期为2π，不正确．
⑤∵f(－π＋x)＝－|cos x|sin x，f(－x)＝－|cos x|sin x，∴f(－π＋x)＋f(－x)≠0，
∴f(x)的图象不关于点(－，0)成中心对称，∴不正确．
综上可知，正确说法的序号是①③.
课件22张PPT。三角函数的图像与性质【例题1】解析答案最大值10，最小值6.求函数 的最大值与最小值.【例题2】解析答案设函数 ,若对于任意的实数x,都有 ,求实数a的范围．综上所述：【例题3】解析答案3已知函数 ，则 在 上的最大值与最小值之差为 _______．【例题4】解析答案设当时 ，函数 取得最大值，则 ________．【例题5】解析答案已知函数 ，其中 ，若f(x)的值域是 ，则m的取值范围是________．画出函数图象：由x∈【例题6】解析答案求函数 的最值. 【例题7】解析答案-1求函数 在 的最小值. P【例题8】解析答案B函数 的单调递增区间是( )
A． B．
C． D． 【例题9】解析答案A函数 ，其中为 实数，若对 恒成立，且 ，则的 单调递增区间是( )
A． B．
C． D． 【例题10】解析答案D设函数 ，若 在区间 上单调，且
，则 的最小正周期为( )
A． B． C． D． 为函数的一条对称轴为同一周期里相邻的对称轴和对称中心已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．【例题11】解析答案因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，
且函数图象关于直线x＝ω对称，必为一个周期上的最大值，【例题12】解析答案B已知函数 为的零点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．5【例题13】解析答案已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称 B∵f(x)的最小正周期为π，∴f(x)的图象向右平移 个单位后得到又g(x)的图象关于原点对称，∴A，C错误∴B正确，D错误．【例题14】解析答案D函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8【例题15】解析答案D已知函数 的图象
如图所示，则该函数的解析式是( )
A． B．
C． D． 【例题16】解析答案A将函数y＝sin 2x的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( )
A． B． C． D． 【例题17】解析答案 为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？【例题18】解析答案若函数 在区间 上单调递增,则实数a的取值范围是________．【例题19】解析答案B已知实数 x, y 满足 ,则 有 ( )
A．最小值 和最大值1 B．最小值 和最大值1
C．最小值 和最大值 D．最小值1,无最大值 所以：最小值 和最大值1【例题20】解析答案已知函数 ，函数 (a>0)，若存
在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是________再 见