26.3实践与探索——二次函数与一元二次方程的关系课件(第二课时，23张PPT)

华东师大版《数学 · 九年级（下）》
第26章 二次函数
§26.3 实践与探索
第二课时
二次函数与一元二次方程的关系
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
由上抛小球落地的时间想到
由上抛小球落地的时间想到
(1).h和t的关系式是什么？









(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
①.图象法
②解方程
-5t2+40t=0
(1).每个图象与x轴有几个交点？
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数与一元二次方程
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴
交点的坐标与一元二次方ax2+bx+c=0
的根有什么关系?
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
探究、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
你发现方程x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
二次函数与一元二次方程
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程有密切联系。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴
的两个交点坐标分别是
A（ ），
B（ ）
x1，0
x2，0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数与一元二次方程
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac



二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?
二次函数与一元二次方程
一般地，当y取定值时m，二次函数即为一元二次方程ax2+bx+c=m。
业精于勤荒于嬉
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。
9
a<9
a≥5/4
4、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
D
5．已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确的是（　　）
Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值　
Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小
Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ
有最小值
Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
D
业精于勤荒于嬉
6、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1
（2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
7. 已知抛物线y=-2（x+1）2+8 ,
①求抛物线与y轴的交点坐标;
②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
业精于勤荒于嬉
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
我思考，我进步
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程ax2+bx+c=m。
问题：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?

(当－0.5＜x＜1.5时，y＜0；当x＜－0.5或x＞1.5时，y＞0)

(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?

(能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－3/4＜0的解集是什么?x2－x－3/4＞0的解集是什么?)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?
达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c
在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；
在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2)从“数”的方面看，
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。
这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4）与x轴两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x12+x22=10，求抛物线的解析式。
业精于勤荒于嬉
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交
点，求m的值。
（2）若抛物线与直线y=x+2m只
有一个交点，求m的值。
业精于勤荒于嬉
3、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)k为何值时,二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点A、B之间的距离最小？
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC .
业精于勤荒于嬉
4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。
2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。
业精于勤荒于嬉
小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。