2020版高中数学新人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程学案（含解析）（15份）

2.1.1　曲线与方程的概念
学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．
知识点　曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．
特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．
如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则
1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(　×　)
2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(　×　)
3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(　√　)
4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(　×　)
题型一　曲线与方程的概念理解与应用
命题角度1　曲线与方程的判定
例1　已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)
A．曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0
B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0
答案　C
解析　“不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题．所以C正确．
反思感悟　解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
跟踪训练1　设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是(　　)
A．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0
C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0
答案　D
解析　“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错．
命题角度2　曲线与方程的概念应用
例2　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
反思感悟　解决此类问题要从两方面入手
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪训练2　写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线．
解　由方程(x＋y－1)＝0可得或＝0.
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
题型二　曲线与方程关系的应用
例3　已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上．
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.
引申探究
本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围．
解　结合点与圆的位置关系，得
a2＋(2－1)2>10，即a2>9，
解得a<－3或a>3，
故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
反思感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练3　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－22＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
由方程判断曲线
典例　方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线的轨迹是(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　原方程等价于或x2＋y2＝4.
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，等式才成立，
即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；
当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，
所以方程对应的曲线是D.
[素养评析]　(1)由具体的方程判断曲线的步骤
(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养． 1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为(　　)
A．一条直线 B．一条射线
C．一条线段 D．不能确定
答案　B
解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称
答案　C
解析　同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
3．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________．
答案　两条相交直线
解析　原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.
4．若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B，则a＝________，b＝________.
答案　4　1
解析　∵曲线过A(0，－2)，B两点，
∴∴
5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
答案　4个点
解析　由题意，得
∴或或或
∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点．
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、选择题
1．“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　结合曲线方程的定义易得．
2．若曲线C的方程为y＝2x－1(1A．(0,0) B．(7,15) C．(2,3) D．(4,4)
答案　C
解析　由y＝2x－1(13．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是(　　)
A．一条直线 B．一个正方形
C．一个圆 D．四条直线
答案　D
解析　由|x|＋|y|＝|xy|＋1得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．
4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是(　　)
①y＝alogax；②y＝；③y＝logaax；④y＝.
A．①②B．③④C．②④D．①③
答案　B
解析　由y＝logaax＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．
5．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　)
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
答案　B
解析　∵2＝(a＋b)2，且⊥，∴a2＋b2＋2ab·＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
6．方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的(　　)
答案　C
解析　由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．
7．关于方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是(　　)
A．表示的图形都是一条直线和一个圆
B．表示的图形都是两个点
C．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点
D．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆
考点　曲线与方程的意义
题点　方程是否表示同一曲线
答案　C
解析　x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，
表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.
x2＋(x2＋y2－1)2＝0??
表示点(0,1)，(0，－1)．故选C.
8．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　)
答案　D
解析　对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；
对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；
对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.
二、填空题
9．设命题甲：点P的坐标适合方程F(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q的坐标不适合方程F(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．
答案　充分不必要
解析　依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件．
10．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．
答案　点(1,2)
解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．
11．给出下列说法：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确说法的序号是________．
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　③
解析　对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；
对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；
对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．
三、解答题
12．判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝；
(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.
考点　曲线与方程的概念
题点　曲线方程的求解与证明
解　(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝的解，则y0＝，即x＋y＝r2.两边开平方取算术平方根，得＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.
(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.
13．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解　由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
14．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．0C．01 D．a∈?
答案　A
解析　∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，
要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
15．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．
考点　曲线与方程的意义
题点　曲线与方程的综合应用
答案　2
解析　方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或
图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2.
2.1.2　由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
学习目标　1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
知识点一　坐标法的思想
1．坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．
2．解析几何研究的主要问题：
(1)通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
(2)通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．
知识点二　求曲线的方程的步骤
1．建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
2．写集合：写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
3．列方程：用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0.
4．化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式．
5．结论：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
1．求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的．(　×　)
2．求曲线方程的步骤不可以省略．(　×　)
3．按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验．(　×　) 题型一　直接法求曲线的方程
例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
解　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．
解　设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
反思感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
跟踪训练1　已知在Rt△ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
解　如图，设C(x，y)，
则＝(x＋1，y)，
＝(x－1，y)．
∵∠C为直角，
∴⊥，即·＝0.
∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.
化简得x2＋y2＝1.
∵A，B，C三点要构成三角形，
∴A，B，C不共线，∴y≠0，
∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
题型二　相关点法求曲线的方程
例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
解　设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
跟踪训练2　对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2－y2＝2，则原来曲线C的方程是(　　)
A．xy＝－1 B．xy＝1
C．y2－x2＝2 D．y2－x2＝1
考点　
题点　
答案　A
解析　设平面内曲线C上的点P(x，y)，
则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点
P′，
∵点P′在曲线x2－y2＝2上，
∴2－2＝2，
整理得xy＝－1.
题型三　根据曲线的方程求两曲线的交点
例3　过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．
解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点．
故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立方程，得
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0,2)∪.
反思感悟　结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定．
跟踪训练3　直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
解　设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，
得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得2＋y2＝.
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分．
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x＝，
故所求轨迹方程为2＋y2＝. 1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，则顶点C的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
答案　B
解析　注意当点C与A，B共线时，不符合题意，应去掉．
2．曲线y＝与xy＝2的交点是(　　)
A．(1,1)
B．(2,2)
C．直角坐标系内的任意一点
D．不存在
答案　D
3．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　)
答案　D
解析　∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点．
4．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
答案　x＝
解析　设动点P(x，y)，则＝，化简整理得x＝.
5．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是什么？
解　设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，
则∴
又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程．
求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．

一、选择题
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．线段B．半圆C．圆D．直线
答案　C
解析　以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，
则＋＝2＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.
2．下列各组方程中表示相同曲线的是(　　)
A．y＝x，＝1 B．y＝x，y＝
C．|y|＝|x|，＝ D．|y|＝|x|，y2＝x2
答案　D
解析　A中，y＝x表示一条直线，而＝1表示直线y＝x，除去点(0,0)；B中，y＝x表示一条直线，而y＝表示一条折线；C中，|y|＝|x|表示两条直线，而＝表示一条射线；D中，|y|＝|x|和y2＝x2均表示两条相交直线．故选D.
3.如图所示的图象对应的方程是(　　)
A．|x|－y＝0
B.－1＝0
C．x－|y|＝0
D.－1＝0
答案　C
解析　据图，当x>0，y>0时，y＝x；
当x>0，y<0时，y＝－x；
当x＝0时，y＝0.
只有选项C符合要求，故选C.
4．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠±)
答案　A
解析　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)·(－y)＝0, 即x2＋y2＝1.
5．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案　C
解析　易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.故选C.
6．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案　B
解析　设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝，
所以kPA·kPB＝·＝－1.
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.
所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．
7．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于(　　)
A．2B．8C．4D．10
答案　C
解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故选C.
8．已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2
C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1
答案　B
解析　设动点P的坐标为(x，y)，
则点Q的坐标为(0，y)，
＝(－x,0)，＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，
·＝x2－2＋y2.
由·＝22，
得x2－2＋y2＝2x2，
所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
二、填空题
9．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
答案　5
解析　由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
10．已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为__________．
答案　x2＝4y
解析　设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，
所以＝|y＋1|，
两边平方整理得x2＝4y.
11．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程是________．
答案　y2＝4x(x≥0)
解析　设点P(x，y)，则Q(－1，y)．
由·＝·，
得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，
化简得y2＝4x(x≥0)．
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知点F(0,2)，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
解　设点M(x，y)是所求曲线上任意一点，
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.
过点M作MB⊥x轴，垂足是点B，
则|MF|－|MB|＝2，
即－y＝2，
整理得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，
化简得y＝x2，
所以所求曲线的方程是y＝x2(x≠0)．
13.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解　设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝(x≠1)，kPB＝，∴·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
14．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________．
答案　[2，4]
解析　曲线|x|－1＝可化为

图象如图所示，则线段AB长度的取值范围是[2，4]．
15.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN|.求动点P的轨迹方程．
解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)
2.2.1　椭圆的标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一　椭圆的定义
1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
3．2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二　椭圆的标准方程
1．椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
2．椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.
1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　×　)
2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)
3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)
题型一　椭圆定义的应用
例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆．
反思感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案　②
解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
题型二　求椭圆的标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以所以
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
题型三　椭圆中焦点三角形问题
例3　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．
解　(1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
反思感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
跟踪训练3　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解　(1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.
∴＝mnsin∠F1PF2＝×4sin60°＝.
待定系数法求椭圆的标准方程
典例　求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[素养评析]　通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5B．6C．7D．8
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.
2．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　与椭圆有关的轨迹方程
题点　圆与椭圆
答案　B
解析　当||＋||为常数且||＋||>||时，M的轨迹才是椭圆．
3．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)
A．1B．3C．0D．－2
答案　A
解析　当k＝1时，原方程可化为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意．
4．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
答案　A
解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．
答案　18
解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，所以周长为10＋8＝18.
1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．
2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4B．8C．4或8D．12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，
m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)
A．－1B．1C.D．－
答案　B
解析　原方程可化简为x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1.
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．
5．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m等于(　　)
A．10B．5C．15D．25
答案　D
解析　设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴a＝5，∴a2＝25，∴椭圆的焦点在x轴上，m＝25.
6．过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长是(　　)
A.B．4C．8D．2
答案　B
解析　方程可化为＋y2＝1，
∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.
∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝4.故选B.
7．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
8．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)
A．3个B．4个C．6个D．8个
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　C
解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
二、填空题
9．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案　8
解析　由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
10．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．
答案　
解析　由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.
11．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
答案　15
解析　由椭圆定义知
|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，
所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
三、解答题
12．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)由焦距是4可得c＝2，
且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A, ∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
答案　＋＝1
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得
相减得＋＝0，
所以＋·＝0.
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
＝kAB＝＝.
所以＋×＝0，
化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
15.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD为AB，AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，
a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，
则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1，
即＋＝1(x≠±30).
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
知识点一　椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
知识点二　椭圆的离心率
1．椭圆的焦距与长轴长的比e＝称为椭圆的离心率．
2．因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　×　)
2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　×　)
4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　)
题型一　椭圆的几何性质
例1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解　由已知得＋＝1(m＞0)，
∵0＜m2＜4m2，
∴＞，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，
离心率e＝＝＝.
反思感悟　从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，
(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
题型二　椭圆几何性质的简单应用
命题角度1　依据椭圆的几何性质求标准方程
例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思感悟　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
命题角度2　最值问题
例3　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
解　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵＝＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋
＝－32＋4b2＋3，
令f(y)＝－32＋4b2＋3.
(1)当－b≤－，即b≥时，
d＝f＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当－<－b，即0解得b＝－>，与b<矛盾．
综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.
反思感悟　求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练3　已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0B．1C．2D．2
答案　C
解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
题型三　求椭圆的离心率
例4　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，又0＜e＜1，∴e＝－1.
反思感悟　求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率．
跟踪训练4　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
椭圆几何性质的应用
典例　神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　)
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
考点　椭圆的简单几何性质
题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案　D
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
[素养评析]　将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由已知得c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
故椭圆的标准方程为＋x2＝1.
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
答案　[4－2，4＋2]
解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，
所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．
5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．
2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．
3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．
4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
一、选择题
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．7,2， B．14,4，
C．7,2， D．14,4，
答案　B
解析　先将椭圆方程化为标准形式＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，∴＝，
∴＝，∴＝，＝.
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.B.C．2D．4
考点　由椭圆的简单几何性质求方程
题点　由椭圆的几何性质求参数
答案　B
解析　椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故＝2，解得m＝.
5．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A. B．－3
C.或－3 D．－3或
答案　C
解析　若焦点在x轴上，则＝1－2＝，
∴k＝；
若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3，故选C.
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e＝，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　因为|F1F2|＝2，离心率e＝，所以c＝1，a＝2，所以b2＝3，即椭圆方程为＋＝1.
7．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由题意得，点P的坐标为或，
因为∠F1PF2＝60°，所以＝，
即2ac＝b2＝(a2－c2)，
所以e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)．
8．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)
A.－1 B．2－
C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　由a与c的关系式得离心率
答案　A
解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.
二、填空题
9．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.
答案　或4
解析　方程化为x2＋＝1，则有m>0且m≠1.
当<1时，依题意有＝，解得m＝4；
当>1时，依题意有＝，解得m＝.
综上，m＝或4.
10．已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
答案　
解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
11．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．
∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
三、解答题
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解　设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1
＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.
14．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求离心率的取值范围
答案　A
解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，故选A.
15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)，x0∈，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
第2课时　直线与椭圆的位置关系(一)
学习目标　进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系．
知识点一　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
知识点二　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)
2．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)
题型一　点与椭圆位置关系的判断
例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
考点　
题点　
答案　∪
解析　依题意得，＋>1，
解得k<－或k>.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？
解　依题意得，＋>1，解得k2>，
即k<－或k>.
反思感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
跟踪训练1　已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
考点　
题点　
答案　9
解析　依题意得，＋＝1，
而m＋n＝(m＋n)
＝1＋＋＋4
＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
题型二　直线与椭圆的位置关系
命题角度1　由直线与椭圆的位置关系求参数问题
例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
这个关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
命题角度2　可化为直线与椭圆位置关系问题
例3　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，
解得m2＝16，即m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4，即3x－2y－8＝0距l最近，且最短距离d＝＝.
由得
故切点为P.
反思感悟　椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的．
跟踪训练3　已知椭圆x2＋8y2＝8，直线l：x－y＋a＝0.
(1)当a为何值时，l与椭圆相切；
(2)若a＝6，在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使它到直线l的距离最短，并求出最短距离．
考点　
题点　
解　(1)由已知联立方程组得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝－3或a＝3.
此时椭圆与直线l相切．
(2)由(1)知与l平行的两切线方程为x－y－3＝0或x－y＋3＝0，
显然x－y＋3＝0距l最近，d＝＝，
切点P.
椭圆中的对称问题
典例　如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．求实数m的取值范围．
解　由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，
得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①
设点M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋，
解得b＝－.②
由①②得m<－或m>.
[素养评析]　(1)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(2)通过图形捕捉到形与数联系的纽带，为解决问题打开了思路．因此，培养学生直观想象的数学素养，是提高解题能力的源泉.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－，)
C．[－，]
D．(－2,2)
考点　
答案　B
解析　由题意，得＋＜1，即a2＜2，
解得－＜a＜.
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
考点　
题点　
答案　A
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．
3．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________．
考点　
题点　
答案　
解析　椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，
所以右焦点到直线y＝x的距离为＝.
4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　
解析　由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.
5．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．
答案　(－2,2)
解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，∴－21．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程联立得到的一元二次方程，利用判别式进行判定．
2．有些最值问题可转化为直线与椭圆相切问题.
一、选择题
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
考点　
题点　
答案　B
解析　因为点P在椭圆＋＝1的外部，
所以＋>1，解得a>或a<－，故选B.
2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
考点　
题点　
答案　A
解析　方法一　直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
方法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．
3．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判断
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　B
解析　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，
将P(2,1)代入椭圆方程，得＋<1，
所以P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m≥1
C．m>3 D．m>1且m≠3
考点　
题点　
答案　D
解析　由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ>0，即16m2－4m(3＋m)>0，∴m>1且m<0，
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A.B．±C.D．±
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交的其他问题
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.
6．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A.B．－C．±D．±
考点　
题点　
答案　C
解析　联立方程
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
7．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　C
解析　由题意设椭圆方程为＋＝1，

得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
由e＝＝，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
8.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A．±B．±C．±D．±
答案　C
解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，
∴PF2⊥x轴，
∴点P的横坐标是3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，
∴y＝±.
二、填空题
9．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为____________________________________________________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.
答案　
解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
11．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
三、解答题
12.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝
|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解　(1)由已知|AB|＝|BF|，
即＝a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
13．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
考点　
题点　
解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
14．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　由F1(－，0)，F2(，0)，
·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)
＝(－－x0)(－x0)＋y＝x＋y－3<0，①
由＋y＝1，即y＝1－，②
②代入①可得，x－2<0，
即－15．已知椭圆C的两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，长轴长是短轴长的2倍．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，求直线l的方程．
考点　
题点　
解　(1)由已知得
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，求得M，N，
x1x2＋y1y2＝1－＝≠0，不符合题意，
所以直线l的斜率不存在．
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去y得
(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，
x1x2＝，
x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2
＝－＋k2＝＝0.
得k＝±2，k＝±2均满足Δ>0，
所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.
第3课时　直线与椭圆的位置关系(二)
题型一　弦长问题
例1　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.
考点　
题点　
解　(1)设动点P的坐标是(x，y)，
由题意得kPA·kPB＝－.
∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.
故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．
(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.
|MN|＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟　求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
跟踪训练1　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
考点　
题点　
解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
题型二　中点弦问题
例2　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
考点　
题点　
解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三　对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
反思感悟　解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
跟踪训练2　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　
题点　
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－.
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.
而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程为＋＝1.
题型三　与椭圆有关的最值或范围问题
例3　已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；
(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解　(1)m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，
则m2＋n2∈.
(2)可求得O到AB的距离d＝，
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·＝，
Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，－所以S△AOB＝|AB|·d
＝×·
＝
≤·＝.
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”．
此时m＝±∈.
所以△AOB面积的最大值为，
面积最大时直线方程为x－y±＝0.
反思感悟　求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
跟踪训练3　已知点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
考点　
题点　
解　直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，
则M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0)．
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15，
由于－6≤x≤6.
所以当x＝时，d取最小值.
运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题
典例　已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
解　(1)由＝，ab＝××，
得a＝，b＝1，
所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m>0)代入＋y2＝1，
得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由＝2，得y1＝－2y2，
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得2＝，
∴m＝1或m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.
(3)记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)．
将y＝kx＋2代入＋y2＝1，
得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*)
x1′，x2′是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM＝＝－，
yM＝kxM＋2＝，
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，
∴kDM＝＝＝－，
∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.
但k＝1，k＝均使方程(*)没有两相异实根．
故这样的k不存在．
[素养评析]　本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于(　　)
A．1B．±1C．－1D．±2
考点　
题点　
答案　B
解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1.
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　C
解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
故AB的中点横坐标x0＝＝－.
纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
3．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　A
解析　由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，解得k＝－，
所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
4．过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意可知，在＋＝1中，c＝＝，
故F(，0)．
当x＝时，y＝±3＝±，
所以|AB|＝，
所以以AB为直径的圆的面积是π×2＝.
5．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度．
考点　
题点　
解　过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.
∴|AB|＝·
＝·＝.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
一、选择题
1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2B.C.D.
答案　C
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
2．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6B．15C．20D．12
考点　
题点　
答案　D
解析　S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为(　　)
A.B.C.D.
考点　
题点　
答案　C
解析　由联立得3x2－4x＝0，
可知A(0，－1)，B，
又F1(－1,0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)
A.B.C.D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时弦中点问题
答案　A
解析　联立方程组可得
即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，
所以kOP＝＝＝.
5．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A.B．2C.D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
答案　D
解析　由题意得椭圆方程为＋y2＝1，
联立化简得3x2－4x＝0，
得x＝0或x＝，代入直线方程得
或
不妨设A(0,1)，B，
所以|AB|＝＝.
6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交的其他问题
答案　B
解析　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．
不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.
代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，
即3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，
所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
7．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　
题点　
答案　C
解析　两个交点横坐标是－c，c，
所以两个交点分别为，，
代入椭圆方程得＋＝1，
两边乘以2a2b2，则c2(2b2＋a2)＝2a2b2，
∵b2＝a2－c2，
c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，
2a4－5a2c2＋2c4＝0，
(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，
＝2或，
∵0二、填空题
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积
答案　
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
联立方程得解得A(0，－2)，B，
所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
9．已知椭圆＋＝1(0答案　
解析　由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．
考点　
题点　
答案　
解析　设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1.
由两式相减得
＋＝0，
∴＝－×＝1，∴＝，
故椭圆的离心率e＝＝＝.
11．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，
∴＝2，解得k＝－.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
三、解答题
12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.
考点　
题点　
解　(1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可得F1(－1,0)，
∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1，
由整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，
则由弦长公式
|AB|＝·
＝·＝.
13．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点，若|AB|＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时弦中点问题
解　易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得ax＋by＝1，①
ax＋by＝1，②
②－①，得
a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.
∵＝kAB＝－1，＝kOC＝，
∴b＝a.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·＝4，
将b＝a代入上式，得a＝，b＝，
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
14．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交的其他问题
答案　
解析　由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，
则||＝＝，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
15．已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
解　(1)设M(x，y)，∵＝，
∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，
∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，∴2＋y2＝1，
即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，
故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴＝1，即m2＝t2＋1，①
由
消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，
其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②
∴|AB|＝
＝，
将①②代入上式得
|AB|＝＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1＝·
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为1.
第4课时　直线与椭圆的位置关系(三)
题型一　定点问题
例1　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
考点　椭圆中的定值、定点问题
题点　椭圆中的定点问题
解　(1)由e2＝＝＝，
可得a2＝2b2，
椭圆方程为＋＝1，
代入点可得b2＝2，a2＝4，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，
把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)
＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.
因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，
所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝＋2×＋4＋
＝
＝＝0.
因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，
所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，
由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，
所以直线l过定点T.
反思感悟　求定点问题，需要注意两个方面：
一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．
二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．
跟踪训练1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由．
考点　
题点　
解　(1)由椭圆C的短轴长为2，得b＝，
又由e＝＝＝，得a2＝4，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，
即x＋2y＝4.
易知A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M，
直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N.
可得MN的中点为，
根据两点间距离公式可得|MN|＝，
∴以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝2，
即x2＋y2－y＋＝0，
又∵x－4＝－2y，
∴以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点(，0)和(－，0)．
题型二　定值问题
例2　已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
考点　椭圆中的定值、定点问题
题点　椭圆中的定值问题
(1)解　由题意得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，所以离心率e＝＝.
(2)证明　设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
则x＋4y＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值．
反思感悟　(1)求定值问题的常用方法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．
跟踪训练2　已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
(1)解　在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°＝，得|MF1||MF2|＝.
由余弦定理，得
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos60°
＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos60°)，
解得|MF1|＋|MF2|＝4.
从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.
由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　当直线l的斜率存在时，
设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝56k2＋32k>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋
＝
＝2k－(k－4)·＝4.
当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1＋k2＝4.
综上，k1＋k2为定值．
题型三　存在性问题
例3　已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.
又原点O到直线DF的距离为，
∴＝，∴bc＝，
又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.
∵2＝4·，
即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，
即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4(1＋k2)
＝4×＝5，
解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.
反思感悟　解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
跟踪训练3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点　
题点　
解　(1)∵椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，
∴∴
∴椭圆C的方程为x2＋＝1.
(2)存在．将y＝kx＋代入椭圆方程，
可得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由题意知OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝kx1＋，y2＝kx2＋，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝0，
∴(1＋k2) ·＋k＋3＝0，
∴k＝±.
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为－的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．
考点　
题点　
解　(1)根据题意，得??＋y2＝1.
(2)当MN的斜率存在时，设MN的方程为y＝kx＋m，
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
即
所以kMA·kNA＝·＝·＝－.
所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0，
即m2＋km＝0?m＝0或m＝－k(舍去)．
所以直线MN：y＝kx过定点(0,0)．
当MN斜率不存在时，M，N为短轴两端点，显然也符合题意，
所以直线MN恒过定点(0,0)．
2.如图，已知椭圆两焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且·＝1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
(1)求P点坐标；
(2)求证：直线AB的斜率为定值．
考点　
题点　
(1)解　设椭圆方程为＋＝1，
由题意可得a＝2，b＝，c＝，
所以椭圆方程为＋＝1，
则F1(0，)，F2(0，－)．
设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则＝(－x0，－y0)，＝(－x0，－－y0)，
∴·＝x－(2－y)＝1，
∵点P(x0，y0)在曲线上，则＋＝1.
∴x＝，
从而－(2－y)＝1，得y0＝，
则点P的坐标为(1，)．
(2)证明　由(1)知PF1∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，
设PB斜率为k(k>0)，则PB的直线方程为y－＝k(x－1)，
由得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0，
设B(xB，yB)，则xB＝－1＝，
同理可得xA＝，
则xA－xB＝，
yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝，
所以直线AB的斜率kAB＝＝为定值．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合问题
(1)解　由题意知，e＝＝，＝2，
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，
此时，原点O到直线AB的距离为.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)>0，
x1＋x2＝－，
x1x2＝，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m2＝(1＋k2)，
所以原点O到直线AB的距离为＝，
综上，原点O到直线AB的距离为定值.
4．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0考点　
题点　
解　(1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为椭圆过M，N两点，
所以?
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，
所以|AP|2＝(x－a)2＋y2.
又因为＋＝1，所以y2＝4，
所以|AP|2＝(x－a)2＋4
＝2＋4－a2.
因为|x|≤3,0即当0|AP|2的最小值为4－a2，
由题意得4－a2＝1?a＝±?；
若a>3，即当x＝3时，|AP|2取得最小值，为(3－a)2，
依题意(3－a)2＝1，解得a＝4或a＝2，
因为4?，2∈，所以a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)，
故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．
2.3.1　双曲线的标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
2．关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二　双曲线的标准方程
1．两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　×　)
2．点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　×　)
3．双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.(　×　)
4．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)
题型一　求双曲线的标准方程
例1　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．
解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法．
跟踪训练1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解　(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得 (舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标分别代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型二　双曲线定义的应用
命题角度1　双曲线中的焦点三角形问题
例2　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形
解　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，
所以∠F1PF2＝90°，
故＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
引申探究
将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
反思感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
跟踪训练2　已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2.
命题角度2　利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程
例3　在△ABC中，已知A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sinB－sinA＝
sinC，求顶点C的轨迹方程．
考点　求与双曲线有关的轨迹方程
题点　双曲线的一支
解　由sin B－sin A＝sin C及正弦定理，
可得|CA|－|CB|＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
反思感悟　(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
跟踪训练3　如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
考点　求与双曲线有关的轨迹方程
题点　双曲线的一支
解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
题型三　由双曲线方程求参数
例4　若方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________________．
答案　{m|－33}
解析　依题意有或
解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}．
反思感悟　方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
跟踪训练4　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(2)若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________．
答案　(1)(－1,1)　(2)±6
解析　(1)方程－＝1表示双曲线，
则(1＋k)(1－k)>0，
所以(k＋1)(k－1)<0，
所以－1(2)当k>0时，方程可化为－＝1，
则c2＝＋k＝，即2×＝6，故k＝6.
当k<0时，方程可化为－＝1，
则c2＝－，故2×＝6，解得k＝－6.
综上所述，k＝－6或6.
双曲线在生活中的应用
典例　“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
解　因为|PC|＝|PB|，
所以P在线段BC的垂直平分线上．
又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．
以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
所以双曲线方程为－＝1(x>2)，
BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0.
联立两方程解得x＝8(舍负)，y＝5，所以P(8,5)，
kPA＝tan∠PAx＝，所以∠PAx＝60°，
所以P点在A点的北偏东30°方向．
[素养评析]　利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系；
(2)求出双曲线的标准方程；
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．
注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．
1．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)
A．±5B．±3C．5D．9
答案　B
解析　由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
2．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11B．9C．5D．3
答案　B
解析　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4B．8C．24D．48
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1||PF2|＝24.
4．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________．
答案　－＝1或－＝1
解析　当焦点在x轴上时，方程为－＝1，
当焦点在y轴上时，方程为－＝1.
5．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3B．4C．3D．4
答案　D
解析　由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.
2．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　焦点在x轴上，c＝3，b＝2，a＝.故选A.
3．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)
A．1B．－1C．－D.
答案　B
解析　由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
4．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
6．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A．3或7B．6或14C．3D．7
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　A
解析　连接ON，ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝|PF2|＝7或3.
7．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
8．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．8B．9C．16D．20
答案　B
解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.
二、填空题
9．与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________________．
答案　－＝1
解析　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上，
∴设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
又∵两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①②得，a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
11．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－＝1
解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
三、解答题
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，||·||＝2，求双曲线的方程．
解　∵·＝0，∴⊥，
∴||2＋||2＝||2＝20a.①
又|||－|||＝4.②
①－②2，得2||·||＝4a.
∵||·||＝2，∴a＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
13．已知双曲线－＝1的左、右焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又c＝2，m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴＝mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
14．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△F1F2P的内心，若＝＋4，则△F1F2M的面积为(　　)
A．5B．6C．2D．10
答案　A
解析　由双曲线方程－＝1，知
焦点在x轴上，实轴长为2a＝8，
虚轴长为2b＝6，焦距2c＝10.
设△PF1F2的内切圆半径为r.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝8，
|F1F2|＝10，＝|PF1|·r，
＝|PF2|·r.
∵＝＋4，
∴|PF1|·r＝|PF2|·r＋4，
解得r＝1，
∴＝·2c·r＝c·r＝5，故选A.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为其左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
所以在△MF1F2中，MF1边最长，cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，△MF2F1为钝角三角形．
2.3.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题．
知识点　双曲线的几何性质
1．渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．
2．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．
3．双曲线的几何性质见下表：
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长：2a；虚轴长：2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．等轴双曲线的离心率是.(　√　)
2．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)
3．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)
4．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)
题型一　由双曲线方程研究其几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
题型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为－＝1.
(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，
∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型三　直线与双曲线的位置关系
例3　(1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；
(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程．
解　(1)由得4x2－(x＋1)2－4＝0.
化简得3x2－2x－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝－.
故所截得的弦长d＝·|x1－x2|
＝·＝·＝.
(2)方法一　∵当该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)．
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.
由消去k，
得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
方法二　设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
则
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
当直线AB的斜率k≠0时，
得＝，
即＝＝，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)．
当k＝0时，y1＝y2＝1，x1＋x2＝0，
∴x＝0，y＝1，也满足4x2－y2＋y＝0.
综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
反思感悟　(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．
跟踪训练3　已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积
解　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|
＝＝6.
存在性问题需验证
典例　已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
解　设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
由
两式相减并变形得＝2，
若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
联立得2x2－4x＋3＝0，
而Δ＝－8<0，方程无实根，
即直线与双曲线无交点，
故不存在满足条件的直线．
[素养评析]　(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．
(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养．
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．4B．－4C．－D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　由双曲线方程研究其它问题
答案　C
解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选C.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4B．－3C．2D．1
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x，
∴＝，解得a＝－4.
3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，e＝＝.
4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
答案　(±，0)
解析　由渐近线方程为y＝±x＝±x，
得m＝3，c＝，且焦点在x轴上．
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，
∴双曲线方程为－y2＝1，
因此其渐近线方程为y＝±x.
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解．
一、选择题
1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案　A
解析　由双曲线的几何性质知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
2．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)
答案　C
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为＝－1.故选C.
3．过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　D
解析　设弦与双曲线的交点为A，B(A点在B点上方)，由AB⊥x轴且过右焦点，可得A，B两点的横坐标为2，代入双曲线方程得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4.
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
5．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案　B
解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)，
由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.
所以＝.
即渐近线方程为y＝±x.
7．若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(＋∞) B．(1，) C．(2，＋∞) D．(1,2)
答案　C
解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意知，在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　设F(c,0)，则过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B，
由得A，
＝，＝，
由＝－3，
得＝－3，
则＝－3·，
即b＝a，
则c＝＝a，则e＝＝，故选D.
二、填空题
9．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
答案　3x＋4y－5＝0
解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，∴－＝6，∴k＝－，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
10．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积
答案　3
解析　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，
∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
11．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．
答案　2
解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，
所以b＝＝＝2.
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4,0)．
焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．设双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程(l1的斜率大于零)；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.
∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．
∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，
∴＝10，
即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.
∵y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，
代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，
得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．
答案　
解析　如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°.
又|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝＝c，
|MF2|＝2c·tan30°＝c.
∴2a＝|MF1|－|MF2|＝c.
∴e＝＝.
15．已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其它问题
解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
因为x1x2＝－，
·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±.
2.4.1　抛物线的标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
1．平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2．定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．
知识点二　抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
2．拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　√　)
3．拋物线的方程都是二次函数．(　×　)
4．抛物线的开口方向由一次项确定．(　√　)
题型一　求抛物线的标准方程
例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．
跟踪训练1　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
题型二　抛物线定义的应用
命题角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程)
例2　已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
反思感悟　解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
跟踪训练2　已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
解　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
命题角度2　利用抛物线定义求最值
例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
考点　求抛物线的最值问题
题点　根据抛物线定义转换求最值
解　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
引申探究
若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点A的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，P点，A点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
反思感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3　已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A.B.C．2D.－1
考点　求抛物线的最值问题
题点　根据抛物线定义转换求最值
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
设点P到直线l的距离为d，
由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d＋|PF|的最小值为＝，
所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
抛物线的实际应用问题
典例　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．
[素养评析]　首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
1．抛物线y2＝x的准线方程为(　　)
A．x＝B．x＝－C．y＝D．y＝－
答案　B
解析　抛物线y2＝x的开口向右，且p＝，所以准线方程为x＝－.
2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(1,0) B.C.D．(0,1)
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的焦点坐标
答案　C
解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝y，
则焦点坐标为，故选C.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4B．－2C．4或－4D．12或－2
答案　C
解析　由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
答案　2
解析　因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即＝1，p＝2.
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案　2
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－，0)，
所以－＝－，解得p＝2.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
一、选择题
1．关于抛物线x＝4y2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为
答案　D
解析　由x＝4y2得y2＝x，∴开口向右，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A.B．1C．2D．4
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
4．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
答案　D
解析　方法一　设动点P的坐标为(x，y)．
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
方法二　显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
5．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是(　　)
A.－1B.－1C．2D.－1
答案　D
解析　设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3,0)，
要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值．
设点P坐标为(y，y0)，
则|PO′|＝＝
＝，
∴|PO′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
6．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A.B.C.D．0
答案　B
解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－＝.
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A.B.C.D．25
答案　A
解析　抛物线的焦点F的坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.
8．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．7B．8C．9D．10
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义与其它知识结合的应用
答案　C
解析　抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.
二、填空题
9．已知抛物线y2＝2x上一点P(m,2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________．
答案　2　
解析　将(m,2)代入抛物线中得4＝2m，
得m＝2，
由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为
2＋＝.
10．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
答案　
解析　如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y2＝2px，得1＝2p×，解得p＝，故点B到准线的距离为＋＝p＝.
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
答案　8
解析　如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x,4)，代入抛物线方程y2＝8x，得8x＝48，∴x＝6，
∴|PF|＝x＋2＝8.
三、解答题
12．已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值，拋物线方程和准线方程．
解　设所求拋物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在拋物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2，
拋物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
13．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
解　方法一　由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝
方法二　设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝
14．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.
15.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
2.4.2　抛物线的几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点二　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．拋物线没有渐近线．(　√　)
2．过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　×　)
3．若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　×　)
4．拋物线只有一条对称轴，没有对称中心．(　√　)
5．拋物线的开口大小由拋物线的离心率决定．(　×　)
题型一　抛物线的几何性质的应用
例1　(1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
答案　D
解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
考点　抛物线的简单几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
考点　抛物线的简单几何性质
题点　焦点、准线、对称性的简单应用
解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝|OM|.
因为F(2,0)，
所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3,0)．
故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24；
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3,2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
题型二　直线与抛物线的位置关系
命题角度1　直线与抛物线位置关系的判断
例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
解　联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
反思感悟　直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪训练2　如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
解　(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，
故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
命题角度2　直线与抛物线的相交弦问题
例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝
＝
＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
引申探究
本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
解　如图，过A，B分别作准线x＝－的垂线交准线于C，D点．
由定义知|AC|＋|BD|＝p，
则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，
∴M点到y轴的距离为p－＝p.
反思感悟　求抛物线弦长问题的方法
(1)一般弦长公式
|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(2)焦点弦长
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练3　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
解　由
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝·
＝·＝10，
所以m＝，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
与抛物线有关的最值问题
典例　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
解　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝
＝2＋.
所以当t＝时，d有最小值.
方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
[素养评析]　(1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决．
二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得．
(2)建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与方法．
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－B．－1C．－D．－
答案　C
解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，
所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，
这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
2．以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
答案　C
解析　设拋物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴拋物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A.B．3C.D.
答案　A
解析　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为＝.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案　8
解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，
得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、选择题
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2B．1C.D.
答案　A
解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
A．4B．5C．6D．7
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　A
解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)
A．2B．4C．6D．8
答案　D
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(　　)
A．不存在 B．必是锐角三角形
C．必是钝角三角形 D．必是直角三角形
答案　B
解析　设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．
6．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2B．4p2C．2p2D．p2
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
7．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．0
答案　B
解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，其最小值为3.
8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)
A．45° B．90°
C．60° D．120°
答案　B
解析　如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，
又∠AA1F＝∠A1FO，
∴∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO，
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.
二、填空题
9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
答案　y2＝4x
解析　设抛物线方程为y2＝kx(k≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2),
∴x1＋x2＝k.
又∵P(2,2)为AB的中点，
∴＝2.
∴k＝4.∴y2＝4x.
10．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.∴－211．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
考点　抛物线的简单几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　6
解析　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝.要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，又p>0，所以p＝6.
三、解答题
12．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程．
解　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
∵点Q是弦AB的中点，∴y1＋y2＝2，
于是＝4，即直线AB的斜率为4，
故弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
13．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
14．已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q(5,0)关于直线l对称，则p等于(　　)
A.B．1C．2D．3
考点　抛物线的简单几何性质
题点　焦点、准线、对称性的简单应用
答案　C
解析　由题意得，F，设P(x0，y0)，
直线PQ的方程为y＝－(x－5)，
由得3(x0－5)2＝2px0，
又|FP|＝|FQ|，即x0＋＝，
由解得(舍去)或
综上，p＝2.
15．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py (p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，
∴y2＝4y1，③
由①②③及p>0，
得y1＝1，y2＝4，p＝2，
故抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)易知，直线l的斜率必存在．
设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
B(xB，yB)，C(xC，yC)，
由
得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4.
故b的取值范围是(2，＋∞)．
§2.5　直线与圆锥曲线
学习目标　1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线与双曲线
a＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线与抛物线
a＝0
1
直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
知识点二　弦长公式
若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x2－x1|＝.
1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　×　)
2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．(　√　)
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系判定
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
这个关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟　在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．
跟踪训练1　已知双曲线C：x2－＝1，直线l的斜率为k且直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
解　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．
由
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)
当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ>0，即k<且k≠±，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ<0，即k>，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．
综上，(1)当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点；
(2)当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点；
(3)当k>时，直线l与双曲线无公共点．
题型二　中点弦及弦长问题
例2　已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝，求直线PQ的方程．
解　(1)设M(x，y)，则kMA＝，kMB＝(x≠±1)，
∴×＝－2，∴x2＋＝1(x≠±1)．
(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程是y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1－y2＝k(x1－x2)，
联立消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，k2＝2，k＝±，
∴直线PQ的方程是y±x－1＝0.
反思感悟　直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．
跟踪训练2　中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y－1＝0相交于A，B，C是AB中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解　设椭圆方程为ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a，
再由|AB|＝|x2－x1|＝2，
其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
故2－4·＝4，
将b＝a代入得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是x2＋y2＝3.
题型三　圆锥曲线中的最值及范围问题
例3　已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)求证：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
(1)证明　设OA所在直线的方程为y＝kx(易知k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x.
由得A，
由得B(2k2，－2k)．
∴直线AB所在直线方程为(y＋2k)＝(x－2k2)，化简得x－y－2＝0，
∴直线过定点P(2,0)．
(2)解　由于直线AB所在直线方程过定点P(2,0)，
∴可设直线AB的方程为x＝my＋2.
由得y2－2my－4＝0.
∴|y1－y2|＝＝.
∴S△AOB＝|y1|·|OP|＋|y2|·|OP|＝|OP|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥4.
∴△AOB面积的最小值为4.
反思感悟　(1)求参数范围的方法
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
(2)求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一
点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明　设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝，
设C(xC，yC)，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条B．3条C．2条D．1条
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　B
解析　当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m≥1或0C．0答案　D
解析　∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，若5>m，则≥1，
若53．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)
A．(1,2) B．(0,0) C.D．(1,4)
答案　C
解析　因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，
设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
由得4x2－4x－m＝0.(*)
设此直线与抛物线相切，有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入(*)式，得x＝，y＝1，
所求点的坐标为.
4．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案　
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组解得A(0，－2)，B.
∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.
5．过点A(6,1)作直线l与双曲线－＝1相交于两点B，C，且A为线段BC的中点，则直线l的方程为________________．
答案　3x－2y－16＝0
解析　设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则
∴－＝0.∴＝＝＝.
即kBC＝，∴直线l的方程是y－1＝(x－6)．
即3x－2y－16＝0，经验证符合题意．
1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切．
2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：
(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．
3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．
一、选择题
1．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于(　　)
A．1B．－1C．±1D．±2
答案　C
解析　结合题意，F(，0)，且渐近线为y＝±x，欲使直线l与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．
2．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为(　　)
A．3B．4C．5D．6
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x－＝1与x－＝1得kAB＝＝＝6.
3．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y<4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与拋物线C(　　)
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点也可能有两个公共点
D．没有公共点
答案　D
解析　C与l联立得y0y＝2，
即y2－2y0y＋4x0＝0，Δ＝4y－16x0，
由题意y<4x0，∴Δ<0，没有公共点．
4．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP，MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为(　　)
A．－B．－C.D.
答案　B
解析　由题意得M(2,2)．
设P，Q，
由kMP＝－kMQ，
得＝－，
则y1＋y2＝－4，故kPQ＝＝－.
5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－.
∴·＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0.两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.
6．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为(　　)
A．48B．56C．64D．72
答案　A
解析　由得x2－10x＋9＝0，
解得或
设|AP|＝10，|BQ|＝2，又|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为
S＝(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝(10＋2)×8＝48.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　∵椭圆的离心率为，∴＝＝，
∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为＋＝1.
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)被抛物线y2＝4x的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切，则椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　由题意得抛物线准线方程为x＝－1，且椭圆被抛物线截得的弦长为3，
故椭圆过点，将该点代入椭圆方程，
得＋＝1，①
又点(0,0)到x－y＋2＝0的距离为a，
即＝a，②
由②得a＝2，代入①得b＝.
故c＝＝1，
所以其离心率e＝＝.
二、填空题
9．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案　
解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，(*)
∵y2＝1－，代入(*)式得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－10．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为________．
答案　2
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)，B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
11．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2 (a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中所有正确结论的序号是__________．
答案　②③
解析　设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得·＝a2 (a>1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．
∵点P(x，y)在曲线C上，∴点P关于原点的对称点为P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程，等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则＝|PF1||PF2|·sinθ＝a2sinθ≤a2，故③正确．
三、解答题
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解　(1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2，
∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.
13．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若△OAB的面积为，求k的值；
(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点.
(1)解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|
＝·，
由点到直线距离公式得d＝，
得S△OAB＝|AB|·d＝＝，
解得k＝±.
(2)证明　∵kOA＝，kOB＝，∴kOA·kOB＝.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，
∴kOA·kOB＝，
由
得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，
即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，
∴以弦AB为直径的圆必过原点．
14．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(　　)
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
答案　D
解析　设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形．
∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝·.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴点P的轨迹为双曲线．
15．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E为椭圆C上的一点，满足＝＋，且△EF1F2的周长为2(＋1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P，Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l的距离的取值范围．
解　(1)由已知得F1(－c,0)，不妨设B(0，b)，
则＝(－c,0)，＝(0，b)，
所以＝，即E.
又点E在椭圆C上，所以＋＝1，
得＝.①
又△EF1F2的周长为2(＋1)，
所以2a＋2c＝2＋2.②
由①②，得c＝1，a＝，所以b＝1.
所以所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(m,0)(0直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y，得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
PQ中点为N(x0，y0)，
则x1＋x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
所以x0＝＝，
y0＝＝，
即N.
因为△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，
所以MN⊥PQ，
即＝－1.
所以m＝＝∈.
设点M到直线l：kx－y－k＝0的距离为d，则d2＝＝<＝，
所以d∈.
(或k2＝且m∈，
所以d2＝＝m(1－m)<?d∈.
即点M到直线l的距离的取值范围是.
专题突破一　离心率的求法
一、以渐近线为指向求离心率
例1　(1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
答案　2或
解析　方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或.
又b2＝c2－a2，所以＝3或，
所以e2＝4或，所以e＝2或.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，
所以＝或，亦可得到e＝或2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
方法二　根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝或2；
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝2或.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　[2，＋∞)
解析　由题意知≥，即2≥3，
∴e＝≥2，
故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
点评　(1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．
(2)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e＝得到离心率的取值范围．
跟踪训练1　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为
y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一　设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.
方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
二、以焦点三角形为指向求离心率
例2　如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
思维切入　连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　＋1
解析　方法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
则|AF1|＝|F1F2|＝c，
|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，
从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
方法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，
于是离心率
e＝＝＝
＝＝＋1.
点评　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．
跟踪训练2　设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c得离心率
答案　A
解析　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，
2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，
则e＝＝·＝.
三、寻求齐次方程求离心率
例3　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
思维切入　通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，
再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　2
解析　如图，由题意知|AB|＝，
|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．
点评　求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率
答案　
解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝.
因为0四、利用圆锥曲线的范围求离心率的取值范围
例4　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
思维切入　设P点坐标，通过·＝c2及椭圆方程得到x2的值，由x2∈[0，a2]，求得a2的范围进而求得e的取值范围．
考点　椭圆的离心率问题
题点　由a与c的关系式得离心率
答案　
解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝＝.
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
点评　一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围．
二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围．
(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]．
(2)双曲线的焦半径
①点P与焦点F同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞)．
跟踪训练4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A.B.C．2D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　B
解析　∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，
即|PF2|＝a，
根据点P在双曲线的右支上，
可得|PF2|＝a≥c－a，
∴a≥c，又∵e>1，∴1∴此双曲线的离心率e的最大值为.
1．如果椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　)
A.B.C.D．2
考点　
题点　
答案　A
解析　由已知椭圆的离心率为，得＝，
∴a2＝4b2.
∴e2＝＝＝，∴双曲线的离心率e＝.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，其离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
考点　
题点　
答案　D
解析　依题意，点(a,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，
∴≤a，解得e≤.
又∵e>1，∴13．(2018·深圳检测)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是(　　)
A.B.C.D.
考点　
题点　
答案　B
解析　由题意可得b＝c，所以a＝＝c，
所以离心率e＝＝.
4．若椭圆＋＝1，(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　由题意知圆的半径是椭圆的焦距，
∴由圆在椭圆内部，得b>c，即b2>c2，
∴a2>2c2，故05．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，
则解得
又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．
在△PF1F2中，由余弦定理，
得＝cos30°，
∴2ac＝3a2＋c2.
等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝.
一、选择题
1．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为(　　)
A．2B.C．3D．4
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　A
解析　根据点(2,3)在双曲线上，得
－＝1，①
考虑到焦距为4，则2c＝4，即c＝2.②
联立①②及a2＋b2＝c2，
解得a＝1，b＝，所以离心率e＝2.
2．(2018·江西赣州高二检测)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　
题点　
答案　B
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，
由题意知＝，
∴e＝＝＝.
3．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
考点　
题点　
答案　C
解析　e＝，∵a>1，∴e∈(1，)．
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1⊥MF2，则椭圆的离心率为(　　)
A.B.－1C．2－3D．2－
考点　
题点　
答案　B
解析　由题意知，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1F2M＝60°，
∴|MF2|＝c，|MF1|＝2c×＝c，|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.
5．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于点E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2B.C．3D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　取右焦点F(c,0)，渐近线方程为y＝x，
∵FM⊥OM，∴可得直线FM的方程为y＝－(x－c)，
令x＝0，解得y＝，
∴E，
∴线段FE的中点M，
又中点M在渐近线y＝x上，
∴＝×，
解得a＝b，
∴双曲线的离心率e＝＝＝.
6．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是(　　)
A．4＋2 B．2－1
C. D.＋1
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　因为MF1的中点P在双曲线上，
所以|PF2|－|PF1|＝2a，
因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，
所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　由a与c的关系式得离心率
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M总在椭圆的内部，
∴c∴<，即<.
又08．(2018·湖北黄冈高二检测)已知直线m：y＝kx＋1过椭圆＋＝1(0A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　圆x2＋y2＝1的圆心到直线m：y＝kx＋1的距离为d＝，
∵直线m：y＝kx＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长l≥，
∴2≥，即2≥，
解得d2≤，∴≤.
∴b＝1且c＝＝，即a2＝1＋，
则e2＝＝＝≤，
得e∈.
二、填空题
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　设F为右焦点，其坐标为(c,0)，令x＝c，
代入y＝±x，可得y＝±，
∵S△OAB＝bc，
∴××c＝，
∴＝，则e＝.
10．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，
所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝＝
＝＝.
11．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
∵M是AB中点，∴＝1，＝1，
∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，
∴y1－y2＝－(x1－x2)，
①－②可得＋＝0，
即＋＝0，
∴a＝b，则c＝a，∴e＝＝.
12．(2018·广东深圳高二期中)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，且·的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，
设P(x，y)．
由＋＝1，得x2＝，
∵＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，
∴·＝x2－c2＋y2＝－c2＋y2＝a2－c2－，
当y＝0时，·取得最大值a2－c2，
即c2≤a2－c2≤3c2，∴c≤a≤2c，
则≤e≤.
三、解答题
13．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
考点　
题点　
解　由题意，知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为点(1,0)到直线l的距离d1＝，
点(－1,0)到直线l的距离d2＝，
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5.
因为e>1，所以e的取值范围是.
14．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　
题点　
答案　A
解析　设|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a1，
||PF1|－|PF2||＝2a2，e1＝，e2＝＝.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|，
所以16c2＝(|PF1|＋|PF2|)2＋3(|PF1|－|PF2|)2
＝4a＋12a，
即4＝＋3e?e＝或e＝1(舍去)?e1＝.
15．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点．
(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e∈时，求椭圆长轴长的最大值．
考点　
题点　
解　(1)∵e＝＝，2c＝2，∴a＝，
则b＝＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
将y＝－x＋1代入椭圆的方程，消去y得5x2－6x－3＝0，其中Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵⊥，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
由消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝(－2a2)2－4a2(a2＋b2)(1－b2)>0，整理得a2＋b2>1.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1.
由x1x2＋y1y2＝0，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
∴－＋1＝0，
整理得a2＋b2－2a2b2＝0.
∵b2＝a2－c2＝a2－a2e2，代入上式得2a2＝1＋，
∴a2＝.
∵≤e≤，∴≤e2≤，∴≤1－e2≤，
∴≤≤2，∴≤1＋≤3，
∴≤a2≤，符合条件a2＋b2>1，
由此得≤a≤，∴≤2a≤.
故椭圆长轴长的最大值为.
专题突破二　焦点弦的性质
抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．
一、焦点弦性质的推导
例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.
证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)＋＝为定值；
(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
证明　(1)①当AB⊥x轴时，
不妨设A，B，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，
则直线AB的方程为y＝k，
代入抛物线方程y2＝2px，
消元得y2＝2p，
即y2－－p2＝0，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，
由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，
在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，
由图知|GG1|＝|AA1|，
则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，
同理得|BF|＝；
当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，
对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，
∴|AF|＝，|BF|＝.
(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p
＝＋＝≥2p，
当且仅当θ＝90°时取等号．
故通径为最短的焦点弦．
(4)由(2)可得，
＋＝＋＝.
(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，
故满足S△OAB＝；
当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，
原点O到直线AB的距离
d＝＝sinθ，
S△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.
(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1，
则|MM1|＝＝＝，
故以AB为直径的圆与准线相切．
(7)设直线AB的方程：x＝my＋，
代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.
由(1)可得y1y2＝－p2.
因为BB1∥x轴，∴B1，即B1，
＝＝＝×＝＝kOA，
所以∥且公共点为O，
所以直线AB1过点O.
所以A，O，B1三点共线，
同理得B，O，A1三点共线．
二、焦点弦性质的应用
例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A.B.C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　D
解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为
y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为××＝.
方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，
则S△OAB＝＝＝.
(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16B．14C．12D．10
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　A
解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，
l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB的倾斜角为θ，则θ≠且θ≠0，
因此|AB|＋|DE|＝＋
＝＋＝＝≥16.
当且仅当θ＝或π时，等号成立．
点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．
跟踪训练　过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　
解析　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题意知A，B所在直线的斜率存在，
设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1将y＝k代入y2＝2x，得k22＝2x，
∴k2x2－(k2＋2)x＋＝0.
∴x1x2＝.
而|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，
∴x1＋x2＝.又|AF|<|BF|，
∴x1＝，x2＝.
∴|AF|＝x1＋＝＋＝.
1．过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为(　　)
A．2B．1C.D.
考点　
题点　
答案　D
2.直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1或y＝x－1 D．以上均不对
考点　
题点　
答案　C
解析　由焦点弦长|AB|＝(α为直线AB的倾斜角)，
∴8＝，sin2α＝，
则tanα＝±1，
又直线过抛物线焦点，
∴直线l的方程为y＝－x＋1或y＝x－1.故选C.
3．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.
又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，
∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，
∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．
考点　
题点　
答案　
解析　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________．
考点　
题点　
答案　90°
解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图．
∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B，
∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，
∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.
一、选择题
1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(　　)
A．1B．2C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　D
解析　如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，
又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
考点　
题点　
答案　A
解析　设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，
所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
3．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)
A．4B．3C．4D．8
答案　C
解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，
∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin60°＝4.故选C.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　)
A．3B．2C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　A
解析　由抛物线的性质可知，
|AF|＝，|BF|＝，
∴＝＝3.
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　)
A．4B．6C．8D．10
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　由焦点弦的性质知，
y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，
则y＋y≥2|y1|·|y2|＝8，
当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号．
故y＋y的最小值为8.
6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)
A．2B.C．4D．2
答案　C
解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为(　　)
A. B．2
C. D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　设直线l的倾斜角为θ，
由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝，
∴解得
8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　当cosθ>0时，|AF|＝，|BF|＝.
由|AF|＝3|BF|，∴＝，
即cosθ＝，此时tanθ＝，
当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝，
由|AF|＝3|BF|，∴＝，
即cosθ＝－，此时tanθ＝－，故选C.
9．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为(　　)
A．{1} B．(0,1]
C．[1，＋∞) D.
考点　
题点　
答案　A
解析　易知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
当直线l的斜率存在时，设为k，
则直线l的方程为y＝k(x－1)，
代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x.
化简为k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝1，
根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴＋＝＋
＝＝1.
当直线l的斜率不存在时，
则直线l：x＝1，此时|BF|＝|AF|＝2，
∴＋＝1，
综上，＋＝1.
10.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
考点　
题点　
答案　D
解析　易知，直线斜率存在，设为k，
由得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，
∵|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD，
∴|AB|·|CD|＝yAyD＝1.
二、填空题
11．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．
考点　
题点　
答案　
解析　∵抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴直线AB为过焦点的直线，
∴AB的中点到准线的距离＝＝2，
∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．
考点　
题点　
答案　
解析　由题意知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.
13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　6
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
三、解答题
14.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
考点　
题点　
解　(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，
故抛物线方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可知直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
15.已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，A(a,0)(a>0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N.当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△OMN的面积为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)记t＝＋，若t的值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
考点　
题点　
解　(1)由题意知，当直线MA与抛物线对称轴垂直时，
S△MON＝|OA||MN|＝××2p＝＝，
∴p＝3，
故抛物线C的标准方程为y2＝6x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的方程为x＝my＋a，
联立得y2－6my－6a＝0，
所以Δ＝36m2＋24a>0，
y1＋y2＝6m，y1y2＝－6a，
由对称性，不妨设m>0，
因为a>0，所以y1y2＝－6a<0，
所以y1，y2异号，
又t＝＋＝＋
＝
t2＝·
＝·
＝·
＝.
所以，当且仅当－1＝0即a＝时，t与m无关，A为稳定点．
第二章 圆锥曲线与方程章末复习
学习目标　1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹或集合
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.求圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．
另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或|AB|＝，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
4．方法、规律归纳
(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点P所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：
①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；
③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．
(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集．
(4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(　×　)
2．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(　√　)
3．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(　×　)
4．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(　√　)
题型一　圆锥曲线定义的应用
例1　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
反思感悟　(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；
(2)涉及焦点、准线、离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；
(3)求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1　已知点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
答案　8－
解析　如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，
|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min
＝8－.
题型二　圆锥曲线的性质
例2　(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(　　)
A.B.C.D.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)设M(－c，y0)，
则AM所在直线方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得E.
BM所在直线方程为y＝(x－a)，
令x＝0，得y＝.
由题意，得＝×，
解得a＝3c，即e＝＝.
(2)若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)·(3m2－n)＞0，
解得－m2＜n＜3m2.
又4＝4m2，所以m2＝1，
所以－1＜n＜3.
反思感悟　常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案　
解析　由
得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
又∠BFC＝90°，
所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，
即e2＝＝，故e＝.
题型三　直线与圆锥曲线
例3　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合应用
解　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点P为弦MN的中点，
由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1，①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，
即2m＝3k2＋1，②
把②代入①得2m>m2，解得0由②得k2＝>0，解得m>，
故所求m的取值范围是.
反思感悟　直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．
跟踪训练3　已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线y＝x上，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求直线l的方程．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合应用
解　(1)由椭圆定义得2a＝4，a＝2，
所以c＝ae＝，故b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝kx＋m代入方程＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.(*)
所以xC＝＝，yC＝kxC＋m＝，
所以＝·，
解得k＝－1，
则(*)式变为3x2－4mx＋2m2－4＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝，
△OAB底边AB上的高h＝，
所以△OAB的面积S＝.
令＝，解得m＝±，
把k＝－1，m＝±代入(*)式，经检验，均满足Δ>0，
此时直线l的方程为x＋y－＝0或x＋y＋＝0.
题型四　圆锥曲线中参数范围和最值问题
例4　(1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
考点　
题点　
答案　－1
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．0C．a≤1 D．a≤0
考点　
题点　
答案　C
反思感悟　圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练4　(1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
考点　
题点　
答案　
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；
②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围．
考点　
题点　
解　①∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴a2－3b2＝0，
∴x2＋3y2＝3，
即点M(x，y)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
②由
得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，
即3k2－m2＋1>0.①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
线段PQ的中点N(x0，y0)，
则
∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.
设kAN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.
即·k＝－1，
得3k2＝2m－1.②
∵3k2>0，∴m>.
将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0∴m的取值范围为.
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题
答案　B
解析　联立得x2＋2(x＋1)2－4＝0，
即3x2＋4x－2＝0，
则弦的中点的横坐标为×＝－，
纵坐标为－＋1＝，即.
3．设椭圆＋＝1(m>0，n>0，m≠n)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，
∴m>n且c＝2.又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆的方程为＋＝1.
4．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．
答案　2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.
5．已知双曲线－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，过F的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________.
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案　3
解析　由题意知渐近线的斜率为±，F(2,0)，
∴∠FOM＝30°，直线MN的倾斜角为60°或120°.
由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，
∴直线MN：y＝(x－2)，
分别与两渐近线联立可求得M(3，)，N.
∴|MN|＝3.
1．离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．
2．圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解．