3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．
知识点一 空间向量的概念
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
2．几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量
有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
2．空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识点三 数乘向量运算
1．实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．空间向量数乘运算满足以下运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)λ(a＋b)＝λa＋λb.
1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ )
2．零向量没有方向．( × )
3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × )
题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．空间向量不满足加法结合律
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 D
解析 A中，空间向量满足加法结合律；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故②正确；③显然正确．故选B.
反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．
④试写出向量的所有相反向量．
解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的相反向量有，，，.
题型二 空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
解 (1)－＝－＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解 结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝.
∴＋＋＝2.
题型三 数乘向量运算
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解 (1)＝＋
＝(＋)＋
＝a＋c＋b.
(2)＝＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解 ＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解 ＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
＝a＋b＋c.
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为( )
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＝||，与同向，则>；
③若两个非零向量，满足＋＝0，则，互为相反向量；
④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1B．2C．3D．4
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 C
解析 ①错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
③正确，由＋＝0，得＝－，所以，互为相反向量．
④错误，＝的充要条件是||＝||，且，同向．但A与C，B与D不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C.
[素养评析] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键．
(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.
1．下列命题中，假命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
答案 D
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 C
解析 与相等的向量有，，，共3个．
3．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反．故D正确．
4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A.B．3C．3D．2
答案 B
解析 －＋＝－(－)＝－＝＋2＝3.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋B1C1；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个．
答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 A
解析 对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A.
2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为( )
A.B.C.D．0
答案 A
解析 ＋＋＝＋＝.
3．如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，则为( )
A.(a＋b)－c B.(c＋a)－b
C.(b＋c)－a D．a＋(b＋c)
答案 C
解析 ＝＋
＝－＋(＋)
＝－a＋(b＋c)．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 如图所示，∵＝，－＝－＝，＋＝，∴－＋＝.
5.在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量等于( )
A.a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．a＋b
D.a
答案 D
解析 ＝＝＝a.
6.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案 D
解析 ∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.
7.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
答案 A
解析 ＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
8．P为正六边形ABCDEF所在平面外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于( )
A．2B．4C．6D．12
答案 C
解析 由O是正六边形ABCDEF的中心，得＋＝0，＋＝0，＋＝0，∴＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝6.
二、填空题
9．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
考点 空间向量的加减运算
题点 空间向量的加减运算的应用
答案 2
10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若C＝a，C＝b，＝c，则＝________.
答案 －a＋b－c
解析 如图，
＝＋
＝＋(－)
＝－＋－
＝－c＋b－a.
11．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 空间向量的定义与模
答案 ③
解析 对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．
三、解答题
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋；
(4)＋－.
解 (1)＋＝.
(2)＋＋＝＋
＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
(4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.
13.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解 (1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.向量，，如图所示．
14．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反相量．
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 C
解析 如图所示，①＝－，＝－，
所以＋＝－(＋)，是一对相反向量；
②－＝，－＝，而＝，故不是相反向量；
③同①，也是正确的；
④－＝，－＝＝－，是一对相反向量．
15.如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中．
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出表示化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出表示化简结果的向量．
考点 空间向量的加减运算
题点 空间向量的加减运算
解 (1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＝＋＝.
在图中表示如下：
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝0＋＝.
在图中表示如下：
3.1.2 空间向量的基本定理
学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
知识点一 共线向量定理与共面向量定理
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
2．向量共面的条件
(1)向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α.
(2)共面向量的定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
(3)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
知识点二 空间向量分解定理
1．空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
2．基底
如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
1．向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × )
2．若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．( × )
3．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.( × )
4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( × )
题型一 向量共线问题
例1 (1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
考点 线线、线面平行的判断
题点 线线平行的判断
答案 (1)A (2)1
解析 (1)因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴解得故k的值为1.
反思感悟 (1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
①存在实数λ，使＝λ成立．
②对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
③对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，
且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.∴E，F，B三点共线．
题型二 空间向量共面问题
例2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
考点 空间向量的数乘运算
题点 空间共面向量定理及应用
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
反思感悟 (1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．
(2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面．
解 ，，三个向量共面．
因为＝＋＋，
所以3＝＋＋，
化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0，
即＋＋＝0，即＝－－，
故，，共面．
题型三 空间向量分解定理及应用
例3 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量．
(1)；(2)；(3)；(4).
解 连接AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练3 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量.
解 ∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
∴＝(＋)，
＝＝×(＋)＝(b＋c)．
又＝＋＝＋，＝－，
∴＝＋×(＋)－
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
∵＝－，
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
空间共线向量定理的应用
典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
考点 空间向量的数乘运算
题点 空间共线向量定理及应用
证明 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋，
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥.
∵C不在MN上，∴CE∥MN.
[素养评析] 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定＝λ中的λ的值．
1．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题．这是关于零向量的方向的规定；
③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成立．
2．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面．
3．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋ B.＝＋
C.＝＋＋ D.＝2－
答案 C
解析 对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D，易知，，共面，故只有C中，，不共面．
4．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
答案 －8
解析 ∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝λ，
∴＝.∴k＝－8.
5．以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．
其中正确命题的序号是________．
答案 ②④
解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．
1．四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
4．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.
一、选择题
1．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a＋b＋c
考点 空间向量的数乘运算
题点 空间向量的线性运算
答案 B
解析 连接AE，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝(＋)＝(b＋c)．
在△ABE中，＝＋＝－＋，
又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c
答案 D
解析 能与p，q构成基底，则与p，q不共面．
∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.
∴A，B，C都不合题意．∵{a，b，c}为基底，
∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
3．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
答案 A
解析 已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝n(－)
?＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．故选A.
4．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
答案 B
解析 由6＝＋2＋3，
得－＝2(－)＋3(－)，
即＝2＋3，∴，，共面，
又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面．故选B.
5．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1B．0C．3D.
答案 D
解析 ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，∴x＝.故选D.
6．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，若将b与c作为基底，则等于( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
答案 A
解析 ∵＝2，∴－＝2(－)，
∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.
7．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 ①正确．基底必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面，故只有①②正确．
8.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
答案 B
解析 ＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴－＝＋，∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
二、填空题
9．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
答案
解析 由P，A，B，C四点共面可知，＋＋λ＝1，
故λ＝.
10．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋
＝＋＝，
故＋－－
＝－＝0.
11．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.
答案 －1
解析 ＝(－2x)·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A，B，C，D四点共面，得－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
三、解答题
12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，当＝2－－时，点P是否与A，B，C共面？并给出证明．
解 点P与A，B，C三点不共面，证明如下：
若点P与A，B，C共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y，于是对平面ABC外一点O，有－＝x(－)＋y(－)，
∴＝(1－x－y)＋x＋y，
比较原式得此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A，B，C，P四点不共面．
13．已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)＝＋＝＋(＋ )＝＋＋
＝＋，
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面．
(2)方法一 ∵＝－＝－
＝，∴EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
方法二 ∵＝＋＝2＋2
＝2＝2(＋)＝2＋2，
又，不共线，∴与，共面．
又BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，∴λ＋m＋n＝0.
15．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥.
证明 (1)由＝＋m，＝＋m，
知A，B，C，D四点共面，
E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
3.1.3 两个向量的数量积
学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．
知识点一 两个向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点二 两个向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
规定：零向量与任何向量的数量积都是0.
2．数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注意：空间向量的数量积不满足结合律。
知识点三 两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
1．向量与的夹角等于向量与的夹角．( × )
2．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( × )
3．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( √ )
5．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( √ )
题型一 数量积的计算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解 (1)·＝·
＝||||·cos〈，〉
＝cos60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝cos120°＝－.
(4)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos60°－cos60°＝0.
反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解 如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
题型二 利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
求证：PA⊥BD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，知DA⊥BD，则·＝0.
由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0.
又＝＋，
所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.
反思感悟 (1)由数量积的性质a⊥b?a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
题型三 数量积求解空间角与距离
命题角度1 求解角度问题
例3 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 ∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||·cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，
∴cos〈，〉＝
＝＝.
反思感悟 求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝a－c，＝a＋b.
∴·＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∵〈，〉∈(0°，180°)，
∴〈，〉＝60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2 求解距离或长度
例4 平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，于是，·＝0，·＝0，
且〈，〉＝60°或120°.
||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈，〉，故||2＝13或5，
解得||＝或，
即B，D间的距离为或.
反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝||2，所以||2＝23，
则||＝，即AC1＝.
利用数量积探究垂直问题
典例 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，使⊥？
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
解 假设存在点Q(点Q在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD.
连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
又＝＋，
所以·＝·＋·＝0.
又·＝0，所以·＝0，所以⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又AB＝1，
所以当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0
[素养评析] 本例由条件⊥，利用向量的数量积推知Q点轨迹，从而转化为平面几何问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力．
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案 B
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，
a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a＝0时，不能推出b＝c.
2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于( )
A．14B.C．4D．2
答案 B
解析 |a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．0
答案 B
解析 易知①②正确；与的夹角为120°，
∴③不正确．故选B.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
答案
解析 cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案
解析 ||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
1．空间向量数量积性质的应用(a，b为非零向量)
(1)a⊥b?a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度．
(3)cos〈a，b〉＝，此结论用于求有关空间角的问题．
(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论用于求空间中的距离问题．
2．空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
(3)空间向量没有除法运算：即若a·b＝k，没有a＝.
一、选择题
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 数量积的性质
答案 A
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60°B．30°C．135°D．45°
答案 D
解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
3．已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于( )
A.B．5C．6D.
答案 A
解析 ∵|a－b＋2c|2
＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，
∴|a－b＋2c|＝.
4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
答案 C
解析 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案 C
解析 ∵＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
6．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12B．8＋C．4D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×＝13.
7．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为( )
A.B．2C.D.
答案 D
解析 ∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝.
8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝，AB＝AC＝AA1，则异面直线A1B与C1A所成的角等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设＝a，＝b，＝c，
则＝a－c，＝－b－c，
∴·＝(a－c)·(－b－c)＝－a·b＋b·c－a·c＋c2＝|c|2，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴A1B与C1A所成的角为.
二、填空题
9．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
10．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.
11．(2018·大连高二检测)如图，平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝AD＝1，AA′＝2，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
答案
解析 ||2＝|＋＋|2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝12＋12＋22＋2×1×1×cos60°＋2×1×2×cos60°＋2×1×2×cos60°＝11，
则||＝.
三、解答题
12.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若AB＝CD，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EF⊥AD且EF⊥BC.
证明 连接AF，∵点F是BC的中点，
∴A＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(＋－)，
又||＝||＝|－|，
∴AC2＝AD2－2·＋AB2，①
同理AB2＝CD2＝AD2－2·＋AC2，②
将①代入②可得AB2＝AD2－2·＋AD2
－2·＋AB2，
∴2AD2－2·(＋)＝0，
∴·(＋－)＝0，
∴·(＋－)＝0，
∴·＝0，∴⊥.
同理可得⊥.
∴EF⊥AD且EF⊥BC.
13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
解 由题意知||＝，||＝，
＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，
∴·＝·＝·＝0.
∵AB⊥AD，
∴·＝0，
∵AB⊥BC，
∴·＝0，
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝，
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴PB与CD所成的角为.
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．
答案 －4
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.
15.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明 ＝＋，
＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
学习目标 1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．
知识点一 空间向量的坐标表示
1．空间直角坐标系及空间向量的坐标
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
2．空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．
知识点二 空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)．( × )
2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)．( × )
3．若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．( √ )
4．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b?＝＝.( × )
5．四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．( √ )
题型一 空间向量的坐标表示与运算
命题角度1 空间向量的坐标表示
例1 如图，在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
(1)，，；
(2)，，.
解 (1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－
＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
引申探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．
解 ＝＋＝－＋＝，
＝＋＝＋
＝－＋＝，
＝＋＝.
反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练1 设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．
又|SP1|＝2，|OP1|＝，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0,0，)．
∴＝－＝(1,1，－)，
＝－＝(0，－2,0)．
命题角度2 空间向量的坐标运算
例2 已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
答案 A
解析 依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．
反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．
跟踪训练2 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
答案 2
解析 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例3 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 (1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．
解 由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
反思感悟 (1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练3 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
题型三 空间向量的夹角与长度的计算
例4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，
F，G.
所以＝，＝，＝，＝.
(1)证明 因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解 因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(3)解 |CE|＝||＝＝.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解 (1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
∴PO＝OB·tan60°＝.
∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.
(2)如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，A(0，－，0)，P(0,0，)．
∴E，
∴＝，＝.
∴·＝0＋0＋×(－)＝－，
||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
空间向量在平行与垂直中的应用
典例 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量在立体几何中的应用
证明 (1)∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
[素养评析] 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题．通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.
1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
答案 D
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0B.C.D．π
答案 C
解析 ∵cos〈a，b〉＝＝＝0，
〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝.
3．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( )
A．4B．15C．3D．7
答案 C
解析 ∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1B.C.D.
答案 D
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
答案
解析 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝＝.
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
答案 C
解析 ＝－＝(2,1,3)．
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 AB的中点M，又C(0,1,0)，
所以＝，故M到C的距离为
|CM|＝||＝＝.
3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0B．6C．－6D．±6
答案 B
解析 ∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3B．2C.D．5
答案 A
解析 a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3.
5．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 ＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．
由·>0，得A为锐角；
由·>0，得C为锐角；
由·>0，得B为锐角．
所以△ABC为锐角三角形．
6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
答案 C
解析 ∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，
∴＝＝(y≠0)，
∴x＝，y＝－.
7．设＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，＝(0，cosα，0)，则||的最大值为( )
A．3B.C．2D．3
答案 B
解析 ∵＝＋＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)，
∴||2＝(cosα＋sinα)2＋cos2α＋(－sinα)2
＝2＋sin2α≤3，
∴||的最大值为.
8．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.B.C．4D．8
答案 B
解析 ∵|a|＝＝3，
|b|＝＝3，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴sin〈a，b〉＝，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝.
二、填空题
9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
答案 0
解析 因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，
由题意得∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
10．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
答案
解析 ＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
·＝－7，||＝，||＝，
∴cosθ＝＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
11．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．
答案 (－1,1,2)
解析 设点D(x，y，z)，
则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)，
因为DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥，
则解得所以D(－1,1,2)．
三、解答题
12．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
解 (1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，
a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
cosθ＝＝＝－.
13．已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值．
解 ∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，
∴〈s1，s2〉＞，
∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.
14．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 C
解析 方法一 设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.
方法二 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ≠0，
因为λ∶λ∶2λ＝1∶1∶2，
观察选项只有C符合．
15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)．
连接AC，则＝(－1,1,0)．
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.
又因为＝，＝(1,1，m－1)，
而D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以
解得m＝，即M为B1B的中点．
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．
知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta或＝＋ta或＝(1－t)＋t(＝a)，
上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
2．线段AB的中点M的向量表达式＝(＋)．
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合?v1∥v2.
2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得
l∥α或l在α内?存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.
3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得
α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β.
知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2?v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.
2．求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．
1．直线l的方向向量是唯一的．( × )
2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )
3．若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．( × )
4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
解 (1)由已知，得＝2，
即－＝2(－)，
＝＋.
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，
即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1.
因此，P点的坐标是.
(2)因为AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2(－)，
＝－＋2，
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．
跟踪训练1 已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设C(x，y，z)，
∵C为线段AB上一点且＝，
∴＝，
即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
∴x＝，y＝－1，z＝.
题型二 向量方法处理平行问题
例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝AD′.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，
所以＝－＝(b＋c)．
因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.
又因为b＋c＝，
所以＝，
所以MN∥AD′，MN＝AD′.
反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
跟踪训练2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
证明 方法一 设＝a，＝b，＝c，则
＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c，
∴＝，∴∥，又∵R?MN，∴MN∥RS.
方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得
M，N(0,2,2)，
R(3,2,0)，S.
∴＝，＝，＝，
∴∥，∵M?RS，∴MN∥RS.
题型三 两直线所成的角的求解
例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．
解 设＝a，＝b，＝c，直线MN与AC所成的角为θ，则
＝－＝(b＋c)－a
＝(b＋c－a)，＝c－a，
所以||2＝(b＋c－a)2
＝(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)
＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，
||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c
＝42＋32－02＝25，
·＝(b＋c－a)·(c－a)
＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝＝.
cosθ＝|cos〈，〉|＝＝
＝.所以直线MN与AC所成角的余弦值为.
反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
＝(－1,4,1)，
＝(－1，－2,2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，
·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝.
即异面直线AF与BE所成角的余弦值为.
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2．设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1B.C.D．3
答案 B
解析 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，即m＝.
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案 A
解析 ∵＝(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.
4．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．1 B．3
C．1或3 D．以上答案都不正确
答案 C
解析 因为b＝(4,2－2m,2－2m)≠0，
所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，
得显然m＝1符合题意，
当m≠1时，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－，
代入4－2m＝4λ，得m＝3.
5．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝______，y＝______.
答案 －14 6
解析 ∵l1∥l2，∴＝＝(x≠0，y≠0)，
∴x＝－14，y＝6.
1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．
2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．
3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
一、选择题
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案 D
解析 由l1∥l2得，＝＝(xD＝/0，yD＝/0)，解得x＝6，y＝.
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－B.C．－D.
答案 B
解析 设l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°B．90°C．105°D．75°
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，设BB1＝1，
则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
4．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵＝(－3，－2，－5)，＝(2,6,4)，
＝(－1,4，－1)．
∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形．
又||≠||，
故选C.
5．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x－3，y－3，z＋5)，＝(－1，－6,6)．
由＝，得
解得x＝，y＝－1，z＝－1.
即C点坐标为.
6．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
答案 B
解析 设B(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．ACB．BDC．A1DD．A1A
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
8.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论中正确的是( )
A．①③④ B．①②③④
C．①③ D．③④
答案 A
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P?平面D1PQB1，A1M?平面D1PQB1，
∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P?平面DCC1D1，A1M?平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
二、填空题
9．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.
答案 16
解析 ＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)．
根据共面向量定理，设＝x＋y (x，y∈R)，
则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)
＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，
∴
解得x＝－7，y＝4，a＝16.
10．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________．
答案
解析 设M(x，y，z)，则由已知，得
＝λ＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)．
又＝(x，y，z－1)，∴x＝－λ，y＝λ，z＝1.
又·＝0，＝(－λ－1，λ－2,4)，
∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0，
∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝.
∴M点坐标为.
11．已知两点A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是____________．
答案
解析 设交点坐标为P(x,0，z)，则由A，P，B三点共线可设＝λ，得(x－1,2，z－3)＝λ(1,3，－4)，
即 解得
故AB连线与xOz平面的交点坐标是.
三、解答题
12.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
证明：EF∥平面SAD.
证明 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.
设A(a,0,0)，S(0,0，b)，
则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F.
所以＝.
取SD的中点G，
连接AG，则＝.
因为＝，所以EF∥AG，
又AG?平面SAD，
EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD.
13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t,0)(0≤t≤2)，
则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t－2)＋0＝×·cos60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
14．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
答案
解析 因为＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，
＝(－x,1，－z)，
由·＝0，·＝0，得
得x＝，z＝－，
所以P.
15.如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
解 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，
则O，P，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
则Q(0,1，z)，
则＝，
＝(－1，－1,1)，
∴∥，∴OP∥BD1.
＝，＝(－1,0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.了解三垂线定理及其逆定理．
知识点一 平面的法向量
已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
知识点二 平面的向量表示
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．
知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理
1．两平面平行或垂直的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到
α∥β或α与β重合?n1∥n2；
α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.
2．三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
1．已知直线垂直于α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( × )
2．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．( × )
3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( √ )
4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( √ )
题型一 求平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的法向量为n＝(，－1，)．
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的法向量为n＝(0,1，)．
反思感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．
解 连接PF，CF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB.
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示)．
由题意得F(0,0,0)，P，D，C，
E.
所以＝，＝.
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．
则即
所以令y＝2，则x＝，z＝－2.
所以平面DEF的法向量为m＝(，2，－2)．
题型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，
∴(－1)×y－2(z－1)＝0，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
题型三 利用空间向量证明垂直问题
例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明 方法一 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二 同方法一建系后，得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.
考点 向量法求解平面与平面的位置关系
题点 向量法解决面面垂直
(1)证明 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解 由于点M在直线AE上，
因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，
即＝，解得λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.
利用向量求解空间中的探索性问题
典例 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
考点 向量法求解平面与平面的位置关系
题点 向量法解决面面垂直
解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，
则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，
＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝，＝(0,1,1)．
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.
令z1＝1，得x1＝a－1，
∴n1＝(a－1,0,1)．
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即∴
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
∴n2＝(－2,1，－1)．
∵平面A1B1P⊥平面C1DE，
∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.
∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
[素养评析] 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意．本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标．
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m等于( )
A．－4B．－6C．－8D．8
答案 C
解析 ∵l∥α，平面α的法向量为，
∴(2，m,1)·＝0，
即2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 A
解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.
3．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
答案 B
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A．－B．6C．－6D.
答案 B
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝.∴λ＝6.
5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________．
答案 5
解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直，
∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．
2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．
一、选择题
1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为( )
A．－2B．－C.D．±
答案 D
解析 由题意知，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，
解得x＝±.
2．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 C
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案 B
解析 对于A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；同理可排除C，D；对于B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.
4．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为( )
A．1或2 B．－1或－2
C．－1 D．－2
答案 B
解析 由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.
5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
答案 D
解析 当a·b＝0时，l?α或l∥α.
6．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2
答案 A
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得得
7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
A．－3B．6C．－6D．－12
答案 B
解析 α⊥β?μ·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵ ∴
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
单位法向量为或.
二、填空题
9．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为________．
答案 11
解析 ∵点P在平面ABC内，
∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，
即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，
即x＝11.
10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
答案 4
解析 由α∥β，得＝＝(kD＝/0)，解得k＝4.
11．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)
答案 是
解析 如图，以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由AC＝2，BC＝，
SB＝，
得B(－，2,0)，
S(0,0，2)，C(0,2,0)，
＝(0,2，－2)，
＝(－，0,0)．
因为·＝0，所以SC⊥BC.
三、解答题
12．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
依题意有即
解得令y＝1，则x＝2，
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．
求证：PD⊥平面ABE.
证明 ∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设PA＝AB＝BC＝1，则
P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
∴＝(1,0,0)，＝，
∴设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，
显然＝n，∴∥n，
∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
14.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：平面DEA⊥平面ECA.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则
即解得
即解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直．
所以平面DEA⊥平面ECA.
15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面垂直
证明 (1)以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，
∴＝＋，
故，，共面．
又它们有公共点B，
∴E，B，F，D1四点共面．
(2)设M(0,0，z)，则＝，
而＝(0,3,2)，
由题设得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.
∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)，
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，
∴·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，
故ME⊥平面BCC1B1.
3.2.4 二面角及其度量
学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．
知识点一 直线与平面所成的角
1．直线与平面所成的角
2．最小角定理
知识点二 二面角及理解
1．二面角的概念
(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.
(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．
(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．
(5)二面角的范围是[0°，180°]．
2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．
(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．
1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × )
2．二面角的大小范围是.( × )
3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )
题型一 求直线与平面的夹角
例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，
方法一 取A1B1的中点M，
则M，连接AM，MC1，
则＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1.
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角．
由于＝，＝，
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
方法二 ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，＝.
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，
∴n·＝0且n·＝0.∴ay＝0且az＝0.
∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0)．
∴cos〈，n〉＝＝－，
∴|cos〈，n〉|＝.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角θ.
解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)
则N(1,0,1)，
∴＝(－2,2,0)，
＝(0,2,0)，
＝(1,0,1)，
设平面ADMN的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1,0，－1)，
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
题型二 求二面角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0)．∵＝，
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴E，O，
＝，＝(b,0,0)．
∵·＝0，
∴⊥，＝＝，·＝0.
∴⊥.
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角．
cos〈，〉＝＝.
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
＝，＝(b,0,0)．
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由
得
∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，
cos〈m，〉＝＝＝.
又平面EAC与平面ABCD所成角的平面角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．
跟踪训练2 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求锐二面角A-PB-C的余弦值．
解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
故＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)，
设平面PAB的法向量为
m＝(x，y，z)，
则
即
令x＝1，则y＝－，故m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
即
令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝＝.
∴锐二面角A－PB－C的余弦值为.
题型三 空间角中的探索性问题
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD；
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．
(1)证明 因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)解 过点P作PO⊥AD于点O.
则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，
连接PM.则PM⊥BC，
因为∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，
所以BC＝，PM＝，
设AB＝t，则在Rt△POM中，
PO＝，
所以VP－ABCD＝·t··
＝，
所以当t2＝，即t＝时，
VP－ABCD最大为.如图，
此时PO＝AB＝，且PO，OA，OM两两垂直，
以OA，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则P，D，
C，B.
所以＝，
＝，＝.
设平面PCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
即
令x1＝1，则m＝(1,0，－2)，|m|＝；
同理设平面PBC的法向量n＝(x2，y2，z2)，
即
令y2＝1，则n＝(0,1,1)，|n|＝，
设平面PBC与平面DPC的夹角为θ，显然θ为锐角，
所以cos θ＝＝＝.
即平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为.
反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．
跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，且AB⊥AC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝λ.
(1)证明：PN⊥AM；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．
(1)证明 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则P(λ，0,1)，N，M，
从而＝，
＝，
·＝×0＋×1－1×＝0，
所以PN⊥AM.
(2)解 过点P作PE⊥AB于E，连接EN，
则PE⊥平面ABC，
则∠PNE为所求角θ，
所以tanθ＝＝，
因为当点E是AB的中点时，ENmin＝.
所以(tanθ)max＝2，此时，λ＝.
利用向量求二面角
典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
(1)证明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解 过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，
可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．
由已知AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°，
从而可得C(－2,0，)．
所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则
即所以可取n＝(3,0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E-BC-A的余弦值为－.
[素养评析] 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台．第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单．求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题．
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案 A
解析 设l与α所成的角为θ，则
sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.
∴θ＝30°.
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．
∴·＝1－1＝0，
·＝1－1＝0.
∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D，又A1B∩A1D＝A1，
∴AC1⊥平面A1BD.∴是平面A1BD的法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为.
3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________．
答案 45°或135°
解析 设二面角的平面角为θ，
∵cos〈m，n〉＝＝，∴θ＝45°或135°.
4．正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________．
答案
解析 作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为△BCD的中心，设正四面体的棱长为a，则OB＝a，∠ABO为所求角，cos∠ABO＝.
5．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
答案
解析 ＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·＝0，n·＝0知令x＝2，则y＝1，z＝.
∴平面ABC的法向量为n＝.平面xOy的法向量为＝(0,0,3)．所以所求锐二面角的余弦值cosθ＝＝＝.
1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．
2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.
3．二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系．
一、选择题
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A.B.C.D．以上均错
答案 B
解析 直线l与平面α所成的角范围是.
2．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|
答案 D
解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈，
因而cosα＝|cosθ|.
3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设AA1＝2AB＝2，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，
故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)，
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2,1)．
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
4.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则AB1与ED1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 A
解析 ∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，
·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，则∠BOD为二面角B—AC—D的平面角，由余弦定理可得cos∠BOD＝.
6．A，B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是( )
A．30°B．60°C．45°D．75°
答案 C
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，则∠PAO为PA与平面α所成角，∠PBO为二面角α—l—β的平面角，由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，取PA＝2a，则PO＝a，PB＝a，∴sin∠PBO＝＝，∴∠PBO＝45°.
二、填空题
7．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．
答案 90°
解析 由于n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，
所以n1⊥n2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.
8．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
答案 60°或120°
解析 设二面角大小为θ，由题意可知
|cosθ|＝＝＝，
所以cosθ＝±，
所以θ＝60°或120°.
9．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
答案 30°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉
＝＝－，
所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.
10．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.
答案
解析 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取AC的中点O，连接OB，OB⊥AC，
则OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1与平面AC1所成的角．∵OB＝，BC1＝，
∴sin∠BC1O＝＝，
∴∠BC1O＝.
三、解答题
11．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，求该二面角的大小．
解 由题意知，·＝0，·＝0，
＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2.
∴cos〈，〉＝－，
又〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°.
12.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．
解 取CD的中点M，则EM∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
∴EM⊥平面ABCD，
∴BE在平面ABCD上的射影为BM，
∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角．
如图建立空间直角坐标系Dyxz，
设PD＝DC＝1，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，
∴M，E，
∴＝，＝，
cos〈，〉＝＝＝，
∴EB与平面ABCD夹角的余弦值为.
13.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值．
(1)证明 连接AC1，交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点，因为D为AB的中点，
所以DF∥BC1，
又因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解 由AA1＝AC＝CB＝AB，
可设AB＝2a，
则AA1＝AC＝CB＝a，
所以AC⊥BC，又由直棱柱知CC1⊥平面ABC，所以以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz如图．
则C(0,0,0)，A1(a，0, a)，D，
E，＝( a,0, a)，
＝，＝，
＝.
设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
可解得y＝－x＝z，令x＝1，
得平面A1CD的法向量为n＝(1，－1，－1)，
同理可得平面A1CE的法向量为m＝(2,1，－2)，
则cos〈n，m〉＝，
又因为〈n，m〉∈[0°，180°]，
所以sin〈n，m〉＝，
所以二面角D-A1C-E的正弦值为.
14.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B，F，C，D.
结合图形可知，＝且为平面BOF的法向量，由＝，＝，
可求得平面BCF的法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
15．直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
求AA1与平面AED夹角的正弦值.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
设CA＝2a，则A(2a,0,0)，
B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，
E(a，a,1)，G.
从而＝，
＝(0，－2a,1)，
由GE⊥BD，得·＝0，得a＝1.
∴＝(2,0，－1)，＝(1,1,0)
设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，
则即即
令x＝1，则y＝－1，z＝2，
即n＝(1，－1,2)，又＝(0,0,2)，
设AA1与平面AED的夹角为θ，
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
∴AA1与平面AED夹角的正弦值为.
3.2.5 距离(选学)
学习目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．
知识点一 点到平面的距离
1．图形与图形的距离
一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．
2．点到平面的距离
一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
知识点二 直线到平面的距离
1．直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．
2．两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．
(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
知识点三 四种距离的关系
题型一 点线距离
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)．
∴||＝＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
∴在上的投影为＝.
∴点A到直线EF的距离
d＝＝＝.
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．
(4)利用勾股定理求点到直线的距离．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，∴＝(1,2，－3)．
又∵＝(0,2,0)，
∴在上的投影为＝.
∴点B到直线A′C的距离
d＝＝＝.
题型二 点面距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
∴x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1,1，－3)．
∴点B到平面EFG的距离d＝
＝＝.
反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求出该平面的一个法向量．
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．
跟踪训练2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)求点C1到平面AB1D的距离．
(1)证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0,0)，C(1,0,0)，B1(－1，0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1)．
∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，
∴⊥n.
∵A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.
(2)解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2,0,1)，
且＝(－1，，－2)，
∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝.
题型三 线面距离与面面距离
例3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．
解 如图，以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．
∵＝(0,0,2)，
∴直线A1B1与平面ABE的距离
d＝＝＝.
反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
跟踪训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
向量法求解线面距
典例 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到平面的距离
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q，P(0,0,2)．
∵＝，＝(，3,0)，∴＝2.
∵与无交点，
∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
又＝(0,2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z.
又＝，∴n·＝x＋y＝0，
即x＝－y.
令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)．又＝，
∴所求距离d＝＝.
[素养评析] 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解．合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10B．3C.D.
答案 D
2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为( )
A.B．2C.D.
答案 A
解析 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝.
3．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A. B．2
C. D.
答案 D
解析 由题意得＝(＋)＝，
＝－＝，
PC＝||＝＝.
4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到直线的距离
答案
解析 因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝.
5．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
答案
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴
即∴
令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
又∵＝(－7，－7,7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝
＝＝＝.
1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．
2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．
一、选择题
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为( )
A.aB.C.D.
答案 D
解析 连接BD，AC交于点O，
则D1O＝＝a为所求．
2.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面M，AC⊥平面M，BD⊥AB，BD与平面M成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1B．2C.D.
答案 C
解析 ||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2，∴||＝.
3．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析 ＝(0,4，－3)，＝(－4,9，－3)，
＝＝9，||＝＝，
BD＝＝＝5，故选C.
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( )
A．5B．6C．4D．8
答案 A
解析 ∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2··＋2··＋2··
＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×3×2×＋2×1×2×＝25，∴||＝5.
5．已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为( )
A.B.C.D．3
答案 B
解析 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
∴＝(－1,2,0)，
＝(0，－2,2)，
||＝＝，
＝.
∴点A到直线BC的距离d＝＝.
6．(2018·安徽六安高二检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )
A. B.
C．2 D.
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求两点间的距离
答案 A
解析 如图，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设AD＝a，则点D的坐标为(1,0，a)，
∴＝(1,0，a)，＝(0,2,2)．
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则得令z＝－1，
得n＝(a,1，－1)．
又平面C1DC的一个法向量为m＝(0,1,0)，
∴cos60°＝，即＝，
∴a＝，即AD＝.
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，
∴即
令z＝1，则平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．
由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为
d＝＝.
二、填空题
8．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
答案 2
解析 d＝＝＝2.
9．如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．
答案
解析 取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，
D(0，－1,2)，C(0,1,2)，＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.
10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________．
答案
解析 如图所示，＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，
∴cosθ＝
＝＝，
∴sinθ＝＝，
∴点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×＝.
11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________．
答案
解析 设AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，EF∩AC＝G，平面ACC1A1⊥平面EFD1B1，交线为O1G，过O作OH⊥O1G，则OH⊥平面EFD1B1，又由题意知BD∥平面EFD1B1，OH的长即为BD到平面EFD1B1的距离．
如图所示，在Rt△O1OG中，
OO1＝1，OG＝，则OH＝.
三、解答题
12．已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A1(4,0,3)，
B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，＝(－4,6,0)，＝(0,6，－3)，＝(－4,0,3)，＝(0,6,0)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由解得n＝.
∴d＝＝.
13．在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
解 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，
B，C，D，
∴＝，＝，
＝，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则
∴y＝－x，z＝－x，取n＝(－，1,3)，
代入d＝，得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
14．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为________．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求两点间的距离
答案
解析 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设F(t1,0,0)(0D(0，t2,0)(0G.
∴＝，＝.
∵GD⊥EF，∴t1＋2t2＝1，由此推出015．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到平面的距离
解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2,0,1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，即(x，y，z)·(0,2,0)＝0且(x，y，z)·(2,0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝.因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝.
专题突破三 空间直角坐标系的构建策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求直线与直线所成的角
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．
跟踪训练1 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成角的余弦值．
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求直线与直线所成的角
解 因为平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，
则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．
＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，
故cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
二、利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
考点 空间向量的正交分解
题点 向量的坐标
解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，
且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1，
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为
B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，
C1，E，A1(0,2，)，P.
点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
跟踪训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
考点 向量法求直线与平面所成的角
题点 向量法求直线与平面所成的角
解 取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
从而AE⊥AD，AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，
N，＝(0,2，－4)，
＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
设AN与平面PMN所成的角为θ，则sinθ＝，
∴直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.
三、利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
解 取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，平面BAE∩平面AEC＝AE，所以BM⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
则B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，M(0,0,0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0，，0)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
跟踪训练3 在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A－VD－B的平面角的余弦值．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
(1)证明 取AD的中点O作为坐标原点，
由题意知，VO⊥底面ABCD，
则可建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)．
易得＝(0,2,0)，
＝(1,0，－)．
∵·＝(0,2,0)·(1,0，－)＝0，
∴⊥，即AB⊥VA.
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD.
(2)解 易得＝(1,0，)．
设E为DV的中点，连接EA，EB，
则E，
∴＝，＝.
∵·＝·(1,0，)＝0，
∴⊥，即EB⊥DV.
又EA⊥DV，∴∠AEB为所求二面角的平面角，
∴cos〈，〉＝＝.
故所求二面角的平面角的余弦值为.
四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.
(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD?
考点 向量法求解直线与直线的位置关系
题点 方向向量与线线垂直
(1)证明 如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设OA＝1，OA1＝a.
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a)．
则＝(1，－1，－a)，＝(0,0，－a)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量．
由得
令x1＝1，则m＝(1,1,0)，而n＝λ＝(0,0，λa)，
故m·n＝0，即平面O1DC与平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)可知，＝，＝(－1,0，a)，
＝＝(－1，－1,0)．
设＝γ，则＝(－γ，－γ，0)，故点F的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴＝.
EF⊥AD?·＝0，而·＝－－γ－γ＋1＝0，解得γ＝.故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.
点评 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．
跟踪训练4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.
(1)求∠DEB的余弦值；
(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求直线与直线所成的角
解 (1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，知B(a，a,0)，C(－a，a,0)，
D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，
E.
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝.
即cos∠DEB＝.
(2)∵BE⊥VC，∴·＝0，即·(－a，a，－h)＝0，
∴a2－－＝0，∴h＝a.
此时cos〈，〉＝＝－，
即cos∠DEB＝－.
1.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为________．
答案 45°
解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，
E，F，
＝，
＝(0,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴〈，〉＝135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
2．在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为________．
考点 向量法求二面角
题点 向量法求二面角
答案
解析 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
平面SAB的一个法向量
＝，
并求得平面SCD的一个法向量n＝，
则cos〈，n〉＝＝.
即所求锐二面角的余弦值为.
3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1.
(1)证明：BC⊥AB1；
(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
考点
题点
(1)证明 由题意知tan∠ABD＝＝，tan∠AB1B＝＝，
又∠ABD，∠AB1B为三角形的内角，
故∠ABD＝∠AB1B，
则∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝，
所以∠AOB＝，即AB1⊥BD.
又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，
所以AB1⊥CO，
因为BD∩CO＝O，BD，CO?平面CBD，
所以AB1⊥平面CBD，
又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC.
(2)解 如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A，B，C，D，
＝，＝，
＝，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则z＝－1，x＝，
∴平面ABC的一个法向量n＝.
设直线CD与平面ABC所成角为α，
则sinα＝|cos〈，n〉|＝
＝＝.
一、选择题
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
考点
题点
答案 C
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，
所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，
因为cos〈，〉＝＝＝.
2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是( )
A. B.
C.－ D.
考点
题点
答案 A
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，
则A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，
＝(－1,1,2)，＝(2,1,0)，
cos〈，〉＝＝＝，
则异面直线EM与AF所成角的余弦值为.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是( )
A.B.C.D．1
考点
题点
答案 B
解析 以D1为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，
且n＝(1,1,1)是平面A1C1D的一个法向量，
因为＝(2,2,0)，
所以cos〈n，〉＝＝＝.
设DB与平面A1C1D所成的角为θ，则sinθ＝cos〈n，〉＝.
4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60° B．75°
C．105° D．90°
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求直线与直线所成的角
答案 D
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，
则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
5．(2018·贵州贵阳高二检测)如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
答案 B
解析 如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，
∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)．
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝.
又平面ABE的法向量为m＝(1,0,0)，
∴cos〈n，m〉＝＝＝.
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.
6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°，则二面角A－A1C－B的余弦值是( )
A. B.
C. D.
考点
题点
答案 C
解析 由题意知AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则·n＝0，·n＝0.
又因为＝(－1，，0)，＝(0，，－)，
所以令y＝1，则n＝(，1,1)．
取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的一个法向量，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以二面角A－A1C－B的余弦值为.
二、填空题
7.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为________．
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求直线与直线所成的角
答案
解析 取BD的中点O，连接OA，OC.
由题意知OA，OC，BD两两垂直，
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
所以＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成角的范围是，
所以AB与CD所成角的余弦值是.
8.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD.设点M满足＝λ(λ>0)，当λ＝时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是________．
考点
题点
答案
解析 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则＝(4,0，－4)，＝(0,6,0)，＝(－4,3,0)．
当λ＝时，得M，
所以＝.
设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得y＝0，令x＝2，则z＝1，
所以n＝(2,0,1)．
因为cos〈，n〉＝＝＝，
所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.
9．(2018·山西太原高二检测)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．
考点 向量法求直线与平面所成的角
题点 向量法求直线与平面所成的角
答案
解析 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系．
则B(1,2,0)，C(－1,2,0)，P(0,0,2)，M.
∴＝.
设平面PCO的法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
取n＝(2,1,0)．
因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是
|cos〈，n〉|＝＝.
10.如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.若CF⊥平面ABCD，CF＝2，则二面角B－AF－D的大小为________．
考点
题点
答案
解析 过点A作AE⊥平面ABCD，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
于是B，D，F(0,2,2)．
设平面ABF的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由得
令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)．
同理，可求得平面ADF的一个法向量为n2＝(，－1,1)．
由n1·n2＝0，知平面ABF与平面ADF垂直，
所以二面角B－AF－D的大小为.
11.如图，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC，CD上，B1Q⊥D1P，且PQ＝.若P，Q分别为BC，CD的中点，则二面角C1－PQ－A的余弦值是________．
考点
题点
答案 －
解析 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)．
设平面C1PQ的法向量为n＝(a，b，c)．
因为＝(－1,1,0)，＝(0,1,2)，
又n·＝n·＝0，
所以令c＝－1，则a＝b＝2，
所以n＝(2,2，－1)．
因为k＝(0,0,2)为平面APQ的一个法向量，
所以cos〈n，k〉＝－.
因为二面角为钝角，所以所求余弦值为－.
12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则AC1与侧面ABB1A1所成角的大小为________．
考点
题点
答案 30°
解析 以A为坐标原点，AB，AA1所在直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，
＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
＝.
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0且n·＝0.∴
∴y＝z＝0.故n＝(x,0,0)．
∴cos〈，n〉＝＝－，
∴|cos〈，n〉|＝.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
三、解答题
13.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
考点 向量法求直线与平面所成的角
题点 向量法求直线与平面所成的角
解 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
(1)因为P为A1B1的中点，所以P，
从而＝，＝(0,2,2)，
故|cos〈，〉|＝＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，
因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取n＝(，－1,1)．
设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
14.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.
(1)证明：BD⊥平面AED；
(2)求平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
(1)证明 因为BC⊥CD，BC＝CD＝2，所以BD＝2.
又因为EA⊥ED，EA＝ED＝2，所以AD＝2.
又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD.
又因为平面EAD⊥平面ABCD，
平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面AED.
(2)解 如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD.
因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，
所以OE⊥平面ABCD.
取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD.
因为BD⊥AD，所以OF⊥AD.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则D(－，0,0)，C(－2，，0)，E(0,0，)，＝(－，，0)，＝(，0，)．
设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，可得平面CDE的一个法向量n1＝(1,1，－1)．
又平面ADE的一个法向量为n2＝(0,1,0)．
因此|cos〈n1，n2〉|＝＝.
所以平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值为.
15.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
考点
题点
解 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．
延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：
由已知得，BC∥ED，且BC＝ED.
所以四边形BCDE是平行四边形．
从而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
(2)由已知得，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又PD?平面PAD，所以CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．
所以∠PDA＝45°.
由PA⊥AB，PA⊥CD，AB∩CD＝M，AB，CD?平面ABCD，可得PA⊥平面ABCD.
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
作Ay⊥AD，以A为坐标原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)，
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取x＝2，得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，
则sinα＝＝＝.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
第三章 空间向量与立体几何章末复习
学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律.3.会用向量法解决立体几何问题．
1．空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv，k∈R
线线垂直
l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
线线夹角
l，m的夹角为θ，cosθ＝
线面夹角
l，α的夹角为θ，sinθ＝
面面夹角
α，β的夹角为θ，cosθ＝
2.用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论．
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．
(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题．
(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．
1．向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等．( × )
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为.( √ )
3．两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( √ )
4．若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )
题型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ③④
解析 容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2·cos∠ASB，·＝2×2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
跟踪训练1 如图，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解 连接AN，则＝＋，
由已知ABCD是平行四边形，
故＝＋＝a＋b，
又M分成的比为，
故＝－＝－(a＋b)．
由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)．
于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)
＝(－a＋b＋c)．
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E.
(1)＝，＝(a，a,0)．
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝，
因为·n＝(a,0，－b)·＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的法向量为＝(0，a,0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)，
设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，所以m＝，
因为·m＝(0，a,0)·＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理．
②证明这两个平面的法向量是共线向量．
(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则
E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.
∴＝(1,0,0)＝，＝，＝.设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，
由得
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由得
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，∴平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．
解 (1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，故CD⊥平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)，
由⊥，得8－h2＝0，h＝2.
故＝(－2,0,2)，
＝(0,0,2)，＝(0，，0)．
设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
取z1＝1，得m＝(，0,1)．
设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝1，得n＝(1,0,0)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为.
反思感悟 用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
方法一 (1)证明 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图，在平面BEC内，
过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2)．
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
方法二 (1)证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一．
1．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则＋(＋)等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 在△BCD中，因为点G是CD的中点，
所以＝(＋)，
从而＋(＋)＝＋＝.故选A.
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2B．3C．4D．1
答案 C
解析 ①由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．
3．(2018·安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为n＝(2,2，－2)，则α与β的关系为________．
考点 向量法求解平面与平面的位置关系
题点 向量法解决面面平行
答案 平行
解析 由n·＝0，n·＝0，
故n也是平面α的一个法向量，又点A不在平面β内，故α∥β.
4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
答案 x＋y＋z＝0
解析 ·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.
(1)求EF的长；
(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值．
解 (1)因为EF∥CB，∠ACB＝90°，
所以CE⊥EF，AE⊥EF.
又平面AEF⊥平面EFBC，
平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，
AE?平面AEF，
所以AE⊥平面EFBC.
设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，
所以＝，
即AE＝＝＝2x.
VA－EFBC＝S梯形EFBC·AE
＝×(x＋2)(4－2x)×2x
＝，x∈(0,2)．
由题意得＝2，即x3－4x＋3＝0，
即(x－1)(x2＋x－3)＝0，
所以x＝1或x＝，
即EF＝1或EF＝.
(2)以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
因为EF＝1，则A(0,0,2)，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)．
设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为θ，
则sin θ＝|cos〈·n〉|＝＝＝.
所以直线AC与平面ABF夹角的正弦值为.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．
