2.解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程
[教用专有]
教学目标
1．理解一元一次方程的概念．
2．掌握解含括号的一元一次方程．
3．会用一元一次方程解决实际问题．
情景问题引入
看图并回答问题：
(1)此题中涉及几个量？
(2)能否找到题目的等量关系？
(3)你能根据等量关系列出方程吗？
(4)能否解这个方程？
[学生用书P8]
1．一元一次方程
定 义：只含有__一个__未知数，并且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的次数都是__1__的方程．
注 意：一元一次方程必须同时满足以下三个条件：
(1)在方程中“元”是指未知数，“一元”是指方程中有且只有一个未知数；
(2)“未知数的次数是1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1；
(3)一元一次方程的左、右两边必须是整式．
2．含括号的一元一次方程的解法
步 骤：(1)去括号；
(2)移项；
(3)合并同类项；
(4)系数化为1.
[学生用书P8]
类型之一 一元一次方程的概念
下列方程是一元一次方程的是( B )
A．x2＋x＝5 B．x＋＝4
C．x＋y＝7 D.＝2
【点悟】 紧扣一元一次方程的概念，同时满足三个条件．
关于x的方程(k－3)x|k|－2＋5＝k－4是一元一次方程，求这个方程的解．
解：由题意，得|k|－2＝1，k－3≠0，
∴|k|＝3，∴k＝±3.
当k＝3时，k－3＝0(舍去)；
当k＝－3时，k－3＝－6≠0，
∴k＝－3.
把k＝－3代入原方程，得
(－3－3)x＋5＝－3－4，
解得x＝2.
【点悟】 应用概念的特征解题，要抓住概念的本质特征．在本题中要注意指数为1，未知数的系数不为0，这两个条件应同时满足．
类型之二 解含括号的一元一次方程
解方程：2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1)．
解：去括号，得2x＋6－5＋5x＝3x－3.
移项，得2x＋5x－3x＝－3－6＋5.
合并同类项，得4x＝－4.
系数化为1，得x＝－1.
当x为何值时，代数式3(x＋2)的值比代数式2(x－3)的值大5?
解：由题意，得3(x＋2)－5＝2(x－3)．
去括号，得3x＋6－5＝2x－6.
移项，得3x－2x＝－6－6＋5.
合并同类项，得x＝－7.
∴当x＝－7时，代数式3(x＋2)的值比代数式2(x－3)的值大5.
[学生用书P8]
1．[2018春·乐至县期末]下列方程中，是一元一次方程的是( B )
A．－3x＋2y＝1 B．3x－2＝0
C.＋3＝1 D．x2－x－2＝0
2．方程2(x－1)＝x＋2的解是( D )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
3．方程7(2x－1)－3(4x－1)＝11去括号后，正确的是( C )
A．14x－7－12x＋1＝11
B．14x－1－12x－3＝11
C．14x－7－12x＋3＝11
D．14x－1－12x＋3＝11
4．[2017·和平区校级一模]方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解是( C )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝－2 D．x＝2
5．方程5(x＋2)＝2(2x＋7)的解是__x＝4__．
[学生用书P9]
1．[2018春·孟津县期中]下列方程中，不是一元一次方程的是( D )
A．2x－3＝5 B．3a－6＝4a－8
C．x＝0 D.＋1＝0
2．解方程2(x－5)－x＝6，有以下四个步骤：
①去括号，得2x－10－x＝3x－2；
②移项，得2x－x－3x＝10＋2；
③合并同类项，得－2x＝12；
④系数化为1，得x＝－6.
经检验知，x＝－6不是原方程的解，这说明解题的四个步骤中有错，其中做错的一步是( B )
A．① B．②
C．③ D．④
3．[2017·绍兴模拟]方程(2a－1)x2＋3x＋1＝4是一元一次方程，则a＝____．
4．当x＝____时，5(x－2)与7x－(4x－3)的值相等．
5．解方程：
(1) [2017·武汉]4x－3＝2(x－1)；
(2)8y－3(3y＋2)＝6；
(3)4x－3(20－x)＝6x－7(9－x)；
(4)(2x－1)＋3(4x－7)－5(3x＋2)＋5＝0.
解：(1)去括号，得4x－3＝2x－2.
移项，得4x－2x＝3－2.
合并同类项，得2x＝1.
系数化为1，得x＝.
(2)去括号，得8y－9y－6＝6.
移项、合并同类项，得－y＝12.
系数化为1，得y＝－12.
(3)去括号，得4x－60＋3x＝6x－63＋7x.
移项、合并同类项，得－6x＝－3.
系数化为1，得x＝.
(4)去括号，得2x－1＋12x－21－15x－10＋5＝0.
移项、合并同类项，得－x＝27.
系数化为1，得x＝－27.
6．[2018秋·兴义市校级月考]已知方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)写出这个一元一次方程；
(3)判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
解：(1)∵方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程，
∴m－1≠0，|m|＝1，
解得m＝－1.
(2)由(1)得－2x＋5＝0.
(3)由(2)得x＝1，x＝3不是该方程的解；x＝2.5是该方程的解．
7． 已知关于x的方程2(x＋1)－m＝－2(m－2)的解比方程5(x＋1)－1＝4(x－1)＋1的解大2，求m的值．
解： 5(x＋1)－1＝4(x－1)＋1，解得x＝－7.∵方程2(x＋1)－m＝－2(m－2)的解比方程5(x＋1)－1＝4(x－1)＋1的解大2，
∴x＝－5是方程2(x＋1)－m＝－2(m－2)的解．把x＝－5代入2(x＋1)－m＝－2(m－2)中，得m＝12.
8. 定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝a－2b，比如：2⊕(－3)＝2－2×(－3)＝2＋6＝8.
(1)求(－3)⊕2的值；
(2)若(x－3)⊕(x＋1)＝1，求x的值．
解：(1)根据题中的新定义，得原式＝－3－4＝－7.
(2)已知等式变形，得x－3－2(x＋1)＝1.
去括号，得x－3－2x－2＝1.
移项、合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－6.
9．a、b、c、d为有理数，现规定一种运算＝ad－bc.那么当＝18时，x的值是多少？
解：由＝18，得2×5－4(1－x)＝18.
去括号，得10－4＋4x＝18.
移项、合并同类项，得4x＝12.
系数化为1，得x＝3.
所以x的值为3.
2.解一元一次方程
第2课时 解含有分数系数的一元一次方程
教学目标
1．会解含分母的一元一次方程．
2．用一元一次方程解决实际问题．
情景问题引入
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外，还有三名妇女．”算一算：毕达哥拉斯的学生有多少名？
[学生用书P10]
1．解含有分母的一元一次方程
步 骤：去分母、去括号、__移项__、__合并同类项__、系数化为1.
注 意：(1)去分母时，不要漏乘没有分母的项；
(2)去分母后，分数线有括号的作用，即分子原来是多项式的要加括号．
2．解分子、分母中含有小数系数的一元一次方程
方 法：先将小数化成整数，再按解分数系数的一元一次方程来解．
[学生用书P10]
类型之一 解含有分数系数的一元一次方程
[2017·黄冈模拟]解方程：＋1＝x－.
解：去分母，得2(x＋1)＋6＝6x－3(x－1)．
去括号，得2x＋2＋6＝6x－3x＋3.
移项、合并同类项，得－x＝－5.
系数化为1，得x＝5.
【点悟】 去分母时，一定要保证方程的每一项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项．
类型之二 分子、分母中含有小数系数的一元一次方程的解法
解方程：－＝1.
解：整理，得－＝1.
去分母，得30x－7(17－20x)＝21.
去括号，得30x－119＋140x＝21.
移项，得30x＋140x＝21＋119.
合并同类项，得170x＝140.
系数化为1，得x＝.
【点悟】 先利用分数的基本性质将分子、分母中的小数化为整数，再利用等式的基本性质去分母，这样可避免小数运算可能带来的错误．
类型之三 “去括号”与“去分母”的灵活运用
解方程：－＝x.
解：去括号，得x＋4－＝x.
去分母，得3x＋48－30＝8x.
移项、合并同类项，得－5x＝－18.
系数化为1，得x＝.
【点悟】 解一元一次方程时，应先观察一元一次方程的特点，再选择正确简便的方法进行计算．
[学生用书P10]
1．[2018春·惠安县期中]方程＋1＝，去分母后正确的是( A )
A．3(x＋2)＋12＝4x
B．12(x＋2)＋12＝12x
C．4(x＋2)＋12＝3x
D．3(x＋2)＋1＝4x
下面是解方程＝1－的步骤：
解：两边同乘4，得2x＋1＝1－(x－2)；①
去括号，得2x＋1＝1－x＋2；②
移项，得2x＋x＝1＋2－1；③
合并同类项，得3x＝2；④
系数化为1，得x＝.⑤
观察以上解题步骤，错误的是第____步．( A )
A．① B．④
C．⑤ D．没有错
【解析】 第①步出错，正确解法为：两边同乘4，得2x＋1＝4－(x－2)．去括号，得2x＋1＝4－x＋2.移项，得2x＋x＝4＋2－1.合并同类项，得3x＝5.系数化为1，得x＝.
3．在解方程－＝1时，对该方程进行化简正确的是( B )
A.－＝100
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝10
[学生用书P10]
1．[2018春·淅川县期中]将方程＝1－去分母，正确的是( A )
A．2x＝4－x＋1 B．2x＝4－x－1
C．2x＝1－x－1 D．2x＝1－x＋1
2．下列方程中变形正确的是( B )
A．方程3x－2＝2x－1移项，得3x－2x＝－1－2
B．方程－＝1去分母，得5(x－1)－2x＝1
C．方程3－x＝2－5(x－1)去括号，得3－x＝2－5x－1
D．方程x＝－系数化为1，得x＝－1
3．依据下列解方程＝的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为＝(__分数的基本性质__)．
去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)(__等式性质2__)．
去括号，得9x＋15＝4x－2(__去括号法则或乘法分配律__)．
(__移项__)，得9x－4x＝－15－2(__等式性质1__)．
合并(__同类项__)，得5x＝－17.
(__系数化为1__)，得x＝－(__等式性质2__)．
4．若代数式的值比的值大1，则y＝__－13__.
【解析】 解方程－＝1，得y＝－13.
5．解方程：
(1) x－3＝；
解： 去分母，得2x－12＝3(x－1)．
去括号，得2x－12＝3x－3.
移项、合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－9.
(2)[ －＝5.
解： 去分母，得2x－3(30－x)＝60.
去括号，得2x－90＋3x＝60.
移项，得2x＋3x＝60＋90.
合并同类项，得5x＝150.
系数化为1，得x＝30.
6．[2018秋·高密市期末]解下列方程：
(1)2(10－0.5y)＝－(1.5y＋2)；
(2)(x－5)＝3－(x－5)；
(3)－1＝；
(4)x－(x－9)＝[x＋(x－9)]；
(5)－＝0.5x＋2.
解：(1)去括号，得20－y＝－1.5y－2.
移项、合并同类项，得0.5y＝－22.
系数化为1，得y＝－44.
(2)去分母，得x－5＝9－2x＋10.
移项、合并同类项，得3x＝24.
系数化为1，得x＝8.
(3)去分母，得3x＋6－12＝6－4x.
移项、合并同类项，得7x＝12.
系数化为1，得x＝.
(4)去括号，得x－x＋1＝x＋x－1.
去分母，得9x－x＋9＝3x＋x－9.
移项、合并同类项，得4x＝－18.
系数化为1，得x＝－.
(5)方程整理，得4x－2－＝0.5x＋2.
去分母，得12x－6－5x－15＝1.5x＋6.
移项、合并同类项，得5.5x＝27.
系数化为1，得x＝.
7．解方程：－2.5＝.
解：原方程可化为5x－20－2.5＝20x－60.
移项，得5x－20x＝－60＋20＋2.5.
合并同类项，得－15x＝－37.5.
系数化为1，得x＝2.5.
8．解方程：x－＝x－2.
解：方程两边同时乘6，得
6x－＝2x－12.
去中括号，得6x－36＋12(x＋1)＝2x－12.
移项、合并同类项，得4x＋12(x＋1)＝24.
去小括号，得4x＋x＋12＝24.
移项、合并同类项，得x＝12.
系数化为1，得x＝.
9．[2018春·南安市期中]列方程求解：当k取何值时，代数式的值比的值大2?
解：根据题意，得－＝2.
去分母，得2(4k－2)－5(k＋6)＝20.
去括号，得8k－4－5k－30＝20.
移项，得8k－5k＝20＋4＋30.
合并同类项，得3k＝54.
系数化为1，得k＝18.
即当k＝18时，代数式的值比的值大2.
第3课时 利用一元一次方程解决实际问题
教学目标
会列一元一次方程解决实际问题．
情景问题引入
观察下列图片：
你知道它们蕴含的是数学中的什么问题吗？路程、速度、时间这三个量之间有怎样的等量关系？
[学生用书P14]
1．一元一次方程模型的构造
方 法：深刻理解问题情景，找出等量关系，列出方程．列方程解应用题的关键是找等量关系．
2．列一元一次方程解实际问题
步 骤：(1)审：审题；
(2)设：设未知数；
(3)找：找等量关系；
(4)列：列一元一次方程；
(5)解：解一元一次方程；
(6)答：检验所求解是否符合题意，写出答案．
[学生用书P14]
类型之一 利用和、差、倍、分的关系构造一元一次方程模型
[2018·安徽]《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题．
解：设城中有x户人家．
由题意，得x＋x＝100，解得x＝75.
答：城中有75户人家．
【点悟】 涉及和、差、倍、分问题，一般可直接列出方程，但需抓住关键词：大、小、多、少、增加、减少、几倍、几分之几等．
类型之二 一元一次方程的应用
[2018春·新泰市期中]“五一”长假里，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里了，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追．如果弟弟和妈妈每小时行2千米，哥哥追上弟弟和妈妈需要多少时间？若弟弟和妈妈从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？
解：设哥哥追上弟弟和妈妈需要x小时，则此时弟弟和妈妈出发了(1＋x)小时，
根据题意，得6x＝2(1＋x)．
解得x＝.
∵＜1－1，∴能追上．
答：哥哥追上弟弟和妈妈需要小时，哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们．
【点悟】 利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
类型之三 公式变形
梯形的面积公式为S＝.若已知下底b＝25，高h＝12，面积S＝240，求上底a的值．
解：由题意，知＝240，
解得a＝15.
[学生用书P14]
1．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是( C )
A．47、6 B．46、6
C．54、7 D．61、8
2．[2017·荆门]已知派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁．当派派的妈妈40岁时，派派的年龄为__12__岁．
3．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(倍加增指从塔的顶层到底层)．请你算出塔的顶层有__3__盏灯．
4．[2017·杭州]某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉__30－t__千克．(用含t的代数式表示)
[学生用书P14]
小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨的部分每吨水费x元；超过5吨的部分每吨加收2元．小明家今年5月份用水9吨，共缴水费为44元．根据题意列出关于x的方程正确的是( A )
A．5x＋4(x＋2)＝44
B．5x＋4(x－2)＝44
C．9(x＋2)＝44
D．9(x＋2)－4×2＝44
2．小强以5 km/h的速度先走16 min，然后小明以13 km/h的速度追，则小明从出发到追上小强所需的时间为( A )
A. h B．10 h
C. h D．以上都不对
3．[2017·遵义]明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有__46__两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)
4．[2018·镇江]小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？
解：设这本名著共有x页．
根据题意，得36＋(x－36)＝x，
解得x＝216.
答：这本名著共有216页．
5．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话．试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
解：(1)设一共去了x个成人，则学生共去了(12－x)人．
由题意，得35x＋35×50%×(12－x)＝350，
解得x＝8，
则12－x＝12－8＝4.
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用：
16×35×0.6＝336(元)．
因为336＜350，
所以小明他们12人买16人团体票这种办法更合算．
6．有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过(假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计)，通过道口后，还需7 min到达学校．
(1)此时，若绕道而行，要15 min到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
(2)若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常(维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口)，结果王老师比拥挤的情况下提前了6 min通过道口，问维持秩序的时间是多少？
解：(1) 36÷3＝12(min)，即王老师还要12 min才能到达道口，加上以后的时间7 min为19 min，而19 min大于15 min，所以王老师应该选择绕道去学校．
答：王老师应选择绕道去学校．
(2)第一问里算出拥挤状态下需12 min，节省了6 min，共用了12－6＝6(min)．
设维持秩序用了x min，则3x＋9(6－x)＝36，
54－6x＝36,
x＝3.
答：维持秩序的时间是3 min.
