1．等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的性质与方程的简单变形
教学目标
1．理解并掌握等式的基本性质．
2．掌握方程的简单变形规则及应用．
情景问题引入
上节课，我们将几个实际问题转化成了数学模型，即一元一次方程，但只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学，我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程，比如：5x＋3＝4.对于这样比较复杂的方程：＝＋1，怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质．
[学生用书P4]
1．等式的基本性质
等式的性质：(1)等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是__等式__．符号表示为：如果a＝b，那么a＋c＝__b＋c__，a－c＝__b－c__.
(2)等式两边都乘(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是__等式__．符号表示为：如果a＝b，那么ac＝__bc__，＝____(c≠0)．
2．方程的简单变形规则
规则1：方程两边都__加上__(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．
规则2：方程两边都__乘__(或都除以)同一个不等于0的数，方程的解不变．
注 意：在运用规则1时，必须是在方程的两边同时加上(或同时减去)“同一个数”或“同一个整式”，不要漏掉方程的任何一边；在运用规则2时，不能在方程的两边同时除以0，因为0不能作除数．
3．利用方程的简单变形规则解方程
移 项：将方程中的某些项__改变符号__后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．
注 意：求方程的解就是要将方程变形为“x＝a”的形式，此时系数为1.如果系数不为1，运用方程的简单变形规则2，将它化为x的系数为1即可．
[学生用书P4]
类型之一 等式的性质
设x、y、c是实数，( B )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
【点悟】 本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或字母，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数或字母，等式仍成立．
类型之二 方程的简单变形规则的应用
解方程2x＋6＝2，移项正确的是( B )
A．2x＝2＋6 B．2x＝2－6
C．2x＝－2－6 D．2x＝－2＋6
【点悟】 在解方程的过程中，移动的项的符号必须改变，而没有移动的项则不能改变符号．
类型之三 用“移项”与“系数化为1”解方程
利用方程的简单变形解下列方程：
(1)x－8＝24; (2)x＝3；
(3)3x－4＝x; (4)3＋2x＝6＋x.
解：(1)方程两边都加上8，得x＝32.
(2)方程两边都乘2，得x＝6.
(3)方程两边都减去x，得2x－4＝0.
方程两边都加上4，得2x＝4.
方程两边都除以2，得x＝2.
(4)方程两边都减去x，得3＋x＝6.
方程两边都减去3，得x＝3.
【点悟】 解方程就是将等式化成x＝a的形式，在转化过程中，应根据方程的简单变形规则，将含未知数的项和已知项分居等号两边，再由规则2，将未知数系数化为1.
[学生用书P4]
下列利用等式的性质，错误的是( D )
A．由a＝b，得到5－2a＝5－2b
B．由＝，得到a＝b
C．由a＝b，得到ac＝bc
D．由a＝b，得到＝
2．下列各题中的变形属于移项的是( B )
A．由2x－3y＋5＝0，得5－3y＋2x＝0
B．由3x－2＝5x＋1，得3x－5x＝1＋2
C．由2x－5＝7x＋1，得2x＋7x＝1－5
D．由3x－5＝－3x，得3x－5－3x＝0
3．把方程x＝1变形为x＝2，其依据是( B )
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质1
[学生用书P5]
1．由方程3x－5＝2x－4变形得3x－2x＝－4＋5，这是根据________变形的．( C )
A．合并同类项法则 B．乘法分配律
C．移项 D．等式的性质2
2．下列变形中属于移项的是( C )
A．由5x－7y＝2，得－2－7y＝5x
B．由6x－3＝x＋4，得6x－3＝4＋x
C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9
3．[2018春·浦东新区期中]下列方程在变形过程中正确的是( C )
A．由x＝6，得x＝2
B．由2x＝3x－1，得－x＝1
C．由2－3y＝5y－4，得－3x－5y＝－4－2
D．由＝－2，得4x＝3x－2
4．[2018春·镇平县期中]下列方程的变形中，正确的是( D )
A．由3＋x＝5，得x＝5＋3
B．由7x＝－4，得x＝－
C．由y＝0，得y＝2
D．由3x－(1＋x)＝0，得3x－1－x＝0
5．[2018春·南安市期中]下列变形正确的是( D )
A．由5＋x＝11，得x＝11＋5
B．由5x＝3x－9，得5x－3x＝9
C．由7x＝－4，得x＝－
D．由＝0，得x＝0
6．[2018春·浦东新区期中]由5x＝4x＋5，得5x－4x＝5.在此变形中，方程两边同时加上了__－4x__．
7．解下列方程：
(1)x－8＝1; (2)5x＋2＝7x－8；
(3)1＝7－； (4)42x－71＝13.
解：(1)x－8＝1，移项，得x＝9，系数化为1，得x＝15.
(2)5x＋2＝7x－8，移项，得5x－7x＝－8－2，合并同类项，得－2x＝－10，系数化为1，得x＝5.
(3)1＝7－，移项，得＝7－1，合并同类项，得＝6，系数化为1，得x＝18.
(4)42x－71＝13，移项，得42x＝13＋71，合并同类项，得42x＝84，系数化为1，得x＝2.
8．[2018·淄博]若单项式am－1b2与a2bn的和仍是单项式，则nm的值是( C )
A．3 B．6 C．8 D．9
9．[2018·铜仁]定义新运算：a※b＝a2＋b，例如3※2＝32＋2＝11，已知4※x＝20，则x＝__4__．
【解析】 根据新运算的定义，得4※x＝42＋x＝20，解得x＝4.
10．已知3x－4与5x＋3的值互为相反数，求x的值．
解：因为互为相反数的两数的和为0，
所以3x－4＋5x＋3＝0，解得x＝.
11．已知x＝－1是关于x的方程2a＋2＝－1－bx的解．
(1)求代数式2a－b的值；
(2)求代数式5(2a－b)－2a＋b＋2的值．
解：(1)∵x＝－1是关于x的方程2a＋2＝－1－bx的解，
∴2a＋2＝－1－b×(－1)，
∴2a－b＝－3.
(2)当2a－b＝－3时，
原式＝5(2a－b)－(2a－b)＋2
＝5×(－3)－(－3)＋2
＝－15＋3＋2
＝－10.
12．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20 g的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球质量为( A )
A．10 g B．15 g C．20 g D．25 g
【解析】 设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m g、n g.
根据题意，得m＝n＋40.
设被移动的玻璃球的质量为x g.
根据题意，得m－x＝n＋x＋20，则
x＝(m－n－20)＝(n＋40－n－20)＝10.
等式的性质与方程的简单变形
第2课时 利用方程的变形规则解方程
[教用专有]
教学目标
1．利用方程的变形规则解方程．
2．解方程的简单应用．
情景问题引入
通过上节课的学习，同学们知道可以利用等式的基本性质解方程．比如：5x－2＝8.方程两边同时加上2，得5x－2＋2＝8＋2.也就是5x＝10.方程两边同时除以5，得x＝2.
此种解法过程比较繁琐，还有没有更加简便的方法呢？
[学生用书P6]
1．同类项和合并同类项的概念
同类项：所含__字母__相同，并且相同字母的__指数__也相同的项叫做同类项．
合并同类项：把同类项合并成__一项__叫做合并同类项．
2．灵活运用合并同类项的方法解方程
方 法：把含__相同__未知数的同类项的系数相加，字母及指数不变．
[学生用书P6]
类型之一 综合应用“移项”和“系数化为1”解方程
解下列方程：
(1)6x＋7＝32＋x； (2)5x－7＝3x－5.
解：(1)移项，得6x－x＝32－7.
合并同类项，得5x＝25.
系数化为1，得x＝5.
(2)移项，得5x－3x＝－5＋7.
合并同类项，得2x＝2.
系数化为1，得x＝1.
【点悟】 解方程的一般步骤：移项→合并同类项→系数化为1.
类型之二 解方程的简单应用
已知y1＝3x＋2，y2＝4－x.
(1)当x取何值时，y1＝y2?
(2)当x取何值时，y1比y2大4?
解：(1)根据题意，得
3x＋2＝4－x，
3x＋x＝4－2，
4x＝2，x＝.
∴当x＝时，y1＝y2.
(2)根据题意，得
3x＋2＝4－x＋4，
3x＋x＝4＋4－2，
4x＝6，x＝.
∴当x＝时，y1比y2大4.
幼儿园阿姨给小朋友分苹果，若每人分2个，则剩4个；若每人分3个，则差5个．问：有多少个苹果？多少个小朋友？
解：设有x个小朋友．
根据题意，得2x＋4＝3x－5，解得x＝9.
则2x＋4＝2×9＋4＝22.
答：有22个苹果，9个小朋友．
[学生用书P6]
1．在解方程3x＋5＝－2x－1的过程中，移项正确的是( C )
A.3x－2x＝－1＋5
B．－3x－2x＝5－1
(C.3x＋2x＝－1－5
(D(．－3x－2x＝－1－5
2．下列方程的变形正确的是( C )
A．由3x－5＝2x＋3，得3x＋2x＝3＋5
B．由3x－5＝2x＋3，得3x－5＋3＝2x
C．由3x－5＝2x＋3，得3x－2x＝3＋5
D．由3x－5＝2x＋3，得3x－2x＝3－5
3．下列解方程的步骤中，正确的是( D )
A．由12x＝7，得x＝
B．由x＝1，得x＝1－
C．由－x＝－，得x＝1
D．由2x＋1＝7x＋6，得2x－7x＝6－1
4．根据如图提供的信息可知，一个杯子的价格是( C )
A．51元 B．35元
C．8元 D．7.5元
[学生用书P7]
1．将方程5x＋1＝2x－3移项后可得( B )
A．5x－2x＝－3＋1
B．5x－2x＝－3－1
C．5x＋2x＝－3－1
D．5x＋2x＝1－3
方程2x－1＝3x＋2的解为( D )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
3．一个三角形三条边的比为2∶4∶5，最长的边比最短的边长6 cm，则三角形的周长为__22__cm__．
4．已知代数式2x－4的值比代数式7－x的值大4，则x＝__5__．
5．解下列方程：
(1)9－5y＝3y＋5；
(2)x－3＝x＋1；
(3)2y＋3＝11－6y；
(4)2x－1＝5x＋7；
(5)x＋2＝3－x；
(6)x－1－2x＝－1.
解：(1)移项，得－5y－3y＝5－9.
合并同类项，得－8y＝－4.
系数化为1，得y＝.
(2)方程两边同时乘2，得2x－6＝3x＋2.
移项，得2x－3x＝2＋6.
合并同类项，得－x＝8.
系数化为1，得x＝－8.
(3)移项，得2y＋6y＝11－3.
合并同类项，得8y＝8.
系数化为1，得y＝1.
(4)移项，得2x－5x＝7＋1.
合并同类项，得－3x＝8.
系数化为1，得x＝－.
(5)移项，得x＋x＝3－2.
合并同类项，得x＝1.
(6)方程两边同时乘3，得x－3－6x＝－3.
移项，得x－6x＝－3＋3.
合并同类项，得－5x＝0.
系数化为1，得x＝0.
6．[2018·襄阳]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是__53__元．
【解析】 设共有x个人共同购买该物品．依题意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7.则8x－3＝8×7－3＝53.即该物品的价格是53元．
7．已知y1＝3x－5，y2＝10－5x.
(1)当x为何值时，y1与y2互为相反数？
(2)当x为何值时，y1比y2小5?
解：(1)根据题意，得y1＋y2＝0，
即3x－5＋10－5x＝0，
3x－5x＝5－10，
－2x＝－5，
x＝.
∴当x＝时，y1与y2互为相反数．
(2)根据题意，得y1＝y2－5，
即3x－5＝10－5x－5，
3x＋5x＝10－5＋5，
8x＝10，
x＝.
∴当x＝时，y1比y2小5.
8．明明在解方程3a－2x＝15(x为未知数)时，误将－2x看成＋2x，所得方程的解为x＝3.请求出原方程的解．
解：由题意，得明明解的方程实际上是3a＋2x＝15.因为这个方程的解为x＝3，将x＝3代入此方程，得3a＋6＝15，所以a＝3，所以原方程为9－2x＝15，所以x＝－3，即原方程的解为x＝－3.
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．求此人第六天走的路程．
解：设第六天走的路程为x里，则第5天为2x里，依次往前推，可得方程x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378，解得x＝6.
答：此人第六天走的路程为6里．
