1.1.1 命 题
学习目标 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假．
知识点 命题的概念
1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
3．分类
命题
1．一般陈述句都是命题．( × )
2．命题也可以是这样的表达式：“x>5”．( × )
3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．( √ )
4．含有变量的语句也可能是命题．( √ )
5．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × )
题型一 命题的判断
例1 下列语句为命题的有________．(填序号)
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③220是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
答案 ①④
解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句．
反思感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)陈述句才可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
考点 命题的定义
题点 命题的定义
解 (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
题型二 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；函数y＝sinx的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为·＝||·||cos(π－B)＝－||||cosB>0，所以cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
引申探究
本例中命题④改为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角时，才可以判定三角形为锐角三角形．
反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )
A．若x＜e，则lnx＜1
B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c
C．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acosB＝bcosA，则该三角形为等腰三角形
答案 D
解析 对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不一定成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．
命题改写要关注大前提
典例 “已知c>0，当a>b时，ac>bc”．把该命题改写成“若p，则q”的形式．
解 该命题的“若p，则q”的形式为已知c>0，若a>b，则ac>bc.
[素养评析] (1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．
(2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养.
1．下列语句为命题的是( )
A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等
C．0不是偶数 D．今天心情真好啊
考点 命题的定义
题点 命题的定义
答案 C
解析 结合命题的定义知C为命题．
2．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|
D．若a＝b，则＝
答案 C
解析 选项A，只有当a>b且ab>0时，
才能得到<；
选项B，令a＝b＝c＝0，此时显然不是等比数列；
选项D，若a＝b<0，则结论显然不成立，故选C.
3．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
答案 4
解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直．
4．若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，0)∪(0,1)
解析 据题意知即得
故a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．
5．若命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．
答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析 由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．指数函数的图象真漂亮！
答案 B
2．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；
对于B，所给语句是命题；
对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．
3．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ②④正确．
4．下列命题是真命题的是( )
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0
B．若a>b，则ac>bc
C．若M∩N＝M，则N?M
D．若M?N，则M∩N＝M
答案 D
解析 A中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M?N.故A，B，C均错误．
5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
答案 D
解析 D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．
6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.
7．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是( )
A．24
C．－24
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 由x2－2x－8<0，解得－2∴p是“－28．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线l上的点都在平面α内；
②直线l上有些点不在平面α内；
③平面α内任意一条直线都不与直线l平行．
其中真命题的个数是( )
A．3B．2C．1D．0
答案 D
解析 直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断①②③都是假命题，故选D.
二、填空题
9．给出下列语句，其中不是命题的有________．(填序号)
①是无限循环小数；
②当x＝4时，2x>0；
③垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
④一个数不是奇数就是偶数；
⑤2030年6月1日上海会下雨．
答案 ③⑤
解析 ③为疑问句，故③不是命题；⑤不是命题，因为该语句无法判断其真假．
10．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是____________．
答案 ①②④
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，但它不是矩形，故为假命题；④为真命题．
11．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈(0,2)．
三、解答题
12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
解 (1)若ac>bc，则a>b.
∵ac>bc，当c<0时，a(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
该命题是真命题．
13．(1)已知命题“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；
(2)已知命题“若x1”是假命题，求a满足的条件．
解 (1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，
所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，
方程有解x＝－.
当a≠0时，方程为一元二次方程，
有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，
方程ax2＋bx＋1＝0有解．
(2)因为命题当x1为假命题，
所以应有当x1因为x10，x1x2>0，
所以a≤0.
14．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解 命题甲为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1.
命题乙为真命题时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是.
(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为.
15．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解 如果A，则B，即“若x>，则x>1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
如果B，则A，即“若x>1，则x>”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
1.1.2 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一 全称量词、全称命题
1．概念
短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
3．全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
知识点二 存在量词、存在性命题
1．概念
短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
2．表示
存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．
3．存在性命题的真假判定
要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( × )
3．存在性命题中的量词一定不能省略．( √ )
4．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
题型一 全称命题与存在性命题的辨析
例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的辨析
解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为存在性命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的辨析
答案 ①②③ ④
题型二 全称命题与存在性命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.
解 (1)真命题．
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．
反思感悟 要判断全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判断存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x∈R,2x2＋x＋1<0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在性命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题．
题型三 由含量词的命题求参数
例3 对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，
又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
引申探究
若将本例条件改为：存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)若命题p：＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．
解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)由＝sinx－cosx，
得＝sinx－cosx，
∴＝sinx－cosx，
即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，
∴sinx≥cosx.
结合三角函数图象，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴实数x的取值范围是(k∈Z)．
全称命题与存在性命题的应用
典例 f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x∈[－1,2]，使f(x1)＝g(x)，则a的取值范围是( )
A. B.
C．[3，＋∞) D．(0,3)
答案 C
解析 由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x)，
因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．
函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，
则有即a≥3.
[素养评析] (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系．
(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养．
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D选项是存在性命题．
2．命题p：?x∈N，x3A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
答案 A
解析 ∵x33．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．
4．给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称命题是________．(填序号)
答案 ①②④
解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．
5．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 由已知“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，得Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋1<0 B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3 D．?x∈Q，x2∈Z
答案 B
2．下列存在性命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
答案 B
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.
4．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－16)∪(0，＋∞) B．(－16,0)
C．[－4,0] D．(－4,0)
答案 A
解析 ∵“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为真命题，
∴Δ＝a2＋16a>0，解得a<－16或a>0，故选A.
5．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
答案 C
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
6．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )
A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1
答案 B
解析 函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
7．给出下列命题，其中为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有x2＋3<0 B．对任意x∈N，都有x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，使x2＝3
答案 C
解析 由于对任意x∈R，都有x2≥0，即有x2＋3≥3，所以命题“对任意x∈R，都有x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“对任意x∈N，都有x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的实数只有±，而它们都不是有理数，所以命题“存在x∈Q，使x2＝3”是假命题．故选C.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在x∈R，使得tanx＝2 B．对任意x∈(0，＋∞)，都有x2>2x＋1
C．存在x∈R，使得x2＋x＝1 D．对任意x∈，都有tanx答案 B
解析 对于A，∵tanx∈R，∴?x∈R，使得tanx＝2，∴此命题为真命题；对于B，当x＝1∈(0，＋∞)时，x2－2x－1＝－2<0，∴此命题为假命题；对于C，易知方程x2＋x－1＝0有实数根，∴此命题为真命题；对于D，当x∈时，tanx<0二、填空题
9．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③是全称命题，即任意一个正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；
④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；
⑤是存在性命题，是真命题；
⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
10．给出下列命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 ∵对于方程f(x)＝x2－3x＋2，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；
不存在x∈R，x2＋1＝0，∴③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．已知函数f(x)＝x|x|＋px＋q(x∈R)，给出下列命题：
①当f(x)为奇函数时，q＝0；
②函数f(x)的图象关于点(0，q)对称；
③当p＝0时，方程f(x)＝0一定有解；
④方程f(x)＝0的解的个数可能超过两个．
其中所有真命题的序号是________．
答案 ①②③④
解析 若函数f(x)＝x|x|＋px＋q(x∈R)是奇函数，则f(0)＝0，∴q＝0，故①为真命题；设(x1，y1)是函数f(x)图象上的点，它关于点(0，q)的对称点为P(x，y)，则x1＝－x，y1＝2q－y，∴2q－y＝－x|－x|－px＋q，即y＝x|x|＋px＋q，∴点P在函数f(x)的图象上，∴函数f(x)的图象关于点(0，q)对称，故②为真命题；作出函数y＝x|x|的图象和直线y＝－q(图略)，知它们恒有公共点，故③为真命题；当q＝0，p＝－1时，利用函数f(x)的图象，知④为真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
解 (1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是假命题．
13．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
解 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，
∴a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.
又p和q都为真，∴
∴a≤－2或a＝1.
14．若命题“关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立”为真命题，则实数a的取值范围为________．
答案 (－1,3)
解析 设f(x)＝x＋，因为x>0，所以f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1<4，解得－1所以实数a的取值范围为(－1,3)．
15．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值．
(2)在(0,4)上存在实数x，使得f(x)＋6＝ax成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，
得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，所以f(x)＋6＝x2＋x＋4.
所以要使在(0,4)上存在x使f(x)＋6＝ax成立，只需在(0,4)内存在x使a＝x＋＋1.而x＋＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当x＝2时成立．故所求的取值范围为a≥5.
1.2.1 “且”与“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一 “且”
1．定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”．
2．“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．
3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．
知识点二 “或”
1．定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
2．对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.
3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．( × )
2．“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( × )
3．命题“p∨q”是真命题，p，q至少有一个是真命题．( √ )
4．梯形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题．( × )
题型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 命题形式的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
解 (1)是p∧q形式的命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式的命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式的命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．
跟踪训练1 指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．
解 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
跟踪训练2 分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
(2)p：是无理数，q：是实数；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
解 (1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；
p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数．
(2)p∧q：是无理数且是实数；
p∨q：是无理数或是实数．
(3)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角．
题型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．
(1)p：函数y＝sinx是奇函数；q：函数y＝sinx在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交．
解 (1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
反思感悟 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断的步骤
(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”还是“p∨q”．
(2)对命题p和q的真假作出判断．
(3)由“p∧q”“p∨q”的真假判断方法给出结论．
跟踪训练3 指出下列命题的形式及命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)相似三角形的周长相等或对应角相等．
解 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式．其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题．
题型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
解 (1)若命题p为真命题，
则ax2－x＋a>0对x∈R恒成立．
当a＝0时，不等式变为－x>0，不合题意；
当a≠0时，可得即∴a>2.
即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)令y＝3x－9x＝－2＋.
由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0)．
若命题q为真命题，则a≥0.
由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
得命题p，q一真一假．
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.
∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}．
反思感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想．
跟踪训练4 设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解这个不等式得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时，有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞).
1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是( )
A．使用了逻辑联结词“且”
B．使用了逻辑联结词“或”
C．没有使用逻辑联结词
D．以上选项均不正确
答案 B
解析 “x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.
2．已知命题p，q，若p为真命题，则( )
A．p∧q必为真 B．p∧q必为假
C．p∨q必为真 D．p∨q必为假
答案 C
解析 p∨q，一真则真，故必有p∨q为真．
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”和“p∨q”中，真命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．0个
答案 B
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，故选B.
4．已知p：函数y＝sinx的最小正周期为，q：函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，则p∧q是________命题．(填“真”或“假”)
答案 假
解析 由题意得命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题．
5．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 命题p：由函数f(x)在R上为减函数，
得2a－1<0，解得a<.
命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，
得－≤1，解得a≥－2.
由p∧q为真，得p，q都为真，故a的取值范围为∩[－2，＋∞)，即为.
1．判断含有逻辑联结词的命题构成形式的关键是：弄清构成它的命题的条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．
(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；
(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．
一、选择题
1．命题“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．不都是0
答案 A
解析 满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.
2．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1
答案 B
解析 对于p：∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，
∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.∴p：a≤1；
对于q：∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，
∴a2－a>0，解得a<0或a>1.∴q：a<0或a>1.
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中一真一假．
①当p真q假时，得0≤a≤1；
②当p假q真时，得a>1.
由①②得，所求a的取值范围是a≥0.
3．已知命题p：<0，命题q：x2－4x－5<0，若p且q为真命题，则x的取值范围为( )
A．(－1,3) B．(－1,5)
C．(3,5) D．(－∞，5)
答案 A
解析 由p知x<3，由q得－1又由p且q为真命题，故－14．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1)
答案 C
解析 点P(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
5．命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，则下列判断正确的是( )
A．命题p真q假 B．命题p假q真
C．命题p与q真假相同 D．命题p与q真假不同
答案 D
解析 由命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，得命题p，q一真一假．故选D.
6．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p且q为假 D．p或q为真
答案 C
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
7．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
8．下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：函数y＝sinx在第一象限不是单调函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条
答案 C
解析 A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos2A＝cos2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝0，所以A－B＝0，故p为真，q显然为真，故“p且q”为真，排除B；C中，p为假，q为真，从而“p或q”为真，“p且q”为假；D中，p为真，q为真，排除D.故选C.
二、填空题
9．若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题．(填“真”或“假”)
答案 假
解析 因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，故p∧q必为假命题．
10．已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．
答案 (－1,2)
解析 当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1当q为真命题时，x－2<0，则x<2.
当p且q为真命题时，p和q均为真命题，
从而－111．设p：关于x的不等式ax>1(a>0且aD＝/1)的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为__________．
答案 ∪
解析 若p真，则0若p假，则a>1.
若q真，有解得a>.
若q假，则a≤，
又p和q有且仅有一个为真，
∴当p真q假时，0当p假q真时，a>1，
综上所述，a∈∪(1，＋∞)．
三、解答题
12．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
解 (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．
13．设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1]恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，
当a＝0时，f(x)＝lg(－4x)定义域不为R，不合题意．
当a≠0时，
则(－4)2－4a2<0且a>0，即解得a>2.
若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1]恒成立，
知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1]恒成立，则a>max.
令g(x)＝2x－＋1(x≤－1)，可知g(x)在(－∞，－1]上是增函数，当x＝－1时取得最大值，g(x)max＝1.
故a>1.
又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题．
若p真q假，则无解；
若p假q真，则则1综上，实数a的取值范围为(1,2]．
14．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是______．
答案 ②
解析 要使p∧q为真命题，需p和q都为真命题．对于①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，故p为假命题；对于②，f(x＋2)＝x2是偶函数，则p为真命题；f(x)＝(x－2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则q为真命题，故p∧q为真命题；对于③，f(x)＝cos(x－2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q为假命题．故填②.
15．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴q，p同时为假命题．
∴a的取值范围是{a|－11.2.2 “非” (否定)
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．
知识点一 逻辑联结词“非”
1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点二 全称命题的否定
写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
全称命题的否定是存在性命题．
知识点三 存在性命题的否定
写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．
对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
存在性命题的否定是全称命题．
1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
2．?x∈M，p(x)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )
3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．( × ) 题型一 “綈p”命题的构成与真假判断
例1 写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．
反思感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．
跟踪训练1 写出下列命题的否定形式．
(1)p：y＝sinx是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)p：5不是75的约数．
解 (1) 綈p：y＝sinx不是周期函数．
(2) 綈p：3≥2.
(3) 綈p：空集不是集合A的子集．
(4) 綈p：5是75的约数．
题型二 全称命题和存在性命题的否定
命题角度1 全称命题的否定
例2 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．
跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
命题角度2 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1) 綈p：?x>1，x2－2x－3≠0(假)．
(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假)．
(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．
反思感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
题型三 存在性命题、全称命题的综合应用
例4 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
反思感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.
跟踪训练4 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
(1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是. 1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
答案 C
解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．
2．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?n∈N,2n≤100；綈p：?n∈N,2n>100.
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
答案 D
解析 由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题．
4．已知a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是( )
A．?x≤1，logax>0 B．?x>1，logax≤0
C．?x≤1，logax>0 D．?x>1，logax≤0
答案 D
解析 a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是“?x>1，logax≤0”．
5．由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.
1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．
2．(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：
第一步，将全称量词改写成存在量词；
第二步，将结论加以否定．
(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：
第一步，将存在量词改写成全称量词；
第二步，将结论加以否定．
一、选择题
1．下列存在性命题是假命题的是( )
A．存在实数a，b，使ab＝0
B．有些实数x，使得|x＋1|<1
C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数
D．有些实数x，使得x<0
答案 D
解析 A是真命题；B是真命题；C是真命题；D是假命题．
2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是( )
A．两个无理数的和必是无理数
B．存在一个实数x，使＝0
C．至少有一个实数x，使x2<0
D．有些实数的倒数等于它本身
答案 D
解析 A项为全称命题；B项，是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C假；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．
3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则綈p是( )
A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx>1
C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx>1
答案 B
解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p：?x∈R，sinx>1，故选B.
4．下列命题中，假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N＋，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2
答案 B
解析 对于?x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，故A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当05．命题“p∧q”与“p∨q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“綈p”与“綈q”真假不同
B．命题“綈p”与“綈q”至少有一个是假命题
C．命题“綈p”与“q”真假相同
D．命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题
答案 D
解析 “p∧q”为假，则p与q中至少有一个为假，而“p∨q”为假，则p，q都为假，故綈p，綈q均为真．
6．若命题p：?x>0，log2x>0，命题q：?x∈R,2x<0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧qD．p∨(綈q)
答案 D
解析 当x∈(0,1]时，log2x≤0，∴命题p为假命题．
又当x∈R时，2x>0，∴命题q为假命题，
∴p∨(綈q)为真命题．
7．已知命题p：存在x∈R，有sinx＋cosx＝2；命题q：任意x∈，有x>sinx．则下列命题是真命题的是( )
A．p且qB．p或(綈q) C．p且(綈q) D．(綈p)且q
答案 D
解析 由题意知命题p是假命题，命题q是真命题，
所以(綈p)且q为真命题．
8．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．
二、填空题
9．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．(填序号)
①对任意x∈R，都有x2＜0；
②不存在x∈R，使得x2＜0；
③存在x∈R，使得x2≥0；
④存在x∈R，使得x2＜0.
答案 ④
解析 全称命题的否定是存在性命题．
10．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [3,8)
解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，
故实数m的取值范围是3≤m<8.
三、解答题
12．已知p：?a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
解 (1)綈p：?a∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
13．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0.
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，若綈p为真，
则
∴解得a≤－3，
∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．
14．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，因为平面α与平面γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
故①③④错误，②正确．
15．已知命题p：?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：?x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解 根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：?x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
∴命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为[－2，－1]
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
2．若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
1．一般地，如果p?q，且q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( × )
2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．( √ )
3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．( √ )
4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( √ )
5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
题型一 充分、必要、充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；
(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
解 (1)因为x＝1或x＝2?x－1＝，x－1＝?x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件．
(2)因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，
方程x2＋x－m＝0有实根，
即Δ＝1＋4m≥0?m>0，所以p是q的充分不必要条件．
(3)p是q的既不充分也不必要条件．
反思感悟 充分条件、必要条件的两种常用的判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵f(x)＝x?f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数?f(x)＝x，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p是q的充要条件．
(4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围
例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0引申探究
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞)．
2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
跟踪训练2 (1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 (2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，
因为当－2所以不等式的解集是－a由题意有(－2，－1)?(－a，－1)，
所以－2>－a，即a>2.
(2)已知P＝{x|a－4考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [－1,5]
解析 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q?P，所以即
所以－1≤a≤5.
命题角度2 探求充要条件
例3 求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 由题意可知，关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立，
等价于对于方程ax2－ax＋1＝0中，?0反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．
跟踪训练3 直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
答案 －4或0
解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于半径，
即＝，得m＝－4或0.
充要条件的证明
典例 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，
此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[素养评析] (1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质． 1．“－21或x<－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案 C
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不充分也不必要条件．
2．设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 命题p：13．“θ＝0”是“sinθ＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．
4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，则有a≤－3.
5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．
答案 充要
解析 (1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，
∴l1∥l2，即a＝0?l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，
l1：y＝x－，l2：y＝x－.
令＝，方程无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.
一、选择题
1．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sinx；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①中，周期函数还有很多，如y＝cosx，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.
3．已知向量a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 |a＋b|2＝|a－b|2?a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b?a·b＝0.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由直线与圆相切得＝1，即a2＋b2＝c2；a2＋b2＝c2时也有＝1成立，即直线与圆相切．
5．若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，都有ax2＋bx＋c>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a>0且b2－4ac<0时，对任意x∈R，ax2＋bx＋c>0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a＝0，b＝0，且c>0时，对任意x∈R，ax2＋bx＋c>0成立．综上，“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，都有ax2＋bx＋c>0”的充分不必要条件．
6．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是( )
A．0C.1
答案 B
解析 f(x)＝
f(x)的图象在(0,1)内单调递减，
在(1，＋∞)内单调递增．
f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数等价于
?07．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1
答案 C
解析 依题意，知A，B，C三点共线?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?即λ1λ2＝1.故选C.
8．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；
反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
二、填空题
9．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n≥0.得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.故n＝3或4.
10．设p：1≤x<4，q：x答案 [4，＋∞)
解析 据题意知，p?q，则m≥4.
11．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cosα③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
答案 ③
解析 ①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；
②∵2π>，cos2π>cos，∴α>β?cos αβ.∴“α>β”是“cosα③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，正确．
三、解答题
12．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解 化简B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a<时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件且A为非空集合，所以A?B，
于是有或
解得1≤a≤3或a＝－1.
综上，a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．
13．设a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．求证：a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
证明 充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sinB，则sinAcosB－cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得a·－b·＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；
必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，且a2＝b(b＋c)，得b2＋bc＝b2＋c2－2bccosA，
∴1＋2cosA＝＝，
即sinB＋2sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)，由于A，B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.
综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x>a(a为实数)．若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 将x2＋2x－3>0化为(x－1)(x＋3)>0，所以p：x>1或x<－3，所以綈p：－3≤x≤1.又綈q：x≤a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，所以a≥1.
15．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件
1.3.2 命题的四种形式
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题的概念
命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．
(1)原命题：如果p，则q；
(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；
(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．
(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．
知识点二 四种命题间的相互关系
(1)四种命题间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．
1．有的命题没有逆命题．( × )
2．两个互逆命题的真假性相同．( × )
3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( √ )
4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．( √ ) 题型一 四种命题的结构形式
例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解 (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．
(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
反思感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．
跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
题型二 四种命题的真假判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
解 (1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
反思感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④
B．①③④
C．②③④
D．①④
答案 B
解析 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．故为真命题．
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－<0.故为真命题．
④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．
∵x不是无理数，∴x是有理数．
又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数．故为真命题．
故正确的命题为①③④，故选B.
题型三 等价命题的应用
例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，
则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．
跟踪训练3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
解 先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，a≥?a≥1，
所以原命题为真，
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
命题的等价性
典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．
[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释． 1．命题“如果a?A，则b∈B”的否命题是( )
A．如果a?A，则b?B B．如果a∈A，则b?B
C．如果b∈B，则a?A D．如果b?B，则a?A
答案 B
解析 命题“如果p，则q”的否命题是“如果綈p，则綈q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2．命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )
A．若p，则綈q B．若綈q，则綈p
C．若綈q，则p D．若q，则p
答案 C
3．下列命题为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
答案 4
解析 逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，
全为真命题．
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<0，所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可． 一、选择题
1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )
A．如果x≤y，则x2≤y2 B．如果x>y，则x2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x答案 C
解析 由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．
3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
答案 B
解析 若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
答案 A
解析 设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．有下列四个命题：
①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．①②B．②③C．①③D．③④
答案 C
解析 命题①：“如果x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．
6．原命题为“若A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．假、假、假
答案 A
解析 从原命题、逆命题的真假入手，7．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题为真命题，逆命题为假命题
B．原命题为假命题，逆命题为真命题
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
答案 A
解析 逆否命题：若a，b都小于1，则a＋b<2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2.例如，a＝3，b＝－3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但a＋b＝0，故逆命题是假命题．故选A.
8．关于命题“若拋物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}??”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( )
A．都是真命题 B．都是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
答案 D
解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}D＝/?，则拋物线y＝ax2＋bx＋c开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.
二、填空题
9．下列命题：
①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中真命题是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 ①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
10．已知命题“若m－1答案 [1,2]
解析 由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
11．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．
答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
三、解答题
12．判断下列命题的真假．
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
(2)若x?A∩B，则x?A且x?B；
(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．
(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．
(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．
A．1B．2C．3D．4
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 B
解析 由于“M?P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.
15．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，
即x＜或x＞.
由＞0，得2x2－3x＋1＞0，
解得x＜或x＞1.
为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，
则需A?B.
令a＝4，得p：x＜－或x＞1，
满足题意，故可以选取a＝4，
此时原命题是“若|5x－1|＞4，则＞0”
第一章 常用逻辑用语章末复习
学习目标 1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.2.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.3.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.4.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系．
1．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．
2．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
3.全称命题与存在性命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫存在性命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
5．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
6．四种命题及其关系
(1)四种命题
①原命题：如果p，则q；②逆命题：如果q，则p；
③否命题：如果綈p，则綈q；④逆否命题：如果綈q，则綈p.
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
1．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题．( √ )
2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √ )
3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．( × )
4．已知命题p：?x∈R，x－2>0，命题q：?x∈R，x2>x，则命题p∨(綈q)是假命题．( × ) 题型一 命题及其关系
例1 (1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”．
其中是真命题的是( )
A．①②③B．②③④C．①③④D．①③
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 D
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
反思感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．
(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
跟踪训练1 (1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 B
(2)已知命题p：4＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断中错误的是( )
A．p或q为真，非q为假 B．p或q为真，非p为真
C．p且q为假，非p为假 D．p且q为假，p或q为真
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 C
解析 由p：4＋2＝5，可得p是假命题，由q：3>2，
可得命题q是真命题，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假，故选C.
题型二 充分条件与必要条件、充要条件的探究
例2 “m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当m＝时，两条直线的斜率分别为－，，－×＝－1，所以两条直线相互垂直；
反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：
①当m＝－2时，两条直线的方程分别为－6y＋1＝0，－4x－3＝0，显然两直线相互垂直；
②当m≠－2且m≠0时，由－×＝－1，解得m＝；
③当m＝0时，两条直线的方程分别为2x＋1＝0，－2x＋2y－3＝0，两直线不垂直．
所以m＝－2或.
故“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的充分不必要条件．
反思感悟 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.
如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．
则p?q易表述为以下几种说法：
p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；
q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
跟踪训练2 (1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
答案 D
解析 p：?x∈R,2x>0为真命题；
q：∵x>1?x>2，
∴“x>1”不是“x>2”的充分条件，
又x>2?x>1，
∴“x>1”是“x>2”的必要条件，
∴q是假命题，
∴綈q是真命题．
∴p∧(綈q)为真命题．
(2)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ①∵a＝－1?Δ＝22－4a×(－1)＝0?f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，
∴“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分条件．
②f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点?a＝－1或a＝0?a＝－1，
∴“a＝－1”不是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的必要条件．
题型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例3 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假，得?x∈R，mx2＋2>0，所以m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得?x∈R，x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练3 已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
解 (1)对任意x∈[0,1]，
不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，
则f(x)min≥m2－3m，
当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，
即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
(2)当a＝1时，若q为真命题，
则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.
因此，当命题q为真时，m≤1.
因为p且q为假命题，p或q为真命题，
所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，由得1当p假q真时，由得m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]． 1．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( )
A．对任意m∈R，y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．对任意m∈R，y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
答案 D
解析 存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.
2．命题“如果α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( )
A．如果α≠，则tanα≠1
B．如果α＝，则tanα≠1
C．如果tanα≠1，则α≠
D．如果tanα≠1，则α＝
答案 C
解析 命题“如果α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.
3．已知α，β是两个不同的平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p?q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)
答案 ②③
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．
5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等，
q：平行四边形的对角线互相平分；
(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，
q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
解 (1)p或q：平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分．
綈p：有的平行四边形的对角线不相等．
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同或方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同且方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两个根的符号相同．
因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．
1．判断复合命题真假的步骤
??
2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
3.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
