阶段训练一
(范围：§1.1～§1.3)
一、选择题
1．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
答案 B
解析 若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．
故选B.
2．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：?x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：?x∈R，x2－x＋1>0
考点 命题的概念
题点 判断命题的真假
答案 B
解析 选项A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；选项B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D中，求含有一个量词的命题的否定时，要特别注意不等号的变化，错误．
3．已知p和q是两个命题，若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 根据逆否命题的等价性知，若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
4．给出下列三个命题：
①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题p：?x∈R,2x＞0，则綈p：?x∈R,2x≤0.
其中正确的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确；②不正确．③根据含量词的命题的否定方式，可知命题③正确．
5．“x＞1”是“成立”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x＞1，得x＋2＞3，则，充分性成立．由，得x＋2＞1，即x＞－1，必要性不成立．故“x＞1”是“成立”的充分不必要条件．故选B.
6．已知p：|x＋1|＞2，q：5x－6＞x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
7．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以当命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
8．设a，b都是非零向量，则在下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
答案 D
解析 对于A，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠；对于B，当a＝－b时，≠；对于C，当a∥b时，与可能不相等；对于D，当a＝2b时，＝＝.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b，故选D.
二、填空题
9．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若“(綈q)∧p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为“(綈q)∧p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有＜0，即2＜x＜3，
所以当q为假命题时，有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，
解得x＞1或x＜－3，
由
解得x＜－3或1＜x≤2或x≥3.
10．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，
所以若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，
所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
11．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 由充分、必要条件求取值范围
答案 [4，＋∞)
解析 由x2－3x－4≤0，得－1≤x≤4，
若|x－3|≤m有解，
则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵綈q是綈p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
则或
即或得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
12．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；
(2)p：A?B，q：A∪B＝B.
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，
∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q?p.
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴p?q，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵A?B?A∪B＝B，∴p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即q?p，
∴p是q的充分不必要条件．
13．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 ①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.
此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得
解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
14．给出下列命题：
①若△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件．其中正确的是( )
A．①②B．①②③C．②③D．①③
答案 D
解析 在△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，故①正确；Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错误；当A＝B时，可得出sinA＝sinB；在△ABC中，当sinA＝sinB时，可得出A＝B或A＋B＝π(舍去)．故在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件，③正确．
15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 若命题p为真，则0＜c＜1；
若命题q为真，因为2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞.
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．
当p真q假时，c的取值范围是；
当p假q真时，c的取值范围是(1，＋∞)．
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)
阶段训练三
(范围：§2.3～§2.5)
一、选择题
1．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.B.C．1D.
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案 B
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为.
2．(2018·黑龙江齐齐哈尔高二检测)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2B．±2C．±4D．4
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 C
解析 ∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，
∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，
由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴y0＝2，∴x＝16，
∴x0＝±4，故选C.
3．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
答案 D
解析 ∵双曲线－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
抛物线x2＝2py的焦点坐标为，
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
由题意得＝2，∴p＝8.
∴抛物线C2的方程为x2＝16y.
4．(2018·宜宾高二检测)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2，则C的实轴长为( )
A．1B．2C．4D．8
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 B
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ>0)，①
∵抛物线的方程为y2＝8x，
∴2p＝8，p＝4，∴＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝－2.
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2的两个交点为A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，
则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2，∴y＝.
将x＝－2，y＝代入①，
得(－2)2－()2＝λ，即λ＝1，
∴等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，
∴C的实轴长为2.
5．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A.B.C.D．2
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 A
解析 由题知，点M在双曲线的左支上，如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，
即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义得
2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
6．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为( )
A.B.C.D.
考点
题点
答案 B
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
7．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则·的最小值为( )
A．1B．－1C．－2D．－4
考点
题点
答案 B
解析 设直线AB的方程为x＝my＋t，代入抛物线y2＝2x，可得
y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t>0且t>0，
设A，B，
则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t，
·＝＋y1y2
＝t2－2t＝(t－1)2－1，
当t＝1时，·取得最小值－1.
8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A.B.C.D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 D
解析 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，
而点A(－2,3)在准线上，
所以－＝－2，即p＝4，
从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．
易知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝k(x＋2)，
代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，
所以k＝－2或k＝.
因为切点在第一象限，所以k＝.
将k＝代入①中，得y＝8，
再代入y2＝8x中得x＝8，
所以点B的坐标为(8,8)，
所以直线BF的斜率为＝.
二、填空题
9．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 8
解析 因为直线AB过焦点F(1,0)，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
10．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的标准方程为________．
考点 由双曲线的简单几何性质求方程
题点 待定系数法求双曲线方程
答案 －＝1
解析 由题意及双曲线的对称性画出示意图，如图所示，渐近线OB：y＝x.设B，x0>0，
则·x0·x0＝，∴x0＝1，
∴B，∴12＋＝22，
∴b2＝12，∴双曲线方程为－＝1.
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________．
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 (2，±2)
解析 如图所示，由题意，可得|OF|＝1，
由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，
因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
所以＝＝3.
所以|AF|＝|AM|＝3|OF|＝3.
设A，所以＋1＝3，
所以＝2，解得y0＝±2.
所以点A的坐标是(2，±2)．
三、解答题
12．已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程研究其它问题
解 将方程－＝1改写成＋＝1，
只有当1－m>2m>0，即0
方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于0因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，
所以m>0，且1<<4，解得0所以命题q等价于0若p真q假，则m不存在；
若p假q真，则≤m<15.
综上可知，m的取值范围为.
13．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为，求线段AB的长．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积
解 (1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2－2kx－2＝0，
∴
解得－故双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝＝2，
即k2＋k－＝0，解得k＝或k＝－.
∵－∴k＝，∴x1x2＝＝－4，
∴|AB|＝·＝6.
14．(2018·潍坊联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点 求抛物线的最值问题
题点 抛物线与圆或直线之间的最值
答案 －1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝－1.
15．已知点F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0,1)在C上，且|MF|＝.
(1)求p的值；
(2)若直线l经过点Q(3，－1)且与C交于A，B(异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
考点 抛物线的定值、定点问题
题点 抛物线中的定值问题
(1)解 由抛物线定义知|MF|＝x0＋，
则x0＋＝x0，解得x0＝2p，
又点M(x0,1)在C上，所以2px0＝1，又p>0，
所以x0＝1，p＝.
(2)证明 由(1)得M(1,1)，C：y2＝x.
当直线l经过点Q(3，－1)且垂直于x轴时，
不妨设A(3，)，B(3，－)，
则直线AM的斜率kAM＝，
直线BM的斜率kBM＝，
所以kAM·kBM＝－×＝－.
当直线l不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AM的斜率kAM＝＝＝，
同理直线BM的斜率kBM＝，
所以kAM·kBM＝·＝.
设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠－1)，
则直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．
联立消去x，得
ky2－y－3k－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－＝－3－，
故kAM·kBM＝＝＝－.
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为－.
阶段训练二
(范围：§2.1～§2.2)
一、选择题
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长、短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
考点 椭圆的简单几何性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 B
解析 ∵(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，∴焦距相等．
2．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆B．椭圆C．射线D．直线
考点 与椭圆有关的轨迹方程
题点 圆与椭圆
答案 A
解析 ∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PQ|＋|PF1|＝2a.
又∵F1，P，Q三点共线，
∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a.
故点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆．
3．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
考点 由椭圆方程研究简单几何性质
题点 由椭圆的方程研究其他几何性质
答案 B
解析 由题意知a＝2，b＝，c＝1，最长弦过两个焦点，长为2a＝4，最短弦垂直于x轴，长度为当x＝c＝1时纵坐标的绝对值的2倍，为3.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
答案 D
解析 由椭圆定义易知△AF1B的周长为4a＝12，
解得a＝3.
∵e＝＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1.
5．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于( )
A．0B．2C．4D．－2
答案 D
解析 根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，
∴＝(－，－1)，＝(，－1)，
∴·＝－2.
6．已知椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则过原点与线段AB的中点M连线的斜率为( )
A.B.C.D．2
考点
题点
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则mx＋ny＝1，①
mx＋ny＝1，②
①－②得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∵＝－1，＝，
∴＝，
则过原点与线段AB的中点M连线的斜率为.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则椭圆的离心率是( )
A.B.－1C.D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 由a与c的关系式得离心率
答案 B
解析 由已知得∠MF1F2＝60°.
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，
所以|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
即e＝＝＝－1.
8．已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1B.C.D.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案 A
解析 设M(x，y)，N(x，－y)(－a则k1＝，k2＝，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝＝，
|k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，
当且仅当x＝0，y＝±b时等号成立，故选A.
二、填空题
9．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为________．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
答案 ＋＝1
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，
∵正方形的边长为2，
∴|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
10．椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 由a与c的关系式得离心率
答案
解析 由题意，可得M或M.
∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，此时P点位于上顶点或下顶点，
∴×2c×b＝3××c×，
∴b＝a，∴c＝＝a，
∴e＝＝.
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的短轴长为________．
考点 由椭圆的简单几何性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 2
解析 由题意知＝，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1，椭圆的短轴长为2.
三、解答题
12.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
考点 由椭圆的简单几何性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，
则e＝＝＝＝.
(2)由已知a2－b2＝1，A(0，b)，设B(x，y)，
则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，
由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－，则＋＝1，
得a2＝3，因此b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.
13.如图所示，椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求椭圆C的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
解 (1)由对称关系可知|AB1|＝|AB2|，
∵△AB1B2是面积为4的直角三角形，
∴|AB1|＝|AB2|＝2，
∴|OB1|＝|OA|＝2，
∴A(0,2)，F2(4,0)，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则c＝＝4，b＝2，∴a＝2.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
离心率e＝＝.
(2)由(1)知，B1(－2,0)，B2(2,0)，
显然PQ的斜率不为0.
设直线PQ的方程为x＝my－2，
代入椭圆方程，消元可得
(m2＋5)y2－4my－16＝0，①
Δ>0显然成立．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴x1x2＝(my1－2)(my2－2)
＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4
＝，
x1＋x2＝my1＋my2－4＝m(y1＋y2)－4＝.
∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝－.
∵PB2⊥QB2，
∴·＝0，即－＝0，
得m＝±2，
直线PQ的方程为x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案
解析 如图，连接PF1，OQ，
由OQ为△PF1F2的中位线，
可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|.
由圆x2＋y2＝b2，
可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
即|PF2|＝2a－2b.
又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，
化简得2a＝3b，即b＝a.
∴c＝＝a，则e＝＝.
∴＝＝≥×2＝，
当且仅当a＝，即a＝时等号成立，
∴的最小值为.
15.如图所示，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M，N为椭圆上异于点A，B的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
解 (1)由题意可知椭圆的半焦距c＝1，将x＝－c代入椭圆方程可得y＝±，
所以＝3，
又a2－b2＝1，两式联立解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)易知A.
因为直线AM，AN的倾斜角互补，
所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数．
可设直线AM的方程为y＝k(x＋1)＋，
代入＋＝1，
消去y得(3＋4k2)x2＋4k(3＋2k)x＋4k2＋12k－3＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
所以－1·xM＝，
可得xM＝－，yM＝kxM＋k＋，
又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，
所以在上式中以－k代替k，
可得xN＝－，yN＝－kxN－k＋，
所以直线MN的斜率kMN＝＝＝－，
即直线MN的斜率为定值，该定值为－.
阶段训练五
(范围：§3.1)
一、选择题
1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 由＋＝＝＋＝，得＝，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.
2．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
答案 C
解析 由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．
3．(2018·吉林期中)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为( )
A．(2,5,0) B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)
C．(3,4,1) D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 B
解析 设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1,1,1)，
∴
解得或
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．
4．(2018·浙江舟山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c
B.a－b－c
C.a－b＋c
D.a－b＋c
考点 空间向量基底的概念
题点 空间向量基本定理
答案 C
解析 由E为PD的中点知，
＝(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋
＝－＋(－)＋(－)
＝－＋＋
＝a－b＋c.
5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于( )
A．0B.C．－D．－
考点 空间向量的数量积的概念与性质
题点 利用定义求数量积
答案 D
解析 ·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos60°＋cos60°－cos60°－＝－.
6．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
答案 A
解析 由题意知解得或
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，
则sin〈，〉等于( )
A.B.C.D.
考点 空间向量在求空间角中的应用
题点 空间向量求线线角
答案 B
解析 如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为1，则D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
M，
∴＝(1,1,1)，＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝.
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
答案 A
解析 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
二、填空题
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.
考点 空间向量的加减运算
题点 空间向量的加减运算
答案
解析 ∵＝＋＋，
∴∴
∴x＋y＋z＝.
10．(2018·晋中模拟)已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝________.
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 －81
解析 因为2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1,1，－4)＝(1，－5,8)，a＋2b＝(2，－1，－2)＋2(1,1，－4)＝(4,1，－10)，所以(2a－3b)·(a＋2b)＝(1，－5,8)·(4,1，－10)＝－81.
11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．
考点 空间向量数量积的应用
题点 空间向量数量积的综合应用
答案
解析 如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝.
三、解答题
12．(2018·菏泽模拟)已知向量a＝(2,1，－2)，c＝(－1，0,1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直．
(1)求向量b的坐标；
(2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值．
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
解 (1)设b＝(x，y，z)，则由题意可知解得或
∴b＝(2，－1,2)或b＝(－2，－1，－2)．
(2)∵向量b与向量d＝共线，
∴b＝(2，－1,2)．
又∵a＝(2,1，－2)，c＝(－1,0,1)，
∴a－b＝(0,2，－4)，2b＋3c＝(1，－2,7)，
∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32，且|a－b|＝2，|2b＋3c|＝3，
∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为
cos〈a－b,2b＋3c〉＝＝－.
13.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明 设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解 ∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
14.空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 B
解析 如图，取AC的中点M，连接ME，MF，
则＝＝，
＝＝，
从而＝－＝(－2，－3，－3)．
15.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ＝.则AB与BC的边长之比为________．
答案 ∶2
解析 设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)．
所以＝，
＝(0，－a，b)，
所以||＝，||＝，
·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理，得4＋5－26＝0，
解得＝2或＝－(舍去)．
所以＝＝.
阶段训练六
(范围：§3.1～§3.2)
一、选择题
1．(2018·上海市奉贤区模拟)若直线l的一个方向向量为d＝(6,2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－1,3,0)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面α内 D．直线l在平面α内或平行
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面平行
答案 D
解析 ∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n，∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．
2．设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4B．－4C．2D．－2
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面垂直
答案 B
解析 由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4.
3．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是( )
A．－3或1B．3或－1C．－3D．1
考点 向量法求解直线与直线的位置关系
题点 方向向量与线线垂直
答案 A
解析 ∵|a|＝＝6，∴x＝±4.
∵l1⊥l2，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，
即y＝－1－.
∴x＋y＝－1＝1或－3.
4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是( )
A．成30°角B．垂直C．成45°角D．成60°角
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面垂直
答案 B
解析 设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令x＝1，则y＝－2，z＝1，
∴平面ABCD的一个法向量为n＝(1，－2,1)，而∥n，
∴PA⊥平面ABCD，故选B.
5．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A. B．－
C. D.或－
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
答案 D
解析 ∵＝，
∴这个二面角的余弦值为或－.
6.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
考点 向量法求解直线与直线所成的角
题点 向量法求解直线与直线所成的角
答案 A
解析 不妨设CB＝1，则CA＝CC1＝2，由题中图知，A(2，0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，所以＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，所以cos〈，〉＝＝.
7．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60°B．90°C．45°D．以上都不对
考点 向量法求解直线与平面所成的角
题点 向量法求解直线与平面所成的角
答案 B
解析 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，
所以＝(0,1，－1)，
＝(1,1，－1)，
＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则得
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1，
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
二、填空题
8．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为____________．
考点 向量求解平面与平面的位置关系
题点 向量法解决面面平行
答案 平行
解析 ∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.
9．(2018·广安期末)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________________.
考点 向量法求解直线与平面的位置关系
题点 向量法解决线面垂直
答案
解析 ∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.
∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，
∴即
解得故＝.
10．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
考点 向量法求解直线与平面所成的角
题点 向量法求解直线与平面所成的角
答案
解析 直线l与平面α所成角的正弦值为|cos〈n，a〉|＝＝.
11．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，点A(2,6,3)在平面α内，则点D(－1,6,2)到平面α的距离为________．
考点 向量法求空间距离
题点 向量法求点到平面的距离
答案
解析 ∵＝(－3,0，－1)，
∴点D(－1,6,2)到平面α的距离d＝＝＝.
三、解答题
12.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，射线AB，AD，AF分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明 由＝，＝(－1,0,1)，
＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解 设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，可得y＝1，z＝1，即u＝(1,1,1)．
又由题设知，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A－CD－E为锐角，
所以其余弦值为.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．
考点 向量法求平面与平面所成的角
题点 向量法求平面与平面所成的角
(1)证明 由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD，
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.
因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解 在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
以点F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由(1)及已知可得A，P，B，C，
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则
即
所以可取m＝(1,0,1)，
则cos〈n，m〉＝＝＝－.
又二面角A－PB－C的平面角为钝角．
所以二面角A－PB－C的余弦值为－.
14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量与的夹角为60°
考点 向量法求解直线与直线所成的角
题点 向量法求解直线与直线所成的角
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，
则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(1,0,1)，对于选项A，由＝知结论正确；对于选项B，由·＝0知结论正确；对于选项C，由·＝0，·＝0，且B1D1∩CB1＝B1，知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，知结论不正确．
15．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
考点 向量法求解直线与平面所成的角
题点 向量法求解直线与平面所成的角
(1)证明 因为PA＝PC＝AC＝4，
O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.
因为AB＝BC＝AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，
所以PO⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．
由(1)知平面PAC的一个法向量为＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则＝(a,4－a,0)．
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．
由·n＝0，·n＝0，得
可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知可得|cos〈，n〉|＝cos30°＝，
所以＝，
解得a＝－4(舍去)或a＝.
所以n＝.
又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
阶段训练四
(范围：§2.1～§2.5)
一、选择题
1．“双曲线的方程为x2－y2＝1”是“双曲线的渐近线方程为y＝±x”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案 A
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，而渐近线为y＝±x的双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，故选A.
2．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2，a(a>2)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则a等于( )
A.＋1 B.＋2
C．2＋2 D．2－2
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 由题意知C(1，－2)，F(1＋a，a)，
∴
解得a＝2＋2(负值舍去)．故选C.
3．已知抛物线y＝x2的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则m等于( )
A.B.C.D.
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 A
解析 y＝x2的焦点坐标为，
由题意可得m＝2＋＝.
4．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.B．4C．3D．5
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案 A
解析 由题意得抛物线的焦点为(3,0)，
所以双曲线的右焦点为(3,0)，
所以b2＝9－4＝5，
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－2y＝0，
所以所求距离为d＝＝.
5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于( )
A．3B．6C．9D．12
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 B
解析 设椭圆E的方程为＋＝1，
因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2,0)，
所以c＝2，a＝4，b2＝a2－c2＝12，
故椭圆E的方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，
解得y＝±3，所以|AB|＝6.
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
考点 由双曲线的简单几何性质求方程
题点 待定系数法求双曲线方程
答案 C
解析 由题意知，
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
所以所求双曲线的方程为－y2＝1，故选C.
7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 椭圆的离心率
题点 由a与c的关系式得离心率
答案 B
解析 如图，由题意得，
|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，
|OD|＝×2b＝b.
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，
即cb＝a·b，所以a＝2c，
故椭圆离心率e＝＝，故选B.
8．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于( )
A．2∶3B．3∶4C．3∶5D．4∶5
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 C
解析 抛物线焦点为F(0,3)，
又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，
设M(xM，yM)，由
可得xM＝3(负值舍去)，所以yM＝，
所以＝，故选C.
二、填空题
9．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案
解析 由题意得|AB|＝＝2×2a，得b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴离心率e＝.
10．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数的问题
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
11．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
考点 椭圆的简单几何性质
题点 椭圆几何性质的应用
答案 35
解析 设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，
|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，
∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.
三、解答题
12．已知曲线9x2＋y2＝81.
(1)求其长轴长、焦点坐标、离心率；
(2)求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 已知曲线为一个椭圆，
该椭圆的标准方程为＋＝1，∴a＝9，b＝3，c＝6.
(1)由题意易得，长轴长2a＝18，焦点坐标为(0，±6)，离心率e＝＝.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
∵双曲线与椭圆共焦点且离心率为，
∴解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
13．(2018·南宁高二检测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点(0,2)的直线与抛物线交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求△OAB的面积．
考点 抛物线的简单几何性质
题点 抛物线性质的综合问题
解 (1)依题意得1＋＝2，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)依题意，若直线斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意．
所以设直线方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，
所以Δ＝(4k－4)2－4k2·4>0，即k<，
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以·＝0.
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝＋k2·＋2k·＋4＝0，
解得k＝－.
因为|AB|＝＝8，
点O到直线AB的距离为d＝，
所以S△OAB＝|AB|·d＝16.
14．已知F是双曲线C：x2－y2＝1的右焦点，P是C的左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 6
解析 由双曲线C：x2－y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，
设双曲线C的左焦点为F′，则F(，0)，F′(－，0)，
△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PF|＋2，
由双曲线的定义可得|PF|－|PF′|＝2a＝2，
即有|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|＋2，
当P在左支上运动到A，P，F′共线时，
|PA|＋|PF′|取得最小值|AF′|＝＝2.
所以△APF周长的最小值为2＋2＋2＝6.
15．已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为，且C上任意一点P到F1的最短距离为2－.
(1)求C的方程；
(2)过点A(0,2)的直线l(不过原点)与C交于两点E，F，M为线段EF的中点．
(i)证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；
(ii)求△OEF面积的最大值及此时l的斜率．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
(1)解 由题意得解得
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)(ⅰ)证明 由题设知直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋2，
E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(xM，yM)，
由题意得
∴(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝16(4k2－3)>0，得k2>，
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴xM＝－，yM＝kxM＋2＝.
∴kOM＝＝－，∴k·kOM＝－，
∴直线OM与l的斜率乘积为定值．
(ⅱ)解 由(ⅰ)可知，|EF|＝|x1－x2|
＝
＝4＝，
又点O到直线l的距离d＝，
∴△OEF的面积S△OEF＝·d·|EF|
＝··
＝，
令＝t，则t>0，
∴S△OEF＝＝≤＝1，
当且仅当t＝2时等号成立，此时k＝±，且满足Δ>0，
∴△OEF面积的最大值是1，此时直线l的斜率k＝±.
