第1课时 物体形状变化问题与数字问题
一、选择题
1．一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( )
A．x－1＝(26－x)＋2 B．x－1＝(13－x)＋2
C．x＋1＝(26－x)－2 D．x＋1＝(13－x)－2
2．把一根长100 cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的长的2倍少5 cm，则锯成的木棍的长不可能是( )
A．70 cm B．65 cm C．35 cm D．35 cm或65 cm
3．根据图中信息，可得正确的方程为( )
图1
A．π×()2x＝π×()2×(x＋5)
B．π×()2x＝π×()2×(x－5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5)
D．π×82x＝π×62×5
4．有一个底面直径为10 cm，高为20 cm的圆柱形实心钢，将它铸成长6 cm，宽8 cm的实心长方体，设长方体的高为x cm，可列方程为( )
A．π×102×20＝6×8x B．π×()2×20＝6×8x
C．102×20＝6×8x D．()2×20＝6×8x
5．如图2所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，结果乙容器中的水位高度比原来甲容器中的水位高度低8 cm，则甲容器的容积为( )
图2
A．1280 cm3 B．2560 cm3 C．3200 cm3 D．4000 cm3
二、填空题
6．2018·株洲小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________.
7．一个三角形的三条边长之比为2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，则这个三角形的周长为________厘米．
8．如图3，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条，且剪下的两个长条的面积相等．则这个正方形的边长应为多少厘米？设正方形的边长为x cm，则可列方程为________．
图K7－3 图4
9．如图4①是边长为30 cm的正方形纸板，裁去阴影部分后将其折叠成图②所示的无缝隙不重叠的长方体盒子，已知长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________．
三、解答题
10．用一根长为24 cm的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，求长方形的长、宽各是多少．
11．一个三位数，将百位上的数字去掉后得到的两位数大于80小于90.而个位上的数字比十位上的数字小6，个位上的数字与十位上的数字的和是百位上的数字的2倍，求这个三位数.
12．小张家的客厅里有一个长方体鱼缸，鱼缸的底面长为50 cm，宽为40 cm，水面高为30 cm，现准备给鱼换水，家里只有底面半径为20 cm的圆柱形铁桶，则铁桶的高至少为多少才能装下鱼缸里的全部水？(π取3.14，结果保留整数)
13．从一个正方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行于短边的方向剪去一个宽为 6 cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每个长条的面积是多少？最后剩下的长方形的面积是多少？
14.如图5所示，在一张展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间有三块正方形的空白，在图中用阴影标明，已知卡片的短边长为10厘米，想要配三张图片来填补空白，需要配多大尺寸的图片？
图5
15数形结合思想 如图6，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB，这两条公路围成梯形ABCD，其中DC∥AB，AD＝BC，AB∶AD∶DC＝10∶5∶2.
(1)求外环公路总长和市区公路长的比；
(2)某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40 km/h.返回时沿外环公路行驶，平均速度是80 km/h，结果比去时少用了 h，求市区公路的长．
图6
1．[解析] B 本题的等量关系：长方形的长－1 cm＝长方形的宽＋2 cm.
2．[解析] A 设一段的长为x cm，则另一段的长为(2x－5)cm，根据题意得x＋2x－5＝100，解得x＝35，则2x－5＝65(cm)，所以锯出的木棍的长可能为65 cm或35 cm，不可能为70 cm.
3．[解析] A 本题的等量关系是两个量筒中水的体积相等．
4．[解析] B 相等关系是圆柱体的体积＝长方体的体积．
5．[解析] C 设甲容器的高度为x cm，则80x＝100(x－8)，解得x＝40.则80x＝3200.故选C.
6．[答案]20
[解析] 设小强同学生日的日数为x，则月数为x＋2.
根据题意得2(x＋2)＋x＝31.
解得x＝9.
x＋2＝11，11＋9＝20.
所以小强同学生日的月数和日数的和为20.故填20.
7．[答案] 22
[解析] 设这个三角形的三边长分别为2x厘米，4x厘米，5x厘米，则有5x－2x＝6，解得x＝2.则三边长分别为4厘米，8厘米，10厘米，所以这个三角形的周长为22厘米．
8．[答案] 4x＝5(x－4)
[解析] 设正方形的边长为x cm，根据题意可得其中一个小长方形相邻的两边长分别为5 cm和(x－4)cm；另一个小长方形相邻的两边长分别为4 cm和x cm，根据长方形的面积公式结合关键语句“剪下的两个长条的面积相等”可直接列出方程：4x＝5(x－4)．
9．[答案] 1000 cm3
[解析] 设长方体的高为x cm，则其宽为 cm，
根据题意，得＝2x，解得x＝5.
所以长方体的宽为10 cm，长为20 cm，
故长方体的体积为5×10×20＝1000(cm3)．
10．解：设长方形的宽是x cm，则长是1.5x cm，根据题意，得2(x＋1.5x)＝24，解得x＝4.8.则1.5x＝7.2.经检验，符合题意．
答：长方形的长、宽分别是7.2 cm，4.8 cm.
11．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x－6，百位上的数字为＝x－3，
将百倍上的数字去掉后得到的两位数为10x＋(x－6)＝11x－6.
∵将百位上的数字去掉后得到的两位数大于80小于90，x为整数，
∴11x－6＝82，
解得x＝8，
则这个三位数的个位上的数字为2，十位上的数字为8，百位上的数字为5.
答：这个三位数是582.
12．解：设圆柱形铁桶的高为x cm，依题意，得
π×202x＝50×40×30，解得x＝≈48.
答：铁桶的高至少为48 cm才能装下鱼缸里的水．
13．解：设原正方形的边长为x cm，
依题意，得6(x－5)＝5x，解得x＝30.
则第一个长条的面积为5x＝5×30＝150(cm2)，
第二个长条的面积为6(x－5)＝6×(30－5)＝150(cm2)，最后剩下的长方形的面积为30×30－150×2＝600(cm2)．
答：每个长条的面积都是150 cm2，最后剩下的长方形的面积是600 cm2.
14．解：设每张卡片的长边长为x厘米，
根据图形和题意，得5x＝3(x＋10)，
解得x＝15.
15－10＝5(厘米)．
故需要配边长为5厘米的正方形图片．
15 解：(1)设AB＝10x，
则AD＝5x，CD＝2x.
∵AD＝BC，∴BC＝AD＝5x，
∴AD＋DC＋CB＝12x，
∴外环公路总长和市区公路长的比为12x∶10x＝6∶5.
(2)由(1)可知，设市区公路的长为10x km，则外环公路总长为12x km.
由题意，得＝＋.
解得x＝1.
∴10x＝10.
答：市区公路的长为10 km.
6.3 第2课时 银行储蓄与商品销售问题
一、选择题
1．学校办了储蓄所，开学时，李健存了200元，王兵存了140元，以后李健每月存20元，王兵每月存35元，求经过几个月，李健和王兵的存款相等．设经过x个月，两人的存款相等，则可列方程为( )
A．200＋20x＝140＋35x
B．200＋35x＝140＋20x
C．200－20x＝140－35x
D．200－35x＝140＋20x
2．2018·通辽一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是 ( )
A．亏损20元 B．盈利30元
C．亏损50元 D．不盈不亏
3．如果某人用原价的八折价钱买一件上衣节省了20元，那么这件上衣的原价为( )
A．80元 B．100元
C．140元 D．160元
二、填空题
4．2018·襄阳我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．
图1
5．如图1所示是超市某洗发水的价格标签，服务员不小心将墨水滴在标签上，致使原价显示不清，请帮忙算一算，该洗发水的原价是________元．
6．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有________台．
7．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为________元．
三、解答题
8．2018·张家界列方程解应用题：
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少．
9．某公园门票价格规定如下表：
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
单张票价
13元
11元
9元
某校七年级一班和二班共104人去游园，其中一班有40多人，不足50人．经估算，若两个班以班为单位分别购票，则一共应付1240元．问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果七年级一班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？
10．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)求该店有客房多少间，房客多少人；
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算？
11．在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到成都东湖公园游玩，购买门票时，小明与他爸爸的对话如图2所示，试根据图中的信息，解答下列问题：
图2
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
12.学校向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需支付利息8.42万元，已知甲种贷款每年的利率是12%，乙种贷款每年的利率是13%，则这两种贷款的金额各是多少万元？
13 [方案设计] 重阳节前，某活动小组到山水果园基地为老年公寓购买优质水果．果园基地对购买3000千克以上(含3000千克)的客户有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客从基地自己运回．已知从该山水果园基地到公寓的运费为5000元．若购买3000千克以上，问选择哪种购买方案费用较少？
1．[解析] A 本题的等量关系是经过x个月，两人的存款相等．
2．[解析] A 设第一件商品的进价为x元，依题意得x(1＋25%)＝150，解得x＝120，所以赚了150－120＝30(元)；设第二件商品的进价为y元，依题意得y(1－25%)＝150，解得y＝200，所以赔了200－150＝50(元)，所以两件商品一共赔了20元，即亏损20元．故选A.
3．[解析] B 设这件上衣的原价为x元，根据题意，得x－80%x＝20，解得x＝100.
4．[答案] 53
[解析] 设共有x个人共同购买该物品，
依题意得8x－3＝7x＋4，
解得x＝7.
8x－3＝8×7－3＝53(元)．
故答案为53.
5．[答案] 24
[解析] 设洗发水的原价为x元，根据题意，得80%x＝19.2，解得x＝24.
6．[答案] 16
7．[答案] 160
[解析] 设每件的进价为x元，则240×0.8－x＝20%x，解得x＝160.
8．解：设买羊的人数为x人，则羊价为(5x＋45)元．
根据题意，得5x＋45＝7x＋3.解得x＝21.
5×21＋45＝150(元)．
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
9．解：(1)设七年级一班有x人，则七年级二班有(104－x)人，依题意，得
13x＋11(104－x)＝1240，
解得x＝48，
104－x＝104－48＝56.
答：一班有48人，二班有56人．
(2)1240－104×9＝304(元)．
答：可省304元．
(3)48×13＝624(元)，51×11＝561(元)，
561<624，
所以购买51张票最省钱．
10．解：(1)设客房有x间，
根据题意，得7x＋7＝9x－9，解得x＝8，7×8＋7＝63(人)．
答：该店有客房8间，房客63人．
(2)如果每4人一个房间，63÷4＝15，那么需要16间客房，总费用为16×20＝320(钱)；
如果定18间客房，那么总费用为18×20×0.8＝288(钱)<320钱，所以他们定18间房更合算．
11．解：(1)设小明他们一共去了x个成人，(12－x)个学生，根据题意，得
35x＋(12－x)＝350，解得x＝8.12－x＝4.
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)购买团体要(按16人计)更省钱理由如下：
如果买团体票，按16人计算，共需费用：
35×0.6×16＝336(元)，
因为336<350，
所以购买团体票(按16人计)更省钱．
12．解：设甲种贷款为x万元，则乙种贷款为(68－x)万元．
依题意得
12%x＋13%×(68－x)＝8.42.
解这个方程，得x＝42，
所以68－42＝26(万元)．
答：甲种贷款为42万元，乙种贷款为26万元．
13 [解析] 购买的费用与水果的质量有关，可从特殊的情况入手．找出两种方案在何时其费用同样多，以此时的值分情况讨论，探究出省钱的方案．
解：设购买x千克水果时，两种购买方式的费用一样多．根据题意，得
9x＝8x＋5000，解得x＝5000.
即当购买5000千克水果时，两种购买方式的费用一样多．
通过特殊值验证可知：
当购买量小于5000千克，比如购买4000千克时，甲方案需要的费用是9×4000＝36000(元)；乙方案需要的费用是 8×4000＋5000＝32000＋5000＝37000(元)．
由此特殊值的检验可以知道，当购买量在3000千克以上(含3000千克)而小于5000千克时，选择甲方案费用少．
当购买量超过5000千克，比如购买6000千克时，甲方案需要的费用是9×6000＝54000(元)；乙方案需要的费用是8×6000＋5000＝53000(元)．
由此特殊值的检验可以知道，当购买量超过5000千克时，选择乙方案费用少．
第3课时 工程问题与行程问题
一、选择题
1．某工厂计划每天烧煤5吨，实际每天少烧2吨，m吨煤多烧了20天，则可列的方程是( )
A.－＝20 B.－＝20 C.－＝20 D.－＝20
2．小明和小刚分别从相距25.2千米的两地同时出发，相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米，列方程为( )
A．4＋3x＝25.2 B．3×4＋x＝25.2 C．3(4＋x)＝25.2 D．3(x－4)＝25.2
3．一项工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲单独做4小时，剩下的由甲、乙合做，还需几小时才能完成这项工作？设还需x小时才能完成，下列方程正确的是( )
A.－－＝1 B.＋－＝1 C.＋＋＝1 D.－＋＝1
4． 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是( )
A．22x＝16(27－x)
B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x)
D．2×22x＝16(27－x)
二、填空题
5．某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要6小时完成；如果让八年级学生单独工作，需要4小时完成．现在由七、八年级学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为______________．
6．某人在路上行走，速度为2米/秒，一辆车身长是18米的货车从他背后驶来，并从他身旁开过，驶过的时间是1.5秒，则货车的速度为________米/秒．
7．已知某铁路桥长500米，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，则火车的长度为________米．
三、解答题
8．小王骑自行车从A地到B地，小陈骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午7时同时出发，到上午9时，两人还相距20 km，到中午12时，两人又相距40 km且两人均未到达目的地，求A，B两地的距离.
9．整理一批图书，如果由一个人单独做需花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
10.有一个水池，用两台水泵抽水，如果单独开甲泵，5小时能抽完这一池水，如果单独开乙泵，2.5小时能抽完，试问：
(1)两泵同时开，几小时能把水抽完？
(2)如果甲泵先抽2小时，，还需要多少小时才能抽完？(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请你补充完整，列出相应的方程，并写出解答过程.
11．2017·威海模拟一队学生从学校出发去骑行，整个队伍以30千米/时的速度前进．
(1)骑行了半小时，突然发现有东西遗忘在学校，一名队员马上以50千米/时的速度返回学校，取到东西后仍以50千米/时的速度追赶队伍，求这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了多长时间；(取东西的时间忽略不计)
(2)突然前方有事需要接应，派出一名队员前往，如果这名队员以40千米/时的速度独自行进7千米，接应后掉转车头，仍以40千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．问这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？(接应时间忽略不计)
解：设这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时，根据题意，可得方程________．(本小题只需要列出方程，不用解)
12．(1)将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输．现甲、乙两船已分别运走其任务数的，，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨．求分配给甲、乙两船的任务数各为多少吨．
(2)自编一道应用题，要求如下：
①是路程应用题．四个数据100，，，5必须全部用到，不添加其他数据；②只需编题，不必解答．
13 [方案设计问题] 利民商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．
(1)若利民商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你探究一下该商场有哪几种进货方案；
(2)若利民商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
详解详析
1．[解析] D m吨煤计划烧的天数为天，实际烧的天数为天，根据题意，得－＝20.
2．[解析] C 本题的相等关系：小明与小刚的路程之和等于25.2千米．
3．[解析] C 本题的等量关系：甲先做的工作量＋甲、乙合做的工作量＝1，所以可列方程为＋＋＝1.故选C.
4．[解析] D x名工人可生产螺栓22x个，(27－x)名工人可生产螺母16(27－x)个，由于螺栓数目的2倍与螺母数目相等，因此2×22x＝16(27－x)．
5．[答案] (＋)x＝1
[解析] 易知七、八年级学生的工作效率分别是，，根据题意，可列方程为(＋)x＝1.
6．[答案] 14
[解析] 设货车的速度是x米/秒，
根据题意得1.5x－2×1.5＝18，
解得x＝14，
即货车的速度是14米/秒．
7．[答案] 100
[解析] 设火车的长度为x米，根据题意得＝，解得x＝100.
8．解：设A，B两地的距离为x km，
依题意得＝，
解得x＝60.
答：A，B两地的距离为60 km.
9．解：设先安排整理的人员有x人，
依题意，得＋＝1.解方程，得x＝10.
答：先安排整理的人员有10人．
10．解：(1)设两泵同时开，x小时能把水抽完，
根据题意，得x＋x＝1，
解得x＝.
答：两泵同时开，小时能把水抽完．
(2)开放性题目，答案不唯一，例如补充为：剩下的由两泵同时抽．
解：设剩下的由两泵同时抽，还需y小时才能抽完，根据题意，得×2＋(＋)y＝1，
解得y＝1.
答：剩下的由两泵同时抽，还需1小时才能抽完．
11．解：(1)设这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了y小时，
根据题意，得50y－30y＝30××2，
解得y＝1.5.
答：这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了1.5小时．
(2)设这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时，
根据题意，得40x＋30x＝7×2.
故答案为40x＋30x＝7×2.
12．解：(1)设分配给甲船的任务数是x吨，则分配给乙船的任务数是(490－x)吨，
根据题意，得x－(490－x)＝30，
解得x＝210.
则490－x＝280.
答：分配给甲、乙两船的任务数分别是210吨、280吨．
(2)开放性题目，答案不唯一，参考：甲、乙两人相距100 km，相向而行，相遇后停止．当甲、乙两人分别走了其行驶路程的，时，甲比乙多走5 km，求相遇时甲、乙两人分别行驶的路程．
13 解：(1)分情况计算：
①假设购进甲种电视机x台，购进乙种电视机(50－x)台，根据题意，得
1500x＋2100(50－x)＝90000.
解得x＝25，50－x＝25.
即购进甲种电视机25台，购进乙种电视机25台．
②假设购进甲种电视机y台，购进丙种电视机(50－y)台，根据题意，得
1500y＋2500(50－y)＝90000.
解得y＝35，50－y＝15.
即购进甲种电视机35台，购进丙种电视机15台．
③假设购进乙种电视机z台，购进丙种电视机(50－z)台，根据题意，得
2100z＋2500(50－z)＝90000.
解得z＝87.5，不合题意，舍去.
故利民商场有两种进货方案，方案一：购进甲种电视机25台，购进乙种电视机25台；方案二：购进甲种电视机35台，购进丙种电视机15台．
(2)①当购进甲种电视机25台，购进乙种电视机25台时，可获利150×25＋200×25＝8750(元)．
②当购进甲种电视机35台，购进丙种电视机15台时，可获利150×35＋250×15＝9000(元)．
故选择方案二，即购进甲种电视机35台，购进丙种电视机15台获利最多．
