课件28张PPT。2.1.1 曲线与方程的概念第二章 §2.1 曲线与方程学习目标XUEXIMUBIAO1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点 曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的 .
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式.
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
① 都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在 C上.
那么，方程F(x，y)＝0叫做 ；曲线C叫做 .轨迹方程曲线C上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.一一对应如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则
1.曲线l的方程是F(x，y)＝0.( )
2.方程F(x，y)＝0的曲线是l.( )
3.坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上.( )
4.坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×2题型探究PART TWO题型一 曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定
例1 已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么
A.曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0
B.凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0多维探究√解析 “不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题.所以C正确.反思感悟 解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1 设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是
A.坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0
C.坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0√解析 “坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.
“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错.命题角度2 曲线与方程的概念应用
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.
由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.反思感悟 解决此类问题要从两方面入手
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).题型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.引申探究
本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围.解 结合点与圆的位置关系，得
a2＋(2－1)2>10，即a2>9，
解得a<－3或a>3，
故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).反思感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIGUANXIANGXIANG由方程判断曲线√即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；
当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，
所以方程对应的曲线是D.素养评析 (1)由具体的方程判断曲线的步骤
(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养. 3达标检测PART THREE1.方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为
A.一条直线 B.一条射线
C.一条线段 D.不能确定√12345解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.123452.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称√解析 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.123453.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为______________.解析 原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，
∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.两条相交直线123454.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B ，则a＝____，b＝____.41123455.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点.4个点课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题. 课件28张PPT。2.1.2 由曲线求它的方程、
由方程研究曲线的性质第二章 §2.1 曲线与方程学习目标XUEXIMUBIAO1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.
2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法. NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 坐标法的思想
1.坐标法：借助于 ，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.
2.解析几何研究的主要问题：
(1)通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .
(2)通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .
知识点二 求曲线的方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M的坐标.
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合 .
3.列方程：用坐标表示条件 ，列出方程 .
4.化简：化方程 为最简形式.
5.结论：说明以化简后的 为坐标的点都在曲线上.坐标系表示曲线的方程曲线的性质P＝{M|p(M)}有序实数对(x，y)p(M)F(x，y)＝0F(x，y)＝0方程的解1.求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的.( )
2.求曲线方程的步骤不可以省略.( )
3.按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××2题型探究PART TWO题型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究
若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解 设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知在Rt△ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程.解 如图，设C(x，y)，∵∠C为直角，∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.
化简得x2＋y2＝1.
∵A，B，C三点要构成三角形，
∴A，B，C不共线，∴y≠0，
∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0).题型二 相关点法求曲线的方程例2 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.反思感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.A.xy＝－1 B.xy＝1
C.y2－x2＝2 D.y2－x2＝1√解析 设平面内曲线C上的点P(x，y)，∵点P′在曲线x2－y2＝2上，整理得xy＝－1.题型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1,2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.3达标检测PART THREEA.一条直线 B.一条直线去掉一点
C.一个点 D.两个点√12345解析 注意当点C与A，B共线时，不符合题意，应去掉.123452.曲线y＝ 与xy＝2的交点是
A.(1,1)
B.(2,2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在√123453.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是 √解析 ∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；
当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.123454.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.123455.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是什么？解 设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.课堂小结KETANGXIAOJIE课件41张PPT。2.2.1 椭圆的标准方程第二章 §2.2 椭 圆学习目标XUEXIMUBIAO1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 椭圆的定义
1.我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫做椭圆的 .
2.椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.
3.2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：常数椭圆焦点焦距知识点二 椭圆的标准方程
1.椭圆标准方程的两种形式(c,0)(0，－c)2.椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为 ＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )
2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( )
3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√2题型探究PART TWO题型一 椭圆定义的应用例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆.反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.跟踪训练1 下列命题是真命题的是______.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；
③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).②题型二 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；解 因为椭圆的焦点在y轴上，又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，解 因为椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).题型三 椭圆中焦点三角形问题在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.跟踪训练3 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；解 依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.解 设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，解得mn＝4.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为则a2
b>0矛盾，舍去.方法二 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).素养评析 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力佐证.3达标检测PART THREE1.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为
A.5 B.6
C.7 D.8√12345解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.12345A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√123453.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为
A.1 B.3
C.0 D.－2√123454.已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 √12345解析 △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.18课堂小结KETANGXIAOJIE1.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.课件39张PPT。第1课时 椭圆的几何性质第一章 2.2.2 椭圆的几何性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 椭圆的几何性质(±c,0)(0，±c)知识点二 椭圆的离心率
1.椭圆的焦距与长轴长的比e＝ 称为椭圆的离心率.
2.因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为 ，当e越近于1时，椭圆越 ，当e越近于0时，椭圆越 .aba2ab2b(0,1)扁圆思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√2题型探究PART TWO题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.∵0＜m2＜4m2，反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质.跟踪训练1 已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)； 题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8；多维探究解 由题意知，2c＝8，c＝4，从而b2＝a2－c2＝48，反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.同样地可求出当焦点在y轴上时，跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；∴a2＝b2＋c2＝72，(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2 最值问题反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.√题型三 求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率.∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得反思感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率.√典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为
A.d1＋d2＋R
B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R
D.d1＋d2 核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO椭圆几何性质的应用√则2a＝d1＋d2＋2R，
故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.素养评析 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系.利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.3达标检测PART THREE√12345√123453.若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 √12345解析 由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，123454.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为__________.12345规律与方法GUILVFANGFA1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.课件35张PPT。第2课时 直线与椭圆的位置关系(一)第一章 2.2.2 椭圆的几何性质学习目标XUEXIMUBIAO进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 点与椭圆的位置关系知识点二 直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.两>一＝无<思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√2题型探究PART TWO题型一 点与椭圆位置关系的判断引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？反思感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆 ＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为____.9当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.题型二 直线与椭圆的位置关系例2 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；多维探究解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③
这个关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.命题角度2 可化为直线与椭圆位置关系问题并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，
解得m2＝16，即m＝±4，反思感悟 椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的.跟踪训练3 已知椭圆x2＋8y2＝8，直线l：x－y＋a＝0.
(1)当a为何值时，l与椭圆相切；Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝－3或a＝3.
此时椭圆与直线l相切.(2)若a＝6，在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使它到直线l的距离最短，并求出最短距离.解 由(1)知与l平行的两切线方程为x－y－3＝0或x－y＋3＝0，核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN椭圆中的对称问题素养评析 (1)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(2)通过图形捕捉到形与数联系的纽带，为解决问题打开了思路.因此，培养学生直观想象的数学素养，是提高解题能力的源泉.3达标检测PART THREE√12345√12345∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离.12345123454.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是_____________.当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，5.若直线y＝kx＋b与椭圆 ＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为______.12345(－2,2)课堂小结KETANGXIAOJIE1.直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程联立得到的一元二次方程，利用判别式进行判定.
2.有些最值问题可转化为直线与椭圆相切问题.课件40张PPT。第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)第一章 2.2.2 椭圆的几何性质NEIRONGSUOYIN内容索引题型探究达标检测1题型探究PART ONE题型一 弦长问题解 设动点P的坐标是(x，y)，解 设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).
∴k＝±1，经检验符合题意.
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.跟踪训练1 已知斜率为1的直线l过椭圆 ＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.解 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，题型二 中点弦问题例2 已知椭圆 ＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，又M为线段AB的中点，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.√解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，例3 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；题型三 与椭圆有关的最值或范围问题解 m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.反思感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.设点M的坐标是(m,0)，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0).
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有由于－6≤x≤6.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(1)求椭圆的方程；得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2).∴m＝1或m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.解 记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′).得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0， (*)
x1′，x2′是此方程的两个相异实根.由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，故这样的k不存在.素养评析 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.2达标检测PART TWO1.若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于
A.1 B.±1
C.－1 D.±2√12345√12345设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，123453.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是
A.x＋2y－3＝0
B.2x＋y－3＝0
C.x－2y＋3＝0
D.2x－y＋3＝0√12345解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，即x＋2y－3＝0.123454.过椭圆 ＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是________.1234512345设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x2－3x－8＝0.
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.课堂小结KETANGXIAOJIE解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.课件29张PPT。第4课时 直线与椭圆的位置关系(三)第一章 2.2.2 椭圆的几何性质题型探究TIXINGTANJIU题型一 定点问题可得a2＝2b2，(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.解 由x－my－t＝0得x＝my＋t，
把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，反思感悟 求定点问题，需要注意两个方面：
一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由.题型二 定值问题例2 已知椭圆C： ＝1过A(2,0)，B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；解 由题意得a＝2，b＝1，(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.证明 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，又A(2,0)，B(0,1)，从而四边形ABNM的面积为定值.反思感悟 (1)求定值问题的常用方法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.由余弦定理，得
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos 60°
＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos 60°)，由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.证明 当直线l的斜率存在时，
设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝56k2＋32k>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，综上，k1＋k2为定值.(1)求椭圆E的方程；题型三 存在性问题解 当直线l与x轴垂直时不满足条件.
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，
即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，反思感悟 解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，课件43张PPT。2.3.1 双曲线的标准方程第二章 §2.3 双曲线学习目标XUEXIMUBIAO1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 双曲线的定义
1.平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做双曲线的 .
2.关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.
3.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 .
4.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .绝对值焦点焦距两条射线一支线段F1F2的中垂线知识点二 双曲线的标准方程
1.两种形式的标准方程2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在____上；若y2项的系数为正，那么焦点在____上.
3.当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
4.标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝_______要与椭圆中的b2＝_______相区别.F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2＝c2x轴y轴a2－c2c2－a21.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.( )
2.点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线.( )
3.双曲线 ＝1的焦点在x轴上，且a>b.( )
4.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2题型探究PART TWO题型一 求双曲线的标准方程例1 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 ，求双曲线的标准方程；(2)焦距为26，且经过点M(0,12).解 ∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.跟踪训练1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.若焦点在y轴上，设双曲线的方程为(2)c＝ ，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.题型二 双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题多维探究(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.解 将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得所以∠F1PF2＝90°，引申探究
将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；跟踪训练2 已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为______.解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点).反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，题型三 由双曲线方程求参数解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}.{m|－33}反思感悟 方程表示双曲线的条件及参数范围求法(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.(－1,1)则(1＋k)(1－k)>0，
所以(k＋1)(k－1)<0，
所以－1所以P在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示. 所以P点在A点的北偏东30°方向.素养评析 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系；
(2)求出双曲线的标准方程；
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.3达标检测PART THREE√12345解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.123452.若双曲线E： ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于
A.11 B.9 C.5 D.3√解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.12345又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，√123454.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.123455.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________.解析 令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点.
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，课堂小结KETANGXIAOJIE1.双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上.
(2)双曲线定义的双向运用
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.课件41张PPT。2.3.2 双曲线的几何性质第二章 §2.3 双曲线学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
4.了解直线与双曲线相交的相关问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE2.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1).
3.双曲线的几何性质见下表： 思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√×2题型探究PART TWO题型一 由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，题型二 由双曲线的几何性质确定标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：由①②联立，无解.由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∵A(2，－3)在双曲线上，∵点M(3，－2)在双曲线上，∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， 解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.题型三 直线与双曲线的位置关系化简得3x2－2x－5＝0.解 方法一 ∵当该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
当直线AB的斜率k≠0时，整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1).
当k＝0时，y1＝y2＝1，x1＋x2＝0，
∴x＝0，y＝1，也满足4x2－y2＋y＝0.
综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.跟踪训练3 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3).
(1)求该双曲线的标准方程；由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.解 由题意可知直线m的方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN存在性问题需验证典例 已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由.解 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，而Δ＝－8<0，方程无实根，
即直线与双曲线无交点，
故不存在满足条件的直线.素养评析 (1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.
(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.3达标检测PART THREE√12345解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，123452.设双曲线 ＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
A.－4 B.－3
C.2 D.1√12345√1234512345课堂小结KETANGXIAOJIE双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.课件32张PPT。2.4.1 抛物线的标准方程第二章 §2.4 拋物线学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 抛物线的定义
1.平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 .
2.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).相等焦点准线知识点二 抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
2.拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离.( )
3.拋物线的方程都是二次函数.( )
4.抛物线的开口方向由一次项确定.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×√2题型探究PART TWO题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(－3，－1)；解 因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.解 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.解 已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，
所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)
例2 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 多维探究解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.跟踪训练2 已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.命题角度2 利用抛物线定义求最值
例3 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2).引申探究
若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点A的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练3 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 √解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).
设点P到直线l的距离为d，
由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上， 当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.素养评析 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系.
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程.
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求解：求出需要求出的量.
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.3达标检测PART THREE√12345123452.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为 √解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为
A.4 B.－2 C.4或－4 D.12或－212345∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.√123454.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝_____.2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，123455.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.课堂小结KETANGXIAOJIE课件41张PPT。2.4.2 抛物线的几何性质第二章 §2.4 拋物线学习目标XUEXIMUBIAO1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 抛物线的几何性质当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有 个公共点；若Δ<0，直线与抛物线 公共点.
当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.知识点二 直线与抛物线的位置关系没有平行或重合一一两1.拋物线没有渐近线.( )
2.过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( )
3.若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切.( )
4.拋物线只有一条对称轴，没有对称中心.( )
5.拋物线的开口大小由拋物线的离心率决定.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√×2题型探究PART TWO题型一 抛物线的几何性质的应用例1 (1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是
A.x2＝16y B.x2＝8y
C.x2＝±8y D.x2＝±16y√解析 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0).
由顶点到准线的距离为4，知p＝8，
故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2 ，求抛物线方程.解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；解 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.解 如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心， 因为F(2,0)，所以M(3,0).故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24；题型二 直线与抛物线的位置关系命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.多维探究得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*)∴y＝1，此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.反思感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练2 如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值； 因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解 由(1)可知b＝－1，
故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.命题角度2 直线与抛物线的相交弦问题
例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在的直线方程.所以直线AB的斜率存在，设为k，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.引申探究
本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.反思感悟 求抛物线弦长问题的方法
(1)一般弦长公式(2)焦点弦长
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.跟踪训练3 已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.(2)若OA⊥OB，求实数m的值.解 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去).
所以m＝－8，经检验符合题意.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUSNXIANGXIANG与抛物线有关的最值问题典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，素养评析 (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决.
二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得.
(2)建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与方法.3达标检测PART THREE√12345所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，123452.以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y√解析 设拋物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，
∴拋物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 12345由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，
因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，
结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离， √123454.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝____.8解析 易知抛物线的准线方程为x＝－1，
则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
由抛物线的定义易得|AB|＝8.123455.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.212345解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.课堂小结KETANGXIAOJIE1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.课件38张PPT。§2.5 直线与圆锥曲线第二章 圆锥曲线与方程学习目标XUEXIMUBIAO1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.
2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.知识点二 弦长公式
若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝
＝ .1.直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切.( )
2.直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√2题型探究PART TWO题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③
这个关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形.跟踪训练1 已知双曲线C：x2－ ＝1，直线l的斜率为k且直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点； (2)有两个公共点； (3)无公共点？ 解 设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k).得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0. (*)当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.
(1)求点M的轨迹C的方程；设直线PQ的方程是y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1－y2＝k(x1－x2)，∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，∴k∈R，反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意.解 设椭圆方程为ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)求证：直线AB必过一定点；∴直线过定点P(2,0).(2)求△AOB面积的最小值.解 由于直线AB所在直线方程过定点P(2,0)，
∴可设直线AB的方程为x＝my＋2.∴△AOB面积的最小值为4.反思感悟 (1)求参数范围的方法
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.
(2)求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决.
②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等.跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.设C(xC，yC)，∴直线BC的斜率为定值.3达标检测PART THREE1.过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条√12345解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.123452.若直线y＝kx＋1与椭圆 ＝1总有公共点，则m的取值范围是
A.m>1 B.m≥1或0C.0设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.√设此直线与抛物线相切，有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.123454.过椭圆 ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为_____.5.过点A(6,1)作直线l与双曲线 ＝1相交于两点B，C，且A为线段BC的中点，则直线l的方程为________________.12345即3x－2y－16＝0，经验证符合题意.3x－2y－16＝01.解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数.确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切.
2.与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：
(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系.
3.在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解.同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件.课堂小结KETANGXIAOJIE课件27张PPT。专题突破一 离心率的求法第二章 圆锥曲线与方程一、以渐近线为指向求离心率
例1 (1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________.解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，方法二 根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，(2)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_________.故离心率e的取值范围是[2，＋∞).[2，＋∞)跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为 解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为√二、以焦点三角形为指向求离心率思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形， 方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，
于是离心率√解析 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线.
所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，三、寻求齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E： ＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______. 思维切入 通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，
再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.2又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去).由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，四、利用圆锥曲线的范围求离心率的取值范围又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，点评 一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围.
二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围.
(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c].
(2)双曲线的焦半径
①点P与焦点F同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞).√解析 ∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，根据点P在双曲线的右支上，12345√∴a2＝4b2.达标检测DABIAOJIANCE12345√12345√12345√解析 由题意知圆的半径是椭圆的焦距，
∴由圆在椭圆内部，得b>c，即b2>c2，1234512345解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小.
在△PF1F2中，由余弦定理，课件25张PPT。专题突破二 焦点弦的性质第二章 圆锥曲线与方程抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化.一、焦点弦性质的推导
例1 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明 ①当AB⊥x轴时，②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，代入抛物线方程y2＝2px，证明 当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，
由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，
在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cos θ，
由图知|GG1|＝|AA1|，当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，证明 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p当且仅当θ＝90°时取等号.
故通径为最短的焦点弦.证明 由(2)可得，(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；证明 如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1，故以AB为直径的圆与准线相切.(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线.代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.
由(1)可得y1y2＝－p2.所以直线AB1过点O.
所以A，O，B1三点共线，
同理得B，O，A1三点共线.二、焦点弦性质的应用
例2 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 √解析 方法一 由题意可知，直线AB的方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
A.16 B.14
C.12 D.10√解析 方法一 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同理得|DE|＝4＋4k2，故|AB|＋|DE|的最小值为16.点评 上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题.跟踪训练 过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝ ，|AF|<|BF|，则|AF|＝___.12345√达标检测DABIAOJIANCE2. 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为
A.y＝－x＋1 B.y＝x－1
C.y＝－x＋1或y＝x－1 D.以上均不对12345√则tan α＝±1，
又直线过抛物线焦点，
∴直线l的方程为y＝－x＋1或y＝x－1.故选C.3.直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是
A.y2＝－12x B.y2＝－8x
C.y2＝－6x D.y2＝－4x12345√解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，
∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.12345解析 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_____.又准线方程为x＝－1，123455.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________.90°解析 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图.
∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B，
∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，课件46张PPT。章末复习第二章 圆锥曲线与方程学习目标XUEXIMUBIAO1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.
5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质2.求圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.3.直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点.4.方法、规律归纳
(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点P所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：
①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；
③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．
(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集．
(4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．1.设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线.( )
2.方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率.( )
3.已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆.( )
4.抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是 .( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×√2题型探究PART TWO题型一 圆锥曲线定义的应用例1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C
的方程为___________.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
故a＝4，∴b2＝8，反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；
(2)涉及焦点、准线、离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；
(3)求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解.解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，题型二 圆锥曲线的性质√解析 设M(－c，y0)，√解析 若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)·(3m2－n)＞0，
解得－m2＜n＜3m2.
又4＝4m2，所以m2＝1，
所以－1＜n＜3.反思感悟 常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.又∠BFC＝90°，化简可得2a2＝3c2，题型三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋
＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；解得a2＝3，(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.解 设点P为弦MN的中点，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1， ①又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，即2m＝3k2＋1， ②
把②代入①得2m>m2，解得0则(*)式变为3x2－4mx＋2m2－4＝0，解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0. (*)例4 (1)已知P为抛物线y＝ x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是_______.
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是
A.a>0 B.0C.a≤1 D.a≤0题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题√反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练4 (1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于______.①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；∴a2－3b2＝0，
∴x2＋3y2＝3，②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围.得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，
即3k2－m2＋1>0. ①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.
设kAN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.得3k2＝2m－1. ②将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.2x－y－15＝05所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.123455.已知双曲线 －y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，过F的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝___.∴∠FOM＝30°，直线MN的倾斜角为60°或120°.
由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，3∴|MN|＝3.1.离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.课堂小结KETANGXIAOJIE2.圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解.