北师大版数学九年级下 2.2.1二次函数的图象与性质y=ax2和y=ax2+c教学设计
课题
2.2.1二次函数的图象与性质y=ax2和y=ax2+c
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；
②掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系;
③能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题。
过程与方法：
①让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性/质及它与函数y＝ax2的关系，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过积极参与数学活动过程，培养吃苦精神，发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象，并掌握它们之间的联系
难点
能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象，并掌握它们之间的联系
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
活动探究
在上节课中，我们已经学习了抛物线y=ax2与y=－ax2的关系，问题：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
/
问题：形如y=2x2、y=x2、 y =
1
2
x2、 y =-
1
2
x2 、y=x2的二次函数的图象之间会存在什么关系呢？下面我们一起要探究.
二次函数y=ax2的图象及系数a对图象的影响
活动一：在直角坐标系中画出二函数 y=2x2的图象．
/
问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二 次函数 y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
②相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样
活动二：在图中画出 y =
1
2
x2的图象，观察它与y = x2 、y = 2x2图象有什么相同和不同？
相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
课堂小结
从刚刚的或者探究中中，我们可以发现：
二次函数y=ax2 的图象性质
1.图象：抛物线；
2.当a>0时，抛物线开口向上；
3.抛物线的顶点为（0，0）；
4.抛物线的对称轴：y轴；
活动三：在图中画出 y =-
1
2
x2、y = -x2 、y =-2x2图象有什么相同和不同？
结论：
1.二次函数y =-
1
2
x2图象与 y =
1
2
x2图象关于x轴对称；
2.对于二次函数y=ax2：
①当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
②当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
二次函数y=ax2 的中a对图象的影响
1.当a>0时，抛物线开口向上；
2.当a<0时，抛物线开口向下；
3.抛物线开口大小取决于a的大小：
①|a|越大，抛物线开口越小；
②|a|越小，抛物线开口越大.
问题：形如y=ax2，y=ax2+c的二次函数的图象之间会存在什么关系呢？下面我们一起要探究它们之间的关系.
二次函数y=ax2+c的图象及平移
活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
/
(2)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
/
(3) 抛物线 y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向上 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
抛物线 y=2x2+1的顶点坐标为：（0,1）
抛物线 y=2x2-1的顶点坐标为：（0,-1）
抛物线 y=2x2的顶点坐标为：（0,0）
探究结论：二次函数y=ax2+c的图象及平移
二次函数y=2x2，y =2x2 + 1，y=2x2 - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是顶点不同，位置不同．将二次函数 y =2x2的图象向上平移 1 个单位，就得到 函数 y = 2x2+ 1 的图象；将二次函数 y = 2x2的图象向下平移 1 个单位，就得 到函数 y = 2x2 - 1 的图象．
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a≠0）的图象的关系
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
c决定顶点的纵坐标.
【例1】把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？
/
【例2】在图中画出 y =-
1
2
x2、y =-2x2的图象.
/
【小结】二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的特点
/
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握二次函数的图像与性质。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法。
讲授知识，让学生熟练利用探究学习并掌握二次函数的图像与性质。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 y = 2x2－４ ．
2、填表：
/
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) _在_（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=2_；若顶点位于x轴上方，则k_>2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
5.不画函数y=-x2、y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
（2019?嘉定区）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2
C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，即y＝x2﹣2x．故选：A．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
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跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
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借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第36页习题2.3第1、2、3题.
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课件27张PPT。2.2 二次函数的图象与性质
y=ax2和y=ax2+c数学北师大版 九年级下回顾知识抛物线y=ax2与y=－ax2的关系问题：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2思考问题?什么关系活动探究活动一：在直角坐标系中，画出二函数 y=2x2的图象．解：（1）列表：82028（2）画出 y = 2x2 的图象．y = 2x2活动探究问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二 次函数 y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？y = 2x2y = x2①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
②相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、 对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样活动探究?y = 2x2y = x2解：（1）列表：8?0?8??相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样讲解知识1.图象：抛物线；
2.当a>0时，抛物线开口向上；
3.抛物线的顶点为（0，0）；
4.抛物线的对称轴：y轴；二次函数y=ax2 的图象性质y = 2x2y = x2??y = 2x2y = x2??例题讲解?y =-x2y =-2x2讲解知识1.当a>0时，抛物线开口向上；
2.当a<0时，抛物线开口向下；
3.抛物线开口的大小取决于a的大小：
①|a|越大，抛物线开口越小；
②|a|越小，抛物线开口越大.二次函数y=ax2 的中a对图象的影响y = 2x2y = x2??y =-x2y =-2x2思考问题 问题：形如y=ax2，y=ax2+c的二次函数的图象之间会存在什么关系呢？下面我们一起要探究它们之间的关系.什么关系活动探究活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．y = 2x2＋1y = 2x2－1解：先列表：95.53135.5973.51－113.57y = 2x2呢？活动探究 (2)抛物线y =2 x2,y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y = 2x2＋1y = 2x2－1二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴y = 2x2＋1y = 2x2－1(3) 抛物线 y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
抛物线 y=2x2+1的顶点坐标为：（0,1）
抛物线 y=2x2-1的顶点坐标为：（0,-1）
抛物线 y=2x2的顶点坐标为：（0,0）下y=2x2+1上活动探究y = 2x2＋1y = 2x2－1活动结果 二次函数y=2x2，y =2x2 + 1，y=2x2 - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是顶点不同，位置不同．
将二次函数 y =2x2的图象向上平移 1 个单位，就得到 函数 y = 2x2+ 1 的图象；
将二次函数 y = 2x2的图象向下平移 1 个单位，就得 到函数 y = 2x2 - 1 的图象．讲解知识二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.y = ax2＋cy = ax2－cc决定顶点的纵坐标.例题讲解 【例1】把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？?例题讲解?y =-2x2知识小结二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的特点课堂练习1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2、填表：y = 2x2－４向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点课堂练习 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .在=2>2<2课堂练习5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 .（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.中考链接 （2019?嘉定区）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x
B．y＝x2﹣2x﹣2
C．y＝x2﹣x﹣1
D．y＝x2﹣3x﹣1A解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，
即y＝x2﹣2x．
故选：A．课堂总结二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：
k正向上；
k负向下.板书设计二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：
k正向上；
k负向下.作业布置教材第36页习题2.3第1、2、3题.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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