北师大版本 数学 九年级下 2.3 确定二次函数的表达式教学设计
课题
2.3 确定二次函数的表达式
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的三种方法；
②能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化。
过程与方法：
①通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过积极参与数学活动过程，培养吃苦精神，发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式。
难点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
在上节课中，我们已经学习了求一次函数表达式的方法。我们一起回顾下：
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
二次函数表达式是什么呢？
一般式：y = ax2+bx+c
特殊式：y = ax2+bxy = ax2+c
顶点式：y =a(x-h)2+k
交点式：y= a(x-x1)+(x-x2)
导入：如图是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗？
确定二次函数的表达式需要几个条件？怎么求二次函数的表达式？与同伴进行交流.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
例题讲解
课堂小结
【例1】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴3=4a+c－3=a+c ，解得a=2c=－5 .
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
【试一试】已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5），
∴8=4a－2b5=a－b，解得a=?1b=?6.
∴ y=－x2－6x.
可以发现，对于特殊条件的二次函数的表达式
对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c:
1.特点：①表达式中含有2个未知系数；
②题目中有两个坐标点；
2.解法：
①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；
②解：解方程组；
③写：写出表达式
思考： 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个.
【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解：设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ， 由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得
10=a?b+c4=a+b+c7=4a+2b+c，解得a=2b=?3c=5.
∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5. y= 2x2-3x+5=2（x-34）2+318.
∴二次函数对称轴为直线x=34,顶点坐标为（34，318）.
一般情况的二次函数
1.方法：待定系数法
2.步骤：
①设：设表达式为y=ax2+bx+c；
②代：将三个点坐标带入所设二次函数表达式中；
③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；
④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【试一试】 已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），
试求出这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将 （－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得
9a－3b+c=0a－b+c=0c=?3，解得a=?1b=?4c=?3.
∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
思考： 在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,
把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得
y=a(x＋2)2＋1，
再把点（1，－8）代入上式得
a(1＋2)2＋1=－8，
解得 a=－1.
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
2.步骤：
①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；
②代：先代入顶点坐标，到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
【例4】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.
解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).
∴得y=a(x＋3)(x＋1).
再把点（0，－3）代入上式得
a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),
即y=－x2－4x－3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
2.步骤是：
①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；
②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
一起总结下本节课的知识点：
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法。
讲授知识，让学生熟练利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
1、如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ C）．
A．8 B．14
C．8或14 D．－8或－14
2、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ C ）
A．E，F B．E，G
C．E，H D．F，G
3、已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2， 13），求这个二次函数的表达式．
解： 已知三点： （0，1），（2，5），（-2，13）
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将三个点坐标带入y=ax2+bx+c，得
1=c5=4a+2b+c13=4a?2b+c，解得a=2b=?2c=1.
∴二次函数的表达式是y=2x2-2x+1.
4、已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式.
解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得
16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴-b2＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
1.（2013?湖州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
2.（2012?徐州）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴3=16+4b+c0=9+3b+c，
解得b=?4c=3；
（2）∵该二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
确定二次函数的解析式
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第43页习题2.6第1、2、3题.
教材第45页习题2.7第1、3题.
课件28张PPT。2.3 确定二次函数的表达式数学北师大版 九年级下 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式） 二次函数表达式是什么呢？交点式：y= a(x-x1)+(x-x2)一般式：y = ax2+bx+c 顶点式：y =a(x-h)2+k特殊式：y = ax2+bxy = ax2+c 如图是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗？确定二次函数的表达式需要几个条件？怎么求二次函数的表达式？与同伴进行交流. 【例1】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． ? 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． ?对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c:
1.特点：①表达式中含有2个未知系数；
②题目中有两个坐标点；
2.解法：
①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；
②解：解方程组；
③写：写出表达式 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个 【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．?1.方法：待定系数法
2.步骤：
①设：设表达式为y=ax2+bx+c；
②代：将三个点的坐标带入所设的二次函数表达式中；
③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；
④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），
试求出这个二次函数的表达式. ? 在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 用配方法可化成：y ＝ a（x - h）2 ＋ k， 顶点是（h，k）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点 的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式． 二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，可以确定这个二次函数的表达式． 【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,
把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得 y=a(x＋2)2＋1， 再把点（1，－8）代入上式得 a(1＋2)2＋1=－8， 解得 a=－1.∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
2.步骤：
①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；
②代：先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式. 解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).
∴得y=a(x＋3)(x＋1).
再把点（0，－3）代入上式得
a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),
即y=－x2－4x－3.【例4】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式. 1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
2.步骤是：
①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；
②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
(x1, x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式1、如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）．
A．8 B．14
C．8或14 D．－8或－14C 2、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G
C．E，H D．F，GC 3、已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2， 13），求这个二次函数的表达式．? 4、已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1. 5、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式.? 1. （2013?湖州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． 2. （2012?徐州）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； ?①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
(x1, x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
(x1, x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式作业布置教材第23页习题1.7第2、3题.
教材第27页复习题第19、20题.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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