课件39张PPT。3.1.1 空间向量的线性运算第三章 §3.1 空间向量及其运算学习目标XUEXIMUBIAO1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.
3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 空间向量的概念
1.在空间中，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的
或 .大小方向长度模长度2.几类特殊的空间向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长互相平行或重合共线向量平行向量2.空间向量加法交换律
a＋b＝ ，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).知识点二 空间向量的加减运算及运算律
1.类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.b＋a知识点三 数乘向量运算
1.实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
2.空间向量数乘运算满足以下运算律
(1)λ(μa)＝ ；
(2)λ(a＋b)＝ .|λ||a|相反(λμ)aλa＋λb1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( )
2.零向量没有方向.( )
3.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( )
4.空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×××2题型探究PART TWO题型一 空间向量的概念理解例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同 √解析 A中，空间向量满足加法结合律；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.(2)给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ ；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3√解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；③显然正确.故选B.反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.A.1 B.2
C.3 D.4√(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？ 题型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.解 结合加法运算反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，题型三 数乘向量运算例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设
，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI对空间向量的有关概念理解不清致误√解析 ①错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.故一共有3个错误命题，正确答案为C.素养评析 (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键.
(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.3达标检测PART THREE1.下列命题中，假命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等√12345123452.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个√123453.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.√12345√123455.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：41.一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.
2.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.课堂小结KETANGXIAOJIE课件35张PPT。3.1.2 空间向量的基本定理第三章 §3.1 空间向量及其运算学习目标XUEXIMUBIAO1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 共线向量定理与共面向量定理
1.共线向量定理
两个空间向量a，b( )，a∥b的充要条件是 ，使 .
2.向量共面的条件
(1)向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作 ＝a，如果a的基线OA ，则就说向量a平行于平面α，记作 .
(2)共面向量的定义
平行于 的向量，叫做共面向量.
(3)共面向量定理
如果两个向量a，b ，则向量c与向量a，b共面的充要条件是__________
，使 .存在唯一的实数xb≠0a＝xb平行于平面α或在α内a∥α同一平面不共线存在唯一的一对实数x，yc＝xa＋yb知识点二 空间向量分解定理
1.空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，___________________
______________，使______________.
2.基底
如果三个向量a，b，c是三个____________，则a，b，c的线性组合__________
能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个_____，记作_________，其中a，b，c都叫做_______.表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的_________
___或_________.不共面存在一个唯一的有序实数组x，y，zp＝xa＋yb＋zc不共面的向量xa＋yb＋zc基底{a，b，c}基向量线性表示式线性组合1.向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( )
2.若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R).( )
3.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.( )
4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2题型探究PART TWOA.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D题型一 向量共线问题√所以A，B，D三点共线.即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，1反思感悟 (1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线.求证：E，F，B三点共线.题型二 空间向量共面问题反思感悟 (1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
(2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.题型三 空间向量分解定理及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，
P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.解 连接AC，AD′.反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.解 ∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN空间共线向量定理的应用典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.证明 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∵C不在MN上，∴CE∥MN.3达标检测PART THREE1.给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3√12345解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0，则有无数多个λ使之成立.123452.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量√解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面.12345√12345－8123455.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是________.解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.②④课堂小结KETANGXIAOJIE课件41张PPT。3.1.3 两个向量的数量积第三章 §3.1 空间向量及其运算学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 两个向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作 ，则 叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.
2.范围：〈a，b〉∈ .特别地：当〈a，b〉＝ 时，a⊥b.
知识点二 两个向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
规定：零向量与任何向量的数量积都是0.∠AOB[0，π]2.数量积的运算律 λ(a·b)b·aa·c＋b·c注意：空间向量的数量积不满足结合律。知识点三 两个向量的数量积的性质a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|22.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )
3.对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c).( )
4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
5.对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√√2题型探究PART TWO例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：题型一 数量积的计算＝cos 60°－cos 60°＝0.反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算.
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：a·b＝b·c＝c·a＝0.＝22－22＝0.题型二 利用数量积证明垂直问题例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
求证：PA⊥BD.证明 由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，知DA⊥BD，反思感悟 (1)由数量积的性质a⊥b?a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.题型三 数量积求解空间角与距离命题角度1 求解角度问题
例3 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量 所成角的余弦值.多维探究跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.解 不妨设正方体的棱长为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.命题角度2 求解距离或长度
例4 平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离.解 由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可.跟踪训练4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI利用数量积探究垂直问题典例 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，使 ？即PQ⊥QD.
连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.又AB＝1，3达标检测PART THREE1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b＝a·c，则b＝c√12345解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，
a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a＝0时，不能推出b＝c.123452.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于
A.14 B.
C.4 D.2√解析 |a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14.12345√∴③不正确.故选B.12345123455.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_____.＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，课堂小结KETANGXIAOJIE1.空间向量数量积性质的应用(a，b为非零向量)
(1)a⊥b?a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系.
(2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度.2.空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.课件44张PPT。3.1.4 空间向量的直角坐标运算第三章 §3.1 空间向量及其运算学习目标XUEXIMUBIAO1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 空间向量的坐标表示
1.空间直角坐标系及空间向量的坐标
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 .单位向量i，j，k都叫做 .
2.空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的 .上式可简记作a＝ .单位正交基底坐标向量坐标(a1，a2，a3)知识点二 空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝0思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×√2题型探究PART TWO命题角度1 空间向量的坐标表示
例1 如图，在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{ }为基底，求下列向量的坐标.题型一 空间向量的坐标表示与运算多维探究反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上.
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0). 命题角度2 空间向量的坐标运算
例2 已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于
A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)√解析 依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)
＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2).反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练2 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝____.解析 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.2题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.解 由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，反思感悟 (1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，题型三 空间向量的夹角与长度的计算例4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，(3)求CE的长.反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.跟踪训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积； 解 ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解 如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，∵异面直线所成的角为锐角或直角，核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN空间向量在平行与垂直中的应用典例 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE； 证明 ∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE， 又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.素养评析 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.3达标检测PART THREE1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于
A.(16,0,4) B.(8，－16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)√12345解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).123452.已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为 √3.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为
A.4 B.15
C.3 D.712345√解析 ∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.12345√解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，123453.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.课堂小结KETANGXIAOJIE1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 课件33张PPT。3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标XUEXIMUBIAO1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.
2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.
3.会用向量证明两条直线垂直.
4.会利用向量求两条直线所成的角.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE上面三个向量等式都叫做空间直线的 .向量a称为该直线的方向向量.知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置
1.用向量表示直线或点在直线上的位置ta向量参数方程知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合? .
2.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得
l∥α或l在α内? .
3.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合? .v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v1∥β且v2∥β知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
1.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2? ，cos θ＝ .
2.求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以
cos〈v1，v2〉＝ .但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其 作为两直线的夹角.v1⊥v2|cos〈v1，v2〉|补角1.直线l的方向向量是唯一的.( )
2.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
3.若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.( )
4.两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2题型探究PART TWO例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以 的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；求点P的坐标. 题型一 空间中点的位置确定设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(2)AQ∶QB＝2∶1.求点Q的坐标. 解 因为AQ∶QB＝2∶1，设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6).反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得.√解析 设C(x，y，z)，题型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点.求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝ 因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理.
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.跟踪训练2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得题型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点.求直线MN与AC所成角的余弦值.反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是 ，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，3达标检测PART THREE1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定√12345解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.123452.设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 √解析 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)12345√4.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则实数m的值为
A.1 B.3
C.1或3 D.以上答案都不正确12345√12345解析 因为b＝(4,2－2m,2－2m)≠0，
所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，代入4－2m＝4λ，得m＝3.123455.已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝______，y＝___.－146∴x＝－14，y＝6.课堂小结KETANGXIAOJIE1.利用向量可以表示直线或点在直线上的位置.
2.线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理.
3.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.课件42张PPT。3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标XUEXIMUBIAO1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.
2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.
3.了解三垂线定理及其逆定理.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 平面的法向量
已知平面α，如果 ，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.
知识点二 平面的向量表示
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件 的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面.这个式子称为一个平面的向量表示式. 向量n的基线与平面α垂直知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理
1.两平面平行或垂直的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到
α∥β或α与β重合? ；
α⊥β? ? .
2.三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.n1∥n2n1⊥n2n1·n2＝01.已知直线垂直于α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量.( )
2.若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.( )
3.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( )
4.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2题型探究PART TWO例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.题型一 求平面的法向量解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).反思感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.解 连接PF，CF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB.
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示). 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).题型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， ∴(－1)×y－2(z－1)＝0， ①∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.题型三 利用空间向量证明垂直问题例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝ ，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明 方法一 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2).令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0).∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；证明 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， 设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1).
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.解 由于点M在直线AE上，核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI利用向量求解空间中的探索性问题典例 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.素养评析 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意.本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标.3达标检测PART THREE1.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为 ，则m等于
A.－4 B.－6
C.－8 D.8√12345123452.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确√解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.3.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是
A.(0,1,2) B.(3,6,9)
C.(－1，－2,3) D.(3,6,8)12345√解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.4.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是 12345√解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.123455.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为_____.5解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直，
∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.课堂小结KETANGXIAOJIE1.用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果.
2.利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.课件51张PPT。 3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标XUEXIMUBIAO1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.
2.会求直线与平面的夹角θ.
3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.
4.掌握求二面角的基本方法、步骤.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 直线与平面所成的角
1.直线与平面所成的角90°0°射影如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是
_________________
2.最小角定理cos θ＝cos θ1·cos θ2射影最小的角最小角定理斜线和它在平面内的_____所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中________知识点二 二面角及理解
1.二面角的概念
(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.如图所示，其中，直线l叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图中的α，β.两个半平面棱面(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.
(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示.由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关.
(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(5)二面角的范围是[0°，180°].2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则__________等于该二面角的平面角.
(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角__________与该二面角大小相等或互补. 〈n1，n2〉〈m1，m2〉1.直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余.( )
2.二面角的大小范围是 .( )
3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××2题型探究PART TWO例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.题型一 求直线与平面的夹角解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，方法一 取A1B1的中点M，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1.
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0).又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角θ.解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)则N(1,0,1)， 设平面ADMN的法向量为n＝(x，y，z)，∴n＝(1,0，－1)，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型二 求二面角例2 在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0) ∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角.∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，又平面EAC与平面ABCD所成角的平面角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练2 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ ，求锐二面角A—PB—C的余弦值.解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz，设平面PAB的法向量为
m＝(x，y，z)，设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，题型三 空间角中的探索性问题例3 如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD； 证明 因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝ ，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P—ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.解 过点P作PO⊥AD于点O.
则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，
连接PM.则PM⊥BC，设AB＝t，则在Rt△POM中，以OA，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设平面PCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，同理设平面PBC的法向量n＝(x2，y2，z2)，设平面PBC与平面DPC的夹角为θ，显然θ为锐角，反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理.跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，且AB⊥AC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足 .
(1)证明：PN⊥AM； 证明 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，所以PN⊥AM.(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值.解 过点P作PE⊥AB于E，连接EN，
则PE⊥平面ABC，
则∠PNE为所求角θ，核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG利用向量求二面角典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D—AF—E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC； 证明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，
所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF，
故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)求二面角E—BC—A的余弦值.解 过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.由(1)知∠DFE为二面角D—AF—E的平面角，故∠DFE＝60°，由已知AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°，设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台.第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单.求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题.3达标检测PART THREE1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－ ，则l与α所成的角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°√12345解析 设l与α所成的角为θ，则∴θ＝30°.123452.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 √12345解析 建系如图，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D，又A1B∩A1D＝A1，3.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________.12345解析 设二面角的平面角为θ，45°或135°4.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为______.12345解析 作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为△BCD的中心，
设正四面体的棱长为a，123455.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为____.12345设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).课堂小结KETANGXIAOJIE1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决.
2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ .
3.二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系.课件40张PPT。3.2.5 距离(选学)第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标XUEXIMUBIAO掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 点到平面的距离
1.图形与图形的距离
一个图形内的 与另一图形内的 的距离中的 ，叫做图形与图形的距离.
2.点到平面的距离
一点到它在一个平面内 的距离，叫做点到这个平面的距离.任一点任一点最小值正射影知识点二 直线到平面的距离
1.直线与它的平行平面的距离
一条直线上的 ，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离.
2.两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线.
(2) 夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段.
(3)两平行平面的 ，叫做两平行平面的距离.任一点垂直公垂线公垂线段的长度知识点三 四种距离的关系2题型探究PART TWO例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.题型一 点线距离解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量.
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.
(4)利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，∴点B到直线A′C的距离题型二 点面距离例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).∴x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1,1，－3).反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.跟踪训练2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1).∵A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)求点C1到平面AB1D的距离.解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2,0,1)，题型三 线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝ ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1).反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.跟踪训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1).∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN向量法求解线面距典例 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点.PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.(2)求AE与平面PFQ间的距离.解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，素养评析 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解.合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.3达标检测PART THREE1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为√12345123452.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为 √解析 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离.
连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求.12345√4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为______.12345123455.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为
________.12345解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).令z＝－2，则n＝(3,2，－2).12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得.
2.点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算.课件37张PPT。专题突破三 空间直角坐标系的构建策略第三章 空间向量与立体几何利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)， 点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.跟踪训练1 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成角的余弦值.解 因为平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，
则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0). 解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，
且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1， 点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.跟踪训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解 取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则三、利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.解 取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，平面BAE∩平面AEC＝AE，
所以BM⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，取y＝1，得m＝(0,1,1)，所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.跟踪训练3 在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；证明 取AD的中点O作为坐标原点，
由题意知，VO⊥底面ABCD，
则可建立如图所示的空间直角坐标系.又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD.(2)求二面角A－VD－B的平面角的余弦值.设E为DV的中点，连接EA，EB，又EA⊥DV，∴∠AEB为所求二面角的平面角，四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.
(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD； 证明 如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设OA＝1，OA1＝a.
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，
D(0，－1,0)，O1(－1,0，a). 设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量.故m·n＝0，即平面O1DC与平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD?故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.点评 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系.跟踪训练4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.
(1)求∠DEB的余弦值；解 如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.
由AB＝2a，OV＝h，(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.123达标检测DABIAOJIANCE1.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为________.45°解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
设正方体的棱长为1，∴异面直线EF和CD所成的角是45°.1232.在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为____.123解析 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，1231233.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝ ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1.
(1)证明：BC⊥AB1； 又∠ABD，∠AB1B为三角形的内角，
故∠ABD＝∠AB1B，又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以AB1⊥CO，
因为BD∩CO＝O，BD，CO?平面CBD，
所以AB1⊥平面CBD，
又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC.123(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.123解 如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，123设直线CD与平面ABC所成角为α，123课件49张PPT。章末复习第三章 空间向量与立体几何学习目标XUEXIMUBIAO1.梳理本章知识，构建知识网络.
2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律.
3.会用向量法解决立体几何问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0μ·v＝02.用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.4.若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )1.向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2题型探究PART TWO例1 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：题型一 空间向量及其运算其中正确结论的序号是________.③④反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.由已知ABCD是平行四边形，题型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设DC＝a，PD＝b， 设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，(2)平面PBC⊥平面PCD.设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，令y1＝1，得m＝(0,1，－2).令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，∴平面AED⊥平面A1FD1.题型三 利用空间向量求角例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离； 解 由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，
故CD⊥平面A1ABB1，(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.解 如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设直三棱柱的高为h， 设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，取x2＝1，得n＝(1,0,0)，反思感悟 用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE； 证明 方法一 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点， 又F是CD的中点，由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.方法二 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE. (2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解 如图，在平面BEC内，
过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).为平面BEC的法向量.设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.取z＝2，得n＝(2，－1,2).3达标检测PART THREE√12345解析 在△BCD中，因为点G是CD的中点，123452.在以下命题中，不正确的个数为
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；√④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A.2 B.3
C.4 D.112345解析 ①由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；
②b需为非零向量，故不正确；
③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；
④由向量的数量积的性质知，不正确.123453.(2018·安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为n＝(2,2，－2)，则α与β的关系为________.平行故n也是平面α的一个法向量，又点A不在平面β内，故α∥β.4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.12345x＋y＋z＝0123455.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.
(1)求EF的长； 12345解 因为EF∥CB，∠ACB＝90°，
所以CE⊥EF，AE⊥EF.
又平面AEF⊥平面EFBC，
平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，
AE?平面AEF，
所以AE⊥平面EFBC.
设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，12345即(x－1)(x2＋x－3)＝0，12345(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值.12345解 以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
因为EF＝1，则A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0). 设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，12345令z＝1，则x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为θ，课堂小结KETANGXIAOJIE解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.
