2．1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
1．平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
2．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值．( √ )
3．已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同．( √ )
题型一 椭圆定义的应用
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆．
反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案 ②
解析 ①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以所以
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
解 (1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
则解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
题型三 椭圆中焦点三角形问题
例3 (1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．
解 (1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
跟踪训练3 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解 (1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.
∴＝mnsin∠F1PF2＝×4sin60°＝.
待定系数法求椭圆的标准方程
典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得
则a2
b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[素养评析] 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证．
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2.
2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C. D.
答案 C
解析 椭圆的方程为＋＝1，
则c2＝－＝，c＝.
∴其焦点坐标为.
3．设α∈，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵焦点在y轴上，∴cosα>sinα，
即sin>sinα，
又α∈，∴－α>α，即α∈.
4．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝________.
答案 25
解析 由椭圆的定义知，3＋7＝2a，得a＝5，则m＝a2＝25.
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
解 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
∵A(－，2)和B(，1)两点在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
一、选择题
1．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．以上都不对
答案 D
解析 因为椭圆的焦点位置不确定，
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为( )
A．－1B．1C.D．－
答案 B
解析 原方程可化简为x2＋＝1，
由c2＝－1＝4，得k＝1.
3．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2B．4C．8D.
答案 B
解析 如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝4.
4．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
不妨设|PF1|>|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
5．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
答案 B
解析 曲线＋＝1焦点在x轴上．
对于曲线＋＝1，
∵09－k>0，
∴焦点在y轴上，故两者的焦点不同．
∵25－9＝(25－k)－(9－k)＝16＝c2，
∴2c＝8，则两者焦距相等．
故选B.
6．方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是( )
A．m∈(－1,2)
B．m∈(－4,2)
C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)
D．m∈(－1，＋∞)
答案 B
解析 方程＋＝1表示椭圆的充要条件是
即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．
由题意可得，
所求m的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．
观察选项，故选B.
7．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵·＝0，∴⊥，
由|MF1|＋|MF2|＝4，①
又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②
由①与②可得|MF1|·|MF2|＝2，
设M到x轴的距离为h，
则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，
h＝＝.
二、填空题
8．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 如图，∵△ABF2的周长等于20，
∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
9．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_____________
答案 4或8
解析 (1)当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，
解得m＝4.
(2)当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，
解得m＝8，∴m＝4或8.
10．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．
答案 (8,25)
解析 由题意得解得811．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
答案
解析 由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.
故＝＝＝.
三、解答题
12．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，∴·＝0.
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，
①若|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值；
②求|PF1|·|PF2|的最大值．
解 (1)由题意，得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①由|PF1|－|PF2|＝1，
又由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.
②∵a＝2,4＝|PF1|＋|PF2|≥2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴|PF1|·|PF2|≤4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.
14．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
答案 D
解析 ∵a＞0，a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
15．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
解 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，
|BC|＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，
c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.
第1课时 椭圆的几何性质
学习目标 1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
(c＝)
|F1F2|＝2c
(c＝)
性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
知识点二 椭圆的离心率
1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．
2．性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．
1．椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制．( √ )
2．椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )
3．椭圆的焦距越大椭圆就越扁．( × )
4．椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁．( √ )
题型一 椭圆的几何性质
例1 已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
解 已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
反思感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，
c＝，又e＝，
即＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1.
∴椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为
F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，又e＝，即＝，
∴m＝，a＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
题型二 利用几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)短轴长2，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(3)过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有公共焦点．
考点 由椭圆的几何性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)由2b＝2，e＝＝，
得b2＝5，＝，a2＝9.
当焦点在x轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，
则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)．
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟 (1)此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
例3 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 方法一 如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝c，
则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.
方法二 由题意知，在焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
则由离心率的三角形式，可得
e＝＝＝
＝
＝
＝－1.
反思感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为________．
答案
解析 如图所示，∵∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，
∴△ABF2是等边三角形，
∴△ABF2的周长＝3|AF2|
＝4a，
∴|AF2|＝，∴|AF1|＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝2＋2－2×××cos60°，
化为a2＝3c2，解得e＝＝.
求离心率的取值范围
典例 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈.
[素养评析] (1)根据一定的条件求离心率的取值范围，难点是建立关于a，b，c的关系式，最后转化为关于e的关系式．
(2)探究运算思路，选择运算方法有助于促进数学思维发展，提升学生的数学运算素养．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
答案 D
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1.
∴c2＝－＝，∴e2＝，又0＜e＜1，∴e＝.
3．设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．
答案 [－5,5]
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．
答案 ＋＝1
解析 据题意a＝5，c＝3，故b＝＝4，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．
又因为a2－b2＝c2，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
一、选择题
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7,2， B．14,4，
C．7,2， D．14,4，
答案 B
解析 先将椭圆方程化为标准形式＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
答案 D
解析 因为在椭圆＋＝1中，焦点的位置不确定，所以无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．
3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A. B.
C. D．－
答案 C
解析 椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.
4．设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上，若椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由题意知＝，①
2a＋2c＝12，②
由①②可知，a＝4，c＝2，
∴b＝＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
5．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意有2a＋2c＝2×2b，
即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，
消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
6．椭圆＋＝1和＋＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有( )
A．相同的顶点 B．相同的离心率
C．相同的焦点 D．相同的长轴和短轴
答案 B
解析 不妨设a＞b＞0，则椭圆＋＝k的离心率e2＝＝.
而椭圆＋＝1的离心率e1＝，故B正确．
7．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆性质的应用
题点 求椭圆的离心率
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
则kOP＝－，kAB＝－，
∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.
把P代入椭圆方程，得＋＝1，
∴2＝，∴e＝＝.
二、填空题
8．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 由题意可知a＝2b，c＝1，
所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，
则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
9．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0答案 (2,4]
解析 ∵e＝＝，
∴0<≤，
得110．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.
答案 或4
解析 方程化为x2＋＝1，则有m＞0且m≠1.
当＜1时，由题意＝，解得m＝4；
当＞1时，由题意＝，解得m＝.
综上，m＝或4.
11．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
答案
解析 由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.
∴|PF2|＝2×＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，
∴e＝＝.
三、解答题
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．
考点
题点
解 由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝
＝，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
14．设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98a B．99a
C．100a D．101a
考点 椭圆几何性质的应用
题点 利用椭圆的性质求值
答案 D
解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P98|＝…＝|F1P49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，|F1P50|＝a,50×2a＋|F1P50|＝101a.
15．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
第2课时 椭圆的几何性质的应用
学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1的位置关系的判定
联立消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三 直线与椭圆的相交弦
弦长公式：
1．|AB|＝＝|x1－x2|＝；
2．|AB|＝|y1－y2|
＝
(直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ )
2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.( √ )
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( × )
4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．( √ )
题型一 直线与椭圆的位置关系
命题角度1 直线与椭圆位置关系判断
例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离D．不确定
答案 A
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．
反思感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．
解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为∪.
命题角度2 距离的最值问题
例2 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
由图可知y＝x－4距l最近，故最短距离
d＝＝＝，
P点为切点，即P.
反思感悟 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．
跟踪训练2 已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
解 如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①
由方程组
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②
令方程②的根的判别式Δ＝0，
得64k2－4×25×(k2－225)＝0.③
解方程③得k1＝25或k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.
直线m与直线l间的距离d＝＝.
所以，最小距离是.
题型二 弦长与中点弦问题
例3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y，可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y，得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则x3＋x4＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二 设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，∴x3＋x4＝8，y3＋y4＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
引申探究
若P(4,2)恰是直线l：x＋2y－8＝0被椭圆＋＝1(a＞b＞0)所截弦AB的中点，求该椭圆的离心率．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
∴＝－，
∴kAB＝＝－＝－＝－＝－，
∴a2＝4b2.又c2＝a2－b2＝3b2，
∴e2＝＝，∴e＝.
反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，消去y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二 由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
题型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解 (1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
解 可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d
＝··
＝≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”，
此时m＝±∈.
∴所求直线方程为x－y±＝0.
反思感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案 6
解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
转化化归思想在椭圆中的应用
典例 已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．
考点
题点
解 (1)由题意得2a＝4，即a＝2，
又点P在椭圆C上，
∴＋＝1，即b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1，焦点F1(－，0)，F2(，0)．
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，
设l：y＝kx＋2，代入＋y2＝1，
整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＝16(4k2－3)>0，
得k2>.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵原点O在以线段AB为直径的圆外，
∴∠AOB为锐角，∴cos∠AOB>0，
则·＝x1x2＋y1y2>0，
又y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)＋2k＋4
＝>0.∴k2<4，∴∴直线l的斜率k的取值范围是∪.
[素养评析]
(1)本例中???
利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围．
(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与已有知识结合，逐步推出相应的结论．对逻辑推理素养的培养有很好的帮助．
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
答案 A
解析 由题意知＋＜1，解得－＜a＜.
2．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )
A．1B.C．2D．2
答案 D
解析 联立
消去y，得(m2＋1)x2＋2x＋6－m2＝0，
Δ＝(2)2－4(m2＋1)(6－m2)＝0，
即4m2(m2－5)＝0，
∵m>0且m≠1，∴m＝，故选D.
3．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于( )
A．0B．2C．4D．－2
答案 D
解析 由题意，得c＝＝，
又＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
∴当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
∴·＝||·||·cos120°
＝2×2×＝－2.
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则又
两式相减得＝.
∴AB所在的直线方程为x－2y＋3＝0.
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝，求直线l的方程．
解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝
＝
＝·
＝
＝·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
3．最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想．
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交C．相离D．不确定
考点
题点
答案 B
解析 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，
故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，
所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2] B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2] D．[4－，4＋]
答案 A
解析 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，
又a＝2，b＝，所以－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m≥1或0C．0答案 D
解析 直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，且直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)在椭圆上或内部，即＋≤1，得m≥1，又m≠5，所以选D.
4．直线y＝1被椭圆＋＝1截得的线段长为( )
A．4B．3C．2D.
答案 C
5．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
答案 C
解析 ∵直线与圆没有交点，∴d＝>2，
∴a2＋b2<4，即<1，∴＋<1，
∴点(a，b)在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点．
6．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度是( )
A．3B．2C.D.
答案 C
解析 设以(1,1)为中点的弦的两端为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①－②可得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又∴＝－，
∴所在直线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋，
由得3x2－6x＋1＝0，
x1＋x2＝2，x1x2＝.
|AB|＝×
＝×＝.
二、填空题
7．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 如图，－28．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2－4x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
|AB|＝·＝·
＝，
|F1A|＋|F2B|＝4a－|AB|＝.
9．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0)．∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M.∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c，∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
答案
解析 直线方程为y＝2x－2，与椭圆方程＋＝1联立，可以解得A(0，－2)，B，∴S△OAB＝|OF|·|yA－yB|＝(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出△AOB的面积)．
11．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＋·＝0.
∵＝－1，＝，
∴＝，
∴kOM＝.
三、解答题
12．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程．
解 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，
依题意得
∴＋kAB＝0，
∵点M，
∴－＋×＝0，
∴a2＝3b2.
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
13．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
根据题意知解得a2＝，b2＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)容易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由消去y，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，
所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
＝＝0，解得k2＝，即k＝±.
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
14．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明 椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解 ∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知解得
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1，得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝(－m)2－4(m2－3)＞0，得m2＜4.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(*)，也满足Δ＞0，
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
2.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点二 双曲线的标准方程
1．两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × )
2．在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( × )
3．在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.( × )
题型一 求双曲线的标准方程
例1 求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上．
解 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二 由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P，Q在双曲线上，
所以
解得
故所求双曲线方程为－＝1.
反思感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．
解 (1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
题型二 双曲线的定义及应用
例2 (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
答案 (1)4a＋2m (2)16
解析 (1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100.②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
跟踪训练2 已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
解 设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，
所以|ON|＝|PF2|，
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9.
由双曲线的定义求轨迹方程
典例 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1 (x≤－1)．
[素养评析] (1)定义法求双曲线方程的注意点
①注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
②当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
③求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
(2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力．
1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线
答案 D
解析 由题意知|F1F2|＝||MF1|－|MF2||＝6，
所以点M的轨迹是两条射线．
2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
答案 A
解析 由题意知，k＋3>0且k＋2<0，
∴－33．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4B．8C．24D．48
答案 C
解析 由题意得解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1|×|PF2|＝24.
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.B．1或－2C．1或D．1
答案 D
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
解 (1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
一、选择题
1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
答案 D
解析 由题意知动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故选D.
2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
3．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
4．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是( )
A．1B．－1C．－D.
答案 B
解析 由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
答案 A
解析 如图所示，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则
∴x＝＋，y＝－，
∴|PF1|·|PF2|＝xy＝m－s.
6．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．x＝0 B.－＝1(x≥)
C.－＝1 D.－＝1或x＝0
答案 D
解析 动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：
①动圆M与两圆都外切；
②动圆M与两圆都内切；
③动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；
④动圆M与圆C1内切，与圆C2外切．
在①②情况下，显然动圆圆心M的轨迹方程是x＝0；
在③的情况下，如图，
设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情况下，同理，
得|MC2|－|MC1|＝2.
由③④得||MC1|－|MC2||＝2<8＝|C1C2|，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，
且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，
所以此时动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.故选D.
7．设F1，F2分别是双曲线－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
答案 A
解析 不妨设P(xP，yP)(xP，yP＞0)，由×2c×yP＝1，得yP＝，∴P，
∴＝，＝，
∴·＝0.
二、填空题
8．双曲线－＝1上一点P到点F1(5,0)的距离为15，则点P到点F2(－5,0)的距离为________．
答案 7或23
解析 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，而由双曲线方程知a＝4，则点P到F2的距离为23或7.
9．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________．
答案 －＝1
解析 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 9
解析 △ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
答案
解析 由双曲线的定义可得a－c＝10，
由正弦定理得＝＝＝.
三、解答题
12.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，
且a＝，c＝5.∴b2＝.
∴双曲线方程为－＝1.
13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
14．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的取值范围为________．
答案 {－2,7}
解析 (1)当焦点在x轴上时，有m＞5，
则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上时，有m＜0，则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2.
综上所述，m＝7或m＝－2.
15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 (1)因为
所以tanθ＝.
又＜m＜4，所以1＜tanθ＜4.
即tanθ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝，
所以||＝＝≥＝2，
当且仅当c＝4时取等号，||最小，
这时点Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
所以双曲线的标准方程为－＝1.
2.2.2 双曲线的几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．
知识点一 双曲线的性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
特别提醒：(1)已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得－＝0?y＝±x，这样便于记忆．
(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
1．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．( √ )
2．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.( √ )
4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( × )
5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )
题型一 由双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求a，b，c，渐近线
解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求a，b，c，渐近线
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
解 (1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
解 (1)由题意知，2b＝8，＝，
又c2＝a2＋b2，∴a＝3，b＝4，
故双曲线方程为－＝1.
(2)由题意知，2a＝6,2c＝4a＝12，
又b2＝c2－a2，
∴a2＝9，b2＝27，
∴双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)∵＝，
∴双曲线为等轴双曲线，
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，
将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9，
∴双曲线方程为－＝1.
题型三 双曲线离心率问题
例3 设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率等于( )
A.B．2C.D．3
考点
题点
答案 B
解析 设O为原点，则有|PO|＝2b，|OF1|＝c，
又因为△PF1F2为等边三角形，
所以|PF1|＝2c.
而PO⊥F1F2，所以c2＋(2b)2＝(2c)2，
即4b2＝3c2，即4c2－4a2＝3c2，
于是c2＝4a2，因此e2＝＝4，故e＝2.
反思感悟 求双曲线的离心率时，可以求出a与c的值，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能根据题目条件获得关于a和c的关系式，进而求得，这时关键是利用图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，再结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．
跟踪训练3 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为( )
A．2B.C．3D.
考点
题点
答案 D
题型四 直线与双曲线的位置关系
例4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(－3,2)．
(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．
考点
题点
解 (1)由题意可知，双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，
根据定义有2a＝＝2，
∴a＝1，由以上可知，a2＝1，c2＝4，b2＝3，
∴所求双曲线C的方程为x2－＝1.
渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意．
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝0得k＝±，
此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述，符合题意的k的所有取值为，－，，－.
引申探究
本例条件不变，若直线y＝2x＋m被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值．
解 设直线y＝2x＋m与双曲线C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得x2＋4mx＋m2＋3＝0，
Δ＝16m2－4(m2＋3)>0，得m<－1或m>1，
x1＋x2＝－4m，x1x2＝m2＋3，
|AB|＝·
＝·＝2，
解得m＝±，适合m<－1或m>1，故m＝±.
反思感悟 (1)直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考查方程的判别式．
①当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)双曲线的弦长公式
与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样．设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
跟踪训练4 已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
考点
题点
解 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可知c＝，
∴方程可以化为－＝1，
将直线y＝x－1代入，
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
∵MN的中点的横坐标为－，
∴×＝－，解得a2＝2，
此时Δ>0，∴曲线的方程为－＝1.
存在性问题需验证
典例 已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的其他问题
解 由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
由
两式相减并变形得＝2，
若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
联立得2x2－4x＋3＝0，
而Δ＝－8<0，方程无实根，
即直线与双曲线无交点，
故不存在满足条件的直线．
[素养评析] (1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．
(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2B．2C．4D．4
答案 C
解析 双曲线的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．－4B．－3C．2D．1
答案 A
解析 ∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x，
∴＝，解得a＝－4.
3．已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，则e＝＝.
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为____________．
答案 y＝±x
解析 由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，
即a＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，一个焦点的坐标为(－，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．
考点
题点
解 (1)∵实轴长为2，一个焦点的坐标为(－，0)，
∴2a＝2，即a＝，c＝，
∴b2＝c2－a2＝2，
∴双曲线C的方程为－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0，
由Δ＝24(m2－10)>0，得|m|>，
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝×
＝＝4，
解得m＝±，满足|m|>，
∴直线l的方程为y＝2x＋或y＝2x－.
1．通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．
2．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
3．直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系.
一、选择题
1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案 A
解析 由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C. D．1
答案 A
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 依题意得，c＝3，e＝，
所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.
4．直线y＝kx－1与双曲线－＝1有且只有一个交点，则k的值为( )
A．k＝± B．k＝±
C．k＝±或k＝± D．k∈?
答案 C
解析 将直线方程代入双曲线方程，得
(9－4k2)x2＋8kx－40＝0.
当9－4k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；
当9－4k2≠0，Δ＝0时，k＝±，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点．
5．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
答案 D
解析 因为0在－＝1中，a2＝16，b2＝5－k.
在－＝1中，a2＝16－k，b2＝5.
由c2＝a2＋b2知，两双曲线的焦距相等，
故选D.
6．双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 双曲线的离心率e1＝，
椭圆的离心率e2＝，
由e1e2＝1，得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，
故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．
7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D．3
答案 B
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a.
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)．故e＝＝＝＝＝，故选B.
二、填空题
8．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________．
答案 －＝1
解析 设所求双曲线方程为x2－＝λ，
将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线方程为－＝1.
9．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线相交弦长与三角形的面积
答案 3
解析 易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，
∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
10．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－2x－8＝0上，则双曲线的渐近线方程为________________．
答案 y＝±x
解析 由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为－＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
11．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 ∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e＞，即＞2，∴m＞4.
三、解答题
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，求双曲线的离心率．
解 设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝2c，|PF2|＝2c，
又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且双曲线C经过点(2，)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
考点
题点
解 (1)由题意有解得
∴双曲线C的方程是x2－＝1.
(2)由
消去y得x2－2mx－m2－2＝0，
Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，
y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
∴AB的中点坐标是x0＝＝m，y0＝2m，
又∵(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，
∴m2＋(2m)2＝5，解得m＝±1.
14．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 要使△ABE是锐角三角形，只需满足∠AEB为锐角．又△ABE是等腰三角形，其中|AE|＝|BE|，所以只需满足∠AEF＜45°.在Rt△AFE中，tan∠AEF＝＝＜1，即c2－ac－2a2＜0，两边同除以a2，得e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2.又e＞1，所以离心率e的取值范围是(1,2)．
15．已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的其它问题
解 (1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
因为x1x2＝－，
·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±.
2．3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程的求法.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
1．在平面内，点P到点F和到直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
2．抛物线其实就是双曲线的一支．( × )
3．抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定．( × )
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟 求抛物线的标准方程的方法
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
注意 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 (1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
题型二 抛物线定义的应用
命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)
例2 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
考点
题点
解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
跟踪训练2 已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
命题角度2 利用抛物线定义求最值或点的坐标
例3 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P(x0，y0)是抛物线上一点．
(1)若|PF|＝x0，求x0；
(2)已知点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
考点 求抛物线的最值问题
题点 根据抛物线定义转换求最值
解 (1)由题意知抛物线的准线为x＝－，根据抛物线的定义可得，x0＋＝|PF|＝x0，解得x0＝2.
(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x0＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
引申探究
若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.
反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3 抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
解 设焦点为F，M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即9＋＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．
[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案 A
解析 由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
答案 D
解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．4B．2C．1D．8
答案 C
解析 如图，F，
过A作AA′⊥准线l，
∴|AF|＝|AA′|，
∴x0＝x0＋＝x0＋，
∴x0＝1.
4．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，则动点P的轨迹方程是________．
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案 y2＝16x
解析 ∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，
∴点P到直线x＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝4，∴动点P的轨迹方程为y2＝16x.
5．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．
解 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
答案 B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－.由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.B．1C．2D．4
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4B．6C．8D．12
答案 B
解析 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
答案 C
解析 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝12y.
6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－B．－1C．－D．－
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故＝－2，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
7．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
答案 C
解析 抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而纵坐标yP＝±2.
∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.
答案 －
解析 y＝ax2可化为x2＝y.
∵准线方程为y＝2，∴a<0且－＝2，
∴a＝－.
9．若椭圆＋＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________．
答案
解析 由题意知，左焦点为，则c＝.
∵a2＝3，b2＝，
∴3＝＋，得p＝.
10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．
答案
解析 抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－.由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标等于1－＝.
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
考点 求抛物线的最值问题
题点 根据抛物线定义转换求最值
答案 2
解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2.
三、解答题
12．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y2＝a2x(a≠0)．
考点 抛物线的几何性质
题点 与准线、焦点有关的简单几何性质
解 (1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
13．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
14．(2018·潍坊联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点
题点
答案 －1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝－1.
15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
解 (1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.
第1课时 抛物线的几何性质
学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一 抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
x∈R，
y≥0
x∈R，
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × )
2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × )
3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ )
4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )
题型一 由抛物线的几何性质求标准方程
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F.直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2B．4p2C．2p2D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)，
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．
解 ∵椭圆＋＝1的短轴所在直线为x轴，
∴抛物线的对称轴为x轴．
设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，
设＝5，∴a＝±20.
∴抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.
题型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
引申探究
本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.
解 由抛物线定义|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，
∴∠OFA1＝∠AA1F，
∴∠OFA1＝∠AFA1，
同理得∠OFB1＝∠BFB1，
∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°.
反思感悟 (1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．
答案 x＋y－1＝0或x－y－1＝0
解析 因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意．
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，即＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
答案 C
解析 设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
3．已知过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________．
答案 10
解析 由y2＝8x，得p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由焦点弦公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝2×＋4
＝2×3＋4＝10.
4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)
答案 ②⑤
解析 由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，
所以②符合．
又因为它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，
设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也符合．
而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意．
所以应填②⑤.
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．
解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
一、选择题
1．抛物线y＝ax2(a<0)的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.，x＝－
B.，x＝
C.，y＝－
D.，y＝
答案 C
解析 y＝ax2可化为x2＝y，
∴其焦点坐标为，准线方程为y＝－.
2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18B．24C．36D．48
答案 C
解析 由题意知|AB|＝2p，则S△ABP＝×2p×p＝p2，
又∵2p＝12，∴p＝6，S△ABP＝62＝36.
3．抛物线C1：y2＝2x的焦点为F1，抛物线C2：x2＝y的焦点为F2，则过F1且与直线F1F2垂直的直线l的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－3y－2＝0
答案 C
解析 由题意知，F1，F2.
所以直线F1F2的斜率为－，
则直线l的斜率为4.
故直线l的方程为y＝4，
即4x－y－2＝0.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝8x D．y2＝6x
答案 C
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝3，即x1＋x2＝6.
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，
即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，点A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4B．8C．8D．16
答案 B
解析 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，焦点F(2,0)，
设A(－2，y0)，kAF＝＝－，则y0＝4，
∴P(x0,4)，将P点坐标代入抛物线方程y2＝8x，
(4)2＝8x0，得x0＝6.
由抛物线定义可知|PF|＝|PA|＝x0＋＝6＋＝8.
6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．6
C．12 D．7
答案 C
解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1，)(x2，y2)．∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan30°，
即y＝x－.
联立
消去y，得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，
由于|AB|＝x1＋x2＋p，
∴|AB|＝＋＝12.
7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1B．0C．1D．2
考点
题点
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝x＋b代入y＝x2，
化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.
又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，
经检验当b＝0时，不符合题意，故b＝2.
二、填空题
8．设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
答案 13
解析 设P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9，
∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
9．抛物线y＝x2的焦点与双曲线－＝1的上焦点重合，则m＝________.
答案 13
解析 抛物线y＝x2可化为x2＝16y，
则其焦点为(0,4)，∴3＋m＝16，则m＝13.
10．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.
答案
解析 由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，
则由|AF|＝3，知xA＝2.
设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以xA·xB＝1，故xB＝，
故|BF|＝xB＋1＝.
11．一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________．
答案 48
解析 设一个顶点为(x,2)，则tan30°＝＝，
∴x＝12.
∴S＝×12×8＝48.
三、解答题
12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
13．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x≥0)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距点A最近的点P的坐标为(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
∴点P的坐标为.
14．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，点F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 M到准线的距离大于p，即y0＋2＞4，∴y0＞2.
15．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，·＝0.
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且||，||，||成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标．
解 (1)设N(x，y)，由＝2，得点P为线段MN的中点，
∴P，M(－x,0)，
∴＝，＝.
由·＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵||，||，||成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1,2)或B(1，－2)．
第2课时 抛物线的几何性质的应用
学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点 直线与抛物线的位置关系
1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与
抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )
2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.( × )
3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
解 由方程组
消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
反思感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1 平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；
(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
解 (1)x2＝4y.
(2)设点P，点P到直线y＝x－2的距离为
＝＝，
当x0＝2时，取得最小值，此时P(2,1)．
(3)由得x2－4x－4m＝0，
Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.
所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．
题型二 与弦长中点弦有关的问题
例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
反思感悟 中点弦问题有两种解法：
(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
跟踪训练2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1，显然不成立．
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝＝.
方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝·＝.
题型三 抛物线性质的综合应用
命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题
例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明 因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
反思感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明 方法一 设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.
把直线AB的方程y－2＝k(x－4)与y2＝x联立得
y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一个解，
∴2yB＝，∴yB＝，
∴xB＝y＝，
∴B.
∵kAC＝－k，
∴以－k代替k代入B点坐标得C.
∴kBC＝＝－，为定值．
方法二 设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC＝＝.
∵kAB＝＝，kAC＝＝，
由题意得kAB＝－kAC，
∴＝－，则y1＋y2＝－4，
则kBC＝－，为定值．
命题角度2 对称问题
例4 在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
解 因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，
所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把直线AB的方程代入抛物线方程，得y2＋4ky－4m＝0，
设AB的中点坐标为M(x0，y0)，
则y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m.
因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，
所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，即m＝－.
因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，
所以Δ＝16k2＋16m>0，
把m＝－代入，
化简，得<0，
所以<0.
因为k2－k＋3＝2＋>0，所以<0，
解得－1反思感悟 轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
跟踪训练4 已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离．
解 由题意可设l：y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中，得x2＋x＋b－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.
所以AB的中点坐标为，
因为该点在直线x＋y＝0上．
所以－＋＝0，得b＝1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝＝3.
所以A，B两点间的距离为3.
与抛物线有关的最值问题
典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝
＝2＋.
所以当t＝时，d有最小值.
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
[素养评析] (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决．
二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得．
(2)探究运算思路，选择运算方法，能提升数学运算能力，同时促进数学思维发展，形成良好的数学运算素养．
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条B．3条C．2条D．1条
答案 B
解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
由
消去y，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
得k＝.
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条．
2．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
答案 C
解析 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，
则＝＝，故＝，
则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶.
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线x＝－上，∴－＝－2，p＝4，∴抛物线C：y2＝8x.
设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2，①
将①与y2＝8x联立，得y2－8ky＋24k＋16＝0，②
令Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，
解得k＝2或k＝－.
当k＝－时，切点在第四象限，与题意不符，舍去．
将k＝2代入①②，得即B(8,8)．
又F(2,0)，∴kBF＝.故选D.
4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．
答案 16
解析 由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为－.从而OM的方程为y＝kx，联立方程
解得M的横坐标x1＝.
同理可得N的横坐标x2＝4k2，可得x1x2＝16.
5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．
解 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝3，
即5＝45，
∴a＝4或a＝－36.
∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 设直线方程为2x－y＋m＝0，
由
得x2－2x－m＝0，
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，
∴直线方程为2x－y－1＝0.
2．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝20x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积是( )
A．5πB．9πC．16πD．25π
答案 D
解析 抛物线D：y2＝20x的准线方程为x＝－5.
圆C的圆心(－2,0)到准线的距离d＝3.
又由|AB|＝8，
∴r2＝d2＋2＝25，
故圆C的面积S＝25π，故选D.
3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为( )
A．(1,2) B．(0,0)
C. D．(1,4)
答案 C
解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，
设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
则即4x2－4x－m＝0.①
设此直线与抛物线相切有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入①式，得x＝，y＝1，
所求点的坐标为.
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A．2B．2C．4D．2
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4B．8C．16D．32
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的其他应用
答案 B
解析 易知F(2,0)，K(－2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|＝|AF|.
∴|AK|＝|AM|，
∴△AMK为等腰直角三角形．
设A(m2,2m)(m>0)，
则△AFK的面积S＝×2m×4＝4m.
又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2，
解得m＝.
∴△AFK的面积S＝4m＝8.
6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
答案 C
解析 由题意知
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意．
7．已知直线l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是( )
A.B.C．2D.
答案 D
解析 设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，
过点A，B分别作AM⊥m于点M，BN⊥m于点N.
由|AM|＝2|BN|，
得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D.
二、填空题
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意知机器人进行的轨迹为以F(1,0)为焦点，
x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
设过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．
代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
∵机器人接触不到该直线，
∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，
∴k2>1，∴k>1或k<－1.
9．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________．
答案 x2＝－20y或x2＝4y
解析 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由得x2－x－a＝0.
设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－a，
|AB|＝·
＝·＝5，
得a＝－20或4，经检验，a＝－20或4都符合题意．
∴抛物线方程为x2＝－20y或x2＝4y.
10．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称．若2x1x2＝－1，则2m的值是________．
答案 3
解析 由题意，得k＝＝＝2(x2＋x1)＝－1，
∴x2＋x1＝－.
∵＝＋m，
∴y1＋y2＝x1＋x2＋2m，
∴2x＋2x＝－＋2m，
即2(x1＋x2)2－4x1x2＝－＋2m，∴2m＝3.
11．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.代入－＝1，得|x|＝.若△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，
解得p2＝36，p＝6.
三、解答题
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
(1)证明 如图所示，
由
消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1y2＝－1，y1＋y2＝－.
因为A，B在抛物线y2＝－x上，
所以y＝－x1，y＝－x2，
所以y·y＝x1x2.
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB.
(2)解 设直线与x轴交于点N，显然k≠0，
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)，
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝.
因为S△OAB＝，
所以＝，
解得k＝±.
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线l过定点(2,0)．
14．如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点．若点P的纵坐标为m(m≠0)，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．
答案 (4，＋∞)
解析 由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PF的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．联立方程组消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，
∴|AB|＝·
＝·＝.
点D(－1,0)到直线AB的距离d＝，
∴S＝d·|AB|＝·＝4＞4，∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．
15．已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为8.
(1)求抛物线的方程；
(2)是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点(异于坐标原点)，且以BC为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设抛物线的准线为l，过点P作PD⊥l于点D，过A作AE⊥l于点E(图略)．
由抛物线的定义，知|PF|＝|PD|，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|≥|AE|，当且仅当A，P，E三点共线时取等号．
由题意知|AE|＝8，即4＋＝8，得p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝16x.
(2)假设存在点M，当直线BC的斜率存在时，设过点M的直线方程为y＝kx＋b.
显然k≠0，b≠0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由以BC为直径的圆恰好过坐标原点，得·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
把y＝kx＋b代入y2＝16x，得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0，
由根与系数的关系，得
又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2，
所以y1y2＝，
所以＋＝0，得b＝－16k.
所以过点M的直线方程为y＝kx－16k＝k(x－16)，必过定点(16,0)．
当直线BC的斜率不存在时，直线x＝16交抛物线于B(16，－16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，－16)，仍然有·＝0.
综上，存在点M(16,0)满足条件．
专题突破三 焦点弦的性质
抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．
一、焦点弦性质的推导
例1 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.
证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)＋＝为定值；
(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
证明 (1)①当AB⊥x轴时，
不妨设A，B，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，
则直线AB的方程为y＝k，
代入抛物线方程y2＝2px，
消元得y2＝2p，
即y2－－p2＝0，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，
由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，
在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，
由图知|GG1|＝|AA1|，
则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，
同理得|BF|＝；
当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，
对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，
∴|AF|＝，|BF|＝.
(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p
＝＋＝≥2p，
当且仅当θ＝90°时取等号．
故通径长2p为最短的焦点弦长．
(4)由(2)可得，
＋＝＋＝.
(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，
故满足S△OAB＝；
当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，
原点O到直线AB的距离
d＝＝sinθ，
S△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.
(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，
则|MM1|＝＝＝，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
二、焦点弦性质的应用
例2 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.B.C.D.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 D
解析 方法一 由题意可知，直线AB的方程为y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为××＝.
方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.
(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16B．14C．12D．10
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 A
解析 方法一 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，
l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，
因此|AB|＋|DE|＝＋
＝＋＝＝≥16.
点评 上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．
跟踪训练1 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.B.C.D．2
考点
题点
答案 C
解析 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，
x1＋1＝3，∴x1＝2，
∴取A点坐标为(2,2)，
则直线AB的斜率k＝＝2，
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0，
则点O到该直线的距离d＝.
由消去y得，
2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝，
∴|BF|＝x2＋1＝，
∴|AB|＝3＋＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
方法二 设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，
|AF|＝＝＝3，
∴cosθ＝，
S△AOB＝＝＝.
(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案
解析 方法一 设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，
∵|AB|＝＝＝，
∴sin2θ＝，
则cosθ＝＝，
又|AF|<|BF|，∴|AF|＝＝＝.
方法二 由于y2＝2x的焦点坐标为，由题干知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1∴k2x2－(k2＋2)x＋＝0.
∴x1x2＝.
而|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，
∴x1＋x2＝.
∴x1＝，x2＝.
∴|AF|＝x1＋＝＋＝.
例3 已知A，B，C，D，E为抛物线y＝x2上不同的五点，抛物线的焦点为F，若＋＋＋＋＝0，则||＋||＋||＋||＋||等于( )
A．5B．10C.D.
考点
题点
答案 B
解析 抛物线y＝x2的准线方程为y＝－1，
焦点坐标为(0,1)．
设A，B，C，D，E的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，y5，
∵＋＋＋＋＝0，
∴y1－1＋y2－1＋y3－1＋y4－1＋y5－1＝0，
∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5，
根据抛物线的定义，可得||＋||＋||＋||＋||＝y1＋1＋y2＋1＋y3＋1＋y4＋1＋y5＋1＝10.
点评 用坐标表示向量，可以利用定义将向量的模长与坐标建立起联系．
跟踪训练2 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
考点
题点
答案 A
解析 由题意可得＝＝＝＝.
1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是( )
A．1B．2C.D.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 D
解析 如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，
又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
2．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别为p，q，则＋等于( )
A.B.C．2aD．4a
考点
题点
答案 B
解析 可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为( )
A．3B．2C.D.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 A
解析 由抛物线的性质可知，
|AF|＝，|BF|＝，
∴＝＝3.
4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为( )
A．4B．6C．8D．10
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 C
解析 由焦点弦的性质知，
y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，
则y＋y≥2|y1|·|y2|＝8，
当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号．
故y＋y的最小值为8.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为( )
A. B．2
C. D.
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 C
解析 设直线l的倾斜角为θ，
由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝，
∴解得
6.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是( )
A．等于1
B．等于4
C．最小值是1
D．最大值是4
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 A
解析 设直线l：x＝ty＋1，
代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
根据抛物线的定义知，
|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，
故|AB|＝x1，|CD|＝x2，
所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝，
而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.
7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
考点 抛物线中过焦点的弦长问题
题点 与弦长有关的其它问题
答案 C
解析 当cosθ>0时，|AF|＝，|BF|＝，
∵|AF|＝3|BF|，∴＝，
∴cosθ＝，则tanθ＝，
∴l的方程为y＝(x－1)，
当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝，
∵|AF|＝3|BF|，∴＝，
∴cosθ＝－，则tanθ＝－，
∴l的方程为y＝－(x－1)，
则l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
8．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
解 (1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，
又AB的中点到x轴的距离为3，
∴y1＋y2＝6，∴p＝2，
∴抛物线的标准方程是x2＝4y.
(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由消去y得x2－4kx－24＝0，
∴(*)
易知抛物线在点P处的切线方程为
y－＝(x－x3)，
令y＝－1，得x＝，∴R，
又Q，F，R三点共线，∴kQF＝kFR，又F(0,1)，
∴＝，
即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，
整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，
将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，
∴直线m的方程为y＝±x＋6.
专题突破二 离心率的求法
一、以渐近线为指向求离心率
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．
考点
题点
答案 2或
解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或.
又b2＝c2－a2，所以＝3或，
所以e2＝4或，所以e＝2或.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，
所以＝或，亦可得到e＝或2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
点评 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．
跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为
y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一 设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.
方法二 e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
二、以焦点三角形为指向求离心率
例2 如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 ＋1
解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
则|AF1|＝|F1F2|＝c，
|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，
从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，
于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.
点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．
跟踪训练2 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
三、寻求齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
思维切入 通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，
再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 2
解析 如图，由题意知|AB|＝，
|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．
点评 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．
跟踪训练3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a，b，c的齐次关系式得离心率
答案
解析 在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，
|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝.
因为0四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围
例4 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
思维切入 画图，通过图象找出直线l与双曲线渐近线斜率的关系，利用e＝求解．
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 [2，＋∞)
解析 由题意知≥，即2≥3，
∴e＝≥2，
故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
点评 (1)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e＝得到离心率的取值范围．
(2)当直线与双曲线有两个公共点时，可联立方程组应用判别式Δ>0，从而可得的范围，再利用e＝即可得离心率的取值范围．
跟踪训练4 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. B．(，＋∞)
C. D.∪(，＋∞)
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 由消去y并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
由于直线与双曲线相交于两个不同的点，
则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，
所以a2∈(0,1)∪(1,2)．
另一方面，e＝，则a2＝，
从而e∈∪(，＋∞)．
五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围
例5 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
思维切入
→
答案 (－1,1)
解析 在△PF1F2中，由正弦定理知
＝，
因为＝，
所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.①
又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.
将①代入得|PF2|＝，
又a－c<|PF2|同除以a得，1－e<<1＋e，
又0点评 圆锥曲线上一点到焦点的距离叫做该点的焦半径．
(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]．
(2)双曲线的焦半径：
①点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞)．
跟踪训练5 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.B.C．2D.
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 B
解析 ∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，
即|PF2|＝a，
根据点P在双曲线的右支上，
可得|PF2|＝a≥c－a，
∴a≥c，又∵e>1，∴1∴此双曲线的离心率e的最大值为.
1．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是( )
A.B．3C．2D．4
考点
题点
答案 C
解析 不妨设双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，
所以＝b＝c，
所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，
所以双曲线的离心率e＝＝2.
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1,2) B．(1,2] C．(1，) D．(1，]
考点 双曲线的离心率与渐近线
题点 双曲线离心率的取值范围
答案 D
解析 由题意可得，双曲线渐近线的斜率≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，]．
3.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1B．2－C.D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 由a与c的关系式得离心率
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线离心率的取值范围
答案 B
解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可．
由题设可得AF1＝，
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．
故选B.
5．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
考点
题点
答案 2＋
解析 由双曲线的对称性，
不妨设直线方程为y＝(x－c)．
由得x＝.
由＝2a，e＝，
解得e＝2＋(e＝2－舍去)．
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为________．
考点
题点
答案
解析 因为|MF2|＝7|MF1|，
所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，
即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，
即e＝≤，
当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立．
故此双曲线离心率的最大值为.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案
解析 如图，连接PF1，OQ，
由OQ为△PF1F2的中位线，
可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|.
由圆x2＋y2＝b2，
可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
即|PF2|＝2a－2b.
又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，
化简得2a＝3b，即b＝a.
∴c＝＝a，则e＝＝.
∴＝＝≥×2＝，
当且仅当a＝，即a＝时等号成立，
所以的最小值为.
第二章 圆锥曲线与方程章末复习
学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，
且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan.
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.
(2)如果双曲线的渐近线方程为±＝0，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
5．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．( × )
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．( × )
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x14．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m>n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．( × )
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.( √ )
题型一 圆锥曲线的定义及应用
例1 已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
答案 B
解析 设P为双曲线右支上的一点．
对于椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对于双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.
反思感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
答案 A
解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义可知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，得2x2＝x1＋x3，
故选A.
题型二 圆锥曲线的方程及几何性质
命题角度1 求圆锥曲线的方程
例2 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于( )
A．1B.C．2D．3
答案 C
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，y2＝2px的准线方程为x＝－.
∵双曲线的离心率为2，∴e＝＝2，
即＝±，∴渐近线方程为y＝±x，
由得y＝－p，∴|AB|＝p，
S△OAB＝××p＝，解得p＝2.
反思感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．
跟踪训练2 设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 由抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，知焦点F.
设M(x，y)，由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，
可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为＝.
由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
则M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
命题角度2 求圆锥曲线的离心率
例3 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
答案
解析 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
反思感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练3 已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
答案
解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
解 (1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＞0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－
＝－，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
反思感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练4 如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
解 (1)因为2c＝2，所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，
得m2<k2＋.
依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是.
题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题
例5 (1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
答案 －1
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．0C．a≤1 D．a≤0
答案 C
反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练5 (1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
答案
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；
②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围．
解 ①∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴a2－3b2＝0，
∴x2＋3y2＝3，
即点M(x，y)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
②由
得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，
即3k2－m2＋1>0.①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
线段PQ的中点N(x0，y0)，
则
∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.
设kAN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.
即·k＝－1，
得3k2＝2m－1.②
∵3k2>0，∴m>.
将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0∴m的取值范围为.
圆锥曲线中的存在性问题
典例 已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分．
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由．
考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点 直线与圆锥曲线的综合问题
解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0.
设直线AB：x－2＝m(y－2)，
代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.
判别式Δ＝(－8m)2－4(16m－16)＝64(m2－m＋1)>0恒成立．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y1＋y2＝8m，
由8m＝4，得m＝.
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
(2)假设C，D两点存在，
则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，
消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0，
其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，
则n>－4.(*)
又xC＋xD＝4(n＋8)，
所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程，
得n＝－，不满足(*)式．
所以满足题意的C，D两点不存在．
[素养评析] (1)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．
(2)按照逻辑推理的形式与规则，探索论证结论的存在性，有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神．
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 A
解析 根据题意，因为△AF1B的周长为4，
所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
所以a＝.
又因为椭圆的离心率e＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
答案 C
解析 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.
依题意·＝－1，故＝1.
所以＝1，即e2＝2，
所以双曲线的离心率e＝.
3．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 ∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.
4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )
A．2p B．4p
C．6p D．8p
答案 B
解析 设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA方程为y＝x.
由得y＝2p.
∴△AOB的边长为4p.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
解 (1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a＝，c＝1，
可得椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题．
